Skkn phân loại dạng toán liên quan tới phương trình bậc ii

  • Số trang: 23 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 15 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 24000 tài liệu

Mô tả:

SKKN: Ph©n lo¹i d¹ng to¸n liªn quan tíi ph¬ng tr×nh bËc hai 2 phÇn I : §Æt vÊn ®Ò 1) LÝ do chän ®Ò tµi: Trong c¸c m«n häc ë trêng phæ th«ng cïng víi m«n V¨n – TiÕng ViÖt, m«n to¸n cã vÞ trÝ rÊt quan träng. To¸n häc, víi t c¸ch lµ m«n khoa häc nghiªn cøu mét sè mÆt cña thÕ giíi thùc, to¸n häc cã hÖ thèng kiÕn thøc c¬ b¶n vµ ph¬ng ph¸p nhËn thøc cÇn thiÕt cho ®êi sèng sinh ho¹t vµ lao ®éng. Nã còng lµ c«ng cô cÇn thiÕt cho c¸c m«n khoa häc kh¸c vµ ®Ó tiÕp tôc nhËn thøc thÕ giíi xung quanh, ®ång thêi gióp chóng ta ho¹t ®éng cã hiÖu qu¶ trong thùc tiÔn ®êi sèng. To¸n häc cã nhiÒu t¸c dông trong viÖc ph¸t triÓn trÝ th«ng minh, t duy ®éc lËp, linh ho¹t, s¸ng t¹o …trong mäi lÜnh vùc ho¹t ®éng cña con ngêi. To¸n cßn gãp phÇn gi¸o dôc ý chÝ vµ ®øc tÝnh tèt nh : CÇn cï, nhÉn n¹i, ý thøc vît khã kh¨n…. Ph¬ng tr×nh bËc hai vµ øng dung cña nã lµ mét m¶ng rÊt quan träng trong ch¬ng tr×nh to¸n THCS., Ph¬ng tr×nh bËc hai cã øng dông rÊt réng trong khi gi¶i to¸n ®èi víi häc sinh líp 9. Kh«ng nh÷ng thÕ ph¬ng tr×nh bËc hai cßn ®îc øng dông nhiÒu cho häc sinh tiÕp tôc häc lªn líp trªn. Qua thùc tÕ mét sè n¨m gi¶ng d¹y to¸n 9 t«i nhËn thÊy viÖc Gi¶i mét ph¬ng tr×nh bËc hai , hay x¸c ®Þnh dÊu c¸c nghiÖm cña ph¬ng r×nh bËc hai kh«ng ph¶i lµ vÊn ®Ò khã ®èi víi häc sinh , song víi c¸c d¹ng to¸n cã liªn quan nh t×m hÖ thøc gi· c¸c nghiÖm hoÆc t×m m ®Ó tho¶ m·n diÒu kiÖn cho tríc cña nghiÖm hay gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh quy vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai ... c¸c em thêng lóng tóng hay nhÇm lÉn (phÇn c¸c d¹ng to¸n rÊt ®a d¹ng , phÇn v× trong SGK kh«ng trang bÞ c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i cô thÓ) ®Æc biÖt m¾c nhiÒu sai sãt trong khi gi¶i, rÊt Ýt häc sinh cã lêi gi¶i ®Çy ®ñ vµ chÆt chÏ. Tuy nhiªn c¸c d¹ng toÊn nµy l¹i cã vai trß v« cïng quan träng trong viÖc båi dìng vµ n©ng cao n¨ng lùc trÝ tuÖ cho häc sinh. §Æc biÖt nã thêng xuyªn xuÊt hiÖn trong c¸c ®Ò thi cuèi k× , cuèi n¨m, thi tuyÓn sinh vµo 10, ®Ò thi ph¸t hiÖn häc sinh giái. C¸c bµi tËp ph¬ng tr×nh bËc hai rÊt ®a d¹ng phong phó, nã ®ßi hái häc sinh ph¶i n¾m ch¾c c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n vµ cã kü n¨ng tæng hîp nhÊt ®Þnh. Cho nªn ngay tõ ®Çu gi¸o viªn «n tËp ngay cho häc sinh c¸c bµi tËp tæng hîp th× nhiÒu em khã cã kh¶ n¨ng tiÕp thu bµi häc, dÉn ®Õn kÕt qu¶ bµi lµm thÊp. VÊn ®Ò ®Æt ra lµ ngêi thÇy ph¶i gi¶ng d¹y c¸c bµi tËp cã liªn quan ®Õn ph¬ng tr×nh bËc hai nh thÕ nµo ®Ó tõng ®èi tîng häc sinh cã kh¶ n¨ng tiÕp thu ®îc, gãp phÇn n©ng cao chÊt lîng cho häc sinh kh¸ giái vµ häc sinh ®¹i trµ cã kiÕn thøc vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai ®ñ ®Ó thi vµo THPT. Gi¸o viªn : D¬ng ThÞ Ngäc – Trêng THCS Dòng tiÕn SKKN: Ph©n lo¹i d¹ng to¸n liªn quan tíi ph¬ng tr×nh bËc hai 3 N©ng cao chÊt lîng gi¸o dôc trong nhµ trêng ®èi víi tÊt c¶ c¸c khèi líp lµ nhiÖm vô c¬ b¶n cña mçi gi¸o viªn, ®Æc biÖt lµ vÊn ®Ò chÊt lîng ®èi víi häc sinh líp 9. Lµ mét gi¸o viªn tham gia gi¶ng d¹y bé m«n to¸n 9, trong nh÷ng n¨m qua t«i lu«n tr¨n trë lµ lµm thÕ nµo ®Ó n©ng cao chÊt lîng bé m«n. T«i cho r»ng ngêi thÇy ph¶i n©ng cao chÊt lîng tõng giê lªn líp, chó träng ®æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc, tÝch cùc kiÓm tra vµ theo dâi s¸t sao viÖc häc tËp cña häc sinh. Tõ ®ã ngêi thÇy uèn n¾n gi¶i ®¸p víng m¾c cho c¸c em vµ ®iÒu chØnh ph¬ng ph¸p d¹y häc sao cho phï hîp nhÊt. §ång thêi ngêi thµy ph¶i thêng xuyªn «n tËp hÖ thèng kiÕn thøc, ph©n lo¹i bµi tËp, h×nh thµnh ph¬ng ph¸p vµ kü n¨ng gi¶i to¸n cho häc sinh. ChÝnh v× thÕ t«i chän vÊn ®Ò “ Ph©n lo¹i d¹ng to¸n cã liªn quan tíi ph¬ng tr×nh bËc hai nh»m rÌn luyÖn kü n¨ng gi¶i to¸n cho häc sinh líp 9” . 2) Môc ®Ých cña ®Ò tµi: 1. Trang bÞ cho häc sinh mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n liªn quan ®Õn ph¬ng tr×nh bËc hai phï hîp víi tr×nh ®é nhËn thøc cña häc sinh Giái-kh¸ -trung b×nh - yÕu. 2. Gióp c¸c em tiÕp thu kiÕn thøc mét c¸ch cã hÖ thèng, chñ ®éng, s¸ng t¹o, rÌn kh¶ n¨ng tù häc, tù ®äc. 3. Th¸o gì nh÷ng víng m¾c, khã kh¨n, tr¸nh ®îc mét sè sai lÇm khi gi¶i to¸n liªn quan ®Õn ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn ®Ó cã lêi gi¶i ®¶m b¶o chÆt chÏ, LogÝc 4. Th«ng qua viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn vµ c¸c bµi to¸n cã liªn quan häc sinh thÊy râ h¬n môc ®Ých cña viÖc häc tËp to¸n, ®ång thêi gãp phÇn n©ng cao n¨ng lùc trÝ tuÖ cho häc sinh, n©ng cao chÊt lîng gi¸o dôc ®¹i chµ vµ båi dìng häc sinh giái. 3) §èi tîng nghiªn cøu vµ ph¹m vi øng dông : §Ò tµi ®îc nghiªn cøu trong ch¬ng tr×nh to¸n líp 9 vµ ¸p dông «n thi vµo 10, «n tËp vµ båi dìng häc sinh giái. 4) Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu: 1. Tham kh¶o , thu thËp tµi liÖu 2. Ph©n tÝch , tæng kÕt kinh nghiªm. 3. KiÓm tra kÕt qu¶ : qua dù giê , kiÓm tra chÊt lîng häc sinh , nghiªn cøu hå s¬ gi¶ng d¹y , ®iÒu tra trùc tiÕp th«ng qua c¸c giê häc . 5) Ph¬ng ph¸p tiÕn hµnh Gi¸o viªn : D¬ng ThÞ Ngäc – Trêng THCS Dòng tiÕn SKKN: Ph©n lo¹i d¹ng to¸n liªn quan tíi ph¬ng tr×nh bËc hai 4 Trong giê häc chÝnh kho¸ t«i lång ghÐp c¸c bµi tËp theo tõng ph¬ng ph¸p, tõng d¹ng , c¬ së gi¶i cïng lêi gi¶i mÉu, ®Ó häc sinh h×nh thµnh kü n¨ng gi¶i tõng lo¹i to¸n nµy . Cho häc sinh thùc hµnh bµi tËp t¬ng tù ngay t¹i líp . §Æc biÖt , trong c¸c giê luyÖn tËp , «n tËp ch¬ng gi¸o viªn tiÕp tôc cho häc sinh gi¶i c¸c bµi tËp tæng hîp , bµi tËp n©ng cao , lµm thö c¸c ®Ò thi ttèt nghiÖp , ®Ó thi tuyÓn sinh vµo 10 . Qua ®ã häc sinh thÊy ®îc tÇm quan träng cña lo¹i to¸n nµy , tù rÌn luyÖn t¹o kü n¨ng cho m×nh . B»ng rÌn luyÖn thùc hµnh gi¶i c¸c d¹ng bµi tËp , häc sinh gi¶i c¸c bµi tËp tæng hîp phøc t¹p h¬n . C¸c em ®îc n©ng cao kiÕn thøc , h×nh thµnh kü n¨ng ph¶n x¹ khi gÆp c¸c bµi to¸n t¬ng tù . Sau ®©y t«i xin ®a ra mét sè néi dung mµ t«i ®· thùc hiÖn, ¸p dông vµ ®¹t hiÖu qu¶ nhÊt ®Þnh trong gi¶ng d¹y. PhÇn II : Néi dung A - KiÕn thøc c¬ b¶n vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai §Ó häc sinh lµm ®îc c¸c bµi tËp vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai, tríc tiªn gi¸o viªn ph¶i gióp häc sinh n¾m v÷ng c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n sau . I - §Þnh nghÜa vµ c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn sè 1 -§Þnh nghÜa Lµ ph¬ng tr×nh d¹ng ax2 + bx + c = 0 x : Èn ; a, b, c, lµ c¸c sè ®· cho vµ a  0 2- Ph¬ng tr×nh bËc hai ®Æc biÖt 2.1. D¹ng khuyÕt a x2 = 0 (b = c = 0 ; a  0) Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp x1 = x2 = 0 2.2 . D¹ng khuyÕt b : ax2 + c = 0 Ta cã : ax2 + c = 0 + NÕu  c a  c a x2 = c a  > 0 ( a , c tr¸i dÊu ) , ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ®èi nhau x1 = + NÕu  (b = 0 ; a, c  0) - c a ; x2 = - - c a < 0 (a , c cïng dÊu )  ph¬ng tr×nh v« nghiÖm 2.3. D¹ng khuyÕt c : ax2 + bx = 0 ( c = 0 ; a , b  0) Ta cã : ax2 + bx = 0  x ( ax + b ) = 0 Gi¸o viªn : D¬ng ThÞ Ngäc – Trêng THCS Dòng tiÕn SKKN: Ph©n lo¹i d¹ng to¸n liªn quan tíi ph¬ng tr×nh bËc hai  x1= 0 ; x2= 3- Ph¬ng tr×nh bËc hai ®Çy ®ñ :  b a 5 => Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ax2 + bx + c = 0 C¸ch gi¶i : Sö dông c«ng thøc nghiÖm tæng qu¸t  LËp biÖt thøc  = b2 – 4ac *  < 0 Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm *  = 0 Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp b 2a x1 = x2 = - *  > 0 Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1 =  b  2a ; x2 = =  b  2a Trêng hîp §Æc biÖt khi b = 2b ‘  LËp biÖt thøc  = b ‘ 2 – ac * ’ < 0 Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm *  = 0 Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp x1 = x2 = ’ b' a * ’ > 0 Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1 = 3 - Chó ý quan träng  b '  ' a ; x2 =  b'  a ' 3.1. NÕu a vµ c tr¸i dÊu  ph¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt 3.3 NÕu ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 kh«ng cã nghiÖm thùc th× tam thøc ƒ (x) = ax2 + bx + c lu«n lu«n ®ång dÊu víi hÖ sè a hay  < 0  ƒ (x) = ax2 + bx + c ®ång dÊu víi hÖ sè a x  R 3.2. NÕu ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1 vµ x2 th× : ax2 + bx + c = a (x-x1)( x-x2 ) II - §Þnh lý Vi-Ðt . 1 - §Þnh lý thuËn a - NÕu x1 ; x2 lµ 2 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a  0) th× S = x1+ x2 = - P = x1.x2 = b a c a b – øng dông + NÕu a + b +c = 0 th× x1 = 1 ; x2 = c a Ngîc l¹i nÕu x1 = 1 th× a + b + c = 0 + NÕu a - b +c = 0 th× x1 = - 1 ; x2 =Ngîc l¹i nÕu x1 = -1 th× a - b +c = 0 c a 2 - §Þnh lý ®¶o S = x1+x2 (S2  4 P ) P = x1.x2 Th× x1 ; x2 lµ 2 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh : X2 – SX + P = 0 NÕu Gi¸o viªn : D¬ng ThÞ Ngäc – Trêng THCS Dòng tiÕn SKKN: Ph©n lo¹i d¹ng to¸n liªn quan tíi ph¬ng tr×nh bËc hai 6 III - §iÒu kiÖn vÒ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai Cho ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c =0 (a  0) 3.1 Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm   < 0 ( hoÆc ’ < 0 ) 3.2 Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp   = 0 ( hoÆc ’ = 0 ) 3.3 Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt   > 0 ( hoÆc ’ > 0 ) 3.4 Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm    0 ( hoÆc ’  0 ) P= 3.5 Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu c a <0 3.6 Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm cïng dÊu  0 P>0 3.7 Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ®èi nhau  S=0 P<0 3.8 Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm d¬ng  0 P>0 S>0  0 P>0 S<0 =0 3.10 VÕ tr¸i lµ ph¬ng tr×nh cña mét nhÞ thøc  a > 0 3.9 Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ©m 3.11 Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1 ; x2 tho¶ m·n x1 = g(x2) (¸p dông ViÐt ®Ó gi¶i) B - c¸c d¹ng bµi tËp c¬ b¶n I - Ph¬ng tr×nh bËc hai kh«ng chøa tham sè . Yªu cÇu - Häc sinh gi¶i thµnh th¹o c¸c ph¬ng tr×nh bËc hai khuyÕt, ph¬ng tr×nh bËc hai ®Çy ®ñ - Häc sinh thuéc c«ng thøc nghiÖm, c«ng thøc nghiÖm thu gän, hÖ thøc ViÐt vµ óng dông cña nã VÝ dô 1 : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh a. 5x2 – 20 = 0 b. 0,4x2 + 1 = 0 c. 2x2 + 2 x = 0 Híng dÉn kÕt qu¶ a. x2 = 4 => x1 = 2 ; x2 = -2 b. x2 = -2,5 < 0 => ph¬ng tr×nh v« nghiÖm . c. 2 x ( 2 x + 1) = 0 => x1 = 0 ; x2 = -1/ 2 VÝ dô 2 : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau a. 3x2 – 2 3 x – 3 b. x2 – x(1 + 2 ) + 2 =0 =0 Gi¸o viªn : D¬ng ThÞ Ngäc – Trêng THCS Dòng tiÕn SKKN: Ph©n lo¹i d¹ng to¸n liªn quan tíi ph¬ng tr×nh bËc hai c. x2 – x - 6 =0 Híng dÉn kÕt qu¶ a. ’ = ( 3 )2 – (- 3) .3 = 12  x1 = ; x2 = - 3 7 '  12  2 3 3 3 b. a + b + c = 0  x1 =1 ; x2 = 2 c. x2 – x - 6 = 0 (1) NÕu x  0 (1)  x2 – x - 6 = 0  x1 =3 ; x2 = -2 (lo¹i) 2 NÕu x  0 (1)  x + x - 6 = 0  x3 =2 (lo¹i) ; x4 = -3 KÕt luËn ph¬ng tr×nh x2 – x - 6 = 0 cã 2 nghiÖm x1 =3 ; x4 = -3 VÝ dô 3 : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh bËc hai sau b»ng c¸ch nhÈm nhanh nhÊt a. x2 – 11x – 30 =0 2 b. 5x – 17x + 12 =0 c. x2 – (1 + 2 ).x + 2 = 0 Híng dÉn kÕt qu¶ a. P = 30 S = 11  x1 =5 ; x2 = 6 b. 5x2 – 17x + 12 = 0 12 Ta cã 5 + (-7) + 12 = 0  x1 =1; x2 = 5 c. x2 – (1 + 2 ).x + 2 = 0 Ta cã 1 + – (1 + 2 ). + 2 = 0  x1 =1 ; x2 = 2 VÝ dô 4: Cho ph¬ng tr×nh 5x2 + 3 x - 5 = 0 (1) Gäi 2 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x1 vµ x2 . Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh h·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau a. c. Híng dÉn : 1 1  x2 x2 b. x12 +x22 1 1  2 2 x2 x2 d. x13 +x2 Ph¬ng tr×nh (1) ch¾c ch¾n cã 2 nghiÖm (a . c <0 ) Theo Vi Ðt ta cã x1 + x2 = - 3 x1 . x2 = - 5 a. . 1 1  x2 x2 = x1  x2 = x1.x2 15 5 b. x12 +x22 = (x1 + x2 )2 - 2x1.x2 = 3+2 c. d. 2 1 1 1 x  x2  2 = 2 2 2 x2 x2 x1 .x2 2 = 5 3  2. 5 5 x13 +x23 = (x1 + x2 ).( x12 +x22 - x1 . x2 ) = -3.( 3 + 5 ) II – Gi¶i vµ biÖn luËn c¸c ph ¬ng tr×nh bËc hai chøa tham sè VÝ dô 1 : Cho ph¬ng tr×nh (1- m)x2 – 2mx + m - 2 = 0 (1) a. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× (1) lµ ph¬ng tr×nh bËc hai b. Gi¶i (1) khi m = 0,5 Gi¸o viªn : D¬ng ThÞ Ngäc – Trêng THCS Dòng tiÕn SKKN: Ph©n lo¹i d¹ng to¸n liªn quan tíi ph¬ng tr×nh bËc hai 8 Híng dÉn : 1- m  0  m  1 Gi¶i (1) khi m = 0,5 Víi m = 0,5 th× (1)  x2 – 2x – 3 = 0  x1 = - 1 ; x 2 = 3 a. b. VÝ dô 2 : Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh sau theo tham sè m (m-1)x2 – 2(m+1)x +(m-2) = 0 (2) Híng dÉn :  m-1 = 0  m = 1 Th× (2) trë thµnh 4x-1 = 0 cã nghiÖm x = -  1 4 m – 1 �0 XÐt ’ = 5m - 1 1 5 1 + NÕu 5m - 1 = 0  m = 5 + NÕu 5m - 1 < 0  m < Th× ph¬ng tr×nh (2) v« nghiÖm Th× ph¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm kÐp x1 = x2 = + NÕu 5m - 1 > 0  m> m +1 m- 1 1 5 Th× ph¬ng tr×nh (2) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1,2 = m +1 � 5m - 1 m- 1 III - D¹ng to¸n cã liªn quan tíi nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai III .1 – DÊu cña nghiÖm sè cña ph¬ng tr×nh bËc hai Ph¬ng ph¸p Sö dông c¸c ®iÒu kiÖn ë môc III phÇn A. lu ý ®iÒu kiÖn a  0 VÝ dô 1 : Cho ph¬ng tr×nh bËc hai (Èn x) (m+1) x2 – 2(m-1)x +m-3 = 0 (1) a. T×m m ®Ó ph¬ng (1) tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt c. T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm : Cïng dÊu, tr¸i dÊu , hai nghiÖm d¬ng, hai nghiÖm ©m , hai nghiÖm ®èi nhau . Híng dÉn : a. §Ó (1) lµ ph¬ng tr×nh bËc hai th× m+1  0  m  1 (*)  ‘ = 4 > 0 . VËy víi m  1 th× (1) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt b. + §Ó ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu th× c < 0  m  3  0  -1 < m < 3 vµ m  1 a m 1 + §Ó ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm cïng dÊu th× c > 0  m  3  0  m > 3 ; m < -1 a m 1 + §Ó ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm d¬ng th× S>0 P>0 Gi¸o viªn : D¬ng ThÞ Ngäc – Trêng THCS Dòng tiÕn SKKN: Ph©n lo¹i d¹ng to¸n liªn quan tíi ph¬ng tr×nh bËc hai 2(m  1) 0 m 1 m 3 0 m 1  9 m>3 m <-1 Chó ý : cÇn lu«n lu ý HS ®èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn (*) VÝ dô 2 : Cho ph¬ng tr×nh x2 – 2(k-1)x + 2k -5 = 0 a, Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi k b. T×m k ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÑm cïng dÊu . Khi ®ã hai nghiÖm mang dÊu g× ? Híng dÉn : a. Ph¬ng tr×nh ®· cho cã bËc hai XÐt ‘ = …= k2 – 4k + 6 = (k -2)2 + 2 > 0 víi mäi k VËy ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi k c b. §· cã ‘ > 0 ®Ó pt cã hai nghiÖm cïng dÊu th× P = a > 0  2k-5 > 0  k > L¹i cã S = - 5 2 b 5 = 2(k-1) . Víi k > th× 2(k-1) > 0 nªn S > 0 a 2 VËy hai nghiÖm cïng dÊu ®ã lµ hai nghiÖm d¬ng VÝ dô 3 : T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh x2 – 2(m + 5)x + m2 - 4m + 47 = 0 Cã hai nghiÖm lín h¬n 3 (1) Híng dÉn : §Æt x = t + 3 (t > 0) thay vµo (1) ta ®îc ph¬ng tr×nh t2 – 2(m + 2)t + m2 - 10m + 26 = 0 (2) Bµi to¸n trë thµnh t×m m ®Ó ph¬ng tr×nh (2) cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt Nh vËy ph¶i cã 0 14m -22 > 0 P>0  S>0 m2 - 10m + 26 > 0 m+2>0 11 7  m� III .2. T×m hÖ thøc ®éc lËp ( víi tham sè m ) gi÷a c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh Ph¬ng ph¸p B1 : T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm B2 : ¸p dông Viet lËp S , P (phô thuéc vµo m) B3 : Khö m ®Ó lËp mét hÖ thøc gi÷a S vµ P B4 : Thay S = x1 + x2 ; P = x1 . x2 th× ®îc hÖ thøc ph¶i t×m NÕu S hay P lµ h»ng sè th× ®ã chÝnh lµ hÖ thøc cÇn t×m , kh«kh«ng cÇn lµm hai bíc tiÕp theo VÝ dô 1 : Cho ph¬ng tr×nh x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3 = 0 T×m mét hÖ thøc gi÷a c¸c nghiÖm x1 , x2 cña ph¬ng tr×nh kh«ng phô thuéc vµo m Híng dÉn : Gi¸o viªn : D¬ng ThÞ Ngäc – Trêng THCS Dòng tiÕn SKKN: Ph©n lo¹i d¹ng to¸n liªn quan tíi ph¬ng tr×nh bËc hai 10 Cã ‘ = …= 2m – 2 Pt ®· cho cã nghiÖm khi ‘ > 0  m > 1 Khi ®ã S = x1 + x2 = 2m + 2 (1) 2 P = x 1 . x2 = m + 3 (2) Tõ (`1) suy ra m = 1 (S - 2) thÕ vµo (2) ®îc 4P = S2 – 4S + 16 2 HÖ thøc ph¶i t×m lµ (x1 + x2 )2 -– 4(x1 + x2 ) -– 4 x1 . x2 + 16 = 0 VÝ dô 2 Cho ph¬ng tr×nh x2 + mx + n = 0 , biÕt r»ng n � m-1 CMR ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 , x2 ; CMR x12 +x22 � 1 víi mäi m, n tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®ã . Híng dÉn : + Víi n � m-1 ta cã  = m2 – 4n � m2 – 4(m-1) = (m – 2)2 �0 => ph¬ng tr×nh x + mx + n = 0 cã hai nghiÖm x1 , x2 + theo vi et cã x1 + x2 = - m ; x1 . x2 = n x12 +x22 = (x1 + x2 )2 - 2x1.x2 = m2 – 2n V× n � m-1 x12 +x22 = m2 – 2n � m2 – 2(m-1) = (m – 1)2 + 1 � 1 2 III .3. T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 , x2 tho¶ m·n hÖ thøc ®èi xøng gi÷a c¸c nghiÖm . Ph¬ng ph¸p HÖ thøc ®èi xøng g÷a c¸c nghiÖm d¹ng 1 1  x2 x2 ; x12 +x22 ; 1 1  2 ; x13 +x23 2 x2 x2 Khi gÆp c¸c hÖ thøc nµy cÇn nhí c¸c kÕt qu¶ ¸p dông hÖ thøc viÐt x12 +x22 = S2 – 2P 1 1  x2 x2 x13 +x23 = S (S2 – 3P) 1 1 S 2 - 2P  = 2 2 x2 x2 P2 = S P VÝ dô 1 : Cho ph¬ng tr×nh mx2 – ( m – 4) x + 2m = 0 T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 , x2 tho¶ m·n : 2(x12 +x22 ) - 5 x1 . x2 = 0 Híng dÉn : §Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cÇn cã ( m – 4)2 – 8m2 � 0 m �0 Khi ®ã 2(x12 +x22 ) - 5 x1 . x2 = 0  2(x1 +x2 )2 - 9 x1 . x2 = 0 � 4� � – 18 = 0 => m = -2 ; m = 1 � � � �m � mHay 2S2 – 9P = 0 hay 2 � � Tho¶ m·n (*) VÝ dô 2 Gi¶ sö x1 , x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x2 – 2m x + 4 = 0 X¸c ®Þnh m ®Ó x14 +x24 � 32 Híng dÉn : Gi¸o viªn : D¬ng ThÞ Ngäc – Trêng THCS Dòng tiÕn (*) SKKN: Ph©n lo¹i d¹ng to¸n liªn quan tíi ph¬ng tr×nh bËc hai 11 §iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ ‘ = m2 – 4 � 0  Ta cã x +x2 = [(x1 +x2 ) - 2 x1 . x2 ] – 2(x1 . x2 ) 4 1 4 2 2 m �2 (1) 2 ¸p dông hÖ thøc viÐt ta cã x14 +x24 � 32  ( 4 m2 – 8)2 – 32 � 32 ...  m �2 Tõ (1) vµ (2) suy ra (2) m = 2 � m = �2 VÝ dô3 : Cho c¸c ph¬ng tr×nh ax2 + bx +c = 0 (1) (a > 0 ) cx2 +bx +a = 0 (2) (c > 0 ) Gi¶ sö x1 ; x2 ;x3 ; x4 lÇn lît lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) vµ (2) Chøng minh r»ng x1. x2 +x3 . x4  0 Híng dÉn ¸p dông ®Þnh lý Vi-et x1.x2 = c  0 x1. x2 +x3 . x4 = a a x3.x4 =  0 c a c a c  2 . 2 c a c a III .4. T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 , x2 tho¶ m·n hÖ thøc kh«ng ®èi xøng gi÷a c¸c nghiÖm . Ph¬ng ph¸p B1 : T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm B2 : ¸p dông viÐt lËp S , P (phô thuéc vµo m) B3: Rót tõ ®iÒu kiÖn kh«ng ®èi xøng cña ®Ò bµi ra x1 (hoÆc x2 ) thay vµo S , P ®Ó lËp ph¬ng tr×nh theo m B4 : Gi¶i ph¬ng tr×nh , ®èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn (*) ®Ó chän nghiÖm VÝ dô 1 Cho ph¬ng tr×nh x2 – ( m – 1) x + 5m - 6 = 0 T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 , x2 tho¶ m·n : 4 x1 +3 x2 = 1 Gi¶i : §Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cÇn cã  = m2 – 22m + 25 � 0 (*) Khi ®ã tõ 4 x1 +3 x2 = 1 => x1 = 1 - 3x 2 4 => x1 + x2 = 1 - 3x2 + x2 => 1 + x 2 = m-1 (theo viÐt) 4 4 => x2 = 4m -5 vµ x1 = 1 - 3(4m - 5) . 4 1 - 3(4m - 5) Nh vËy x1 . x2 = .(4m - 5) = 5m – 6 (theo viÐt) 4 Gi¶I ra ta ®îc m =1 vµ m = 7 c¸c gi¸ trÞ nµy tho¶ m·n 6 (*) VÝ dô 2 : T×m p  R sao cho ph¬ng tr×nh x2 +px +12 = 0 cã 2 nghiÖm thùc mµ hiÖu cña chóng b»ng1 . H·y t×m c¸c nghiÖm ®ã Gi¸o viªn : D¬ng ThÞ Ngäc – Trêng THCS Dòng tiÕn SKKN: Ph©n lo¹i d¹ng to¸n liªn quan tíi ph¬ng tr×nh bËc hai 12 Híng dÉn: §iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm thùc ph©n biÖt lµ :  > 0   = p2 – 48 >0  p2 > 0  p < -4. 3 hoÆc p > 4. Theo ®Þnh lý Vi Ðt vµ gi¶ thiÕt ta cã x1 + x2 = -p x1. x2 = 12 x1 - x2 = 1  1 p 1 p ; x 2 = 2 2  1 p 1 p . = 12  2 2 3 (*) Tõ (1) vµ (3)  x1 = Thay vµo (2) ta cã p =  7 ( tho¶ m·n (*) ) Víi p = 7  x1 = - 4 ; x2 = - 3 p = -7  x1 = - 3 ; x2 = - 4 VÝ dô 3 : Víi a  R nµo th× ph¬ng tr×nh x2 – (3a+2).x +a2 = 0 cã 2 nghiÖm thùc mµ tØ sè cña chóng b»ng 9. Híng dÉn §iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm thùc ph©n biÖt lµ :  > 0 5a2 + 12a + 4 > 0 hay (a + 2). (a + 2) > 0 2  a>-5 hoÆc a < -2 () Theo Vi Ðt vµ gi¶ thiÕt ta cã x1 + x2 = 3a + 2 (1) x 1 . x 2 = a2 (2) x2 = 9x1 (3) 9(3a  2) 3a  2 ; x 2 = 10 10 3a  2 9(3a  2) . = a2 10 10 Tõ (1) vµ (3)  x1 = Thay vµo (2) ta cã  19a2 – 108a –36 = 0 (4) ¬ (4) cã 2 nghiÖm a1 = 6 ; a2 = - Víi a = 6 - Víi a = - 6 19  x1 = 2 ; 6 19  x1 = 2 19 ( tho¶ m·n ()) x2 = 18 ; x2 = VÝ dô 4 : H·y x¸c ®Þnh a ®Ó ph¬ng tr×nh 4x2 – 15.x +4a = 0 cã 2 nghiÖm thùc mµ nghiÖm nµy b»ng b×nh ph¬ng nghiÖm kia Híng dÉn §iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm thùc ph©n biÖt lµ : 255  = 255- 64a > 0  a < 64 (*) ¸p dông ®Þnh lý Vi Ðt vµ gi¶ thiÕt ta cã x1 + x2 = 15 (1) 4 x1 . x2 = a (2) Gi¸o viªn : D¬ng ThÞ Ngäc – Trêng THCS Dòng tiÕn SKKN: Ph©n lo¹i d¹ng to¸n liªn quan tíi ph¬ng tr×nh bËc hai Thay x2 = x12 vµo (1) cã : x12 + x1 =  4x12 + 4x1 – 15 = 0  x1 = Víi x1 = Víi x1 = 3 2 3 th× 2  5 2 ; x1= x2 = (3) (4)  5 2 9 4 th× x2 = 15 4 13 . Tõ (2) 25 4 VËy gi¸ trÞ cña a lµ : a1 = 27 8 tho¶ m·n (*) Tø (2)  a = - 125 tho¶ m·n (*) . 27 8  a = x 1 . x2 = 8 : a2 = - 125 8 III.5 - LËp ph¬ng tr×nh bËc hai biÕt c¸c nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cho tríc Yªu cÇu Sö dông thµnh th¹o ®Þnh lý Vi Ðt thuËn ; ®¶o VÝ dô 1 : T×m a vµ b biÕt a+b = 5 a.b = 6 Híng dÉn : V× 52 > 4.6 Theo Vi Ðt a, b lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh X2 -5X + 6 = 0  X 1 = 2 ; X2 = 3  a=2 ;b=3 hoÆc a=3 ;b=2 VÝ dô 2 : Cho ph¬ng tr×nh x2 +bx + c = 0 (1) cã 2 ngiÖm lµ x1 ; x2 , h·y lËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã 2 nghiÖm y1 ; y2 tho¶ m·n x 1 + y1 = 0 x2+ y2 = 0 Híng dÉn - ¸p dông Vi Ðt ta cã x1 + x2 = -b x1.x2 = c - Tõ gi¶ thiÕt x1 + y1 = 0  y1 = -x1 x2+ y2 = 0  y2 = -x2 Do ®ã y1 + y2 = - ( x1 + x2 ) = b y1 . y2 = x1.. x2 = c VËy y1 ; y2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh y2 – by +c = 0 III.6 - Mét sè bµi to¸n tæng hîp VÝ dô 1 : Cho ph¬ng tr×nh x2 – (m+1 )x +m – 4 = 0 (2) a. Gi¶i ph¬ng tr×nh (2) khi m = 1 b. CMR ph¬ng tr×nh (2) lu«n lu«n cã 2 nghiÖm phan biÖt víi mäi m Híng dÉn c. Gäi x1 ; x2 lµ 2 nghiÖm cña (2) chøng minh A = x1(1-x2) + x2(1-x1) kh«ng phô thuéc vµo m a. Víi m = 1 (2)  x2 - 4x + 3 = 0  x1 = 2 + 7 ; x2 = 2 - 7 Gi¸o viªn : D¬ng ThÞ Ngäc – Trêng THCS Dòng tiÕn SKKN: Ph©n lo¹i d¹ng to¸n liªn quan tíi ph¬ng tr×nh bËc hai 14 b. ’ = (m +1)2 –(m- 4) = m2 + m +5 = (m+ 1 2 )2 + 19 4 >0 (  m)  ph¬ng tr×nh (2) lu«n lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt  m c. A = x1(1-x2) + x2(1-x1) = x1-x2x1 + x2 - x1x2 = x1+ x2 – 2 x1 x2 ¸p dông ®Þnh lý Vi Ðt x1+ x2= 2(m+1) x1. x2 = m- 4 VËy A = 2(m+1) – 2(m- 4) = 2m +2 –2m +8 = 10  §iÒu ph¶i chøng minh VÝ dô 2 : Víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cña m th× ph¬ng tr×nh mx2 + 2(m+1)x + m-1 = 0 a. Cã 1 nghiÖm b»ng 0 ? t×m nghiÖm kia b. Cã 2 nghiÖm thùc ph©n biÖt x1 ; x2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn Híng dÉn 1 1  1 x1 x2 a. mx2 + 2(m+1)x + m-1 = 0 (3) Thay x = 0 vµo (3) ta cã : m-1 = 0  m = 1 NghiÖm cßn l¹i b»ng x2 = - 2(m  1) m =-4 KÕt luËn m =1 ; x2 = - 4 b. §Ó ( (3) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt th× m  0 ;  > 0  = ( m+ 1) 2 –m(m-1) = 3m + 1  > 0  3m + 1 > 0  m > VËy m > c. Ta cã 1 3 1 3 ; m  0 th× (3) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt 1 1  1 x1 x2 x1  x2  x x 2 1 b 1 c  2(m  1)  3m  1 1 0   m 1  10  m 1 3 m 1 VËy  1  m  1 ; m  0 lµ ®iÒu kiÖn cÇn t×m 3  IV - ¸p dông kiÕn thøc vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai ®Ó gi¶i mét sè bµi to¸n kh¸c IV.1 : D¹ng T×m cùc trÞ VÝ dô : CÆp sè (x,y) lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh : x2y + 2xy –4x + y = 0 (1) t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña y Híng dÉn (1)  x2y + 2(y- 2 )x + y = 0 () NÕu y = 0 tõ ( )  - 4x = 0  x= 0 Gi¸o viªn : D¬ng ThÞ Ngäc – Trêng THCS Dòng tiÕn SKKN: Ph©n lo¹i d¹ng to¸n liªn quan tíi ph¬ng tr×nh bËc hai 15 NÕu y  0 Th× tõ () cã nghiÖm theo x khi : ’ = (y-2)2 –y2  0  4 - 4y  0  y  1 VËy y ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt b»ng 1 khi () cã ngiÖm kÐp 2 y 2 1 x1= x2 = y  1 1 KÕt luËn gi¸ trÞ lín nhÊt cña y lµ 1 khi x = 1 IV .2 : Gi¶i ph¬ng tr×nh chøa Èn trong dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi VÝ dô Gi¶i ph¬ng tr×nh x 2 - 3x + 2 = x - 2 Gi¶i  NÕu x2 - 3x + 2  0 (1) , ta cã x2 - 3x + 2 = x -2  x2 - 4x + 4 = 0  (x- 2)2 = 0  x =2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (1)  NÕu x2 - 3x + 2 < 0 (2) , ta cã - x2 + 3x - 2 = x -2  x2 - 2x = 0 => x1= 0 ; x2 = 2 .C¶ hai gi¸ trÞ nµy ®Òu kh«ng tho¶ m·n ®.kiÖn (2) VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 2 IV.3 : Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao Thêng ®îc gi¶i b»ng c¸ch ®a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch hoÆc dïng Èn phô . Quy vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai cÇn chó ý c¸c d¹ng sau: * Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng ax4 + bx2 +c = 0 ( a �0) §Ó gi¶i ph¬ng tr×nh d¹ng nµy ta ®Æt Èn phô X = x2 ( X  0 ) * Ph¬ng tr×nh bËc bèn d¹ng ( x + a)4 + ( x +b )4 = c §Ó gi¶i ph¬ng tr×nh d¹ng nµy ta ®Æt Èn phô y = x + a +b 2 * Ph¬ng tr×nh bËc bèn d¹ng ax4 +bx3 +cx2 +bx +a =0 (a  0) -ph¬ng tr×nh ®èi xøng . C¸ch gi¶i : V× x = 0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh nªn ta chia c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cho x2 råi ®Æt: y x  1 x ( y  2) * Ph¬ng tr×nh bËc bèn d¹ng (x+a) (x+b) (x+c) (x+d) = e víi a + d = b + c §Ó gi¶i ph¬ng tr×nh d¹ng nµy ta ®Æt Èn phô t = x2 + (a+d) x + 2 � ad - bc � � Ph¬ng tr×nh trë thµnh t2 - � =e � � � � � 2 � VÝ dô 1 : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau ( b»ng c¸ch quy vÒ bËc hai ) a. 2x4 – 7x2 - 4 = 0 (1) b. 2x4 + 8x2 +15 = 0 (2) c. x4 – 13x2 +36 = 0 (3) Gi¸o viªn : D¬ng ThÞ Ngäc – Trêng THCS Dòng tiÕn 1 (ad+bc) 2 SKKN: Ph©n lo¹i d¹ng to¸n liªn quan tíi ph¬ng tr×nh bËc hai Híng dÉn 16 a. 2x4 – 7x2 - 4 = 0 (1) §Æt x 2 = X ( X  0 ) (1)  2X2 – 7X - 4 = 0  X1 = 4 ; X 2 = - 1 2 (lo¹i) Víi x 2 = 4  x =  2 VËy Ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm x1 =2 ; x2 = -2 b. Ph¬ng tr×nh cã d¹ng X2 + 8X +15 = 0 (2’) Ph¬ng tr×nh (2’) cã 2 nghiÖm ©m X1 = -5 ; X2 = - 3 Do ®ã ph¬ng tr×nh (2) v« nghiÖm 2 c. Ph¬ng tr×nh X – 13X +36 = 0 cã 2 nghiÖm d¬ng X1 = 4 ; X2 = 9 Do ®ã ph¬ng tr×nh (3) cã 4 nghiÖm : x1 =2; x2 = -2 ; x3 =3; x4 = -3 VÝ dô 2 : Gi¶i ph¬ng tr×nh 12x4 – 8 x3 – 31x2 – 8x +12 = 0 (1) Híng dÉn V× x = 0 kh«ng lµ nghiÖm ; chia 2 vÕ cho x vµ biÕn ®æi vÒ d¹ng: 12( x 2  §Æt 1  x y x  1 1 )  8( x  )  31 0 (2) 2 x x 1  x2 x2 = y2 – 2 (2)  12y2 – 8y – 55 = 0  y1 = - Víi y = 5 2 - Víi y = - 5 2  x1 = 2 ; x2 = 11 6 ; y2 = - 11 6 1 2  Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm trªn R KÕt luËn Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1 = 2 ; x2 = 1 2 IV.4 : Gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ Gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ cã chøa dÊu c¨n bËc hai, ta thêng khö dÊu c¨n bËc hai b»ng c¸ch b×nh ph¬ng hai vÕ hoÆc ®Æt Èn phô VÝ dô 1 : Gi¶i ph¬ng tr×nh x - 5 = x- 7 Híng dÉn C¸ch 1. §iÒu kiÖn ®Ó c¨n thøc cã nghÜa x  5 (1) Víi x  7 (2) b×nh ph¬ng hai vÕ ph¬ng tr×nh ta ®îc x – 5 = (x – 7)2 Gi¶i ra ta ®îc x1 = 6 kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (2) X2 = 9 Tho¶ m·n c¶ hai ®iÒu kiÖn (1) , (2) VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt lµ x = 9 C¸ch 2. (®Æt Èn phô ) BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng x - 5 = x- 5 – 2 §Æt y = x - 5  0 ta cã y = y2 – 2  y2 – y – 2 = 0 Gi¸o viªn : D¬ng ThÞ Ngäc – Trêng THCS Dòng tiÕn SKKN: Ph©n lo¹i d¹ng to¸n liªn quan tíi ph¬ng tr×nh bËc hai 17 Gi¶i ra ta ®îc y1 = -1 (lo¹i ) , y2 = 2 Víi y2 = 2 ta cã x - 5 = 2  x = 9 VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt lµ x = 9 VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh x4 + Híng dÉn x 2  2003  2003 BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng : x4 + x2 + 0, 25 = x2 + 2003 -  ( x2 + 0,25)2 = (  x2 + 0,25 =  x 2  2003  0,25 x 2  2003  0,5) 2 x 2  2003  0,5 x2 + 1 = x 2  2003  x4 + 2x2 + 1 = x2 + 2003  x4 + x2 – 2002 = 0 x1 2 =  1  8009 2 ; x22 =  1 8009 2 ( lo¹i ) 8009  1 2 VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho lµ x =  IV.5 : Gi¶i ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu VÝ dô : Gi¶i ph¬ng tr×nh x2 - x x2 - x + 2 =1 x2 - x - 1 x2 - x - 2 Híng dÉn §Æt x2 – x = y ta cã y y +2 = 1 ®iÒu kiÖn y �-1, y � 2 y +1 y - 2 Gi¶i ph¬ng tr×nh ta ®îc y1 = - 4 , y2 = 0 (Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ) Víi y1 = - 4 th× x2 – x = - 4 v« nghiÖm Víi y2 = 0 th× x2 – x = 0 <= > x1 = 0 ; x2 = 1 VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 = 0 ; x2 = 1 IV.6 . Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh §èi víi c¸c hÖ ®èi xøng hai Èn ( lµ hÖ mµ khi ta thay ®æi vÞ trÝ cña x vµ y th× hÖ kh«ng thay ®æi ) . Trong trêng hîp nµy c¸ch th«ng thêng lµ ®¹t S = x+y ; P = xy VÝ dô 1: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau 2(x+y)2 –3(x+y ) – 5 = 0 (2) x–y–5= 0 (3) Híng dÉn §Æt x + y = Z (2)  2 Z2 – 3Z – 5 =0  Z1 = -1 ; Z2 = Tõ ®ã ta cã x + y= -1 hoÆc x + y = - Gi¶i hÖ bËc nhÊt x+y = 5 2 5 2 5 2  x= Gi¸o viªn : D¬ng ThÞ Ngäc – Trêng THCS Dòng tiÕn 15 4 SKKN: Ph©n lo¹i d¹ng to¸n liªn quan tíi ph¬ng tr×nh bËc hai x–y =5 18 y= 5 4 x+y = 5  x=2 2 x–y =5 y=3 15 VËy hÖ ®· cho cã 2 cÆp nghiÖm (x = y = 5 );( x = 2; y = 3) - Gi¶i hÖ bËc nhÊt 4 4 IV. 7. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö VÝ dô : Cho tam thøc Híng dÉn a. b. c. (x) = x2 - 8x + 15 g(x) = 2x2 – 6x +5 k (x) = x2 - 8x +16 a. Tam thøc (x) cã 2 nghiÖm lµ 3 vµ 5  (x) = (x- 3) (x – 5) b. ’ < 0  g(x) v« nghiÖm trªn R  g(x) kh«ng ph©n tÝch ®îc thµnh tÝch cña 2 nhÞ thøc bËc nhÊt c.’ = 0  x1 = x2 =4  k (x) = (x- 4) 2 c - c¸c d¹ng bµi tËp øng dông (Giíi thiÖu mét sè bµi thi vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai ) Bµi1 : XÐt 2 ph¬ng tr×nh x2 + 2x –2k – 8 = 0 (1) x2 +kx + 2 = 0 (2) a. Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) khi k = -4 ; k = -1 T×m k ®Ó ph¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm kÐp ? T×m nghiÖm kÐp ®ã ? c. CMR  k th× Ýt nhÊt mét ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ( §Ò thi vµo 10 - Th¸i B×nh 1996 – 1997) Bµi 2 : Cho ph¬ng tr×nh 2x2 -3x +m = 0 a. X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã mmét nghiÖm b»ng 3 .T×m nghiÖm kia b. Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = -5 c. T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1 ; x2 Tho¶ m·n x1 =2 x2 (§Ò thi thö tèt nghiÖp : 1998 – 1999) Bµi 3 : Cho ph¬ng tr×nh x2 –(m-1) x + m2 – 5 = 0 a. Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m =-1 b. T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ( §Ò thi vµo 10 - Th¸i B×nh 1999 – 1999) Bµi 4 : Cho ph¬ng tr×nh x2 –2m x + 2m – 1 = 0 a. CMR ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m Gi¸o viªn : D¬ng ThÞ Ngäc – Trêng THCS Dòng tiÕn SKKN: Ph©n lo¹i d¹ng to¸n liªn quan tíi ph¬ng tr×nh bËc hai 19 b. T×m gi¸ tri cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1 ;x2 Tho¶ m·n x1 – x2 = 2 (§Ò thi thö tèt nghiÖp : 1999 – 2000) Bµi 5 : a. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh 2(x+y)2 – 5(x+y) – 7 = 0 x–y=5 b.Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh mx2 +2(m+1) x + 4 = 0 ( §Ò thi vµo 10 - Th¸i B×nh 2000 – 2001) Bµi 6 : Cho ph¬ng tr×nh x2 +3 x + – m2 = 0 a. Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = 1 b. CMR ph¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiÖm tr¸i dÊuvíi mäi m  0 c. T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó mét trong c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh b»ng 1 . Tim nghiÖm cßn l¹i ( Tèt nghiÖp 2000-2001 ) Bµi 7 : Cho ph¬ng tr×nh 2 x2 +(2m- 1) x +m – 1 =0 a. Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m =1 ; m= 2 b. CMR ph¬ng tr×nh kh«ng thÓ cã 2 nghiÖm d¬ng víi mäi m ( §Ò thi vµo 10 - Th¸i B×nh 2001 – 2002) Bµi 8 : Cho ph¬ng tr×nh 2 x2 +2mx +m – 3 =0 a. Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m =5 b. T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm b»ng nhau ( §Ò thi tèt nghiÖp - 2001 – 2002) Bµi 9 : Cho ph¬ng tr×nh x2 – 2(m+ 2)x + m + 1 = 0 a. Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m =  2 3 b. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu c. Gäi x1 ; x2 lµ 2 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh . T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó + x2(1-2x1) = m2 x1(1-2x2) ( §Ò thi vµo 10 - Hµ Néi 1995 – 1996) Bµi 10 : Cho ph¬ng tr×nh x2 -2mx +2m - 1 = 0 1.Chøng tá ph¬ng tr×nh cã 2 ngiÖm x1 ; x2  m 2. §Æt A = 2( x12 + x22) – 5x1x2 a. Chøng minh A = 8m2 – 18 m + 9 b. T×m m sao cho A = 27 3. T×m m sao cho ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nµy b»ng 2 nghiÖm kia ( §Ò thi vµo 10 - TP HCM : 1995 – 1996) Gi¸o viªn : D¬ng ThÞ Ngäc – Trêng THCS Dòng tiÕn SKKN: Ph©n lo¹i d¹ng to¸n liªn quan tíi ph¬ng tr×nh bËc hai 20 Bµi 11: Cho ph¬ng tr×nh x2 +mx +n - 3 = 0 1. Cho n = 0 a. Chøng tá ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m b. T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm b¨ng1 .T×m nghiÖm cßn l¹i 2. T×m m ; n ®Ó 2 nghiÖm x1 ; x2 cña ph¬ng tr×nh tho¶ m·n hÖ thøc x1 - x2 = 1 x12 –x22 = 7 ( §Ò thi TN tØnh L©m §ång 1995 – 1996 ) Bµi 12: Cho ph¬ng tr×nh x2 – 2(k – 2)x - 2k - 5 = 0 a. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt víi mäi k b. Gäi x1 ; x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh . T×m gi¸ trÞ cña k sao cho x12 + x22 =18 ( Thi vµo 10 NghÖ An 1995- 1996 ) Bµi 13: Cho ph¬ng tr×nh ( 2m –1) x2 – 4mx + 4 = 0 a. Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = 1 b. Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m bÊt kú c. T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm b»ng m ( VÜnh Phó / 1995 -1996 ) Bµi 14: Cho ph¬ng tr×nh x2 + (2m - 5 )x - n = 0 a. Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m =1 ; n = 4 b. T×m m ; n ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm lµ 2 vµ 3 c. Cho m = 5 .T×m n nguyªn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nguyªn d¬ng (Hµ Nam 1999 - 2000) d - Mét sè ®Ò luyÖn häc sinh giái Bµi 1 : Cho ph¬ng tr×nh x2 - (2m +1 )x +2m + 10 = 0 Gäi x1 ; x2 lµ 2 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh . T×m m ®Ó biÓu thøc A = 10x1x2 + x12 + x22 cã gi¸ trÞ nhá nhÊt Bµi 2: T×m a sao cho ph¬ng tr×nh sau cã ®óng 3 nghiªm ph©n biÖt (x – 1 ) (x2 + 2x + 3 +a) = 0 Bµi 3: Cho ph¬ng tr×nh x2 + px + p = 0 Cã 2 nghiÖm x1 ; x2 h·y lËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm lµ a. 3x1 vµ 3 x2 b. 1 2 x1 vµ 1 2 x2 Gi¸o viªn : D¬ng ThÞ Ngäc – Trêng THCS Dòng tiÕn SKKN: Ph©n lo¹i d¹ng to¸n liªn quan tíi ph¬ng tr×nh bËc hai c. x1 x2 Vµ 21 x2 x1 Bµi 4: T×m sè cã 2 ch÷ sè tho¶ m·n xy – 1 = (x + 2)2 + y2 Bµi 5: Gi¶i ph¬ng tr×nh x2  ( 2x 2 ) 5 x2 Bµi 6: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh x x y y 30 x y y x 30 Bµi 7 :Gi¶ sö ph¬ng tr×nh : a.x4 + bx2+ c = 0 cã 4 nghiÖm x1;x2;x3;x4 a. CMR x1+x2+x3+x4 = 0 x1x2x3x4 = c a b. Trêng hîp nµo ph¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm Bµi 8 : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau a. 2 x  1  x  1 b. x  2  x 10 c. x  1  8x  1  2 x  3 d. x  x  x  10 10  x 2 2 Bµi 9 : Gi¶i ph¬ng tr×nh x 1 1  x  2 2 4 Bµi 10: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh x 2  x  12 x  1 36 Bµi 11: Cho c¸c ph¬ng tr×nh x2 + ax +3 = 0 x2 + bx +7 = 0 x2 + cx +2005 = 0 (Èn x ; a , b , c  Z ) H·y gi¶i ph¬ng tr×nh trªn khi biÕt chóng cã nghiÖm duy nhÊt Bµi 12: T×m (x; y )  Z .BiÕt y2  2y  2 x  4 0 PhÇn III : KÕt luËn Trªn ®©y lµ ®Ò tµi t«i ®· ¸p dông trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y hoc sinh «n thi vµo THPT còng nh vµo häc sinh giái líp 9. HÖ thèng ph©n d¹ng bµi tËp ®a ®Õn cho häc sinh tõng lo¹i bµi tËp tõ dÔ ®Õn khã, gióp häc sinh h×nh thµnh tèt kü n¨ng ë tõng d¹ng bµi tËp 1.KÕt qu¶ thùc hiÖn: 1. §¸nh gi¸ qua tiÕp xóc, trao ®æi víi häc sinh Gi¸o viªn : D¬ng ThÞ Ngäc – Trêng THCS Dòng tiÕn
- Xem thêm -