Skkn phát triển tư duy và tính sáng tạo của học sinh lớp 10, qua tiết luyện tập giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

  • Số trang: 17 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 67 |
  • Lượt tải: 0
nguyen-thanhbinh

Đã đăng 8358 tài liệu

Mô tả:

A. ĐẶT VẤN ĐỀ I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong chương trình đại số lớp 10 THPT (Kể cả nâng cao và cơ bản) đều có bài: “HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN”. Kiến thức cơ bản của bài học này không nhiều. Đối với học sinh, việc giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là không khó. Các em chỉ cần biết cách dựng đường thẳng Ax+By+C=0 và xác định dấu của mỗi miền theo hướng dẫn trong sách giáo khoa là giải được. Điều quan trọng là qua bài học đó, học sinh biết cách khai thác kiến thức cơ bản của bài học để vận dụng vào việc tìm ra những ứng dụng của nó. Trên cơ sở đó các em có thể phát huy được tính sáng tạo và tư duy lôgic của mình. Từ đó biết áp dụng vào việc giải các bài toán thi đại học, thi học sinh giỏi đồng thời giúp các em tìm ra được phương pháp học toán có hiệu quả, có chất lượng và làm cho các em thích học môn toán hơn. Trong quá trình giảng dạy, bản thân tôi luôn trăn trở và tìm cách soạn, cách dạy sao cho phù hợp nhất với từng đối tượng học sinh. Tìm mọi cách để xóa bỏ việc tiếp thu kiến thức thụ động, một chiều của học sinh. Đồng thời nâng dần khả năng tư duy và sức sáng tạo của các em qua từng tiết dạy, bài dạy. Với mục đích đó, trong bài viết này tôi xin trình bày một vài kinh nghiệm phát triển tư duy và tính sáng tạo của học sinh lớp 10 qua tiết luyện tập “GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN”. II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: Nhằm phát triển tư duy và tính sáng tạo của học sinh sau mỗi giờ học toán; giúp các em thích học môn toán hơn. Cung cấp cho học sinh một phương pháp giải và biện luận hệ phương trình, hệ bất phương trình có chứa tham số; phương pháp lập phương trình đường phân giác; đường thẳng và đường tròn có điều kiện liên quan đến miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn. 1 Góp phần thực hiện yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học trong đó có đổi mới phương pháp dạy học toán ở trường trung học phổ thông. III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Học sinh lớp 10 trường THPT Triệu Sơn I IV. PHẠM VI NGHIÊN CỨU: Ở 3 lớp: 10A3; 10B2; 10C4 trường THPT Triệu Sơn I. B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ: Một trong những vấn đề cơ bản của đổi mới chương trình giáo dục phổ thông là đổi mới phương pháp dạy học, trong đó có đổi mới phương pháp dạy học Toán. Trong quá trình giảng dạy nói chung và giảng dạy toán nói riêng, từ những kinh nghiệm và kiến thức của người thầy, chúng ta có thể định hướng và giúp học sinh phát huy tính sáng tạo, tư duy lôgic để các em khám phá những cách giải hay và tiện ích, từ những kiến thức cơ bản, gần gũi và quen thuộc trong sách giáo khoa. II. CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA VẤN ĐỀ: Dựa vào định nghĩa, các định lý về cách xác định miền nghiệm của bất phương trình, hệ bất phương trinh bậc nhất hai ẩn trong chương trình SGK đại số lớp 10. Xuất phát từ những ứng dụng miền nghiệm của hệ BPT bậc nhất hai ẩn vào các bài toán kinh tế đã được trình bày sau bài học hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Từ thực tiễn giảng dạy và quản lý, chỉ đạo hoạt động chuyên môn ở trường THPT Triệu Sơn I; cùng với thói quen hay tìm tòi và khám phá, mở rộng sau mỗi bài dạy đã làm cơ sở thực tiễn giúp tôi nghiên cứu vấn đề này. III. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ: 1) Đối với học sinh: 2 Do sức ép của thi cử nên phụ huynh đầu tư thậm chí “bắt” con em mình học rất nhiều. Học ở trường; học ở nhà; học theo lớp, theo nhóm; nhờ thầy dạy kèm. …Nên học sinh không còn thời gian để tự học; để đào sâu suy nghĩ, khám phá cái mới lạ mà hoàn toàn phụ thuộc vào thầy; Phần lớn các em học sinh lớp 10 vẫn quen nếp học, cách học ở cấp THCS. Các em chưa thực sự chủ động trong việc nắm bắt, tiếp thu kiến thức; chưa có ý thức tìm tòi và phát triển kiến thức. Việc khai thác, mở rộng hay tìm ra cái mới, cái sáng tạo sau mỗi bài học, tiết học thường dựa vào thầy là chủ yếu; Do đặc thù của chương trình bộ môn Toán ở cấp THCS, các em chưa được làm quen nhiều với các bài toán có tham số nhất là các bài toán phải tìm điều kiện hay biện luận theo tham số. Nên khi lên cấp THPT, ở bộ môn Toán (Đại số) các em thường gặp khó khăn khi đứng trước những bài toán giải và biện luận theo tham số. 2) Đối với giáo viên: Một phần từ sức ép thi cử của học sinh dẫn đến thầy cũng phải chịu sức ép dạy để giúp học sinh thi nên thời gian dành cho việc dạy bồi dưỡng chiếm nhiều. Thời gian để thầy nghiên cứu, trăn trở tìm tòi khám phá theo hướng NCKH cũng hạn chế. Thường là giáo viên chọn lựa các tài liệu, chuyên đề có sẵn để soạn dạy và bồi dưỡng; Những giáo viên dạy các lớp học sinh trung bình hoặc yếu môn toán thường ít quan tâm đến việc giúp học sinh đào sâu suy nghĩ, khám phá cái hay, cái mới sau các tiết dạy, bài dạy (Thường quan niệm các đối tượng này nắm được chuẩn kiến thức là tốt rồi). IV. TỔ CHỨC THỰC HIỆN: Sau khi học phần lý thuyết bài bất phương trình bậc nhất hai ẩn, học sinh biết định nghĩa, các định lý và cách giải một bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Phần luyện tập trong SGK gồm những bài tập khá đơn giản, hầu hết học sinh giải quyết các bài tập này rất nhanh gọn. Chính vì thế, tôi 3 đã dùng thời gian của tiết luyện tập này để thực hiện định hướng của mình. Trước hết tôi bắt đầu bằng một ví dụ đơn giản sau đây: �x  2 y �0 (I) �x  y �0 Ví dụ 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình: � Việc xác định miền nghiệm của hệ (I) là rất đơn giản đối với tất cả đối tượng học sinh khi đã được trang bị cách giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Từ ví dụ 1, ta có thể mở rộng để được ví dụ sau:  ( x  1)( x  2 y ) 0 Ví dụ 2: Xác định miền nghiệm của hệ BPT:  ( x  2)( x  y ) 0 (II)  Với ví dụ này, trong khi thử nghiệm ở lớp tôi dạy (Lớp 10C4), tất cả học sinh không xác định đúng được miền nghiệm của hệ ngay từ đầu. Như vậy là đã xuất hiện tình huống có vấn đề: “Xác định miền nghiệm của một hệ BPT mà mỗi bất phương trình của hệ không còn là một BPT bậc nhất hai ẩn quen thuộc”. Bằng các câu hỏi gợi mở và định hướng, một số học sinh khá, giỏi đã xác định đúng được miền nghiệm của hệ (II) là phần gạch chéo (Hình vẽ): y x-2y=0 -2 A O 1 -1 x B x+y=0 t t’ Miền nghiệm của hệ (II) là tứ giác mở: tAOBt’, với A(-2:-1); O(0;0); B(1;-1). Sau khi học sinh xác định đúng miền nghiệm của hệ (II), ta lại đặt ra tình huống: “Xem y là tham số, x là ẩn. Với giá trị nào của y thì hệ có nghiệm?” Hầu hết học sinh trả lời đúng câu hỏi này. Tương tự ta có thể đặt câu hỏi cho học sinh suy nghĩ trả lời: Với giá trị nào của y thì hệ vô nghiệm? Hệ có nghiệm duy nhất? 4 Từ hệ (II), với cách đặt vấn đề và xây dựng hệ thống câu hỏi như trên ta đưa ra ví dụ tiếp theo:  ( x  1)( x  2m) 0 Ví dụ 3: Giải và biện luận bpt sau theo tham số m:  ( x  2)( x  m) 0 (III)  Bình thường, để giải bài toán này một cách chọn vẹn và chặt chẽ không phải dễ. Quá trình biện luận rất dễ nhầm lẫn (thừa hoặc thiếu các trường hợp). Nếu chúng ta định hướng cho học sinh: Xem m ở hệ (III) đóng vai trò là y ở hệ (II) và xét trên hệ trục tọa độ 0xm, hầu hết các em biện luận chặt chẽ và đầy đủ, đúng, (Phần biện luận có các mốc rõ ràng, không sợ bị thừa, thiếu các trường hợp). Cụ thể: + Nếu m>0: Hệ vô nghiệm; + Nếu m=0: Hệ có nghiệm duy nhất x=0; + Nếu -15: Hệ vô nghiệm; + Nếu m=1 hoặc m=5: Hệ có nghiệm duy nhất x=1; �x  1 �0 �x  m �0 �� + Nếu 14: Hệ � ��x  2 �0 � � 2 �x �3 � � � ��x  3 �0 Nhận xét: Qua 3 ví dụ trên chúng ta nhận thấy: Trong trường hợp các bất phương trình thành phần của hệ, phân tích được thành tích các nhân tử bậc nhất thì sáng kiến này là công cụ tương đối “mạnh” để biện luận hệ có tham số. Một câu hỏi đặt ra là: Nếu một trong các BPT thành phần của hệ, không phân tích được thành tích các nhân tử bậc nhất thì sáng kiến này có còn áp dụng được không? Ta xét ví dụ sau: � x 2 �1 Ví dụ 4: Giải và biện luận hệ bpt: � theo tham số m? (m  x 2 )( x  m  2) �0 � Giải: 8 � ( x  1)( x  1) �0(1) (*) (m  x 2 )( x  m  2)(2) �0 � Ta viết lại hệ: � Nhận thấy: BPT (1) của hệ (*) là tích 2 nhân tử bậc nhất; BPT (2) của hệ (*) là tích một nhân tử bậc nhất và một nhân tử bậc 2 đối với x. Mỗi nhân tử đó chính là: các đường thẳng: x-1=0; x+1=0; x+m-2=0 và Parabol: m=x 2. Làm tương tự các ví dụ trên, ta cũng xác định được miền nghiệm của hệ là phần gạch chéo ABCO, với A(-1;1); B(-1;3); C(1;1); O(0;0).(Hình vẽ): m m=x2 3 B 2 1 A C x -1 O 1 x+m-2=0 m0 � Vậy: + Nếu � : Hệ vô nghiệm; m3 � + Nếu 0 �m  1 : Hệ có nghiệm:  m �x � m ; � x  1 �0 �� � 1 �x �2  m Nếu 1 �m �3 : Hệ �x  m  2 �0 Như vậy: Kết hợp giữa đường thẳng với đường thẳng; đường thẳng với Parabol, phương pháp này vẫn áp dụng để giải và biện luận hệ tương đối “gọn nhẹ”. Hoàn toàn tương tự ta có thể kết hợp giữa đường thẳng với đường tròn; 9 đường tròn với Parabol; đường tròn với đường tròn và Parabol với Parabol... phương pháp này đều giải quyết tốt. 2) Bài tập vận dụng ứng dụng 1: Bài 1: Giải và biện luận các hệ sau theo tham số m: a)  x 2  2 x  1  m 0  2  x  10 x  9 0 b)  x 2  4mx  3m 2  2m  1  0  2 2  x  2mx  3m  8m  4  0 c)  2 x  y  2 m 0  2 x  6 y  5 m 0    x  y  1 0  x 3 d)  x 2  (3m  1) x  2m 2  m 0  x 3  2 x 2  x  2 0  Bài 2: Tìm m để các hệ sau đây có nghiệm: a)  x 2  2 x  1  m 0  2 2  x  (1  2m) x  m  m 0 b)  x 2  m 2 4  2 2  x  (5m  2) x  4m  2m 0 c)  x 2  y 2 2m  2  2 2  x  y  2 xy 4  x  y  m 0 d)  ( x  1) 2 3  y 2  Bài 3: Tìm a để hệ:  x 2  a 2 4  2 có 2  x  (5a  2) x  4a  2a 0 nghiệm duy nhất? Ứng dụng 2: Lập phương trình đường phân giác, đường thẳng, đường tròn Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng: d1: x+y-3=0; d2: 7x-y+4=0 và điểm M0(-1;5). Giải: Lập phương trình đường phân giác của góc tạo bởi d1,d2 và chứa điểm M0 M0(x0;y0)  d1 10 M(x;y)  t I d2 Gọi It là tia phân giác của góc giữa d1,d2 chứa điểm M0. (Hình vẽ) Lấy bất kỳ điểm M(x;y)  It � � � ( 1.1  5.1  3)( x  y  3)  0 � x  y 3  0 � � � � �� (1.7  5.(1)  4)(7 x  y  4)  0 � � 7 x  y  4  0 � �x  y  3 7 x  y  4 x  y  3 7x  y  4 � �   � � 2 50 50 � � 2 � x y 3 7x  y  4  � 12 x  4 y  11  0 là phương trình của tia phân giác It và 2 50 đây cũng chính là phương trình đường phân giác cần lập. Từ ví dụ trên, ta khái quát bài toán: Bài toán: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1: A1x+B1y+C1=0; d1: A2x+B2y+C2=0 cắt nhau và điểm M0(x0;y0) không nằm trên d1 và d2. Lập phương trình đường phân giác của góc tạo bởi d1,d2 và chứa điểm M0? HD giải: d1 t M0(x0;y0)  M(x;y) I d2 Lấy bất kỳ điểm M(x;y) thuộc tia phân giác cần lập (tia phân giác It-Hình vẽ). Hỏi: - Vị trí tương đối của điểm M và điểm M0 đối với các đường d1 và d2? 11 - Khoảng cách từ điểm M đến d1 và từ điểm M đến d2? � � �( A1 x  B1 y  C1 )( A1 x0  B1 y0  C1 )  0(1) � Ta thiết lập hệ: � �( A2 x  B2 y  C2 )( A2 x0  B2 y0  C2 )  0(2) (*) �A x  B y  C A x  B2 y0  C2 1 0 1 � 1 0  2 0 (3) 2 2 2 2 � A  B A  B 1 1 2 2 � Từ (1) và (2) của hệ (*) ta biết được dấu của (A1x+B1y+C1) và ( A2x+B2y+C2), dựa vào đó ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối của (3) và suy ra được phương trình tia phân giác It. Đây chính là phương trình đường phân giác cần lập. Lưu ý: Lấy bất kỳ M(x;y) thuộc tia phân giác It thì ta có M và M 0 luôn nằm cùng phía đối với d1 và d2. Làm như vậy bài toán giải quyết nhanh hơn rất nhiều. Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: 2x-y+1=0 và 2 điểm: M1(1;4); M2(3;0). a) Lập phương trình đường thẳng d1 thoả mản: d1 nằm trong nửa mặt phẳng giới hạn bởi d và chứa điểm M1 đồng thời cách d một khoảng bằng 5 . b) Lập phương trình đường thẳng d2 cách d một khoảng bằng 2 5 và nằm trong nửa mặt phẳng giới hạn bởi d và không chứa M2. Giải: 1)Lấy bất kỳ điểm M(x;y) �d1 cần lập � M và M1 nằm cùng phía đối với d và (2 x  y  1)(2.1  1.4  1)  0 � �2 x  y  1  0 � �� � 2 x  y  1  5 2x  y 1 d (M � d )  5 � � 2 x  y  1  5  5 � � 5 � � 2x-y+6=0 là phương trình đường thẳng d1. 2)Lấy bất kỳ điểm M(x;y) �d 2 cần lập � M và M2 nằm khác phía đối với d và (2 x  y  1)(2.3  1.0  1)  0 � �2 x  y  1  0 � �� � 2 x  y  1  10 2x  y  1 d (M � d )  2 5 � � 2 5 �2 x  y  1  10 � 5 � 12 � 2x-y+11=0 là phương trình đường thẳng d2. 3) Bài tập vận dụng ứng dụng 2: Bài 1: Cho hai đường thẳng: d1: 3x-4y+13=0; d2: 4x-3y+5=0 và điểm A(1;-3). Lập phương trình đường phân giác của góc tạo bởi d1,d2 và chứa điểm A? Bài 2: Lập phương trình đường tròn đi qua gốc toạ độ O và tiếp xúc với hai đường thẳng d1:2x+y-1=0 và d2: 2x-y+2=0. Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1: A1x+B1y+C1=0; d1: A2x+B2y+C2=0 cắt nhau và điểm M0(x0;y0) không nằm trên d1 và d2. a) Lập phương trình đường phân giác của góc tạo bởi d 1, d2 và không chứa điểm M0? b) Tính cosin của góc tạo bởi d1, d2 và chứa điểm M0? V. KIỂM NGHIỆM Sáng kiến này tôi thực hiện từ năm học 2006-2007, mới đầu tôi áp dụng ở lớp: 10A3. Năm học 2009-2010, áp dụng ở lớp:10B2. Năm học 2012-2013, áp dụng ở lớp:10C4. Kết quả thu được là rất khả quan. Sau đây là kết quả kiểm nghiệm: Năm học 2006-2007(Kiểm nghiệm ở lớp 10A3): Kết quả Trước khi áp dụng SK Sau khi áp dụng SK Giỏi SL % Kết quả Khá Trung bình SL % SL % Yếu, kém SL % 48 01 2.1 07 14.5 17 35.4 23 47.9 48 09 18.7 24 50.0 9 18.7 6 12.5 Tổng số hs Năm học 2009-2010(Kiểm nghiệm ở lớp 10B2): Kết quả Trước khi áp dụng SK Sau khi áp Tổng số hs 43 43 Giỏi SL % Kết quả điểm Khá Trung bình SL % SL % Yếu, kém SL % 2 13 9 24 11 2 4.6 30.2 20.9 55.8 21 4 48.8 9.3 25.5 4.6 13 dụng SK Năm học 2012-2013(Kiểm nghiệm ở lớp 10C4): Kết quả Trước khi áp dụng SK Sau khi áp dụng SK Tổng số hs Giỏi SL % Kết quả điểm Khá Trung bình SL % SL % Yếu, kém SL % 45 2 4.4 11 24.4 19 42.2 13 28.8 45 15 33.3 17 37.7 9 20.0 4 8.8 C. KẾT LUẬN Việc khai thác các ứng dụng sau tiết dạy “GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHÂT HAI ẨN” mà tôi trình bày trong SKKN này có thể chưa đầy đủ. Các ví dụ minh họa có thể chưa hay. Song tôi thiết nghĩ sau mỗi tiết dạy, bài dạy người thầy nên có thói quen định hướng cho học sinh khai thác và tìm tòi các ứng dụng của nó. Nhờ đó mà chúng ta giúp các em phát huy được trí lực, tư duy lôgic, tính sáng tạo cũng như tính chủ động, tích cực trong học tập nói chung và học toán nói riêng. Đây cũng chính là mục đích của công cuộc đổi mới phương pháp giảng dạy mà ngành giáo dục đã, đang phát động và thực hiện lâu nay. Sáng kiến này tuy đã được áp dụng có hiệu quả ở trường THPT Triệu Sơn I, song chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự góp ý bổ sung của các bạn đồng nghiệp. XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 10 tháng 4 năm 2013 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác. Người viết: Lê Công Chính 14 MỤC LỤC Nội dung D. ĐẶT VẤN ĐỀ Trang 1 V. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1 VI. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 1 VII. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU 2 VIII. PHẠM VI NGHIÊN CỨU 2 E. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2 VI. 2 CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ VII. CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA VẤN ĐỀ 2 VIII. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ 2 IX. X. 1) Đối với học sinh 2 2) Đối với giáo viên: 3 TỔ CHỨC THỰC HIỆN: 3 1) Các ứng dụng: 5 2) Bài tập vận dụng dụng ứng dụng 1: 10 3) Bài tập vận dụng ứng dụng 2 13 KIỂM NGHIỆM 13 F. KẾT LUẬN 14 15 NHỮNG CỤM TỪ VIẾT TẮT 1. BPT: Bất phương trình. 2. NCKH: Nghiên cứu khoa học. 3. SGK Sách giáo khoa. 4. SK: Sáng kiến. 5. SKKN: Sáng kiến kinh nghiệm. 6. THCS: Trung học cơ sở. 7. THPT: Trung học phổ thông. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. SGK Đại số lớp 10 - Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, năm 2011. 2. Báo Toán học và Tuổi trẻ. 3. Tuyển tập các đề thi Đại học từ năm 2000 đến nay. 16 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN I SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÁT TRIỂN TƯ DUY VÀ TÍNH SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH LỚP 10 QUA TIẾT LUYỆN TẬP “GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN” Người thực hiện: Lê Công Chính Chức vụ: Phó Hiệu trưởng SKKN thuộc lĩnh vực: Toán học THANH HOÁ, NĂM 2013 17
- Xem thêm -