Ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y tØ lÖ thøc vµ d·y tØ sè b»ng nhau trong ®¹i sè 7
...................................................................................................................
PhÇn I: më ®Çu
I. Lý do chän ®Ò tµi:
- Trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y bé m«n to¸n t«i thÊy phÇn kiÕn thøc vÒ tû lÖ thøc
vµ d·y tû sè b»ng nhau lµ hÕt søc c¬ b¶n trong ch¬ng tr×nh §¹i sè líp 7. Tõ mét tû lÖ
thøc ta cã thÓ chuyÓn thµnh mét ®¼ng thøc gi÷a 2 tÝch, trong mét tû lÖ thøc nÕu biÕt ®îc 3 sè h¹ng ta cã thÓ tÝnh ®îc sè h¹ng thø t. Trong ch¬ng II, khi häc vÒ ®¹i lîng tû lÖ
thuËn, tû lÖ nghÞch ta thÊy tû lÖ thøc lµ mét ph¬ng tiÖn quan träng gióp ta gi¶i to¸n.
Trong ph©n m«n H×nh häc, ®Ó häc ®îc ®Þnh lý Talet, tam gi¸c ®ång d¹ng (líp 8) th×
kh«ng thÓ thiÕu kiÕn thøc vÒ tû lÖ thøc. MÆt kh¸c khi häc tû lÖ thøc vµ tÝnh chÊt cña
d·y tû sè b»ng nhau cßn rÌn t duy cho häc sinh rÊt tèt gióp c¸c em cã kh¶ n¨ng khai
th¸c bµi to¸n, lËp ra bµi to¸n míi.
Víi nh÷ng lý do trªn ®©y, trong ®Ò tµi nµy t«i ®a ra mét sè d¹ng bµi tËp vÒ tû lÖ
thøc vµ d·y tû sè b»ng nhau trong §¹i sè líp 7.
II. Ph¹m vi nghiªn cøu:
1. Ph¹m vi cña ®Ò tµi:
Ch¬ng I, m«n ®¹i sè líp 7
2. §èi tîng:
Häc sinh líp 7 THCS.
3. Môc ®Ých:
a) KiÕn thøc.
- Häc sinh hiÓu vµ lµm ®îc mét sè d¹ng to¸n vÒ tû lÖ thøc vµ d·y tû sè b»ng
nhau nh: T×m sè h¹ng cha biÕt, chøng minh liªn quan ®Õn tû sè b»ng nhau, to¸n chia
tû lÖ, tr¸nh nh÷ng sai lÇm thêng gÆp trong gi¶i to¸n liªn quan ®Õn d·y tû sè b»ng
nhau.
b) Kü n¨ng:
HS cã kü n¨ng t×m sè h¹ng cha biÕt, chøng minh tû lÖ thøc, gi¶i to¸n chia tû lÖ.
c) Th¸i ®é:
HS cã kh¶ n¨ng t duy, thµnh lËp c¸c bµi to¸n míi, tÝnh cÈn thËn trong tÝnh to¸n.
A.Néi dung
PhÇn II: Néi dung cña ®Ò tµi
I.C¬ së lý luËn khoa häc cña ®Ò tµi
1. §Þnh nghÜa, tÝnh chÊt c¶u tØ lÖ thøc
a) §Þnh nghÜa:
TØ lÖ thøc lµ ®¼ng thøc cña hai tØ sè a c
b d
C¸c sè h¹ng a vµ d gäi lµ ngo¹i tØ, b vµ d gäi lµ trung tØ.
b) TÝnh chÊt
TÝnh chÊt 1( tÝnh chÊt c¬ b¶n)
NÕu
a c
th× ad = bc
b d
tÝnh chÊt 2( tÝnh chÊt ho¸n vÞ)
GV: Ch©u ThÞ LiÔu
1
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 7
Ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y tØ lÖ thøc vµ d·y tØ sè b»ng nhau trong ®¹i sè 7
...................................................................................................................
NÕu ad = bc vµ a, b, c, d kh¸c 0 th× ta cã c¸c tØ lÖ thøc
a c a b d c d b
; ; ;
b d c d b a c a
2) TÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau:
+ tõ tØ lÖ thøc a c ta suy ra a c a c
b
d
b
d
bd
a c
b d
b d
a c
e
+më réng: tõ d·y tØ sè b»ng nhau b d f
a c e
a c e
a c e
ta suy ra b d f b d f b d f ....
( gi¶ thiÕt c¸c tØ sè ®Òu cã nghÜa)
3.Chó ý:
+ Khi cã d·y tØ sè a b c ta nãi c¸c sè a, b, c tØ lÖ víi c¸c sè 2; 3; 5 ta còng viÕt
2 3 5
a:b:c = 2:3:5.
+ V× tØ lÖ thøc lµ mét ®¼ng thøc nªn nã cã tÝnh chÊt cña ®¼ng thøc, tõ tØ lÖ thøc
a c
suy ra
b
d
2
2
a
c
a
c
ka k c
�� �� a c
0 1 2 (k1 , k2 �
0)
� � � � . ; k . k . k � ;
b
d
b
d
k1b k2 d
�� �� b d
tõ
a c
e
b d
f
3
3
3
2
a
c
e
c e a
e
suy ra � � � � � � a � � ; � � c �
�� �� � �
��
b
d
f
b
�� �� � � b d f �� d f
II.§èi tîng phôc vô cña ®Ò tµi
Häc sinh líp 7 trêng THCS Hång Thuû n¨m häc 2010 – 2011
III.Néi dung vµ ph¬ng ph¸p nghiªn cøu
Th«ng qua viÖc gi¶ng d¹y häc sinh t«i xin ®a ra mét sè d¹ng bµi tËp sau:
D¹ng 1. T×m sè h¹ng cha biÕt
1.T×m mét sè h¹ng cha biÕt
a) Ph¬ng ph¸p: ¸p dông tÝnh chÊt c¬ b¶n tØ lÖ thøc
NÕu
a c
b.c
a.d
a.d
� a.d b.c � a
;b
;c
b d
d
c
b
Muèn t×m ngo¹i tØ cha biÕt ta lÊy tÝch cña 2 trung tØ chia cho ngo¹i tØ ®· biÕt,
muèn t×m trung tØ cha biÕt ta lÊy tÝch cña hai ngo¹i tØ chia cho trung tØ ®· biÕt.
b) Bµi tËp:
Bµi tËp 1: t×m x trong tØ lÖ thøc sau ( bµi 46 – SGK 26 b)
- 0,52 : x = - 9,36 : 16,38
� x. 9,36 0.52.16,38
0,52.16,38
�x
0,91
9,36
Häc sinh cã thÓ t×m x b»ng c¸ch xem x lµ sè chia, ta cã thÓ n©ng møc ®é
khã h¬n nh sau :
1
2
3
� �3
1
b) 0, 2 :1
5
3 2
4 5
:
a) � x � 1 :
� �
2
: 6x 7
3
cã thÓ ®a c¸c tØ lÖ thøc trªn vÒ tØ lÖ thøc ®¬n gi¶n h¬n råi t×m x.
Bµi tËp 2: T×m x biÕt ( bµi 69 SBT T 13 – a)
GV: Ch©u ThÞ LiÔu
2
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 7
Ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y tØ lÖ thøc vµ d·y tØ sè b»ng nhau trong ®¹i sè 7
...................................................................................................................
x
60
15
x
x
60
15
x
Gi¶i : tõ � x.x 15 . 60
� x 2 900
� x 2 302
Suy ra x = 30 hoÆc -30
Ta thÊy trong tØ lÖ thøc cã 2 sè h¹ng cha biÕt nhng 2 sè h¹ng ®ã gièng nhau nªn ta ®a
vÒ luü thõa bËc hai cã thÓ n©ng cao b»ng tØ lÖ thøc
x 1 60 x 1
9
;
15 x 1 7
x 1
Bµi tËp 3: T×m x trong tØ lÖ thøc
x3 5
5 x 7
Gi¶i:
C¸ch 1: tõ
x3 5
� x 3 .7 5 x .5
5 x 7
� 7 x 21 25 5 x
� 12 x 46
5
�x3
6
x3 5
x 3 5 x
C¸ch 2: tõ
�
5 x 7
5
7
¸p dông t/c c¬ b¶n cña d·y tØ sè b»ng nhau ta cã
x 3 5 x x 3 5 x 2 1
5
7
57
12 6
x 3 1
�
� 6 x 3 5
5
6
5
5
� x3 � x 3
6
6
Bµi tËp 4: T×m x trong tØ lÖ thøc
x2 x4
x 1 x 7
� x 2 x 7 x 4 x 1
� x 2 7 x 2 x 14 x 2 x 4 x 4
� 5 x 14 3x 4
� 5 x 3x 4 14 � 2 x 10 � x 5
Trong bµi tËp nµy x n»m ë c¶ 4 sè h¹ng cña tØ lÖ thøc vµ hÖ sè ®Òu b»ng 1 do ®ã sau
khi biÕn ®æi th× x2 bÞ triÖt tiªu, cã thÓ lµm bµi tËp trªn b»ng c¸ch ¸p dông tÝnh chÊt cña
d·y tØ sè b»ng nhau
2.T×m nhiÒu sè h¹ng cha biÕt
a)XÐt bµi to¸n c¬ b¶n thêng gÆp sau:
T×m c¸c sè x, y, z tho¶ m·n
x y z
(1) vµ x +y + z =d (2)
a b c
( trong ®ã a, b, c, a+b+c � vµ a, b, c, d lµ c¸c sè cho tríc)
0
C¸ch gi¶i:
GV: Ch©u ThÞ LiÔu
3
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 7
Ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y tØ lÖ thøc vµ d·y tØ sè b»ng nhau trong ®¹i sè 7
...................................................................................................................
x y z
- C¸ch 1: ®Æt a b c k
thay vµo (2)
� x k .a; y k .b; z k .c
Ta cã k.a + k.b + k.c = d
d
abc
a.d
bd
cd
Tõ ®ã t×m ®îc x
;y
;z
a bc
abc
abc
� k a b c d � k
- C¸ch 2: ¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau ta cã
x y z x yz
d
a b c abc abc
a.d
b.d
c.d
�x
;y
;z
abc
abc
abc
b).Híng khai th¸c tõ bµi trªn nh sau.
+Gi÷ nguyªn ®iÒu kiÖn (1) thay ®æi ®k (2) nh sau:
* k1 x k2 y k3 z e
* k1 x 2 k2 y 2 k3 z 2 f
*x.y.z = g
+Gi÷ nguyªn ®iÒu kiÖn (2) thay ®æi ®k (1) nh sau:
x
y
y
z
- a1 a2 ; a3 a4
- a2 x a1 y; a4 y a3 z
- b1 x b2 y b3 z
b1 x b3 z b2 y b1 x b3 z b2 y
a
b
c
z3 b3
x b1 y2 b2
a1
a2
a3
-
+Thay ®æi c¶ hai ®iÒu kiÖn
c).Bµi tËp
Bµi tËp 1: t×m 3 sè x, y, z biÕt
Gi¶i: C¸ch 1.
x y z
vµ x +y + z = 27
2 3 4
x y z
k � x 2k , y 3k , z 4k
2 3 4
Tõ x + y + z = 27 ta suy ra 2k 3k 4k 27 � 9k 27 � k 3
§Æt
Khi ®ã x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 12
VËy x = 6; y = 9; z = 12.
- C¸ch 2. ¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau ta cã.
x y z x y z 27
3
2 3 4 23 4 9
� x 2.3 6; y 3.3 9; z 4.3 12
Tõ bµi tËp trªn ta cã thÓ thµnh lËp c¸c bµi to¸n sau:
Bµi tËp 2: T×m 3 sè x,y,z biÕt
Gi¶i:
- C¸ch 1: §Æt
GV: Ch©u ThÞ LiÔu
x y z
vµ 2x + 3y – 5z = -21
2 3 4
x y z
=k
2 3 4
4
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 7
Ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y tØ lÖ thøc vµ d·y tØ sè b»ng nhau trong ®¹i sè 7
...................................................................................................................
- C¸ch 2: Tõ
x y z
2 x 3 y 5z
suy ra
2 3 4
4
9 20
¸p dông t/c cña d·y tØ sè b»ng nhau ta cã:
2 x 3 y 5 z 2 x 3 y 5 z 21
3
4
9 20
4 9 20
7
� x 6; y 9; z 12
x y z
Bµi tËp 3: T×m 3 sè x, y, z biÕt vµ 2 x 2 3 y 2 5 z 2 405
2 3 4
Gi¶i:
x y z
=k
2 3 4
x y z
C¸ch 2: tõ
2 3 4
- C¸ch 1: §Æt
-
suy ra
x2 y 2 z 2
4
9 16
2 x2 3 y 2 5z 2
�
8
27
90
¸p dông t/c d·y tØ sè b»ng nhau ta cã:
2 x 2 3 y 2 5 z 2 2 x 2 3 y 2 5 z 2 405
9
8
27
90
8 27 90
45
Suy ra
x2
9 � x 2 36 � x �
6
42
y
9 � y 2 81 � y �
9
9
z2
9 � z 2 144 � z �
12
16
VËy x= 6; y = 9; z = 12 hoÆc x = -6; y = -9; z = -12.
Bµi tËp 4: T×m 3 sè x, y, z biÕt
Gi¶i:
x y z
vµ x.y.z = 648
2 3 4
x y z
=k
2 3 4
x y z
C¸ch 2: Tõ
2 3 4
3
x
� � x y z xyz 648
� � � � �
27
2
24
� � 2 3 4 24
x3
� 27 � x 3 216 � x 6
8
- C¸ch 1: §Æt
-
Tõ ®ã t×m ®îc y = 9; z = 12.
x
6
x y
x
Gi¶i: tõ 6 9 � 2
Bµi tËp 5. T×m x,y, z biÕt
GV: Ch©u ThÞ LiÔu
y
z
; x vµ x +y +z = 27
9
2
y
3
5
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 7
Ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y tØ lÖ thøc vµ d·y tØ sè b»ng nhau trong ®¹i sè 7
...................................................................................................................
z
2
x y z
2 3 4
x
2
Tõ x �
Suy ra
z
4
Sau ®ã ta gi¶i tiÕp nh bµi tËp 1.
Bµi tËp 6. T×m x, y, z biÕt 3x = 2y; 4x = 2z vµ x + y+ z = 27
x y
2 3
x z
Tõ 4 x 2 z �
2 4
x y z
Suy ra
sau ®ã gi¶i nh bµi tËp 1
2 3 4
Gi¶i: Tõ 3x 2 y �
Bµi tËp 7: T×m x, y, z biÕt 6x = 4y = 3z vµ 2x + 3y – 5z = -21
Gi¶i: tõ 6x = 4y = 3z �
6 x 4 y 3z
x y z
�
12 12 12
2 3 4
Sau ®ã gi¶i tiÕp nh bµi tËp 2
Bµi tËp 8: T×m x, y, z biÕt
6 x 3z 4 y 6 x 3z 4 y
vµ 2x +3y -5z = -21
5
7
9
Gi¶i:¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau ta cã
6 x 3z 4 y 3 z 3 z 6 x 6 x 3 z 4 y 3 z 3 z 6 x
0
5
7
9
5 7 9
� 6 x 3z; 4 y 3 z;3 z 6 x
Hay 6x = 4y = 3z sau ®ã gi¶i tiÕp nh bµi tËp 6
Bµi tËp 9: T×m x,y,z biÕt
x 4 y 6 z 8
vµ x +y +z =27
2
3
4
Gi¶i:
- C¸ch 1: §Æt
x 4 y 6 z 8
=k
2
3
4
- C¸ch 2: ¸p dông t/c cña d·y tØ sè b»ng nhau ta cã
x 4 y 6 z 8
2
3
4
x 4 y 6 z 8 x y z 18 27 18
1
23 4
9
9
x4
1� x 6
2
y 6
1� y 9
3
z 8
1 � z 12
4
�
VËy x = 6; y= 9; z = 12
D¹ng 2 :Chøng minh liªn quan ®Õn d·y tØ sè b»ng nhau
1)C¸c ph¬ng ph¸p :
a
b
§Ó Chøng minh tû lÖ thøc :
c
Ta cã c¸c ph¬ng ph¸p sau :
d
Ph¬ng ph¸p 1 : Chøng tá r»ng : ad= bc .
GV: Ch©u ThÞ LiÔu
6
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 7
Ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y tØ lÖ thøc vµ d·y tØ sè b»ng nhau trong ®¹i sè 7
...................................................................................................................
Ph¬ng Ph¸p 2 : Chøng tá 2 tû sè
a c
; cã cïng mét gi¸ trÞ nÕu trong ®Ò bµi ®· cho trb d
íc mét tû lÖ thøc ta ®Æt gi¸ trÞ chung cña c¸c tû sè tû lÖ thøc ®· cho lµ k tõ ®ã tÝnh gi¸
trÞ cña mçi tû sè ë tØ lÖ thøc ph¶i chøng minh theo k.
Ph¬ng ph¸p 3: Dïng t/c ho¸n vÞ , t/c cña d·y tû sè b»ng nhau, t/c cña ®¼ng thøc biÕn
®æi tû sè ë vÕ tr¸i ( cña tØ lÖ thøc cÇn chøng minh ) thµnh vÕ ph¶i.
Ph¬ng ph¸p 4: dïng t/c ho¸n vÞ, t/c cña d·y tû sè b»ng nhau, t/c cña ®¼ng thøc ®Ó tõ
tû lÖ thøc ®· cho biÕn ®æi dÇn thµnh tû lÖ thøc ph¶i chøng minh.
2) Bµi tËp:
Bµi tËp 1
a
b
( Bµi 73 SGK T14 ) cho a, b, c, d kh¸c 0 tõ tû lÖ thøc:
a b cd
.
a
c
c
h·y suy ra tû lÖ thøc:
d
Gi¶i:
a b c ac bc(1)
C¸ch 1: XÐt tÝch a c d ac ad (2)
Tõ
a c
� ad bc(3)
b d
Tõ (1), (2), (3) suy ra (a-b)c= a(c- d) suy ra
- C¸ch 2: §Æt
Ta cã:
a b cd
a
c
a c
k � a bk , c dk
b d
a b bk b b k 1 k 1
(1), (b �
0)
a
bk
bk
k
c d dk d d k 1 k 1
(2), (d �
0)
c
dk
dk
k
a b c d
a
c
a c
b d
- C¸ch 3: tõ �
b d
a c
a b a b
b
d cd
Ta cã: a a a 1 a 1 c c
Tõ (1) vµ (2) suy ra:
Do ®ã:
a b c d
a
c
- C¸ch 4:
Tõ
a c
a b a b
�
b d
c d cd
�
a a b
ab cd
�
c cd
a
c
- C¸ch 5: tõ
GV: Ch©u ThÞ LiÔu
7
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 7
Ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y tØ lÖ thøc vµ d·y tØ sè b»ng nhau trong ®¹i sè 7
...................................................................................................................
a c
b d
b
d
� �1 1
b d
a c
a
c
a b c d
�
a
c
B»ng c¸ch chøng minh t¬ng tù tõ tØ lÖ thøc
a c
ta cã thÓ suy ra c¸c tØ lÖ thøc sau:
b d
a � c� a b cd
b
d
;
b
d
a
c (TÝnh chÊt nµy gäi lµ t/c tæng hoÆc hiÖu tØ lÖ)
Bµi tËp 2: chøng minh r»ng nÕu a 2 bc th×
2
2
a) a b c a ; b) a2 c 2 c , (b �
0)
a b c a
b
c
(víi a � , a � )
b a
b
Lêi gi¶i:
a) - C¸ch 1: XÐt tÝch chÐo
a
b
- C¸ch 2: tõ a 2 bc �
§Æt
c
a
a c
k � a bk , c ak
b a
Ta cã:
a b bk b b k 1 k 1
, b � (1)
0
a b bk b b k 1 k 1
c a ak a a k 1 k 1
a �0 , (2)
c a ak a a k 1 k 1
Tõ (1) vµ (2) suy ra:
- C¸ch 3: Ta cã
ab ca
a b c a
a b a a b a 2 ab bc ab
do, a 2 bc
a b a a b a 2 ab bc ab
b c a c a
a, b �0
b c a c a
ab ca
a b c b
ab ca
Ngîc l¹i tõ
ta còng suy ra ®îc a2 = bc
a b c b
ab ca
Tõ ®ã ta cã bµi to¸n cho
chøng minh r»ng nÕu 3 sè a, b, c ®Òu kh¸c 0 th×
a b c b
Do ®ã:
tõ 3 sè a, b, c cã 1 sè ®îc dïng 2 lÇn, cã thÓ lËp thµnh 1 tØ lÖ thøc .
- C¸ch 4: Tõ a2 = bc
a c
a b a b a b
�
b a
c a ca ca
�
ab ca
ab ca
b)
- C¸ch 1: xÐt tÝch chÐo ( a2 + c2)b = a2b + c2b = bc.b + c2b = bc (b +c)
GV: Ch©u ThÞ LiÔu
8
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 7
Ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y tØ lÖ thøc vµ d·y tØ sè b»ng nhau trong ®¹i sè 7
...................................................................................................................
= (b2 + a2)c = b2c + a2c = b2c + bc.c= bc ( b+c)
a2 c2 c
Do ®ã (a2 + c2)b = ( b2+ a2)c � b 2 a 2 b
a
b
- C¸ch 2: Tõ a2 = bc �
§Æt
c
a
a c
k suy ra a = bk, c = ak = bk2
b a
Ta cã
2 2
2
a 2 c2 b2k 2 b2k 4 b k 1 k
2
2
k2, b �
0
2
2
2 2
2
b a
b b k
b 1 k
c k 2b
k2
b
b
a2 c2 c
Do ®ã: b2 a 2 b
2
2
2
2
a c � a c a c (1)
- C¸ch 3: tõ a = bc �
b2 a 2 b2 a 2
b a
2
2
c
Tõ a c � a 2 a � c (2), (a �
0)
b
a
b
b a
b
a c2 c
Tõ (1) vµ (2) suy ra: b2 a 2 b
2
a 2 c 2 bc c 2 c b c c
0
- C¸ch 4: Ta cã b2 a 2 b2 bc b b c b , b c �
a2 c2 c
Do ®ã: b2 a 2 b
Bµi tËp 3: Cho 4 sè kh¸c 0 lµ a1 , a2 , a3 , a4 tho¶ m·n a2 2 a1a3 ; a33 a2 a4 chøng tá
a13 a23 a33 a1
a23 a33 a43 a4
Gi¶i: Tõ
a1 a2
(1)
a2 a3
a
a
a33 a2 a4 � 2 3 (2)
a3 a4
a2 2 a1a3 �
a1 a2 a3
a3 a 3 a 3 a a a
a
� 13 23 3 1 �2 �3 1 (3)
3
Tõ (1) vµ (2) suy ra a a a
a2
a3
a 4 a2 a3 a4 a4
2
3
4
¸p dông t/c cña d·y tØ sè b»ng nhau ta cã:
a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 33
(4)
a 3 2 a 33 a 3 4 a 3 2 a 3 3 a 3 4
GV: Ch©u ThÞ LiÔu
9
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 7
Ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y tØ lÖ thøc vµ d·y tØ sè b»ng nhau trong ®¹i sè 7
...................................................................................................................
a 31 a 32 a 33 a1
Tõ (3) vµ (4) suy ra: a3 a3 a3 a
2
3
4
4
Ta còng cã thÓ chuyÓn bµi tËp 3 thµnh bµi tËp sau:
3
a
a
a
�
�
a
Cho 1 2 4 chøng minh r»ng � 1 a2 a3 � a1
a2 a3 a4
a
� 2 a3 a4 � a4
bz cy cx az ay bx
Bµi tËp 4: BiÕt
a
b
c
x y z
Chøng minh r»ng
a b c
bz cy cx az ay bx abz acy bcx baz cay cbx
Gi¶i: Ta cã
a
b
c
a2
b2
c2
abz acy bcx bay cay cbx
0
a2 b2 c2
abz acy
y z
�
0 � abz acy � bz cy � (1)
2
a
b c
bcx baz
z x
0 � bcx baz � cx az � (2)
2
b
c a
x y z
Tõ (1) vµ (2) suy ra:
a b c
Bµi tËp 5:Cho
x
y
z
.Chøng
a 2b c 2a b c 4a 4b c
a
b
c
x 2 y z 2x y z 4x 4 y z
minh r»ng
(víi abc 0 vµ c¸c mÉu ®Òu kh¸c 0)
Lêi gi¶i:
¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau ta cã :
x
y
z
2y
x 2y z
x 2y z
(1)
a 2b c 2a b c 4a 4b c 4a 2b 2c a 2b c 4a 4b c 4a 2b 2c
9a
x
y
z
2x
2x y b
2x y z
( 2)
a 2b c 2a b c 4a 4b c 2a 4b c 2a 4b c 2a b c (4a 4b c)
9b
x
y
z
4x
4y
a 2b c 2a b c 4a 4b c 4a 8b 4c 8a 4b 4c
4x 4 y z
4x 4 y z
(3)
4a 8b 4c (8a 4b 4c) 4a 4b c
9c
Tõ (1),(2),(3) suy ra x 2 y z 2 x y z 4 x 4 y b suy ra
9a
9b
9c
a
b
c
x 2 y z 2x y z 4x 4 y z
D¹ng 3: To¸n chia tØ lÖ
1.Ph¬ng ph¸p gi¶i
Bíc 1:Dïng c¸c ch÷ c¸i ®Ó biÓu diÔn c¸c ®¹i lîng cha biÕt
Bíc 2:Thµnh lËp d·y tØ sè b»ng nhau vµ c¸c ®iÒu kiÖn
Bíc 3:T×m c¸c sè h¹ng cha biÕt
Bíc 4:KÕt luËn.
2.Bµi tËp
Bµi tËp 1:(Bµi 76 SBT-T14):TÝnh ®é dµi c¸c c¹nh mét tam gi¸c biÕt chu vi lµ
22 cm
vµ c¸c c¹nh cña tam gi¸c tØ lÖ víi c¸c sè 2;4;5
Lêi gi¶i:
Gäi ®é dµi 3 c¹nh cña tam gi¸c lµ a,b,c (cm,a,b,c 0 )
GV: Ch©u ThÞ LiÔu
10
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 7
Ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y tØ lÖ thøc vµ d·y tØ sè b»ng nhau trong ®¹i sè 7
...................................................................................................................
V× chu vi cña tam gi¸c b»ng 22 nªn ta cã a+b+c=22
V× c¸c c¹nh cña tam gi¸c tØ lÖ víi 2;4;5 nªn ta cã a b c
2 4 5
¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ,ta cã
Suy ra
a b c a b c 22
2
2 4 5 2 4 5 11
a
2 a 4
2
b
2 b 4
4
c
2 c 10
5
Thö l¹i c¸c gi¸ trªn ta thÊy tho¶ m·n
VËy ®é dµi ba c¹nh cña tam gi¸c ®ã lµ 4cm,8cm,10cm
Cã thÓ thay ®iÒu kiÖn ( 2) nh sau : biÕt hiÖu gi÷a c¹nh lín nhÊt vµ c¹nh nhá
nhÊt b»ng 3.Khi ®ã ta cã ®îc
c-a=3
Bµi tËp 2:
Ba líp 7A,7B,7C cïng tham gia lao ®éng trång c©y ,sè c©y mçi líp trång ®îc tØ
lÖ víi c¸c sè 2;4;5 vµ 2 lÇn sè c©y cña líp 7A céng víi 4 lÇn sè c©y cña líp 7B th× h¬n
sè c©y cña líp 7C lµ 119 c©y.TÝnh sè c©y mçi líp trång ®îc .
Lêi gi¶i:
Gäi sè c©y trång ®îc cña líp 7A,7B,7C lÇn lît lµ a,b,c (c©y, a,b,c nguyªn d¬ng)
Theo bµi ra ta cã a b c 2a 4b c 2a 4b c 119 7
2 4 5
6
16 5
6 16 5
17
Suy ra
a
7 a 21
3
b
7 b 28
4
c
7 c 35
5
Thö l¹i c¸c gi¸ trªn ta thÊy tho¶ m·n
VËy sè c©y trång ®îc cña 3 líp 7A,7B,7C lÇn lît lµ 21c©y,28c©y,35c©y
Bµi tËp 3:Tæng c¸c luü thõa bËc ba cña 3 sè lµ -1009.BiÕt tØ sè gi÷a sè thø nhÊt vµ sè
thø hai lµ 2 ,gi÷a sè thø hai vµ sè thø 3 lµ 4 .T×m ba sè ®ã.
3
9
Gäi 3 sè ph¶i t×m lµ a,b,c
Theo bµi ra ta cã
a 2 a 4
; vµ a 3 b3 c 3 1009
b 3 c 9
Gi¶i tiÕp ta ®îc a=-4 , b=-6, c=- 9
Bµi tËp 4: Ba kho thãc cã tÊt c¶ 710 tÊn thãc, sau khi chuyÓn ®i 1 sè thãc ë kho I, 1
5
sè thãc ë kho II vµ
6
1
sè thãc ë kho III th× sè thãc cßn l¹i cña 3 kho b»ng nhau .Hái
11
lóc ®Çu mçi kho cã bao nhiªu tÊn thãc
Lêi gi¶i:
Gäi sè thãc cña 3 kho I,II,III lóc ®Çu lÇn lît lµ a,b,c (tÊn, a,b,c>0)
1
5
4
5
Sè thãc cña kho I sau khi chuyÓn lµ a a a
GV: Ch©u ThÞ LiÔu
11
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 7
Ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y tØ lÖ thøc vµ d·y tØ sè b»ng nhau trong ®¹i sè 7
...................................................................................................................
1
6
5
6
Sè thãc cña kho II sau khi chuyÓn lµ b b b
Sè thãc cña kho III sau khi chuyÓn lµ c
1
10
c c
11
11
4
5
10
a b c vµ a+b+c=710
5
6
11
4
5
10
4
5
10
tõ a b c �
a
b
5
6
11
5.20
6.20
11.20c
a
b
c
a b c
710
�
10
25 24 22 25 24 22 71
theo bµi ra ta cã
Suy ra a=25.10=250; b=24.10=240 ; c=22.10=220.
Thö l¹i c¸c gi¸ trªn ta thÊy tho¶ m·n
VËy sè thãc lóc ®Çu cña cña kho I,II,III lÇn lît lµ 250tÊn , 240 tÊn, 220 tÊn.
Bµi tËp 3: Trong mét ®ît lao ®éng ba khèi 7,8,9 chuyÓn ®îc 912 m3
®Êt , trung b×nh mçi häc sinh khèi 7,8,9theo thø tù lµm ®îc 1, 2m3 ;1, 4m3 ;1, 6m3
Sè häc sinh khèi 7 vµ khèi 8 tØ lÖ víi 1 vµ 3 ; sè häc sinh khèi 8 vµ khè 9 tØ lÖ víi 4 vµ
5 . TÝnh sè häc sinh cña mçi khèi .
Lêi gi¶i:
Gäi sè häc sinh cña khèi 7,8,9 lÇn lît lµ a,b,c(h/s)(a,b,c lµ sè nguyªn d¬ng)
Sè ®Êt khèi 7 chuyÓn ®îc lµ 1,2a
Sè ®Êt khèi 8 chuyÓn ®îc lµ 1,4b
Sè ®Êt khèi 9 chuyÓn ®îc lµ 1,6c
Theo bµi rat a cã
a b b c
;
1 3 4 5
Vµ 1,2a +1,4b + 1,6c = 912 gi¶i ra ta ®îc a= 80, b= 240, c= 300
Thö l¹i c¸c gi¸ trªn ta thÊy tho¶ m·n
VËy sè häc sinh cña khèi 7,8,9 lÇn lît lµ 80 h/s,240h/s,300h/s
D¹ng 4:Mét sè sai lÇm thêng gÆp trong gi¶i to¸n liªn quan ®Õn tû sè b»ng nhau
1)
Sai lÇm khi ¸p dông t¬ng tù
x y x. y
x y z x. y.z
hay
a b a.b
a b c a.b.c
H/s ¸p dông
Bµi tËp 1: (Bµi 62 – SGKT31) t×m 2 sè x,y biÕt r»ng
H/s sai lÇm nh sau :
x y
vµ x.y=10
2 5
x y x. y 10
1 suy ra x=2,y=5
2 5 2.5 10
Bµi lµm ®óng nh sau:
2
5
Tõ x y � x.x x. y � x 10 � x 2 4 � x � tõ ®ã suy ra y �
2
2
5
2
5
2
5
vËy x= 2,y= 5 hoÆc x=-2, y= -5
2
2
hoÆc tõ x y � x x . y � x 10 1 � x 2 4 � x 2 �
2
2
hoÆc ®Æt
5
4
2 5
4
10
x y
x � x 2 x, y 5 x v× xy=10 nªn 2x.5x=10 � x 2 1 � x �
1
2 5
Bµi tËp 2: T×m c¸c sè x,y,z biÕt r»ng
x y z
vµ x.y.z= 648
2 3 4
H/s sai lÇm nh sau
x y z x. y.z 648
27
2 3 4 2.3.4 24
GV: Ch©u ThÞ LiÔu
12
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 7
Ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y tØ lÖ thøc vµ d·y tØ sè b»ng nhau trong ®¹i sè 7
...................................................................................................................
Suy ra a=54, b= 81, c= 108 bµi lµm ®óng nh bµi tËp 4 d¹ng 1
2)Sai lÇm khi bá qua ®iÒu kiÖn kh¸c 0
Khi rót gän h/s thêng bá qua ®iÒu kiÖn sè chia kh¸c 0 dÉn ®Õn thiÕu gi¸ trÞ cÇn
t×m
Bµi tËp 3: Cho 3 tØ sè b»ng nhau lµ
T×m gi¸ trÞ cña mçi tû sè ®ã
C¸ch 1:Ta cã
a
b
c
.
bc ca ab
a
b
c
bc ca a b
¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau ta cã
a
b
c
a b c
a b c
b c c a a b b c c a a b 2 a b c
h/s thêng bá quªn ®k a+b+c=0 mµ rót gän lu«n b»ng
+ NÕu a+b+c=0 th× b+c=-a; c+a= -b; a+b= -c
1
ta ph¶i lµm nh sau
2
a
b
c
®Òu b»ng -1
;
;
bc ca ab
a
b
c
a bc
1
+ NÕu a+b+c � khi ®ã
0
b c c a a b 2 a b c 2
nªn mçi tØ sè
C¸ch 2: Céng mçi tØ sè trªn víi 1
x y y z z t t x
z t t x x y z y
x
y
z
t
(1)
TÝnh gi¸ trÞ cña P biÕt r»ng
y z t z t x t x y x y z
Bµi tËp 4: Cho biÓu thøc P
Lêi gi¶i:
C¸ch 1: ¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau ,ta cã
x
y
z
t
x y z t
y z t z t x t x y x y z 3( x y z t )
x
y
z
t
1
1
1
1
C¸ch 2:Tõ (1) suy ra
x z t
z t x
t x y
x yz
�
x y z t x y z t x y z t x y z t
y z t
z t x
x y t
xyz
ë c¸ch 1 häc sinh m¾c sai lÇm nh bµi tËp 3
ë c¸ch 2 häc sinh m¾c sai lÇm suy ra lu«n y+z+t=z+t+x=x+y+t=x+y+z
Ph¶i lµm ®óng nh sau :
NÕu x+y+z+t � suy ra y+z+t=z+t+x =x+y+t=x+y+z suy ra x=y=z=t suy ra P=4
0
NÕu x+y+z+t =0 � x+y=-(z+t);y+z=-(t+x).Khi ®ã P=-4
ë bµi 3 vµ bµi 4 ®Òu cã hai c¸ch nh nhau .Nhng ë bµi tËp 3 nªn dïng c¸ch 1,bµi tËp 4
nªn dïng c¸ch 2
Bµi tËp t¬ng tù :
abc bca ca b
c
a
b
b � a � c
1
.H·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc B � �1 �1 �
� �
� �
� �
� a� c � b�
�
�
2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d
2)Cho d·y tØ sè b»ng nhau :
a
b
c
d
1)Cho a,b,c lµ ba sè kh¸c 0 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn
GV: Ch©u ThÞ LiÔu
13
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 7
Ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y tØ lÖ thøc vµ d·y tØ sè b»ng nhau trong ®¹i sè 7
...................................................................................................................
T×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc M biÕt : M
ab bc cd d a
cd d a ab bc
CÇn lu ý r»ng trong mét d·y tØ sè b»ng nhau nÕu c¸c sè h¹ng trªn b»ng nhau (nhng
kh¸c 0) th× c¸c sè h¹ng díi b»ng nhau vµ ngîc l¹i , nÕu c¸c sè h¹ng díi b»ng nhau th×
c¸c sè h¹ng trªn b»ng nhau.
Bµi tËp 5(trÝch ®Ò thi gi¸o viªn giái 2004-2005) Mét häc sinh líp 7 tr×nh bµy lê gi¶i
bµi to¸n “ T×m x.ybiÕt:
2x 1 3y 2 2x 3y 1
” Nh sau:
5
7
6x
2 x 1 3 y 2 2x 3y 1
Ta cã:
(1)
5
7
6x
2 x 1 3 y 2 2x 3 y 1
Tõ hai tû sè ®Çu ta cã:
(2)
5
7
12
2x 3 y 1 2x 3 y 1
Tõ (1) vµ (2) ta suy ra
(3)
6x
12
� 6x = 12 � x = 2
Thay x = 2 vµo 2 tû sè ®Çu ta ®îc y = 3
Thö l¹i thÊy tho¶ m·n . VËy x = 2 vµ y = 3 lµ c¸c gi¸ trÞ cÇn t×m
§ång chÝ h·y nhËn xÐt lêi gi¶i cña häc sinh trªn
Lêi gi¶i :Häc sinh trªn sai nh sau
Tõ (3) ph¶i xÐt hai trêng hîp
0
TH 1 : 2x+3y-1 � .Khi ®ã ta míi suy ra 6x=12.Tõ ®ã gi¶i tiÕp nh trªn
TH2 :2x+3y-1=0.Suy ra 2x=1-3y,thay vµo hai tØ sè ®Çu, ta cã
1 3y 1 1 3 y 1 3y 2
0
5
57
2
1
Suy ra 2-3y =3y-2 =0 � y .Tõ ®ã t×m tiÕp x
3
2
Bµi tËp 6: T×m x,y biÕt :
1 2 y 1 4 y 1 6 y
(1)
18
24
6x
Gi¶i t¬ng tù nh bµi tËp 5 nhng bµi nµy chØ cã mét trêng hîp
3.Sai lÇm khi xÐt luü thõa bËc ch½n
Häc sinh thêng sai lÇm nÕu A2=B2 suy ra A=B
Bµi tËp 7:T×m x biÕt
Gi¶i:
x 1 60
15 x 1
x 1 60
2
2
� x 1 15 . 60 � x 1 900
15 x 1
h/s thêng sai lÇm khi suy ra x-1=30 suy ra x=31
ph¶i suy ra 2 trêng hîp x-1=30 hoÆc x-1=-30 tõ ®ã suy ra x=31 hoÆc -29
Bµi tËp 8: T×m c¸c sè x,y,z biÕt r»ng
x y z
biÕt r»ng 2 x 2 3 y 2 5 z 2 405
2 3 4
Lêi gi¶i:
x y z
=k suy ra x=2k, y=3k, z=4k
2 3 4
Tõ 2 x 2 3 y 2 5 z 2 405 suy ra 2. 2k 2 3 3k 2 5 4k 2 405
§Æt
GV: Ch©u ThÞ LiÔu
14
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 7
Ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y tØ lÖ thøc vµ d·y tØ sè b»ng nhau trong ®¹i sè 7
...................................................................................................................
8k 2 27 k 2 80k 2 405
45k 2 405
k2 9
Häc sinh thêng m¾c sai lÇm suy ra k=3,mµ ph¶i suy ra k �
3
B. øng dông vµo c«ng t¸c gi¶ng d¹y:
I. Qu¸ tr×nh ¸p dông cña b¶n th©n
B¶n th©n t«i sau khi nghiªn cøu xong ®Ò tµi nµy ®· thÊp m×nh hiÓu s©u s¾c h¬n vÒ tû
lÖ thøc vµ d·y tû sè b»ng nhau. T«i gi¶ng d¹y chuyªn ®Ò nµy cho 3 ®èi tîng häc sinh
TB, Kh¸, Giái, tuú tõng ®èi tîng mµ t«i chän bµi cho phï hîp th× thÊy ®a sè c¸c em
tiÕp thu néi dung trong chuyªn ®Ò mét c¸ch dÒ dµng, c¸c em rÊt høng thu khi tù m×nh
cã thÓ lËp ra c¸c bµi to¸n.
II. HiÖu qu¶ khi ¸p dông ®Ò tµi:
Khi gi¶ng d¹y xong chuyªn ®Ò nµy cho häc sinh t«i ®· cho c¸c em lµm bµi
kiÓm tra.
III. Nh÷ng bµi häc kinh nghiÖm rót ra, híng nghiªn cøu tiÕp theo.
1. Qua ®Ò tµi nµy t«i nhËn thÊy r»ng muèn d¹y cho häc sinh hiÓu vµ vËn dông
mét vÊn ®Ò nµo ®ã tríc hÕt ngêi thÇy ph¶i hiÓu vÊn ®Ò mét c¸ch s©u s¾c v× vËy ngêi
thÇy ph¶i lu«n häc hái, t×m tßi, ®µo s©u suy nghÜ tõng bµi to¸n, kh«ng ngõng n©ng cao
tr×nh ®é cho b¶n th©n.
2. S¸ng kiÕn tiÕp theo mµ t«i dù kiÕn nghiªn cøu lµ ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh vµ
hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt.
IV. Nh÷ng kiÕn nghÞ, ®Ò xuÊt
Khi gi¶ng d¹y ®Ò tµi nµy cho häc sinh, thÇy c« cÇn nghiªn cøu kü ®Ó vËn dông
phï hîp víi ®èi tîng häc sinh cña m×nh, cã thÓ chia nhá bµi tËp ®Ó gîi ý cho häc sinh.
GV: Ch©u ThÞ LiÔu
15
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 7
Ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y tØ lÖ thøc vµ d·y tØ sè b»ng nhau trong ®¹i sè 7
...................................................................................................................
PhÇn III. KÕt luËn
Khi nghiªn cøu ®Ò tµi mét sè d¹ng bµi tËp vÒ tØ lÖ thøc vµ d·y c¸c tû sè b»ng
nhau trong m«n §¹i sè líp 7 t«i thÊy viÖc ¸p dông vµo gi¶ng d¹y rÊt cã hiÖu qu¶, häc
sinh dÔ hiÓu vµ høng thó trong qu¸ tr×nh tiÕp thu kiÕn thøc, c¸c em ®· biÕt khai th¸c
s©u bµi to¸n, biÕt tù ®Æt ra c¸c bµi to¸n míi, tr¸nh ®îc nh÷ng sai lÇm mµ m×nh hay
m¾c ph¶i.
MÆc dï ®· rÊt cè g¾ng nhng víi kiÕn thøc cßn h¹n chÕ ch¾c ch¾n t«i cha thÓ ®a
ra vÊn ®Ò mét c¸ch trän vÑn ®îc, mong c¸c thÇy c« gi¸o ®ãng gãp ý kiÕn x©y dùng ®Ó
®Ò tµi nµy ®îc hoµn thiÖn h¬n.
T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n!
Th¸ng 5 n¨m 2011
Ngêi thùc hiÖn
Ch©u ThÞ LiÔu
GV: Ch©u ThÞ LiÔu
16
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 7
- Xem thêm -
.DOC 
16 
150 
91 
