Tài liệu Skkn phát tiển tư duy qua dạy hình học lớp 9

Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa - năm học 2007-2008 Mục lục: Mục lục Phần I: Đặt vấn đề: 1/. Lý do chọn đề tài 2/. Mục đích nghiên cứu 3/. Kết quả cần đạt 4/. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu ………………………… Phần II: Nội dung 1/. Cơ sở lí luận 2/. Thực trạng vấn đề nghiên cứu 3/. Giải pháp thực hiện 4/. Kết quả thực hiện 1/. Đánh giá cơ bản về SKKN Phần III: Kết luận và khuyến nghị 2/. Các khuyến nghị đề xuất Phần IV: Phụ lục 1/. Tài liệu tham khảo trang 30 2/. Bản cam kết. ………………………… 3/. Danh sách các sáng kiến đã viết Phần I. Đặt vần đề: 1/. Lí do chọn đề tài: 1 ………………………… trang 1 ………………………… ………………………… ………………………… trang 5 trang 2 trang 3 trang 4 ………………………… ………………………… ………………………… ………………………… ………………………… trang 5 trang 6 trang 6 trang 26 trang 27 ………………………… trang 27 ………………………… ………………………… trang 28 trang 29 Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa - năm học 2007-2008 Tư duy là một hình thức nhận thức lí tính của con người. Về mặt tâm lí thì tư duy là một quá trình tâm lí phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hịên tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó con người chưa biết. Tư duy thể hiện sự phát triển của con người trong xã hội. Tư duy không tự nhiên mà có mà do quá trình rèn luyện lâu dài, muốn tư duy phát triển cần được rèn luyện thường xuyên, học các môn các môn khoa học tự nhiên đặc biệt là môn Toán sẽ phát triển tư duy rất tốt. Lứa tuổi THCS đang phát triển mạnh về tư duy nên giáo viên cần quan tâm không được xem nhẹ vấn đề này. Mỗi dạng bài toán Hình có những phương pháp giải bài tập khác nhau, tuy nhiên khi làm bài tập Hình, nếu học sinh có được cái nhìn ở các góc cạnh khác nhau thì sẽ hiểu sâu sắc bài tập Hình và hơn nữa tìm được cái đẹp của môn Toán. Cái nhìn ở các phương diện khác nhau chính là cách thay đổi bài toán có thể trở thành bài dễ hơn nhưng cũng có thể thành bài toán khó hơn. Khi làm được như vậy thì ý thức tự học của học sinh sẽ cao hơn, những bài tập khó sẽ trở nên dễ hơn, và quan trọng nhất là học sinh có được sự tự tin khi làm bài tập. Trong định hướng đổi mới phương pháp bậc THCS thì tự học là một yêu cầu quan trọng đối với học sinh. Tự học giúp cho HS say mê học tập, hiểu sâu kiến thức và quan trọng hơn là phát triển óc sáng tạo. Vấn đề đặt ra là làm thế nào có thể giúp HS tạo hứng thú trong việc tự học, tìm thấy niềm vui khi học toán. Để làm được như vậy thì GV phải cung cấp cho học sinh hệ thống bài tập từ dễ đến khó, cho học sinh nhìn thấy những bài toán khó đều bắt đầu từ những bài toán cơ bản. HS cảm thấy bản thân cũng có thể tạo ra các bài toán có dạng tương tự như vậy. 2 Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa - năm học 2007-2008 Chính vì vậy mà tôi chọn đề tài này, giúp học sinh thay đổi cách nhìn về bài toán, thay đổi phong cách học tập và tư duy cho phù hợp với lứa tuổi, bằng cách nêu nên cách dạy một số bài toán Hình cơ bản trong sách giáo khoa, thay đổi, phát triển bài toán đó thành những bài toán khác nhau. Làm được như vậy học sinh sẽ thấy tự tin hơn khi gặp bài toán lạ có khả năng tự tìm lời giải cho bài toán, phát huy tính sáng tạo để đáp ứng nhu cầu của cuộc sống hiện đại. 2/. Mục đích nghiên cứu: Đây là đề tài rộng và ẩn chứa nhiều thú vị bất ngờ thể hiện rõ vẻ đẹp của môn Hình học và đặc biệt nó giúp phát triển rất nhiều tư duy của học sinh, nếu vấn đề này tiếp tục được khai thác hàng năm và được sự quan tâm góp ý của các thầy cô thì chắc hẳn nó sẽ là kinh nghiệm quý dành cho việc dạy học sinh khá giỏi.Vì đây là đề tài rộng nên trong kinh nghiệm này chỉ trình bày một vài chương của môn Hình lớp 9, chủ yếu là phần đường tròn do chương này gần gũi với học sinh và xuất hiện nhiều trong các kì thi. Chỉ có thể thấy được sự thú vị của những bài toán này trong thực tế giảng dạy, những bài toán cơ bản nhưng cũng có thể làm cho một số học sinh khá lúng túng do chưa nắm được những bài toán cơ bản. Khi đi sâu tìm tòi những bài toán cơ bản ấy không những học sinh nắm sâu kiến thức mà còn tìm được vẻ đẹp của môn Hình. Vẻ đẹp đó được thể hiện qua những cách giải khác nhau, những cách kẻ đường phụ, những ý tưởng mà chỉ có thể ở môn Hình mới có, làm được như vậy học sinh sẽ yêu thích môn Hình. Đó là mục đích của bất kì giáo viên dạy ở môn nào cần khêu gợi được niềm vui, sự yêu thích của học sinh ở môn học đó. Nhưng mục đích lớn nhất trong việc dạy học là phát triển tư duy của học sinh và hình thành nhân 3 Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa - năm học 2007-2008 cách cho học sinh.Qua mỗi bài toán học sinh có sự nhìn nhận đánh giá chính xác, sáng tạo và tự tin qua việc giải bài tập Hình đó là phẩm chất của con người mới. 3/. Kết quả cần đạt: Các bài tập Hình đều phát triển dựa trên những bài toán cơ bản trong sách giáo khoa và sách bài tập nên mục đích cần hướng đến là HS trung bình cần phải làm tốt những bài tập này. Sau đó GV phải giúp cho số học sinh đó hiểu được một số bài toán phát triển từ bài toán cơ bản đó nhưng quan trọng hơn GV cần giúp cho học sinh hiểu được hướng phát triển một bài toán. Tại sao phải làm như vậy? Làm như thế đạt được mục đích gì? Qua đó giúp các em say mê môn Toán, số học sinh làm được điều này không nhiều vì đây là vấn đề khó cần sự kiên trì và cố gắng của cả HS và GV mặc dù vậy tôi hướng đến 1/3 số học sinh đạt được điều này, có thể học sinh sẽ không tạo ra những dạng mà thầy đã làm vì vốn kinh nghiệm của học sinh còn rất hạn chế nên GV cần phải động viên giúp các em tự tin hơn. Việc sáng tạo đó không những cần có kiến thức vô cùng chắc chắn học sinh cần có sự nhạy cảm của toán học. Điều này chỉ phù hợp với học sinh giỏi nên tôi chỉ áp dụng yêu cầu này trong quá trình dạy học sinh giỏi. Cho dù là học sinh giỏi hay học sinh trung bình khi nhìn một bài toán dưới nhiều góc độ thì học sinh đó sẽ tự tin hơn, thích thú hơn với môn học, yếu tố đó rất quan trọng trong quá trình tự học, nó giúp quá trình rèn luyện hình thành tư duy cho học sinh tốt hơn. 4/. Đối tượng - Phạm vi nghiên cứu: 4 Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa - năm học 2007-2008 Đề tài này được viết trong quá trình dạy và học, được rút ra từ một số kinh nghiệm nhỏ trong quá trình dạy học ở trường THCS Vĩnh Phong và trường THCS Nhân Hoà nên đương nhiên đối tượng là học sinh của các trường đại trà không có nhiều học sinh khá giỏi. Đối tượng chính là học sinh lớp 9 trường THCS Nhân Hoà. Trường THCS Nhân Hoà có 2 lớp 9 với 90 học sinh nhưng chủ yếu là học sinh trung bình và khá, số lượng học sinh giỏi rất ít nên việc đào tạo bồi dưỡng học sinh giỏi luôn là việc rất khó khăn của nhà trường. Chính đối tượng học sinh chiếm chủ yếu là học sinh trung bình và khá cộng thêm với phạm vi nhỏ hẹp nên vấn đề được nghiên cứu rất đơn giản, nâng cao từng cấp độ để phù hợp với từng đối tượng học sinh. Phần II. 1/. Cơ sở lí luận: Do tư duy là thuộc tính của tâm lí, tư duy hình thành và phát triển theo từng giai đoạn trong quá trình trưởng thành của con người. Tư duy đặc biệt phát triển mạnh ở giai đoạn thanh, thiếu niên. Vì vậy giáo viên cần phải quan tâm đến phương pháp giảng dạy nhằm phát triển tư duy cho học sinh một cách tốt nhất. Tất cả các môn học đều phát triển tư duy cho học sinh nhưng môn toán có vai trò quan trọng hơn cả. Giải bài tập toán là lúc học sinh được thể hiện kĩ năng, tính sáng tạo, phát triển óc tư duy. Các bài tập Hình trong sách giáo khoa rất đa dạng nhưng làm sao để cho phần lớn các học sinh khá và trung bình nhớ lâu, hiểu vấn đề đó mới là quan trọng. Do đặc điểm của môn Hình khó, phải tư duy trừu tượng và kèm thêm việc vẽ hình phức tạp nên GV phải tạo cho học sinh kĩ năng vẽ hình và hướng dẫn học sinh tư duy dựa trên những bài toán cơ bản. 5 Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa - năm học 2007-2008 2. Thực trạng vấn đề cần nghiên cứu: Trường THCS Nhân Hoà là một trường nhỏ không có lớp chọn, trường có 8 lớp chia đều cho các khối. Phần lớn học sinh học khá và trung bình, kĩ năng cơ bản không có. Những học sinh xuất sắc của xã đều chuyển trường khác nên trường rất khó có học sinh giỏi. Việc dạy ôn thi học sinh giỏi là trách nhiệm quan trọng của nhà trường. Năm học này tôi được phân công dạy 2 lớp 9 của trường. Mỗi lớp có 45 học sinh trong đó quá nửa là học sinh trung bình và khá . Mục tiêu chính của trường chúng tôi là nâng cao chất lượng đại trà, củng cố thêm cho học sinh giỏi, bên cạnh việc hình thành cho học sinh ý thức của con người mới: sáng tạo và năng động. Trong quá trình dạy Hình tôi đã lựa chọn một phương pháp dạy cụ thể nhằm nâng cao chất lượng cho học sinh. Sau đây là nội dung tôi trình bày: 3/. Giải pháp thực hiện: Bài toán 1: (Bài 11 SGK tập 1/ trang 104 – NXBGD 2005) Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD không cắt đường kính AB. Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến H CD. Chứng minh rằng: CH = DK Gợi ý: Kẻ OM vuông góc với CD. Vì đây là bài tập ở trong phần bài “đường kính A và dây của đường tròn” nên khi có hướng dẫn kẻ OM vuông góc với CD thì học sinh sẽ nhận thấy CM = CD. Vậy để chứng minh CH = DK ta phải chứng minh điều gì? 6 C O M D K B Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa - năm học 2007-2008 Khi đó học sinh sẽ nghĩ đến việc chứng minh MK = MH. Việc chứng minh MK = MH không có gì khó khăn cả khi nhận xét được ABKH là hình thang có OM là đường trung bình của hình thang. Thông thường học sinh sẽ vẽ hình như hình vẽ trên. GV gợi ý nếu dây CD song song với AB thì việc chứng minh sẽ như thế nào? Dễ hơn hay khó hơn? D H C Bài toán 2: Cho đường tròn (O) đường kính AB, K dây CD song song với đường kính AB. Gọi H và A K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ B O A và B đến CD. Chứng minh rằng: CH = DK. Khi CD song song với AB thì không cần thiết phải kẻ OM vuông góc với CD như bài tập 1. Nhận thấy ngay rằng ABDC là hình thang cân suy ra AC = BD, Như vậy AHC = BKD suy ra HC = DK. Nếu dây CD cắt đường kính AB thì điều này còn đúng không? Hãy vẽ hình và dự đoán. Học sinh sẽ nhận ra bài toán sau: C Bài toán 3: Cho đường tròn (O) đường kính AB, H dây CD cắt đường kính AB. Gọi H và K theo thứ M A tự là chân các đường vuông góc kẻ từA và B đến O B K CD. Chứng minh rằng: CH = DK. D Bài tập này tương tự như bài toán 1, rất tự nhiên học sinh sẽ kẻ OM vuông góc với CD. Khi đó CM = DM, bây giờ chứng minh HM = DM. A H Đây là bài toán cơ bản của lớp 8: M 7 K O B Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa - năm học 2007-2008 Cho hình thang AHBK (AH//BK), O là trung điểm của AB, M là điểm thuộc HK sao cho OM song với AH. Chứng minh HM = MK Như vậy bài toán 3 đã chứng minh song. Tuy nhiên việc chứng minh bài toán 3 bằng cách trên không phải đơn giản vì bài tập hình 8 nêu trên là một bài khó đối với học sinh yếu lớp 9. GV cần khơi dậy cho học sinh sự tò mò tìm ra cách khác. Để tránh phải chứng minh dựa vào tính chất hình thang học sinh phải kẻ thêm đường kính EF song song với CD. E C Ta có AOQ = BOP QO = PO H Q  HM = MK mà MD = MC A nên CH = DK M O P Cách này chứng minh đơn giản hơn nhưng B K F phải kẻ thêm đường phụ. D Qua bài toán 1 nếu thay đổi giả thiết bài toán, từ C và D kẻ vuông góc với CD thì bài toán có gì đặc biệt? HS sẽ nhận thấy được bài toán mới tương tự: Bài toán 4: Cho đường tròn (O) và đường kính AB dây CD không cắt AB, từ C và D kẻ các đường thẳng vuông góc với CD cắt đường thẳng AB lần C lượt tại H và K. Chứng minh rằng: AH = BK D M Tương tự như bài tập 1, rất tự nhiên học sinh sẽ nghĩ đến việc kẻ OM vuông góc với CD. HC  CD; DK  CD HKDC là hình thang vuông, 8 A H O K B Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa - năm học 2007-2008 vì OM CD nên CM = DM  OM là đường trung bình của hình thang HKDC nên OH = OK Từ đó suy ra AH = BK. Nếu CD // AB thì bài toán sẽ đơn giản hơn nhiều, tương tự như bài tập 2, không cần kẻ thêm đường phụ OM  CD ta cũng có thể chứng minh được dựa vào các trường hợp bằng nhau của tam giác. Khi CD cắt AB thì bài toán này còn đúng không? Hãy để cho học sinh suy nghĩ, tự vẽ hình và dự đoán AH = BK? Khi đó GV cho học sinh làm bài tập mới tương tự: Bài toán 5: Cho đường tròn (O) và đường kính AB dây CD cắt AB, từ C và D kẻ các đường thẳng vuông góc với CD cắt đường thẳng AB lần lượt C tại H và K. Chứng minh rằng: AH = BK. Kẻ OM vuông góc với CD, H HC  CD; DK  CD  HDKC M A O B K D là hình thang vuông, vì OM CD nên CM = DM  OM là đường nối trung điểm hai đường chéo của hình thang HDKC nên OH = OK. Từ đó suy ra AH = BK. C Cách khác: F Kẻ thêm đường kính EF song song với dây CD, vì OM  với dây CD nên H CM = MD  FO = EO A M O E  HOF = KOE (g.c.g)  OH = OK  AH = BK. 9 B D K Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa - năm học 2007-2008 Lại quay trở lại bài toán 1 ta thay đổi đề thành bài tập có dạng lạ hơn: Bài toán 6: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB, dây CD quay quanh điểm I cố định trong (O) (I ≠O) sao cho dây CD không cắt đường kính AB. Vẽ AP  CD, BQ  CD. Chứng minh: P, Q nằm bên ngoài (O). P Bài toán này không có gì đặc biệt, rất dễ nhận C I thấy sự tồn tại của bài toán nhưng chính sự hiển nhiên này mà bài toán làm cho nhiều học sinh lúng A D B O túng. GV cần hướng dẫn chi tiết giúp cho học sinh Q có thể giải quyết vấn đề thật tự nhiên và nhẹ nhàng: Nối O với P và O với Q P Vì ABQP là hình thang nên góc A + góc B = 1800 C Giả sử góc A ≤ 90 thì góc B  90 0 I 0 Xét OBQ có góc B  900 nên OQ > OB = R vậy Q nằm ngoài đường tròn. A O D Q B ta lại có OPQ cân tại O nên OP = OQ > R vậy P nằm ngoài đường tròn. Dây CD quay quanh điểm I thì kéo theo rất nhiều yếu tố thay đổi. Khi đó ta có bài toán mới hay hơn: Bài toán 7: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB, dây CD quay quanh điểm I cố định trong (O) (I ≠O) sao cho dây CD không cắt đường kính AB. Vẽ AP  CD, BQ  CD. Tìm vị trí của dây CD để AP + BQ lớn nhất. 10 Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa - năm học 2007-2008 Ở bài toán 1 ta biết khi kẻ OM  CD thì OM là P C M I đường trung bình của hình thang ABQP.  AP + BQ = 2OM ≤ 2OI A Vậy AP + BQ lớn nhất bằng 2OI, dấu ‘=’ xảy ra DQ B O khi CD  với OI. Ta có nhận xét khi CD quay quanh I, độ dài của đoạn CD sẽ thay đổi, như vậy ta có bài toán mới: Bài toán 8: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB, dây CD quay quanh điểm I cố định trong (O) (I ≠O) sao cho dây CD không cắt đường kính AB. Tìm vị trí của dây CD sao cho dây cung CD có độ dài ngắn nhất. C I Theo tính chất mối quan hệ giữa dây cung và khoảng cách từ tâm đến dây. CD ngắn nhất khi OM dài nhất. A M O D B Xét OMI vuông tại M ta có: OM ≤ OI. CD ngắn nhất khi OM = OI Vậy dây CD ngắn nhất khi CD  OI. Bài toán 9: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB, dây CD quay quanh điểm I cố định trong (O) (I ≠O) sao cho dây CD không cắt đường kính AB. Tìm vị trí của dây CD sao cho dây cung CD có độ dài dài nhất. Nếu hình chiếu của điểm I trên AB nằm giữa 11 Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa - năm học 2007-2008 A và O thì vị trí để CD dài nhất là dây đi qua P C I và B Nếu hình chiếu của điểm I trên AB nằm giữa B và O thì vị trí để CD dài nhất là dây đi qua M I A DQ B O I và A Khi dây CD cắt đường kính AB thì ta có hệ thống bài tập tương tự, đầu tiên là bài tập sau: Bài toán 10: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB, dây CD quay quanh điểm I cố định trong (O) (I ≠O) sao cho dây CD cắt đường kính AB. Vẽ AP  CD, BQ  CD. Chứng minh: P, Q nằm bên trong (O). C P Cách làm bài này tương tự như cách chứng minh P, Q nằm ngoài đường tròn (O) Yêu cầu học sinh về nhà làm bài tập này. .I A O M B Q D Chúng ta xét bài toán tiếp theo Bài toán 11: (Bài 30 SGK toán 9 tập 1 trang 116, NXBGD năm 2005) Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB (đường kính của một đường tròn chia đường tròn đó thành 2 nửa đường tròn). Gọi Ax và By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh rằng: a, góc COD = 900 b, CD = AC + BD c, Tích AC.BD không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn. 12 Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa - năm học 2007-2008 Rõ ràng đây là bài toán khó đối với học sinh đại trà, giáo viên cần hướng dẫn chi tiết kể cả y lời giải để học sinh có thể học cách trình bày: a, Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau tại một D x M C điểm ngoài đường tròn thì: góc AOC = góc COM góc MOD = góc DOB mà góc AOB = 1800 nên góc COD = 1800 : 2 = 900 A O B b, Theo tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có : AC = CM và BD = DM Từ đó suy ra AC + BD = CM + MD = CD c, Vì tam giác COD là tam giác vuông tại O nên OM2 = CM.DM  AC.BD = OM2 = R2 ( không đổi) Vậy khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn thì AC.BD không đổi. Giống như dạng bài toán 1, ta thay đổi đề bài tương tự như vậy ta có bài mới như sau: Bài toán 12: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB (đường kính của một đường tròn chia đường tròn đó thành 2 nửa đường tròn). Gọi Ax và By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D. y Hỏi điểm M ở vị trí nào thì CD ngắn nhất. D x M Học sinh dễ dàng thấy ABDC là hình thang vuông. C Kẻ CH  BD nên AB = CH ≤ CD Vậy CD nhỏ nhất khi CD = CH. Mà CD là tiếp tuyến A 13 H O B Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa - năm học 2007-2008 từ M của nửa đường tròn (O) Vậy M là điểm chính giữa của cung AB. Từ bài tập này ta có bài toán mới: Bài toán 13: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB (đường kính của một đường tròn chia đường tròn đó thành 2 nửa đường tròn). Gọi Ax và By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D. Hỏi điểm M ở vị trí nào thì tứ giác ABDC có chu vi nhỏ nhất. Tính chu vi y đó theo bán kính R của đường tròn (O). D x Như bài tập trên học sinh có ngay M C AC = AM và MD = DB Vậy AC + BD = CD Ta có chu vi của tứ giác ABDC là AB + BD + DC + CA = AB + 2CD  3AB = 6R A O B Vậy chu vi của tứ giác ABDC nhỏ nhất bằng 6R khi M là điểm chính giữa của cung AB. Bài toán 14: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB (đường kính của một đường tròn chia đường tròn đó thành 2 nửa đường tròn). Gọi Ax và By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng x một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A M và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và C D. AM cắt CO ở E và BM cắt DO ở F. F E Chứng minh rằng: tứ giác OEMF là hình chữ nhật. A 14 O y D B Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa - năm học 2007-2008 Đây là bài tập cơ bản, học sinh sẽ chứng minh 3 góc tại đỉnh E,M,F vuông dễ nhất. Thật vậy: Góc M = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), góc E = góc F = 900 (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) như vậy suy ra tứ giác OEMF là hình chữ nhật. Như vậy qua cách chứng minh này ta có thêm phương pháp chứng minh góc COD vuông. Bài toán 11 phần a đã được giải quyết gọn gàng, không cần phức tạp như cách trình bày đầu tiên. Khi nối C với B và A với D ta có bài toán mới hay hơn. Bài toán 14: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB (đường kính của một đường tròn chia đường tròn đó thành 2 nửa đường tròn). Gọi Ax và By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D. y Gọi BC  AD = N D x Chứng minh rằng: MN  AB M Để chứng minh MN  AB thì ta phải chứng C N minh MN // Ax, để chứng minh điều này ta sẽ chứng minh MD MC = ta chỉ cần chứng minh: DN NA MD MC mà DN NA = DB CA = DB CA . Điều này quá hiển nhiên vì MD = BD; MC = CA 15 A O B Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa - năm học 2007-2008 Nhưng khi kéo dài MN cắt AB tại H ta biến đổi tương tự bài toán 14 ta có bài toán mới: Bài toán 15: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB (đường kính của một đường tròn chia đường tròn đó thành 2 nửa đường tròn). Gọi Ax và By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D. Gọi BC  AD = N, MN  AB = H. M C Cách làm như bài toán trên ta có: MN CA = DN DA = BN BC = D x Chứng minh rằng: MN = HN y NH CA N A Từ đó suy ra MN = MH H O B Nếu bài toán 11 được biến đổi đề 1 chút ta có bài toán dạng tương tự Bài toán 16: Cho nửa đường tròn tâm O, lấy điểm M trên nửa đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến d tại M, từ A và B kẻ các đường thẳng vuông góc với d lần lượt tại C và D. Chứng minh rằng: MC = MD D M Không đơn giản để làm bài này, ta phải kẻ thêm đường phụ. Tương tự như các bài trên C ta nối O với M A Khi đó ABDC là hình thang vuông OM // AC và OM đi qua trung điểm của AB Vậy MC = MD 16 O B Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa - năm học 2007-2008 Kết hợp với các bài trên ta có bài toán lạ mà quen thuộc sau: Bài toán 17: Cho nửa đường tròn tâm O, lấy điểm M trên nửa đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến d tại M, từ A và B kẻ các đường thẳng vuông góc với d lần lượt tại C và D. Tìm vị trí của điểm M để cho góc COD = 900 D Để góc COD = 900 thì MC=MD=MO = R vậy CD = AB = 2R M  ABDC là hình chữ nhật C  CA  AB và DB  AB A  MO  AB O Vậy M ở vị trí là trung điểm của cung AB thì góc COD = 900 Chóng ta xÐt c¸c bµi tËp chøng minh c¸c ®¹i lîng kh«ng ®æi. HÖ thèng c¸c bµi tËp nµy t¬ng ®èi khã, yªu cÇu ®èi víi gi¸o viªn cÇn híng dÉn häc sinh chi tiÕt. Bµi to¸n 18: Trªn (O) lÊy 2 ®iÓm A vµ B sao cho  AOB = 45. Qua 1 ®iÓm C trªn cung AB ta kÎ ®êng vu«ng gãc CH xuèng OB gäi D lµ giao ®iÓm cña c¸c tia OA vµ HC. Chøng minh r»ng: HC2 + HD2 kh«ng ®æi khi C di chuyÓn trªn cung AB. Híng dÉn : D YÕu tè ®é dµi kh«ng ®æi trong bµi nµy lµ g× ? Häc sinh t×m ®îc OA = OB = OC = R kh«ng ®æi A C Chøng minh HC2 + HD2 kh«ng ®æi ta nghÜ ®Õn ®Þnh lÝ nµo ? O H B HS sÏ nghÜ ®Õn ®Þnh lÝ Pitago nhng kh«ng thÓ lµm ®îc v× HC , HD kh«ng ph¶i lµ 2 c¹nh cña tam gi¸c vu«ng. 17 B Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa - năm học 2007-2008 Cho  AOB = 45 gióp chóng ta ®îc ®iÒu g×?. Khi ®ã häc sinh sÏ t×m ra ®Æc ®iÓm cña tam gi¸c OHD lµ tam gi¸c vu«ng c©n . Khi ®ã : HC2 + HD2 = HC2 + HO2 = OC2 =R2 kh«ng ®æi. Bµi to¸n 19: Cho (O,R) cã ®êng kÝnh AB vµ d©y CD vu«ng gãc víi nhau t¹i H. M lµ ®iÓm trªn ®êng th¼ng CD. AM c¾t (O) ë A vµ N. Chøng minh r»ng: AM.AN kh«ng ®æi khi M di chuyÓn trªn ®êng th¼ng CD. Híng dÉn: M YÕu tè ®é dµi kh«ng ®æi lµ g× ? N C Häc sinh sÏ thÊy ngay ®ã lµ AB, CD vµ R kh«ng ®æi . H Muèn tÝnh AM.AN ta thêng lµm nh thÕ nµo ? B A HS sÏ nghÜ ®Õn tam gi¸c ®ång d¹ng hoÆc ®Þnh lÝ Ta lÐt ®Ó suy ra c¸c tØ lÖ thøc. D ®ång Nhng bµi nµy kh«ng cã yÕu tè song song nªn ta sÏ t×m 2 cÆp tam gi¸c d¹ng chøa ®o¹n AM vµ AN Häc sinh t×m tßi sÏ t×m ®îc ANB  AHM Suy ra: AN AB   AH AM AM.AN = AH.AB = AC 2 ( hÖ thøc trong tam gi¸c vu«ng) VËy AM.AN kh«ng ®æi khi M di chuyÓn trªn ®êng th¼ng CD. Bµi to¸n 20: Qua ®iÓm M cè ®Þnh bªn trong ®êng trßn (O,R) ta kÎ 2 d©y vu«ng gãc thay ®æi lµ AB vµ CD. Chøng minh r»ng: MA2 +MB2 +MC2 +MD2 kh«ng ®æi khi c¸c d©y cung AB vµ CD thay ®æi. Híng dÉn: T×m nh÷ng yÕu tè ®é dµi nµo cè ®Þnh ? HS sÏ t×m ®îc yÕu tè cè ®Þnh ®ã lµ ®êng kÝnh vµ ®o¹n MO. 18 E C O M A D B Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa - năm học 2007-2008 Cho AB  CD ta nghÜ ®Õn ®iÒu g× ? HS sÏ biÕt c¸ch vËn dông ®Þnh lÝ Pi ta go. ViÖc chøng minh MA2 +MB2 +MC2 +MD2 kh«ng ®æi t¬ng ®¬ng víi viÖc chøng minh AC2 +BD2 kh«ng ®æi. Liªn hÖ AC2 ,BD2 víi ®êng kÝnh ta lµm nh thÕ nµo? HS sÏ tù biÕt c¸ch kÐo dµi DO c¾t ®êng trßn (O) t¹i E. Tø gi¸c ACEB cã ®Æc ®iÓm g× ? HS cha ph¸t hiÖn ra GV cã thÓ gîi ý: NhËn xÐt g× vÒ gãc DCE ? Häc sinh sÏ thÊy ®©y lµ gãc vu«ng nªn tø gi¸c ACEB lµ h×nh thang c©n. Suy ra AC = BE VËy AC2 +BD2 =BE2 +BD2 =DE2 = (2R)2 kh«ng ®æi. Bµi to¸n 21: Cho (O,R) cã ®êng kÝnh AB vµ ®êng th¼ng a vu«ng gãc víi AB t¹i C (B n»m gi÷a A vµ C). Tia Ax c¾t (O) t¹i M c¾t a t¹i N. Chøng minh r»ng : AM.AN kh«ng ®æi khi Ax thay ®æi. N Híng dÉn: M YÕu tè nµo kh«ng ®æi trong bµi nµy ? HS sÏ t×m ®îc ngay ®ã lµ CB, AC vµ AB. C¸ch tÝnh AM.AN quen thuéc lµ g× ? a HS sÏ nh¾c ®Õn ph¬ng ph¸p dïng tam gi¸c A O B C ®ång d¹ng. Yªu cÇu häc sinh t×m 2 tam gi¸c ®ång d¹ng cã 2 c¹nh AM vµ AN Trong h×nh vÏ chØ cã 1 tam gi¸c nªn HS ph¶i nèi M víi B ®Ó t¹o ra tam gi¸c n÷a. Suy ra AMB  CAN  AB AM  AN AC  AM.AN = AB. AC kh«ng ®æi. Bµi to¸n 22: Cho ®êng trßn ®êng kÝnh AB = 2R vµ A lµ ®êng vu«ng gãc víi AB t¹i A. Mét tia Bx c¾t ®êng trßn ë C vµ c¾t A ë M. M Chøng minh r»ng: BC.BM kh«ng ®æi khi Bx thay ®æi. C Híng dÉn: 19 A a O B Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa - năm học 2007-2008 Bµi nµy lµ trêng hîp ®Æc biÖt cña bµi 21 C¸ch lËp luËn vµ suy nghÜ hoµn toµn nh bµi 21. BC.BM = 4R2 kh«ng ®æi. Ba× to¸n 23: Cho (O,R) vµ ®iÓm P ë trong ®êng trßn kh«ng trïng víi ®iÓm O ta kÎ d©y AB ®i qua P. TiÕp tuyÕn t¹i A vµ B c¾t nhau t¹i C. Tõ C kÎ ®êng th¼ng d vu«ng gãc víi OP t¹i E. OC c¾t AB ë D. Chøng minh khi AB thay ®æi xung quanh ®iÓm P th× OE kh«ng ®æi. Híng dÉn: T×m yÕu tè ®é dµi kh«ng ®æi trong bµi nµy? HS sÏ chØ ®îc b¸n kÝnh R vµ OP kh«ng ®æi. OP vµ OE cã liªn hÖ víi nhau nh thÕ nµo? Cã thÓ gîi ý thªm t×m cÆp tam gi¸c ®ång d¹ng chøa 2 ®o¹n OE vµ OP HS khi ®ã sÏ t×m ®îc  OEC  ODP Rót ra: OE OC   OD OP  OE = OC.OD OP d OE.OP = OC.OD . Ta thÊy OP kh«ng ®æi A C D cßn OC.OD ta tÝnh nh thÕ nµo? HS nhËn thÊy OC.OD = OA2 (  AOC O P E vu«ng t¹i A) Tõ ®ã  OE = R2 OP B kh«ng ®æi . B×nh luËn: NÕu bµi to¸n 23 thay ®æi mét chót sÏ trë thµnh bµi tËp khã h¬n nhiÒu. d Bµi to¸n 24: Cho (O,R) vµ ®iÓm P ë trong ®êng trßn kh«ng trïng víi A ®iÓm O ta kÎ d©y AB ®i qua P. TiÕp tuyÕn t¹i A vµ B c¾t nhau t¹i C. Chøng C minh khi AB thay ®æi th× C lu«n ch¹y trªn ®êng th¼ng cè ®Þnh. D O Híng dÉn: 20 P E B