Skkn phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

  • Số trang: 23 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 30 |
  • Lượt tải: 0
nganguyen

Đã đăng 34173 tài liệu

Mô tả:

Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN ” 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Liên hệ với khái niệm hàm là Tư duy hàm ,một loại hình tư duy được hàng loạt các công trình nghiên cứu đánh giá cao và kiến nghị phải được phát triển mạnh mẽ trong hoạt động giảng dạy các bộ môn trong nhà trường đặc biệt là môn toán .Ngày nay trong chương trình môn toán ở trường phổ thông khái niệm hàm đã ,đang được thể hiện rõ vai trò chủ đạo của mình trong việc ứng dụng và xây dựng các khái niệm khác .Trong các kỳ thi cấp quốc gia ngoài các câu hỏi liên quan trực tiếp đến hàm số ta thường thấy có những câu hỏi mà học sinh thường phải vận dụng tư duy hàm số như là một công cụ đắc lực để giải toán như: Giải phương trình, bất phương trình ,tìm cực trị ,.....Các câu hỏi này cũng thường gây khó khăn cho cả thày và trò trong các giờ lên lớp . Trong các giờ giảng các em thường bị động trong nghe giảng và rất lúng túng vận dụng vào việc giải toán. Nguyên nhân là do các em chưa hiểu được bản chất của vấn đề ,chưa có kỹ năng và kinh nghiệm trong việc vận dụng hàm số vào giải toán ,các em luôn đặt ra câu hỏi “ Tại sao nghĩ và làm được như vậy’’. Để trả lời được câu hỏi đó trong các giờ dạy ,việc bồi dưỡng năng lực tư duy hàm cho học sinh thông qua các bài toán là một điều rất cần thiết .Muốn làm tốt được điều đó người thầy không chỉ có phương pháp truyền thụ tốt mà còn phải có kiến thức vừa chuyên ,vừa sâu,dẫn dắt học sinh tìm hiểu một cách logíc bản chất của toán học.Từ đó giúp các em có sự say mê trong việc học môn Toán-môn học được coi là ông vua của các môn tự nhiên. Khi còn là học sinh, mỗi khi suy tư những bài toán nhỏ ,nhờ sự tư duy của người Thầy giúp tôi có những bài toán mới , lời giải mới .Và giúp tôi có những phân tích hay , sâu sắc trên bục giảng , có thêm kinh nghiệm , sự sáng tạo ,có niềm tin vào chính mình .Vì vậy song song với việc giảng dạy kiến thức cho học sinh trong các giờ lên lớp ,tôi luôn luôn coi việc bồi dưỡng năng lực tư GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số 3 Bảo Thắng- Lào cai Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN duy toán cho học sinh một cách trực tiếp hoặc gián tiếp thông qua giải toán. Đặc biệt là bồi dưỡng năng lực tư duy hàm cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng của việc giảng dạy toán . Qua nhiều năm đứng trên bục giảng, khi dạy tới chuyên đề này, tôi luôn băn khoăn làm thế nào để cho giờ dạy của mình đạt kết quả cao nhất ,các em chủ động trong việc chiếm lĩnh kiến thức .Thầy đóng vai trò là người điều khiến để các em tìm đến đích của lời giải.Chính vì lẽ đó trong hai năm học 2012-2013 và 2013-2014 Tôi đã đầu tư thời gian nghiên cứu Chuyên đề này. Một mặt là giúp học sinh hiểu được bản chất của vấn đề ,các em không còn lúng túng trong việc giải các bài toán liên quan đến hàm số ,hơn nữa tạo ra cho các em hứng thú trong giải toán nói chung và liên quan đến Hàm số nói riêng.Mặt khác sau khi nghiên cứu tôi sẽ có một phương pháp giảng dạy có hiệu quả cao trong các giờ lên lớp,trả lời thoả đáng Câu hỏi “Vì sao nghĩ và làm như vậy”. Viết một cuốn tài liệu rất khó ,để viết cho hay ,cho tâm đắc lại đòi hỏi phải có đẳng cấp thực sự .Cũng may tôi cũng không có tư tưởng lớn của một nhà viết sách,tôi cũng không kỳ vọng ở một điều gì lớn lao vì tôi biết những gì mình có còn rất ít ,khi tôi có ý tưởng viêt ra những điều mà tôi gom nhặt được ,Tôi chỉ mong sao qua từng ngày mình sẽ lĩnh hội được nhiều hơn về toán sơ cấp ...Qua từng tiết học , học trò của tôi ít băn khoăn, ngơ ngác hơn,thay vào đó là sự hưởng ứng ,có niềm tin vào sự logic,chặt chẽ ,sáng taọ của toán học .Khi đó mỗi người thày chúng ta lại có thêm một người bạn chung niềm đam mê trước sự kỳ diệu của toán học mang lại. Mặc dù đã tham khảo một số lượng lớn các tài liệu hiện nay để vừa viết, vừa đi giảng dạy trên lớp để kiểm nghiệm thực tế, song vì năng lực và thời gian có hạn ,rất mong được sự Đóng góp của các bạn đồng nghiệp và những người yêu thích môn toán để đề tài này có ý nghĩa thiết thực hơn trong nhà trường .Góp phần nâng cao hơn nữa chất lượng Giáo dục phổ thông.Giúp các em có phương pháp - kỹ năng khi giải các bài toán liên quan đến hàm số trong các kỳ thi cuối cấp, đồng thời bước đầu trang bị cho các em kiến thức về toán cao cấp ___________________________________________________________________ Trang1 GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số 3 Bảo Thắng- Lào cai Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN trong những năm đầu học đại học. Năm học 2013-2014 Tôi xin giới thiệu đến các bạn đồng nghiệp , học sinh và những người yêu toán đề tài : "Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN ". Tác giả Ngô Quang Nghiệp ___________________________________________________________________ Trang2 GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số 3 Bảo Thắng- Lào cai Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN 2. NỘI DUNG SKKN 2.1Cơ sở lý luận của vấn đề 2.1.1 Bất đẳng thức AM-GM − Nếu x1,x2,x3,…,xn là các số không âm thì: x1  x2  x3  ....  xn n  x1 x2 x3 ....xn n Dấu “=” xảy ra khi: x1  x2  x3  ...  xn . − Chú ý: Các trường hợp riêng của bất đẳng thức AM-GM +) ab  ab , bất đẳng thức này còn được viết dưới dạng khác là: 2 (a  b ) 2  ab  2 2 . ab    ,  a  b   4ab , a  b  2  2  2 2 2 2 2 +) a  b  c  ab  bc  ca a 2  b2  c 2  (a  b  c) 2 3 (a  b  c )2  3(ab  bc  ca ) 2 +) (ab  bc  ca )  3abc(a  b  c ) 1 1 4   (a,b>0) a b ab 1 1 1 9 (a,b,c>0)    a b c abc 2.1.2.Các bất đẳng thức phụ quen thuộc: a3  b3  a 2b  ab2 (với a  b  0 ) 1 1 2 (với a, b  0, ab  1 )   1  a 1  b 1  ab 1 1 a 2  1 1 b 2  a 2 b 2 ( a  b) 2   x y x y 2 1  ab (với 0  ab  1 ) (Với a b  , ( x, y  0) ) x y a 2 b 2 c 2 (a  b  c)2 a b c    (Với   , ( x, y, z  0) ) x y z x y z x yz Chú ý : ___________________________________________________________________ Trang3 GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số 3 Bảo Thắng- Lào cai Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN  f ( x)  M - Hàm số y  f ( x) xác định x  D đạt GTLN tại M  x0  D | f ( x0 )  M  f ( x)  m - Hàm số y  f ( x) xác định x  D đạt GTLN tại m  x0  D | f ( x0 )  m 2.2 Thực trạng của vấn đề. Khi học phần này các em còn rất bị động , ỷ lại trong học tập , ý thức sao chép còn nặng nề ,chưa độc lập trong tư duy .Chưa có kỹ năng trong việc giải toán ,còn rất lúng túng trong việc áp dụng hàm số vào giải Toán .Các em vẫn coi phương pháp sử dụng hàm số vào giải toán còn rất xa lạ.Vì vậy việc hình thành ở học sinh một hướng tư duy mới là một điều khó khăn,bởi các phương pháp cũ đã hình thành và đi sâu vào tư duy của các em. 2.3 Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn . Ví dụ 1:Cho các số thực không âm x, y, z thoả mãn x 2  y 2  z 2  3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A  xy  yz  zx  5 . x yz HƯỚNG DẪN GIẢI : Đặt t  x  y  z  t 2  3  2( xy  yz  zx)  xy  yz  zx  t2 3 . 2 Ta có 0  xy  yz  zx  x 2  y 2  z 2  3 nên 3  t 2  9  3  t  3 vì t  0. Khi đó A  t2 5 3 t2  3 5  . Xét hàm số f (t )    , 3  t  3. 2 t 2 t 2 Ta có f ' (t )  t  f (t )  f (3)  5 t3  5  2  0 vì t  3. Suy ra f (t ) đồng biến trên [ 3, 3] . Do đó t2 t 14 . Dấu đẳng thức xảy ra khi t  3  x  y  z  1. Vậy GTLN của A là 3 14 , đạt được khi x  y  z  1. 3 Ví dụ 2: Cho x  0, y  0 thỏa mãn x  y  1  3xy . Tìm giá trị lớn nhất của M 3x 3y 1 1 1    2 2 y ( x  1) x( y  1) x  y x y ___________________________________________________________________ Trang4 GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số 3 Bảo Thắng- Lào cai Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN HƯỚNG DẪN GIẢI : Theo giả thiết, ta có 3xy  1  x  y  2 xy Đặt t  xy  3t  2 t  1  0  t  1. Ta có  3x 3y 3x 2 ( y  1)  3 y 2 ( x  1) 36t 2  27t  3 .    ...  y ( x  1) x( y  1) xy( xy  x  y  1) 4t 2 1 1 x2  y 2 (3t  1) 2  2t 36t 2  32t  4 ,       x2 y 2 x2 y 2 t2 4t 2 1 1 1 5t  1 1   M   x  y 2 xy 2 4t 2 2 Xét f (t )  3 5t  1 trên [1;+) và suy ra M max   t  1  x  y  1. 2 2 4t Ví dụ 3: (Trích HSG NGHE AN 2011) Cho x, y là các số thực thỏa mãn: log4 (x  2y)  log4 (x  2y)  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  2x  y HƯỚNG DẪN GIẢI :  x  2 y . Suy ra x  2 y  x  0 Ta có : log 4 (x+2y)+log 4 (x-2y)=1 x  2 y Điều kiện :   log 4 (x 2 -4y 2 )=1  x 2 -4y 2 =4  x  4 y 2  4 (do x > 0) Đặt: t  y , t  0 Xét : f (t )  2 4t 2  4  t , Suy ra : 2 x  y  2 4 y  4  y 2 với t  0 . f ' (t )  8t 4t 2  4 1  8t  4t 2  4 4t 2  4 f ' (t )  0  t  1 15 (do t  0 ) Bảng biến thiên: t 1 0 f’(t) + 15 - 0 + + 4 f(t) 15 ___________________________________________________________________ Trang5 GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số 3 Bảo Thắng- Lào cai Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN Từ bảng biến thiên suy ra f (t )  15  P= 2 x  y  15 .Dấu đẳng thức xảy ra x 8 15 ,y  1 15 . Giá trị nhỏ nhất của P= 2x  y là 15 Ví dụ 4: (Trích đề ĐH B2009)Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn (x + y)3 + 4xy ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 3(x4 + y4 + x2y2) – 2(x2 + y2) + 1 HƯỚNG DẪN GIẢI : (x  y)3  4xy  2   (x  y)3  (x  y) 2  2  0  x  y  1  2  (x  y)  4xy  0  x 2  y2  (x  y)2 1 1  dấu “=” xảy ra khi : x  y  2 2 2 (x 2  y 2 ) 2 Ta có : x y  4 2 2 A  3  x 4  y4  x 2 y2   2(x 2  y2 )  1  3 (x 2  y2 )2  x 2 y2   2(x 2  y2 )  1  2 (x 2  y2 )2  9 2 2  3 (x  y )   2(x 2  y 2 )  1  (x 2  y 2 ) 2  2(x 2  y 2 )  1  4 4   Đặt t = x2 + y2 , đk t ≥ 1/2 f (t)  9 2 1 9 1 1 9 t  2t  1, t  f '(t)  t  2  0  t   f (t)  f ( )  4 2 2 2 2 16 Vậy : Amin  9 1 khi x  y  16 2 Ví dụ 5: Cho x , y là các số thực không âm thay đổi và thỏa mãn điều kiện: 4( x 2  y 2  xy )  1  2( x  y) .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P  xy  x  y  x 2  y 2 . HƯỚNG DẪN GIẢI : Từ 4( x 2  y 2  xy )  1  2( x  y)  3( x  y) 2  ( x  y) 2  1  2( x  y) 1  1  2( x  y)  3( x  y) 2    x  y  1 , vì x ; y không âm nên ta có 0  x  y  1 . 3 x y 1 1 2 2   x  y  ( x  y)  x  y  ( x  y) 2 4  2  Ta có : P = xy  x  y  ( x 2  y 2 )   2 ___________________________________________________________________ Trang6 GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số 3 Bảo Thắng- Lào cai Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN x y 2 2 2  và 2( x  y )  ( x  y) ) . Đặt t = x + y ; ta có : 0  t  1 ,  2  (vì xy   2 1 4 và P  f (t )  t  t 2 ; có f ' (t )   max f (t )  f (1)  0;1 1 2 t  t 1 1 t t = .  0 , với t  0;1 . 2 2 t 3 3 1  maxP = , dấu = xảy ra  x = y = 4 4 2 Ví dụ 6: Cho x,y,z là các số thực không âm. Tìm giá trị lớn nhất của P 1 1  x  y  z  1 1  x 1  y 1  z  HƯỚNG DẪN GIẢI : P 1 27 Đặt t = x + y + z, t  0 , xét hàm số  x  y  z  1  x  y  z  3 3 f (t )  1 27 , t 0  1  t  3  t 3 f '(t )   t  0 1 81  , f '(t )  0   4 1  t 3  t  t  3 Lập bảng biến thiên ....... .Ta có MaxP = Max f (t ) = f(3) = 1 . Đạt được khi x = y =1 8 Ví dụ 7: Cho x và y là các số thực thỏa mãn: 1  y 2  x( x  y) . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: P  x6  y 6  1 x3 y  xy 3 HƯỚNG DẪN GIẢI : Từ giả thiết ta có: 1  x2  y 2  xy  2 xy  xy  xy  1. 1  x2  y 2  xy  ( x  y)2  3xy  3xy  xy  1 . 3 ___________________________________________________________________ Trang7 GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số 3 Bảo Thắng- Lào cai Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN Ta có x  y  1  xy nên x6  y 6  ( x 2  y 2 ) ( x 2  y 2 )2  3x 2 y 2  2 2 (1  t ) (1  t ) 2  3t 3   1  1  Đặt t  xy với t    ;1 \ 0 . Khi đó ta được P  t (1  t )  3  Hay P  2t 2  3 = f (t ) t 1  1   3  Hàm số f (t ) trên   ;1 \ 0 Ta có f '(t )  KL: 2t 2  4t  3  1   0 t    ;1 \ 0 2 (t  1)  3  MinP  P(1)  1  t  1  x  y  1 2 1 25 1 1 MaxP  P( )   t    x  y   3 6 3 3 Ví dụ 9: Với mọi số thực x, y thỏa điều kiện 2  x2  y 2   xy  1. Tìm giá trị lớn nhất và 4 4 giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x  y . 2 xy  1 HƯỚNG DẪN GIẢI :   Đặt t  xy . Ta có: xy  1  2  x  y   2 xy  4 xy  xy    2 1 5  1 1 1 2 Và xy  1  2  x  y   2 xy  4 xy  xy  . ĐK:   t  . 3 5 3 x Suy ra : P  Do đó: P '  2  y2  2  2 x2 y 2 2 xy  1  7 t 2  t 2  2t  1  7t 2  2t  1 . 4  2t  1  , P '  0  t  0, t  1(L) 2 1  1 1 2 và P  0   . P   P   4  5  3  15 KL: GTLN là 1 2 và GTNN là 4 15 ___________________________________________________________________ Trang8 GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số 3 Bảo Thắng- Lào cai Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN x Ví dụ 10: Cho x,y  R và x, y > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P  3  y3    x2  y 2  ( x  1)( y  1) HƯỚNG DẪN GIẢI : t2 Đặt t = x + y ; t > 2. Áp dụng BĐT 4xy  (x + y) ta có xy  4 2 P t2 t 3  t 2  xy (3t  2) . Do 3t - 2 > 0 và  xy   nên ta 4 xy  t  1 t 2 (3t  2) t t  t2 4 có P   t2 t2  t 1 4 3 2 Xét hàm số f (t )  t t2 t 2  4t ; f '(t )  ; f’(t) = 0  t = 0 v t = 4. t2 (t  2)2 2 4 f’(t) - + 0 + + + f(t) 8 x  y  4 x  2   xy  4 y  2 Do đó min P = min f (t ) = f(4) = 8 đạt được khi  (2; ) Ví dụ 11: Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a  b  c  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  ab  bc  ca  2abc HƯỚNG DẪN GIẢI : Ta có ab  bc  ca  2abc  a(b  c)  (1  2a)bc  a(1  a)  (1  2a)bc . Đặt t= bc thì ta có 0  t  bc   (1  a)2  (b  c)2 (1  a)2  .Xét hs f(t) = a(1- a) + (1 – 2a)t trên đoạn 0;  4  4 4  Có f(0) = a(1 – a)  (a  1  a) 2 1 7   và 4 4 27 2  (1  a)2  7 1 1  1 7 f  (2a  )  a    với mọi a   0;1   4  27 4 3 3 27     ___________________________________________________________________ Trang9 GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số 3 Bảo Thắng- Lào cai Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN 7 GTNN là đạt được khi a = b = c = 1/3 27 Ví dụ 12: (Trích ĐH A2010) Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1;4] và x  y, x  z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x y z   2x  3y x  y z  x HƯỚNG DẪN GIẢI : P= x y z   2x  3y y  z z  x Lấy đạo hàm theo z ta có : P’ (z) = 0  + Nếu x = y thì P = ( x  y )( z 2  xy ) y x =  ( y  z ) 2 ( z  x) 2 ( y  z ) 2 ( z  x) 2 6 5 + Ta xét x > y thì P  P( xy ) = 2 y x  2x  3y y x Khảo sát hàm P theo z, ta có P nhỏ nhất khi z = xy Đặt t = t2 2 x  P thành f(t) = 2  (t  (1; 2]) 2t  3 1  t y  f’(t) = 2[4t 3 (t  1)  3(2t 2  t  3)] <0 (2t 2  3)2 (t  1)2 Vậy P  f(t)  f(2) = Vậy min P = 34 . Dấu “=” xảy ra khi x = 4, y = 1, z = 2 33 34 .Dấu “=” xảy ra khi x = 4, y = 1, z = 2 33 Ví dụ 13: Cho x, y > 0 và x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  1  1 P=  x 2  2  y2  2 y  x   .  HƯỚNG DẪN GIẢI : Theo BĐT Côsi ta có 0- Xem thêm -