Skkn phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ

  • Số trang: 21 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 18 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 24000 tài liệu

Mô tả:

SKKN: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ ĐỀ TÀI: PHƯƠNG PHÁP DẠY CHO HỌC SINH LỚP 9 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ A. NHẬN THỨC CŨ- GIẢI PHÁP CŨ: Phương trình vô tỷ là phương trình chứa ẩn trong dấu căn .Trong chương trình đại số 9 ,phương trình vô tỷ là một dạng toán khó. Khi gặp các phương trình có chứa căn tương đối phức tạp, học sinh rất lúng túng không tìm ra cách giải và hay mắc sai lầm khi giải .. Có những phương trình không thể giải bằng các phương pháp quen thuộc. Khi gặp phương trình vô tỷ , học sinh thường chỉ quen một phương pháp là nâng luỹ thừa 2 vế để làm mất dấu căn. Nhưng trong quá trình giải sẽ thường mắc phải một số sai lầm trong phép biến đổi tương đương phương trình ,vì vậy dẫn đến thừa hoặc thiếu nghiệm. Có một số phương trình sau khi làm mất dấu căn sẽ dẫn đến phương trình bậc cao, mà việc nhẩm nghiệm để đưa về phương trình bậc nhất, bậc 2 để giải lại rất là khó khăn . Vì vậy học sinh sẽ rất lúng túng và không tìm ra lời giải . B. NHẬN THỨC MỚI – GIẢI PHÁP MỚI I. Nhận thức mới: Để khắc phục những tồn tại trên khi dạy cho học sinh giải phương trình vô tỷ , giáo viên cần trang bị cho học sinh các kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa và kiến thức mở rộng, hình thành các phương pháp giải một cách kịp thời. Với mỗi phương trình cần để cho học sinh nhận dạng phát hiện ra cách giải và tìm ra cách giải phù hợp nhất , nhanh nhất. Qua mỗi dạng tổng quát cách giải và hướng dẫn học sinh đặt đề toán tương tự, từ đó khắc sâu cách làm cho học sinh. Nếu biết phân dạng , chọn các ví dụ tiêu biểu , hình thành đường lối tư duy cho học sinh thì sẽ tạo nên hứng thú nghiên cứu, giúp học sinh hiểu sâu, nhớ lâu và nâng cao hiệu quả giáo dục . Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trường THCS Diễn Trường 1 SKKN: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ II. GIẢI PHÁP MỚI: A- Hệ thống hoá các kiến thức cơ bản liên quan và bổ sung một số kiến thức mở rộng . 1. Các tính chất của luỹ thừa bậc 2, bậc 3, tổng quát hoá các tính chất của luỹ thừa bậc chẵn và luỹ thừa bậc lẻ. 2. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử , các hằng đẳng thức . 3. Các bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski, bất đẳng thức có chứa giá trị tuỵêt đối. 4. Cách giải phương trình, bất phương trình bậc nhất , bậc 2 một ẩn, cách giải hệ phương trình. 5. Bổ sung các kiến thức để giải các phương trình đơn giản: * A = B  A 0    B 0  A B 2   A 0 * A B  A B * A  B 0  A  B 0 B. Cung cấp cho học sinh các phương pháp thường dùng để giải phương ttrình vô tỷ . PHƯƠNG PHÁP 1. Nâng lên luỹ thừa để làm mất căn ở 2 vế của phương trình( thường dùng khi 2 vế có luỹ thừa cùng bậc). Ví dụ: Giải phương trình x 1 5 x  1  3x  2 (1) + Ở phương trình (1) hai vế đều có căn bậc hai, học sinh có thể mắc sai lầm để nguyên hai vế như vậy và bình phương hai vế để làm mất căn . Vì vậy giáo viên cần phân tích kỹ sai lầm mà học sinh có thể mắc phải tức cần khắc sâu cho học sinh tính chất của luỹ thừa bậc 2: Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trường THCS Diễn Trường 2 SKKN: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ a = b  a2 = b2 ( Khi a, b cùng dấu ) Vì vậy khi bình phương hai vế được phương trình mới tương đương với phương trình ban đầu khi hai vế cùng dấu. Ở phương trình (1), VP  0 , nhưng vế trái chưa chắc đã  0 vì vậy ta nên chuyển vế đưa về phương trình có 2 vế cùng  0. (1)  x  1  5x  1  3x  2 Đến đây học sinh có thể bình phương hai vế: x  1  5x  1   3x  2 2  7 x 2 15 x 2  13x  2 (*) Ta lại gặp phương trình có một vế chứa căn , học sinh có thể mắc sai lầm là bình phương tiếp 2 vế để vế phải mất căn mà không để ý hai vế đã cùng dấu hay chưa.  4  14 x  49 x 2 4(15 x 2  13x  2)  11x 2  24 x  4 0  (11x  2)( x  2) 0 2  x   11   x 2 Và trả lời phương trình (*) có 2 nghiệm : 2 x1  ; x 2 2 11 Sai lầm của học sinh là gì? Tôi cho học sinh khác phát hiện ra những sai lầm : + Khi giải chưa chú ý đến điều kiện để các căn thức có nghĩa nên sau khi giải không đó chiếu với điều kiện ở (1) : ĐK : x 1 vì vậy 2 x1  không 11 phải là nghiệm của (1) + Khi bình phương hai vế của phương trình (*) cần có điều kiện 2  7 x 0  x  2 7 vậy x 2 2 không là nghiệm của (1) - Sau khi phân tích sai lầm mà học sinh thường gặp , từ đó tôi cho học sinh tìm ra cách giải đúng không phạm sai lầm đã phân tích . Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trường THCS Diễn Trường 3 SKKN: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ C1: Sau khi tìm được 2 x 11 và x 2 thử lại (1) không nghiệm đúng Vậy (1) vô nghiệm. ( cách thử lại này làm khi việc tìm TXĐ của phương trình đã cho là tương đối phức tạp )   x 1   1  x   x 1  5  3  x  2 C2: Đặt điều kiện tồn tại của các căn thức của (1) Sau khi giải đến (*) khi bình phương hai vế đặt thêm điều kiện  2 x  mãn :  7  x 1 x 2 7 vậy x thoả nên phương trình (1)vô nghiệm C3: Có thể dựa vào điều kiện của ẩn để xét nghiệm của phương trình . Điều kiện của (1) : x 1 do đó x  5x  x  1  5x  1  x 1 5x  1 Vế trái <0. VP  0 nên phương trình (1) vô nghiệm . Sau đó tôi ra một số bài tập tương tự cho học sinh trình bày lời giải. Bài tập tương tự : Giải phương trình a) 4x 1  3x  4  x  2 b) x 2  x 1  2x  1  x 3 Ví dụ 2: Giải phương trình : 3 x  1  3 7  x 2 (2) Ở phương trình (2) học sinh cũng nhận xét có chứa căn bậc 3 nên nghĩ đến việc lập phương hai vế : Chú ý: + ở căn bậc lẻ: 2 n 1 A có nghĩa với A nên không cần đặt điều kiện Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trường THCS Diễn Trường 4 SKKN: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ  x  1 0   7  x 0 + Ở luỹ thừa bậc lẻ: a=b  a2n+1=b2n+1; (n  N) nên không cần xét đến dấu của hai vế. Giải:+ Lập phương hai vế    2 x  1  7  x  3 3 x  1 .3 7  x  3 x  1. 3 7  x  2 8 (**) Đến đây có thể học sinh rất lúng túng vì sau khi lập phương hai vế, vế trái nhìn rất phức tạp, giáo viên hướng dẫn học sinh nghĩ đến hằng đẳng thức: ( a+b)3 =a3+b3+3a2b+3ab2=a3+b3+3ab(a+b) Vậy (**) có thể viết :   x  1  7  x  33 ( x  1)(7  x) . 3 x  1  3 7  x 8 (đến đây thay 3 x  1  3 7  x 2 (I) vào phương trình) ta được: 8  33 ( x  1)(7  x) .2 8  ( x  1)(7  x) 0 ( II) Giải ra: x1  1; x 2 7 ; Thay lại vào PT đã cho ta thấy nghiệm đúng , nên đó là 2 nghiệm của PT ban đầu. Vậy (2) có nghiệm x1  1; x 2 7 + Ở phương trình (2) ngoài việc lập phương hai vế cần sử dụng hằng đẳng thức một cách linh hoạt để đưa phương trình về dạng đơn giản a.b = 0 rồi giải. Chú ý: Do từ (I) suy ra (II) ta thực hiện phép biến đổi không tương đương , vì nó chỉ tương đương khi x thoả mãn : 3 x  1  3 7  x 2 . Vì vậy việc thay lại nghiệm của (II) vào phương trình đã cho là cần thiết . Nếu không thử lại có thể sẽ có nghiệm ngoại lai. Bài tập tương tự : Giải phương trình : a) 3  x  1  3 x  1 3 5 x b) 3 c) 3 2 x  1  3 2 x  1 3 10 x 2 x  1  3 3  2 x 4 ( Đề thi vào toán tin -2000) Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trường THCS Diễn Trường 5 SKKN: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ PHƯƠNG PHÁP 2: Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuỵêt đối. Phương pháp này là: Khi gặp phương trình mà biểu thức trong căn có thể viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức thì sử dụng hằng đẳng thức : A2  A để làm mất dấu căn đưa về phương trình đơn giản Ví dụ: Giải phương trình : 2x  2  2 2x  3  2 x  13  8 2 x  3 5 (3) Nhận xét: + Ở phương trình (3) học sinh có thể nhận xét vế trái có cùng căn bậc hai nên có thể bình phương hai vế. Nhưng ở phương trình này sau khi bình phương (lần 1) vẫn còn chứa căn nên rất phức tạp. + Biểu thức trong căn có thể viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức . Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trường THCS Diễn Trường 6 SKKN: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ Giải : ĐK: 2 x  3 0  x   ( 2 x  3)  2 2 x  3  1     2x  3 1   2x  3 1 2   3 ; 2 2x  2  2 2x  3  2 x  13  8 2 x  3 5 ( 2 x  3)  2 2 x  3.4  16 5 2x  3  4  2 5 2 x  3  4 5; (* * *) C1: Đến đây để giải (***) ta có thể phá dấu giá trị tuyệt đối, trước khi phá dấu A thì cần xét dấu của A Nhận xét: 2x  3 1  0 vậy chỉ xét dấu Nếu 2x  3 16 19  2x  3  4 0   3  x   x 2 2 Thì 2x  3 1  9 2 Giải ra x + Nếu 2x  3  4  Thì C2: 2 x  3  4 5  2 2 x  3 8  2 x  3 4 (Không thoả mãn điều kiện) 2x  3 1  Kết luận: 2x  3  4 3 19 x  2 2 2 x  3  4 5  0 x 0 vô số nghiệm x thoả mãn 3 19 x  2 2 3 19 x  2 2 ( Để giải (***) cũng có thể sử dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối . A  B  A  B. dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A.B 0) Giải: (***) 2x  3 1   2 x  3  4 5 2x  3 1  4  2 x  3 5 Ta có: 2x  3 1  4  2x  3  Vậy: 2x  3 1  4  2 x  3 5 2x  3 1  4  Khi  2 x  3 5  2x  3 1 4   2 x  3 0 Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trường THCS Diễn Trường 7 SKKN: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ  4  2 x  3 0   3 x   2 Giải ra: 3 19 x  2 2 Bài tập tương tự: Giải phương trình a) x2 4 x 2  b) x 2x  1  x x  7  6 x  2 1 2x  1  2 (Nhân 2 vế với 2 thì trong căn sẽ xuất hiện hằng đẳng thức) PHƯƠNG PHÁP 3: Đặt ẩn phụ: Phương pháp đặt ẩn phụ là phương pháp hay mà tôi rất tâm đắc , phương pháp này có thể dùng để giải được rất nhiều phương trình Ở phương pháp này dùng cách đặt ẩn phụ để đưa về dạng phương trình vô tỷ đơn giản Cách đặt ẩn phụ: + Đặt 1 ẩn phụ + Đặt 2 ẩn phụ + Đặt nhiều ẩn phụ A) Cách đặt 1 ẩn phụ : C1: Chọn ẩn phụ thích hợp để đưa phương trình về phương trình có một ẩn là ẩn phụ đã đặt .Giải phương trình tìm ẩn phụ , từ đó tìm ẩn chính. VD1:Giải phương trình: 2 x 2 +6x+12+ x 2  3x  2 =9 (4) -Nhận xét:+ ở phương trình này nếu bình phương 2 vế sẽ đưa về một phương trình bậc 4 mà việc tìm nghiệm là rất khó + Biểu thức trong và ngoài căn có mối liên quan : 2x2+6x+12=2(x2+3x+2)+8 Hướng giải:+ Đặt ẩn phụ là y= x 2  3x  2 Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trường THCS Diễn Trường 8 SKKN: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ + Chú ý: Đối với ĐK: x2+3x+2 0 có thể giải được nhưng với những bài toán mà biểu thức trong căn phức tạp thì có thể tìm giá trị của x rồi thử lại xem có thoả mãn ĐK hay không Giải: ĐK: x2+3x + 2 0 Đặt : x 2  3x  2  ( x+1) (x+2) 0   x 2  x  1  =y 0 PT (4)  2y2+y+8=9  2y2+y -1=0 Giải ra:y1=1/2 ( Thoả mãn ĐK); y2=-1( Loại) Thay vào: x 2  3x  2 Giải ra:x1= =1/2  x2+3x+2=1/4  3 2 2 Đối chiếu với ĐK: x= ; x2=  3 2 2  3 2 2 thoả mãn là nghiệm của PT (4) VD2: Giải phương trình: 2 x  x 2  6 x 2  12 x  7 0 ( Đề thi học sinh giỏi tỉnh lớp 10 năm 2003-2004) Hướng dẫn : ĐK : 6 x 2  12 x  7 0; x Ta biến đổi để thấy được mối quan hệ giữa các biểu thứctrong phương trình: 2x  x 2  6( x 2  2 x )  7  0 Đặt : x 2  2 x a Ta có phương trình: 6a  7 a (I) Giải(I) tìm a từ đó tìm x. VD2: Giải phương trình: ( 1  x  1)( 1  x  1) 2 x HD: Ở bài này ta tìm mối liên hệ các biểu thức bằng cách đặt : 1  x u ; Rút x theo u thay vào các biểu thức còn lại trong phương trình để đưa về phương trình ẩn u. Giải: ĐK : -1 x 1 ; Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trường THCS Diễn Trường 9 SKKN: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ C1: Đặt: 1  x u (0 u  2 )  x u 2  1 (5)  (u  1)( 2  u 2  1) 2(u 2  1)  (u  1) ( 2  u 2  1)  2(u  1)  u  1 0   2  2  u  1  2(u  1) 0 + Nếu : u  1 0  u 1( thoả mãn)  x  1 1  x 0 (Thoả mãn ĐK) 2  u 2 1 2(u 1)  2u 1 0 2  2  5 u  4u  1 0 2  2  u (2u 1) 2 Giải ra: Vậy u1  1( loại); x 0; x  24 25 1 24 1 u 2   x    1  5 5 25   thoả mãn điều kiện là nghiệm của (5) c2:Ở bài này có thể đặt : 1  x a; 1  x b ; Đưa về hệ phương trình:  (a  1)(b  1) a 2  b 2  2 2  a  b 2 C2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình về 2 ẩn: ẩn chính và ẩn phụ, tìm mối quan hệ giưã ẩn chính và ẩn phụ. VD3: Giải phương trình: 2  x2  2  x (6) Nhận xét:- Nếu bình phương hai vế đưa về phương trình bậc 4 khó nhẩm nghiệm vô tỷ.Vì vậy ta có thể đặt ẩn phụ nhưng chưa đưa được về phương trình chỉ chứa một ẩn. -Hãy tìm cách đưa về một hệ phương trình có 2 ẩn là ẩn chính và ẩn phụ. Tìm mối quan hệ giữa ẩn chính và ẩn phụ từ đó đ ưa về phương trình đơn giản. Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trường THCS Diễn Trường 10 SKKN: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ Giải: ĐK: Đặt:  2  x 0  2  2  x 0 y  2  x  x 2  y 2  2  x 2  y ;Ta có hệ:   2  y 2  x Đây là hệ phương trình đối xứng  ( y  x )( y  x  1) 0 x  y   1  x  y + Nếu x=y ta có phương trình: 2  x x + Nếu1-x=y ta có phương trình: giải ra x 1 (thoả mãn điều kiện) 2  x 1  x giải ra: 1 x 5 2 ( Thoả mãn điều kiện) Vậy phương trình (6) có 2 nghiệm 1 x1 1; x 2  5 2 VD4: Giải phương trình: x 2  x  2006 2006 Cách 1: Đặt  x  2006  y 2 2  x  y 2006 x  2006  y ta có hệ phương trình  x  y  x  2006  x  giải ra   x  y  1  x  2006  x  1 từ đó sử dụng phương pháp 1 để giải tiếp. Chú ý : Cách này thường sử dụng khi quan hệ ẩn chính và ẩn phụ đưa được về hệ phương trình đối xứng. Cách 2: Đưa 2 vế về cùng bậc: Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trường THCS Diễn Trường 11 SKKN: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ x2  x  1  x  2006  4 x  2006  2 1      x   x  2006   2    1 1  x  2006  x  2  2   x  1 1  x  2006  2 2 1   2  1 4 2 Đến đây tiếp tục giải theo phương pháp 1 Bài tập tương tự : Giải phương trình a) x 3  1  23 2 x  1 b) 2x 2  2x 1  4x 1 ; c) 4 x 2  6 x  7  ; HD: Đặt ẩn phụ y 3 HD : Đặt ẩn phụ  x 3  1 2 y 2 x  1 ta có hệ :   y 3  1 2 x y x 2  x 2 x 2  3x  9 15 B) Đặt 2 ẩn phụ: Ở dạng này ta đặt 2 ẩn phụ đưa về hệ phương trình 2 ẩn phụ, giải hệ tìm giá trị của ẩn phụ, từ đó từ mối quan hệ giữa ẩn chính và ẩn phụ đặt lúc đầu đưa về phương trình đơn giản. VD1: Giải phương trình: 3 2  x  x  1 1 (7) Nhận xét: Ở vế trái có căn bậc 2 và căn bậc 3 nên việc nâng luỹ thừa 2 vế để làm mất dấu căn là rất khó. + Hai biểu thức trong căn có mối quan hệ: 2  x  x  1 1 (hằng số) + Đặt 2 ẩn phụ: Sẽ đưa về hệ 2 phương trình không chứa căn và giải. Giải: ĐK: x 1 3 2  x u; Đặt: x  1 v Ta có hệ phương trình:  u  v 1 3 3  u  v 1 Từ đó: giải ra u1 0; u 2 1; u 3  2 x1 1; x 2 2; x3 10 ( thoả mãn điều kiện) Vậy phương trình (7) có 3 nghiệm: x1 1; x 2 2; x3 10 Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trường THCS Diễn Trường 12 SKKN: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ VD2: Giải phương trình: 3 x  2  x  1 3 ( Đề thi vào Phan Bội Châu 2005) HD: Đặt 3 x  2  a;  a  b 3 x  1 b ; Ta có hệ:  3 2  a  b  3 Giải ra:a=1; b=1 ; từ đó giải ra tìm x=3 Tổng quát: Đối với phương trình có dạng: n a  f ( x )  m b  f ( x ) c Ta thường đặt: u n a  f ( x ) ; v m b  f ( x)  u  v c n m  u  v a  b Khi đó ta được hệ phương trình:  u  v c n m  u  v a  b hoặc Giải hệ này tìm u, v sau dó tìm x VD3: Giải phương trình: 3  3x  1 2    3  3 x  1  3 9 x 2  1 0 2 (9) Nhận xét: Nếu lập phương hai vế thì cũng rất phức tạp vì không đưa được về dạng a.b=0 như ở phương trình (2) 9 x 2  1 (3 x  1)(3 x  1) . Giải: Đặt u 3 3 x  1 (9) trở thành: Nên có thể đặt 2 ẩn phụ v 3 3 x  1  u 2  v 2  uv 1 3 3  u  v 2  u 1 Giải ra:   v  1 vậy ta có:  3 3x 1 1  3  x 0 Vậy (9) có nghiệm x=0  3x  1 1 Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trường THCS Diễn Trường 13 SKKN: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ Bài tập tương tự: Giải phương trình : a) 3 1 1 x  x 1 2 2 b) 3 xa  3 x  b 1 Ngoài cách trên có một số bài khi đặt 2 ẩn phụ nhưng không đưa được về hệ PT thì ta có thể tìm quan hệ của 2 ẩn phụ , thay vào hệ thức đã đặt lúc đầu để đưa về phương trình đơn giản. Như các VD sau: VD4: Giải phương trình: (10) 2( x 2  2) 5 x 3  1 Nhận xét: Nếu bình phương hai vế của phương trình sẽ đưa về phương trình bậc 4 rất khó giải: Hướng dẫn: + Nhận xét gì về biểu thức x3+1 ? có dạng HĐT: x3 + 1=(x+1)(x2-x+1) + Tìm mối quan hệ giữa x2+2 và x3 +1 x2 +2 =(x2-x+1)+(x+1) + Từ đó ta có thể đặt 2 ẩn phụ: a  x  1; b  x 2  x  1 và tìm mối quan hệ a, b từ đó tìm x Giải: ĐK : x  1 2( x 2  1) 5 ( x  1)( x 2  x  1) Đặt a  x  1; b  x 2  x  1 Ta có: a2=x+1 ; b2= x2-x+1 ; x2+2=a2+b2 Phương trình đã cho trở thành: 2( a 2  b 2 ) 5ab  a 2b b  2 a  ( 2a  b)( a  2b) 0   * Với a= 2b ta có: x  1 2 x 2  x  1 Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trường THCS Diễn Trường 14 SKKN: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ x2   + Với b=2a Ta có:  5x  3 0  5  37  x1  2   5  37  x2   2 x 2  x  1 2 x  1 ( Thoả mãn điều kiện) . Từ đó giải ra tìm x ( Ở dạng này việc tìm mối quan hệ giữa các biểu thức ở hai vế là rất quan trọng . Vì vậy trước khi giải phải quan sát nhận xét để tìm ra phương pháp giải phù hợp). VD5:Giải phương trình: 2(3 x  5) x 2  9 3 x 2  2 x  30 ( Đề thi vào Phan Bội Châu 2004-2005) HD : Hãy biểu diễn để thấy mối quan hệ các biểu thức:  3 2 x  3  1 Đặt: 2 x  3 a; Ta có PT: Giải ra: x 2  9 3( x 2  9)  2 x  3 x 2  9 b ; (3a  1)b a  3b 2  (3b  1)(b  a ) 0 1  2 b a x 9    3   ; b  1 2 3   2 x  3  x  9 VD5: Giải phương trình: 5 Giải ra: x=0 2 x 3  16 2( x 2  8); ( Đề thi vào Phan Bội Châu 2005) HD: Biến đổi 5 2( x  2)( x 2  2 x  4) 2( x 2  8) Mối liên hệ: x 2  8 ( x 2  Đặt: 2( x  2) a; 2 x  4)  ( 2 x  4) ; x 2  2 x  4 b Ta có phương trình: 5ab 2(a 2  b 2 )  (2a  b)(a  2b) 0 Từ đó tìm a,b, và tìm được x BT Tương tự: Giải phương trình a) b) 2( x 2  3 x  2) 3 x 3  8 2x  3  x  1 3 x  3 2 x 2  5 x  3  16 Hướng dẫn:Nhận xét: (2 x  3)( x  1) 2 x 3  5 x  3 Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trường THCS Diễn Trường 15 SKKN: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ Đặt : u  2 x  3 0; v  x  1 0  u 2  v 2 3 x  4  3 x 2 u 2  v 2  4 Nên ta có phương trình: Đặt: u+v=t. Giải ra: u  v u 2  v 2  20  2uv  (u  v) 2  (u  v)  20 0 Ta có phương trình: t2-t-20=0 t 5 t  4(loai ) Do  đó: 2x  3  x  1 5 Đến đây dùng phương pháp 1 để giải: x=3 C) Đặt nhiều ẩn phụ: VD1: Giải phương trình: 2x 2  1  x 2  3x  2  2 x 2  2 x  3  x2  x  2 Nhận xét: + Phương trình này nhìn rất phức tạp , nếu nghĩ đến phương pháp bình phương 2 vế thì sẽ đưa về một phương trình phức tạp . + Việc đặt điều kiện để các căn thức có nghĩa có thể phức tạp , nên ta giải phương trình tìm x rồi thử lại. + Quan sát nhận xét các biểu thức trong căn : (2 x 2  1)  ( x 2  3 x  2) (2 x 2  2 x  3)  ( x 2  x  2) Nên có thể nghĩ đến phương pháp đặt ẩn phụ : Giải: Đặt 2 x 2  1 u; x 2  3 x  2 v; 2 x 2  2 x  3  z;  u  v z  t Ta có hệ :  2 2 2 2  u  v z  t Từ đó suy ra: u t  x 2  x  2 t 2x 2  1  2x 2  x  3 Giải ra : x=-2 Thay vào thoả mãn phương trình đã cho , Vậy phương trình có nghiệm x=-2 ( Phương pháp này tôi thấy hay và độc đáo , từ đó GV có thể đặt nhiều đề toán đẹp) Bài tập tương tự: Giải phương trình 2006 x 2  2005  2005 x 2  x  2004  2006 x 2  2 x  2003  2005 x 2  x  2002 PHƯƠNG PHÁP 4: Đưa về dạng : A2 + B2 = 0 hoặc A.B=0 ở phương pháp này ta sử dụng A2 + B2 = 0 <=> A = B = 0 ; A.B =0 Khi A=0 hoặc B=0 Ví dụ: Giải phương trình: x 2  4 x  5 2 2 x  3 Nhận xét: + Sử dụng các phương pháp 1, 2, 3 đều khó giải Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trường THCS Diễn Trường 16 SKKN: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ + Biến đổi đưa về dạng A2 + B2 = 0 Giải:Điều kiện: x  3 2 x 2  4 x  5  2 2 x  3 0  ( x 2  2 x  1)  (2 x  3  2 2 x  3  1) 0  ( x  1) 2  ( 2 x  3  1) 2 0  x  1 0   2 x  3  1 0 Giải ra x=-1 Ví dụ 2: Giải phương trình: 2x 2  2x 1  4x 1 Nhận xét: + Ở phương trình này ta có thể đặt ẩn phụ y = x 2 + x từ đó đưa về hệ phương trình đối xứng:  y  x 2  x  2  x  y  y Từ đó suy ra: x y  x  2  y  rồi giải tìm x + Ta cũng có thể nhân 2 vế của phương trình với 2 rồi đưa về dạng: 4 x 2  ( 4 x  1  1) 2 0 Bài tập tương tự: a) giải ra x=0 ( cách giải này đơn giản hơn) Giải phương trình b) x 2  6 x  26 6 2 x  1 VD: Giải phương trình: x  y  z  4 2 x  2  4 5x  2 x  1  y  3 6 z  5 1  x  3 ( Đề thi học sinh giỏi huyện 2005) HD: Tìm mối quan hệ giữa các biểu thức: 5 x  3 4( x  1)  (1  x) ; ( 2 x  1) 2  ( 1  x ) 2  2 x  1  1  x 0  ( 2 x  1)  PT trở thành: 1  x  1 0  ( x  1) (5 x  1  1) 0 Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trường THCS Diễn Trường 17 SKKN: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ Giải ra: x=-24/25 ( TMĐK) Ngoài ra ta có thể đặt: x  1 a; 1  x b ;  a 2  b 2 2  ; 2 2  2 a  b  4 a  b 0 ta có hê: Từ đó giải ra tìm a;b và tìm được x Bài tập tương tự : Giải phương trình 4x 1  3x  2  HD: Nhận xét x 3 5 x  3  ( 4 x  1) 2  ( 3 x  2 ) 2 Từ đó biến đổi đưa về dạng :A.B =0 PHƯƠNG PHÁP 5: Dùng bất đẳng thức Sử dụng điều kiện xảy ra dấu “=” ở bất đẳng thức không chặt. VD1: Giải phương trình: Giải: ĐK: x và chỉ khi a=b Do đó (11) 1 4 x 4x  1  4x  1 2 x a b  2 b a ;Sử dụng bất đẳng thức: Ta có: x 4x  1  x  4 x  1 Giải Vậy (11) có hai nghiệm ra:  (`11) với a, b > 0 dấu “=” xảy ra khi 4x  1 2 x x 2  3 thoả mãn điều kiện x 2  3 VD2: Giải phương trình: 3 x 2  6 x  7  5 x 2  10 x  14 4  2 x  x 2 (12) Nhận xét:+Ở phương trình này ta không nên bình phương hai vế + Xét các biểu thức trong căn và ngoài căn. 3x2+6x+7 = 3(x+1)2 +4; 5x2+10x + 14 = 5(x+1)2 + 9; 4-2x-x2=-(x+1)2+5 từ đó có lời giải: Giải: VT: VP: 3x 2  6 x  7  5 x 2  10 x  14 4  2 x  x 2  4  9 5 4  2 x  x 2 5  ( x  1) 2 5 Vậy 2 vế đều bằng 5, khi đó x  1 0  x  1 Kết luận pt (12) có một nghiệm x=-1 BT tương tự: Giải phương trình a) 3 x 2  6 x  7  5 x 2  10 x  14 4  2 x  x 2 Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trường THCS Diễn Trường 18 SKKN: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ x 2  6 x  15  x 2  6 x  18 2 x  6 x  11 b) VD3: Giải phương trình: x  4  6  x  x 2  10 x  27 Nhận xét: Nếu bình phương 2 vế sẽ đưa về phơng trình bậc 4, khó giải Hướng dẫn : Sử dụng BĐT so sánh 2 vế Giải: ĐK: 4 x 6 Ta thấy: x 2  10 x  27 ( x  5) 2  2 2 Mặt khác áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có 1. x  4  1. 6  x x 4    2 12  12  x  4  6  x  2.2 4 6  x 2 Vậy ta suy ra: x2-10x+27=2 x 4 6  x 2 (1) (2) Giải (1) ta được x=5 thay vào (2) ta thấy 2 vế bằng nhau. Vậy phương trình có nghiệm x=5 BT tương tự : Giải phương trình a) b) 4 1  x 2  4 1  x  4 1  x 3 2  x2  2  Đưa về dạng:  (HD: áp dụng BĐT cô si) 1 1  4   x   2 x x    1 1 2  x 2  x   2  2   4 x x  rồi áp dụng BĐT Bunhiacopxki Tổng quát cách giải: + Biến đổi pt về dạng f(x)=g(x) mà f ( x )  a; g ( x )  a với a là hằng số. Nghiệm của pt là các giá trị của x thoả mãn đồng thời f(x)=a và g(x) = a + Biến đổi pt về dạng h(x) =m ( m là hằng số) mà ta luôn có h(x) m và h(x) m thì nghiệm của pt là các giá trị của x làm cho dấu đẳng thức xảy ra + Áp dụng BĐT Côsi và Bunhiacôpxki Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trường THCS Diễn Trường 19 SKKN: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ PHƯƠNG PHÁP 6: Đoán nghiệm, chứng minh nghiệm duy nhất Ví dụ: Giải pt: 5  x6  3 3 x 4  2 1 Nhận xét: Nếu sử dụng 5 phương pháp trên đều khó giải được nên suy nghĩ để tìm cách giải khác. Hướng dẫn: + Thử nhẩm tìm nghiệm của pt + Chứng minh nghiệm duy nhất Giải: Nhận thấy x 1 là một nghiiệm của pt 6  5 x  4  5 x  2 6 3 4 thì  4   4  5  x  3x  2  1 3x  2 1  3x  2 1 6 + Xét x 1 nên pt vô nghiệm + xét x 1  5  x6  4 6 3 4 ta có:   5  x  3x  2  1 4  3x  2  1 nên pt vô nghiệm Vậy pt có 2 nghiệm x=-1 và x=1 Ví dụ 2: Giải phương trình: 5 x  1  3 x  8  x 3  1 Giải: Nhận thấy x=0 là một nghiệm của phương trình +Nếu x<0 thì 5 x  1   1; 3 x  8  2; x 3  1  1 Vậy VP <1; VT>1 nên phương trình vô nghiệm . + Nếu x>0 thì VP<1; VT>1 nên phươnhg trình vô nghiệm. Vậy x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình BT tương tự: Giải phương trình Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trường THCS Diễn Trường 20
- Xem thêm -