Saù n g kieá n kinh nghieä m
Trang1
Đào Anh Tuấn
Hình học tọa độ trong không gian và những sai lầm của học sinh
A.Lyù do choïn ñeà taøi:
- Toaùn hoïc thöôøng ñöôïc xem laø boä moân khoa hoïc caên baûn, tuy vaäy moãi giôø hoïc toaùn
thöôøng raát caêng thaúng vaø thöôøng hoïc sinh quan nieäm raèng toaùn hoïc laø nhöõng coâng
thöùc, quy taéc,…
- Cuøng moät vaán ñeà, toaùn hoïc bao giôø cuõng coù theå luaän giaûi ñöôïc baèng phöông phaùp
giaûi tích, phöông phaùp ñaïi soá, phöông phaùp hình hoïc, hoaëc baèng söï keát hôïp cuûa caùc
phöông phaùp ñoù.
-Vôùi phöông phaùp toaï ñoä trong khoâng gian chuùng ta ñaõ coù söï keát hôïp cuûa taát caû caùc
phöông phaùp treân. Vieäc laøm naøy ñaõ laøm cho vieäc hoïc hình hoïc khoâng baét buoäc phaûi töï
daïy cuï theå vaø tröïc quan vôùi nhöõng hình veõ khoâng gian 3 chieàu, traùnh ñöôïc tính tröøu
töôïng, nhaèm ñaït tôùi söï khaùi quaùt hoaù cuûa hình hoïc khoâng gian noùi rieâng vaø cuûa toaùn
hoïc noùi chung.
- Lyù thuyeát cuûa phöông phaùp toaï ñoä trong khoâng gian bao goàm taát caû nhöõng lyù thuyeát
cuûa phöông phaùp toaï ñoä trong maët phaúng vaø nhöõng lyù thuyeát môû roäng trong khoâng
gian vôùi moät khoái löôïng kieán thöùc ñaùng keå.
- Baøi taäp cuûa PP toaï ñoä trong KG raát ña daïng, soá löôïng töông ñoái nhieàu. Muoán giaûi toát
caùc baøi taäp naøy ñoøi hoûi hoïc sinh phaûi bieát nhaän daïng caùc ñoái töôïng cô baûn cuûa HHKG,
bieát tìm söï lieân heä giöõa chuùng, bieát keát hôïp giöõa PP toaï ñoä vôùi HHKG.
- Do thôøi gian phaân phoái chöông trình cho phaàn naøy coøn haïn cheá: Coù nhöõng baøi caû lyù
thuyeát vaø baøi taäp chæ coù 1 tieát. Baûn thaân moät soá giaùo vieân chöa nhieàu kinh nghieäm. Ña
soá hoïc sinh hoïc toaùn vôùi kyõ naêng tính toaùn keùm, tö duy töôûng töôïng HHKG khoâng coù,
kieán thöùc HHKG lôùp 11 naém khoâng vöõng , chæ coi troïng coâng thöùc, chöa hieåu ñuùng vai
troø cuûa lyù thuyeát vôùi baøi taäp …
- Qua nhieàu naêm giaûng daïy vaø qua theo doõi caùc baøi laøm, baøi kieåm tra cuûa hoïc sinh toâi
nhaän thaáy caùc em coù nhöõng sai laàm phoå bieán sau:
1) Veà lyù thuyeát:
Do tröông trình sgk ñöôïc vieát ngaén goïn neân:
- Hoïc sinh deã ngoä nhaän taát caû nhöõng khaùi nieäm coù trong HH phaúng laø coù trong HHKG.
Ví duï nhö veùc tô phaùp tuyeán cuûa ñöôøng thaúng.
- Hoïc sinh khoâng bieát nhaän ra söï gioáng vaø khaùc nhau göõa caùc coâng thöùc tính theo toaï
ñoä cuûa PP toaï ñoä trong KG vaø PP toaï ñoä trong maët phaúng. Daãn ñeán taâm lyù caêng thaúng
cho raèng coâng thöùc phaûi thuoäc laø quaù nhieàu, khoù nhôù.
- Caùc em khoâng bieát xaâu chuoãi caùc kieán thöùc lieân quan trong nhieàu baøi khaùc nhau.
Ví duï: coù theå tìm ñöôïc vtpt cuûa maët phaúng, nhöng khi tìm vtcp cuûa ñöôøng thaúng thì laïi
khoù khaên.
Saù n g kieá n kinh nghieä m
Trang2
Đào Anh Tuấn
- Kieán thöùc lyù thuyeát ôû moãi baøi thöôøng nhieàu vaø töông ñoái khoù, nhöng thôøi gian ñeå
phaân tích, chöùng minh cho hs hieåu saâu laïi khoâng coù.
2) Veà baøi taäp:
- Hoïc sinh khoâng nhôù nhieàu caùc kieán thöùc veà PP toaï ñoä trong maët phaúng coù lieân quan
ñeán PP toaï ñoä trong KG neân khi aùp duïng laøm caùc baøi taäp cuï theå gaëp khoù khaên.
- Hoïc sinh thöôøng söû duïng coâng thöùc moät caùch khuoân maãu, khoâng bieát vaän duïng trieät
ñeå caùc kieán thöùc cuûa hình hoïc KG lôùp 11 coù lieân quan.
Ví duï nhö khi tính theå tích moät hình choùp hoïc sinh thöôøng aùp duïng maùy moùc coâng
1
thöùc tính : 6 [( AB, AC ), AD] mà đôi khi không ngĩ tới công thức tính thể tích hình chóp : V=
1/6.h.dt(đáy)
. Coâng thöùc ñöôïc söû duïng ñôn giaûn hôn nhieàu.
- Kyõ naêng trình baøy, dieãn ñaït cuûa Hs chöa toát. Nhieàu khi ñöùng tröôùc moät noäi dung ñaõ
hieåu nhöng laïi khoâng bieát dieãn ñaït nhö theá naøo, hoaëc neáu coù thì dieãn ñaït khoâng ñuû yù,
nhieàu khi coøn luûng cuûng.
- Ña soá caùc em khoâng bieát phaân loaïi caùc daïng baøi taäp vaø caùc phöông phaùp chung cho
töøng loaïi baøi taäp ñoù.. Vì theá khi gaëp caùc baøi taäp töông töï nhöng hoûi theo caùch khaùc caùc
em laïi töôûng nhö ñoù laø moät loaïi baøi taäp môùi.
- Ñöùng tröôùc moät baøi taäp maø giaû thieát cho laø nhöõng toaï ñoä, phöông trình cuûa caùc ñoái
töôïng cô baûn trong KG, caùc em khoâng bieát lieân heä giöõa giaû thieát vôùi keát luaän nhö theá
naøo. Töùc laø khoâng bieát baét ñaàu töø ñaâu, khoâng bieát söû duïng trí töôûng töôïng HHKG ñeå
veõ hình vaø tìm moái lieân heä giöõa caùc ñoái töôïng ñoù.
Töø nhöõng nhaän ñònh treân, toâi xin ñöa ra moät soá giaûi phaùp nhaèm khaéc phuïc nhöõng thieáu
soùt cuûa hs, giuùp caùc em hieåu vaø giaûi ñöôïc nhöõng baøi taäp loaïi naøy. Töø ñoù giuùp caùc em
phaán khôûi hôn khi hoïc moân Toaùn, töï tin hôn khi böôùc vaøo kyø thi hoïc kyø II, kyø thi TN
THPT, kyø thi Ñaïi hoïc. Nhöõng kyø thi ma øcaùc baøi taäp loaïi naøy luoân luoân coù.
Ñoù laø lyù do toâi choïn ñeà taøi treân.
B)NOÄI DUNG:
I) Moät soá giaûi phaùp haïn cheá nhöõng sai soùt veà kieán thöùc vaø kyõ naêng cuûa hoïc sinh:
1) Vaán ñeà lyù thuyeát:
- Khi daïy lyù thuyeát ña soá caùc giaùo vieân phaûi daïy nhanh vì phaân phoái chöông trình raát
haïn cheá veà thôøi gian. Khi ñoù nhieàu ñònh lyù khoâng hoaëc khoâng chöùng minh kyõ ñöôïc,
hay moät soá coâng thöùc tính khoâng ñöôïc chæ ra, daãn daét ñeán noù moät caùch baøi baûn, roõ
raøng con ñöôøng ñi tôùi noù. Töø ñoù vieäc hoïc coâng thöùc cuaû hoïc sinh raát maùy moùc, daãn
ñeán khoù thuoäc, do khoâng ñöôïc hieåu moät caùch roõ raøng, chæ bieát laø phaûi thuoäc ñeå vaän
duïng chuùng.
Saù n g kieá n kinh nghieä m
Trang3
Đào Anh Tuấn
- Ngoaøi ra neáu khoâng ñoåi môùi phöông phaùp daïy thì khoâng coù thôøi gian ñeå cuûng coá caùc
kieán thöùc lieân quan vaø ñöa ra caùc daïng baøi taäp thöôøng gaëp, ñoàng thôøi chæ roõ nhöõng
daïng baøi taäp ñoù ñöôïc vaän duïng lyù thuyeát töông öùng naøo.
Chính vì vaäy yeâu caàu giaùo vieân khi daïy phaàn lyù thuyeát naøy tröôùc heát phaûi phaân bieät
cho hoïc sinh roõ troïng taâm cuûa moãi baøi, phaûi theå hieän caùch ghi baûng sao cho hoïc sinh
ghi ít nhaát nhöng trong taâm nhaát ñeå traùnh maát thôøi gian.
*) Khi daïy caùc coâng thöùc tính theo toaï ñoä nhö : bieåu thöùc toaï ñoä cuûa tích voâ höôùng, ñoä
daøi vec tô, goùc giöõa hai veùc tô, toaï ñoä veùc tô toång, hieäu hai veùc tô, ñieàu kieän vuoâng
goùc giöõa hai veùc tô, ñieàu kieän cuøng phöông giöõa hai veùc tô, phöông trình tham soá,
phöông trình chính taéc cuûa ñöôøng thaúng, phöông trình maët caàu, phöông trình ñöôøng
troøn,…Giaùo vieân coù theå ñaët caâu hoûi: Caùc coâng thöùc treân coù quen khoâng? Coù nhöõng
coâng thöùc naøo khoâng gioáng trong hình hoïc phaúng? Giuùp caùc em traû lôøi ñöôïc caùc caâu
hoûi treân, nhö vaäy giaùo vieân ñaõ gôïi cho hoïc sinh thaáy ñöôïc söï gioáng vaø khaùc nhau vôùi
caùc coâng thöùc töông töï ôû phöông phaùp toaï ñoä trong maët phaúng. Töø ñoù giuùp hoïc sinh deã
nhôù caùc coâng thöùc vaø traùnh nhaàm laãn khi vaän duïng.
*) Giaùo vieân phaûi höôùng daãn hoïc sinh xaâu chuoãi caùc kieán thöùc coù lieân quan trong
nhieàu baøi khaùc nhau ñeå coù höôùng choïn phöông phaùp khi gaëp moät baøi taäp.
VD: Khi nhaän bieát veà 3 veùc tô ñoàng phaúng thì coù theå söû duïng ñònh nghóa neáu baøi toaùn
coù hình veõ cuï theå cho tröôùc, nhöng cuõng coù theå söû duïng ñònh lyù veà ñieàu kieän ñoàng
phaúng cuûa 3 veùc tô ( SGK.HH12.trang 71, dựa và tích có hướng của hai vectơ ) neáu giaû
thieát cho caùc veùc tô vôùi nhöõng toaï ñoä cuûa chuùng.
*) ÔÛ moãi moät kieán thöùc lyù thuyeát cuï theå giaùo vieân coù theå gôïi yù cho hoïc sinh caùc daïng
baøi taäp aùp duïng ñeå töø ñoù khi baét tay vaøo giaûi baøi taäp caùc em coù ñònh höôùng roõ raøng
hôn.
VD: Khi học về phương trình mặt phẳng giáo viên cần cho học sinh biết rằng một mặt
phẳng xẽ xác định được khi biết một đường thẳng có hướng vuông góc với nó và một
điểm nằm trên mặt phẳng, để học sinh biết được khi viết mộ phương trình mặt phẳng cần
phải biết những yếu tố gì.
*) Khi daïy coù theå saép xeáp laïi thöù töï trình baøy cuûa kieán thöùc trong SGK cho hôïp lyù hôn
vôùi thöïc teá vaän duïng kieán thöùc ñoù vaøo baøi taäp.
VD: Khi xeùt vò trí töông ñoái cuûa 2 ñöôøng thaúng trong KG khoâng neân chæ ra vieäc cho 2
ñt bôûi PTCT nhö SGK maø cho:
Ñt (d) qua M0(x0;y0;z0) , coù VTCP u a; b; c
Ñt (d’) qua M0’(x0’;y0’;z0’) , coù VTCP u ' a ' ; b' ; c'
( hoïc sinh seõ hieåu raèng ñt cho bôûi pt daïng naøo ñi nöõa thì cuõng phaûi khai thaùc töø moãi ñt
moät ñieåm vaø moät VTCP cuûa noù )
Gv söû duïng hình veõ minh hoaï giuùp caùc em phaân bieät ñöôïc hai khaû naêng:
Saù n g kieá n kinh nghieä m
Trang4
Đào Anh Tuấn
2 ñt cuøng phöông ( song song hoaëc truøng) vaø 2 ñ thaúng khoâng cuøng phöông ( caét hoaëc
cheùo ), sau ñoù môùi phaân bieät roõ 2 vò trí töông ñoái trong moãi khaû naêng treân. Qua quaù
trình phaân tích, so saùnh caùc vò trí töông ñoái cuûa caùc ñt ñi tôùi keát luaän:
+) d d ' a : b : c a': b': c' x0 ' x0 : y 0 ' y 0 : z 0 ' z 0
+) d // d ' a : b : c a': b': c' x0 ' x0 : y 0 ' y 0 : z 0 ' z 0
a : b : c a': b': c'
+) (d) caét (d’)
u, u' . M 0 M 0 ' 0
+) (d) vaø (d’) cheùo nhau u, u ' . M M ' 0
Chuù yù vieäc tính u , u ' . M M ' chæ thöïc hieän khi hai veùc tô chæ phöông khoâng cuøng
0
0
0
0
phöông, traùnh nhöõng phaàn tính toaùn thöøa.
*) Ñoåi môùi phöông phaùp trong moãi giôø daïy: Neáu baøi lyù thuyeát quaù daøi khoâng theå ñuû
thôøi gian cho vieäc chöùng minh caùc ñlyù, coâng thöùc moät caùch kyõ löôõng thì gv coù theå chuû
ñoäng soaïn , daïy baèng giaùo aùn ñieän töû
( traùnh maát thôøi gian ghi baûng cuûa caû gv vaø hs).
Ngoaøi ra coøn coù theå söû duïng ñöôïc nhöõng hình veõ sinh ñoäng minh hoaï cho phaàn chöùng
minh.
Ví duï:
*) Laäp coâng thöùc tính theå tích cuûa töù dieän:
So saùnh theå tích cuûa moät töù dieän ABCD vaø theå tích cuûa moät khoái hoäp coù
3 caïnh xuaát phaùt töø ñænh B laø BA, BC, BD:
Coi ABCD laø moät hình choùp ñænh A, ñaùy laø ABC , BCED laø moät ñaùy cuûa
Hình hoäp, ta thaáy hình choùp vaø hình hoäp coù cuøng
chieàu cao AH. Neân:
D’
A
1
1
1
VABCD = 3 AH .S BCD 3 AH . 2 S ABCD
C’
E’
1
1
= 6 V BCED. AC 'E ' D ' = 6 BC , BD .BA zzzzz
D
B
H
C
E
Saù n g kieá n kinh nghieä m
Trang5
Đào Anh Tuấn
*) Moät caùch tính veùc tô chæ phöông cuûa moät ñöôøng thaúng cho bôûi phöông trình
toång quaùt: u d n , n
n
Hình veõ minh hoaï:
n
ud
n , n
d
2) Vaán ñeà baøi taäp:
- Soá löôïng baøi taäp ôû moãi muïc ñeàu raát nhieàu neân khoâng theå söûa taát caû trong giôø baøi taäp,
vì vaäy giaùo vieân phaûi yeâu caàu ñaïi traø caû lôùp laøm caùc baøi taäp cô baûn baét buoäc, ñoàng
thôøi khoâng giôùi haïn cho nhöõng hs khaù, gioûi.
-khi daïy xong moät phaàn lyù thuyeát, ngoaøi vieäc cuûng coá nhöõng lyù thuyeát cô baûn, troïng
taâm cuûa baøi , gv caàn ñònh höôùng cho hs nhöõng theå loaïi baøi taäp coù theå seõ gaëp maø vaän
duïng lyù thuyeát vöøa hoïc. Neâu vaán ñeà veà phöông phaùp ñeå hs coù höôùng veà nhaø töï tìm
hieåu vaø giaûi baøi taäp. Trong giôø baøi taäp gv cuøng caùc em giaûi quyeát caùc vaán ñeà ñoù vaø
cuoái cuøng choát laïi thaønh phöông phaùp cuï theå cho töøng loaïi .
VD: Khi hoïc xong baøi PHÖÔNG TRÌNH MAËT CAÀU, qua caùc ví duï ñöôïc theå hieän
trong baøi gv coù theå gôïi yù cho hs neâu laïi caùc daïng baøi taäp coù theå hoûi. Cuï theå laø nhöõng
daïng baøi taäp sau:
+) Xaùc ñònh taâm vaø tính baùn kính maët caàu cho bôûi pt daïng:
x2 + y2 + z2 -2ax – 2by – 2cz + d = 0
(1)
+) Tìm ñieàu kieän cuûa tham soá ñeå pt daïng (1) laø pt cuûa moät maët caàu.
+) Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính cuûa ñöôøng troøn laø giao tuyeán cuûa moät maët phaúng
vaø moät maët caàu cho tröôùc phöông trình.
+) Laäp phöông trình maët caàu coù taâm I(a;b;c) vaø tieáp xuùc vôùi mp (P) cho bôûi
pt :Ax + By + Cz + D = 0
+) Laäp pt maët caàu ñi qua 4 ñieåm khoâng cuøng thuoäc moät maët phaúng
+) Xeùt vò trí töông ñoái giöõa moät maët caàu vaø moät maët phaúng ñaõ cho pt.
Saù n g kieá n kinh nghieä m
Trang6
Đào Anh Tuấn
+) Vieát pt tieáp dieän cuûa moät maët caàu cho tröôùc taïi moät ñieåm cho tröôùc hoaëc tieáp
dieän song song vôùi moät maët phaúng cho tröôùc.
Ñoàng thôøi neâu phöông phaùp cô baûn cho töøng loaïi.
- Khi oân taäp caàn phaân loaïi caùc daïng baøi taäp thöôøng gaëp khi thi, nhaéc laïi phöông phaùp
giaûi cho töøng loaïi, cho baøi taäp hs giaûi ñeå ghi nhôù phöông phaùp vaø reøn luyeän kyõ naêng.
Cuï theå coù nhöõng loaïi baøi taäp sau:
a) Vieát pt cuûa ñöôøng thaúng trong KG.
Phöông phaùp chung:
+) Xaùc ñònh ñöôïc VTCP vaø moät ñieåm cuûa ñt roài söû duïng PTTS hoaëc
PTCT ñeå vieát.
+) Xaùc ñònh ñöôïc pt cuûa 2 maët phaúng caét nhau theo giao tuyeán laø ñöôøng
thaúng phaûi tìm. (Chuù yù söû duïng cho daïng baøi taäp vieát pt ñt laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa
moät ñt cho tröôùc treân moät maët phaúng cho tröôùc)
b) Vieát pt cuûa maët phaúng:
Phöông phaùp chung:
Töø giaû thieát tìm ñöôïc toaï ñoä moät ñieåm vaø VTPT cuûa maët phaúng , sau ñoù söû duïng coâng
thöùc: A(x – x0) + B(y - y0) + C( z – z0) = 0.
Hoaëc duøng VTPT vieát pt mp ôû daïng Ax + By + Cz + D = 0, theá toaï ñoä cuûa ñieåm maø
mp ñoù ñi qua vaøo pt ñeå tìm D. Töø ñoù keát luaän pt cuûa mp.
c) Vieát pt cuûa maët caàu:
Phöông phaùp chung:
+) Xaùc ñònh toaï ñoä taâm vaø tính baùn kính cuûa maët caàu roài söû duïng pt daïng:
( x – a )2 + ( y – b )2 + ( z – c ) 2 = R2 ñeå vieát.
+) Goïi pt maët caàu daïng : x 2 + y2 + z2 -2ax – 2by – 2cz + d = 0, söû duïng giaû thieát laäp
ñöôïc moät heä pt vôùi caùc aån laø a,b,c,d. Giaûi heä tìm ñöôïc caùc aån ñoù vaø keát luaän pt maët
caàu.
d) Vieát pt, xaùc ñònh taâm vaø tính baùn kính cuûa ñöôøng troøn trong KG:
Phöông phaùp chung: Tìm ñöôïc ñöôøng troøn laø giao tuyeán cuûa moät maët phaúng vaø moät
x 2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0
maët caàu naøo ñoù,suy ra pt ñöôøng troøn:
Ax By Cz D 0
x a tA
y b tB
Laäp heä pt tìm toaï ñoä taâm H cuûa ñöôøng troøn:
z c tC
Ax By Cz D 0
Saù n g kieá n kinh nghieä m
Trang7
Đào Anh Tuấn
Tính baùn kính cuûa ñöôøng troøn: r = R 2 IH 2
e) Tính khoaûng caùch, goùc giöõa caùc ñoái töôïng cô baûn cuûa HHKG:
Phöông phaùp chung:
+) Xaùc ñònh roõ caùc ñoái töôïng caàn tính khoaûng caùch vaø vò trí töông ñoái göõa chuùng ñeå söû
duïng coâng thöùc cho chính xaùc. Neáu laø khoaûng caùch giöõa 2 ñöôøng thaúng song song thì
ñöôïc tính baèng k/c töø moät ñieåm baát kyø treân ñt naøy ñeán ñt kia, söû duïng coâng thöùc tính
k/c töø moät ñieåm ñeán moät ñt. Khi 2 ñt cheùo nhau thì söû duïng tröïc tieáp coâng thöùc k/c
giöõa 2 ñt cheùo nhau. Khi 2 ñt truøng nhau thì k/c giöõa chuùng baèng 0.
Neáu laø k/c giöõa 2 maët phaúng song song thì tính baèng k/c töø moät ñieåm baát kyø cuûa maët
phaúng naøy ñeán maët phaúng kia.
+) Xaùc ñònh goùc: Caùch nhôù toùm taét: Khi tính goùc giöõa hai ñoái töôïng gioáng nhau thì tính
coâsin cuûa goùc ñoù coøn tính goùc giöõa hai ñoái töôïng khaùc nhau thì tính sin.
+) Ñoâi khi coøn döïa vaøo dieän tích tam giaùc, theå tích khoái hoäp, theå tích khoái choùp ñeå
tính k/c giöõa 2 ñöôøng thaúng cheùo nhau, k/c töø moät ñieåm ñeán moät ñöôøng thaúng, k/c töø
moät ñieåm ñeán moät maët phaúng…
g) Tìm chu vi, dieän tích tam giaùc, theå tích khoái hoäp, theå tích töù dieän.
Phöông phaùp chung: Söû duïng toaïñoä cuûa caùc veùc tô, tích voâ höôùng, tích coù höôùng cuûa
hai veùc tô, ñoä daøi veùc tô vaø caùc coâng thöùc:
S ABC
1
1
1
AB, AC BC , BA CA, CB
2
2
2
CV ABC AB AC CB
V ABCD . A' B 'C ' D ' AB, AD . AA ' BC , BA . BB ' CB, CD . CC ' DA, DC . DD '
V ABCD
1
AB, AC . AD BC , BD . BA CB, CD . CA DB, DC . DA
6
h) Loaïi baøi taäp chöùng minh:
+) Chöùng minh hai ñöôøng thaúng vuoâng goùc.
Phöông phaùp: Laáy laàn löôït treân hai ñt hai veùc tô khaùc veùc tô khoâng, tính tích voâ höôùng
cuûa chuùng vaø khaúng ñònh ñöôïc baèng 0.
+) Chöùng minh hai ñt song song.
Phöông phaùp: Laáy laàn löôït treân hai ñt caùc veùc tô chæ phöông, duøng toaï ñoä chæ ra hai
veùc tô ñoù cuøng phöông vaø khoâng cuøng naèm treân moät ñt.
+) Chöùng minh 3 ñieåm thaúng haøng:
Phöông phaùp: Laáy hai veùc tô taïo bôûi 3 ñieåm vaø chöùng minh chuùng cuøng phöông.
+) Chöùng minh ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi maët phaúng:
Saù n g kieá n kinh nghieä m
Phöông phaùp: Laáy treân ñt moät veùc tô chæ phöông
Trang8
Đào Anh Tuấn
a
, treân maët phaúng laáy caëp veùc tô chæ
a b
b,
c
phöông
. CM
, töø ñoù keát luaän.
a c
+) Chöùng minh moät ñöôøng thaúng song song vôùi moät maët phaúng :
Phöông phaùp: Laáy treân ñt moät veùc tô chæ phöông a , treân maët phaúng laáy caëp veùc tô chæ
phöông b, c . Chöùng minh: ñt khoâng thuoäc maët phaúng vaø a b, c , töø ñoù keát luaän.
II)Thôøi gian thöïc hieän:
- Tieát: 22. 23. 24. 25: Heä toaï ñoä ÑeàCaùc vuoâng goùc trong KG- toaï ñoä cuûa veùc tô
vaø cuûa ñeåm.
- Tieát: 26, 27, 28: Phöông trình toång quaùt cuûa maët phaúng.
- Tieát: 32, 33, 34, 35, 36, 37: Phöông trình cuûa ñöôøng thaúng.
- OÂn taäp chöông.
- Tieáp tuïc oân trong thôøi gian hoïc phuï ñaïo vaø oân taäp cuoái naêm.
III) Moät soá sai laàm cuûa hoïc sinh khi giaûi baøi taäp vaø caùch khaéc phuïc:
Ví duï 1: Vieát pt maët phaúng (P) ñi qua ñieåm M(-1;2;3) vaø coù VTPT n(4;5;6)
Baøi giaûi cuûa HS
Sai laàm – Caùch khaéc phuïc Baøi giaûi ñuùng
Pt mp (P) coù daïng:
Maët phaúng (P) coù VTPT
*) Sai laàm:
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
Hoïc sinh ñaõ söû duïng ngöôïc n(4;5;6) neân coù pt
1( x 4) 2( y 5) 3( z 6) 0
vai troø cuûa toaï ñoä VTPT vaø daïng:
x 2 y 3 z 24 0
ñieåm maø mp ñi qua khi theá 4x+5y +6z + D =0
Ñieåm M (-1;2;3) thuoäc
vaøo coâng thöùc.
(P) neân ta coù :
*) Khaéc phuïc:
Ñeå traùnh söï nhaàm laãn naøy 4.(-1) +5.2 + 6.3 + D = 0
gv höôùng daãn hoïc sinh söû D 24
Suy ra pt cuûa mp (P):
duïng caùch giaûi khaùc:
Söû duïng toaï ñoä VTPT vieát 4x+5y+6z -24 = 0
pt
mp
veà
daïng:
Ax+By+Cz+D=0
Sau ñoù theá toaï ñoä cuûa ñieåm
M vaøo pt tìm D roài keát luaän
ptmp.
Saù n g kieá n kinh nghieä m
Trang9
Đào Anh Tuấn
Baøi taäp töông töï: Vieát phöông trình maët phaúng ñi qua ñieåm M(2;-2;5) vaø vuoâng goùc
vôùi ñöôøng thaúng coù phöông trình:
x 12 y 3
z
5
1
1
Ví duï 2: Trong khoâng gian vôùi heä toaï ñoä Oxyz cho ñöôøng thaúng vaø maët phaúng
() :
x - 12 y - 9 z - 1
4
3
1
:
3x 5y - z - 2 0
1) Tìm toaï ñoä giao ñieåm cuûa ñt vaø maët phaúng
'
2) Vieát phöông trình ñt laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa treân maët phaúng
Baøi giaûi cuûa HS
1) Giaûi heä
pt
:
x 12 y 9 z 1
4
3
1
3x 5 y z 2 0
Tìm ñöôïc nghieäm laø
( 0;0;-2)
'
2) Ñt laø hình chieáu
vuoâng goùc cuûa treân
maët phaúng
'
Neân ñt ñi qua ñieåm I
vaø
nhaän
VTPT
laø
n u , n 8;7;11
'
Suy ra pt cuûa ñt laø:
-8(x – 0) +7(y –0)+11(z +
2) = 0
'
8 x 7 y 11z 22 0
Sai laàm – Caùch khaéc phuïc
*) Sai laàm: ÔÛ caâu 2) hs ñaõ
hieåu sai söï xaùc ñònh cuûa ñt
trong KG, coi söï xaùc ñònh
moät ñt gioáng nhö trong maët
phaúng. Ñoù laø moät ñt coù theå
ñöôïc xaùc ñònh bôûi moät ñieåm
vaø moät VTPT cuûa noù.
Vì theá ñaõ duøng moät veùc tô
vuoâng goùc vôùi ñt laøm VTPT
vaø vieát pt kieåu nhö phöông
trình toång quaùt cuûa ñt trong
maët phaúng.
*) Caùch khaéc phuïc: Tröôùc
khi giaûi baøi taäp loaïi naøy giaùo
vieân löu yù cho hs: Moät ñt
trong KG chæ coù khaùi nieäm
VTCP maø khoâng coù khaùi
nieäm VTPT, vì moät ñt trong
KG coù theå vuoâng goùc vôùi
nhieàu ñt coù phöông khaùc
nhau.
Söû duïng hình veõ ñeå minh hoaï
ñieàu naøy:
Baøi giaûi ñuùng
1) Giaûi
heä
pt
:
x 12 y 9 z 1
4
3
1
3x 5 y z 2 0
Tìm ñöôïc nghieäm laø
( 0;0;-2)
u
( )
n
'
I
2) Goïi laø maët phaúng ñi
qua ñt vaø vuoâng goùc
vôùi mp
Mp ñi qua ñieåm I vaø
nhaän
VTPT
laø
n u , n 8;7;11
Suy ra pt cuûa mp laø:
-8(x – 0) +7(y –0)+11(z +
2) = 0
8 x 7 y 11z 22 0
Ñt =
'
Suy ra pt cuûa laø:
'
Saù n g kieá n kinh nghieä m
Trang10
Đào Anh Tuấn
Töø ñoù phaân tích ñeå hs hieåu
'
ñöôïc söï xaùc ñònh cuûa ñt :
' =
Trong ñoù laø maët phaúng
ñi qua ñt vaø vuoâng goùc
vôùi mp .
3 x 5 y z 2 0
8x 7 y 11z 22 0
Baøi taäp töông töï: Tìm phöông trình hình chieáu vuoâng goùc cuûa ñt (d) :
x 2 y 2 z 1
3
4
1
Leân maët phaúng (P) : x + 2y + 3z + 4 = 0
Ví duï 3: Laäp phöông trình ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa 2 ñöôøng thaúng:
(d) :
x 7 y 3 z 9
1
2
1
Baøi giaûi cuûa HS
Ñt (d) ñi qua ñieåm
M0(7;3;9) vaø coù VTCP
u 1;2; 1
Ñt (d’) ñi qua ñieåm
M0’(3;1;1) vaø coù VTCP
u ' 7;2;3 .
Goïi laø ñöôøng vuoâng
goùc chung cuûa (d) vaø
(d’) thì coù VTCP
u
d
, u d ' (8;4;16)
Hay u 2;1;4
Goïi (P) laø mp chöùa
vaø (d) suy ra (P) laø mp
chöùa (d) vaøvuoâng goùc
vôùi (d’) . Nhö vaäy mp
(P) qua M0 vaø coù VTPT
u d 7;2;3 suy ra pt
'
x 3
vaø (d’) : 7
Sai laàm – Caùch
khaéc phuïc
*) Sai laàm: Hoïc sinh
ñaõ nghó raèng (P) laø
mp chöùa vaø (d)
suy ra (P) laø mp chöùa
(d) vaø vuoâng goùc vôùi
(d’), nhö vaäy laø ñaõ
ngoä nhaän raèng (d’)
luoân goùc vôùi (d).
Thöïc teá 2 ñt (d) vaø
(d’) giaû thieát cho coù
theå vuoâng goùc vôùi
nhau cuõng coù theå
khoâng, vaø ôû baøi naøy
laø khoâng.
Töông töï hs ñaõ sai
laàm ôû söï xaùc ñònh
maët phaúng (Q).
y 1 z 1
2
3
Baøi giaûi ñuùng
*) Caùch 1:
Ñt (d) ñi qua ñieåm M0(7;3;9) vaø coù
VTCP u 1;2; 1
Ñt (d’) ñi qua ñieåm M0’(3;1;1) vaø coù
VTCP u ' 7;2;3 .
Goïi laø ñöôøng vuoâng goùc chung
cuûa (d) vaø (d’) thì coù VTCP
u
d
, u d ' (8;4;16)
Hay u 2;1;4
Goïi (P) laø mp chöùa vaø (d) suy
ra (P) laø mp qua M0 vaø nhaän VTPT
u d , u (9; 6; 3) hay
laø:
n P (3; 2; 1)
Suy ra pt mp (P):
3(x-7) – 2(y-3) – (z-9) = 0
3 x 2 y z 6 0
Goïi (Q) laø mp chöùa vaø (d’).
Saù n g kieá n kinh nghieä m
(P) :
-7(x -7) + 2(y -3) +
+3(z -9) = 0
7 x 2 y 3 z 16 0
Goïi (Q) laø mp chöùa
vaø (d’) suy ra (Q) laø mp
chöùa (d’) vaø vuoâng goùc
vôùi (d) . Nhö vaäy mp
(Q) qua M0’ vaø coù
VTPT u d 1;2; 1
Suy ra pt (Q) :
(x -3) +2(y -1) -(z -1) =
0
x 2 y z 4 0
P Q
pt :
7 x 2 y 3z 16 0
x 2 y z 4 0
Trang11
Đào Anh Tuấn
*) Khaéc phuïc: GV
höôùng daãn hs : Tröôùc
heát phaûi kieåm tra
xem (d) vaø (d’) coù
vuoâng goùc vôùi nhau
hay khoâng. Neáu
chuùng coù vuoâng goùc
thì giaûi theo caùch
cuûa caùc em laø ñuùng.
Coøn neáu chuùng cheùo
nhau
vaø
khoâng
vuoâng goùc thì thoâng
qua hình veõ: Giaû söû
ñt ñaõ döïng ñöôïc.
Nhö vaäy mp (Q) qua M0’ vaø coù
VTPT u d , u (5;34; 11) suy ra
pt (Q) :
5(x -3) + 34(y -1) -11 (z -1) = 0
'
5x 34 y 11z 38 0
P Q
3x 2 y z 6 0
pt :
5x 34 y 11z 38 0
*) Caùch 2: Goïi HK laø ñoaïn vuoâng
goùc chung cuûa (d) vaø (d’). H thuoäc
(d) , K thuoäc (d’).
x 7 t
vôùi laø ñöôøng
vuoâng goùc chung cuûa Ptñt (d) y 3 2t
d vaø d’suy ra coù
z 9 t
VTCP
laø
u
u d 1;2; 1
x 3 7 s
Tieáp ñeán gv chæ ra Ptñt (d’) y 1 2s
cho hs thaáy mp (P)
z 1 3s
chöùa vaø (d)
d
, u d ' (8;4;16)
u d ' 7;2;3
H
chính laø mp chöùa M0 laø moät ñieåm thuoäc (d) vaø K laø moät
vaø song song vôùi ñieåm thuoäc (d’) suy ra:
phöông cuûa u neân H 7 t ;3 2t ;9 t
K 3 7 s;1 2 s;1 3s
nhaän
VTPT
laø
KH 4 t 7 s;2 2t 2 s;8 t 3s
u d , u . Töông töï
KH laø ñöôøng vuoâng goùc chung
cho mp (Q) qua M0’
KH ud
vaø nhaän VTPT laø
ud ,u .
cuûa (d) vaø (d’)
KH ud '
Hoaëc coù theå vieát
phöông trình ñöôøng
vuoâng goùc chung HK
baèng caùch tìm cuï theå
toaï ñoä cuûa 2 ñaàu
ñoaïn vuoâng goùc
'
Saù n g kieá n kinh nghieä m
Trang12
Đào Anh Tuấn
chung, vôùi 2 giaû thieát
H,K laàn löôït thuoäc
(d), (d’)vaø HK cuøng
vuoâng goùc vôùi (d),
(d’).Töø ñoù vieát pt
cuûa theo kieåu pt
ñt ñi qua 2 ñieåm
phaân bieät.
Höôùng daãn hs thöù töï
trình baøy baøi toaùn.
(4 t 7s) 2(2 2t 2s)
(8 t 3s) 0
7(4 t 7s) 2(2 2t 2s)
3(8 t 3s) 0
t s 0
t 0
6t 62s 0 s 0
H (7;3;9); K (3;1;1)
Suy ra chính laø ñt KH vaø coù pt:
x 7 2t
y 3 t
z 9 4t
(d)
P
Baøi taäp töông töï: Vieát pt ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa 2 ñt (a) H
vaø (b)
(a) :
x 1 y 1 z 2
,
2
3
1
x 1
y2
z
(b) : 1 5 2
K
x 1
y 2
z 3
Ví duï 4 : Tìm ñieåm M’ ñoái xöùng vôùi M(4;3;10) qua ñt : 2 4
(d’)5
Q
Baøi giaûi cuûa HS
Sai laàm – Caùch khaéc Baøi giaûi ñuùng
phuïc
Ñt qua I( 1;2;3) coù VTCP *) Sai laàm: Hs ñaõ khoâng
u ( 2;4;5). Goïi (x;y;z) laø toaï ñoä khai thaùc ñuû ñieàu kieän ñeå
P
cuûa M’, ta coù :
xaùc ñònh M’ laø ñieåm ñoái
M
xöùng cuûa M qua
trong KG. Chöa hieåu
ñuùng veà vò trí ñoái xöùng
M’
naøy. Khoâng chæ caàn ñieàu
kieän:
Töø giaû thieát ta coù ñt
quaI(1;2;3)coùVTCP
Saù n g kieá n kinh nghieä m
MM ' u
d
d
M ; M ';
( x 4).2 ( y 3).4 ( z 10).5 0
IM , u IM ', u
u
u
2 x 4 y 5 z 70 0
2
2
5 y 4 z 2 2 z 5 x 1
(4 x 2 y ) 2 630
Trang13
Đào Anh Tuấn
MM ' u
1
d M ; d M ';
Maø caàn coù MM’ vaø
caét nhau, MM’ phaûi naèm
treân maët phaúng vuoâng
goùc vôùi taïi trung
ñieåm H cuûa MM’. Nhö
vaäy phaûi thoâng qua toaï ñoä
cuûa ñieåm H môùi tìm ñöôïc
toaï ñoä cuûa M’
*) Khaéc phuïc: Khi giaûi
loaïi baøi taäp naøy gv caàn
daãn ñeán khoâng ñuû phöông trình löu yù hs söû duïng hình veõ
ñeå giaûi tìm 3 aån x;y;z.
ñeå tìm ñieàu kieän trieät ñeå
Khoâng hoaøn thaønh baøi toaùn.
cho M’ laø ñieåm ñoái xöùng
cuûa M qua . Vieäc tìm
toaï ñoä cuûa M’ laø phaûi tìm
ñuû 3 toaï ñoä x;y;z, neân caàn
coù ñuû 3 phöông trình 3 aån
thì môùi giaûi vaø tìm ñöôïc.
Coù theå duøng hình veõ phuï
minh hoaï cho hình aûnh
MM’ thoaû ñk (1) nhöng
M’ laïi khoâng laø ñieåm ñx
cuûa M qua .
M
u ( 2;4;5).
Mp (P) qua M vaø vuoâng
goùc vôùi coù pt:
2(x-4)+4(y-3)+5(z10)=0
2 x 4 y 5 z 70 0
Pt tham soá cuûa :
x 1 2t
y 2 4t
z 3 5t
Goïi H laø hình chieáu cuûa
M treân suy ra H laø
giao cuûa vaø mp (P).
Toaï ñoä H laø nghieäm cuûa
heä:
x 1 2t
y 2 4t
z 3 5t
2 x 4 y 5 z 70 0
x 3
y 6
z 8
H laø trung ñieåm cuûa
MM’ neân :
M’
Saù n g kieá n kinh nghieä m
Trang14
Đào Anh Tuấn
xM ' 4
2 3
yM ' 3
6 M ' 2;9;6
2
zM ' 10
2 8
Baøi taäp töông töï: Trong Kg vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho ñieåm M(1;2;-1)
x 1
y 2
z 2
vaø ñt (d) : 3 2 2
Tìm ñieåm N ñoái xöùng vôùi M qua (d), töø ñoù tìm ñoä daøi ñoaïn MN.
( Ñeà thi ÑH – CÑ naêm hoïc 1997 )
Ví duï 5 :
Trong Kg vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho tam giaùc ABC vôùi A(0;0;1), B(3;0;-2), C(0;3;-2).
a) Vieát phöông trình maët caàu (S) qua 3 ñieåm A,B,C vaø coù taâm I naèm treân maët phaúng
(Oxy).
b) Vieát phöông trình ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ABC.
Baøi giaûi cuûa HS
a) HS1: Goïi pt maët caàu (S)
laø:
x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d = 0
(S) qua A,B,C neân ta coù:
1 2c d 0
9 4 6 a 4c d 0
9 4 6b 4c d 0
Khoâng ñuû ñieàu kieän ñeå tìm
a,b,c,d, suy ra khoâng vieát
ñöôïc pt maët caàu (S)
HS2: Taâm I cuûa maët caàu (S)
thuoäc mp (Oxy) suy ra
I(0;0;c)
Sai laàm – Caùch khaéc phuïc
Caâu a)*) Sai laàm: HS1 chæ
söû duïng giaû thieát maët caàu (S)
qua 3 ñieåm A,B,C maø queân
khoâng chuù yù coøn moät giaû
thieát cho taâm maët caàu nöõa.
HS2 söû duïng sai ñieàu kieän
cuûa taâm I. Em ñaõ nghó raèng I
thuoäc mp (Oxy) thì hoaønh ñoä
vaø tung ñoä cuûa noù ñeàu baèng
0. Daãn tôùi laäp heä pt tìm toaï
ñoä taâm sai vaø daãn tôùi ñaùp soá
sai.
*) Caùch khaéc phuïc:
- Chuù yù cho hs khi muoán vieát
Baøi giaûi ñuùng
a) Taâm I cuûa maët caàu
(S) thuoäc mp (Oxy) suy
ra I(a;b;0)
Nhö theá pt maët caàu (S)
coù daïng:
x2+y2+z2-2ax-2by+d = 0
(S) qua A,B,C neân ta coù:
Saù n g kieá n kinh nghieä m
Nhö theá pt maët caàu (S) coù ñöôïc pt cuûa moät maët caàu thì
daïng: x2+y2+z2-2cz+d = 0
phaûi tìm ñöôïc ñaày ñuû caùc giaù
(S) qua A,B,C neân ta coù:
trò cuûa a,b,c,d trong pt daïng
khai trieån hoaëc a,b,c,R2 trong
(1)
1 2c d 0
daïng toång quaùt. Neáu trong
9
4
4
c
d
0
(2)
quaù trình giaûi maø chöa coù ñuû
9 4 4c d 0 (3)
ñieàu kieän ñeå tìm ñöôïc taát caû
caùc giaù trò ñoù thì phaûi xem laïi
Tröø töøng veá (2) cho (1) ta coù: xem ñaõ söû duïng ñuû caùc giaû
6c +12=0 , suy ra c = -2
thieát cuûa baøi toaùn cho hay
Theá vaøo (1) ta coù d = -5
chöa.
Vaäy pt maët caàu (S) laø:
- Ngoaøi ra caàn phaûi khai thaùc
x2 +y2+z2+ 4x - 5 = 0
ñuùng caùc giaû thieát.
I thuoäc mp toaï ñoä naøo thì toaï
ñoä coøn laïi baèng 0.
- Cuûng coá laïi caùc pt cuûa caùc
mp toaï ñoä:
(Oxy) : z = 0
(Oyz) : x = 0
(Oxz) : y = 0.
- Höôùng daãn hs caùc böôùc
trình baøy lôøi giaûi:
+) Xaùc ñònh söï ñaëc bieät cuûa
toaï ñoä taâm I, suy ra daïng pt
maët caàu (S).
+) Söû duïng giaû thieát A,B,C
thuoäc maët caàu ñeå laäp heä pt
aån laø a,b,d.
+) Giaûi heä pt tìm a,b,d
+) keát luaän pt maët caàu (S).
b)
*) Sai laàm: Hoïc sinh ñaõ söû
duïng phöông phaùp tìm toaï ñoä
taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp
Caâu b):
Goïi I(x;y;z) laø taâm ñöôøng nhö trong HH phaúng, khoâng
hieåu roõ raèng trong KG coù voâ
troøn ngoaïi tieáp ABC
soá nhöõng ñieåm caùch ñeàu
Trang15
Đào Anh Tuấn
1 d 0
9 4 6 a d 0
9 4 6b d 0
a 2
b 2
d 1
Suy ra pt maët caàu (S) :
x2+y2+z2- 4x - 4y - 1 = 0
b)
AB 3;0; 3, AC 0;3; 3
AB, AC 9;9;9
Mp (ABC) coù VTPT
n 1;1;1
ptmp ( ABC ) :
x y z 1 0
Saù n g kieá n kinh nghieä m
Trang16
Đào Anh Tuấn
ñieåm A, B, C. Trong soá ñoù Maët caàu (S) qua 3 ñieåm
chæ coù ñieåm naèm treân mp A,B,C suy ra:
(ABC) môùi laø taâm ñöôøng troøn Ñöôøng troøn ngoaïi tieáp
ABC laø giao tuyeán
ngoaïi tieáp ABC .
*) Khaéc phuïc: Gv giuùp hs cuûa mp(ABC) vôùi maët
hieåu roõ taäp hôïp nhöõng ñieåm caàu (S)neân coù pt:
caùch ñeàu A,B,C trong KG laø x 2 y 2 z 2 4 x 4 y 1
truïc (d) cuûa ñöôøng troøn ngoaïi
0
tieáp ABC , taâm I cuûa ñöôøng
troøn naøy laø giao ñieåm cuûa x y z 1 0
ñöôøng thaúng (d) vôùi mp
(ABC). Nhö vaäy ngoaøi ñk (*)
toaï ñoä taâm I coøn phaûi thoaû
maõn pt mp (ABC) nöõa.
Ngoaøi ra pt cuûa moät ñöôøng
troøn trong KG phaûi laø moät heä
goàm pt moät maët phaúng vaø pt
cuûa moät maët caàu, chuùng caét
Khoâng ñuû tìm ñöôïc toaï ñoä nhau taïo neân giao tuyeán laø
taâm I, khoâng vieát ñöôïc pt ñöôøng troøn ñoù.
ñöôøng troøn ngoaïi tieáp Vaäy vieäc vieát pt cuûa moät
ABC
ñöôøng troøn trong KG chính laø
vieäc tìm ra pt cuûa moät mp vaø
(d)
moät maët caàu cuøng chöùa
ñöôøng troøn phaûi tìm, sau ñoù
A
gheùp caùc pt ñoù thaønh moät heä.
Baøi taäp töông töï: Trong KG vôùi heä toaï ñoä Oxyz cho A,B,C laàn löôït laø giao ñieåm cuûa
Bmaët phaúng (P)Ocoù phöông Ctrình: x+y+z-1=0 vôùi caùc truïc Ox,Oy,Oz.
a) Vieát pt maët caàu (S) qua 4 ñieåm A,B,C, O.
b) Vieát phöông trình ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ABC.
Ví duï 6: Tìm khoaûng caùch sau:
2 2
IA IB IA IB
2 2 (*)
IA IC IA IC
x 2 y 2 z 1 2
2 2 2
x 3 y z 2
2
x 2 y 2 z 1
2 2 2
x ( y 3) z 2
6x 6z 12
6 y 6z 12
Saù n g kieá n kinh nghieä m
Trang17
Đào Anh Tuấn
x 1t
a) Giöõa hai ñt : y 1 t
z 1 t
x 1
x 2 3t
':y 23t
z 33t
y 1
z
b) Giöõa hai ñt : 2 1 1
c) Töø ñieåm M(2;3;1) ñeán ñt :
Baøi giaûi cuûa HS
a) qua M0(1;-1;1) vaø
coù VTCP u (1; 1; 1)
' qua M0’(2;-2;3) vaø
coù
VTCP
' : x
3 y z 1
1
2
1
2 x y z 1 0
2 x y 5 z 5 0
Sai laàm – Caùch khaéc phuïc
a)*) Sai laàm:
-Hs ñaõ tính u , u ' sai.
- Khoâng bieát hai ñöôøng thaúng
ñaõ cho ôû vò trí töông ñoái naøo,
u ' ( 1;1;1) M M ' (1; cöù
1;2tính
)
khoaûng caùch giöõa hai ñt
u, u '. M M ' baèng coâng thöùc k/c giöõa hai ñt
d
u, u '
cheùo nhau.
u, u ' (2;0;0) u, u ' 2 *) Khaéc phuïc:
- Höôùng daãn caùch ñaët toaï ñoä
u, u '. M M ' 2
2
cuûa hai veùc tô chæ phöông
d
1
2
thaúng coät, laäp ñònh thöùc tính
veùc tô tích coù höôùng cuûa
chuùng, traùnh ñöôïc nhaàm laãn:
1 -1 -1 1
-1 1 1 -1
- Nhaéc laïi caùch tính ñònh thöùc
- Xeùt vò trí töông ñoái giöõa hai
ñt tröôùc khi söû duïng coâng thöùc
tính khoaûng caùch . Neáu 2 ñt
b) qua M0(1;-1;0) vaø
song song thì k/c giöõa chuùng
coù VTCP u ( 2;1; 1)
baèng k/c töø moät ñieåm baát kyø
' qua M0’(3;0;1) vaø coù
treân ñt naøy ñeán ñt kia. Neáu hai
VTCP:
0
0
0
; '
0
0
0
Baøi giaûi ñuùng
a) qua M0(1;-1;1) vaø
coù VTCP u (1; 1; 1)
' qua M0’(2;-2;3) vaø
coù VTCP u '( 1;1;1)
M 0 M 0 ' 1; 1;2
Nhaän thaáy:
1 : (-1): (-1)=
=(-1):1:1 1 : ( 1) : 2
// '
M
0
M 0 ', u 3;3;0
; '
d ; '
M
0
M 0 ', u
u
990
1 1 1
3 2
3
6
b) Caùch 1:
qua M0(1;-1;0) vaø coù
VTCP u ( 2;1; 1)
' qua M0’(3;0;1) vaø coù
Saù n g kieá n kinh nghieä m
u ' 1;2;1
u, u '
u , u ' (3; 1;5)
35
M 0 M 0 ' 2;1;1
d ; '
u, u '. M
M0'
ñt caét nhau hoaëc truøng nhau thì VTCP
k/c quy öôùc baèng 0. Neáu 2 ñt u ' 1;2;1
cheùo nhau thì tính k/c giöõa u , u ' (3; 1;5)
chuùng theo coâng thöùc k/c giöõa M 0 M 0' 2;1;1
u, u'. M 0 M 0'
hai ñt cheùo nhau.
3.2 ( 1).1 1.5 10
M0M 0 '
3.2 ( 1).1 1.5
4 1 1
5 6
3
0
Trang18
Đào Anh Tuấn
10
6
b) *) Sai laàm:HS ñaõ söû duïng
coâng thöùc moät caùch khuoân
maãu, trong ñoù coù nhieàu ñaïi
löôïng khoù nhôù do ñoù caùc em
ñaõ laãn loän khi söû duïng coâng
thöùc vaø tính toaùn sai.
*) Khaéc phuïc:- Ñeå traùnh
vieäc söû duïng coâng thöùc khoù
nhôù, trong caâu naøy giaùo vieân
coù theå höôùng daãn hs tính theo
moät caùch khaùc. Tröôùc heát kieåm
tra ñeå khaúng ñònh 2 ñt cheùo
nhau. Sau ñoù söû duïng caùch tính
k/c giöõa hai ñt cheùo nhau ñöôïc
hoïc trong HHKG lôùp 11. Ñoù laø
ñöôïc tính baèng k/c giöõa moät
trong hai ñt ñoù vôùi mp (P) song
song vôùi noù vaø chöùa ñt kia. Cuï
theå ñöôïc tính baèng k/c töø moät
ñieåm ñeán moät mp.
- Giaùo vieân höôùng daãn thöù töï
trình baøy cho baøi toaùn:
+ Tìm treân moãi ñt moät ñieåm vaø
moät VTCP.
+ Tìm tích coù höôùng cuûa hai
VTCP ñoù.
+Vieát pt mp (P) qua M0’ vaø
nhaän VTPT laø u , u '
+ Tính k/c caàn tìm baèng k/c töø
ñieåm M0’ ñeán mp (P).
u, u ' . M M
u, u '
0
d ; '
0
'
2 35
7
Caùch 2: qua M0(1;1;0)
vaø
coù
VTCP
u ( 2;1; 1)
' qua M0’(3;0;1) vaø coù
VTCP
u '( 1;2;1)
u , u ' (3; 1;5)
Goïi (P) laø maët phaúng
chöùa vaø song song
vôùi ' . Suy ra mp (P)
qua M0 vaø nhaän u , u '
laøm VTPT. Pt mp (P) :
3(x-1)-(y+1)+5(z-0) = 0
3 x y 5 z 4 0
d ; ' d ', P d M 0 '; P
3.3 5.1 4
9 1 25
2 35
7
Saù n g kieá n kinh nghieä m
Baøi giaûi cuûa HS
c) HS 1:
d M ;
2.2 3 1 1
4 1 1
7 6
6
HS 2:
d M ;
2.2 3 5.1 5
4 1 25
30
30
Trang19
Đào Anh Tuấn
Sai laàm – Caùch khaéc phuïc
c) *) Sai laàm: -HS ñaõ nhaàm
caùch tính k/c töø moät ñieåm ñeán
moät ñt thaønh caùch tính k/c töø
moät ñieåm ñeán moät maët phaúng,
vôùi coâng thöùc gaàn gioáng nhö
coâng thöùc tính k/c töø moät ñieåm
ñeán moät ñt trong HH phaúng.
- Söû duïng chöa heát giaû thieát
cuûa baøi toaùn nhöng laïi khoâng
bieát nhö vaäy laø sai.
*) Khaéc phuïc:- Chuù yù cho
hs thaáy raèng ñaây laø baøi toaùn
tìm k/c töø moät ñieåm ñeán moät ñt
trong KG. Ta phaûi khai thaùc
treân ñt ñaõ cho moät ñieåm vaø
moät VTCP cuûa noù vaø keát hôïp
söû duïng coâng thöùc tính k/c töø
moät ñieåm ñeán moät ñt trong KG
- Höôùng daãn caùc böôùc trình
baøy cho baøi toaùn:
+ Chuyeån pt ñt veà daïng tham
soá töø ñoù tìm ñöôïc toaï ñoä M0 vaø
VTCP u ( 2;1; 1)
+ Tính M 0 M , u
+ Tính
d M ,
M
Baøi taäp töông töï: Tìm khoaûng caùch giöõa :
a)
A(2;7;3)
2 x 3 y 9 0
d :
y 2z 5 0
0
M ,u
u
Baøi giaûi ñuùng
c) Töø pt ñt :
2 x y z 1 0
2 x y 5 z 5 0
Ñaët z = t, theá vaøo heä pt treân
suy ra pt tham soá cuûa ñt
:
x 1 t
y 3 3t
z t
Suy ra ñi qua M0(1;3;0)
vaø
coùVTCP
u ( 1;3;1)
M 0 M (1;6;1)
M
M 0 M , u (3; 2;9)
d M ;
0
M ,u
u
9 4 81
1 9 1
94
11
Saù n g kieá n kinh nghieä m
Trang20
Đào Anh Tuấn
x t
x y z 0
b) a : y -8 - t
a' :
z 3-- 3t 2x y 2z 0
c)
-
-
-
x 2y 03
:
2x3y0
y2z 08
' :
zx 08
C. KEÁT LUAÄN
Khaéc phuïc sai laàm cuûa hoïc sinh thöôøng maéc phaûi khi giaûi baøi taäp veà phöông
phaùp toaï ñoä trong khoâng gian laø moái baên khoaên cuûa raát nhieàu giaùo vieân daïy
khoái 12. Phaàn lôùn nhöõng sai laàm naøy laø do caùc em chöa thöïc söï quan taâm ñeán
caùch hoïc toaùn noùi chung vaø caùch hoïc hình hoïc khoâng gian noùi rieâng, maø khoâng
ai heát caùc thaày coâ giaùo phaûi laø nhöõng ngöôøi taïo ra höùng thuù hoïc taäp cho hoïc
sinh. Tìm toøi, caûi tieán phöông phaùp daïy ñeå hoïc sinh coù cô hoäi tieáp thu ñöôïc baøi
hoïc moät caùch nheï nhaøng hôn, hieäu quaû hôn, khaéc phuïc ñöôïc nhöõng sai laàm cô
baûn ñaõ neâu ôû treân.
Caùc chuù yù veà maët giaûng daïy lyù thuyeát cuõng nhö phaân loaïi caùc daïng baøi taäp
thöôøng gaëp khi thi laø kinh nghieäm cuûa caù nhaân toâi cuøng vôùi söï hoïc hoûi ñoàng
nghieäp lieân tuïc sau nhieàu naêm giaûng daïy khoái 12.
Caùc baøi taäp ñöôïc ñöa ra ñeå giaûi quyeát coù ôû SGK vaø moät soá saùch tham khaûo
cuõng nhö ôû caùc ñeà ñaõ thi nhöõng naêm tröôùc, ñöôïc choïn vôùi muïc ñích:
+ Caùc daïng baøi taäp ñoù laø nhöõng baøi taäp cô baûn , thöôøng coù trong caùc kyø thi vaø
hs thöôøng maéc phaûi sai laàm .
+ Thôøi gian laøm baøi taäp ôû treân lôùp khoâng nhieàu neân caùc baøi taäp töông töï ñöôïc
ñöa ra nhaèm taïo ñieàu kieän cho hs coù baøi taäp töï luyeän ñuùng höôùng, ñuùng troïng
taâm. Sau ñoù giaùo vieân coù theå kieåm tra laïi ñeå naém ñöôïc hoïc sinh ñaõ khaéc phuïc
ñöôïc nhöõng sai laàm ñaõ neâu trong theå loaïi baøi taäp ñoù hay chöa. Töø ñoù giaùo vieân
coù theå tieáp tuïc daãn daét, ñieàu chænh cho phuø hôïp.
- Xem thêm -