Skkn phân loại và phương pháp giải phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10

  • Số trang: 20 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 12 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 24000 tài liệu

Mô tả:

A. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lý do chọn đề tài Giải phương trình là một trong những lĩnh vực nghiên cứu của Toán học. Có nhiều phương pháp giải phương trình và ta phải căn cứ vào đặc thù của mỗi bài toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp. Mỗi bài toán giải phương trình có thể áp dụng nhiều cách giải, phương pháp giải khác nhau, cũng có bài phải phối hợp nhiều phương pháp một cách hợp lí. Bài toán giải phương trình được vận dụng nhiều vào các dạng bài toán giải và biện luận phương trình, bất phương trình, áp dụng trong quá trình khảo sát hàm số… Và được sử dụng nhiều trong quá trình ôn tập, đặc biệt là trong quá trình học THPT… Vì vậy học sinh cần phải nắm được những kiến thức cơ bản về giải phương trình. Trong chương trình toán phổ thông nói chung và chương trình Đại số 10 nói riêng chúng ta đã làm quen với phương trình bậc bốn. Tuy nhiên các em học sinh mới gặp các phương trình bậc bốn dạng đơn giản như phương trình trùng phương, phương trình quy hồi... qua vài phép biến đổi học sinh có thể giải quyết một cách dễ dàng. Tuy vậy, khi gặp các phương trình bậc bốn không có dạng đặc biệt các em tỏ ra lúng túng và hầu như đều không giải được. Khi giải các bài toán giải phương trình bậc bốn đòi hỏi học sinh phải biết vân dụng các kiến thức cơ bản trong toàn bộ chương trình, các kỹ năng biến đổi từ dạng phức tạp và dạng đơn giản một cách linh hoạt. Trong quá trình giải phương trình bậc bốn học sinh cần có tư duy lôgíc, khả năng tổng hợp vận dụng thành thạo các kiến thức về phân tích đa thức thành nhân tử, biến đổi đồng nhất cũng như các kiến thức về bất đẳng thức. Thông qua đó giúp học sinh rèn luyện tư duy lôgíc, khả năng tưởng tượng, phát huy được cao độ tính tích cực, chủ động và vận dụng kiến thức vào thực tiễn.  Trong quá trình tìm tòi, tôi đã tìm đọc một số sách của các tác giả viết về vấn đề phương trình bậc bốn, tuy nhiên vấn đề mà tôi trình bày còn khá mới mẻ và chưa được tìm hiểu cụ thể. Sau đây tôi xin giới thiệu vài cách giải các phương trình bậc bốn dạng x 4  ax3  bx 2  cx  d  0 (Trong đó a, b, c, d là các số thực khác 0). Từ những lý do trên tôi lựa chọn đề tài “ Phân loại và phương pháp giải phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10 nhằm nâng cao kết quả học tập môn Toán”. Tôi xin trình bày để các độc giả tham khảo. 2. Mục đích nghiên cứu Thông qua đề tài này giúp học sinh hiểu sâu và nắm chắc hơn các phương pháp giải phương trình bậc bốn. Từ đó nghiên cứu tìm tòi sáng tạo nhằm nâng cao chất lượng học tập môn toán trong trường THPT, đặc biệt đạt kết quả cao trong các cuộc thi học sinh giỏi. 3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Học sinh lớp 10A1, 10A2, 10A3 THPT Đinh Chương Dương – Hậu Lộc. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu các phương pháp cơ bản về giải phương trình bậc bốn, đưa ra các ví dụ minh hoạ cụ thể, các dạng bài tập củng cố và rèn luyện kỹ năng cho học sinh. - Tìm hiểu các đề thi mà trong đó có dạng bài tập giải phương trình bậc bốn nhằm đưa ra phương pháp giải và dạng tổng quát cho các dạng bài tập thường gặp làm tài liệu bổ ích cho học sinh và giáo viên tham khảo và học tập.  Trong nội dung của đề tài này xin được tập trung giới thiệu cách giải phương trình bậc bốn dạng tổng quát x 4  ax3  bx 2  cx  d  0 (Trong đó a, b, c, d là các số thực khác 0). 5. Phương pháp nghiên cứu - Thông qua quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi bản thân tôi đã tìm hiểu và tích luỹ được. - Thông qua các bài kiểm tra, các kì thi chọn học sinh giỏi hàng năm để rút ra kinh nghiệm bồi dưỡng cho học sinh. - Thông qua các tài liệu bồi dưỡng, các bài tập nâng cao. B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. CƠ SỞ LÝ LUẬN Bài toán giải phương trình bậc bốn rất được chú trọng trong các đề kiểm tra, các kỳ thi học sinh giỏi các cấp cũng như trong tất cả các tài liệu nâng cao và nó  cũng xuất hiện rất nhiều trong các đề tài nghiên cứu khoa học cũng như các tạp chí toán học hiện nay. II. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ Kỹ năng giải phương trình bậc bốn của học sinh còn nhiều hạn chế, chưa được rèn luyện thường xuyên. Học sinh mới tiếp cận các phương trình bậc bốn dạng đơn giản, như phương trình trùng phương, phương trình quy hồi... qua vài phép biến đổi học sinh có thể giải quyết một cách dễ dàng. Tuy vậy, khi gặp các phương trình bậc bốn không có dạng đặc biệt các em tỏ ra lúng túng và hầu như đều không giải được. Các tài liệu viết về dạng toán giải phương trình bậc bốn còn tản mạn, tuỳ thuộc nhiều vào người viết cũng như cách hướng dẫn học sinh. Do đó chưa có những phương pháp cụ thể, rõ ràng và chưa khắc sâu được kiến thức cho học sinh. Từ thực trạng như trên việc chọn chuyên đề “ Phân loại và phương pháp giải phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10 nhằm nâng cao kết quả học tập môn Toán” là cần thiết để góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy và học tập của giáo viên cũng như của học sinh. III. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN Vấn đề nghiên cứu được trình bày thông qua nội dung 3 bài: Bài 1: Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Bài 2: Phương pháp đặt ẩn phụ Bài 3: Công thức nghiệm của phương trình bậc bốn  BÀI 1: PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 4 3 2 Để giải phương trình bậc bốn dạng: ax  bx  cx  dx  e  0 (1). Ta có thể đưa phương trình về dạng phương trình tích mà các nhân tử ở vế trái của phương trình là các đa thức bậc nhất và bậc hai. Ta có thể dự đoán nghiệm của phương trình (1) bằng cách như sau: - Nếu a + b +c +d +e = 0 thì (1) có nghiệm x = 1. - Nếu a - b +c - d +e = 0 thì (1) có nghiệm x = -1. - Nếu a, b,c ,d ,e nguyên và (1) có nghiệm hữu tỉ p thì p, q theo thứ tự là ước q của e và a. - Nếu các phương pháp nhẩm nghiệm không có tác dụng ta có thể vận dụng kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử. Ý tưởng thường được sử dụng là chuyển đa thức bậc bốn về dạng: A 2  B 2  0   A  B  A  B   0 khi đó ta được tích của hai tam thức bậc hai. Do đó việc giải phương trình bậc bốn quy về việc giải phương trình bậc hai. Đây cũng chính là cách để giải mọi phương trình bậc bốn. Ví dụ1: Giải phương trình x 4  4 x 3  x 2  16 x  12  0 (1) Giải: Ta thấy a + b + c + d + e = 1 - 4 - 1 + 16 - 12 = 0 Do đó phương trình (1) có nghiệm x 1 . Khi đó phương trình (1) viết được dưới dạng:   x  1  x3  3x 2  4 x  12   0 (2) 3 2 Ta thấy x  2 là nghiệm của phương trình x  3 x  4 x  12 0 . 2 Do đó : (2) �  x  1  x  2   x  x  6   0 � x 1 0 x 1 � � �� x20 �� x2 � � x  3; x  2 x2  x  6  0 � � � Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là: S = {1; 2; -2; 3}. Ví dụ2: Giải phương trình x 4  3x 2  4 x  3  0 (1) Ta thấy phương trình (1) không áp dụng phương pháp nhẩm nghiệm, nên ta vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (1) �  x 4  2 x 2  1   x 2  4 x  4   0 �  x 2  1   x 2  2   0 2 2 �  x 2  x  3  x 2  x  1  0 � x 2  x  3  0 (2) � �2 x  x  1  0 (3) � � 1  13 x1  � 2 Giải phương trình (2) ta được � � 1  13 x2  � � 2 Giải phương trình (3) vô nghiệm.  � 1  13 1  13 � ; Vậy tập nghiệm của phương trình (2) là S  � � 2 � � 2 Ví dụ3: Giải phương trình 2 x 4  3 x3  16 x 2  3 x  2  0 (1) Ta thấy hệ số của những số hạng cách đều số hạng đầu và cuối bằng nhau, đây là phương trình đối xứng bậc bốn. Chia cả hai vế cho x 2 ( khác không ) ta có: 3 2  0 x x2 1 1 � 2( x 2  2 )  3( x  )  16  0 x x (1) � 2 x 2  3x  16  Đặt t  x  1 1 1 � t 2  ( x  )2 � x 2  2  t 2  2 x x x Ta được phương trình: 2t 2  3t  20  0 � 1 � t  4 � x   4 � x  2 � 3 2 � x  4 x  1  0 x � � � �� 2 � 5 �� 1 � � 1 5 t 2 x  5 x  2  0 x  ;x  2 � � x  � � 2 2 � x 2 1 Vậy phương trình có nghiệm: x  2 � 3; x  ; x  2 2 Như vậy với các Ví dụ 1, 2, 3 ta giải được phương trình nhờ các phép biến đổi sáng tạo phương trình để dẫn tới việc giải phương trình tích, và phương trình quen thuộc.  BÀI TẬP ÁP DỤNG Giải các phương trình sau: Bài 1: 2x4 - 6x3 - x2 + 12x - 10 = 0. Bài 2: 2x4 - 6x2 - 8x - 6 = 0. Bài 3: x3 – 2x2 + 6x – 12 = 6. -------------------o0o------------------- BÀI 2: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 1. Dạng 1: Phương trình trùng phương Giải phương trình: ax 4  bx 2  c  0 (1)  Phương pháp:  Bước 1: Đặt t = x2 với t  0. Khi đó (1) � at 2  bt  c  0 (2) Đó là phương trình bậc hai theo ẩn t.  Bước 2: Kết luận về nghiệm của phương trình (1) Nếu (2) có nghiệm t0  0 thì (1) có nghiệm x  � t0 Ví dụ 1: Giải phương trình: x 4  4 x 2  5  0 (1) Giải: Đặt x2 = t với t  0 Ta được: t 2  4t  5  0 (2) có 2 nghiệm: t1  1; t2  5 Kết hợp với điều kiện t  0 ta có: t1 = -1 không thoả mãn Với t2 = 5 ta có: x 2  5 � x  � 5 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: x  � 5 2. Dạng 2: Phương trình hồi quy có dạng ax 4  bx3  cx 2  dx  e  0 ; ( a �0; e d  ( ) 2 ; e �0) a b Phương pháp:  Bước 1: Nhận xét x = 0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho. Chia cả hai vế của phương trình cho x2  0 ta được: �2 e 1 � � d 1 � b x (1)  a �x  � c  0 (2) 2 � � � a x � � b x�   Bước 2: d � d 1� 2 e 1  t2  2 Đặt t  �x  �� x  2 ax b � b x� 2 Khi đó: (2) � at  bt  c  2a. d  0 (3) b Đây là phương trình bậc hai quen thuộc.  Bước 3: Kết luận nghiệm của phương trình (1). *Chú ý: - Trong trường hợp đặc biệt e a  1 tức là đối với những phương trình có dạng: ax 4  bx 3  cx 2  bx  a  0 ta cũng có cách giải tương tự. - Nhiều phương trình ở dạng ban đầu không phải là phương trình hồi quy, tuy nhiên với phép đặt ẩn phụ thích hợp ta có thể đưa chúng về dạng phương trình hồi quy. Từ đó áp dụng phương pháp đã biết để giải. Ví dụ 2: Giải phương trình x 4  9 x3  28 x 2  36 x  16  0 (1) Giải: Nhận thấy 16 36 2 ( )  22 do đó phương trình này là phương trình quy 1 9 hồi Vì x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (1) nên chia cả hai vế của phương trình cho x ta có: x 4  9 x3  28 x 2  36 x  16  0 � x 2  9 x  28  � x2  16 36  9 x   28  0 x2 x 10  36 16  0 x x2 Đặt t  x  4 � t 2  9t  20  0 � t  4; t  5 x Với t  4 � x  4  4 � x2  4x  4  0 � x  2 x Với t  5 � x  4  5 � x 2  5 x  4  0 � x  1; x  4 x Vậy phương trình có 3 nghiệm: x = 1; x = 2; x = 4 3. Dạng 3: Phương trình có dạng  x  a   x  b  x  c  x  d  m DK : a  b  c  d Phương pháp:  Bước 1: Viết lại phương trình dưới dạng: [ x 2  (a  b) x  ab][ x 2  (c  d ) x  cd ] m  Bước 2: Khi đó ta có: t  x 2   a  b  x  ab � x 2   c  d  x  cd  t  ab  cd t  t  ab  cd   m � t 2   ab  cd  t  m  0 Đây là phương trình bậc hai quen thuộc.  Bước 3: Kết luận về nghiệm của phương trình Ví dụ 3: Giải phương trình ( x  1)( x  2)( x  4)( x  5)  10 Giải: 11  ( x  1)( x  2)( x  4)( x  5)  10 � ( x 2  6 x  5)( x 2  6 x  8)  10 Đặt: t  x 2  6 x  5 ta có phương trình: t (t  3)  10 � t 2  3t  10  0 � t  5; t  2 t  5 � x 2  6 x  5  5 � x 2  6 x  10  0 Phương trình này vô nghiệm � x  3  6 t  2 � x2  6 x  5  2 � x2  6 x  3  0 � � x  3  6 � Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x  3  6; x  3  6 4. Dạng 4: Phương trình có dạng  x  a    x  b   c 4 4 Phương pháp: a b � x  a  t  ab � � 2 ��  Bước 1: t  x  2 �x  b  t  a  b � 2 Khi đó phương trình đã cho có dạng: 2 4 a b 2 a b 2t  12  .t  2  c  2   2  4 Đó là phương trình trùng phương đã biết cách giải.  Bước 2: Kết luận về nghiệm của phương trình đã cho. Ví dụ 4: Giải phương trình ( x  4) 4  ( x  6) 4  0 Giải: Đặt t  x  5 � x  t  5 Phương trình trở thành: (t  1)4  (t  1) 4  0 � t 4  6t 2  1  0 12  � X  3  8  0 2 2 X  6 X  1  0 � t  X ( X � 0) � Đặt ta được phương trình: X  3  8  0 � Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. * Ta thấy cách đặt ẩn phụ cho phương trình bậc bốn rất phong phú và đa dạng tuỳ thuộc vào đặc thù mỗi bài toán, phương pháp được trình bày ở trên chỉ minh hoạ được một vài dạng thường gặp. BÀI TẬP ÁP DỤNG Giải các phương trình sau: Bài 1: a) 2x 4 – 8x 2 – 10  0. b) –x 4 – 2x 2 – 26  13. c) 2,6x 4  1,8x 2  0. Bài 2: a)  x  2   x  1  x  1  x  2   6. b)  y – 6   y  5   y – 2   y  1  2. c)  12  y   y – 9   y – 6   y  9   7. Bài 3: a)  x  2   4 b)  x – 2   4 x x  6   3. 4 – 3  10. 4 c)  2 – x    3 – 6   100. 4 4 Bài 4: Cho phương trình x 4 – 2x 3  6x – 5  m. a) Giải phương trình với m = -1. b) Biện luận số nghiệm của phương trình với giá trị m. c) Tìm m để phương trình đã cho có 1 nghiệm x = 1. -------------------o0o------------------ BÀI 3: CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN 13  Sau đây ta sẽ tìm công thức nghiệm của phương trình bậc bốn f ( x)  x 4  ax3  bx 2  cx  d  0 (1) Trong đó a, b, c, d là các số thực. Phương pháp: Biến đổi đa thức về dạng 1 1 1 1 1 f ( x )  ( x 2  ax  h)2  bx 2  cx  d  a 2 x 2  h 2  hx 2  ahx 2 2 4 4 2 1 1 1 1 1  ( x 2  ax  h)2  [(h+ a 2 -b)x 2  ( ah  c) x  ( h 2  d )] 2 2 4 2 4 Tam thức trong dấu móc vuông có dạng: Ax 2  Bx  C 2 2 Ax 2  Bx  C có thể viết dưới dạng Ax  Bx  C  ( Px  Q) Khi và chỉ khi : B 2  4 AC  0 � 4 AC  B 2  0 1 1 1 � 4(h+ a 2 -b)( h 2  d )  ( ah  c) 2  0 (2) 4 4 2 Đây là phương trình bậc ba đối với h nên có ít nhất một nghiệm thực. Khi đó: 1 1 f ( x)  ( x 2  ax  h) 2  ( Px  Q ) 2 2 2 1 1 1 1  ( x 2  ax  h  Px  Q)( x 2  ax  h  Px  Q)  0 2 2 2 2 1 �2 1 x  ax  h  Px  Q  0 (3) � 2 2 �� 1 1 � x 2  ax  h  Px  Q  0 (4) � 2 2 Giải (3) và (4) để tìm tập nghiệm của phương trình. Ví dụ: Giải phương trình x 4  x3  7 x 2  x  6  0 Giải: Dựa vào công thức (2) ta xác định được h: 14  29 1 2 1 )( h  6)  ( h  1) 2  0 4 4 2 � h3  7 h 2  25h  175  0 4(h+ Phương trình có 1 nghiệm là h = 5 7 1 Với h = 5, a = -1, b = -7, c = 1, d = 6 ta tính được: P  ; Q  2 2 1 5 7 1 ( x 2  x  )2  ( x  )2  0 2 2 2 2 1 5 7 1 1 5 7 1 � ( x 2  x   x  )( x 2  x   x  )  0 2 2 2 2 2 2 2 2 5 7 1 �2 1 x  x   x  0 � 2 � 2 2x  6x  4  0 2 2 2 �� �� 2 1 5 7 1 2 x  8x  6  0 � x2  x   x   0 � � 2 2 2 2 x  1; x  2 � �� x  1; x  3 � Vậy phương trình có 4 nghiệm: x = -1, x= -2, x=1, x= 3 Như vậy với việc tìm ra số h từ công thức (2) ta có thể giải các phương trình bậc bốn không có dạng đặc biệt như đã phân loại ở bài 1 và bài 2. BÀI TẬP ÁP DỤNG Giải các phương trình sau: 15  1) x 4  4 x3  3 x 2  2 x  1  0 2) x 4  2 x3  5 x 2  4 x  12  0 3) 6 x 4  5 x 3  38 x 2  5 x  6  0 4) x 4  5 x3  12 x 2  5 x  1  0 5) x 4  2 x3  2 x 2  6 x  15  0 -------------------o0o------------------ C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT I. Những kết quả đạt được Qua quá trình tìm tòi nghiên cứu và trực tiếp giảng dạy, đề tài “Phân loại và phương pháp giải phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10 nhằm nâng cao kết quả học tập môn Toán” đã tác động tích cực đến học sinh. Phát huy được tính tích cực, sáng tạo tư duy logic của các em. Học sinh không cảm thấy lung túng khi gặp các phương trình bậc bốn không có dạng đặc biệt, từ đó các em các em thích thú hơn với bài toán giải phương trình, đặc biệt là phương trình bậc bốn. Đối với bản thân, nhờ quá trình thường xuyên trau dồi, học hỏi đồng nghiệp, nghiên cứu tích luỹ kinh nghiệm, tôi đã thường xuyên nâng cao chất lượng của chuyên đề nghiên cứu thành một chuyên đề có hiệu quả và chất lượng. * Thống kê kết quả lớp bồi dưỡng 16  Như vậy rõ ràng qua ba năm thực hiện đề tài này, kết quả học tập của học sinh có sự tiến bộ rõ rệt. II. Bài học kinh nghiệm Qua quá trình trực tiếp giảng dạy do đối tượng học sinh trong một lớp không đồng đều về mức độ nhân thức nên giáo viên nên đưa ra các dạng đi từ dễ đến khó, kết hợp ôn tập, giao bài tập về nhà, kiểm tra học sinh. Nội dung kiến thức về đề tài là kiến thức mở do đó giáo viên nên đưa vào cuối các giờ luyện tập, hoặc buổi học phụ đạo bồi dưỡng. Sau khi hướng dẫn xong nội dung chuyên đề cần chỉ cho học sinh những kiến thức cần thiết, đồng thời rèn luyện cho học sinh những kĩ năng làm bài tập cho học sinh. Cần đưa nội dung vào giờ dạy cho phù hợp, mỗi giờ học chỉ nên giới thiệu một dạng toán, tránh dồn ép học sinh tiếp nhận kiến thức một cách thụ động mà kết quả đạt được không cao. III. Những kiến nghị và đề xuất 17  Học sinh cần có đầy đủ dụng cụ học tập,sách giáo khoa, sách tham khảo và các bài toán nâng cao trên các tạp chí của bộ môn toán. Với giáo viên cần có nhiều nguồn tài liệu nghiên cứu, học hỏi trên nhiều kênh thông tin, tự nghiên cứu trau rồi kiến thức, tích luỹ kinh nghiệm cho bản thân. Thường xuyên quan tâm đến việc giải các bài tập theo các dạng ở trên. Trong quá trình giảng dạy, cần tổ chức cho học sinh sáng tạo tìm hiểu những cách giải mới, các lời giải hay. Biết khắc sâu kiến thức cơ bản, các bài tập thường gặp nhằm đưa về dạng tổng quát hoá. Đối với các cấp quản lý, cần tạo điều kiện cho giáo viên đi học tập các lớp nâng cao trình độ, tổ chức các lớp bồi dưỡng thường xuyên nâng cao chuyên môn, nghiệp vụ, hỗ trợ nguồn kinh phí cung cấp cho thư viện trường các đầu sách có giá trị, đúng trọng tâm để giáo viên có tài liệu tham khảo. Đề tài này đã được các đồng nghiệp góp ý bổ sung, nhưng chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót. Trong pham vi khuôn khổ, đề tài còn ít ví dụ minh hoạ cũng như chưa đi hết các cách giải. Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến cũng như các nhận xét của tất cả các thầy, cô và các bạn đồng nghiệp để tôi sửa chữa nhưng chỗ sai, những chỗ còn thiếu sót nhằm nâng cao chất lượng của chuyên đề nghiên cứu thành một chuyên đề thiết thực và có hiệu quả cao. Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày tháng năm 2013 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác. 18  TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Sách giáo khoa Toán bậc THPT, NXB GD, 2006 [2]. Sách giáo viên Toán bậc THPT, NXB GD, 2006 [3]. Phạm Văn Điều, Một số phương pháp chọn lọc giải các bài toán sơ cấp, NXB ĐHQGHN, 2000. [4]. Thiết kế bài giảng toán bậc THCS. [5]. Tạp chí toán học tuổi trẻ. 19  MỤC LỤC A. ĐẶT VẤN ĐỀ................................................................................... B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.................................................................... I. Cơ sở lý luận........................................................................................ II. Thực trạng vấn đề.............................................................................. III. Giải pháp và tổ chức thực hiện.......................................................... Bài 1: Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử………….............. Bài 2: Phương pháp đặt ẩn phụ………………………………………… Bài 3: Công thức nghiệm của phương trình bậc bốn………………….. C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT.............................................................. D. TÀI LIỆU THAM KHẢO. ……………………………………… 20  Trang 1 3 3 3 3 4 7 11 13 15
- Xem thêm -