Tài liệu Skkn phát triển năng lực vận dụng quy trình bốn bước của g.polya vào giải toán tọa độ trong không gian cho học sinh lớp 12.

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM ĐỘC LẬP- TỰ DO- HẠNH PHÚC ---------- ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC VẬN DỤNG QUY TRÌNH BỐN BƯỚC CỦA G.POLYA VÀO GIẢI TOÁN TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CHO HỌC SINH LỚP 12 Các tác giả: Th.s Trần Quang Vinh Th.s Lê Thị Hòa Bình Đơn vị công tác: Trường THPT Đinh Tiên Hoàng Ninh Bình, tháng 5 năm 2015 DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT GTLN : giá trị lớn nhất GTNN : giá trị nhỏ nhất GV : Giáo viên HS : Học sinh Mp : mặt phẳng Đt : Đường thẳng Đk : Đk PT : phương trình PTTQ : phương trình tổng quát TH : trường hợp THPT : Trung học phổ thông VTCP : Véc tơ chỉ phương VTPT : Véc tơ pháp tuyến MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài............................................................................................................1 2. Mục đích nghiên cứu.....................................................................................................1 3. Nhiệm vụ nghiên cứu.....................................................................................................2 4. Phương pháp nghiên cứu...............................................................................................2 5. Đối tượng nghiên cứu....................................................................................................2 6. Giả thuyết khoa học.......................................................................................................2 7. Cấu trúc..........................................................................................................................2 Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN................................................................................................3 1.1. Năng lực giải toán.......................................................................................................3 1.2. Dạy học giải toán........................................................................................................4 1.3. Giải pháp cũ thường làm…………………………………………………………...5 1.4. Giải pháp mới.............................................................................................................5 1.5. Tiểu kết chương 1.....................................................................................................10 Chương 2: HƯỚNG DẪN HS VẬN DỤNG QUY TRÌNH CỦA G.POLYA....................11 TRONG GIẢI TOÁN VỀ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN..........................................11 2.1. Dạng toán về viết PT mặt phẳng...............................................................................11 2.2. Dạng toán về viết phương trình đường thẳng..........................................................28 2.3. Dạng toán về viết PT mặt cầu…………………………………………………… 39 2.4. Dạng toán về tìm tọa độ điểm...................................................................................46 2.5. Dạng toán về cực trị hình học...................................................................................53 2.6. Tiểu kết chương 2.....................................................................................................68 KẾT LUẬN.........................................................................................................................69 TÀI LIỆU THAM KHẢO...................................................................................................71 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Giải bài tập là một trong những tình huống dạy học điển hình. Nhờ quá trình này, người học hiểu được bản chất của kiến thức, có khả năng vận dụng linh hoạt tri thức và phương pháp đã học, qua đó phát triển năng lực tư duy. Chỉ có thông qua các bài tập ở hình thức này hay hình thức khác, mới tạo đk cho HS vận dụng linh hoạt những kiến thức đã học để giải quyết thành công những tình huống cụ thể khác nhau và những kiến thức đó mới trở nên sâu sắc, trở thành vốn riêng của HS. Yêu cầu phát triển của đất nước trong thời kì mới đòi hỏi các nhà trường phải đào tạo được những con người có kiến thức, có năng lực tư duy, hoạt động một cách tự giác, tích cực chủ động và sáng tạo. Để đạt được mục tiêu trên, cần đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục nói chung và phương pháp giảng dạy từng bộ môn nói riêng theo hướng tiếp cận năng lực của HS. Trong dạy học môn toán, nói riêng là giảng dạy hình học tọa độ trong không gian, bản thân nội dung môn học đã có tính chất khái quát, trừu tượng khá cao, là môi trường tốt để người thầy khơi dậy ở trò khả năng tư duy linh hoạt, trí tưởng tượng phong phú. Bởi vậy, quá trình dạy học giải bài tập nói chung, giải bài tập hình học tọa độ trong không gian nói riêng nếu có phương pháp tốt sẽ tạo đk thuận lợi cho việc rèn luyện, phát triển tư duy và phẩm chất, nhân cách ở người học. Để dạy bài tập hình tọa độ trong không gian nói riêng và bài tập toán THPT nói chung, thông thường GV chỉ trình bày, giảng giải và viết lời giải, ít khi có sự hướng dẫn để HS tự tìm ra lời giải, đôi khi có hướng dẫn song còn sơ sài, hay hướng dẫn theo kiểu dắt tay chỉ việc, ít khi đặt vấn đề để HS tạo ra bài tập tương tự, đặc biệt, tổng quát hay tạm thời bỏ đi một yêu cầu. Ngoài ra, thời lượng phân phối cho phân môn không nhiều, bài tập trong sách giáo khoa chưa đa dạng, có sự 1 hệ thống chưa cao. Với mong muốn, giúp học sinh phát triển năng lực giải bài tập theo bốn bước của G.Polya chương PPTĐ trong Không Gian nên tôi đã chọn đề tài: “ Phát triển năng lực vận dụng quy trình bốn bước của G.Polya vào giải toán tọa độ trong không gian cho HS lớp 12”. 2. Mục đích nghiên cứu Đề xuất những câu hỏi, hoạt động nhằm hướng dẫn HS tìm lời giải bài toán về tọa độ trong không gian theo quy trình của G.Polya, từ đó phát triển năng lực vận dụng quy trình này trong giải toán cho HS. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận về phát triển năng lực, năng lực giải toán cho HS, về phương pháp dạy học giải bài tập toán học, về quy trình giải bài toán theo bốn bước của G.Polya. - Đề xuất những câu hỏi, hoạt động nhằm hướng dẫn HS tìm lời giải bài toán về “Tọa độ trong không gian” theo quy trình của G.Polya, từ đó phát triển năng lực vận dụng quy trình này trong giải toán cho HS. 4. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận - Phương pháp điều tra – khảo sát - Thực nghiệm sư phạm 5. Đối tượng nghiên cứu Quá trình dạy học có vận dụng quy trình bốn bước của G.Polya để giải bài toán “Tọa độ trong không gian” lớp 12 THPT. 6. Giả thuyết khoa học Nếu GV biết cách hướng dẫn HS tìm lời giải bài toán về tọa độ trong không gian theo bốn bước của G.Polya thì góp phần phát triển năng lực giải toán cho HS: HS có kĩ năng giải toán tốt hơn và học được cách suy nghĩ tìm lời giải dạng toán này ở trường THPT. 2 7. Cấu trúc Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, sáng kiến gồm hai chương. Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Chương 2: HƯỚNG DẪN HS TÌM LỜI GIẢI BÀI TOÁN VỀ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN THEO QUY TRÌNH BỐN BƯỚC CỦA G.POLYA Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Năng lực giải toán 1.1.1. Quan niệm về năng lực và năng lực giải toán Năng lực thường xét đến năng lực hành động, là khả năng thực hiện hiệu quả một nhiệm vụ/một hành động cụ thể, liên quan đến một lĩnh vực nhất định dựa trên cơ sở hiểu biết, kĩ năng, kĩ xảo. Bởi vậy, năng lực được thể hiện qua những kĩ năng nhằm hoàn thành một công việc nào đó. Năng lực được xây dựng trên cơ sở tri thức. Năng lực: là khả năng ứng phó thành công hay năng lực thực hiện hiệu quả một loại/lĩnh vực hoạt động nào đó trên cơ sở hiểu biết (tri thức), biết cách lựa chọn và vận dụng những tri thức, kinh nghiệm, kĩ năng/kĩ xảo... để hành động phù hợp với những mục tiêu và đk thực tế hay hoàn cảnh thay đổi. Nhóm năng lực chuyên môn trong môn Toán bao gồm các năng lực sau đây: 3 +) Giải quyết các vấn đề toán học; +) Lập luận toán học; +) Mô hình hóa toán học; +) Giao tiếp toán học; +) Tranh luận về các nội dung toán học; +) Vận dụng các cách trình bày toán học; +) Sử dụng các ký hiệu, công thức, các yếu tố thuật toán. 1.1.2. Nhiệm vụ phát triển năng lực giải toán cho HS Xu thế đổi mới phương pháp dạy học trong những năm tới là dạy học định hướng phát triển năng lực, vì vậy nhiệm vụ phát triển năng lực giải toán cho HS là cần thiết và phù hợp với xu hướng đổi mới phương pháp dạy học. Năng lực giải toán là khả năng thực hiện bốn bước trong phương pháp chung để giải bài toán của G.Polya. Phát triển năng lực giải toán cho HS chính là rèn luyện cho họ có ý thức, thói quen và thực hiện có hiệu quả các bước giải đó. Phát triển năng lực giải toán hình học cho HS bằng phương pháp tọa độ đóng góp một phần vào phát triển năng lực giải toán nói chung. Cần phải tập luyện cho HS biết phân loại các bài toán, rèn luyện để họ thực hiện linh hoạt, độc lập và sáng tạo các bước trong quy trình giải loại bài toán đó. Một điểm đáng chú ý nữa là: "Trong quá trình giải bài tập toán, cần khuyến khích HS tìm nhiều cách giải cho một bài toán. Mọi cách giải đều dựa vào một số đặc điểm nào đó của dữ kiện, cho nên tìm được nhiều cách giải là luyện tập cho HS biết cách nhìn nhận một vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau, điều đó rất bổ ích cho việc phát triển năng lực tư duy. Mặt khác, tìm được nhiều cách giải thì sẽ tìm được cách giải hay nhất, đẹp nhất...” [6]. 1.2. Dạy học giải toán 1.2.1. Vai trò của bài tập Toán Theo Nguyễn Bá Kim [2, tr.386], bài tập có vai trò quan trọng trong môn Toán. Bài tập toán nhằm phát triển tư duy cho HS, đặc biệt 4 là rèn luyện các thao tác trí tuệ. Vì vậy, trong quá trình dạy học người thầy giáo phải chú trọng phát triển năng lực giải toán cho HS. 1.2.2. Quy trình giải bài toán của G.Polya Theo G.PoLya [12], quy trình giải bài toán gồm bốn bước sau: Bước 1: Hiểu bài toán Trước khi tìm lời giải bài toán, cần hiểu rõ: - Đâu là ẩn? Đâu là dữ kiện? Đâu là đk? Có thể thỏa mãn đk bài toán? Đk có đủ để xác định ẩn? Hay là thừa, hay còn thiếu? Hay có mâu thuẫn? - Vẽ hình. - Sử dụng các kí hiệu thích hợp, có thể biểu diễn các đk, dữ kiện thành công thức được không? Phân biệt rõ các phần của đk. Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài toán Sau đây là những gợi ý cho việc tìm lời giải bài toán: - Bạn đã gặp bài toán nào tương tự thế này chưa? Hay ở một dạng hơi khác? - Bạn có biết một định lý, một bài toán liên quan đến bài toán này không? - Hãy xét kỹ cái chưa biết, và thử nhớ xem có bài toán nào có cùng cái chưa biết không? - Đây là bài toán mà bạn đã có lần giải nó rồi, bạn có thể áp dụng được gì ở nó? Phương pháp? Kết quả? Hay phải đưa thêm yếu tố phụ vào mới áp dụng được? - Hãy xét kỹ các khái niệm có trong bài toán và nếu cần hãy quay về các định nghĩa? - Nếu bạn chưa giải được bài toán này, hãy thử giải một bài toán phụ dễ hơn có liên quan, một trường hợp riêng, tương tự, tổng quát hơn? Hãy giữ lại một phần giả thiết khi đó ẩn được xác định đến chừng mực nào? Từ các điều đó bạn có thể rút ra được điều gì có ích cho việc giải bài toán? Với giả thiết nào thì bạn có thể giải được bài toán này? - Bạn đã tận dụng hết giả thiết của bài toán chưa? Bước 3: Trình bày lời giải bài toán 5 Thực hiện lời giải mà bạn đã đề ra. Bạn có nghĩ rằng các bước là đúng? Bạn có thể chứng minh nó đúng? Bước 4: Nhìn lại - Bạn có nghĩ ra một hướng khác để giải bài toán? Lời giải có ngắn hơn, đặc sắc hơn. - Bạn đã áp dụng cách giải đó cho bài toán nào chưa? - Bạn có thể áp dụng bài toán này để giải các bài toán khác đã biết? 1.3. Giải pháp cũ thường làm Khi dạy học giải bài tập toán thông thường GV không tuân thủ theo 4 bước giải bài tập: Ở bước 1, thường chỉ dừng lại ở việc đọc đề bài, không tìm hiểu rõ cái đã cho, cái cần tìm. Ở bước 2, GV thường cung cấp lời giải sau đó giải thích hoặc gọi HS nêu hướng làm, ít có gợi ý, hướng dẫn để HS tìm ra lời giải hoặc hướng dẫn theo kiểu dắt tay chỉ việc. Ở bước 4, đa phần GV không hướng dẫn HS kiểm tra lại kết quả bài toán cũng như lời giải, không hướng dẫn để HS tìm ra nhiều cách giải, không xét bài toán đặc biệt, tương tự, khái quát hay đề xuất bài toán khác. *) Ưu điểm: Nhanh chóng, đỡ tốn thời gian, GV không phải chuẩn bị nhiều, không cần chuẩn bị hệ thống câu hỏi gợi ý, không phải tạo ra các bài toán khác liên quan, không phải đầu tư quá nhiều công sức để dạy được một bài tập. Một tiết học có thể chữa được nhiều bài tập. *) Hạn chế: +) Do không tìm hiểu kĩ đề bài ở bước 1 nên HS không hiểu rõ bài toán, ít có sự hứng thú, không rèn thói quen đọc kĩ đề khi làm bài, khó hướng dẫn bước 2. +) HS không được tham gia nhiều vào quá trình tìm lời giải, làm cho HS không hiểu rõ cách tìm ra lời giải bài toán, ít có sự hứng thú, lười suy nghĩ, giảm khả năng sáng tạo của người học. +) HS không được tập luyện với những câu hỏi, cách suy nghĩ để có thể tự mình đặt ra câu hỏi, cách nghĩ với một bài toán khác. +) HS không kiểm tra lại kết quả dẫn đến kết quả có thể thừa, thiếu, chưa thỏa mãn hết các điều kiện của bài toán; Các bước trình bày, lập luận có thể không lôgic, thiếu chính xác; Không rèn tính cẩn thận cho người học. 6 +) HS không được phát triển tìm ra nhiều lời giải nên có thể không chọn ra cách tối ưu nhất, dễ hiểu nhất, ít có cơ hội sáng tạo tìm ra những cách giải độc đáo, đặc sắc, giảm khả năng nhìn nhận các khía cạnh, suy nghĩ khác nhau của bài toán, cách nghĩ chưa bao quát. +) Không giúp HS thấy được mối liên hệ giữa bài toán với bài toán đặc biệt, tương tự, khái quát, bài toán khác nên chỉ giải quyết được một bài toán thay vì có thể giải quyết được nhiều bài. 1.4. Giải pháp mới cải tiến: Dạy học theo quy trình bốn bước của G.Polya Dạy học theo quy trình bốn bước của G.Polya như đã trình bày ở trên ngoài ra ở bước 4 khai thác bài toán theo hướng phát triển tư duy cho người học. *) Tính mới của giải pháp là: +) Tuân thủ đầy đủ các bước của dạy học bài tập, không bỏ bước nào, chuẩn bị hệ thống câu hỏi để hướng dẫn bài, suy nghĩ phát triển các bài tập. Làm rõ bước 1, đề xuất hệ thống câu hỏi hướng dẫn tìm lời giải cho tất cả các bài tập đã lựa chọn chữa trong chương, nghiên cứu lời giải, đề xuất các cách giải khác, đề xuất bài tập liên quan. Làm sáng tỏ lí luận 4 bước dạy học giải bài tập, đã khai thác gần như triệt để toàn bộ chương phương pháp tọa độ trong không gian. +) Ở bước 4, đã đưa ra hệ thống bài tập khá toàn diện, phù hợp, lôgic làm rõ hơn, sâu hơn bước 4 mà G.Polya đã đưa ra. +) Lựa chọn bài tập để dạy cho phù hợp, bài tập vừa gần gũi, thiết thực vừa dễ khai thác, dễ phát triển tư duy, mang tính đa dạng. +) Các ví dụ được sắp xếp theo từng vấn đề, từng dạng bài, mang tính hệ thống cao. Các vấn đề đưa ra bao quét gần hết các dạng bài toán trong chương, mang tính cập nhật. *) Ưu điểm: +) Khi làm rõ bước 1 sẽ giúp HS hiểu rõ bài toán, ham thích bài toán, rèn thói quen đọc kĩ đề khi làm bài, giúp định hướng cho việc tìm lời giải. 7 +) Thông qua hệ thống câu hỏi mà GV đã chuẩn bị, HS có thể liên tưởng, nhớ lại cách làm bài tương tự, kiến thức liên quan…để tìm ra lời giải, HS không phải bị áp đặt lời giải. HS là người chủ chốt tham gia vào quá trình tìm ra lời giải, HS có điều kiện hiểu được cách suy nghĩ để tìm ra lời giải bài toán, được trải nghiệm nhiều hơn. Hơn thế, HS còn được học những kinh nghiệm giải toán mang tính chất tìm tòi, phát hiện. Thông qua hệ thống câu hỏi lúc đầu do GV đưa ra, dần dần HS biết tự đặt ra câu hỏi, cách suy nghĩ phù hợp để giải quyết một bài toán khác. HS học sáng tạo, không phải nhớ máy móc. +) Qua bước 4, giúp HS: Kiểm tra sự chính xác của kết quả, của lập luận trong lời giải, rèn tính cẩn thận. Tìm ra những cách giải khác, có thể ngắn gọn hơn lời giải đã tìm ra cũng có thể có cách giải dài hơn, phức tạp hơn nhưng quan trọng HS đã nhìn bài toán với những khía cạnh khác nhau, khai thác khác nhau. HS có cơ hội được sáng tạo, có thể với cách giải không tối ưu trong bài toán này nhưng lại giúp ích cho người học tìm ra lời giải với bài toán khác. HS thấy được mối liên hệ với các bài toán đặc biệt, tương tự, khái quát, bài toán có liên quan. HS biết cách tạo ra các bài toán tương tự, khái quát giúp phát triển tư duy người học. +) Thông qua một bài tập dạy theo quy trình trên, HS không chỉ giải một bài toán mà còn giải được nhiều bài toán cùng dạng, bài toán có liên quan. *) Hạn chế: Việc dạy học theo quy trình bốn bước của G.PoLya mất nhiều thời gian, GV cũng phải chuẩn bị hệ thống câu hỏi chi tiết, GV phải đầu tư suy nghĩ, chuẩn bị, sáng tạo, tìm ra hệ thống bài toán, đòi hỏi người GV cũng phải có tư duy tốt, GV phải chọn lựa bài tập phù hợp để khai thác, đạt được ý đồ chỉ dạy một bài nhưng giải quyết được nhiều bài. Việc hướng dẫn đôi khi là không cần thiết với HS giỏi. Việc vận dụng cũng phải linh hoạt tùy theo mức độ nhận thức, tính tự giác và thái độ học tập của HS. Sau đây là một ví dụ minh họa tổng thể. Ví dụ minh họa x2 y2 z   2 1 và vuông Trong Oxyz, lập PT mặt phẳng (P) chứa đt d: 1 góc với mặt phẳng (Q): 3x+y+2z-5=0. Bước 1: Hiểu bài toán GV: Xác định giả thiết của bài toán và yêu cầu của bài toán. 8 HS: Giả thiết cho pt đường thẳng d và mặt phẳng (Q), cho quan hệ (P) chứa d, (P) vuông góc với (Q). Yêu cầu lập PT mặt phẳng (P). GV: Dữ liệu của bài toán có đủ để xác định Mp (P) không? (Đủ xác định (P)). GV: Em có thể vẽ hình minh họa bài toán không? HS: Vẽ hình 1. Hình 1 Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài toán GV: Ta có những cách nào để lập phương trình mặt phẳng? HS: Cách 1: Xác định một điểm và một VTPT. Cách 2: Tìm các hệ số của PTTQ. GV: Theo cách 1, ta cần xác định mấy yếu tố? Là những yếu tố nào? HS: Cần xác định hai yếu tố: một điểm và một VTPT. GV: Đk (P) chứa d giúp gì cho việc tìm 2 yếu tố trên? uu r uu r n  u d HS: Đk (P) chứa d: M thuộc đường thẳng d thì M thuộc Mp (P); P GV: ĐK (P) vuông góc với (Q) thì có mối liên hệ gì về VTPT của (P) với VTPTuu của r uur(Q)? nP  nQ HS: uu r uur uu r uur nP  nQ nP  nQ GV: Từ và em hãy nêu cách xác định VTPT của (P)? HS: Cách 1: Tích có hướng của cặp VTCP (Tích có hướng của 2 véc tơ không cùng phương và cùng vuông góc với VTPT của mặt phẳng; với uur uu r nQ , u d không cùng phương) r uur uu r uu r uu n n  u P  nQ d ; Cách 2: Gọi tọa độ của VTPT, từ P lập hệ 2 pt 3ẩn rồi chọn bộ số phù hợp. Bước 3: uTrình bày lời giải bài toán u r uur ud   1;2;1 nQ   3;1;2  Ta có: là một VTCP của d, là một VTPT của (Q). 9 uu r uu r uur nP  ud , nQ  uu r uu r uu r uur r n  u ; n  nQ P d P = (3;1;-5)  0 . Vì nên nP là một VTPT của MP (P). M(2;-2;0) d nên M  MP (P). Vậy (P): 3(x-2)+1(y+2)-5z=0 hay 3x+y5z-4=0. Bước 4: Nhìn lại Kiểm tra lời giải: Mp (P) có pt như trên đã thỏa mãn đk của bài toán (P) chứa d và vuông góc với (Q) chưa? (Đã thỏa mãn). GV: Nếu d vuông góc với (Q) thì có tồn tại Mp (P) không? Đk nào để biết d  (Q)? HS: Nếu d  (Q) thì mọi Mp chứa d đều thỏa mãn. Nếu [ u d , nQ r 0 ]= thì d  (Q). Xuất phát từ phân tích tìm lời giải ở trên, em có cách khác giải bài toán này không? Cách 2: Lấy M(2;-2;0)  d nên M  (P). Gọi VTPT của Mp (P). Vì (P) chứa d nên Vì (P) ⊥ nP = (a; b; c) là một uu r uu r nP  ud   1;2;1 hay a + 2b + c = 0 (1) uu r uur n  nQ   3;1;2  (Q) nên P hay 3a + b + 2c = 0 (2) Từ (1) và (2) ta được: c = -5b; a = 3b. Chọn b = 1 thì a = 3; c = -5 uur n Vậy (P) qua M và nhận P = (3;1;-5) là một VTPT nên có PT: 3x+y5z-4=0. Nghiên cứu tiếp bài toán: Trong bài toán trên nếu thay đổi cách cho từng đk thì ta sẽ có các bài toán tương tự. Với đk (P) chứa đt d, với đt d được xác Với đk thứ hai, MP (Q) được định bởi: xác định: +) d qua hai điểm. +) qua ba điểm. +) d qua một điểm và song song với +) qua một điểm nằm ngoài đt d’. một đt. +) d qua một điểm và song song với +) qua hai đt cắt nhau. BC. +) qua hai đt song song. +) d là giao tuyến của hai mặt phẳng. 10 x 1 y z  1   2 1 (với các bài 1.11 đến Một số bài tương tự: Cho đt d: 1 1.13) Bài 1.1.1. Cho điểm A(1;2;1), B(2;-2;0). Lập PT mặt phẳng đi qua hai điểm A, B và vuông góc với (Q), trong đó (Q) xác định như sau: a) MP (Q): 3x+y+2z-3=0. b) (Q) qua ba điểm B(1;0;0), C(0;1;-2), D(2;3;5). c) (Q) qua điểm B(1;0;0) và chứa đt d. x2 y2 z x  4 y  3 z 1     1 2 1 , d2: 3 1 2 . d) (Q) chứa d1 và d2 với d1: Bài 1.1.2. Cho điểm A(1;2;0). Lập PT mặt phẳng đi qua điểm A, song song với d và vuông góc với MP (Q) trong các trường hợp sau: a) MP (Q): 2x+2y+z-9=0. b) (Q) qua ba điểm B(1;0;0), C(0;1;-2), D(2;3;5). x  2 y z 1   2 1 c) (Q) qua điểm B(1;0;0) và chứa đt d’: 1 x2 y2 z x  4 y  3 z 1     1 2 . 2 1 , d2: 3 d) (Q) chứa d1 và d2 với d1: 1 Bài 1.1.3. Cho A(1;2;0), B(-1;-1;0), C(0;1;2). Lập PT mặt phẳng đi qua điểm A, song song với BC và vuông góc với Mp (Q) trong các trường hợp sau: a) MP(Q): 2x+2y+z-9=0 b) (Q) qua ba điểm D(1;0;0), E(0;1;-2), F(2;3;5). c) (Q) qua điểm D(1;0;0) và chứa đt d. x2 y2 z x  4 y  3 z 1     1 2 . 2 1 , d2: 3 d) (Q) chứa d1 và d2 với d1: 1 GV: Qua bài tập trên, em hãy cho biết cách tìm một VTPT của (P) khi biết hai véc tơ a ,b cùng vuông góc với VTPT của (P) và r r r a , b   0   (biết cặp VTCP của Mp(P))? r r a , b  HS:   là một VTPT của (P). Bài toán này thuộc dạng: Lập ptMp (P) đi qua một điểm và xác định được VTPT thông qua đk VTPT vuông góc với hai véc tơ không 11 cùng phương đã biết. Có thể thay đổi đk xác định của VTPT để có những bài toán tương tự, chẳng hạn như Mp (P) qua A và +) (P) vuông góc với hai mặt phẳng (Q), (R). +) (P) vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng (Q), (R). +) (P) chứa đường thẳng d (A không thuộc d). +) (P) qua hai điểm B, C. +) (P) song song với hai đt d1, d2. Như vậy, ta có thể khai thác một bài toán để đề xuất những bài toán tương tự bằng cách thay đổi mỗi yếu tố trong bài toán. Chẳng hạn: - Thay đt d có PT cho trước bởi hai điểm phân biệt; một điểm và một VTCP; giao tuyến của hai mặt phẳng… - Thay góc α cho trước bởi một góc bất kỳ như: 300; 450; 900; góc bé nhất; góc lớn nhất. - Thay góc giữa MP với MP bởi góc giữa MP với đt, góc giữa hai đt. - Thay PT Mp(Q) cho trước bởi (Q) qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng; hai đt song song; hai đt cắt nhau; một điểm nằm ngoài một đt. - Thay khoảng cách từ điểm đến MP bằng một số cho trước bởi khoảng cách từ MP đến điểm này bằng k lần khoảng cách từ MP đến điểm, thay khoảng cách từ MP đến điểm bởi khoảng cách từ MP đến đt, giữa hai MP… Bài tập vận dụng: Bài 1.1.4. Cho A(2;1;3) và hai mặt phẳng (Q): 2x+2y+z-9=0, (R): x2y+z+1=0. Lập PT mặt phẳng đi qua A và vuông góc với hai mặt phẳng (Q), (R). Bài 1.1.5. Lập PT mặt phẳng đi qua gốc tọa độ và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng (Q):2x+2y-z+1=0, (R): x-2y+z+1=0. Bài 1.1.6. Cho d1 x2 y2 z x  4 y  3 z 1     1 2 1 , d2: 3 1 2 . Lập PT mặt phẳng biết 12 a) (P) chứa hai đt d1 và d2. b) (P) chứa đt d1 và song song với d2. c) Mp (P) qua gốc tọa độ và song song với d1, d2. Bài 1.1.7. Cho A(1;-2;4), B(1;0;0), C(0;1;1). Lập PT Mp qua ba điểm A, B, C. Các ví dụ ở chương II sẽ làm rõ hơn các nhận định của chương I Chương 2 HƯỚNG DẪN HS VẬN DỤNG QUY TRÌNH CỦA G.POLYA TRONG GIẢI TOÁN VỀ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Năng lực được thể hiện qua những kỹ năng; Năng lực vận dụng quy trình giải toán của G.Polya vào giải toán “Tọa độ trong không gian” cho HS lớp 12 THPT được thể hiện qua việc giải các dạng toán thuộc nội dung chương 3 Hình học 12. Để phát triển năng lực này ở HS, GV cần phải phân tích một số bài toán có tích chất làm mẫu. Trong đó GV đặt ra các câu hỏi, các hoạt động để hướng đẫn HS tìm lời giải bài toán trong những trường hợp cụ thể. Trên cơ sở đó HS sẽ tự luyện tập vận dụng vào những bài toán mới. Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày theo thứ tự từng dạng toán về tọa độ trong không gian. Trong mỗi dạng trình bày những hướng dẫn vận dụng quy trình giải toán của G.Polya vào một số bài. Sau đó là những bài toán để HS tự luyện. Do bước 1 khá đơn giản (chỉ cần hiểu rõ giả thiết, kết luận, vẽ hình minh họa nếu có tuy nhiên vẫn phải tiến hành) nên trong tài liệu này chúng tôi chỉ tập trung trình bày bước 2 và bước 4, ở bước 3 chỉ trình bày vắn tắt lời giải. Để ngắn gọn, trong tài liệu này ta mặc định xét trong hệ trục tọa độ Đề-Các vuông góc Oxyz. 13 Trong chương này, chúng tôi xin trình bày 05 dạng toán thường gặp là viết PT mặt phẳng, viết phương trình đường thẳng, viết phương trình mặt cầu, tìm tọa độ điểm và bài toán cực trị. 2.1. Dạng toán về viết PT mặt phẳng Với dạng toán về lập PT mặt phẳng, chúng tôi đưa ra một số bài toán: 1. Lập PTMP biết một điểm và cặp véc tơ chỉ phương. 2. Lập PTMP biết một điểm và tìm VTPT bằng cách lập hệ phương trình. 3. Lập PTMP biết một VTPT và tìm hệ số tự do của PTTQ. 4. Viết PTMP dưới dạng đoạn chắn Chúng tôi đề xuất hệ thống câu hỏi, gợi ý, hướng dẫn HS như sau: - Ta có những cách nào để lập PT mặt phẳng? Cách 1: Xác định một điểm và một VTPT; Cách 2: Tìm các hệ số của PTTQ. - Theo cách 1, ta cần xác định mấy yếu tố? là những yếu tố nào? Cần xác định hai yếu tố: một điểm và một VTPT. - Một VTPT của mặt phẳng có thể được xác định bằng những cách nào? Cách 1: Tích có hướng của hai véc tơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trong MP cần tìm (cặp VTCP). Cách 2: Hệ 2 PT với ba ẩn là ba thành phần tọa độ của VTPT. - Theo cách 2, để xác định các hệ số của mặt phẳng ta cần mấy PT liên quan đến các hệ số đó? (Hệ ba PT bốn ẩn). Ví dụ 1.1. (Trình bày ở ví dụ chương I) x 1 y z 1 x y  2 z 1     1  1 1 2 1 1 . Lập phương Ví dụ 1.2. Cho d1: và d2: trình mặt phẳng chứa đt d1 và tạo với d2 một góc bằng 300. Bước 1: Hiểu bài toán GV: Xác định giả thiết của bài toán và yêu cầu của bài toán. HS: Giả thiết cho PT đt d1 và d2, cho quan hệ (P) chứa d1, (P) tạo với d2 góc 300. Yêu cầu lập phương trình mặt phẳng (P). GV: Dữ liệu của bài toán có đủ để xác định Mp (P) không? (Đủ xác định (P)). Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài toán 14 GV: Em có tìm được tọa độ một điểm trên (P) không? Nêu cách tìm? HS: Có, đó là điểm bất kỳ trên d1. GV: Em có tìm được ngay một VTPT của Mp(P) không? Hay có tìm thấy cặp VTCP của Mp(P) không? Nếu chưa tìm được trực tiếp thì em phải làm như thế nào? HS: Không tìm được ngay VTPT của (P) cũng như không thấy ngay cặp VTCP của Mp(P). (Nhớ lại cách giải 2 của bài 1). Gọi tọa độ của VTPT và lập hệ PT để tìm tọa độ của VTPT. GV: Dựa vào mối quan hệ của Mp (P) với hai đt, em cho biết các đẳng thức véc tơ của VTPT của Mp(P) với các VTCP của 2 đt? Em có chuyển được uđẳng u r ur thức vécuu uu r urtọa uu r độ được không? rtơ uu r đó sang đẳng thức HS: nP .u1 =0, |cos( nP , u2 )| = sin300 với nP , u1 , u2 lần lượt là một VTPT của (P), chỉ phương của d1, d2. Có chuyển được sang đẳng thức tọa độ. Bước 3: Trình bày lời giải bài toán uur M(1;0;- 1)  d nên M ⊥ (P). Gọi nP = (a; b; c) (a2+b2+c2  0) là một VTPT của ur (P). uu r u u 1 2 Ta có: = (1;-1; 1), uu r ur= (2; 1;-1) lần lượt là một VTCP của d1, d2. Vì MP (P) chứa d nên nP .u1 =0 hay a-b+c=0 uu r uu r (1) Vì MP (P) tạo với d góc 300 nên sin300= |cos( nP , u2 )| hay 2 2a  b  c  1 2 6. a 2  b 2  c 2 (2) Từ (1) ta có: b = a + c thế vào (2) và bình phương 2 vế của (2) ta được: 4(2a+a+c-c)2 =6[a2+(a+c)2+c2] ⊥ 2a2 - ac - c2 =0 (*) Nếu c = 0 thì a =0 do đó b =0 (loại) Nếu c  0 thì chia 2 vế của (*) cho c2 ta được: 2x2 – x – 1 = 0 với x= a/c. Ta được x = 1 hoặc x = -1/2. Chọn a = 1 thì c = 1 hoặc c =-2. Với c = 1 thì b = 2, với c =-2 thì b =1 uu r n P = (1;2;1) thì (P): 1(x-1)+2(y-0)+1(z+1) = 0 hay x+2y+z=0. TH1: uu r n TH2: P = (1;-1;-2) thì (P): 1(x-1)-1(y-0)-2(z+1) = 0 hay x-y-2z-3=0. KL: Vậy có hai PT mặt phẳng (P): x+2y+z=0 và x-y-2z-3=0. Bước 4: Nhìn lại 15 Kiểm tra lời giải: Trong 2 PT vừa tìm có loại pt nào không? Các bước biến đổi là tương đương chưa? PTMp vừa lập có thỏa mãn các đk của bài toán không? (Không, vì các bước biến đổi là tương đương nên PT mặt phẳng vừa lập thỏa mãn các đk của bài toán). Ngoài cách giải trên, em còn cách khác không? Thay vì việc sử dụng uu r ur nP  u1 em còn cách sử dụng giả thiết (P) chứa d như thế nào nữa? (Còn cách sử dụng: (P) đi qua điểm N thuộc d, N khác M) Cách 2: Lấy M(1;0;-1), N(2;-1;0) là hai uur điểm phân biệt trên d. Vì (P) chứa d nên M, N  Mp (P). Gọi nP = (a;b;c) (a2+b2+c2  0) là một VTPT của (P). Ta có PT mặt phẳng (P): a (x-1) + by + c(z+1) =0 Vì (1) uu r (P) qua N nên: a (2-1)+b.(-1)+c(0+1) =0 hay a-b+c=0 u2 = (2;1;-1) là một VTCP của d . Vì MP (P) tạo với d góc 300 nên 2 2 2a  b  c 1 uu r uu r  2 2 2 2 6. a  b  c sin300= |cos( nP , u2 )| hay (2) Làm tương tự như cách 1 ta được kết quả như cách 1. Nghiên cứu tiếp bài toán: (Với hai đường thẳng d1, d2 trên) Như đã trình bày trong ví dụ minh họa, có thể đề xuất các bài toán sau: Bài 1.2.1. Lập PT Mp đi qua hai điểm A(1;0;-1), B(3;-2;1) và tạo với đt d2 góc 300. Bài 1.2.2. Cho A(0;2;-1), B(2;4;-3). Lập PT mặt phẳng chứa đt d1 và tạo với AB một góc bằng 300. Bài 1.2.3. Cho A(1;0;-1), B(3;-2;1) ,C(0;2;-1), D(2;4;-3). Lập PT Mp đi qua hai điểm A, B và tạo với CD một góc bằng 300. Bài 1.2.4. Cho A(1;0;-1), B(3;-2;1), C(0;2;-1), D(2;4;-3). Lập PT Mp đi qua điểm M(1;0;3) và a) song song với d1 đồng thời tạo với d2 góc 300. b) song song với AB đồng thời tạo với d2 góc 300. c) song song với đt AB và tạo với CD một góc 300 . Bài 1.2.5. Cho A(1;0;-1), B(3;-2;1), Mp(Q): 2x+y-z+9=0. Lập PT mặt phẳng (P): a) (P) chứa đt d1 và tạo với MP(Q) góc 600. b) (P) qua hai điểm A, B và tạo với Mp(Q) góc 600. c) (P) qua điểm M(1;0;3), song song với AB và tạo với Mp(Q) góc 60 0 . 16 d) (P) chứa d là giao tuyến của Mp (Q) và Mp (R): x+2y-z+3=0, đồng thời tạo với hai Mp (Q) và (R) các góc bằng nhau. (Nói cách khác: lập PT mặt phẳng phân giác của các góc tạo bởi (Q) và (R)). Bài 1.2.6. Lập PT MPđi qua điểm M(1;0;-3) và tạo với hai đt d1, d2 các góc lần lượt bằng 450, 300. Bài 1.2.7. Cho M(1;0;-3), MP (Q): 2x+y-z+9=0. Lập PT mặt phẳng đi qua điểm M và tạo với d1, Mp (Q) các góc lần lượt bằng 450, 600. Khái quát hóa: Lập PT mặt phẳng (P) 1) 2) 3) 4) chứa đt d1 và tạo với đt d2 một góc cho trước. chứa đt d1 và tạo với mặt phẳng (Q) một góc cho trước. chứa đt d và tạo với hai mặt phẳng (Q), (R) các góc bằng nhau. đi qua điểm A, song song với đt d1 và tạo với đt d2 một góc cho trước. 5) đi qua điểm A, song song với đt d1 và tạo với mặt phẳng (Q) một góc cho trước. 6) đi qua điểm A, lần lượt tạo với các đt d1 và d2 các góc cho trước. 7) đi qua điểm A, lần lượt tạo với đt d1 và tạo với mặt phẳng (Q) các góc cho trước. Chú ý: Đối với bài toán lập PT mặt phẳng đi qua một điểm và liên quan đến góc, ta gọi tọa độ của VTPT cần tìm và giải hệ 2 PT để chọn được bộ số thích hợp. Tương tự với bài toán liên quan đến góc trên, GV có thể hướng dẫn HS giải bài toán liên quan đến khoảng cách, chẳng hạn xuất phát từ bài toán: Ví dụ 1.3. Lập PT mặt phẳng chứa đt d sao cho khoảng cách từ A(2;1;2) đến (P) bằng 1 √3 x 1 y 1 z  2   1 1 . Bằng cách tương với d: 2 tự như trên, có thể đề xuất các bài toán sau: Bài 1.3.1. Cho A(2;1;2), M(1;1;2), N(3;0;3). d: PT Mp (P) 17 x 1 y  2 z  2   2 1 1 . Lập