SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH 3
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT VÀI KINH NGHIỆM
PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC, TƯ DUY SÁNG TẠO
CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY BÀI TẬP
KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN
Người thực hiện:
Nguyễn Thị Minh Hằng
Chức vụ:
Giáo viên
SKKN thuộc môn:
Toán học
THANH HOÁ NĂM 2013
1
A.ĐẶT VẤN ĐỀ
I.LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Đổi mới phương pháp dạy học đang là yêu cầu cần thiết trong giai đoạn
hiện nay của giáo dục. Phương pháp dạy học phải phát huy tính tích cực, tự giác,
chủ động, sáng tạo của người học, bồi dưỡng năng lực tự học, tự say mê học tập
và ý chí vươn lên của người học.
Trong giảng dạy môn toán thì hoạt động chủ đạo và thường xuyên của học
sinh là hoạt động giải bài tập, thông qua đó hình thành kỹ năng kỹ xảo đồng thời
phát triển tư duy cho học sinh. Khoảng cách trong không gian là một trong
những phần trọng tâm của hình học không gian. Nó được trình bày cụ thể trong
nhiều tài liệu tham khảo, tuy nhiên bài tập về vấn đề này gây ra không ít khó
khăn, vướng mắc cho người học toán.
Trí tưởng tượng không gian, khả năng vẽ hình biểu diễn, biết liên hệ, xâu
chuỗi kiến thức sẽ góp phần quyết định trong việc tìm ra lời giải của một bài tập
hình học. Nhưng một bài toán về khoảng cách còn đòi hỏi có sự nhạy cảm, linh
hoạt để xác định và đi đến lời giải cụ thể. Đó là tiềm năng lớn để phát triển trí
tuệ cho học sinh khi giải các bài toán về khoảng cách.
Với học sinh việc giải bài tập về khoảng cách là khó thì với giáo viên dạy thế
nào để cho các em thấy hứng thú học, giải được dạng bài toán này,thông qua đó
giúp các em phát triển tư duy, sáng tạo vẫn đang là vấn đề mà nhiều giáo viên
còn đang trăn trở . Chính những khó khăn đó đã cản trở đến quá trình truyền thụ
kiến thức và phát triển trí tuệ cho học sinh trong hoạt động giảng dạy.
Thiết nghĩ, nếu sắp xếp các bài tập khoảng cách có tính hệ thống thì sẽ giúp
học sinh có nền tảng kiến thức vững hơn,tự tin hơn khi giải bài tập hình học
không gian, đồng thời tạo điều kiện thuận lợi để phát huy tính tích cực, tư duy
sáng tạo cho các em.
Từ những lí do trên tôi chọn đề tài “Một vài kinh nghiệm phát huy tính tích
cực, tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy bài tập khoảng cách trong
không gian”.
II. PHẠM VI ĐỀ TÀI.
+Cơ sở lý luận.
+ Xây dựng, sắp xếp các bài tập khoảng cách có tính hệ thống, thông qua đó để
phát huy tính tích cực, tư duy sáng tạo cho học sinh .
+Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề
tài.
III. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
2
+ Phương pháp nghiên cứu lí luận
+ Phương pháp nghiên cứu thực nghiệm
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.
I.CƠ SỞ LÍ LUẬN
Lâu nay các phương pháp dạy học dường như lấy giáo viên làm trung tâm,
các phương pháp dạy học tích cực lấy học sinh làm trung tâm mang tính hình
thức, thiếu đồng bộ ít hiệu quả.Vấn đề đổi mới phương pháp dạy học theo
hướng phát huy cao độ tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh ở trường
THPT hiện nay rất có ý nghĩa cả về mặt lí luận lẫn thực tiễn.
Tính tích cực của học sinh trong quá trình học tập là yếu tố cơ bản, có tính
quyết định đến chất lượng và hiệu quả học tập. Mục tiêu của mọi sự đổi mới
phương pháp dạy học phải hướng tới việc phát huy tính tích cực nhận thức của
học sinh. Vấn đề cốt lõi là đặt học sinh vào vị trí trung tâm của quá trình dạy
học. Trong quá trình dạy học người thầy biết sử dụng phối hợp các phương pháp
dạy học một cách hiệu quả nhằm phát huy cao độ vai trò nội lực của học sinh.
Ngày nay trong quá trình dạy học, người ta nhấn mạnh vai trò của học sinh
trong nỗ lực tạo ra sự chuyển biến từ học tập thụ động sang học tập tích cực, chủ
động và sáng tạo. Nếu học sinh chủ động học tập thì sẽ khơi dậy được tiềm năng
vốn có của nó, làm cho kết quả học tập được nâng cao không ngừng, đồng thời
giúp học sinh sớm thích ứng với đời sống cộng đồng. Theo hướng đó cần phải
thiết kế hoạt động dạy có tính đến những quy luật của hoạt động học. Hoạt động
dạy và học đan xen, thâm nhập vào nhau, quy định lẫn nhau. Sự tác động qua lại
giữa hoạt động dạy và hoạt động học chính là hoạt động cùng nhau, hoạt động
hợp tác giữa người dạy và người học.
Muốn đổi mới phương pháp dạy học để phát huy tính tích cực chủ động sáng
tạo của học sinh cần phải:
- Tạo ra môi trường tâm lí thuận lợi, thoải mái nhất cho học sinh trong quá
trình học. Sự căng thẳng, gò bó sẽ làm hạn chế khả năng tiếp nhận và chuyển
hoá thông tin. Muốn vậy giờ học cần có một sự khởi đầu tốt, tạo tâm thế cho học
sinh trong việc lĩnh hội tri thức. Sự phong phú về phương pháp, phương tiện và
hình thức dạy học sẽ tránh mệt mỏi, nhàm chán ở học sinh.
- Giúp học sinh hiểu và có thủ thuật ghi nhớ chắc chắn những kiến thức, khái
niệm khoa học...Trực quan hóa tài liệu học tập, sử dụng mô hình, biểu
bảng...cùng với việc gắn nội dung dạy học với thực tiễn sinh động sẽ làm cho
học sinh dễ hiểu hơn, dễ nhớ và nhớ lâu hơn.
- Giúp học sinh phát triển khả năng tư duy độc lập, chủ động tìm tòi và sáng
tạo. Muốn vậy phải biết dẫn dắt học sinh vào các tình huống có vấn đề. Tính có
3
vấn đề trong dạy học được thực hiện có hiệu quả bằng phương pháp dạy học nêu
vấn đề.
Nghệ thuật khai thác hợp lí hệ thống câu hỏi phát vấn của giáo viên sẽ góp
phần tạo nên những giờ giảng hấp dẫn, sinh động. Hệ thống câu hỏi trong từng
bài giảng phải luôn luôn thay đổi, biến hoá, tránh lặp lại, đơn điệu. Những câu
hỏi rập khuôn, sáo mòn sẽ kìm hãm sự phát triển trí tuệ, những câu hỏi gợi mở
thông minh, sáng tạo sẽ kích thích được khả năng và độ sâu tư duy của học sinh.
Vấn đề là phải biết dẫn dắt người học vào những tình huống có vấn đề trong day
học, biết đánh thức những tiềm năng sáng tạo, kích thích nhu cầu, hứng thú học
tập của học sinh, là phải biết truyền đạt có kết quả cái mà học sinh cần lĩnh hội,
vừa biết dạy học sinh cách học và cao hơn là tự học.
Dạy bài tập “khoảng cách trong không gian” giúp học sinh:
+ Rèn luyện các thao tác vẽ hình biểu diễn, trí tưởng tượng không gian, mở đầu
cho các ý tưởng vẽ thêm các đường, chọn điểm - một yếu tố quyết định tạo ra lời
giải độc đáo cho bài toán.
+ Có khả năng sáng tạo các bài toán tương tự và giải quyết các bài toán đó
nhanh chóng.
+ Rèn luyện tư duy độc lâp, rèn luyện tính linh hoạt và phê phán trong tư duy.
+ Có khả năng vẽ hình tốt hơn tạo nên hứng thú học không gian từ đó tích cực
hoạt động giải bài tập. Đó là tiền đề cho sự phát triển tư duy sáng tạo của học
sinh.
+ Có khả năng phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa…các yếu tố trên hình vẽ, giả
thiết bài toán.
II.THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ.
Hình học không gian là sự nối tiếp của hình học phẳng, khoảng cách trong
không gian cũng nằm trong cái chung đó. Do vậy, trước khi học khoảng cách
trong không gian học sinh phải nắm vững các khái niệm, định lí liên quan với nó
trong hình học phẳng.Ngoài ra còn phải nắm vững các kiến thức về quan hệ
song song,quan hệ vuông góc và mối quan hệ giữa chúng trong không gian.
Một vấn đề hết sức quan trọng trong việc giải bài tập khoảng cách là học sinh
phải biết vẽ các hình biểu diễn, xác định hình chiếu của một điểm lên một đường
thẳng, hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng…Đây là vấn đề gây ra nhiều
khó khăn cho hoc sinh.
Khoảng cách trong không gian và trong hình học phẳng có mối liên hệ
khăng khít nhau. Ví dụ như khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng,
khoảng cách giữa hai đường thẳng song song vẫn được giữ nguyên khi chuyển
sang hình học không gian. Tuy nhiên có nhiều tính chất, khái niệm mở rộng
trong không gian như khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
4
với nó, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, hai đường thẳng chéo nhau
làm học sinh rất khó hình dung,hầu hết các em cảm thấy mơ hồ không xác định
được hướng làm cho bài toán,dẫn đến tâm lý chán nán khi làm bài tập về vấn đề
này.
Đối với giáo viên ,nếu dạy Khoảng cách mà đơn thuần chỉ truyền thụ cho học
sinh kiến thức trong sách giáo khoa thì sẽ gây ra nhiều khó khăn cho việc tiếp
thu của các em không mang lại hiệu quả cần đạt được trong giáo dục. Tuy nhiên
nếu ta biết sắp xếp, xâu chuỗi các kiến thức để phát huy tính tích cực của học
sinh, tạo được hứng thú cho học sinh khi giải quyết các bài toán về khoảng cách
thì tình trạng trên sẽ được khắc phục một cách đáng kể.
Chủ đề “khoảng cách không gian” chứa đựng nhiều tiềm năng to lớn trong
việc phát huy tính tích cực, tư duy sáng tạo cho học sinh. tạo cơ hội cho học
sinh phát triển năng lực sáng tạo của mình. Đề tài đưa ra một số bài tập về tính
khoảng cách nhằm phát triển tính tích cực, tư duy sáng tạo cho học sinh.
III. GIẢI QUYẾT VẤN.
Các bài toán tìm khoảng cách giữa các yếu tố trong không gian như : Khoảng
cách giữa đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song,
khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau hầu hết đều đưa về bài toán tìm
khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Nếu muốn làm tốt các bài tập về
khoảng cách khác thì trước tiên và trọng điểm là giúp học sinh giải quyết các bài
toán tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Trên ý tưởng này đề tài
đi sâu vào xây dựng một phần hệ thống các bài toán tìm khoảng cách từ một
điểm đến một mặt phẳng, đồng thời thông qua việc giải các bài tập đó để phát
huy tính tích cực, tư duy sáng tạo cho học sinh.
1. Một số khái niệm về khoảng cách trong không gian.
O
+ Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Cho điểm O và mặt phẳng().
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O
H
lên mặt phẳng (. Khi đó độ dài đoạn
thẳng OH được gọi là khoảng cách từ điểm O đến mp(
+ Khoảng cách giữa đường
thẳng
và mặt
phẳng song song
O
a
A
A'
H
5
Định nghĩa: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (), khoảng cách giữa
đường thẳng a và mặt phẳng () là khoảng cách từ một điểm bất kì của a đến
mp().
+ Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song
A
A'
Định nghĩa: Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song là khoảng cách từ một
điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
+ Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau
Định nghĩa
Đường vuông góc chung : Đường thẳng cắt 2
đường thẳng chéo nhau a, b và vuông góc với mỗi
đường thẳng ấy được gọi là đường vuông góc
chung của 2 đường thẳng a và b.
a
M
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:
b
Nếu đường vuông góc chung cắt 2 đường thẳng
N
chéo nhau a và b lần lượt tại M và N thì độ dài
đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa 2 đường
thẳng chéo nhau a và b.
M
a
Nhận xét.
+ Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo
b
nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai
đường thẳng đó và mặt phẳng song song
a'
N
với nó chứa đường thẳng còn lại.
a
+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
M
nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng
song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
2.Một số bài toán khoảng cách từ một điểm đến
một mặt phẳng.
b
N
6
Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, không phải bài toán nào
cũng tính được trực tiếp từ chính điểm theo yêu cầu bài toán mà nó được tính
thông qua một điểm khác.Chính việc lựa chọn điểm thích hợp sẽ giúp giải bài
toán một cách đơn giản và sáng tạo . Cơ sở của cách tính trên dựa vào kết quả
bài toán sau:
Bài toán:
Cho mặt phẳng () và một điểm A không nằm trong mặt phẳng đó, M là điểm
bất kì nằm trên mp(). Xét các điểm E nằm trên đường thẳng đi qua AM sao cho
ME
k .
MA
Khi đó khoảng cách từ điểm A đến mp() và khoảng cách từ điểm E
đến mp( có mối quan hệ như thế nào?
Lời giải.
Trường hợp1: Xét các điểm A và E nằm cùng phía với mp(
E
A
M
H
P
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng () nên:
d(A,()) = AH = h.
Gọi P là chân đường vuông góc của E lên mặt phẳng (). Khi đó
d(E, ()) = EP.
Ta có : EP // AH (đều vuông góc với mp()) và M, P, H thẳng hàng
Theo định lí Tallet ta có :
EP
ME
h
AH
MA
Khi đó EP = k . AH hay d(E, ()) = k . h
Trường hợp 2:
Hai điểm E và A nằm khác phía nhau so với mp().
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mp(), AH = h.
Gọi P là hình chiếu vuông góc của E lên mặt phẳng ().
7
AH ( )
EP ( )
AH // EP
A
Lại có P, M, H thẳng hàng. Theo định lí
Tallet ta có:
EP ME
k
AH MA
M
P
H
I
EP = k. AH = k.h
.hay d(E, ()) = k . h
E
Q
N
Vậy : d(E, ()) = k . d(A,())
Ví dụ1.
Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông cân đỉnh B, AB = a, SA vuông góc
với mặt phẳng (ABC) và SA = a.
a. Chứng minh (SAB) (SBC) .
b. Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC).
c. Gọi I là trung điểm của AB. Tính khoảng cách từ điểm I đến mp(SBC);
d. G là trọng tâm tam giác ABC, tính khoảng cách từ điểm G đến mp(SBC).
Nhận xét: Để chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc với nhau ta chứng minh mặt
phẳng này chứa đường thẳng vuông góc với mặt kia, áp dụng giả thiết bài toán
ta có được câu a. Trên kết quả câu a và định lí:
( ) ( ) d
( ) ( )
a (
a
(
)
a d
a
d
ta xác định được khoảng cách từ A đến mp(SBC) từ đó tính ra khoảng cách.
Câu c gợi cho ta nhớ đến kết quả rút ra ở bài toán cơ bản, trên cơ sở kết quả tính
được ở câu b suy nghĩ và áp dụng để tìm ra lời giải. Đến câu e giả thiết cho dưới
dạng lạ hơn đòi hỏi phải có suy nghĩ, hoạt động tích cực để tìm ra mối liên hệ
S
giữa khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SBC) và
các khoảng cách đã biết như :
d(A, (SBC)), d(J, (SBC)), hay d(I, (SBC)).
Lời giải
a. Theo giả thiết ta có: SA (ABC) .suy ra SA BC (1) H
A
J
C
G
8
I
B
mà AB BC (giả thiết) (2).
Từ (1) và (2) ta suy ra : BC (SAB)
(SBC) (SAB) .
b. Ta có (SAB) (SBC) SB
Kẻ AH SB (H thuộc SB).
Do SAB vuông cân nên H là trung
điểm của SB,khi đó AH ( SBC) nên d(A, (SBC)) = AH
Xét SAB vuông cân tại A. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có :
1
1
1
1
1
a 2
2
2 2 . Khi đó AH
.
2
2
AH
AS
AB
a
a
2
c. Ta có
AB ( SBC ) B
d ( I , ( SBC ))
và
BI
1
BA 2
1
1 a 2
d ( A, ( SBC )) .
2
2
2
d. Vì G là trọng tâm ABC nên có
Lúc đó
(do I là trung điểm của AB) nên
.Vậy d ( I , ( SBC ))
a 2
.
4
CG 2
CI
3
2
2 a 2
d (G , ( SBC )) d ( I , ( SBC )) .
3
3 4
Hay
d (G , ( SBC ))
a 2
6
.
Đối với ví dụ này ta cũng đưa ra lần lượt các câu hỏi từ a đến d theo mức độ khó
dần và nâng cao. Hoạt động chia các bước nhỏ như trên sẽ giúp học sinh tiếp thu
kiến thức một cách nhẹ nhàng đồng thời việc nâng cao mức độ khó dần của câu
hỏi là sự phát triển trong tư duy của học sinh. Từ tư duy tích cực được phát triển
cao dần đến sự độc lập trong suy nghĩ, tự mình phát hiện ra vấn đề, tự mình xác
định phương hướng, tìm ra cách giải quyết, tự bản thân kiểm tra và hoàn thành
kết quả
Ví dụ 2.
Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA
vuông góc với mp(ABCD) và SA = a 3 . O là tâm hình vuông ABCD.
a. Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC);
b. Tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SBC);
9
c. G1 là trọng tâm ∆SAC. Từ G1 kẻ đường thẳng song song với SB cắt OB tại
I. Tính khoảng cách từ điểm G1 đến mp(SBC), khoảng cách từ điểm I đến
mp(SBC);
Lời giải.
S
_
a. Kẻ AH SB(1);
Ta có SA AD ( vì SA(ABCD))
_
Mà AB AD (ABCD là hình vuông)
a_
_
3
suy ra AD (SAB)
H
_
Vì BC // AD nên BC (SAB)_A
_
D
Lại có AH (SBC) nên BC AH (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra AH (SBC).
_
a
Khi đó d(A, (SBC))_B= AH
_
I
O
_
C
_
Xét ∆SAD vuông tại A. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
1
1
1
1
1
2
2 2
2
2
AH
SA
AB
3a
a
Suy ra AH =
a 3
2
b. O là trung điểm của AC nên d(O, (SBC)) =
hay d(O,(SBC)) =
c.
G1
là
d (G1 , ( SBC ))
Vì
G1 I
.
1
2
d(A,(SBC))
a 3
4
trọng
tâm
∆SAC
2
d (O, ( SBC )) hay
3
nên
:
SG1 2
SO 3
2 a 3
a 3
d (G1 , ( SBC )) .
3 4
6
// SB nên d(I, (SBC)) = d( G1 , (SBC)) =.
Khi
đó
,
.
a 6
3
Vẫn là hệ thống các câu hỏi nhỏ vừa thu hút, lôi cuốn sự tập trung hoạt động
của học sinh, vừa từng bước giải quyết bài toán khá phức tạp. Cũng ví dụ này
nếu ta sửa lại yêu cầu bài toán:
a. Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC);
b. Tính khoảng cách từ điểm G đến mp(SBC).
Hoặc chỉ yêu cầu tính khoảng cách từ điểm G đến mp(SBC) (với G là trọng tâm
∆SDC) thì làm thế nào? điều này không phải là đơn giản mà đòi hỏi phải có sự
10
hoạt động tối đa của trí óc. Nếu ta đưa ra bài toán dưới dạng này sẽ gây ra khó
khăn, vướng mắc đối với việc giải của học sinh làm ảnh hưởng đến tư duy tích
cực và dễ chán nản. Vì vậy hệ thống các câu hỏi nhỏ như trên sẽ giúp các em lấy
được hứng thú ngay khi bắt tay vào bài, tích cực suy nghĩ và đó là cơ sở để phát
huy tư duy sáng tạo cho học sinh.
Ví dụ 3
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M là trung điểm của
cạnh BC. O là tâm hình vuông ABCD.
a. Tính khoảng cách từ điểm M đến mp (ACC’A’);
b. N là trung điểm của DC. Tính khoảng cách từ điểm N đến mp(ACC’A’);
c. Từ N kẻ đường thẳng song song với CC’ cắt D’C’ tại N’. Tính khoảng cách từ
điểm N’ đến mp(ACC’A’);
d.
G1
là trọng tâm AC’D’. Tính khoảng cách từ điểm
G1
đến mp(ACC’A’);
e. G2 là trọng tâm A G1 C. Tính khoảng cách từ điểm G2 đến mp(ACC’A’).
Nhận xét:
Ví dụ này được tạo ra trên bài toán cơ sở nhằm để sử dụng kết quả đã có
nhưng không phải dưới dạng tường minh mà đòi hỏi phải tư duy, hoạt động tích
cực trong suy nghĩ để đưa bài toán về dạng quen thuộc, nghĩa là tư duy của học
sinh phải linh hoạt và khả năng biết quy lạ về quen.
B
Lời giải.
M
C
O
a. Ta có BD (ACC’A’)
H
A
N
D
Kẻ Mx // BD cắt AC tại H. Lúc đó:
d ( M , ( ACC ' A' )) MH
nên MH
mà MH
1
BO
2
a 2
4
B'
C'
A'
N'
D'
Vậy d ( M , ( ACC ' A '))
a 2
.
4
b. Ta có MN là đường trung bình của BDC nên MN // BD
Suy ra H, M, N thẳng hàng và HM = HN
Khi đó d(M, (ACC’A’)) = d(N, (ACC’A’)) hay d(M, (ACC’A’)) =
a 2
4
;
11
c. Vì NN’ // CC’ nên NN’ // (ACC’A’). Suy ra
d(N’,(ACC’A’)) = d(N, (ACC’A’)) =
d.
G1
là trọng tâm AC’D’ nên:
Lúc đó
d (G1 , ( ACC ' A' ))
Hay d (G1 , ( ACC ' A '))
a 2
4
.
G1 A 2
N' A 3
2
2 a 2
d ( N ' , ( ACC ' A' )) .
3
3
4
a 2
;
6
e. BD cắt AC tại O nên O là trung điểm của AC. Do
OG
G2 là
trọng tâm của tam
1
2
giác A G1 C nên OG 3 .
1
Suy ra
1
1 a 2
d (G 2 , ( ACC ' A' ) d (G1 , ( ACC ' A' )) .
3
3 6
Vậy d (G2 , ( ACC ' A '))
a 2
.
18
Qua hệ thống các ví dụ, học sinh được rèn luyện kỹ năng xác định và tính
toán khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Nhưng để có được sự sáng
tạo người giáo viên phải tạo ra thói quen cho học sinh, không nên chỉ học các
định lí, cách chứng minh hay tính toán đơn thuần mà thông qua đó phải luôn biết
phát hiện vấn đề, biết đặt ra những câu hỏi tốt, biết hoài nghi…Từ đó sử dụng
suy luận có lí để giải quyết vấn đề.
Các ví dụ trên đã trình bày bài toán tính khoảng cách của các điểm cùng phía
với A hoặc khác phía với A so với mặt phẳng ().Vậy đối với các bài toán yêu
cầu tính khoảng cách một số điểm cùng phía xen kẽ một số điểm khác phía A so
với mặt phẳng ( thì việc tính toán sẽ như thế nào? ta xét tiếp ví dụ:
Ví dụ 4
Cho hình chóp SABCD. ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác
đều cạnh a và (SAB) vuông góc với mp(ABCD). Gọi I là trung điểm của cạnh
AB, E là trung điểm của cạnh BC.
S
a. Chứng minh mp(SIC) mp(SED);
b. Tính khoảng cách từ điểm I đến mp(SED);
c. Tính khoảng cách từ điểm C đến mp(SED);
H
d. Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SED);
A
D
B
J
I
E
F
C
12
Nhận xét: Các cặp điểm I và C, C và A nằm
khác phía so với mp(SED)
Lời giải.
a. ABCD là hình vuông nên ED IC (1)
SI là đường trung tuyến của đều ABC
nên SI AB mà
(SAB) (ABCD) nên SI (ABCD), suy ra SI IC ( vì IC mp(ABCD))
(2)
Từ (1) và (2) ta suy ra IC (SED) do đó (SIC) (SED);
b. Gọi J là giao điểm của ED và IC, kẻ IH SJ thì d(I, (SED)) = IH
Xét SIJ vuông tại I. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
1
1
1
2 2
2
IH
SI
IJ
(*)Trong đó
SI
Mặt khác ECD vuông tại C có:
Suy ra CJ =
a 5
5
a 3
2
( đường cao của tam giác đều cạnh a) (3)
1
1
1
4
1
2
2 2
2
2
CJ
CE
CD
a
a
.
mặt khác IC = IB 2 BC 2 nên IC
IJ=
hay
3 5
.a (4)
10
Thay (3) và (4) vào (*) ta có:
Vậy
a 5 a 5
a 5
IJ = IC – JC =
2
2
5
d ( I , ( SED))
3 2
.a
8
IH 2
9a 2
32
do đó
IH
3 2
a
8
.
c. Ta có IC (SED) J, xét tỉ số
2
JC a 5 3 5
:
a =
3
JI
5
10
2
2
Do đó d (C , ( SED)) d ( I , ( SED)) hay d (C , ( SED)) .a ;
3
4
d. Gọi F là giao điểm của AB và DE, khi đó
FB BE 1
FA AD 2
suy ra B là trung điểm của FA
13
Ta
FA 4
FI
3
có
d ( A, ( SED )
2
2
4
4 3 2
d ( A, ( SED )) .d ( I , ( SED)) .
a
3
3 8
nên
hay
a.
Nhận xét: Ở ví dụ 4 này mức độ khó khăn và phức tạp của bài toán đã được
nâng cao, ở câu b nó không có sẵn tỉ số
JC
JI
, cũng không có điểm đặc biệt như
trọng tâm, trung điểm, nếu theo hướng suy nghĩ cũ sẽ khó tìm ra lời giải. Lúc
này cần biến kiến thức kỹ năng sẵn có vào hoàn cảnh mới, biết nhìn nhận vấn đề
mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen
biết. Cụ thể trong bài này ta có thể tính được độ dài đoạn JC, JI thay vào ta có tỉ
số
JC
JI
, từ đó đưa về bài toán quen thuộc đã biết.
Ví dụ 5 (Đề thi Đại học khối D năm 2007)
Cho hình chóp SABCD có đáy hình thang.ABC = BAD = 90 0 , BA = BC = a,
AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a 2 . Gọi H là hình chiếu
vuông góc của A lên SB. Chứng minh rằng tam giác SCD vuông và tính khoảng
cách từ H đến mp(SCD).
Gợi ý giải:
Lấy I là trung điểm của AD, khi đó IA = ID = IC = a, suy ra CD AC mà CD
SA nên CD SC hay tam giác SCD vuông tại C.
+ Tính d(H, (SCD))
Xét tam giác vuông SAB có
Do đó
SH SA 2 2
SB SB 2 3
2
d ( H , ( SCD)) d ( B, ( SCD))
3
14
S
a 2
J
H
A
I
D
a
B
mà d(B, (SCD)) = d(I, (SCD),
nên
C
1
d ( I , ( SCD )) d ( A, ( SCD))
2
1
d ( H , ( SCD)) d ( A, ( SCD)) ;
2
Mặt khác ta có :
CD SC (theo chứng minh trên)
(SCD)(SAC)
CD SA (vì SA (ABCD))
(SCD) (SAC) SC
Kẻ AJ SC (J thuộc SC) thì J là trung điểm của SC ( vì tam giác SAC cân tại
A).
Khi đó d(A, (SCD)) = AJ
Xét tam giác SAC vuông tại A có
mà
1
AJ SC
2
SC SA 2 AC 2
suy ra d(A,(SCD)) = a Vậy
nên SC = 2a;
1
d ( H , ( SCD)) a
2
.
3.Một số bài tập tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Với các bài toán tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song
song, hai mặt phẳng song song, hai đường thẳng chéo nhau thì ta đưa về bài toán
tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Ví dụ 6:
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
SA = SB = SC = SD =
AD và SC.
a 2.
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Lời giải
15
Vì AD // BC nên d(AD, SC) = d(AD, (SBC)) = d(A, (SBC))
Ta có AO (SBC) C và
CO 1
CA 2
S
do đó
d(A, (SBC)) = 2.d(O, (SBC)) ;
SO (ABCD) nên SO BC
a 2
H
Kẻ SJ BC thì J là trung điểm của BC
D
C
Suy ra BC (SOJ) (SBC) (SOJ)
(SBC) (SOJ) S.
O
A
a
I
B
Kẻ OH SJ (H SJ). Khi đó d(O, (SBC)) = OH
Xét tam giác SOJ vuông tại O, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có
1
1
1
1
OJ .a , SO SC 2 CO 2 a 6
2
2
2 mà
2
2
OH
OJ
OS
Suy ra
Vậy
OH
42
a
14
d ( AD, SC ) 2.
42
42
a
.a
14
7
Sau khi đưa ví dụ này học sinh nhớ lại nhận xét trong phần định nghĩa về
khoảng cách để phát hiện d(AD, SC) = d(AD, (SBC)). Rõ ràng ta đưa về bài
toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, do đó cần sử dụng các
kỹ năng đã trình bày ở vấn đề này để giải quyết bài toán. Như vậy nếu biết sắp
xếp các bài toán có tính hệ thống thì việc giải toán của học sinh nhẹ nhàng hơn,
phát huy được lối tư duy tích cực, sự kế thừa kết quả đã có, kỹ năng đã biết phục
vụ vào giải các bài toán mới.
Ví dụ 7: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA
vuông góc với mp(ABCD), SA = a 3 . E là điểm đối xứng của B qua A, tính
khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau
a. AC và SD
b. AC và SE
Lời giải
E là điểm đối xứng của B qua A
16
nên
AE CD a
AEDC là hình bình hành.
AE // CD
S
Do đó AC // ED hay AC // (SED) (1)
suy ra d(AC, SD) = d(AC, (SED)) = d(A, (SED));
E
a 3
* Tính d(A, (SED))
SA ED, kẻ SK ED(KED) thì ED (SAK)
A
D
suy ra (SED) (SAK);
(SED) (SAK) SK. Kẻ AH SK (HSK)
a
B
C
thì d(A, (SED)) = AH
SAK và EAD là các tam giác vuông tại A. Theo hệ thức lượng trong tam giác
vuông ta có:
1
1
1
1
1
2
2
2
2
AH
AS
AK
3a
AK 2
Suy ra
Vậy
1
1
1
1
2 2 2
2
AH
3a
a
a
d ( AC , SD)
;
hay
1
1
1
1
1
2
2 2
2
2
AK
AE
AD
a
a
AH
21
.a
7
21
.a .
7
Vì AC // (SED) (theo 1) nên d(AC, SE) = d(AC, (SED)) =
21
a
7
Ví dụ 8 (ĐỀ THI ĐH-CĐ KHỐI B NĂM 2007).
S
E
M
P
a
A
D
a
O
B
N
C
“Cho chóp tứ giác đều SABCD
có đáy hình vuông cạnh a. Gọi
E là điểm đối xứng của D qua
trung điểm của SA, M là trung
điểm của AE, N là trung điểm
của BC. Chứng minh MN
vuông góc với BD; tính
khoảng cách giữa 2 đường
thẳng MN và AC.”
Lời giải.
Gọi P là trung điểm của AS, khi đó MP // NC và MP = NC (đều bằng nửa a). Do
đó MPCN là hình bình hành, suy ra MN // PC (1).
17
Mặt khác BD (SAC) nên BD PC (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra MN BD ;
d(MN,AC) = d(MN, (SAC)) trong đó d(MN,(SAC)) = d(N, (SAC)),
1
d ( N , ( SAC )) d ( B, ( SAC )) ,
2
suy ra
1
d ( MN , AC ) BD
4
.Vậy
d ( MN , AC )
a 2
4
.
Ví dụ 9 (ĐỀ THI ĐH-CĐ KHỐI A NĂM 2012).
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a.Hình chiếu vuông
góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho
HA=2HB.Góc giữa đường thắng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600 . Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.
Lời giải.
S
I
K
M
B
A
H
D
C
Ta có ,góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) là �SCH ,Suy ra �SCH = 600 .Gọi M là
a
6
trung điểm của AB,ta có: MH = MB- HB = .
CH MH 2 CM 2
a 7
a 7
a 21
. SC=2HC=2
;SH=CH.tan 600 =
3
3
3
Dựng điểm D sao cho ABCD là hình thoi ,AD// BC ,vẽ HK vuông góc với AD,
HI vuông góc với SK.Ta có BC//AK và HA=2/3 BA nên d(BC,SA)=d(B,(SAK))
3
2
= d(H,(SAK)) = HI.
Mặt khác, HK= HAsin 600 =
a 7
.
3
Trong tam giác vuông SHK có:
1
1
1
2
2
HI
HS
HK 2
� HI = a 42 . Vậy d(BC,SA) = a 42 .
12
8
18
4. Một số bài tập làm thêm.
Bài 1: (ĐỀ THI ĐH-CĐ KHỐI D NĂM 2008).
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác
vuông,AB=BC=a,cạnh bên AA’=a 2 .Gọi M là trung điểm của cạnh BC .Tính
khoảng cách giữa AM và B’C theo a .
Hướng dẫn và đáp số: Gọi E là trung điểm của BB’ . B’C// (AME) nên
d(AM,B’C) = d(B’C,(AME)) =d (C,(AME)) = d (B ,(AME)) =
a 7
7
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,tâm O. Gọi
M là trung điểm của AB,hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt đáy là trung
điểm của OM,góc giữa mp(SAB) và mặt đáy bằng 600 .Tinh khoảng cách từ O
đến mp(SCD) theo a.
Hướng dẫn và đáp số:
Gọi N là trung điểm của CD � CD ON � CD (SHN ) .Kẻ
OQ SN � OQ ( SCD ) .Kẻ HK SN � d(H,(SCD)) = HK.
d(O,(SCD)) =
2
2
a
d(H,(SCD)) = HK=
3
3
4
Bài 3: : (ĐỀ THI ĐH-CĐ KHỐI D NĂM 2011).
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B,BA=3a,BC = 4a
,mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB=2a 3 và
�SBC 300 . Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) theo a.
Hướng dẫn và đáp số:
Kẻ SH BC � SH ( ABC ) . Kẻ HD AC , HK SD � HK ( SAC ) � HK= d(H,
(SAC)).
d(B,(SAC)) =4 d(H,(SAC)) = 4. HK =
6a 7
.
7
Bài 4: (ĐỀ THI ĐH-CĐ KHỐI B NĂM 2011).
Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật .AB=a,AD = a
3 .Hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABCD) trung với giao
điểm AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng(ADD’A’) và (ABCD) bằng 600 .Tính
khoảng cách từ điểm B’ đến mặt phẳng (A’BD) theo a.
Hướng dẫn và đáp số:
Hạ C CH BD � CH ( A ' BD ) � d(C,(A’BD)) = CH.
19
Ta có,B’C//A’D � B ' C / /( A ' BD) � d ( B ', ( A ' BD)) d (C , ( A ' BD)) CH
a 3
.
2
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,SB=SD.Biết rằng
diện tích tam giác SBD và SAD lần lượt là
3a 2
a 2 17
và
,đồng thời các mặt bên
4
8
là những tam giác nhọn.Tính khoảng cách giữa hai đườn thẳng BC và SD.
Hướng dẫn và đáp số:
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, tam giác SBD cân .nên SO
� SD
3a 2
4
a 26
3a 2
,áp dụng định lý cosin trong tam giác SAD có SA
,do đó
4
4
tam giác SAD cân tại S.
Gọi H là trung điểm của AO � SO AO � SH ( ABCD ) , SH = a ;
d (BC,SD) = d(C,(SAD)) = 4 d( H,(SAD))
Kẻ HM // AB HM AD � AA ( SHM ) .Kẻ ( HN SM � HN (SAD ) .
d(H,(SAD)) = HN ; Vậy d(BC,SD) =
4a 17
.
17
Bài 6: cho hình chóp có đáy là hình vuông tại A và B,mặt phẳng (SCD) hợp
1
với mặt phẳng (ABCD) một góc sao cho cos
.Biết rằng SA= SC = SD,
7
AB = BC= a,AD=2a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AD.
Hướng dẫn và đáp số:
Gọi F là trung diểm của AD ,ta có FA = FD =FC � SF ( ABCD) , �SEF ,
SF = a 3 . Do AD//BC nên
d(SC,AD) = d(AD,(SCB)) = d(A,(SCD)) = d(F,(SBC)).
Kẻ FH vuông góc với SC � FH ( SBC ) � d ( SC , AD) FH
a 3
2
IV.HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
Trong năm học vừa qua ,giảng dạy 2 lớp 11A2, 11A3,ở lớp 11A2 tôi đã áp
dụng dạy hệ thống bài tập này trong phần bài tập khoảng cách,còn ở lớp 11A3
20
- Xem thêm -
.DOC 
22 
159 
61 
