Tài liệu Skkn phương trình, bất phương trình vô tỷ.

Phương trình, bất phương trình vô tỷ Trường THPT Trị An PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ A. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Phương trình và bất phương trỉnh chứa dưới ẩn căn thức nhiều khi có cách giải khá phức tạp thậm chí không có cách giải, trong sách giáo khoa đại số lớp 10 chỉ đưa ra một số ví dụ đơn giản, học sinh chỉ cần sử dụng một số phép biến đổi đơn giản là ra kết quả hoặc dễ dàng nhận ra cách đặt ẩn phụ. Nhưng trong quá trình học toán, học sinh có thể gặp đây đó những bài toán mà đầu đề có vẻ “lạ”, “không bình thường” những bài toán không thể áp dụng trực tiếp các quy tắc, các phương pháp quen thuộc, các bài toán này có tác dụng không nhỏ trong việc rèn luyện tư duy toán học và thương là sự thử thác đối với học sinh trong các kỳ thi học sinh giỏi, thi vào các lớp chuyên toán và thi vào đại học. Đương nhiên quen thuộc hay không quen thuộc chỉ là tương đối, phụ thuộc vào trình độ, vào kinh nghiệm của người giải toán, có bài toán là “lạ” đối với người này nhưng là “quen thuộc” đối với người khác. Trong đề tài này tôi đưa ra một số cách giải phương trình và bất phương trình chứa căn thức mà học sinh thường gặp trong trường phổ thông, trong các kỳ thi học sinh giỏi và thi vào các trường đại học, cao đẳng, trung học chuyên nghiệp. Đề tài nhằm mục đích: - Hệ thông một số dạng phương trình và bất phương trình cơ bản thường gặp. - Đưa ra một số phương trình chứa căn thức không mẫu mực. Nội dung đề tài bao gồm 3 phần: Phần I: Phương trình và bất phương trình chứa căn thức dạng mẫu mực Nội dung của phần này là hệ thông lại một số dạng phương trình và bất phương trình chứa căn thức dạng mẫu mực và cách giải chúng, sau đó đưa ra các bài tập minh họa phương pháp. Phần II: Phương trình và bất phương trình chứa căn thức dạng không mẫu mực Nội dung của phần này là trình bày một số phương pháp thông dụng chủ yếu để tìm tòi lời giải các bài toán, đồng thời với việc giới thiệu phương pháp, phân tích khía cạnh của vận dụng phương pháp đó là việc trình bày các ví dụ minh họa mà lời giải của chúng là sự thể hiện của việc vận dụng phương pháp đó. Phần III: Các bài tập đề nghị Là hệ thống các bài tập giúp học sinh tự rèn luyện và khắc sâu kiến thức. Vì thời gian và trình độ có hạn nên bài viết không tránh khỏi sai sót, rất mong nhận được sự góp ý của các bạn đồng nghiệp. Người viết Nguyễn Bá Vững Trang 1 Phương trình, bất phương trình vô tỷ Trường THPT Trị An B. NỘI DUNG PHẦN I: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC DẠNG MẪU MỰC 1. Phương trình chứa căn thức: B  0 AB  2 A B a. 2n b. c.  A ‫ڳ‬0 B 0 A  2n B   A  B 2 n 1 A  2 n 1 B  A  B d. A 0 B  0  A  B  C  C  0   AB  C  A  B  2 e. A B  C  B C  A 2. Bất phương trình chứa căn thức B  0 B  0 AB    A  0  A  B2  a. b. B  0  A  B ۳ A 0  A  B2  Bài 1: Giải các phương trình sau: a. 3x 2  9 x  1  x  2 (1) b. x2  2 x  4  2  x (2) c. d. 3x 2  9 x  1  x  2 (3) 5 x  1  3x  2  2 x  3 (4) Giải: Người viết Nguyễn Bá Vững Trang 2 Phương trình, bất phương trình vô tỷ  x  2  0   2 2  3x  9 x  1   x  2  x  2   2  2 x  5x  3  0 x  2    1  x   2  x  3  x3 Trường THPT Trị An a. (1) 2  x  0   2  x  2x  4  2  x x  2   2  x  3x  2  0 x  2    x  1  x   2 b. (2)  x  1  x  2  3x 2  9 x  1   x  2  2  2 x2  5x  3  0 1  x   ;x 3 2 c. (3) 5x 1  0  2 ۳0  3 x ۳  2x  3  0  d. Điều kiện:  x    x   x   1 5 2 3 3 2 x 3 2  5 x  1  3x  2  2 x  3  2 (3 x  2)(2 x  3)  (3x  2)(2 x  3)  2  6 x 2  13 x  2  0 1  x  (l )   6   x  2(n) (4)  x  2 Người viết Nguyễn Bá Vững Trang 3 Phương trình, bất phương trình vô tỷ Bài 2: Giải các bất phương trình sau: a. x 2  x  12  x  8 (5) b. x 2  3x  10  2  x (6) c. d. x2  4 x  3  x x3  Trường THPT Trị An (7) x 1  x  2 (8) Giải:  x 2  x  12  8  x 8  x  0    x 2  x  12  0  2 2  x  x  12   8  x   x  8  ۣ  x 4 ‫ ڳ‬x 3  76 x  17  76 ۣ‫ڣ‬x 4 3 x 17 a. (5)  x 2 3 x  10  x  2  x  2  0  2  x  3x  10  0   x2 0    x 2  3x  10   x  2  2  b. (6)  x  2   x ‫ڳ‬2 x 5 ۣ x  2   x  14 x 2 x 14  x 2  4 x  (3  x) 2  x2  4x  9  6x  x2  2x  9 9 ۳ x 2 c. (7) Người viết Nguyễn Bá Vững Trang 4 Phương trình, bất phương trình vô tỷ x 3  0 x  3   2 ۳0  x ۳ x 2  x 1  0 x  1  d. Điều kiện:   x 3  x 2  Trường THPT Trị An x 3 x 1  x  3  x  2  2 ( x  3)( x  2)  x  1  2 ( x  3)( x  2)  4  x 4  x  0    ( x  3)( x  2)  0  4( x  3)( x  2)  (4  x) 2  x  4  ۣ  x 3 ‫ڳ‬x 2  3x 2  12 x  8  0   x  4  ‫ ۣۣڳ‬‫ڣ‬ x 3 x 2  62 3  x  6 2 3  3 3 62 3 3 x 2 3 62 3 3 (8) Phần II: Phương trình và bất phương trình chứa căn thức dạng không mẫu mực 1. Phương pháp 1: Khai thác triệt để các giả thiết của bài toán a) Nghiên cứu các đặc điểm về dạng của bài toán Các đặc điểm về dạng của bài toán là phần hình thức của bài toán đó. Do sự thống nhất giữa nội dung và hình thức nên việc nghiên cứu phần hình thức của bài toán thực chất là khám phá các đặc điểm trong nội dung của bài toán. Chính vì thế, nhiều bài toán có được lời giải hoặc có lời giải hay là nhờ việc khai thác đúng đắn các đặc điểm về dạng của bài toán đó. Mặt khác do tính phong phú của hình thức nên các đặc điểm về dạng biểu hiện muôn hình muôn vẻ, đòi hỏi người giải toán phải biết các nhìn bài toán đó. - Đặc điểm của bài toán thể hiện mối quan hệ giữa các nhóm số hạng tham gia bài toán: Mối liên hệ đó đôi khi thể hiện rõ ràng dễ thấy nhưng có khi ẩn kín bên trong, đòi hỏi nhiều phép biến đổi và có cách nhìn tinh mới phát hiện được. Bài 3: Giải phương trình: 4 x  x 2  1  x  x 2  1  2 (9) Hướng dẫn giải: Người viết Nguyễn Bá Vững Trang 5 Phương trình, bất phương trình vô tỷ  x2 1  0  2 x 1  x ۳x 1 0  x  x2 1  0 Điều kiện:  Trường THPT Trị An Để phát hiện được ẩn phụ, ta biến đổi phương trình đã cho, để ý rằng: ( x  x 2  1)( x  x 2  1)  1  (9) 1 4 x  x2 1  x  x2  1  2 4 2 Ẩn phụ xuất hiện, đó là: t  x  x  1  1 (do x  1 ) 1 2 t  2 Ta có phương trình ẩn phụ: t  t 3  2t  1  0  (t  1)(t 2  t  1)  0 t  1   1  2 t   2 Thỏa điều kiện t  1 chỉ có t=1 thỏa mãn. Trở về tìm x, giải phương trình: 4 x  x2 1  1  x  x2  1  1 1  x  0   2 2  x 1  1  2x  x  x 1 Nhận xét: Dấu hiệu để giải bài toán chọn ẩn phụ: đối với các bài toán (giải pt hay bpt) mà các biểu thức của nó có thể phân tích thành các nhóm số hạng và giữa chúng có một mối liên hệ cho bởi các hệ thức toán học cho phép biểu diễn chúng qua nhau thì có thể giải bằng cách chọn ẩn phụ. Tuy vậy cũng cần chú ý rằng, có những bài toán khi đã sử dụng cẩn phụ, các biểu thức còn lại trong bài toán đó vẫn càn chứa ẩn ban đầu. Bài 4: Giải phương trình (4 x  1) x 2  1  2 x 2  2 x  1 (10) Hướng dẫn giải: Người viết Nguyễn Bá Vững Trang 6 Phương trình, bất phương trình vô tỷ Trường THPT Trị An 2 Để khử dạng vô tỷ, ta chọn t  x  1  1 Phương trình biến đổi về dạng: (4 x  1) x 2  1  2( x 2  1)  2 x  1  (4 x  1)t  2t 2  2 x  1  2t 2  (4 x  1)t  2 x  1  0 Là pt bậc hai đối với ẩn t mà hệ số vẫn còn chứa x.   (4 x  1) 2  8(2 x  1)  16 x 2  8 x  1  16 x  8  16 x 2  24 x  9  (4 x  3) 2  4x 1 4x  3  2x 1 t  4  t  4 x  1  4 x  3  1  1(loai ) 4 2 Phương trình ẩn t có các nghiệm:  Trở về tìm x, ta giải pt: x2  1  2 x 1 2x 1  0   2 2  x  1  (2 x  1) 1  x    2  3x 2  4 x  0  1   x  2 4    x 3 x  0 x  4  3 Bài 5: Giải bất phương trình: 4( x  1) 2  (2 x  10)(1  3  2 x ) 2 (11) Hướng dẫn giải: 3 x  2 Điều kiện: Để ý mối liên hệ giữa các biểu thức tham gia bài toán, ta phát hiện được: (1  3  2 x ) 2 (1  1  2 x ) 2  1  (3  2 x)  2  4( x  1) 2 Khi đó: Người viết Nguyễn Bá Vững Trang 7 Phương trình, bất phương trình vô tỷ Trường THPT Trị An (11)  (1  3  2 x ) (1  3  2 x )  (2 x  10)(1  3  2 x ) 2 2 2 Khi 1  3  2 x  0  x  1 không thỏa (11) (vì lúc đó (11) có dạng 0<0) 3  x   2   x  1 Khi Ta có:  (1  3  2 x ) 2  2c  10  1  3  2 x  2 3  2 x  2 x  10  3  2x  3  3  2x  9 (11)  x  3 Kết hợp với điều kiện suy ra nghiệm của bpt: -  3  x  1  1  x  3 2 Đặc điểm về dạng của bài toán còn thể hiện ở tính chất “kỳ dị” không mẫu mực, hay tính chất “ngụy trang” của dạng bài toán: Với các bài toán mà dạng của chúng không mẫu mực, không thể dùng các phép biến đổi thông thường (lượng giác hay đại số…) để giải. Người ta phải sử dụng đến công cụ đồ thị để giải hoặc nghiên cứu các tính chất của các biểu thức để đánh giá chúng. Ngoài ra còn tìm cách lột bỏ “ngụy trang” của hình thức bài toán để phát hiện dạng thực của bài toán, khi đó mới định hướng được đường lối đúng đắn. Bài 6: Giải phương trình x  2  4  x  x 2  6 x  11 (12) Hướng dẫn giải: Hiển nhiên không có phép biến đối nào để tìm ra sự liên hệ giữa hai vế với nhau. Bằng cách đánh giá giá trị hai vế của phương trình, ta tìm được giá trị của đối số để giá trị hai vế đồng thời bằng nhau. 2 2 Ta có: x  6 x  11  ( x  3)  2  2 dấu bằng xảy ra khi x=3 Còn: ( x  2  4  x ) 2  (12  12 )  ( x  2)  (4  x)]  ( x  2  4  x)  4  x2  4 x  2 x2 4 x   x3 1 Dấu bằng xảy ra khi: 1 thuộc TXĐ [2;4] của pt. Từ đó suy ra x=3 là nghiệm của pt. Bài 7: Gải phương trình Người viết Nguyễn Bá Vững Trang 8 Phương trình, bất phương trình vô tỷ x3 x  2 x 1  x  2 x 1  2 Trường THPT Trị An (13) Hướng dẫn giải: Chỉ cần để ý rằng: x  2 x  1  x  1  2 x  1.1  12  ( x  1  1) 2 x  2 x  1  x  1  2 x  1.1  12  ( x  1  1) 2 Thì thực chất pt (13) là pt: x 1 1  x 1 1  x3 2 Điều kiện: x  1 Do x  1  1  0x  1  x 1 1  x 1  1  x  1  1khix  2 x 1 1   1  x  1khi1  x  2 Còn: x3  2 x  1  2 khix  2   2  x  3 khi1  x  2  2 Do đó: (13) Giải hai phương trình trên ta được x = 1; x = 5 là nghiệm của pt đã cho. Bài 8: Giải phương trình: x  2  3 2x  5  x  2  2x  5  2 2 (14) Hướng dẫn giải: Các biểu thức dưới dấu căn (căn ngoài) không phải là bình phương đúng. Tuy vậy ta phát hiện được rằng: 1 1 x  2  3 2 x  5  (2 x  4  6 2 x  5  ( 2 x  5  3) 2 2 2 1 1 x  2  2 x  5  (2 x  4  2 2 x  5)  ( 2 x  5  1) 2 2 2 Khi đó: (14)   1 1 ( 2 x  5  3) 2  ( 2 x  5  1) 2  2 2 2 2 2x  5  3  2x  5 1  4 Người viết Nguyễn Bá Vững Trang 9 Phương trình, bất phương trình vô tỷ 5 2 x  5  3  0x   2x  5  3  2x  5  3 2 Vì: Còn Trường THPT Trị An  2 x  1khix  3 2x  5 1   1  2 x  5khi 5  x  3  2 Cho nên:  2 x  5  1khix  3   4  4khi 5  x  3  2 (14) 5 2 x 3 b. Nghiên cứu các điều kiện đặt ra cho các đại lượng có trong bài toán để định hướng đường lối giải: Các đại lượng có trong bài toán trước hết phải kể đến là các đối số, các tham số trong bài toán đại số, số học và lượng giác. Các điều kiện đặt ra cho các đại lượng không thể là ngẫu nhiên, tùy tiện mà chính là sự biểu hiện các mối liên hệ nào đó giữa các yếu tố tạo nên bài toán. ở một số bài toán, có những biểu thức hệ thức nào đó được đưa vào kèm theo một số điều kiện. Khai thác triệt để và đúng hướng các điều kiện đó chắc chắn sẽ dẫn tới việc xác định đúng hướng giải bài toán. Bài 9: Giải bất phương trình: 2 2 (2  x 2  7 x  12)(  1)  ( 14 x  2 x 2  24  2).log x x x (15) Hướng dẫn giải: Ẩn x của bài toán ít nhất phải thỏa mãn điều kiện:  x 2  7 x  12  0  x 2  7 x  12  0 x  3 2   x  7 x  12  0    x  4 2 2 14 x  2 x  24  0  x  7 x  12  0  Vậy ta chỉ cần xét x = 3 và x = 4 1 1 2(  1)  2 log 3  1  1 2 Khi x = 4, bpt (15) trở thành: 2 là bpt đúng. Vậy x = 4 là nghiệm của bpt 2 2 2 4 2(  1)  2log 3    log 3 3 3 9 Khi x = 3, bpt (15) trở thành: 3 Người viết Nguyễn Bá Vững Trang 10 Phương trình, bất phương trình vô tỷ 2    log 3 4  2 3 4 ۳ log 3 4 3 3 ۳ 4 3 3 ۳ 64 81( sai ) Trường THPT Trị An Vậy x = 3 không phải là nghiệm của bpt. Bất phương trình có nghệm duy nhất là x = 4 Bài 10: Giải bất phương trình 2  5 x  3x 2  2 x  2 x.3x 2  5 x  3 x 2  4 x 2 .3x (16) Hướng dẫn giải: Điều kiện: 2  5 x  3x 2  0  2  x  1 3 Ta biến đổi bất phương trình về dạng: (2 x.3x  1)( 2  5 x  3 x 2  2 x)  0 Tuy đã có dạng bất phương trình nhưng nếu cứ giải bài toán một cách chân phương thì cũng không phải là đơn giản. Ta hãy để ý đến các thừa số trong vế trái, có thể nhận thấy ngay rằng: x Khi 2  x  0 thì 3 .2 x  1  0 Khi 0 x 1 3 thì 2  5 x  3x 2  2 x  0 Nhận xét đó dẫn tới việc giải bpt đã ch0 một cách riêng biệt trên 2 bộ phận của TXĐ. - Với 2  x  0 thì (16)   2  5 x  3x 2  2 x  0 2  5 x  3 x 2  2 x  2  5 x  3x 2  4 x 2  7 x2  5x  2 x  0  2  x  0    2  1  x  0  1  x   7 - Với 0 x 1 x 3 khi đó: (16)  2 x .3  1  0  3x  Người viết Nguyễn Bá Vững 1 2x (16’) Trang 11 Phương trình, bất phương trình vô tỷ 1 3 1 0  x 3x 3 3 & 3 2 2x Vì 3 Mà 3 3 2 (Vì 3 Từ đó ta thu được 3 Trường THPT Trị An 3 27  3  24  27 2 8 đúng) 3x  3 3  3 1  2 2x Vậy bpt (16’) đúng với mọi x mà 0 x 1 3 Vậy nghiệm của bpt (16) là mọi x 1  x  0 1   1  x  0  x  1 3 3 Thỏa:  2. Phương pháp 2: Lựa chọn công cụ để giải toán Việc lựa chọn các công cụ khác nhau để giải toán là việc làm cần thiết. Các công cụ được chọn trên cơ sở phân tích các đặc điểm của bài toán đã cho. Những đặc điểm nào thích hợp với loại công cụ nào người giải toán phải làm quen và nắm vững những công cụ chủ yếu thường được sử dụng là đồ thị, tam thức bậc hai, đạo hàm, nguyên hàm, vectơ,…. Bài 11: Giải phương trình: x 1  x  3  x  2 x2  1 (17) Hướng dẫn giải:   Xét các vectơ: a  (x;1); b  ( 1  x ; 3  x ) , điều kiện: 1  x  3     a . b  x. 1  x  3  x ; a  x 2  1, b  2 Khi đó:     a.b  a . b Vậy dưới dạng vectơ, phương trình đã cho có dạng:   Đẳng thức này chỉ xảy ra khi hai vectơ a & b cùng phương Người viết Nguyễn Bá Vững Trang 12 Phương trình, bất phương trình vô tỷ x 1  3 x x x  0   2  x  1  x (3  x) x  0   3 2  x  3x  x  1  0 x  0    2  ( x  1)( x  2 x  1)  0 Trường THPT Trị An  x  0  x  1 x  1 2   x  1; x  1  2 3. Phương pháp 3: Chuyển đổi ẩn số, số phương trình, bậc của ẩn, bậc của phương trình Chúng ta làm quen với phương pháp trên khi giải bài toán lượng giác cũng như đại số bậc cao ta tìm cách hạ thấp bậc bằng cách chuyển phương trình thành phương trình thấp hoặc sử dụng các ẩn phụ. Tuy vậy lại có những bài toán ta lại làm ngược lại, tức chuyển bài toán ít ẩn thành bài toán nhiều ẩn, bài toán vốn bậc thấp thành bài toán bậc cao. Bài 12: Giải các phương trình sau: a ) sin x  2  sin 2 x  sin x. 2  sin 2 x  3 (18) b) 3 x  9  ( x  3)3  6 (19) c) 5 x  1  3 x  5  7 x  4  2 x  2 (20) Hướng dẫn giải: Các phương trình đã cho tuy chỉ có một ẩn, nhưng khó giải vì tính chất phức tạp của chúng. Để bài toán có thể trở thành dễ giải hơn, ta chỉ còn cách phát hiện các ẩn phụ để chuyển việc giải bào toán một phương trình một ẩn khó giải thành hệ các phương trình nhiều ẩn nhưng dễ giải hơn. Điểm mấu chốt trong kỹ thuật (sau khi đã có đường lối) là việc chọn ẩn phụ. a) Chọn: u  sin x; 1  u  1 v  2  sin 2 x ;1  v  2 Từ công thức đặt ẩn phụ ta có phương trình: u2 + v2 = 2 Và từ pt (18) với ẩn phụ u, v có dạng u + v + uv = 3 Vậy ta có hệ pt: u 2  v2  2 u  v  2    u  v 1   u  v  uv  3  u.v  1 Trở về tìm x ta giải hệ pt: Người viết Nguyễn Bá Vững Trang 13 Phương trình, bất phương trình vô tỷ  sin x  1   sin x  1  x   k 2  2 2  2  sin x  1 Trường THPT Trị An b) Chọn: u  3 x 9 v  x3 Từ pt ta có: u = v3 + 6 Từ công thức của u, v ta có: u3 = x – 9 => u3 + 6 = x – 3 = v Vậy ta có hệ pt: 3  u  v  6  3 v  u  6  u  v3  6   3 3 u  v  u  v  u  v3  6   2 2  (u  v)(u  v  uv  1)  0 u  v v 2 3v 2 2 2   (viu  v  uv  1  (u  )   1  0) 3 2 4 u  v  6 u  v   3 u  u  6  0 u  v   2  (u  2)(u  2u  3)  0  u  v  2 Tìm x ta được x=1 c) Đặt u  8 x  1, v  3 x  5 z  7 x  4, t  2 x  2 điều kiện: u,v,z,t  0 Ta được hệ pt: Người viết Nguyễn Bá Vững Trang 14 Phương trình, bất phương trình vô tỷ u  v  z  t  2 2 2 2 u  v  z  t u  v  z  t    (u  v )(u  v )  ( z  t )( z  t ) Trường THPT Trị An u  v  z  t    uz u  v  z  t  8x  1  7 x  4  8x  1  7 x  4  x3 Giá trị x = 3 thõa điều kiên bài toán, => x = 3 là nghiệm của pt PHẦN III: BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1: Giải các phương trình sau: a ) x 2 3x  3  2 x  3 b) x  2 x  5  4 c) 3 x 2  2  x d ) x2  x  x2  x  9  3 e) 3 x  4  x  3  3 f ) 3 x  14  3 77  x  7 g) x  2 x 1  x  2 x 1  1 h) x  8  2 x  7  x  1  x  7  4 Bài 2: Giải các bất phương trình sau: a)  x 2  7 x  6  3  2 x b)  x 2  6 x  5  8  2 x c ) 3 x 2  13 x  4  2  x  0 d ) x2  x  x2  x  9  3  0 e)( x  2) x 2  4  x 2  4 f ) ( x  3)(8  x)  26   x 2  11x g ) x  12  x  3  2x 1 h)(1  1  x )(1  1  x )  2 x Bài 3: Giải các phương trình và bất phương trình sau: Người viết Nguyễn Bá Vững Trang 15 Phương trình, bất phương trình vô tỷ Trường THPT Trị An a ) 5 x 2  14 x  9  x 2  x  20  5 x  1 b) x 2  x  12 x  1  36 c)2( x  x 2  4 x   3)  3( x  1  x  3  2) d) 1 1 9 3 1  cos 4 x  cos 2 x   cos 4 x  cos 2 x  16 2 16 2 2 Người viết Nguyễn Bá Vững Trang 16 Phương trình, bất phương trình vô tỷ Trường THPT Trị An C. KẾT LUẬN Đề tài phương trình, bất phương trình vô tỷ tuy học sinh gặp nhiều nhưng để có một hệ thống các dạng bài tập thì chưa nhiều. Qua đề tài các em học sinh khá giỏi rất hứng thú học tập, tìm tòi nhất là trong khi cả nước thực hiện chung một kỳ thi chung cho tốt nghiệp và đại học cao đẳng. Rất mong sự góp ý của các đồng nghiệp để đề tài đi vào các lớp học, thiết thực giúp học sinh tìm tòi sáng tạo. Xin chân thành cảm ơn. Trị An, tháng 11/2014 Người viết Nguyễn Bá Vững Người viết Nguyễn Bá Vững Trang 17