Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Skkn những phương pháp giải phương trình bậc cao...

Tài liệu Skkn những phương pháp giải phương trình bậc cao

.DOC
18
89
75

Mô tả:

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng tr×nh bËc cao PhÇn I §Æt vÊn ®Ò To¸n häc lµ m«n khoa häc tù nhiªn cã tõ rÊt l©u ®êi. Nã tån t¹i vµ ph¸t triÓn cïng víi sù tån t¹i vµ ph¸t triÓn cña x· héi loµi ngêi. Tõ 2000 n¨m tríc c«ng nguyªn ngêi Cæ ®¹i ®· biÕt c¸ch gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh bËc nhÊt, ngêi cæ Babilon ®· biÕt gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai vµ ®· dïng c¸c b¶ng ®Æc biÖt ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh bËc ba. Nhng ®Ó gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh bËc cao h¬n ph¶i ®Õn ®Çu thÕ kû 19, nhµ To¸n häc Nauy lµ Abet ( 1802 – 1829) chøng minh ®îc r»ng ph¬ng tr×nh tæng qu¸t bËc 5 vµ lín h¬n bËc 5 lµ kh«ng ®Ó gi¶i ®îc b»ng c¸c ph¬ng tiÖn thuÇn tuý ®¹i sè. Sau cïng nhµ to¸n häc Ph¸p lµ Galoa ( 1811 – 1832) ®· gi¶i quyÕt mét c¸ch trän vÑn vÒ vÊn ®Ò ph¬ng tr×nh ®¹i sè. Sau nhiÒu n¨m gi¶ng d¹y m«n To¸n ë bËc trung häc c¬ së t«i nhËn thÊy m¶ng gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao ®îc ®a ra ë s¸ch gi¸o khoa líp 8, 9 lµ rÊt khiªm tèn, néi dung s¬ lîc, mang tÝnh chÊt giíi thiÖu kh¸i qu¸t, quü thêi gian giµnh cho nã lµ qu¸ Ýt ái. Bªn c¹nh ®ã lµ c¸c néi dung bµi tËp øng dông th× rÊt phong phó, ®a d¹ng vµ phøc t¹p. C¸c ph¬ng tr×nh bËc cao lµ mét néi dung thêng gÆp trong c¸c kú thi ë BËc THCS, THPT vµ ®Æc biÖt trong c¸c kú thi tuyÓn sinh vµo §¹i häc vµ cao ®¼ng. XuÊt ph¸t tõ tÇm quan träng cña néi dung, tÝnh phøc t¹p hãa g©y nªn sù trë ng¹i cho häc sinh trong qu¸ tr×nh tiÕp cËn víi ph¬ng tr×nh bËc cao. Cïng víi sù tÝch luü kinh nghiÖm cã ®îc cña b¶n th©n qua nhiÒu n¨m gi¶ng d¹y. KÕt hîp víi nh÷ng kiÕn thøc mµ t«i ®· lÜnh héi ®îc trong ch¬ng tr×nh §¹i häc To¸n mµ ®Æc biÖt lµ sù híng dÉn tËn t×nh cña c¸c thÇy c« gi¸o. T«i m¹nh d¹n chän ®Ò tµi “Nh÷ng ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao.” Qua ®Ò tµi, t«i mong r»ng b¶n th©n m×nh sÏ t×m hiÓu s©u h¬n vÒ vÊn ®Ò nµy, tù ph©n lo¹i ®îc mét sè d¹ng to¸n gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao, nªu lªn mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i cho tõng d¹ng bµi tËp. Tõ ®ã gióp häc sinh cã thÓ dÔ dµng h¬n trong viÖc gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao. Qua néi dung nµy t«i hy väng häc sinh ph¸t huy ®îc kh¶ n¨ng ph©n tÝch, tæng hîp, kh¸i qu¸t ho¸ qua c¸ bµi tËp nhá. Tõ ®ã h×nh thµnh cho häc sinh kh¶ n¨ng t duy s¸ng t¹o trong häc tËp. 1 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng tr×nh bËc cao PhÇn II : Néi dung ®Ò tµi nghiªn cøu §Ó gi¶i mét bµi to¸n ®ßi hái ngêi gi¶i ph¶i biÕt ph©n tÝch ®Ó khai th¸c hÕt gi¶ thiÕt, c¸c ®iÒu kiÖn yªu cÇu cña ®Ò bµi, thÓ lo¹i bµi to¸n .... ®Ó tõ ®ã ®Þnh híng c¸ch gi¶i. §¹i bé phËn häc sinh chóng ta kh«ng hiÓu râ sù quan träng cÇn thiÕt cña viÖc ph©n tÝch vµ nhËn ®Þnh híng gi¶i, nhiÒu em kh«ng häc lý thuyÕt ®· vËn dông ngay, kh«ng gi¶i ®îc th× ch¸n n¶n, bá kh«ng gi¶i hoÆc gië s¸ch gi¶i ra chÐp v.v.... Trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y, ®Æc biÖt khi d¹y ch¬ng ph¬ng tr×nh ta thÊy c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh ®a d¹ng vµ phong phó, mµ ta ph¶i vËn dông nhiÒu kü n¨ng biÕn ®æi ®¹i sè nh sö dông h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí vµ mét sè h»ng ®¼ng thøc më réng, dïng c¸c phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng vµ c¸c phÐp biÕn ®æi ®¹i sè, ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ... C«ng cô gi¶i ph¬ng tr×nh ®ßi hái kh«ng cao xa, chØ víi kiÕn thøc to¸n cÊp hai lµ ®ñ. C¸i quan träng lµ yªu cÇu häc sinh ph¶i n¾m v÷ng kiÕn thøc, ph¶i cã sù lËp luËn chÆt chÏ, ph¶i biÕt xÐt ®Çy ®ñ c¸c khÝa c¹nh, c¸c trêng hîp cô thÓ cña tõng vÊn ®Ò. §Æc biÖt lµ yªu cÇu ®èi víi nh÷ng häc sinh kh¸, giái ph¶i hÕt søc s¸ng t¹o, linh ho¹t trong khi gi¶i ph¬ng tr×nh, biÕt ®Æc biÖt ho¸ vµ tæng qu¸t ho¸ nh÷ng vÊn ®Ò cÇn thiÕt. Lµ gi¸o viªn trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y viÖc cung cÊp kiÕn thøc cho häc sinh ph¶i thùc sù ®óng quy tr×nh c¸c bíc biÕn ®æi, ph¶i ®¶m b¶o l«gÝc, cã hÖ thèng, kh«ng tù tiÖn c¾t bá kiÕn thøc ®Ó rÌn cho c¸c em häc sinh thãi quen cÈn thËn, kü n¨ng gi¶i bµi tËp hîp l«gÝc to¸n häc. ViÖc gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao quy vÒ bËc mét n»m trong ch¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn phÇn cuèi ch¬ng, ®©y lµ mét vÊn ®Ò khã víi c¸c em häc sinh trung b×nh vµ häc sinh ®¹i trµ, sè tiÕt d¹y cho phÇn nµy l¹i Ýt. * §èi víi gi¸o viªn : Ph¶i hÖ thèng ®îc c¸c kh¸i niÖm vµ c¸c ®Þnh nghÜa c¬ b¶n cña c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh, c¸c tÝnh chÊt vµ c¸c c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh tõ ®¬n gi¶n ®Õn phøc t¹p. Nghiªn cøu, t×m tßi, khai th¸c ®Ó t×m ®îc nh÷ng øng dông ®a d¹ng, phong phó cña ph¬ng tr×nh. MÆt kh¸c ph¶i lùa chän c¸c ph¬ng ph¸p thÝch hîp ®èi víi tõng ®èi tîng häc sinh, ®ång thêi n©ng cao nghiÖp vô cña gi¸o viªn. * §èi víi häc sinh : N¾m ch¾c mét c¸ch cã hÖ thèng c¸c kh¸i niÖm, ®Þnh nghÜa, c¸c phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng, c¸c tÝnh chÊt vµ c¸c hÖ qu¶. Tõ ®ã ph¸t triÓn kh¶ n¨ng t duy, l«gÝc cho ngêi häc. Gióp cho häc sinh cã mét kh¶ n¨ng ®éc lËp, suy diÔn vµ vËn dông, rÌn trÝ th«ng minh cho häc sinh. §ång thêi cho häc sinh thÊy ®îc sù thuËn tiÖn h¬n rÊt nhiÒu trong gi¶i ph¬ng tr×nh. II- Nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n trong gi¶i ph¬ng tr×nh : 1- C¸c ®Þnh nghÜa : 1.1 §Þnh nghÜa ph¬ng tr×nh : 2 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng tr×nh bËc cao Gi¶ sö A(x) = B(x) lµ hai biÓu thøc chøa mét biÕn x. Khi nãi A(x) = B(x) lµ mét ph¬ng tr×nh, ta hiÓu r»ng ph¶i t×m gi¸ trÞ cña x ®Ó c¸c gi¸ trÞ t¬ng øng cña hai biÓu thøc nµy b»ng nhau. BiÕn x ®îc gäi lµ Èn. Gi¸ trÞ t×m ®îc cña Èn gäi lµ nghiÖm. ViÖc t×m nghiÖm gäi lµ gi¶i ph¬ng tr×nh Mçi biÓu thøc gäi lµ mét vÕ cña ph¬ng. 1.2. §Þnh nghÜa ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn : Ph¬ng tr×nh cã d¹ng ax + b = 0, víi a, b lµ nh÷ng h»ng sè; a 0 ®îc gäi lµ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn sè, b gäi lµ h¹ng tö tù do. 1.3. TËp x¸c ®Þnh cña ph¬ng tr×nh : Lµ tËp hîp c¸c gi¸ trÞ cña Èn lµm cho mäi biÓu thøc trong ph¬ng tr×nh cã nghÜa. 1.4. §Þnh nghÜa hai ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng : Hai ph¬ng tr×nh ®îc gäi lµ t¬ng ®¬ng nÕu chóng cã cïng tËp hîp nghiÖm. 1.5. C¸c phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng : Khi gi¶i ph¬ng tr×nh ta ph¶i biÕn ®æi ph¬ng tr×nh ®· cho thµnh nh÷ng ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng víi nã ( nhng ®¬n gi¶i h¬n). PhÐp biÕn ®æi nh thÕ ®îc gäi lµ phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng. 1.6. §Þnh nghÜa ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn : Ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn sè lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng ax2 + bx + c = 0; trong ®ã x lµ Èn sè; a, b, c lµ c¸c hÖ sè ®· cho; a  0. 1.7. §Þnh nghÜa ph¬ng tr×nh bËc cao : Ta gäi ph¬ng tr×nh ®¹i sè bËc n trªn trêng sè thùc lµ c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh ®îc ®a vÒ d¹ng : anxn + an-1xn-1 + ... + a1 + a0 = 0 Trong ®ã n nguyªn d¬ng; x lµ Èn; a1, a2, a3, ..., an lµ c¸c sè thùc x¸c ®Þnh ( an  0). 2- C¸c ®Þnh lý biÕn ®æi t¬ng ®¬ng cña ph¬ng tr×nh : a) §Þnh lý 1 : NÕu céng cïng mét ®a thøc cña Èn vµo hai vÕ cña mét ph¬ng tr×nh th× ®îc mét ph¬ng tr×nh míi t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh ®· cho. VÝ dô : 2x = 7 <=> 2x + 5x = 7 +5x. * Chó ý : NÕu céng cïng mét biÓu thøc chøa Èn ë mÉu vµo hai vÕ cña mét ph¬ng tr×nh th× ph¬ng tr×nh míi cã thÓ kh«ng t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh ®· cho. VÝ dô : x – 2 (1) 3 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng tr×nh bËc cao Kh«ng t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh x 2 1 1  x 2 x 2 V× x = 2 lµ nghiÖm cña (1) nhng kh«ng lµ nghiÖm cña (2) * HÖ qu¶ 1: NÕu chuyÓn mét h¹ng tö tõ vÕ nµy sang vÕ kia cña mét ph¬ng tr×nh ®îc mét ph¬ng tr×nh míi t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh ®· cho. VÝ dô : 8x – 7 = 2x + 3 <=> 8x – 2x = 7 + 3 * HÖ qu¶ 2 : NÕu xo¸ hai h¹ng tö gièng nhau ë hai vÕ cña mét ph¬ng tr×nh th× ®îc mét ph¬ng tr×nh míi t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh ®· cho. VÝ dô : -9 – 7x = 5 ( x +3) – 7x <=> -9 = 5 x ( x + 3) * Chó ý : NÕu nh©n hai vÕ cña mét ph¬ng tr×nh víi mét ®a thøc cña Èn th× ®îc ph¬ng tr×nh míi cã thÓ kh«ng t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh ®· cho. III- Mét sè c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao : A- Ph¬ng híng : ë phæ th«ng kh«ng häc phÐp gi¶i tæng qu¸t cho ph¬ng tr×nh bËc ba, bËc bèn cßn ph¬ng tr×nh bËc 5 kh«ng cã phÐp gi¶i tæng qu¸t. Tuy nhiªn trong mét sè trêng hîp ®Æc biÖt cã thÓ ®a ph¬ng tr×nh cÇn gi¶i vÒ nh÷ng ph¬ng tr×nh bËc 1, bËc 2. Ta ph¶i dùa vµo ®Æc thï cña ph¬ng tr×nh cÇn gi¶i ®Ó cã ph¬ng ph¸p thÝch hîp. Gi¶i vµ gi¶ng d¹y c¸c bµi to¸n vÒ gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao quy vÒ bËc nhÊt mét Èn hoÆc bËc hai n»m trong qu¸ tr×nh gi¶i ph¬ng tr×nh bËc nhÊt, bËc 2. Nãi chung bao gåm nhiÒu d¹ng vµ phong phó ®îc c¸c nhµ to¸n häc vµ s ph¹m quan t©m vµ ®Ò cËp tíi trong nhiÒu tµi liÖu, tËp san to¸n häc v.v... C¨n cø vµo môc ®Ých ý nghÜa kÕt qu¶ ®iÒu tra vµ thùc tÕ gi¶ng d¹y ch¬ng ph¬ng tr×nh. Trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y, b¶n th©n t«i ®· nghiªn cøu, ¸p dông lý luËn trong qu¸ tr×nh d¹y häc, c¸c ph¬ng ph¸p ®Æc trng bé m«n, ¸p dông c¸c kiÕn thøc ®· häc ®Ó ®a c¸c ph¬ng tr×nh bËc cao vÒ bËc nhÊt, bËc hai b»ng nhiÒu c¸ch. C¸c d¹ng c¬ b¶n cña ph¬ng tr×nh bËc cao thêng gÆp lµ c¸c ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng, ph¬ng tr×nh ®èi xøng, ph¬ng tr×nh thuËn nghÞch... B- C¸c bµi to¸n vµ ph¬ng ph¸p gi¶i : 1- Ph¬ng ph¸p ®a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch : 1.1. ¸p dông c¸c ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö : §Ó gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh d¹ng nµy tríc hÕt ta ph¶i n¾m v÷ng c¸c ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng mäi c¸ch ®a ph¬ng tr×nh ®· cho vÒ d¹ng tÝch. 4 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng tr×nh bËc cao f(x).g(x) ... h(x) = 0 <=> f(x) = 0 g(x) = 0 ..... = 0 h(x) = 0 V× mét tÝch b»ng 0 khi vµ chØ khi Ýt nhÊt 1 phÇn tö b»ng 0. NghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho chÝnh lµ tËp hîp nghiÖm cña c¸c ph¬ng tr×nh : f(x) = 0; g(x) = 0; ..... ; h(x) = 0. * Bµi to¸n 1 : Gi¶i ph¬ng tr×nh (x-1)3 + x3 + ( x+1)3 = (x+2)3 (1) Gi¶i : (x-1)3 + x3 + ( x+1)3 = (x+2)3 <=> x3 – 3x2 +3x – 1+ x3 + x3 + 3x2 + 3x + 1 = x3 + 6x2 + 12x + 8 <=> x3 - 3x2 - 3x – 4 = 0 <=> x3 – 1 – 3x2 – 3x – 3 = 0 <=> (x-1) ( x2 + x+ 1) – 3 (x2 + x + 1) = 0 <=> ( x2 + x + 1) ( x – 4) = 0 (2) Víi häc sinh líp 8 ta lµm nh sau: Do x2 + x + 1  0 nªn ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖp x – 4 = 0 <=> x = 4 Víi häc sinh líp 9 : (2) <=> x2 + x + 1 = 0 x–4 =0 (*) (**) Gi¶i ph¬ng tr×nh (*) :  = 1 – 4 = -3 < 0 nªn (*) v« nghiÖm. Gi¶i (**) : x = 4. VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã mét nghiÖm lµ x = 4. 1.2 . NhÈm nghiÖm råi dïng lîc ®å Hoãcne ®Ó ®a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch. * Lîc ®å Hoãcne : NÕu f(x) cã nghiÖm lµ x = x0 th× f(x) chøa nh©n tö ( x – x0) tøc lµ : f(x) = ( x – x0).g(x). Trong ®ã : f(x) = anxn + an -1xn -1 + ... + a1x + a0 = 0 g(x) = bnxn + bn - 2xn - 2 + ... + b1x + b0 = 0 víi : bn – 1 = an bn – 2 = x0bn – 1 + an – 1. ............... bi – 1 = x0b1 + ai b0 = x0b1 + a1. Ta cã b¶ng sau ( Lîc ®å Hoãcne). xi an an - 1 .......... a1 a0 x0bn-1 .......... x0b1 x0b1 x = x0 bn-1=an bn-2 ......... b0 0 ViÖc nhÈm nghiÖm c¸c ph¬ng tr×nh dùa trªn c¸c c¬ së sau : 5 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng tr×nh bËc cao 1.2.1. NÕu ®a thøc cã tæng c¸c hÖ sè b»ng 0 th× 1 lµ mét nghiÖm cña ®a thøc, ®a thøc chøa thõa sè x –1 . 1.2.2. NÕu ®a thøc cã tæng c¸c hÖ sè cña mét sè h¹ng bËc ch½n b»ng tæng c¸c hÖ sè cña sè h¹ng bËc lÎ th× -1 lµ mét nghiÖm cña ®a thøc, ®a thøc chøa thõa sè ( x + 1). 1.2.3. Mäi nghiÖm nguyªn cña ®a thøc ®Òu lµ íc sè cña hÖ sè tù do a0. 1.2.4. Mäi nghiÖm h÷u tØ cña ®a thøc víi hÖ sè nguyªn : xn + an-1 xn-1 + ... + a1x + a0 = 0 ®Òu lµ sè nguyªn. * Bµi to¸n 2 : Gi¶i ph¬ng tr×nh : x4 + x3 – x – 1 = 0 (2) NhËn thÊy : a4 + a3 + a2 + a1 + a0 = 1 + 1 + 0 + (-1) + (-1) = 0 Vµ : a4 + a2 + a0 = 1 + 0 + (-1) = a3 + a1 = 1 + (-1) . ¸p dông môc 1.2.1 vµ 1.2.2 ta cã 2 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (2) lµ : x1 = 1; x2= -1. ¸p dông lîc ®å Hoãcne ta cã : xi a4 =1 a3 =1 a2 =0 a1=-1 a0=-1 x =1 1 2 2 1 0 x=-1 1 1 1 0 Ph¬ng t×nh (2) cã d¹ng ph©n tÝch nh sau : (x-1) (x+1) (x2 + x + 1 ) = 0 Ta dÔ dµng nhËn thÊy ph¬ng tr×nh(2) cã 2 nghiÖm lµ : x1 = 1; x2 = -1. * Bµi to¸n 3 : Gi¶i ph¬ng tr×nh : x3 – 5x2 + 8x – 16 = 0 (3) ë bµi to¸n nµy ta kh«ng thÓ ¸p dông ®îc viÖc nhÈm nghiÖm theo nhËn xÐt ë 1.2.1 vµ 1.2.2. ¸p dông nhËn xÐt môc 1.2.3 vµ 1.2.4 ta cã: ¦ (4) { 1;  2;  3;  4;  8;  16} KiÓm tra thÊy x = 4 lµ 1 nghiÖm ¸p dông lîc ®å Hoocne ta ®a ph¬ng tr×nh (3) vÒ d¹ng (x – 4) ( x2 – x + 4) = 0 <=> x – 4 = 0 (*) x2 – x + 4 = 0 (**) (*) <=> x – 4 = 0 <=> x = 4 (**) <=> x2 – x + 4 = 0 ∆ = 1 – 4.4 = 1 – 16 = - 15 < 0 => (**) v« nghiÖm VËy nghiÖm cña pt (3) lµ x = 4 * Bµi to¸n 4: Gi¶i pt: 2x3 – 5x2 + 8x – 3 = 0 ( 4) 6 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng tr×nh bËc cao ViÖc ¸p dông nhËn xÐt c¸c môc 1.2.1; 1.2.2 ; 1.2.3 kh«ng thÓ gi¶i quyÕt ®îc vÊn ®Ò ( v× ë ph¬ng tr×nh nµy kh«ng cã nghiÖm nguyªn). Ta nghÜ ®Õn c¬ héi cuèi cïng nÕu ph¬ng tr×nh cã nghiÖm h÷u tØ vµ ¸p dông nhËn xÐt ë môc 1.2.4 (4) <=> 8x3 – 20x2 + 32x – 12 = 0 <=> (2x)3 – 5 (2x)2 + 16(2x) – 12 = 0 §Æt y= 2x ta cã: 3 2 y - 5y + 16y – 12 = 0 ( 4’) NhËn thÊy: a3 + a2 + a1 + a0 = 1 + ( -5) +16 + ( -12) = 0 ¸p dông 1.2.1 ta cã y = 1 ¸p dông lîc ®å Hoãcne (4’) vÒ d¹ng ( y – 1) ( y2 – 4y + 12) = 0 <=> y–1=0 (*) 2 y – 4y + 12 = 0 (**) (*) <=> y – 1 = 0 <=> y = 1 => x = 1/2 (**) <=> y2 – 4y + 12 = 0 v« nghiÖm v× <=> ( y – 2)2 + 8 > 0  y VËy ph¬ng tr×nh ( 4) cã mét nghiÖm vµ x = 1/2 1.2.5. ViÖc nhÈm nghiÖm nh ë trªn sÏ gÆp rÊt nhiÒu khã kh¨n nÕu sè h¹ng t¹ do a0 lín vµ cã nhiÒu íc sè. Trong trêng hîp nµy ta sÏ ¸p dông nhËn xÐt sau ®Ó ®i lo¹i trõ bít c¸c íc kh«ng lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh mét c¸ch nhanh chãng. - NÕu x0 lµ nghiÖm nguyªn cña ®a thøc f(x) vµ f(1)  0; f(-1)  0 th× f (1) x0  1 vµ f (  1) x0  1 ®Òu lµ c¸c gi¸ trÞ nguyªn. *Bµi to¸n 5 : Gi¶i ph¬ng tr×nh : 4x3 – 13x2 + 9x – 18 = 0 Gi¶i : (0) U(18) { 1, 2, 3, 6, 9, 18} HiÓn nhiªn –1, 1 kh«ng lµ nghiÖm cña (5) =>f(1) 0, f(-1) 0. Ta thÊy : f (1)  18   9  Z 3 1 2 f (`1)  44   11  Z 3 1 4 => Ph¬ng tr×nh (5) cã kh¶ n¨ng cã nhiÖm lµ x1 = 3. ¸p dông lîc ®å Hoãcne ta ®a (5) vÒ d¹ng sau : (x-3) ( 4x2 – x + 6 ) = 0 <=> x – 3 = 0 (*) 4x2 – x + 6 = 0 (**) 7 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng tr×nh bËc cao (*) <=> x = 3 (**) <=> 4x2 – x = 6 = 0  = (-1)2 – 4.4.6 < 0 => (**) v« nghiÖm. Nªn ph¬ng tr×nh (5) cã mét nghiÖm lµ : x = 3. * Chó ý : - ViÖc nhÈm nghiÖm ph¬ng tr×nh cã thÓ nhÈm miÖng råi dïng thuËt to¸n chia ®a thøc cho ®a thøc ®Ó h¹ bËc vµ ®a ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng tÝch. - Cã thÓ dïng lîc ®å Hoãcne ®Ó x¸c ®Þnh íc sè nµo cña a0 lµ nghiÖm, íc sè nµo kh«ng lµ nghiÖm vµ ®a ngay ra d¹ng ph©n tÝch. VD : XÐt ph¬ng tr×nh : x3 – 5x2 – 8x - 4 = 0 (*) ¦(4) 1, 2, 4} ¸p dông lîc ®å Hoãcne ta cã : x0 x =1 x=-1 a3 =1 1 1 a2 =-5 -4 -6 a1 =8 4 14 a0=-4 0 -18 x=2 1 -3 2 0 x = -2 1 -7 22 -48 x=4 1 -1 4 12 x = -4 1 -9 44 172 NhËn thÊy x= 1 vµ x = 2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (*) lóc ®ã (*) viÕt díi d¹ng ph¬ng tr×nh tÝch nh sau : ( x – 1 ) ( x – 2) ( x – 2 ) = 0 2- Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô : - Ph¬ng ph¸p nµy thêng ®îc sö dông víi c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh. * D¹ng 1 : Ph¬ng tr×nh cã d¹ng ax4 + bx2 + c = 0 ( a0) gäi lµ ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng. + C¸ch gi¶i : §Æt Èn phô y = x2 ( y 0) ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai ®èi víi y nh sau : ay2 + by + c = 0 * Bµi to¸n 7 : Gi¶i ph¬ng tr×nh : x4 – 5x2 + 4 = 0 (1) Gi¶i : §Æt y = x2 ( y 0) 8 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng tr×nh bËc cao (1) <=> y2 – 5y + 4 = 0 <=> (y-1)(y-4) = 0 <=> y – 1 = 0 <=> y = 1 y–4=0 y=4 x2 = 1 <=> x1 = 1; x2 = -1 x2 = 4 <=> x3 = 2; x4 = -2 VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã 4 nghiÖm : x = 1; x = -1; x = 2; x = -2. * D¹ng 2 : Ph¬ng tr×nh cã d¹ng : ( x +a) (x+b) (x+c) (x+d) = m Víi a + b = c + d hoÆc a + c = b + d hoÆc a + d = b + c. * Bµi to¸n 8 : Gi¶i ph¬ng tr×nh ( x – 1) ( x + 1) ( x + 3) ( x + 5) = 9 (1) Gi¶i : (1) <=> ( x – 1) ( x + 1) ( x + 3) ( x + 5) =9 <=> ( x2 + 4x – 5) ( x2 + 4x + 3) = 9 §Æt y = x2 + 4x – 5 Ta ®îc ph¬ng tr×nh : y ( y+8) = 9 <=> y2 + 8y – 9 = 0 <=> (y-1)(y+9) = 0 <=> y – 1 = 0 <=> y = 1 y +9 = 0 y = -9 x2 + 4x – 5 = 1 <=> x2 + 4x - 6 = 0 <=> x1,2 =  2  10 x2 + 4x – 5 = -9 <=> x2 + 4x + 4 = 0 <=> x3,4 = - 2 VËy ph¬ng tr×nh ( 1) cã 3 nghiÖm : x1 =  2  10 ; x2 =  2  10 ; x3 = -2 * D¹ng 3 : Ph¬ng tr×nh d¹ng ( x + a)4 + ( x + b)4 = c + C¸ch gi¶i :Ta ®a ph¬ng tr×nh trªn vÒ d¹ng ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng b»ng c¸ch ®Æt y = x + ( a+b)/2 * Bµi to¸n 9 : Gi¶i ph¬ng tr×nh : ( x + 1)4 + ( x +3)4 = 16 Gi¶i : §Æt y = x + 2 ta ®îc ph¬ng tr×nh. ( y-1)4 + ( y+1)4 = 16 9 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng tr×nh bËc cao <=> 2y4 + 12y2 + 2 = 16 <=> y4 + 6y2 – 7 = 0 ( Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng) §Æt m = y ( m0) ta ®îc ph¬ng tr×nh. m2 + 6m – 7 = 0 (8) Dïng ph¬ng ph¸p nhÈm nghiÖm ( a+b+c = 0) (*) <=> m1 = 1 (tho¶ m·n); m2 = -7 (lo¹i) y2 = 1 => y1 = 1; y2 = -1 x+2=1 => x = -1 x + 2 = -1 => x = -3 VËy ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm lµ : x = - 1; x = -3 D¹ng 4: Ph¬ng tr×nh ®èi xøng bËc ch½n cã d¹ng: a0x2n + a1x2n-1 + .... + an – 1xn + anxn –1 + .....+ a1x + a0 = 0 C¸ch gi¶i: V× 0 kh«ng lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh nªn chia c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cho x2 råi ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc n b»ng c¸ch ®Æt y = x + 1/x * Bµi to¸n 10: Gi¶i ph¬ng tr×nh 2x4 + 3x3 – 3x2 + 3x + 2 = 0 ( 1) Gi¶i: x = 0 kh«ng lµ nghiÖm cña ( 1) Víi x  0 chia 2 vÕ cña (1) cho x2 ta ®îc ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng 2 x 2  3x  3  3 2  0 x x2 1 1 )  3( x  )  5 0 2 x x 1 1  2( x  ) 2  3( x  )  5 0 x x  2( x 2  2  §Æt y = 1 x §a ph¬ng tr×nh vÒ 2y2 + 3y – 5 = 0 (2)  = 9 + 40 = 49 > 0 => Ph¬ng tr×nh (2) cã 2 nghiÖm x y1  x  37  3 7  5 1; y 2   4 4 2 1 1 x ( nh©n 2 vÕ víi x  0) <=> x2 – x + 1 = 0 ( *)  = 1 – 4 = -3 < 0 => Ph¬ng tr×nh (*) v« nghiÖm x 1  5  x 2 ( nh©n 2 vÕ víi 2x  0) 10 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng tr×nh bËc cao <=> 2x2 + 5x + 2 = 0 ( **)  =25 – 16 = 9 > 0 => ph¬ng tr×nh ( **) cã 2 nghiÖm  53  1  4 2  5 3  2 ; x2  4 VËy ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm : x1 = -1/2 ; x2 = -2 * D¹ng 5: Ph¬ng tr×nh ®èi xøng bËc lÎ cã d¹ng: a0x2n-1 + an-1x2n + .... + anxn -1 + anxn + .....+ a1x + a0 = 0 C¸ch gi¶i: Ph¬ng tr×nh nµy bao giê còng cã nghiÖm x0 = -1 vµ khi chia 2 vÕ cña ph¬ng tr×nh cho ( x +1) ta ®îc ph¬ng tr×nh ®èi xøng bËc ch½n 2n. * Bµi to¸n 11: Gi¶i ph¬ng tr×nh 2x5 + 5x4 – 13x3 – 13x2 + 5x + 2 = 0 ( 1) Gi¶i: Ta cã 2 + (-13) + 5 = 5 + (-13) +2 => a5 + a3 + a1 = a4 + a2 + a0 => x0 = -1 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x1  Víi x  - 1 chia c¶ 2 vÕ cña ph¬ng tr×nh ( 1) cho ( x+1) ta cã ph¬ng tr×nh 2x4 + 3x3 – 16x2 + 3x + 2 = 0 ( 3) DÔ dµng thÊy r»ng x = 0 kh«ng lµ nghiÖm cña (3) Chia c¶ 2 vÕ cña ( 3) cho x2  0, ta cã ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng 1 x 2x2 + 3x – 16 + 3.  2. 1 1  2( x  ) 2  3( x  )  20 0 x x §Æt y = ta ®îc ph¬ng 1 x x 1 0 x2 tr×nh 2y2 + 3y – 20 = 0 ( 4)  = 9 + 160 = 169 > 0 => ph¬ng tr×nh ( 4 ) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt y1   3  13 5  4 2 ; y2   3  13  4 4 Tõ ®ã gi¶i 2 ph¬ng tr×nh x 1  4 x ( nh©n 2 vÕ víi x  0) <=> x2 + 4x + 1 = 0 ( *) ’ = 4 - 1 = 3 > 0 => ph¬ng tr×nh ( *) cã 2 nghiÖm : x x1  2  3 ; x 2  2  3 1 5  x 2 11 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng tr×nh bËc cao ( nh©n 2 vÕ víi 2x  0) <=> 2x – 5x + 2 = 0 ( **)  = 25 – 16 = 9 > 0 => ph¬ng tr×nh ( **) cã 2 nghiÖm 2 x1  53 3 4 x2  5 3 1  4 2 VËy ph¬ng tr×nh (1) cã 4 nghiÖm: x1  2  3 ; x 2  2  ; 3 ; x 3 3 x4  1 2 * NhËn xÐt: Bµi tËp nµy t¬ng ®èi khã víi häc sinh nªn khi d¹y gi¸o viªn cÇn lu ý khai th¸c hÕt gi¶ thiÕt, nhËn xÐt cã thÓ sö dông ph¬ng ph¸p nµo, h»ng ®¼ng thøc nµo ®Ó ph©n tÝch cho thÝch hîp. Mçi bµi tËp gi¶i xong gi¸o viªn nªn chèt l¹i vÊn ®Ò vµ c¸c kiÕn thøc sö dông trong qu¸ tr×nh gi¶i nh»m gióp häc sinh n¾m ®îc bµi vµ c¸c kiÕn thøc cÇn sö dông trong qu¸ tr×nh gi¶i bµi tæng qu¸t, bµi t¬ng tù, ®Æc biÖt dïng ®Ó båi dìng häc sinh giái nh»m ph¸t triÓn t duy. * D¹ng 6: Ph¬ng tr×nh cã d¹ng: (x + a) (x + b) ( x+ c) ( x + d) = mx2 C¸ch gi¶i: §Æt Èn phô y = x + ad/2 hoÆc y = (x + a) (x + d) *Bµi to¸n 12: Gi¶i ph¬ng tr×nh 4(x + 5) ( x + 6) ( x + 10) ( x + 12) = 3x2 (1) Gi¶i: * C¸ch 1: (1) <=> 4 (x2 + 17x + 60) ( x2 + 16 x + 60 ) = 3x2 <=> 4(x + 17 + §Æt y = ( x + 16 + 60 ) (x x + 16 + 60 )= x 3 ( v× x  0) ( 2) 60 ) x (2) <=> 4y ( y + 1) = 3 <=> 4y2 + 4y – 3 = 0 <=> y1 = 1/2 ; y2 = -3/2 Víi y = 1/2 ta cã : 2x2 + 31x + 120 = 0 <=> x1 = - 8; x2 = -15/2 Víi y = -3/2 ta cã :2x2 + 35x + 120 = 0  x3   35  265 4 ; x4   35  265 4 * C¸ch 2: §Æt y = x2 + 16x + 60, ta ®îc ph¬ng tr×nh 4y ( y + x) – 3x2 = 0 (3) <=> ( 2y – x) ( 2y + 3x) = 0 <=> x1 = 2y 12 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Gi¶i: Ph¬ng tr×nh bËc cao x2 = -2y/3 Thay vµo ( 3) ta t×m ®îc 4 nghiÖm *Bµi to¸n 13: Gi¶i ph¬ng tr×nh ( x – 3) ( x +2) ( x – 4)( x + 6) = 14x2 (1) * C¸ch 1: Khai triÓn, thu gän vÒ ph¬ng tr×nh f(x) = 0 víi vÕ tr¸i lµ ®a thøc bËc bèn * C¸ch 2: NhËn thÊy ( -3)(-4) = 12 2.6 = 12 (1) <=> ( x – 3)( x – 4)( x + 2)( x + 6) = -14x2 <=> (x2 – 7x + 12) ( x2 – 8x + 12) = - 14x2 (2) DÔ thÊy x = 0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña (1) nªn chia 2 vÕ cho x2 (2) <=> §Æt t = (x  7  x 7 12 12 )( x  8  )  14 x x => 12 x x 8  12 x (3) = t + 15 (3) trë thµnh: t (t + 15) = -14 <=> t2 + 15t + 14 = 0 <=> t1 = -1; t2 = -14 Víi t = -1: x 7 12 x = -1 <=> x2 – 6x + 12 = 0 (*) (v× x  0) ’ = 9 – 12 = -3 < 0 => (*) v« nghiÖm Víi t = -14: x 7 12  14 x <=> x2 + 7x + 12 = 0 (**) (v× x  0)  = 49 – 48 = 1 > 0 => (**) cã 2 nghiÖm x1 = 3; x2 = 4 VËy ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm : x = 3 ; x = 4 * D¹ng 7: Ph¬ng tr×nh cã d¹ng d( x + a) (x + b) ( x + c) = mx Trong ®ã: d a b c ; 2 m = (d – a)(d – b)(d – c) * C¸ch gi¶i: §Æt Èn phô y = x + d, mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ y = 0 * NhËn xÐt: Mét sè thiÕu sãt thêng m¾c khi biÕn ®æi ph¬ng tr×nh: - Khi chia 2 vÕ cho mét ®a thøc cña ph¬ng tr×nh f1(x)g(x) = f2(x)g(x) (1) thµnh f1(x) = f2(x) - Khö luü thõa bËc ch½n ë 2 vÕ cña ph¬ng tr×nh f2n(x) = g2n(x) (2) thµnh f(x) = g(x). Hai phÐp biÕn ®æi nµy cã thÓ lµm mÊt nghiÖm. 13 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng tr×nh bËc cao - §èi víi ph¬ng tr×nh ®Çu nªn chuyÓn vÕ ®Ó ®a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch hoÆc gi¶i ph¬ng tr×nh f1(x) = f2(x) - §èi víi ph¬ng tr×nh (2) gi¶i 2 ph¬ng tr×nh f(x) = g(x) vµ f(x) = -g(x). * D¹ng 8 : x3 + ax2 + bx + c = 0 (Ph¬ng ph¸p nµy cã thÓ gi¶i ®îc víi ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm h÷u tØ) + C¸ch gi¶i : - Bíc 1 : Quy vÒ d¹ng y3 + py + q = 0 b»ng c¸ch ®Æt y = a/3 + x - Bíc 2 : §Æt y = u + v ( u+v)3 + p( u+v) + q = 0 <=> u3 + v3 + ( u + v) ( 3uv + p ) + q = 0 Nªn u vµ v tho¶ m·n hÖ ph¬ng tr×nh : u3 + v3 = - q 3uv = - p 3 3 <=> u + v = - q u3v3 = - p3/27 Sau ®ã ¸p dông hÖ thøc ViÐt ®Ó t×m nghiÖm u, v. *Bµi to¸n 14 : Gi¶i ph¬ng tr×nh : x3 + 9x2 + 18x + 28 = 0 (*) §Æt y = x + a/3 = x + 3 => x = y – 3 (*) <=> y3 – 9y + 28 = 0 ( **) §Æt y = u + v (**) <=> (u + v )3 – 9 ( u + v) + 28 <=> u3 + v3 + ( u + v) ( 3uv – 9) + 28 = 0 ( ***) NÕu u, v tho¶ m·n ph¬ng tr×nh( ***) th× u,v lµ nghiÖm cña hÖ 3 3 u3 + v3 = - 28 <=> u + v = - 28 uv = 3 u3v3 = 27 => u3, v3 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: X2 + 28X + 27 = 0 => u3 = - 1; v3 = - 27 => u = - 1; v = - 3 => y = u + v = - 1 – 3 = - 4 mµ x = y – 3 => x = -7 VËy ph¬ng tr×nh (*) cã mét nghiÖm lµ x = 7 3 – Ph¬ng ph¸p ®a vÒ hai luü thõa cïng bËc * C¸ch gi¶i: Ta thªm bít h¹ng tö ®Ó xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc thÝch hîp råi tõ ®ã ®a hai vÕ cña ph¬ng tr×nh vÒ luü thõa cïng bËc. Sau ®ã vËn dông c¸c h»ng ®¼ng thøc ®· häc ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh. *Chó ý: A2n = B2n <=> A =  B A2n – 1 = B2n – 1 <=> A = B 14 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng tr×nh bËc cao *Bµi to¸n 15: Gi¶i ph¬ng tr×nh x4 = 24x + 32 (1) Gi¶i: Thªm 4x2 + 4 vµo 2 vÕ cña (1) x4 + 4x + 4 = 4x4 = 24x + 36 <=> (x2 + 2)2 = ( 2x + 6)2 (2)  2 x  2 2 x  6   2  x  2  (2 x  6) (3) Gi¶i (2): x2 + 2 = 2x + 6 <=> x2 – 2x – 4 = 0 ’ = 1 + 4 = 5 > 0 => ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1 =  1  5 ; x2 =  1  Gi¶i (3): x2 + 2 = - 2x – 6 <=> x2 + 2x + 8 = 0 5 ’ = 1 – 8 = -7 < 0 => ph¬ng tr×nh v« nghiÖm VËy ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm : x1 =  1  *Bµi to¸n 16: Gi¶i ph¬ng tr×nh x4 + 8x2 – 8x + 17 = 0 (1) Gi¶i: (1) <=> x4 - 8x2 + 16 + 16x2– 8x + 1 = 0 <=> ( x2 – 4)2 + ( 4x – 1)2 = 0(2) V× 5; x2 =  1 5  ( x 2  4) 2 0   (4 x  1) 2 0  x 2  4 0 Nªn (2) <=>   4 x  1 0  x 2  <=>  1  x  4 VËy ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm *Bµi to¸n 17: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x3 – x2 – x = 1 3 (1) Gi¶i : Nh©n 2 vÕ cña (1) víi 3 (1) <=> 3x3 – 3x2 – 3x = 1 15 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng tr×nh bËc cao <=> 4x3 = x3 + 3x2 + 3x + 1 <=> (3 4 .x) 3 ( x  1) 3 <=> 3 4.x x  1 <=> (3 4  1).x 1 <=> x  3 1 41 VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) lµ: x  3 1 41 4 – Ph¬ng ph¸p dïng bÊt ®¼ng thøc: * C¸ch gi¶i: Dïng tÝnh chÊt ®¬n ®iÖu cña hµm sè trªn tõng kho¶ng * Bµi to¸n 18: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x  8  x  9 1 (1) Gi¶i: ViÕt ph¬ng tr×nh díi d¹ng x  8  x  9 1 (1) DÔ thÊy x = 8 ; x = 9 ®Òu lµ nghiÖm cña (1) XÐt c¸c gi¸ trÞ cßn l¹i cña x +) Víi x < 8 th× 9  x  1  9  x  1 5 6 5 6 6 x 8 5 0 Nªn vÕ tr¸i cña (1) lín h¬n 1, (1) v« nghiÖm +) Víi x > 9 th× x  8  1  x  8  1 5 9 x 6 0 Nªn vÕ tr¸i cña (1) lín h¬n 1, (1) v« nghiÖm +) Víi 8 < x < 9 th× 0 < x – 8 < 1 => x  8  x  8 5 0 < 9 – x < 1 => 9  x  9  x Nªn vÕ tr¸i cña (1) nhá h¬n : x – 8 + 9 – x = 1 ; ( 1) v« nghiÖm VËy (1) cã 3 nghiÖm : x = 8 ; x = 9 5 – Ph¬ng ph¸p dïng ®iÒu kiÖn dÊu “ =” ë bÊt ®¼ng thøc kh«ng chÆt: * Bµi to¸n 19: Gi¶i ph¬ng tr×nh x  x  1  x  x  2 3 (1) 6 2 2 Gi¶i: Ta cã x2 – x + 1  0 nªn (1) <=> x2 – x – 2 = 3 – ( x2 – x +1) <=> x2 – x – 2 = – ( x2 – x - 2) 16 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng tr×nh bËc cao ¸p dông bÊt ®¼ng thøc A  - A x¶y ra dÊu “ =” víi A  0 tøc lµ x2 – x – 2  0 <=> ( x + 1) ( x – 2)  0 <=> - 1  x  2 6 – Ph¬ng ph¸p dïng hÖ sè bÊt ®Þnh: Gi¶ sö ph¬ng tr×nh bËc 4: x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 vµ cã ph©n tÝch thµnh (x2 + a1x + b1) ( x2 + a2x + b2) = 0 lóc ®ã ta cã:  a1  a2 a  a a  b  b b 12 1 2   a1b2  a2 b1 c  b1b2 d TiÕp theo tiÕn hµnh nhÈm t×m c¸c hÖ sè a 1; b1; a2 ; b2 . B¾t ®Çu tõ b1b2 = d vµ chØ thö víi c¸c gi¸ trÞ nguyªn. *Bµi to¸n 20: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = 0 (1) Gi¶ sö ph¬ng tr×nh trªn ph©n tÝch ®îc thµnh d¹ng: (x2 + a1x + b1) ( x2 + a2x + b2) = 0  a1  a2  4  a a  b  b  10 12 1 2 Ta cã:   b1  2; b2  7; a1  5; a2 1  a1b2  a2b1 37  b1b2  14 Ph¬ng tr×nh (1) cã d¹ng (x2 - 5x + 2) ( x2 + x - 7) = 0 TiÕp tôc gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh bËc hai: x2 - 5x + 2 = 0 vµ x2 + x – 7 = 0 ta cã nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) lµ : x1  5  17 ; 2 x2  5 17 2 ; x3   1  29 ; 2 x4   1 29 2 * Chó ý: Víi ph¬ng ph¸p nµy cã thÓ gi¶i ®îc víi ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm h÷u tû. PhÇn III KÕt luËn chung Ph¬ng ph¸p d¹y häc cña ngêi thÇy ®Ó häc sinh n¾m b¾t ®îc néi dung cÇn thiÕt lµ c¶ mét qu¸ tr×nh nghÖ thuËt. §Ó gióp c¸c em häc sinh n¾m ®îc bµi, hiÓu 17 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng tr×nh bËc cao bµi vµ yªu m«n häc, cã høng thó trong c¸c giê häc, nhÊt lµ say mª víi nh÷ng bµi tËp khã. Th× ®©y lµ c¶ mét qu¸ tr×nh tÝch luü ph¬ng ph¸p gi¶ng cña ngêi thÇy, kh«ng chØ mét sím mét chiÒu cã ®îc ngay mµ ph¶i lµ c¶ mét qu¸ tr×nh rÌn ròa, t×m tßi, ®óc rót kinh nghiÖm, nghiªn cøu ®èi tîng th× míi lµm cho häc sinh yªu quý m«n häc vµ khao kh¸t ®îc häc. D¹y cho häc sinh c¸c ph¬ng ph¸p t×m lêi gi¶i cho c¸c bµi tËp cã ý nghÜa v« cïng quan träng. §ßi hái ngêi gi¸o viªn ph¶i say mª víi nghÒ nghiÖp, kiªn tr×, tËn tuþ víi häc sinh, t¹o cho häc sinh cã thãi quen t duy vµ kh¶ n¨ng lËp luËn Ph¬ng ph¸p gi¶ng m«n To¸n cña bËc THCS vÒ m«n ®¹i sè trong phÇn ch¬ng tr×nh. B¶n th©n t«i ®· ®óc rót ®îc trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y ë mét chõng mùc nµo ®ã vÊn ®Ò d¹y vµ häc. Ph¬ng ph¸p t×m lêi gi¶i cho c¸c bµi tËp thùc sù cã t¸c dông gióp häc sinh lµm quen víi ph¬ng ph¸p t duy, ph¬ng ph¸p lµm bµi. T×m c¸ch gi¶i trong ®ã x¸c ®Þnh râ c¸c bíc cÇn tiÕn hµnh theo mét tr×nh tù l«gÝc ®Ó hoµn thµnh bµi gi¶i. Mét sè c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt vµ bËc hai trong ch¬ng tr×nh líp 8, 9 hiÖn nay mµ b¶n th©n t«i ®· ®óc rót trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y. Trong mét chõng mùc nµo ®ã vÊn ®Ò d¹y vµ häc c¸c ph¬ng ph¸p t×m lêi gi¶i c¸c bµi tËp thùc sù cã t¸c dông cho c¸c d¹ng bµi tËp gióp häc sinh lµm quen víi ph¬ng ph¸p suy nghÜ, t×m tßi. Gi¸o viªn cÇn cã yªu cÇu cô thÓ ®èi víi tõng ®èi tîng häc sinh, t¨ng cêng c«ng t¸c kiÓm tra bµi cò, cã biÖn ph¸p khÝch lÖ nh÷ng c¸ch gi¶i hay, h¹n chÕ tèi ®a cho häc sinh t©m lý ch¸n m«n häc, Ø n¹i vµ chê gi¸o viªn ch÷a bµi tËp. B¶n th©n t«i lÇn ®Çu tiªn nghiªn cøu ®Ò tµi nµy, t«i còng ®· trao ®æi tham kh¶o, bµn b¹c, xin ý kiÕn cña c¸c thÇy c« ®i tríc vµ c¸c thÇy c« gi¸o d¹y trong bé m«n To¸n cña nhµ trêng. Song ®©y lµ mét vÊn ®Ò míi mµ mét bµi to¸n cã v« vµn c¸ch gi¶i kh¸c nhau. B¶n th©n t«i kÝnh mong c¸c thÇy c« ®i tríc t¹o ®iÒu kiÖn gióp ®ì t«i, ®ãng gãp cho t«i nhiÒu ý kiÕn hay vµ bæ Ých ®Ó t«i tiÕp tôc gi¶ng d¹y cho c¸c em häc sinh ®¹t kÕt qu¶ cao nhÊt trong suèt qu¸ tr×nh d¹y häc cña t«i. Xin ch©n thµnh c¶m ¬n! Giao Thuû, ngµy ....... th¸ng ..... n¨m 2008 Ngêi viÕt 18
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan