Skkn những sai lầm thường gặp trong giải toán ở thpt

  • Số trang: 19 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 18 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 24000 tài liệu

Mô tả:

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm M«n: To¸n  I/§Æt vÊn ®Ò Trong ch¬ng tr×nh THPT BÊt ®¼ng thøc lµ mét phÇn kiÕn thøc kh¸ quan träng. BÊt ®¼ng thøc cã nhiÒu øng dông trong c¸c phÇn kiÕn thøc cña m«n To¸n nh: Chøng minh bÊt ®¼ng thøc, t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt, gi¶i ph¬ng tr×nh, gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh, hÖ ph¬ng tr×nh… BÊt ®¼ng thøc Cauchy ®îc giíi thiÖu trong s¸ch gi¸o khoa §¹i sè líp 10 ë tÊt c¶ c¸c ban vµ lµ bÊt ®¼ng thøc ®îc vËn dông chñ yÕu trong toµn bé ch¬ng tr×nh THPT. Nãi ®Õn bÊt ®¼ng thøc Cauchy th× nh÷ng ai ®· tõng häc To¸n THPT còng biÕt, còng nhí nhng ®Ó vËn dông ®îc mét c¸ch cã hiÖu qu¶ th× l¹i lµ c¶ mét vÊn ®Ò. Qua qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y vµ ®Æc biÖt lµ båi dìng häc sinh kh¸ giái th× t«i thÊy häc sinh trong qu¸ tr×nh vËn dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy thêng gÆp nh÷ng sai lÇm trong ®ã nghiªm träng cã thÓ lµm sai ®i b¶n chÊt cña vÊn ®Ò. V× vËy t«i viÕt s¸ng kiÕn nµy cïng trao ®æi thªm vÒ c¸ch d¹y, c¸ch häc bÊt ®¼ng thøc Cauchy sao cho cã hiÖu qu¶ nhÊt nh»m kh¾c phôc nh÷ng sai lÇm hay m¾c ph¶i còng nh ®Þnh híng ®Ó gi¶i quyÕt mét bµi to¸n theo bÊt ®¼ng thøc Cauchy. Néi dung bµi viÕt gåm: I/ §Æt vÊn ®Ò II/Néi dung III/BiÖn ph¸p thùc hiÖn. IV/KÕt qu¶ V/KÕt luËn Tuy b¶n th©n ®· hÕt søc cè g¾ng song kh«ng tr¸nh khái nh÷ng sai sãt. T¸c gi¶ mong ®îc sù gãp ý ch©n thµnh cña ®äc gi¶! Th¹ch Thµnh, ngµy 20/04/2008 Gi¸o viªn §ç Duy Thµnh. II/Néi dung Bµi 1: Cho a �3 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña bÊt biÓu thøc: S = a + 1 a B×nh luËn vµ lêi gi¶i  Sai lÇm thêng gÆp: S = a + 1 1 �2 a.  2 � MinS  2 . a a 1 a  Nguyªn nh©n sai lÇm: Min S = 2 � a   1 m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt a �3 . §ç duy thµnh 1 THPT Th¹ch Thµnh III S¸ng kiÕn kinh nghiÖm M«n: To¸n   Ph©n tÝch vµ t×m lêi gi¶i: XÐt b¶ng biÕn thiªn cña a, 1 vµ S ®Ó dù ®o¸n a Min S  a 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 a 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 10 1 11 1 12 S 1 3 3 1 4 4 1 5 5 1 6 6 1 7 7 1 8 8 1 9 9 1 10 10 1 11 11 1 12 12         30 1 30 30 1 30 Nh×n vµo b¶ng biÕn thiªn ta thÊy khi a t¨ng th× S cµng lín vµ tõ ®ã dÉn ®Õn dù ®o¸n khi a = 3 th× S nhËn gi¸ trÞ nhá nhÊt. §Ó dÔ hiÓu vµ t¹o sù Ên tîng ta sÏ nãi r»ng Min S = 10 ®¹t t¹i “§iÓm r¬i: a = 3” 3 Do bÊt ®¼ng thøc Cauchy x¶y ra dÊu b»ng t¹i ®iÒu kiÖn c¸c sè tham gia ph¶i b»ng nhau, nªn t¹i “§iÓm r¬i: a = 3” ta kh«ng thÓ sö dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy trùc tiÕp cho 2 sè a vµ 1 1 v× 3 � . Lóc nµy ta sÏ gi¶ ®Þnh sö dông bÊt a 3 a 1� a 1 ®¼ng thøc Cauchy cho cÆp sè �  tøc � , �sao cho t¹i “§iÓm r¬i: a = 3” th×  a � a � lµ ta cã lîc ®å “ §iÓm r¬i” sau ®©y  S¬ ®å: a  3 �a 3  � �   �1 3 � �� 3  �1  1 �a 3  9 Tõ ®ã ta biÕn ®æi S theo s¬ ®å “§iÓm r¬i” ®îc nªu ë trªn. Lêi gi¶i ®óng: S = a + Víi a = 3 th× Min S = §ç duy thµnh 1 a 1 � 8a a 1 8.3 10 =�  � �2 .   � a 9 a 9 3 �9 a � 9 10 3 2 THPT Th¹ch Thµnh III S¸ng kiÕn kinh nghiÖm M«n: To¸n  Bµi 2: Cho a �2. T×m gi¸ trÞ há nhÊt cña biÓu thøc: S = a + 1 a2 B×nh luËn vµ lêi gi¶i  S¬ ®å ®iÓm r¬i : a  2 �a 2  � �   �1 2 � �� 4  �1  1 2 �a 4  8  Sai lÇm thêng gÆp: S=a+ 2 7.2 2 7 9 1 �a 1 � 7 a 8 1 7a 2 7a �     . =   � .    2 � 4 4 4 8.2 8 a2 � a a2 8 8a 8 �8 a � 8 Víi a = 2 th× Min S = 9 4  Nguyªn nh©n sai lÇm: MÆc dï ta ®· biÕn ®æi S theo ®iÓm r¬i a = 2 vµ Min S = 9 lµ ®¸p ¸n ®óng nh4 ng c¸ch gi¶i trªn ®· m¾c sai lÇm trong viÖc ®¸nh gi¸ mÉu sè: “NÕu a �2 th× 2 2 2 �  lµ ®¸nh gi¸ sai” 8a 8.2 4 §Ó ®iÒu chØnh lêi gi¶i sai thµnh lêi gi¶i ®óng ta cÇn ph¶i biÕn ®æi S sao cho khi sö dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy sÏ khö hÕt biÕn sè a ë mÉu sè.  Lêi gi¶i ®óng: S = a + Víi a = 2 th× Min S = 1 �8 8 1 � 6a a a 1 6.2 9  �   2 � �3. 3 .   a �a a a � 8 8 8. a 2 8 4 9 4 Bµi 3: Cho a �6 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : S = a 2  18 a B×nh luËn vµ lêi gi¶i  S¬ ®å ®iÓm r¬i: a6 �a 2 36  � 18 36 �  �� �  � 18 18  6 �  � 6 �a  2 6  Lêi gi¶i ®óng: §ç duy thµnh 3 THPT Th¹ch Thµnh III S¸ng kiÕn kinh nghiÖm S = a2  M«n: To¸n  18 �a 2 18 � � 1 � 2 a 2 18 � 1 � 2 = �  � � 1 a � 2 . � 1 a � � a � 2 6 a�� 2 6� 2 6 a � 2 6� 1 �2 6 6 =6 a a � 1 a �6 � � 6 � 2 6� 6 � 1 �2 =36 + 3 � 1 6 6 � � 2 6� Víi a = 6 th× Min S = 36 + 3 6 1 2 Bµi 4: Cho 0  a � . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc S = 2a + 1 a2 B×nh luËn vµ lêi gi¶i  Sai lÇm thêng gÆp: S = 2a + 1 1 1 3 2 = a + a + 2 �3 a.a. 2  3 � MinS = 3 a a a  Nguyªn nh©n sai lÇm: Min S = 3 � a  a  1 1  1 m©u thuÉn víi giat thiÕt 0  a � 2 a 2  Ph©n tÝch vµ t×m tßi lêi gi¶i: XÐt b¶ng biÕn thiªn ®Ó dù ®o¸n Min S. 1 10 1 5 1 9 2 9 1 8 1 4 1 7 2 7 1 6 1 3 1 5 2 5 1 4 1 2 1 3 2 3 1 a2 100 81 64 49 36 25 16 9 S 100 a 2.a 1 5 81 2 9 64 1 4 49 2 7 36 1 3 25 2 5 16 1 2 9 1 2 1 4 2 3 5 Nh×n b¶ng biÕn thiªn ta thÊy khi a cµng t¨ng th× S cµng nhá tõ ®ã dÉn ®Õn dù ®o¸n khi a  1 th× S nhËn gi¸ trÞ nhá nhÊt. 2  S¬ ®å ®iÓm r¬i 1: C¸ch 1: 2a + §ç duy thµnh 1 a 2 � 1 a � 1 4 � 2 �� �  � 2  �1  4 2 � a   8 1 3 7.4 1 � 7 8 7 =� 5. a  a  2 � 2 �3 3 a.a. 2  2 �  � 2 a 2 8 8a � 8a a 8a � 4 THPT Th¹ch Thµnh III S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Víi a = M«n: To¸n  1 th× Min S = 5. 2  S¬ ®å ®iÓm r¬i 2: a  � a  � 1 4 � 2 �� �  � 2  �1  4 2 �a 1 2 1 1 =� 8a  8a  2 � 2 a a � C¸ch 2: S = 2a + 1 2 = 12  14a �12  14.  5 . Víi a =  8 1 �  14a �3 3 8a.8a. 2  14a � a � 1 th× Min S = 5. 2 a, b  0 � 1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña S = ab + a  b �1 ab � Bµi 5: Cho � B×nh luËn vµ lêi gi¶i  Sai lÇm thêng gÆp: S = ab + 1 1 �2. ab.  2 � Min S = 2. ab ab  Nguyªn nh©n sai lÇm: 1 ab Min S = 2  �ab��  � 1 1 ab ab 2 1 2 1 1 : V« lý 2  Ph©n tÝch vµ t×m tßi lêi gi¶i: BiÓu thøc cña S chøa biÕn sè a, b nhng nÕu ®Æt t = ab hoÆc t = 1 1 th× S = t + lµ ab t biÓu thøc chøa 1 biÕn sè. Khi ®æi biÕn sè ta cÇn ph¶i t×m miÒn x¸c ®Þnh cho biÕn sè míi, cô thÓ lµ: 1 1 � 4 1 1 1 � 2 2 §Æt t = � ab  vµ t = �a  b � �1 � ab t ab � � �� � 2 � �2 �  Bµi to¸n trë thµnh: Cho t �4 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc S = t + §ç duy thµnh 5 THPT Th¹ch Thµnh III 1 t S¸ng kiÕn kinh nghiÖm �t 4  � �   �1 4 � �� 1 1 4  �  �t 4 t4  S¬ ®å ®iÓm r¬i: M«n: To¸n    16  Lêi gi¶i tæng hîp: 1 t 1 � 15t t 1 15t 2 15t 2 15.4 17 S = t + =� .  � �2. .    �   � t � 16 t � 16 16 t 16 4 16 4 16 4 Víi t = 4 hay a = b = 1 17 th× Min S = . 2 4  Lêi gi¶i thu gän: Do t = 4 � a  b  1 nªn biÕn ®æi trùc tiÕp S nh sau: 2 1 � 1 � 15 1 � ab   �2. ab.  � S = ab + ab � 16ab � 16ab 16ab Víi a = b = 15 17 � �a  b � 4 . 16 � � �2 � 2 1 17 th× Min S = . 2 4 �a, b, c  0 1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓi thøc S = abc + abc �a  b  c �1 Bµi 6: Cho � B×nh luËn vµ lêi gi¶i  Sai lÇm thêng gÆp: S = abc + 1 1 �2 abc  2 � Min S = 2 abc abc  Nguyªn nh©n sai lÇm: 1 abc Min S = 2 �� � abc � � 1 1 3 abc abc 3 1 3 1 1 3 V« lÝ.  Ph©n tÝch vµ t×m tßi lêi gi¶i: BiÓu thøc cña S chøa 3 biÕn s« a, b, c nhng nÕu ®Æt t = abc hoÆc t = S=t+ 1 th× abc 1 lµ biÓu thøc chøa 1 biÕn sè. Khi ®æi biÕn sã ta cÇn ph¶i t×m miÒn x¸c t ®Þnh cho biÕn sè míi, cô thÓ lµ: §ç duy thµnh 6 THPT Th¹ch Thµnh III S¸ng kiÕn kinh nghiÖm M«n: To¸n  1 1 � 3  27 1 1 1 � 3 §Æt t = � abc  vµ t = �a  b  c � �1 � abc t abc � � �� � 3 � �3 �  Bµi to¸n trë thµnh: Cho t �27. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc S = t + 1 t  S¬ ®å ®iÓm r¬i: �t 27  � 1 27 �  t  27 � � �  � 1 1 27  �  �t 27 1 � �27 2  1 � t 1 (27 2  1).t 1 �t  � 2  � � 2 � .t �2 .  27 2 t t �27 t � � 27 � Lêi gi¶i tæng hîp: S = t +      27 2  27 2  1 t 27 2  1 .27 27 2  1 730 2 �     27 27 2 27 2 27 2 27 Víi t = 27 hay a = b = c = 1 730 th× Min S = . 3 27 Lêi gi¶i thu gän: Do t = 27 � a = b = c = 1 nªn biÕn ®æi trùc tiÕp S nh 3 sau: S = abc +  1 1 � 27 2  1 1 27 2  1 =� abc  2 �2 abc. 2  � � abc 27 .abc � 27 2 abc 27 .abc 27 2 abc �    27 2  1 .27 27 2  1 .27 27 2  1 730 2 �     27 27 2 27 2 27 27 Víi a = b = c = 1 730 th× Min S = . 3 27 Bµi 7: Cho a, b > 0. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt c¶u biÓu thøc: S = a  b  ab ab ab B×nh luËn vµ lêi gi¶i  Sai lÇm thêng gÆp: S = §ç duy thµnh ab ab a  b ab  �2.  2 � Min S = 2 ab a  b ab a  b 7 THPT Th¹ch Thµnh III S¸ng kiÕn kinh nghiÖm M«n: To¸n  ab ab   Nguyªn nh©n sai lÇm: Min S = 2 � =1 ab  �ab � a b 2 ab ab 1 2 .V« lÝ  Ph©n tÝch vµ t×m tßi lêi gi¶i: Do S lµ mét biÓu thøc ®èi xøng víi a, b nªn dù ®o¸n Min S ®¹t t¹i a = b >0 2a 2 �a  b   � 1 2  ab  a  � �� �  � 2  � ab  a  1 � �a  b 2a 2  S¬ ®å ®iÓm r¬i: a  b  4 Lêi gi¶i ®óng: �a  b ab � 3.  a  b  ab ab 3.  a  b  S = a  b  ab = �   � 2. .  � � � ab  1 ab �4 ab a  b � 4. ab 4. ab a  b 4. ab 3 5 5  . Víi a = b>0 th× Min S = 2 2 2 a , b, c  0 � 1 1 1 � Bµi 8: Cho � 3 .T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña S = a+b+c+   abc � a b c � � 2 B×nh luËn vµ lêi gi¶i  Sai lÇm thêng gÆp: 1 a 1 b 1 c S = a+b+c+   �6. 6 a.b.c. 1 . 1 . 1  6 � Min S = 6. a b c 1 a 1 b 1 c  Nguyªn nh©n sai lÇm: Min S = 6 � a  b  c    =1 3 � a  b  c  3 � tr¸i víi gi¶ thiÕt. 2  Ph©n tÝch vµ t×m tßi lêi gi¶i: Do S lµ mét biÓu thøc ®èi xøng víi a, b, c nªn dù ®o¸n Min S ®¹t t¹i a = b = c = §ç duy thµnh 1 2 8 THPT Th¹ch Thµnh III S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  S¬ ®å ®iÓm r¬i 1: abc 1 a 1 b C¸ch 1: S = a+b+c+   abc =� � � M«n: To¸n  1 2 1 � abc � 1 2 � 2 �� �  � 2  �1  1  1  2 � a b c   4 1 = c 1 1 1 � 3 �1 1 1 � 1 1 1 3� 3 1 1 1 �   � �   ��6 6 a.b.c. . .  � 3. . � � 4a 4b 4c � 4 �a b c � 4a 4b 4c 4 � � a bc� 9 1 27 1 27 1 15 9 1 �3   3 . �3   =3+ . 3 4 abc 4 abc 4 6 2 4 abc 3 3 Víi a=b=c= 1 15 th× Min S = 2 2  S¬ ®å ®iÓm r¬i 2: abc 1 a 1 b C¸ch 2: S = a+b+c+   1 1 1 2  � a  b  c  �  � 2 �� � 2� 2 �1  1  1  2 �a b c  4 1 = c 1 � 111 4a  4b  4c    � 3  a  b  c  �6 6 4a.4b.4c. 3  a  b  c  �12  3  =� � a b c� 2 2 � abc Víi a=b=c= 3 15 1 15 th× Min S = 2 2 a , b, c  0 � 1 1 1 � Bµi 9: Cho � 3 .T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña S = a2 + b2 + c2 +   abc � a b c � � 2 B×nh luËn vµ lêi gi¶i  Sai lÇm thêng gÆp: S = a 2 + b2 + c2 + Min S = §ç duy thµnh 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1   +   �9 9 a 2b 2 c 2 . . . . . =3 � 4 2a 2b 2c 2a 2b 2c 2a 2b 2c 2a 2b 2c 9 4 3 9 THPT Th¹ch Thµnh III S¸ng kiÕn kinh nghiÖm   Nguyªn nh©n sai lÇm: Min S = 9 1 1 1 1 2 2 2 � a  b  c     3 2a 2b 2c 3 4 4 1 2 � abc � abc  M«n: To¸n 3 3 3  tr¸i víi gi¶ thiÕt. 2 2 3  Ph©n tÝch vµ t×m tßi lêi gi¶i: Do S lµ mét biÓu thøc ®èi xøng víi a, b, c nªn dù ®o¸n Min S ®¹t t¹i a = b = c =  S¬ ®å ®iÓm r¬i: a  b  c  1 2 1 �2 a  b2  c2  � 1 2 � 4 �� �  �  8 4  �1  1  1  2 � a b c  1 2 1 a 1 b 1 c Lêi gi¶i ®óng: S = a2 + b2 + c2 +   = a 2 + b2 + c2 + =� � � �9 9 a 2b 2 c 2 1 1 1 1 1 1 � 3 �1 1 1 �  +   + � �  + � 8a 8b 8c 8a 8b 8c � 4 �a b c � 1 1 1 1 1 1 3 �3 1 1 1 � . . . . .  � 3 � � 8a 8b 8c 8a 8b 8c 4 � � abc� 9 9 1 9 9 1 9 9 27  .3 �  . �  .2  = 4 4 abc 4 4 a  b  c 4 4 4 3 Víi a = b = c = 1 27 th× Min S = 2 4 a , b, c  0 � � Bµi 10: Cho � 3 .T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña abc � � � 2 S = a 2  12  b 2  12  c 2  12 b c a B×nh luËn vµ lêi gi¶i  Sai lÇm thêng gÆp: §ç duy thµnh 10 THPT Th¹ch Thµnh III S¸ng kiÕn kinh nghiÖm M«n: To¸n  S �3 3 a 2  12  b2  12  c 2  12  3 6 (a 2  12 )(b2  12 )(c 2  12 ) b c � 2 1 �3. 6 � 2 a  2 � b � a � � 2 1 2 b  2 � � � � c � � b � � 2 1 2 c  2 � � � � a � � c a � 6 � Min S = 3 2 = � � 3 8 3 2 �  Nguyªn nh©n sai lÇm: Min S = 3 2 � a = b = c = 1 1 1 3    1 � a  b  c �3  tr¸i víi gi¶ thiÕt. a b c 2  Ph©n tÝch vµ t×m tßi lêi gi¶i: Do S lµ mét biÓu thøc ®èi xøng víi a, b, c nªn dù ®o¸n Min S ®¹t t¹i a = b = c =  S¬ ®å ®iÓm r¬i: a  b  c  1 2 1 �2 a  b2  c2  � 1 4 � 4 �� �  � 4  �1  1  1  4 2 2 2 � a b c  1 2   16 Lêi gi¶i 1: S= a2  1 1 1 1 1 1  ...   b2   ...   c2   ...  2 2 2 2 2 16b 16b 16c 16c 16a 16a 2 16 s� 16 s� 16 s� a2 b2 c2 17 17 � 17.  17.  17. 1616 b32 1616 c 32 1616 a 32 17 � a b c � 17 � 3. 3 17 8 16 .17 8 16 .17 8 16 16 b 16 c 16 a � � 3 17 = 2.17 (2a.2b.2c ) 5 = � a b c � 17 17 17 17 �   � 8 16 168 c16 168 a16 � � 16 b � 1 � 3. 17.17 8 5 5 5 16 a b c � � 3 17 � 2 �2a  2b  2c � 217 � � 3 � � � Víi a = b = c = 3 17 15 1 th× Min S = 3 17 2 2 Phèi hîp víi ®iÓm r¬i trong bÊt ®¼ng thøc Cauchy-Schwarzi: §ç duy thµnh 11 THPT Th¹ch Thµnh III   S¸ng kiÕn kinh nghiÖm XÐt d¹ng ®Æc biÖt níi n = 2: � M«n: To¸n  a 2 1    a22 b12  b22 �a1b1  a2b2 . DÊu b»ng x¶y ra a1 a2  �0 b1 b2 ý nghÜa: ChuyÓn ®æi mét biÓu thøc to¸n häc ë trong c¨n bËc hai thµnh mét biÓu thøc kh¸c ë ngoµi c¨n ®Ó nhËn ®îc mét biÓu thøc linh ®éng h¬n. XÐt ®¸nh gi¸ gi¶ ®Þnh víi c¸c sè  ,  2 � �2 �1 � � 2 1 1 � � � a2  1  . a    2 � .�  a  � (1) � � � � 2 � b b�  2   2 � �b �� 2  2 � � 2 � �2 �1 � � � 2 1 1 1 � � �b  2  . � b  � �� 2   2 � .�  b  � (2) 2 2 2 2 c c�     � � � �c �� � 2 � 2 1 �2 �1 � � 2 1 1 � � c   . c    2 � .�  c  � (3) � � � � � 2 a a�  2   2 � �a �� 2  2 � � �  S � .�   a b c 2  2 � 1 �1 � �a       1 b � 1� � � S0 c� � Do S lµ biÓu thøc ®èi xøng víi a, b, c nªn dù ®o¸n S = S0 t¹i ®iÓm r¬i a=b=c= 1 , khi ®ã tÊt c¶ c¸c bÊt ®¼ng thøc (1), (2), (3) ®ång thêi x¶y ra 2 dÊu b»ng tøc lµ ta cã s¬ ®å ®iÓm r¬i sau: S¬ ®å: a  b  c  1 2 �a 1/ b  �   � �b 1/ c  a b c 1 ��  �     �    1 1 1 4 � b c a �c 1/ a �    �  1 � � �  4 KÕt hîp víi biÕn ®æi theo “§iÓm r¬i” trong Cauchy ta cã lêi gi¶i sau: §ç duy thµnh 12 THPT Th¹ch Thµnh III S¸ng kiÕn kinh nghiÖm M«n: To¸n  � 2 1 1 1 � 4� �2 1 � 2 . � a  2 �1  42 � .� a  � (1) �a  2  b b b� 17 17 � � � � � � 1� 1 � 4� Lêi gi¶i 2:  � b2  12  1 . � b 2  2 �12  42 � .� b  �(2) � c 17 � c � 17 � c � � � 1� 1 � 4� � c2  1  1 . � c 2  2 �12  42 � .� c  � (3) 2 � � a 17 � a � 17 � a � �     S � 1 � .� a b c 17 � 4 a 4 b 4� � c�       1 � .� a b c 17 � 1 4a 1 4b 1 15 �1 � 4c 4 �a 1 b � 1� � � c� � � 1 � 45 1 � 1 �6 1 1 1 15 �3 1 1 1 � .� 6. abc. . .  � 3   3 . 3 � � � � 4a 4b 4c 4 � a b c 4 abc � 17 � 17 � � � � � � � � 1 � 45 � 3 17 1 � 45 1 � .� 3 . 3  .2 � = �� � 17 � 4 a  b  c � 17 � 4 � 2 3 � � Víi a = b = c = 1 th× Min S = 3 17 2 2 Bµi 11: Cho tam gi¸c ABC. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: T = sinA + sinB + sinC + 1 1 1   sin A sin B sin C B×nh luËn vµ lêi gi¶i  Sai lÇm thêng gÆp: sinA + sinB + sinC + 1 1 1 sin A.sin B.sin C   �6 6  6 � Min T = 6 sin A sin B sin C sin A.sin B.sin C  Nguyªn nh©n sai lÇm: Min T = 6 � sin A  sin B  sin C  1 1 1    1� A  B  C  sin A sin B sin C 2 M©u thuÉn víi A + B + C =   Ph©n tÝch vµ t×m tßi lêi gi¶i: Bæ ®Ò: sinA + sinB + sinC �3 3 2 §ç duy thµnh 13 THPT Th¹ch Thµnh III S¸ng kiÕn kinh nghiÖm M«n: To¸n  ¸p dông: Dù ®o¸n ®iÓm r¬i cña Min T lµ sinA + sinB + sinC  3 2  S¬ ®å ®iÓm r¬i:  sin A   sin B   sin C �  3 2 � �� 1  � 1 1 2 � 2 3 �sin A  sin B  sin C  3 � 3 sin A  sin B  sin C  2  4 3  Lêi gi¶i ®óng: 4 4 4 1 1 1 �1   T= � � sin A  sin B  sin C  �  sin A  sin B  sin C  �3 3 3 sin A sin B sin C � 3 4 1 1 �1 � �4 � �4 � �1 T �6. 6 � . . � sin A � � sin B � � sin C � � �  sin A  sin B  sin C  3 3 3 sin A sin B sin C 3 � = � � � � � � � 12 1 12 1 3 3 21 3 7 3   sin A  sin B  sin C  �  .   3 3 6 2 3 3 2  Víi sin A  sin B  sin C  3 hay A = B = C = th× Min T = 7 3 3 2 Bµi 12: Cho a, b, c, d > 0. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: 2 B×nh luËn vµ lêi gi¶i  Sai lÇm thêng gÆp 1: Sö dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy ta cã: � a bcd  �2 � a �b  c  d � b cd a  �2 � b �c  d  a � d ab � c �2 �d  a  b  c � abc � d �2 �a  b  c  d � �S 8 a bcd . 2 b cd a b cd a . 2 cd a b c d a b . 2 d ab c d abc . 2 a b c d Min S = 8.  Sai lÇm thêng gÆp 2: Sö dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy trùc tiÕp cho 8 sè: S �8 8 a b c d = 8 � Min S = 8. . . . bcd cd a d ab abc §ç duy thµnh 14 THPT Th¹ch Thµnh III S¸ng kiÕn kinh nghiÖm M«n: To¸n   Nguyªn nh©n sai lÇm: a bcd � � b cd a � a  b  c  d  3  a  b  c  d  � 1  3 V« lý. Min S = 8 � � � c  d  a  b � � d  abc �  Ph©n tÝch vµ t×m tßi lêi gi¶i: §Ó t×m Min S ta cÇn lu ý S lµ mét biÓu thøc ®èi xøng víi a, b, c, d do ®ã Min S (hoÆc Max S) nÕu cã thêng ®¹t t¹i “§iÓm r¬i tù do” : a = b = c = d > 0. VËy ta cho tríc a = b= c= d > 0 vµ dù ®o¸n Min S = 4 1  12  13 3 3 Tõ ®ã suy ra c¸c ®¸nh gi¸ cña bÊt ®¼ng thøc bé phËn ph¶i cã ®iÒu kiÖn dÊu b»ng x¶y ra lµ tËp con cña ®iÒu kiÖn dù ®o¸n: a = b = c = d > 0  S¬ ®å ®iÓm r¬i: Cho a = b = c = d > 0 ta cã: b d 1 � a    � 1 3 �b  c  d c  d  a a  b  c 3 �  �  9 � 3  �b  c  d  c  d  a  d  a  b  a  b  c  3 � a b c d  C¸ch 1: BiÕn ®æi vµ sö dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy ta cã: � a  �� �b  c  d S a ,b ,c , d �8 8 bcd � 8 bcd � � � . 9a � a ,b ,c , d 9 9a a b c d b c d c d a d a b a b c . . . . . . . bca c d a d a b a bc 9a 9b 9c 9d 8 b c d c d a d a b a b c� + � �           � 9 �a a a b b b c c c d d 8 8 �b c d c d a d a b a b c �  .1212 � . . . . . . . . . . . 3 9 �a a a b b b c c c d d d Víi a = b= c= d > 0 th× Min S = 13 bcd ; a C¸ch 2: §Æt S1  � S1  d� 8 32 40 1 � 8 8   13 �  .12   3 3 3 3 � 3 9 1 3 a S2  � � S  S1  S 2 bcd b c d c d a d a b a b c            a a a b b b c c c d d d §ç duy thµnh 15 THPT Th¹ch Thµnh III S¸ng kiÕn kinh nghiÖm M«n: To¸n  b c d c d a d a b a b c � . . . . . . . . . . .  12 a a a b b b c c c d d d 1 1 1 � a � S 2  4  ��  1 �  a  b  c  d  �  � b  c  d  .� � bcd 3 bcd �b  c  d � 4 1 16 � . 4  b  c  d   c  d  a   d  a  b   a  b  c  .4 4  3  b  c  d   c  d  a   d  a  b  a  b  c  3 16 4 � S 2  � 4 3 3 S S1 S 2 12 4 1 13 3 3 1 3 Víi a = b= c= d > 0 th× Min S = 13 Bµi 13: Cho a, b, c, d > 0. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: � 2a � � 2b � � 2c � � 2d � S � 1 1 � 1 1 � � � � � � � 3b � � 3c � � 3d � � 3a � B×nh luËn vµ lêi gi¶i  Sai lÇm thêng gÆp: � 2a � � 2b � � 2c � � 2d � 2a 2b 2c 2d 64 64 S � 1 � 1 � 1 1 .2 .2 .2 . � MinS  � � � � ��2 � 3b � � 3c � � 3d � � 3a � 3b 3c 3d 3a 9 9  Nguyªn nh©n sai lÇm: Min S = 64 2a 2b 2c 2d 2  a  b  c  d  2 �1      � V« lý 9 3b 3c 3d 3a 3  a  b  c  d  3 Do S lµ biÓu thøc ®èi xøng víi a, b, c, d nªn dù ®o¸n Min S ®¹t t¹i 4 2 � 625 §iÓm r¬i tù do: a = b = c = d > 0, khi ®ã S  � 1  � � � 3� 81  C¸ch 1: Sö dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy ta cã: §ç duy thµnh 16 THPT Th¹ch Thµnh III S¸ng kiÕn kinh nghiÖm M«n: To¸n  2 3 2 � 5 2 a 1 1 a a 1 a 5 a � � � � � � � 1     �5 5 � �. � �  � � � 3b 3 3 3b 3b �3 � �3b � 3 �b � � 2 3 2 � 2b 1 1 b b 5 1 b 5 b � � � � � � � 1     �5 5 � �. � �  � � �3 � �3c � 3 �c � � 3c 3 3 3c 3c � 2 3 2 � 2c 1 1 c 5 c 1 c 5 c � �� � �� 1     �5 5 � �. � �  � � � �3 � �3d � 3 �d � � 3d 3 3 3d 3d � 2 3 2 5 � 2d 1 1 d d 1 d 5 d � � � � � � 1     �5 5 � �. � �  � � � 3 a 3 3 3 a 3 a �3 � �3a � 3 �a � � 2 5 2a � 625 � 2b � � 2c � � 2d � 625 �a b c d � � S � 1 � 1 � 1 � 1 � � � � �� . � . . . �  � 3b � � 3c � � 3d � � 3a � 81 �b c d a � 81 Víi a = b= c= d > 0 th× Min S = 625 81 C¸ch 2: � 2a 3b  2a b  b  b  a  a 5 5 b3a 2 1   � � 3b 3b 3b � 3b 5 � 2b 3c  2b c  c  c  b  b 5 c 3b 2 � 1   � � 3c 3c 3c 3c x� � 2c 3d  2c d  d  d  c  c 5 5 d 3c 2 1   � � 3d 3d 3d 3d � � 2d 3a  2d a  a  a  d  d 5 5 a 3d 2 1   � � 3a 3a 3a � 3a 5 5 5 5 5 2a � 625 � 2b � � 2c � � 2d � 625 5 a b c d � S � 1  1  1  1  � .  � � � � � � � � abcd 81 � 3b � � 3c � � 3d � � 3a � 81 Víi a = b= c= d > 0 th× Min S = 625 81 �a, b, c  0 1 1 1 2 2 2 Chøng minh r»ng: S = 2  2  2    �81 a b c ab bc ca �a  b  c �1 Bµi 14: Cho � Gi¶i BiÕn ®æi vµ sö dông 2 lÇn bÊt ®¼ng thøc Cauchy cho 9 sè ta cã: a 2 b2 c2 1 1 1 1 9  S =      �9 9 2 2 2 9 2 2 2 b c a ab bc ca a b c ab.ab.bc.bc.ca.ca a b c ab.ab.bc.bc.ca.ca §ç duy thµnh 17 THPT Th¹ch Thµnh III S¸ng kiÕn kinh nghiÖm M«n: To¸n  9 81 � 2  �81 2 2 a  b  c  ab  ab  bc  bc  ca  ca (a  b  c) 2 9 2 2 2 �a, b, c  0 Chøng minh r»ng: S = a  b  c  1  1  1 �28 b c a ab bc ca �a  b  c �1 Bµi 15: Cho � Gi¶i 1 3 Dù ®o¸n S = 1 t¹i ®iÓm r¬i: a = b =c = BiÕn ®æi vµ sö dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy ta cã: 2 2 2 S = a  b  c  27 1  27 1  27 1 � b c a 27ab 27 27bc 27ca 27 27 a 2 b2 c 2 � 1 � � 1 � � 1 � 84 �84 � �� �� � �84 81 53 53 53 b c a �27 ab � �27bc � �27ca � 27 a b c 84 � 84 84 �53  a  b  c  � 2781 � � � 53.3 � 53.3 � 84 3.53 �1 � 84 2781 �� �3 �  84 84 2728  28 III/BiÖn ph¸p thùc hiÖn -Trao ®æi th«ng qua sinh ho¹t 15 phót. -D¹y trong c¸c tiÕt bµi tËp. -Th«ng qua b¸o b¶ng víi chuyªn môc “Sai lÇm ë ®©u?” -Ngo¹i khãa. -D¹y vµo tiÕt tù chän. IV/kÕt qu¶ Trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y t«i ®· lµm phÐp ®èi chøng ë 2 líp 10C3 vµ 10C4. §èi víi líp 10C4 t«i ®· cho häc sinh ®äc mét sè c¸ch gi¶i sai mµ häc sinh hay m¾c ph¶i vµ t×m chç sai vµ c¸ch kh¾c phôc nh thÕ nµo. Kªt qu¶ 90% häc sinh líp 10C4 cã thÓ ®Þnh híng vµ vËn dông thµnh th¹o bÊt ®¼ng thøc Cauchy mét c¸ch cã hiÖu qu¶. Trong khi ®ã ë líp ®èi chøng 10C3 tØ lÖ nµy chØ ®¹t 45% §ç duy thµnh 18 THPT Th¹ch Thµnh III S¸ng kiÕn kinh nghiÖm M«n: To¸n  V/KÕt luËn Th«ng qua bµi viÕt c¸c b¹n cã thÓ phÇn nµo thÊy ®îc nh÷ng sai lÇm thêng gÆp trong viÖc sö dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy tõ ®ã rót ra ®îc cho b¶n th©n c¸ch d¹y, c¸ch häc nh thÕ nµo cho hiÖu qu¶ nhÊt. Trong bµi viÕt cã sö dông mét sè tµi liÖu 1/500 BÊt ®¼ng thøc-GS: Phan Huy Kh¶i. 2/TuyÓn tËp ®Ò thi tõ 1990-2005- TS: TrÇn Ph¬ng. 3/§¹i sè 10. §ç duy thµnh 19 THPT Th¹ch Thµnh III
- Xem thêm -