Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
“Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN ”
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Liên hệ với khái niệm hàm là Tư duy hàm ,một loại hình tư duy được
hàng loạt các công trình nghiên cứu đánh giá cao và kiến nghị phải được phát
triển mạnh mẽ trong hoạt động giảng dạy các bộ môn trong nhà trường đặc biệt
là môn toán .Ngày nay trong chương trình môn toán ở trường phổ thông khái
niệm hàm đã ,đang được thể hiện rõ vai trò chủ đạo của mình trong việc ứng
dụng và xây dựng các khái niệm khác .Trong các kỳ thi cấp quốc gia ngoài các
câu hỏi liên quan trực tiếp đến hàm số ta thường thấy có những câu hỏi mà học
sinh thường phải vận dụng tư duy hàm số như là một công cụ đắc lực để giải
toán như: Giải phương trình, bất phương trình ,tìm cực trị ,.....Các câu hỏi này
cũng thường gây khó khăn cho cả thày và trò trong các giờ lên lớp . Trong các
giờ giảng các em thường bị động trong nghe giảng và rất lúng túng vận dụng
vào việc giải toán. Nguyên nhân là do các em chưa hiểu được bản chất của vấn
đề ,chưa có kỹ năng và kinh nghiệm trong việc vận dụng hàm số vào giải toán
,các em luôn đặt ra câu hỏi “ Tại sao nghĩ và làm được như vậy’’. Để trả lời
được câu hỏi đó trong các giờ dạy ,việc bồi dưỡng năng lực tư duy hàm cho học
sinh thông qua các bài toán là một điều rất cần thiết .Muốn làm tốt được điều đó
người thầy không chỉ có phương pháp truyền thụ tốt mà còn phải có kiến thức
vừa chuyên ,vừa sâu,dẫn dắt học sinh tìm hiểu một cách logíc bản chất của toán
học.Từ đó giúp các em có sự say mê trong việc học môn Toán-môn học được
coi là ông vua của các môn tự nhiên.
Khi còn là học sinh, mỗi khi suy tư những bài toán nhỏ ,nhờ sự tư duy
của người Thầy giúp tôi có những bài toán mới , lời giải mới .Và giúp tôi có
những phân tích hay , sâu sắc trên bục giảng , có thêm kinh nghiệm , sự sáng
tạo ,có niềm tin vào chính mình .Vì vậy song song với việc giảng dạy kiến thức
cho học sinh trong các giờ lên lớp ,tôi luôn luôn coi việc bồi dưỡng năng lực tư
GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số 3 Bảo Thắng- Lào cai
Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN
duy toán cho học sinh một cách trực tiếp hoặc gián tiếp thông qua giải toán. Đặc
biệt là bồi dưỡng năng lực tư duy hàm cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng
của việc giảng dạy toán .
Qua nhiều năm đứng trên bục giảng, khi dạy tới chuyên đề này, tôi luôn
băn khoăn làm thế nào để cho giờ dạy của mình đạt kết quả cao nhất ,các em chủ
động trong việc chiếm lĩnh kiến thức .Thầy đóng vai trò là người điều khiến để
các em tìm đến đích của lời giải.Chính vì lẽ đó trong hai năm học 2012-2013 và
2013-2014 Tôi đã đầu tư thời gian nghiên cứu Chuyên đề này. Một mặt là giúp
học sinh hiểu được bản chất của vấn đề ,các em không còn lúng túng trong việc
giải các bài toán liên quan đến hàm số ,hơn nữa tạo ra cho các em hứng thú
trong giải toán nói chung và liên quan đến Hàm số nói riêng.Mặt khác sau khi
nghiên cứu tôi sẽ có một phương pháp giảng dạy có hiệu quả cao trong các giờ
lên lớp,trả lời thoả đáng Câu hỏi “Vì sao nghĩ và làm như vậy”.
Viết một cuốn tài liệu rất khó ,để viết cho hay ,cho tâm đắc lại đòi hỏi
phải có đẳng cấp thực sự .Cũng may tôi cũng không có tư tưởng lớn của một
nhà viết sách,tôi cũng không kỳ vọng ở một điều gì lớn lao vì tôi biết những gì
mình có còn rất ít ,khi tôi có ý tưởng viêt ra những điều mà tôi gom nhặt được
,Tôi chỉ mong sao qua từng ngày mình sẽ lĩnh hội được nhiều hơn về toán sơ
cấp ...Qua từng tiết học , học trò của tôi ít băn khoăn, ngơ ngác hơn,thay vào đó
là sự hưởng ứng ,có niềm tin vào sự logic,chặt chẽ ,sáng taọ của toán học .Khi
đó mỗi người thày chúng ta lại có thêm một người bạn chung niềm đam mê
trước sự kỳ diệu của toán học mang lại.
Mặc dù đã tham khảo một số lượng lớn các tài liệu hiện nay để vừa viết,
vừa đi giảng dạy trên lớp để kiểm nghiệm thực tế, song vì năng lực và thời gian
có hạn ,rất mong được sự Đóng góp của các bạn đồng nghiệp và những người
yêu thích môn toán để đề tài này có ý nghĩa thiết thực hơn trong nhà trường
.Góp phần nâng cao hơn nữa chất lượng Giáo dục phổ thông.Giúp các em có
phương pháp - kỹ năng khi giải các bài toán liên quan đến hàm số trong các kỳ
thi cuối cấp, đồng thời bước đầu trang bị cho các em kiến thức về toán cao cấp
___________________________________________________________________
Trang1
GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số 3 Bảo Thắng- Lào cai
Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN
trong những năm đầu học đại học. Năm học 2013-2014 Tôi xin giới thiệu đến
các bạn đồng nghiệp , học sinh và những người yêu toán đề tài :
"Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN ".
Tác giả
Ngô Quang Nghiệp
___________________________________________________________________
Trang2
GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số 3 Bảo Thắng- Lào cai
Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN
2. NỘI DUNG SKKN
2.1Cơ sở lý luận của vấn đề
2.1.1 Bất đẳng thức AM-GM
− Nếu x1,x2,x3,…,xn là các số không âm thì:
x1 x2 x3 .... xn n
x1 x2 x3 ....xn
n
Dấu “=” xảy ra khi: x1 x2 x3 ... xn .
− Chú ý: Các trường hợp riêng của bất đẳng thức AM-GM
+)
ab
ab , bất đẳng thức này còn được viết dưới dạng khác là:
2
(a b )
2
ab
2
2
.
ab
, a b 4ab , a b
2
2
2
2
2
2
2
+) a b c ab bc ca
a 2 b2 c 2
(a b c) 2
3
(a b c )2 3(ab bc ca )
2
+) (ab bc ca ) 3abc(a b c )
1 1
4
(a,b>0)
a b ab
1 1 1
9
(a,b,c>0)
a b c abc
2.1.2.Các bất đẳng thức phụ quen thuộc:
a3 b3 a 2b ab2 (với a b 0 )
1
1
2
(với a, b 0, ab 1 )
1 a 1 b 1 ab
1
1 a
2
1
1 b
2
a 2 b 2 ( a b) 2
x
y
x y
2
1 ab
(với 0 ab 1 )
(Với
a b
, ( x, y 0) )
x y
a 2 b 2 c 2 (a b c)2
a b c
(Với , ( x, y, z 0) )
x y z
x
y z
x yz
Chú ý :
___________________________________________________________________
Trang3
GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số 3 Bảo Thắng- Lào cai
Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN
f ( x) M
- Hàm số y f ( x) xác định x D đạt GTLN tại M
x0 D | f ( x0 ) M
f ( x) m
- Hàm số y f ( x) xác định x D đạt GTLN tại m
x0 D | f ( x0 ) m
2.2 Thực trạng của vấn đề.
Khi học phần này các em còn rất bị động , ỷ lại trong học tập , ý thức sao
chép còn nặng nề ,chưa độc lập trong tư duy .Chưa có kỹ năng trong việc giải
toán ,còn rất lúng túng trong việc áp dụng hàm số vào giải Toán .Các em
vẫn coi phương pháp sử dụng hàm số vào giải toán còn rất xa lạ.Vì vậy việc
hình thành ở học sinh một hướng tư duy mới là một điều khó khăn,bởi các
phương pháp cũ đã hình thành và đi sâu vào tư duy của các em.
2.3 Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn .
Ví dụ 1:Cho các số thực không âm x, y, z thoả mãn x 2 y 2 z 2 3 . Tìm giá trị
lớn nhất của biểu thức A xy yz zx
5
.
x yz
HƯỚNG DẪN GIẢI :
Đặt t x y z t 2 3 2( xy yz zx) xy yz zx
t2 3
.
2
Ta có 0 xy yz zx x 2 y 2 z 2 3 nên 3 t 2 9 3 t 3 vì t 0.
Khi đó A
t2 5 3
t2 3 5
. Xét hàm số f (t ) , 3 t 3.
2
t
2 t 2
Ta có f ' (t ) t
f (t ) f (3)
5 t3 5
2 0 vì t 3. Suy ra f (t ) đồng biến trên [ 3, 3] . Do đó
t2
t
14
. Dấu đẳng thức xảy ra khi t 3 x y z 1. Vậy GTLN của A là
3
14
, đạt được khi x y z 1.
3
Ví dụ 2: Cho x 0, y 0 thỏa mãn x y 1 3xy . Tìm giá trị lớn nhất của
M
3x
3y
1
1
1
2 2
y ( x 1) x( y 1) x y x
y
___________________________________________________________________
Trang4
GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số 3 Bảo Thắng- Lào cai
Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN
HƯỚNG DẪN GIẢI :
Theo giả thiết, ta có 3xy 1 x y 2 xy
Đặt t xy 3t 2 t 1 0 t 1.
Ta có
3x
3y
3x 2 ( y 1) 3 y 2 ( x 1)
36t 2 27t 3
.
...
y ( x 1) x( y 1)
xy( xy x y 1)
4t 2
1
1
x2 y 2
(3t 1) 2 2t 36t 2 32t 4
,
x2 y 2
x2 y 2
t2
4t 2
1
1
1
5t 1 1
M
x y 2 xy 2
4t 2
2
Xét f (t )
3
5t 1
trên [1;+) và suy ra M max t 1 x y 1.
2
2
4t
Ví dụ 3: (Trích HSG NGHE AN 2011) Cho x, y là các số thực thỏa mãn:
log4 (x 2y) log4 (x 2y) 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 2x y
HƯỚNG DẪN GIẢI :
x 2 y
. Suy ra x 2 y x 0 Ta có : log 4 (x+2y)+log 4 (x-2y)=1
x 2 y
Điều kiện :
log 4 (x 2 -4y 2 )=1 x 2 -4y 2 =4 x 4 y 2 4 (do x > 0)
Đặt: t y , t 0 Xét : f (t ) 2 4t 2 4 t ,
Suy ra : 2 x y 2 4 y 4 y
2
với t 0 . f ' (t )
8t
4t 2 4
1
8t 4t 2 4
4t 2 4
f ' (t ) 0 t
1
15
(do t 0 )
Bảng biến thiên:
t
1
0
f’(t)
+
15
-
0
+
+
4
f(t)
15
___________________________________________________________________
Trang5
GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số 3 Bảo Thắng- Lào cai
Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN
Từ bảng biến thiên suy ra f (t ) 15 P= 2 x y 15 .Dấu đẳng thức xảy ra
x
8
15
,y
1
15
. Giá trị nhỏ nhất của P= 2x y là
15
Ví dụ 4: (Trích đề ĐH B2009)Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn
(x + y)3 + 4xy ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A = 3(x4 + y4 + x2y2) – 2(x2 + y2) + 1
HƯỚNG DẪN GIẢI :
(x y)3 4xy 2
(x y)3 (x y) 2 2 0 x y 1
2
(x y) 4xy 0
x 2 y2
(x y)2 1
1
dấu “=” xảy ra khi : x y
2
2
2
(x 2 y 2 ) 2
Ta có : x y
4
2
2
A 3 x 4 y4 x 2 y2 2(x 2 y2 ) 1 3 (x 2 y2 )2 x 2 y2 2(x 2 y2 ) 1
2
(x 2 y2 )2
9
2 2
3 (x y )
2(x 2 y 2 ) 1 (x 2 y 2 ) 2 2(x 2 y 2 ) 1
4
4
Đặt t = x2 + y2 , đk t ≥ 1/2
f (t)
9 2
1
9
1
1
9
t 2t 1, t f '(t) t 2 0 t f (t) f ( )
4
2
2
2
2 16
Vậy : Amin
9
1
khi x y
16
2
Ví dụ 5: Cho x , y là các số thực không âm thay đổi và thỏa mãn điều kiện:
4( x 2 y 2 xy ) 1 2( x y) .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
P xy x y x 2 y 2 .
HƯỚNG DẪN GIẢI :
Từ 4( x 2 y 2 xy ) 1 2( x y) 3( x y) 2 ( x y) 2 1 2( x y)
1
1 2( x y) 3( x y) 2 x y 1 , vì x ; y không âm nên ta có 0 x y 1 .
3
x y
1
1
2
2
x y ( x y) x y ( x y)
2
4
2
Ta có : P = xy x y ( x 2 y 2 )
2
___________________________________________________________________
Trang6
GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số 3 Bảo Thắng- Lào cai
Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN
x y
2
2
2
và 2( x y ) ( x y) ) . Đặt t = x + y ; ta có : 0 t 1 ,
2
(vì xy
2
1
4
và P f (t ) t t 2 ; có f ' (t )
max f (t ) f (1)
0;1
1
2 t
t 1 1 t t
= .
0 , với t 0;1 .
2 2
t
3
3
1
maxP = , dấu = xảy ra x = y =
4
4
2
Ví dụ 6: Cho x,y,z là các số thực không âm. Tìm giá trị lớn nhất của
P
1
1
x y z 1 1 x 1 y 1 z
HƯỚNG DẪN GIẢI :
P
1
27
Đặt t = x + y + z, t 0 , xét hàm số
x y z 1 x y z 3 3
f (t )
1
27
, t 0
1 t 3 t 3
f '(t )
t 0
1
81
, f '(t ) 0
4
1 t 3 t
t 3
Lập bảng biến thiên .......
.Ta có MaxP = Max f (t ) = f(3) =
1
. Đạt được khi x = y =1
8
Ví dụ 7: Cho x và y là các số thực thỏa mãn: 1 y 2 x( x y) .
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: P
x6 y 6 1
x3 y xy 3
HƯỚNG DẪN GIẢI :
Từ giả thiết ta có:
1 x2 y 2 xy 2 xy xy xy 1.
1 x2 y 2 xy ( x y)2 3xy 3xy xy
1
.
3
___________________________________________________________________
Trang7
GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số 3 Bảo Thắng- Lào cai
Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN
Ta có x y 1 xy nên x6 y 6 ( x 2 y 2 ) ( x 2 y 2 )2 3x 2 y 2
2
2
(1 t ) (1 t ) 2 3t 3 1
1
Đặt t xy với t ;1 \ 0 . Khi đó ta được P
t (1 t )
3
Hay P
2t 2 3
= f (t )
t 1
1
3
Hàm số f (t ) trên ;1 \ 0
Ta có f '(t )
KL:
2t 2 4t 3
1
0 t ;1 \ 0
2
(t 1)
3
MinP P(1)
1
t 1 x y 1
2
1 25
1
1
MaxP P( )
t x y
3
6
3
3
Ví dụ 9: Với mọi số thực x, y thỏa điều kiện 2 x2 y 2 xy 1. Tìm giá trị lớn nhất và
4
4
giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x y .
2 xy 1
HƯỚNG DẪN GIẢI :
Đặt t xy . Ta có: xy 1 2 x y 2 xy 4 xy xy
2
1
5
1
1
1
2
Và xy 1 2 x y 2 xy 4 xy xy . ĐK: t .
3
5
3
x
Suy ra : P
Do đó: P '
2
y2
2
2 x2 y 2
2 xy 1
7 t 2 t
2 2t 1
7t 2 2t 1
.
4 2t 1
, P ' 0 t 0, t 1(L)
2
1
1
1 2
và P 0 .
P P
4
5
3 15
KL: GTLN là
1
2
và GTNN là
4
15
___________________________________________________________________
Trang8
GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số 3 Bảo Thắng- Lào cai
Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN
x
Ví dụ 10: Cho x,y R và x, y > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P
3
y3 x2 y 2
( x 1)( y 1)
HƯỚNG DẪN GIẢI :
t2
Đặt t = x + y ; t > 2. Áp dụng BĐT 4xy (x + y) ta có xy
4
2
P
t2
t 3 t 2 xy (3t 2)
. Do 3t - 2 > 0 và xy nên ta
4
xy t 1
t 2 (3t 2)
t t
t2
4
có P
t2
t2
t 1
4
3
2
Xét hàm số f (t )
t
t2
t 2 4t
; f '(t )
; f’(t) = 0 t = 0 v t = 4.
t2
(t 2)2
2
4
f’(t)
-
+
0
+
+
+
f(t)
8
x y 4
x 2
xy 4
y 2
Do đó min P = min f (t ) = f(4) = 8 đạt được khi
(2; )
Ví dụ 11: Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a b c 1. Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức P ab bc ca 2abc
HƯỚNG DẪN GIẢI :
Ta có ab bc ca 2abc a(b c) (1 2a)bc a(1 a) (1 2a)bc . Đặt t= bc thì ta có
0 t bc
(1 a)2
(b c)2 (1 a)2
.Xét hs f(t) = a(1- a) + (1 – 2a)t trên đoạn 0;
4
4
4
Có f(0) = a(1 – a)
(a 1 a) 2 1 7
và
4
4 27
2
(1 a)2 7 1
1
1
7
f
(2a ) a
với mọi a 0;1
4 27 4
3
3
27
___________________________________________________________________
Trang9
GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số 3 Bảo Thắng- Lào cai
Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN
7
GTNN là
đạt được khi a = b = c = 1/3
27
Ví dụ 12: (Trích ĐH A2010) Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1;4] và
x y, x z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
x
y
z
2x 3y x y z x
HƯỚNG DẪN GIẢI :
P=
x
y
z
2x 3y y z z x
Lấy đạo hàm theo z ta có : P’ (z) = 0
+ Nếu x = y thì P =
( x y )( z 2 xy )
y
x
=
( y z ) 2 ( z x) 2
( y z ) 2 ( z x) 2
6
5
+ Ta xét x > y thì P P( xy ) =
2 y
x
2x 3y
y x
Khảo sát hàm P theo z, ta có P nhỏ nhất khi z =
xy
Đặt t =
t2
2
x
P thành f(t) = 2
(t (1; 2])
2t 3 1 t
y
f’(t) =
2[4t 3 (t 1) 3(2t 2 t 3)]
<0
(2t 2 3)2 (t 1)2
Vậy P f(t) f(2) =
Vậy min P =
34
. Dấu “=” xảy ra khi x = 4, y = 1, z = 2
33
34
.Dấu “=” xảy ra khi x = 4, y = 1, z = 2
33
Ví dụ 13: Cho x, y > 0 và x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
1
P= x 2 2 y2 2
y
x
.
HƯỚNG DẪN GIẢI :
Theo BĐT Côsi ta có 0- Xem thêm -
.PDF 
23 
772 
106 
