Skkn phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 phương trình vô tỉ

  • Số trang: 19 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 13 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 24000 tài liệu

Mô tả:

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph¬ng tr×nh §Ò tµi: v« tû Ph¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 Gi¶i ph¬ng tr×nh v« tû NhËn thøc cò- Gi¶i ph¸p cò: Ph¬ng tr×nh v« tû lµ ph¬ng tr×nh chøa Èn trong dÊu c¨n .Trong ch¬ng tr×nh ®¹i sè 9 ,ph¬ng tr×nh v« tû lµ mét d¹ng to¸n khã. Khi gÆp c¸c ph¬ng tr×nh cã chøa c¨n t¬ng ®èi phøc t¹p, häc sinh rÊt lóng tóng kh«ng t×m ra c¸ch gi¶i vµ hay m¾c sai lÇm khi gi¶i .. Cã nh÷ng ph¬ng tr×nh kh«ng thÓ gi¶i b»ng c¸c ph¬ng ph¸p quen thuéc. Khi gÆp ph¬ng tr×nh v« tû , häc sinh thêng chØ quen mét ph¬ng ph¸p lµ n©ng luü thõa 2 vÕ ®Ó lµm mÊt dÊu c¨n. Nhng trong qu¸ tr×nh gi¶i sÏ thêng m¾c ph¶i mét sè sai lÇm trong phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng ph¬ng tr×nh ,v× vËy dÉn ®Õn thõa hoÆc thiÕu nghiÖm. Cã mét sè ph¬ng tr×nh sau khi lµm mÊt dÊu c¨n sÏ dÉn ®Õn ph¬ng tr×nh bËc cao, mµ viÖc nhÈm nghiÖm ®Ó ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt, bËc 2 ®Ó gi¶i l¹i rÊt lµ khã kh¨n . V× vËy häc sinh sÏ rÊt lóng tóng vµ kh«ng t×m ra lêi gi¶i . B. NhËn thøc míi – gi¶i ph¸p míi I. NhËn thøc míi: §Ó kh¾c phôc nh÷ng tån t¹i trªn khi d¹y cho häc sinh gi¶i ph¬ng tr×nh v« tû , gi¸o viªn cÇn trang bÞ cho häc sinh c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n trong s¸ch gi¸o khoa vµ kiÕn thøc më réng, h×nh thµnh c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i mét c¸ch kÞp thêi. Víi mçi ph¬ng tr×nh cÇn ®Ó cho häc sinh nhËn d¹ng ph¸t hiÖn ra c¸ch gi¶i vµ t×m ra c¸ch gi¶i phï hîp nhÊt , nhanh nhÊt. Qua mçi d¹ng tæng qu¸t c¸ch gi¶i vµ híng dÉn häc sinh ®Æt ®Ò to¸n t¬ng tù, tõ ®ã kh¾c s©u c¸ch lµm cho häc sinh. NÕu biÕt ph©n d¹ng , chän c¸c vÝ dô tiªu biÓu , h×nh thµnh ®êng lèi t duy cho häc sinh th× sÏ t¹o nªn høng thó nghiªn cøu, gióp häc sinh hiÓu s©u, nhí l©u vµ n©ng cao hiÖu qu¶ gi¸o dôc . A. II. Gi¶i ph¸p míi: A- HÖ thèng ho¸ c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n liªn quan vµ bæ sung mét sè kiÕn thøc më réng . 1. C¸c tÝnh chÊt cña luü thõa bËc 2, bËc 3, tæng qu¸t ho¸ c¸c tÝnh chÊt cña luü thõa bËc ch½n vµ luü thõa bËc lÎ. 2. C¸c ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö , c¸c h»ng ®¼ng thøc . 3. C¸c bÊt ®¼ng thøc C«si, Bunhiacopski, bÊt ®¼ng thøc cã chøa gi¸ trÞ tuþªt ®èi. Ngêi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Trêng THCS DiÔn Trêng 1 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph¬ng tr×nh v« tû 4. C¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh bËc nhÊt , bËc 2 mét Èn, c¸ch gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh. 5. Bæ sung c¸c kiÕn thøc ®Ó gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh ®¬n gi¶n: * A = B  A 0    B 0  A B 2   A 0 * A B  A B * A  B 0  A  B 0 B. Cung cÊp cho häc sinh c¸c ph¬ng ph¸p thêng dïng ®Ó gi¶i ph¬ng ttr×nh v« tû . Ph¬ng ph¸p 1. N©ng lªn luü thõa ®Ó lµm mÊt c¨n ë 2 vÕ cña ph¬ng tr×nh( thêng dïng khi 2 vÕ cã luü thõa cïng bËc). VÝ dô: Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) x  1  5 x  1  3x  2 + ë ph¬ng tr×nh (1) hai vÕ ®Òu cã c¨n bËc hai, häc sinh cã thÓ m¾c sai lÇm ®Ó nguyªn hai vÕ nh vËy vµ b×nh ph¬ng hai vÕ ®Ó lµm mÊt c¨n . V× vËy gi¸o viªn cÇn ph©n tÝch kü sai lÇm mµ häc sinh cã thÓ m¾c ph¶i tøc cÇn kh¾c s©u cho häc sinh tÝnh chÊt cña luü thõa bËc 2: a = b  a2 = b2 ( Khi a, b cïng dÊu ) V× vËy khi b×nh ph¬ng hai vÕ ®îc ph¬ng tr×nh míi t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh ban ®Çu khi hai vÕ cïng dÊu. ë ph¬ng tr×nh (1), VP  0 , nhng vÕ tr¸i cha ch¾c ®·  0 v× vËy ta nªn chuyÓn vÕ ®a vÒ ph¬ng tr×nh cã 2 vÕ cïng  0. (1)  x  1  5 x  1  3x  2 §Õn ®©y häc sinh cã thÓ b×nh ph¬ng hai vÕ: x  1  5x  1  3x  2 (*) Ta l¹i gÆp ph¬ng tr×nh cã mét vÕ chøa c¨n , häc sinh cã thÓ m¾c sai lÇm lµ b×nh ph¬ng tiÕp 2 vÕ ®Ó vÕ ph¶i mÊt c¨n mµ kh«ng ®Ó ý hai vÕ ®· cïng dÊu hay cha.  2  7 x 2 15 x 2  13x  2 Ngêi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Trêng THCS DiÔn Trêng 2 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph¬ng tr×nh  v« tû 2 2 4  14 x  49 x 4(15 x  13x  2)  11x 2  24 x  4 0  (11x  2)( x  2) 0 2  x   11  x  2  Vµ tr¶ lêi ph¬ng tr×nh (*) cã 2 nghiÖm : 2 x1  ; x 2 2 11 Sai lÇm cña häc sinh lµ g×? T«i cho häc sinh kh¸c ph¸t hiÖn ra nh÷ng sai lÇm : + Khi gi¶i cha chó ý ®Õn ®iÒu kiÖn ®Ó c¸c c¨n thøc cã nghÜa nªn sau khi gi¶i kh«ng ®ã chiÕu víi ®iÒu kiÖn ë (1) : §K : x 1 v× vËy 2 x1  kh«ng 11 ph¶i lµ nghiÖm cña (1) + Khi b×nh ph¬ng hai vÕ cña ph¬ng tr×nh (*) cÇn cã ®iÒu kiÖn 2  7 x 0  x  2 7 vËy x 2 2 kh«ng lµ nghiÖm cña (1) - Sau khi ph©n tÝch sai lÇm mµ häc sinh thêng gÆp , tõ ®ã t«i cho häc sinh t×m ra c¸ch gi¶i ®óng kh«ng ph¹m sai lÇm ®· ph©n tÝch . C1: Sau khi t×m ®îc 2 x 11 vµ x 2 thö l¹i (1) kh«ng nghiÖm ®óng VËy (1) v« nghiÖm. ( c¸ch thö l¹i nµy lµm khi viÖc t×m TX§ cña ph¬ng tr×nh ®· cho lµ t¬ng ®èi phøc t¹p )   x 1   1  x   x 1  5  3  x  2 C2: §Æt ®iÒu kiÖn tån t¹i cña c¸c c¨n thøc cña (1) Ngêi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Trêng THCS DiÔn Trêng 3 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph¬ng tr×nh v« tû Sau khi gi¶i ®Õn (*) khi b×nh ph¬ng hai vÕ ®Æt thªm ®iÒu kiÖn  2 x  m·n :  7  x 1 x 2 7 vËy x tho¶ nªn ph¬ng tr×nh (1)v« nghiÖm C3: Cã thÓ dùa vµo ®iÒu kiÖn cña Èn ®Ó xÐt nghiÖm cña ph¬ng tr×nh . §iÒu kiÖn cña (1) : x 1 do ®ã x  5 x  x  1  5 x  1  x  1  5 x  1 VÕ tr¸i <0. VP  0 nªn ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm . Sau ®ã t«i ra mét sè bµi tËp t¬ng tù cho häc sinh tr×nh bµy lêi gi¶i. Bµi tËp t¬ng tù : Gi¶i ph¬ng tr×nh a) 4 x  1  3x  4  x  2 b) x  2  x  1  2 x  1  x  3 VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh : 3 (2) x  1  3 7  x 2 ë ph¬ng tr×nh (2) häc sinh còng nhËn xÐt cã chøa c¨n bËc 3 nªn nghÜ ®Õn viÖc lËp ph¬ng hai vÕ : Chó ý: + ë c¨n bËc lÎ: 2 n 1 A cã nghÜa víi A nªn kh«ng cÇn ®Æt ®iÒu kiÖn  x  1 0   7  x 0 + ë luü thõa bËc lÎ: a=b  a2n+1=b2n+1; (n  N) nªn kh«ng cÇn xÐt ®Õn dÊu cña hai vÕ. Gi¶i:+ LËp ph¬ng hai vÕ   2  x  1  7  x  3 3 x  1 .3 7  x  3 x  1. 3 7  x  2 8 (**) §Õn ®©y cã thÓ häc sinh rÊt lóng tóng v× sau khi lËp ph¬ng hai vÕ, vÕ tr¸i nh×n rÊt phøc t¹p, gi¸o viªn híng dÉn häc sinh nghÜ ®Õn h»ng ®¼ng thøc: ( a+b)3 =a3+b3+3a2b+3ab2=a3+b3+3ab(a+b) VËy (**) cã thÓ viÕt :   x  1  7  x  33 ( x  1)(7  x ) . 3 x  1  3 7  x 8 (®Õn ®©y thay 3 x  1  3 7  x 2 (I) vµo ph¬ng tr×nh) ta ®îc: Ngêi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Trêng THCS DiÔn Trêng 4 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph¬ng tr×nh v« tû 8  33 ( x  1)(7  x) .2 8  ( x  1)(7  x) 0 Gi¶i ra: x1  1; x 2 7 ; ( II) Thay l¹i vµo PT ®· cho ta thÊy nghiÖm ®óng , nªn ®ã lµ 2 nghiÖm cña PT ban ®Çu. VËy (2) cã nghiÖm x1  1; x 2 7 + ë ph¬ng tr×nh (2) ngoµi viÖc lËp ph¬ng hai vÕ cÇn sö dông h»ng ®¼ng thøc mét c¸ch linh ho¹t ®Ó ®a ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng ®¬n gi¶n a.b = 0 råi gi¶i. Chó ý: Do tõ (I) suy ra (II) ta thùc hiÖn phÐp biÕn ®æi kh«ng t¬ng ®¬ng , v× nã chØ t¬ng ®¬ng khi x tho¶ m·n : 3 x  1  3 7  x 2 . V× vËy viÖc thay l¹i nghiÖm cña (II) vµo ph¬ng tr×nh ®· cho lµ cÇn thiÕt . NÕu kh«ng thö l¹i cã thÓ sÏ cã nghiÖm ngo¹i lai. Bµi tËp t¬ng tù : Gi¶i ph¬ng tr×nh : a) 3  x  1  3 x  1 3 5 x b) 3 c) 3 2 x  1  3 2 x  1 3 10 x 2 x  1  3 3  2 x 4 ( §Ò thi vµo to¸n tin -2000) Ph¬ng ph¸p 2: Ph¬ng ph¸p ®a vÒ ph¬ng tr×nh chøa Èn trong dÊu gi¸ trÞ tuþªt ®èi. Ph¬ng ph¸p nµy lµ: Khi gÆp ph¬ng tr×nh mµ biÓu thøc trong c¨n cã thÓ viÕt ®îc díi d¹ng b×nh ph¬ng cña mét biÓu thøc th× sö dông h»ng ®¼ng thøc : A  A ®Ó lµm mÊt dÊu c¨n ®a vÒ ph¬ng tr×nh ®¬n gi¶n 2 VÝ dô: Gi¶i ph¬ng tr×nh : (3) NhËn xÐt: + ë ph¬ng tr×nh (3) häc sinh cã thÓ nhËn xÐt vÕ tr¸i cã cïng c¨n bËc hai nªn cã thÓ b×nh ph¬ng hai vÕ. Nhng ë ph¬ng tr×nh nµy sau khi b×nh ph¬ng (lÇn 1) vÉn cßn chøa c¨n nªn rÊt phøc t¹p. + biÓu thøc trong c¨n cã thÓ viÕt ®îc díi d¹ng b×nh ph¬ng cña mét biÓu thøc . 2x  2  2 2x  3  2 x  13  8 2 x  3 5 Ngêi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Trêng THCS DiÔn Trêng 5 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph¬ng tr×nh v« Gi¶i : §K: 2 x  3 0  x   ( 2 x  3)  2 2 x  3  1     2x  3 1   2x  3 1 2   tû 3 ; 2 2x  2  2 2x  3  2 x  13  8 2 x  3 5 ( 2 x  3)  2 2 x  3.4  16 5 2x  3  4  2 5 2 x  3  4 5; (* * *) C1: §Õn ®©y ®Ó gi¶i (***) ta cã thÓ ph¸ dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi, tríc khi ph¸ dÊu cÇn xÐt dÊu cña A NhËn xÐt: 2 x  3  1  0 vËy chØ xÐt dÊu 2 x  3  4 NÕu 2x  3 16 19  2x  3  4 0   3  x   x 2 2 Th× 2x  3 1  9 2 Gi¶i ra x + NÕu 2x  3  4  Th× th× 2 x  3 4 (Kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) 2x  3 1  KÕt luËn: 2 x  3  4 5  2 2 x  3 8  A 3 19 x  2 2 2 x  3  4 5  0 x 0 v« sè nghiÖm x tho¶ m·n 3 19 x  2 2 3 19 x  2 2 C2: ( §Ó gi¶i (***) còng cã thÓ sö dông bÊt ®¼ng thøc gi¸ trÞ tuyÖt ®èi . A  B  A  B . dÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi A.B 0) Gi¶i: (***) 2x  3 1   2 x  3  4 5 2x  3 1  4  2 x  3 5 Ta cã: 2x  3 1  4  VËy: 2x  3 1  4  2x  3  2 x  3 5 2x  3 1  4  Khi  2 x  3 5  2x  3 1 4   2 x  3 0 Ngêi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Trêng THCS DiÔn Trêng 6 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph¬ng tr×nh v« tû  4  2 x  3 0   3 x   2 Gi¶i ra: 3 19 x  2 2 Bµi tËp t¬ng tù: Gi¶i ph¬ng tr×nh a) x  2  4 x  2  x  7  6 x  2 1 b) x  2 x  1  x  2 x  1  2 (Nh©n 2 vÕ víi 2 th× trong c¨n sÏ xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc) Ph¬ng ph¸p 3: §Æt Èn phô: Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô lµ ph¬ng ph¸p hay mµ t«i rÊt t©m ®¾c , ph¬ng ph¸p nµy cã thÓ dïng ®Ó gi¶i ®îc rÊt nhiÒu ph¬ng tr×nh ë ph¬ng ph¸p nµy dïng c¸ch ®Æt Èn phô ®Ó ®a vÒ d¹ng ph¬ng tr×nh v« tû ®¬n gi¶n C¸ch ®Æt Èn phô: + §Æt 1 Èn phô + §Æt 2 Èn phô + §Æt nhiÒu Èn phô A) C¸ch ®Æt 1 Èn phô : C1: Chän Èn phô thÝch hîp ®Ó ®a ph¬ng tr×nh vÒ ph¬ng tr×nh cã mét Èn lµ Èn phô ®· ®Æt .Gi¶i ph¬ng tr×nh t×m Èn phô , tõ ®ã t×m Èn chÝnh. VD1:Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2 x 2 +6x+12+ x 2  3x  2 =9 (4) -NhËn xÐt:+ ë ph¬ng tr×nh nµy nÕu b×nh ph¬ng 2 vÕ sÏ ®a vÒ mét ph¬ng tr×nh bËc 4 mµ viÖc t×m nghiÖm lµ rÊt khã + BiÓu thøc trong vµ ngoµi c¨n cã mèi liªn quan : 2x2+6x+12=2(x2+3x+2)+8 Híng gi¶i:+ §Æt Èn phô lµ y= x 2  3x  2 + Chó ý: §èi víi §K: x2+3x+2 0 cã thÓ gi¶i ®îc nhng víi nh÷ng bµi to¸n mµ biÓu thøc trong c¨n phøc t¹p th× cã thÓ t×m gi¸ trÞ cña x råi thö l¹i xem cã tho¶ m·n §K hay kh«ng Gi¶i: §K: x2+3x + 2 0 §Æt : x 2  3x  2  ( x+1) (x+2) 0   x 2  x  1  =y 0 PT (4)  2y2+y+8=9 Ngêi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Trêng THCS DiÔn Trêng 7 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph¬ng tr×nh v« tû  2y +y -1=0 2 Gi¶i ra:y1=1/2 ( Tho¶ m·n §K); y2=-1( Lo¹i) Thay vµo: x 2  3x  2 =1/2  x2+3x+2=1/4 Gi¶i ra:x1=  3 2 2 §èi chiÕu víi §K: x= ; x2=  3 2 2  3 2 2 tho¶ m·n lµ nghiÖm cña PT (4) VD2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2 x  x 2  6 x 2  12 x  7 0 ( §Ò thi häc sinh giái tØnh líp 10 n¨m 2003-2004) Híng dÉn : §K : 6 x 2  12 x  7 0; x Ta biÕn ®æi ®Ó thÊy ®îc mèi quan hÖ gi÷a c¸c biÓu thøctrong ph¬ng tr×nh: 2x  x 2  6( x 2  2 x )  7 0 §Æt : x 2  2 x a Ta cã ph¬ng tr×nh: 6a  7 a (I) Gi¶i(I) t×m a tõ ®ã t×m x. VD2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: ( 1  x  1)( 1  x  1) 2 x HD: ë bµi nµy ta t×m mèi liªn hÖ c¸c biÓu thøc b»ng c¸ch ®Æt : 1  x u ; Rót x theo u thay vµo c¸c biÓu thøc cßn l¹i trong ph¬ng tr×nh ®Ó ®a vÒ ph¬ng tr×nh Èn u. Gi¶i: §K : -1 x 1 ; C1: §Æt: 1  x u (0 u  2 )  x u 2  1 (5)  (u  1)( 2  u 2  1) 2(u 2  1)  (u  1) ( 2  u 2  1)  2(u  1)   u  1 0   2  2  u  1  2(u  1) 0 + NÕu : u  1 0  u 1( tho¶ m·n)  x  1 1  x 0 (Tho¶ m·n §K) Ngêi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Trêng THCS DiÔn Trêng 8 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph¬ng tr×nh v« tû 2  u 2 1 2(u 1)  2u 1 0 2  2  5 u  4u  1 0 2  2  u (2u 1) Gi¶i ra: u1  1( lo¹i); VËy x 0; x  24 25 2 1 24 1 u 2   x    1  5 5 25   tho¶ m·n ®iÒu kiÖn lµ nghiÖm cña (5) c2:ë bµi nµy cã thÓ ®Æt : §a vÒ hÖ ph¬ng tr×nh: 1  x a; 1  x b ;  (a  1)(b  1) a 2  b 2  2 2  a  b 2 C2: §Æt Èn phô ®a ph¬ng tr×nh vÒ 2 Èn: Èn chÝnh vµ Èn phô, t×m mèi quan hÖ gi· Èn chÝnh vµ Èn phô. VD3: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2  x 2  2  x (6) NhËn xÐt:- NÕu b×nh ph¬ng hai vÕ ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc 4 khã nhÈm nghiÖm v« tû.V× vËy ta cã thÓ ®Æt Èn phô nhng cha ®a ®îc vÒ ph¬ng tr×nh chØ chøa mét Èn. -H·y t×m c¸ch ®a vÒ mét hÖ ph¬ng tr×nh cã 2 Èn lµ Èn chÝnh vµ Èn phô. T×m mèi quan hÖ gi÷a Èn chÝnh vµ Èn phô tõ ®ã ® a vÒ ph¬ng tr×nh ®¬n gi¶n. Gi¶i: §K: §Æt:  2  x 0  2  2  x 0 y  2  x  x 2  y 2  2  x 2  y ;Ta cã hÖ:   2  y 2  x §©y lµ hÖ ph¬ng tr×nh ®èi xøng  ( y  x )( y  x  1) 0 x  y   1  x  y + NÕu x=y ta cã ph¬ng tr×nh: 2  x x gi¶i ra x 1 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) Ngêi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Trêng THCS DiÔn Trêng 9 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph¬ng tr×nh v« tû + NÕu1-x=y ta cã ph¬ng tr×nh: 2  x 1  x gi¶i ra: 1 x 5 2 ( Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) VËy ph¬ng tr×nh (6) cã 2 nghiÖm 1 x1 1; x 2  5 2 VD4: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x 2  x  2006 2006 C¸ch 1: §Æt  x  2006  y 2 2  x  y 2006 x  2006  y ta cã hÖ ph¬ng tr×nh  x  y  x  2006  x  x  y  1  x  2006  x  1 gi¶i ra  tõ ®ã sö dông ph¬ng ph¸p 1 ®Ó gi¶i tiÕp. Chó ý : C¸ch nµy thêng sö dông khi quan hÖ Èn chÝnh vµ Èn phô ®a ®îc vÒ hÖ ph¬ng tr×nh ®èi xøng. C¸ch 2: §a 2 vÕ vÒ cïng bËc: x2  x  1  x  2006  4 x  2006  2 1      x   x  2006   2    1 1  x  2006  x  2  2   x  1 1  x  2006  2 2 1   2  1 4 2 §Õn ®©y tiÕp tôc gi¶i theo ph¬ng ph¸p 1 Bµi tËp t¬ng tù : Gi¶i ph¬ng tr×nh a) x 3  1  23 2 x  1 ; HD: §Æt Èn phô b) 2x 2  2x 1  4x 1 ; y 3 HD : §Æt Èn phô  x 3  1 2 y 2 x  1 ta cã hÖ :   y 3  1 2 x y x 2  x c) 4 x 2  6 x  7  2 x 2  3x  9 15 B) §Æt 2 Èn phô: ë d¹ng nµy ta ®Æt 2 Èn phô ®a vÒ hÖ ph¬ng tr×nh 2 Èn phô, gi¶i hÖ t×m gi¸ trÞ cña Èn phô, tõ ®ã tõ mèi quan hÖ gi÷a Èn chÝnh vµ Èn phô ®Æt lóc ®Çu ®a vÒ ph¬ng tr×nh ®¬n gi¶n. VD1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 3 2  x  x  1 1 (7) Ngêi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Trêng THCS DiÔn Trêng 10 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph¬ng tr×nh v« tû NhËn xÐt: ë vÕ tr¸i cã c¨n bËc 2 vµ c¨n bËc 3 nªn viÖc n©ng luü thõa 2 vÕ ®Ó lµm mÊt dÊu c¨n lµ rÊt khã. + Hai biÓu thøc trong c¨n cã mèi quan hÖ: 2  x  x  1 1 (h»ng sè) + §Æt 2 Èn phô: SÏ ®a vÒ hÖ 2 ph¬ng tr×nh kh«ng chøa c¨n vµ gi¶i. Gi¶i: §K: x 1 §Æt: 3 2  x u; x  1 v Ta cã hÖ ph¬ng tr×nh:  u  v 1 3 3  u  v 1 Tõ ®ã: gi¶i ra u1 0; u 2 1; u 3  2 x1 1; x 2 2; x3 10 ( tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) VËy ph¬ng tr×nh (7) cã 3 nghiÖm: VD2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 3 x1 1; x 2 2; x3 10 x  2  x  1 3 ( §Ò thi vµo Phan Béi Ch©u 2005) HD: §Æt 3 x  2  a; x  1 b ;  a  b 3 Ta cã hÖ:  3 2  a  b  3 Gi¶i ra:a=1; b=1 ; tõ ®ã gi¶i ra t×m x=3 Tæng qu¸t: §èi víi ph¬ng tr×nh cã d¹ng: n a  f ( x )  m b  f ( x ) c Ta thêng ®Æt: u n a  f ( x ) ; v m b  f ( x)  u  v c n m  u  v a  b hoÆc Khi ®ã ta ®îc hÖ ph¬ng tr×nh:  u  v c n m  u  v a  b Gi¶i hÖ nµy t×m u, v sau dã t×m x VD3: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 3  3x  1 2    3  3 x  1  3 9 x 2  1 0 2 (9) NhËn xÐt: NÕu lËp ph¬ng hai vÕ th× còng rÊt phøc t¹p v× kh«ng ®a ®îc vÒ d¹ng a.b=0 nh ë ph¬ng tr×nh (2) Ngêi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Trêng THCS DiÔn Trêng 11 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph¬ng tr×nh v« 9 x  1 (3 x  1)(3 x  1) . 2 Gi¶i: §Æt u 3 3 x  1 (9) trë thµnh: tû Nªn cã thÓ ®Æt 2 Èn phô v 3 3 x  1  u 2  v 2  uv 1 3 3  u  v 2  u 1 Gi¶i ra:   v  1 vËy ta cã:  3 3x 1 1  3  x 0 VËy (9) cã nghiÖm x=0  3x  1 1 Bµi tËp t¬ng tù: Gi¶i ph¬ng tr×nh : a) 3 1 1 x  x 1 2 2 b) 3 x  a  3 x  b 1 Ngoµi c¸ch trªn cã mét sè bµi khi ®Æt 2 Èn phô nhng kh«ng ®a ®îc vÒ hÖ PT th× ta cã thÓ t×m quan hÖ cña 2 Èn phô , thay vµo hÖ thøc ®· ®Æt lóc ®Çu ®Ó ®a vÒ ph¬ng tr×nh ®¬n gi¶n. Nh c¸c VD sau: VD4: Gi¶i ph¬ng tr×nh: (10) 2( x 2  2) 5 x 3  1 NhËn xÐt: NÕu b×nh ph¬ng hai vÕ cña ph¬ng tr×nh sÏ ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc 4 rÊt khã gi¶i: Híng dÉn: + NhËn xÐt g× vÒ biÓu thøc x3+1 ? cã d¹ng H§T: x3 + 1=(x+1)(x2-x+1) + T×m mèi quan hÖ gi÷a x2+2 vµ x3 +1 x2 +2 =(x2-x+1)+(x+1) + Tõ ®ã ta cã thÓ ®Æt 2 Èn phô: a  x  1; b  x  x  1 vµ t×m mèi quan hÖ a, b tõ ®ã t×m x Gi¶i: §K : x  1 2 2( x 2  1) 5 ( x  1)( x 2  x  1) §Æt a  x  1; b  x  x  1 Ta cã: a2=x+1 ; b2= x2-x+1 ; x2+2=a2+b2 2 Ngêi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Trêng THCS DiÔn Trêng 12 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph¬ng tr×nh v« tû Ph¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh: 2( a 2  b 2 ) 5ab  a 2b b  2 a  ( 2a  b)( a  2b) 0   * Víi a= 2b ta cã: x  1 2 x 2  x  1 x2   5x  3 0  5  37  x1  2   5  37  x2   2  ( Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) + Víi b=2a Ta cã: x 2  x  1 2 x  1 . Tõ ®ã gi¶i ra t×m x ( ë d¹ng nµy viÖc t×m mèi quan hÖ gi÷a c¸c biÓu thøc ë hai vÕ lµ rÊt quan träng . V× vËy tríc khi gi¶i ph¶i quan s¸t nhËn xÐt ®Ó t×m ra ph¬ng ph¸p gi¶i phï hîp). VD5:Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2(3 x  5) x 2  9 3 x 2  2 x  30 ( §Ò thi vµo Phan Béi Ch©u 2004-2005) HD : H·y biÓu diÔn ®Ó thÊy mèi quan hÖ c¸c biÓu thøc:  3 2 x  3  1 §Æt: 2 x  3 a; Ta cã PT: Gi¶i ra: x 2  9 3( x 2  9)  2 x  3 x 2  9 b ; (3a  1)b a  3b 2  (3b  1)(b  a ) 0 1  2 b a x 9    3   ; b  1 2 3   2 x  3  x  9 VD5: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 5 Gi¶i ra: x=0 2 x 3  16 2( x 2  8); ( §Ò thi vµo Phan Béi Ch©u 2005) HD: BiÕn ®æi 5 2( x  2)( x 2  2 x  4) 2( x 2  8) Mèi liªn hÖ: x 2  8 ( x 2  §Æt: 2( x  2) a; 2 x  4)  (2 x  4) ; x 2  2 x  4 b Ta cã ph¬ng tr×nh: 5ab 2(a 2  b 2 )  Tõ ®ã t×m a,b, vµ t×m ®îc x BT T¬ng tù: Gi¶i ph¬ng tr×nh a) (2a  b)(a  2b) 0 2( x 2  3 x  2) 3 x 3  8 Ngêi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Trêng THCS DiÔn Trêng 13 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph¬ng tr×nh v« b) tû 2x  3  x  1 3 x  3 2 x 2  5 x  3  16 Híng dÉn:NhËn xÐt: §Æt : (2 x  3)( x  1) 2 x 3  5 x  3 u  2 x  3 0; v  x  1 0  u 2  v 2 3 x  4  3 x 2 u 2  v 2  4 Nªn ta cã ph¬ng tr×nh: u  v u 2  v 2  20  2uv  (u  v) 2  §Æt: u+v=t. Ta cã ph¬ng tr×nh: t2-t-20=0 Gi¶i ra: t 5 t   4(loai ) Do  ®ã: 2x  3  (u  v)  20 0 x  1 5 §Õn ®©y dïng ph¬ng ph¸p 1 ®Ó gi¶i: x=3 C) §Æt nhiÒu Èn phô: VD1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2 x 2  1  x 2  3x  2  2 x 2  2 x  3  x 2  x  2 NhËn xÐt: + Ph¬ng tr×nh nµy nh×n rÊt phøc t¹p , nÕu nghÜ ®Õn ph¬ng ph¸p b×nh ph¬ng 2 vÕ th× sÏ ®a vÒ mét ph¬ng tr×nh phøc t¹p . + ViÖc ®Æt ®iÒu kiÖn ®Ó c¸c c¨n thøc cã nghÜa cã thÓ phøc t¹p , nªn ta gi¶i ph¬ng tr×nh t×m x råi thö l¹i. + Quan s¸t nhËn xÐt c¸c biÓu thøc trong c¨n : (2 x 2  1)  ( x 2  3 x  2) (2 x 2  2 x  3)  ( x 2  x  2) Nªn cã thÓ nghÜ ®Õn ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô : Gi¶i: §Æt 2 x  1 u; x  3x  2 v; 2 x  2 x  3  z; 2  u  v z  t Ta cã hÖ :  u 2  v 2  z 2  t 2 2 Tõ ®ã suy ra: 2 u t  x 2  x  2 t 2x 2  1  2x 2  x  3 Gi¶i ra : x=-2 Thay vµo tho¶ m·n ph¬ng tr×nh ®· cho , VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x=-2 ( Ph¬ng ph¸p nµy t«i thÊy hay vµ ®éc ®¸o , tõ ®ã GV cã thÓ ®Æt nhiÒu ®Ò to¸n ®Ñp) Bµi tËp t¬ng tù: Gi¶i ph¬ng tr×nh 2006 x 2  2005  2005 x 2  x  2004  2006 x 2  2 x  2003  2005 x 2  x  2002 Ph¬ng ph¸p 4: §a vÒ d¹ng : A2 + B2 = 0 hoÆc A.B=0 ë ph¬ng ph¸p nµy ta sö dông A2 + B2 = 0 <=> A = B = 0 ; A.B =0 Khi A=0 hoÆc B=0 VÝ dô: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x 2  4 x  5 2 2 x  3 NhËn xÐt: + Sö dông c¸c ph¬ng ph¸p 1, 2, 3 ®Òu khã gi¶i + BiÕn ®æi ®a vÒ d¹ng A2 + B2 = 0 Ngêi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Trêng THCS DiÔn Trêng 14 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph¬ng tr×nh v« Gi¶i:§iÒu kiÖn: x  tû 3 2 x 2  4 x  5  2 2 x  3 0  ( x 2  2 x  1)  (2 x  3  2 2 x  3  1) 0  ( x  1) 2  ( 2 x  3  1) 2 0  x  1 0   2 x  3  1 0 Gi¶i ra x=-1 VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2x 2  2x 1  4x 1 NhËn xÐt: + ë ph¬ng tr×nh nµy ta cã thÓ ®Æt Èn phô y = x2 + x tõ ®ã ®a vÒ hÖ ph¬ng tr×nh ®èi xøng:  y  x 2  x  2  x  y  y Tõ ®ã suy ra: x y  x  2  y  råi gi¶i t×m x + Ta còng cã thÓ nh©n 2 vÕ cña ph¬ng tr×nh víi 2 råi ®a vÒ d¹ng: 4 x 2  ( 4 x  1  1) 2 0 gi¶i ra x=0 ( c¸ch gi¶i nµy ®¬n gi¶n h¬n) Bµi tËp t¬ng tù: Gi¶i ph¬ng tr×nh a) x 2  6 x  26 6 2 x  1 b) x  y  z  4 2 x  2  4 y  3  6 VD: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 5x  2 x  1  1  ( §Ò thi häc sinh giái huyÖn 2005) HD: T×m mèi quan hÖ gi÷a c¸c biÓu thøc: z 5 x  3 5 x  3 4( x  1)  (1  x) ; ( 2 x  1) 2  ( 1  x ) 2  2 x  1  1  x 0  ( 2 x  1)  PT trë thµnh: 1  x  1 0  ( x  1) (5 x  1  1) 0 Gi¶i ra: x=-24/25 ( TM§K) Ngoµi ra ta cã thÓ ®Æt: x  1 a;  a 2  b 2 2 ;  2 2  2 a  b  4 a  b 0 1  x b ; ta cã hª: Tõ ®ã gi¶i ra t×m a;b vµ t×m ®îc x Ngêi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Trêng THCS DiÔn Trêng 15 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph¬ng tr×nh v« tû Bµi tËp t¬ng tù : Gi¶i ph¬ng tr×nh 4x 1  3x  2  x 3 5 HD: NhËn xÐt x  3 ( 4 x  1) 2  ( 3x  2 ) 2 Tõ ®ã biÕn ®æi ®a vÒ d¹ng :A.B =0 Ph¬ng ph¸p 5: Dïng bÊt ®¼ng thøc Sö dông ®iÒu kiÖn x¶y ra dÊu “=” ë bÊt ®¼ng thøc kh«ng chÆt. VD1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: Gi¶i: §K: x vµ chØ khi a=b 1 4 x 4x  1  4x  1 2 x ;Sö dông bÊt ®¼ng thøc: Ta cã: x 4x  1  a b  2 b a (`11) víi a, b > 0 dÊu “=” x¶y ra khi 4x  1 2 x Do ®ã (11)  x  4 x  1 Gi¶i ra: x 2  VËy (11) cã hai nghiÖm x 2  3 VD2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 3 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (12) NhËn xÐt:+ë ph¬ng tr×nh nµy ta kh«ng nªn b×nh ph¬ng hai vÕ + XÐt c¸c biÓu thøc trong c¨n vµ ngoµi c¨n. 3x2+6x+7 = 3(x+1)2 +4; 5x2+10x + 14 = 5(x+1)2 + 9; 4-2x-x2=-(x+1)2+5 tõ ®ã cã lêi gi¶i: Gi¶i: VT: 3x 2  6 x  7  5 x 2  10 x  14 4  2 x  x 2  4  9 5 3 x 2  6 x  7  5 x 2  10 x  14 4  2 x  x 2 VP: 4  2 x  x 2 5  ( x  1) 2 5 VËy 2 vÕ ®Òu b»ng 5, khi ®ã x  1 0  x  1 KÕt luËn pt (12) cã mét nghiÖm x=-1 BT t¬ng tù: Gi¶i ph¬ng tr×nh a) 3x 2  6 x  7  5 x 2  10 x  14 4  2 x  x 2 2 b) x 2  6 x  15  x 2  6 x  18 x  6 x  11 VD3: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x  4  6  x  x 2  10 x  27 NhËn xÐt: NÕu b×nh ph¬ng 2 vÕ sÏ ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc 4, khã gi¶i Híng dÉn : Sö dông B§T so s¸nh 2 vÕ Gi¶i: §K: 4 x 6 Ngêi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Trêng THCS DiÔn Trêng 16 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph¬ng tr×nh v« tû Ta thÊy: x  10 x  27 ( x  5)  2 2 MÆt kh¸c ¸p dông B§T Bunhiacopxki ta cã 2 1. 2 x  4  1. 6  x x 4    2 12  12  x  4  6  x  2.2 4 6  x 2 VËy ta suy ra: x2-10x+27=2 (1) x  4  6  x 2 (2) Gi¶i (1) ta ®îc x=5 thay vµo (2) ta thÊy 2 vÕ b»ng nhau. VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x=5 BT t¬ng tù : Gi¶i ph¬ng tr×nh a) b) 4 1  x 2  4 1  x  4 1  x 3 2  x2  2  §a vÒ d¹ng:  (HD: ¸p dông B§T c« si) 1 1  4   x   2 x x    1 1 2  x 2  x   2  2   4 x x  råi ¸p dông B§T Bunhiacopxki Tæng qu¸t c¸ch gi¶i: + BiÕn ®æi pt vÒ d¹ng f(x)=g(x) mµ f ( x) a; g ( x) a víi a lµ h»ng sè. NghiÖm cña pt lµ c¸c gi¸ trÞ cña x tho¶ m·n ®ång thêi f(x)=a vµ g(x) = a + BiÕn ®æi pt vÒ d¹ng h(x) =m ( m lµ h»ng sè) mµ ta lu«n cã h(x) m vµ h(x) m th× nghiÖm cña pt lµ c¸c gi¸ trÞ cña x lµm cho dÊu ®¼ng thøc x¶y ra + ¸p dông B§T C«si vµ Bunhiac«pxki Ph¬ng ph¸p 6: §o¸n nghiÖm, chøng minh nghiÖm duy nhÊt VÝ dô: Gi¶i pt: 5  x6  3 3 x 4  2 1 NhËn xÐt: NÕu sö dông 5 ph¬ng ph¸p trªn ®Òu khã gi¶i ®îc nªn suy nghÜ ®Ó t×m c¸ch gi¶i kh¸c. Híng dÉn: + Thö nhÈm t×m nghiÖm cña pt + Chøng minh nghiÖm duy nhÊt Gi¶i: NhËn thÊy x 1 lµ mét nghiiÖm cña pt Ngêi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Trêng THCS DiÔn Trêng 17 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph¬ng tr×nh v« tû + XÐt x 1 5 x6  4  5 x6  2 6 3 4 th×  4   4  5  x  3x  2  1 3x  2 1  3x  2 1 nªn pt v« nghiÖm + xÐt x 1  5  x6  4 6 3 4 ta cã:   5  x  3x  2  1 4  3x  2  1 nªn pt v« nghiÖm VËy pt cã 2 nghiÖm x=-1 vµ x=1 VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 5 x  1  3 x  8  x 3  1 Gi¶i: NhËn thÊy x=0 lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh +NÕu x<0 th× 5 x  1   1; 3 x  8  2; x 3  1  1 VËy VP <1; VT>1 nªn ph¬ng tr×nh v« nghiÖm . + NÕu x>0 th× VP<1; VT>1 nªn ph¬nhg tr×nh v« nghiÖm. VËy x=0 lµ nghiÖm duy nhÊt cña ph¬ng tr×nh BT t¬ng tù: Gi¶i ph¬ng tr×nh 3 x 2  28  23 x 2  23  x  1  x  2  9 Híng dÉn: TX§: x 1 NhËn thÊy x=2 lµ nghiÖm Chøng tá: 1 x<2 th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm x>2 ph¬ng tr×nh v« nghiÖm (ë nh÷ng ph¬ng tr×nh phøc t¹p mµ viÖc sö dông c¸c ph¬ng ph¸p 1 ®Õn ph¬ng ph¸p 4 ®Òu kh«ng gi¶i ®îc th× ta nghÜ ®Õn ph¬ng ph¸p 5). Bµi häc kinh nghiÖm Trªn ®©y t«i ®· tr×nh bµy c¸ch nhËn d¹ng vµ c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tû. Tríc khi gi¶i häc sinh nhËn xÐt vµ thö c¸c biÖn ph¸p tõ ®Ô ®Õn khã ®Ó t×m ra ph - Ngêi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Trêng THCS DiÔn Trêng 18 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph¬ng tr×nh v« tû ¬ng ph¸p phï hîp ®Ó gi¶i. Sau ®ã häc sinh sÏ gi¶i c¸c bµi tËp t¬ng tù cïng d¹ng, vµ tù ®Æt thªm mét sè bµi tËp ®Ó kh¾c s©u thªm ph¬ng ph¸p gi¶i . T«i nghÜ r»ng víi mçi vÊn ®Ò , mçi chuyªn ®Ò to¸n häc chóng ta ®Òu d¹y theo tõng d¹ng , ®i s©u mçi d¹ng vµ t×m ra híng t duy ,híng gi¶i vµ ph¸t triÓn bµi to¸n .Sau ®ã ra bµi tËp tæng hîp ®Ó häc sinh biÖt ph©n d¹ngvµ t×m ra c¸ch gi¶i thÝch hîp cho mçi bµi th× ch¾c ch¾n häc sinh sÏ n¾m v÷ng vÊn ®Ò . Vµ t«i tin ch¾c r»ng to¸n häc sÏ lµ niÒm say mª víi tÊt c¶ häc sinh . Víi kinh nghiÖm nho nhá nh vËy t«i xin ®îc trao ®æi cïng c¸c ®ång nghiÖp.T«i rÊt mong ®îc sù gãp ý ch©n thµnh cña c¸c ®ång nghiÖp vµ c¸c thÇy c« ®· cã nhiÒu kinh nghiÖm trong gi¶ng d¹y . DiÔn Ch©u ngµy 25 th¸ng 5 n¨m 2005 Ngêi thùc hiÖn Hoµng ThÞ BÝch Lai Ngêi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Trêng THCS DiÔn Trêng 19
- Xem thêm -