Tài liệu Skkn một vài hướng tạo ra bài toán hệ phương trình mũ và lôgarit mới

MỘT VÀI HƯỚNG TẠO RA BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT MỚI A. ĐẶT VẤN ĐỀ Hệ phương trình mũ và lôgarit là một nội dung được đưa vào giảng dạy trong chương trình toán lớp 12 ở ban nâng cao. Và hệ phương trình mũ và lôgarit lại thường có mặt trong các đề thi tuyển sinh đại học. Trong quá trình giảng dạy phần hệ phương trình mũ và lôgarit, giáo viên thường lấy bài toán có sẵn mà ít khi tự mình tạo ra các bài toán mới. Do đó bài tập được đưa ra có thể không phong phú về thể loại. Đặc biệt trong việc kiểm tra, đánh giá trình độ học sinh nếu giáo viên chỉ dựa vào các bài toán có sẵn thì việc kiểm tra, đánh giá trình độ học sinh sẽ thiếu tính khách quan và chính xác. Ngoài ra tôi nhận thấy sách giáo khoa nói về vấn đề này còn ít, còn nhiều hạn chế. Chưa thực sự giúp cho giáo viên và học sinh định hướng được về vấn đề này trong quá trình dạy và học của mình. Chính vì những lí do trên mà tôi viết đề tài này với mục đích giúp học sinh lớp 12 nâng cao và học sinh luyện thi cao đẳng, đại học có nhiều bài tập tham khảo về dạng toán này để ôn luyện tốt hơn. Qua đó học sinh có định hướng tốt trong quá trình làm các bài toán về dạng này. Đồng thời giúp giáo viên tự mình tạo được những đề toán phục vụ cho việc dạy học, kiểm tra, đánh giá trình độ học sinh của mình. Đề tài này được tôi ấp ủ và hoàn thành trong hai năm. Tuy nhiên trong quá trình viết đề tài có thể không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của quý thầy, cô để đề tài này của tôi được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! 1 B. NỘI DUNG I. CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ I.1 Luỹ thừa 1. Định nghĩa + Luỹ thừa với số mũ nguyên dương : * 1 a n  a14.a2 .a... 43a (a  �, n  � , n  1), a  a. n n a gọi là cơ số, n là số mũ của lũy thừa a . + Luỹ thừa với số mũ nguyên âm n và 0 : + Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ : a 0 =1, a  0 v�a n = 1 , a  0 an . m n n a  a m ( a 0, m �, n �* , n 2) . 0 n + 0 v�0 ( n nguy�n �m) không có nghĩa. a  0,  . 2. Tính chất Cho hai số a, b khác 0; m, n  �. + Các tính chất biểu thị bằng đẳng thức a1  a 1 a n  n a ( n  0) ( a m ) n  a m.n am . an  am  n am  a mn n a ( a .b) n  a n .b n an a  =   bn b  a0  1 n + Các tính chất biểu thị bằng bất đẳng thức - a  1  m  n.  m n a  a 0  a  1  m  n.  m n a  a  am  an  m  n - a  b  0  m  0.  m m a  b a  b  0  m  0.  m m a  b 2  a m  bm    ab * m  � I.2 Căn bậc n n 1. Định nghĩa b a (a �, n �, n 1) + Khi n lẻ, a  � : Tồn tại duy nhất một căn bn n a. a. a  0 : Kh�ng t�n t�i c�n n a  a  0 : C�m�t c�n n 0  0  a  0 : C�hai c�n n a v�  n a + Khi n chẵn  2. Tính chất n  a khi n l� an =   a khi n ch�n m n a= m.n a a2 = a   n n n a. n b= n a.b n a m m = n a m =a n a na = b b I.3 Lôgarit  1. Khái niệm lôgarít  = loga b ۹ a = b. (a,b > 0 ; a 1) Lôgarit thập phân: log10 b  l o g b  lg b . x  1 e  lim 1    2, 7183 x    x Lôgarit tự nhiên: log e b= ln b(b  0) với . 2. Các phép toán và tính chất lôgarit Cho a,b,b1 ,b 2 ,c > 0 ; a,c  1) + Các tính chất biểu thị bằng đẳng thức loga1 = 0 a log a b b logaa = 1 a logb c =c logb a 3 log a b   logab =  logab log a b   log a log a (bc)  log a b  log a c b  log a b  log a c c logb c  loga b   log a b  1 log a b(  0)   log a 1   log a b b loga c  loga b. logb c  loga c loga b (b  1) 1 (b  1)  loga b. logb a  1 logb a + Các tính chất biểu thị bằng bất đẳng thức a  1  bc   log a b  log a c 0  a  1  bc   log a b  log a c  log a b  log a c  b  c  Tổng quát: loga b  loga c  (a  1)(b  c)  0 I.4 Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit (a x ) /  a x ln a  (ex )/  ex (a u ) /  a u ln a.u /  (e u )/  e u .u / ( log a x ) /  1 x ln a 1 1  ( ln x ) /  ; ( ln x ) /  ( x  0) x x ( log a u ) /  u' u ln a  ( ln u ) /  u/ u/ ; ( ln u ) /  ( u  0) u u II. MỘT VÀI HƯỚNG TẠO RA BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT MỚI II.1 Cách giải quyết vấn đề 1. Cách 1 4 - Bước 1: Thiết lập bài toán hệ phương trình đại số quen thuộc hoặc lấy một bài hệ phương trình đại số có sẵn. Ở phạm vi đề tài này ta thường chỉ xét hệ phương trình đại số chỉ có hai biến. - Bước 2: Thay hai biến bằng các hàm số mũ, lôgarit thích hợp để có được bài toán hệ phương trình mũ và lôgarit mới. 2. Cách 2 - Bước 1: Thiết lập một bài toán hệ phương trình mũ và lôgarit ở cách 1. - Bước 2: Sau đó sử dụng các phép toán và tính chất của lũy thừa, căn thức và lôgarit để biến đổi các phương trình của hệ phương trình mũ và lôgarit ở bước 1. Để có được hệ phương trình mũ và lôgarit mới với mức độ khó hơn hệ phương trình mũ và lôgarit ở bước 1. 3. Cách 3 - Bước 1: Dựa vào sự biến thiên của hàm số mũ, lôgarit ta thiết lập một phương trình mũ, lôgarit. Sao cho từ phương trình đó ta được hai biến bằng nhau : - Bước 2: Thiết lập một phương trình mũ, lôgarit một biến thông thường hoặc lấy một bài phương trình mũ, lôgarit một biến đã có sẵn. Rồi bằng cách thay biến để đưa phương trình mũ, lôgarit một biến thành phương trình mũ, lôgarit hai biến. Và cũng có thể lấy một bài phương trình đại số hai biến. Kết hợp hai phương trình ở hai bước ta có hệ phương trình mũ và lôgarit mới. 4. Cách 4 - Bước 1: Dựa vào sự biến thiên của hàm số ta thiết lập một phương trình đại số. Sao cho từ phương trình đó ta được hai biến bằng nhau : 5 - Bước 2: Thiết lập một phương trình mũ, lôgarit một biến thông thường hoặc lấy một bài phương trình mũ, lôgarit một biến đã có sẵn. Rồi bằng cách thay biến để đưa phương trình mũ, lôgarit một biến thành phương trình mũ, lôgarit hai biến. Và cũng có thể lấy một bài phương trình đại số hai biến. Kết hợp hai phương trình ở hai bước ta có hệ phương trình mũ và lôgarit mới. Nhận xét: Bốn cách tạo ra bài toán hệ phương trình mũ và lôgarit mới trên được đưa ra với mức độ thực hiện từ dễ đến khó. Nên các bài toán tạo ra cũng với mức độ từ dễ đến khó. Sau đây ta sẽ lần lượt tạo ra các bài toán hệ phương trình mũ và lôgarit mới bằng bốn cách trên. II.2 Các ví dụ 1. Cách 1 Ở bước 1 ta xét bài toán hệ phương trình đại số thường gặp như: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai hai ẩn, hệ phương trình đối xứng hai ẩn, hệ phương trình đẳng cấp hai ẩn, hệ phương trình hai ẩn giải bằng cách đặt ẩn phụ… Từ đó ta có nhiều bài toán hệ phương trình mũ và lôgarit mới. Sau đây là một số bài toán như vậy. *Ví dụ 1  x  2 y  52  3x  3 y  87 - Bước 1: Ta có bài hệ phương trình bậc nhất hai ẩn sau:  . x x y - Bước 2: Thay hai biến x, y bằng hai hàm số mũ 2 ,3 để có được bài toán hệ phương trình mũ mới sau: 6  2 x  2.3x y  52  x x  y 1  87 . Bài toán 1: Giải hệ phương trình  32  3 Hướng giải x x y Đặt ẩn phụ u  2 , v  3  u  2v  52  3u  3v  87 ta có hệ phương trình  có nghiệm u  2 x 1     v  27  y  2 . *Ví dụ 2 u  v  0  2 2 - Bước 1: Ta có bài hệ phương trình đối xứng sau:  u  v  2 . - Bước 2: Thay hai biến u, v bằng hai hàm số lôgarit lg x,lg y để có được bài toán hệ phương trình lôgarit mới sau:  lg x  lg y  0  2 2 Bài toán 2: Giải hệ phương trình  lg x  lg y  2 . Hướng giải 7 u  v  0  2 2 u  lg x , v  lg y Đặt ẩn phụ ta có hệ phương trình  u  v  2 có nghiệm  u  1   v  1 1  u  1 x    10    v  1  y  10   x  10  1  y   10 . *Ví dụ 3  2u 2  3u  v 2  2  2 2 - Bước 1: Ta có bài hệ phương trình đối xứng sau:  2v  3v  u  2 . x - Bước 2: Thay hai biến u, v bằng hai hàm số 2 ,log 2 y để có được bài toán hệ phương trình mũ và lôgarit mới sau:  22 x 1  3.2 x  log 22 y  2  2x 2 log 22 y  3.log 2 y  2  2  Bài toán 3: Giải hệ phương trình . Hướng giải 2 2  2u  3u  v  2  2 x 2 u  2 , v  log y 2 Đặt ẩn phụ ta có hệ phương trình  2v  3v  u  2 có nghiệm u  1   v  1 u  2  x  0     v  2  y  2 x 1   y 4  x  1  y 4 . 2. Cách 2 8 *Ví dụ 4  u 2  4uv  v 2  1  2 - Bước 1: Ta có bài hệ phương trình đại số sau:  v  3uv  4 . 2 x 1 y 1 - Bước 2: Thay hai biến u, v bằng hai hàm số mũ 4 ,2 và biến đổi để có được bài toán hệ phương trình mũ mới sau:  42 x 2  22 x  y 1  4 y 1  1  2 y 3 2 x2  y 2  3.2 8  Bài toán 4: Giải hệ phương trình . 2 2 Hướng giải 2 x 1 y 1 Đặt ẩn phụ u  4 , v  2 u  1  x  1     v  4  y 1  nghiệm 2 2  u  4uv  v  1  2 ta có hệ phương trình  v  3uv  4 có  x  1   y 1 . *Ví dụ 5  u  2v  0  u  u  v   v . - Bước 1: Ta có bài hệ phương trình đại số sau:  - Bước 2: Thay hai biến u, v bằng hai hàm số lôgarit log 2 x,log 2 y và biến đổi để có được bài toán hệ phương trình lôgarit mới sau: 9  x2  y4  x   log 2 y  log y x Bài toán 5: Giải hệ phương trình  . Hướng giải  u  2v  0  u  u  v   v có Đặt ẩn phụ u  log 2 x, v  log 2 y ta có hệ phương trình   u  4  x  16    v  2 y 4 . nghiệm  *Ví dụ 6  u v 7   1  v u u . v   - Bước 1: Ta có bài hệ phương trình đại số sau:  u uv  v uv  78 . x y - Bước 2: Thay hai biến u, v bằng hai hàm số mũ 5 ,5 và biến đổi để có được bài toán hệ phương trình mũ mới sau:  5x 5y 7  y  x  x y  1 5 5  5  x x y 5 5  5 y 5x  y  78 Bài toán 6: Giải hệ phương trình  . Hướng giải 10  u v 7   1  u u. v  v  x y Đặt ẩn phụ u  5 , v  5 ta có hệ phương trình  u uv  v uv  78 có u  4   v9  nghiệm  u  9  x  log5 4      v  4  y  log5 9  x  log5 9   y  log5 4 . 3. Cách 3 *Ví dụ 7 t - Bước 1: Ta có hàm số f (t )  2  t đồng biến trên R. Do đó ta thiết lập x y một phương trình mũ 2  x  2  y  x  y . - Bước 2: Thiết lập một phương trình lôgarit một biến giải bằng cách đưa 2 về phương trình cơ bản(chuyển về cùng cơ số) lg x  lg x  lg 9 x . Rồi bằng cách thay biến để đưa phương trình lôgarit một biến thành phương 2 trình lôgarit hai biến lg x  lg x  lg 9 y , ta được bài toán sau:  2 x  2 y  y  x  2 Bài toán 7: Giải hệ phương trình  lg x  lg x  lg 9 y . Hướng giải t Ta có hàm số f (t )  2  t đồng biến trên R. 11 x y x y Do đó phương trình 2  2  y  x  2  x  2  y  x  y . Thay vào phương trình thứ hai ta được phương trình lôgarit một biến lg x  lg x 2  lg 9 x  ...  x=3. Vậy x=y=3. Nhận xét: 2 Qua lời giải bài toán trên ta thấy phương trình lg x  lg x  lg 9 x dễ với học sinh. Do đó bài toán dành cho học sinh trung bình khá. x y Ở bước 1 ta có thể thay phương trình 2  2  y  x bằng phương x y trình khác tương tự chẳng hạn 3  3  3 y  3x . Ở bước 2 ta thiết lập một phương trình lôgarit một biến lần lượt theo các phương pháp giải phương trình lôgarit ta sẽ có nhiều bài tập mới. Và cũng có thể thiết lập một phương trình mũ hay một phương trình đại số. Sau đây là các bài tập như thế. t 1  f (t )     t 2 Ngoài ra ở bước 1 nếu ta xét hàm số nghịch biến trên R. x Khi đó ta thiết lập một phương trình mũ y 1 1   x   y x y 2 2 . Và như vậy cùng với bước 2 ta lại có một số bài toán mới mà sẽ được đưa vào phần bài tập đề nghị. 12 Nếu ta thiết lập một phương trình lôgarit một biến giải bằng cách đưa về phương trình cơ bản(chuyển về cùng cơ số) log 2 x  log3 x  log 4 x  log 5 x  0 . Rồi bằng cách thay biến để đưa phương trình lôgarit một biến thành phương trình lôgarit hai biến log 2 x  log 3 y  log 4 x  log5 y  0 , ta được bài toán khó hơn sau: Bài toán 8: Giải hệ phương trình  2 x  2 y  5 y  5x   log 2 x  log 3 y  log 4 x  log5 y  0 . Nếu ta thiết lập một phương trình lôgarit một biến giải bằng cách đưa về phương trình tích log5 x log 7 x  1  log5 x .log7 x . Rồi bằng cách thay biến để đưa phương trình lôgarit một biến thành phương trình lôgarit hai biến log5 x log 7 y  1  log5 x .log7 y , ta được bài toán khó hơn sau: Bài toán 9: Giải hệ phương trình  3x  3 y  3 y  3 x   log5 x log7 y  1  log5 x .log7 y . Nếu ta thiết lập một phương trình lôgarit một biến giải bằng cách đặt ẩn phụ log5 x 5  log52 x  1 x . Rồi bằng cách thay biến để đưa phương trình 13 lôgarit một biến thành phương trình lôgarit hai biến log5 x 5  log52 y  1 x , ta được bài toán khó hơn sau: 2x  2 y  2 y  2x   5 2  log5 x x  log5 y  1 Bài toán 10: Giải hệ phương trình . Nếu ta thiết lập một phương trình lôgarit một biến giải bằng cách đặt ẩn phụ log 2 3 x + 3 log 2 x = 4 3 . Rồi bằng cách thay biến để đưa phương trình lôgarit một biến thành phương trình lôgarit hai biến log 2 3 x + 3 log 2 y = 4 3, ta được bài toán khó hơn sau:  2 x  2 y  3 y  3x   4 3 3  log 2 x + log 2 y = 3 Bài toán 11: Giải hệ phương trình . Nếu ta thiết lập một phương trình lôgarit một biến giải bằng cách sử lgx lg 5 dụng các phép toán lôgarit 5  x  50 . Rồi bằng cách thay biến để đưa phương trình lôgarit một biến thành phương trình lôgarit hai biến 5lgx  y lg 5  50 , ta được bài toán khó hơn sau: 14  5x  5 y  y  x  lgx lg 5 Bài toán 12: Giải hệ phương trình  5  y  50 . Nếu ta thiết lập một phương trình lôgarit một biến giải bằng cách sử 2 dụng hàm số lg( x  x  6)  x  lg( x  2)  4 . Rồi bằng cách thay biến để đưa phương trình lôgarit một biến thành phương trình lôgarit hai biến lg( x 2  x  6)  y  lg( x  2)  4 , ta được bài toán khó hơn sau: x y  5  5  2 y  2 x  2 Bài toán 13: Giải hệ phương trình  lg( x  x  6)  y  lg( x  2)  4 . 2 2 Nếu ta thiết lập một phương trình đại số hai biến x  xy  y  12 , ta được bài toán sau: x y  2  2  y  x  2 2 Bài toán 14: Giải hệ phương trình  x  xy  y  12 . *Ví dụ 8 - Bước 1: Ta có hàm số f (t )  ln t  t đồng biến trên  0;   . Do đó ta thiết lập một phương trình lôgarit ln x  x  ln y  y  x  y . - Bước 2: Thiết lập một phương trình mũ một biến giải bằng cách đưa về x x +1 x +2 x x 1 x 2 phương trình cơ bản(chuyển về cùng cơ số) 2 +2 +2 =3 +3 +3 . 15 Rồi bằng cách thay biến để đưa phương trình mũ một biến thành phương x x +1 x +2 y y 1 y 2 trình mũ hai biến 2 +2 +2 =3 +3 +3 , ta được bài toán sau:  ln x  ln y  y  x  x x +1 x +2 y y 1 y 2 Bài toán 15: Giải hệ phương trình  2 +2 +2 =3 +3 +3 . Hướng giải Ta có hàm số f (t )  ln t  t đồng biến trên  0;   . Do đó phương trình ln x  ln y  y  x  ln x  x  ln y  y  x  y . Thay vào phương trình thứ hai ta được phương trình mũ một biến 2 x +2 x +1 +2 x +2 =3x +3x 1 +3x 2  ...  x =log 2/3 Vậy x =y  log 2/3 13 63 . 13 63 . Nhận xét: Qua lời giải bài toán trên ta thấy phương trình 2 x +2 x +1 +2 x +2 =3x +3x 1 +3x 2 dễ với học sinh. Do đó bài toán dành cho học sinh trung bình khá. Tương tự *Ví dụ 5 ở bước 1 ta có thể thay phương trình ln x  ln y  y  x bằng phương trình khác tương tự chẳng hạn log 2 x  log 2 y  2 y  2 x . 16 Ở bước 2 ta thiết lập một phương trình mũ một biến lần lượt theo các phương pháp giải phương trình mũ ta sẽ có nhiều bài tập mới. Và cũng có thể thiết lập một phương trình lôgarit hay một phương trình đại số. Sau đây là các bài tập như thế. f (t )  log 1 t  t Ngoài ra ở bước 1 nếu ta xét hàm số nghịch biến 2 nghịch biến trên  0;   . Khi đó ta thiết lập một phương trình lôgarit log 1 x  x  log 1 y  y  x  y 2 2 . Và như vậy cùng với bước 2 ta lại có một số bài toán mới mà sẽ được đưa vào phần bài tập đề nghị. Nếu ta thiết lập một phương trình mũ một biến giải bằng cách đưa về x x x phương trình tích 4.3  3.2  12  6 . Rồi bằng cách thay biến để đưa phương trình mũ một biến thành phương trình mũ hai biến 4.3x  3.2 x  12  6 y , ta được bài toán sau:  ln x  ln y  ey  ex  x x y Bài toán 16: Giải hệ phương trình  4.3  3.2  12  6 . Nếu ta thiết lập một phương trình lôgarit một biến giải bằng cách sử  7  3 5 dụng các phép toán mũ x   5. 7  3 5  x  14.2 x . Rồi bằng cách 17 thay biến để đưa phương trình mũ một biến thành phương trình mũ hai biến  7  3 5 x   5. 7  3 5  x  14.2 y , ta được bài toán sau:  ln x  ln y  2 y  2 x x  7  3 5  5. 7  3 5 Bài toán 17: Giải hệ phương trình      x  14.2 y . Nếu ta thiết lập một phương trình mũ một biến giải bằng cách đặt ẩn 2x x phụ 2  2  6  6 . Rồi bằng cách thay biến để đưa phương trình mũ 2x y một biến thành phương trình mũ hai biến 2  2  6  6 , ta được bài toán sau:  log 2 x  log 2 y  y  x  2x y Bài toán 18: Giải hệ phương trình  2  2  6  6 . Nếu ta thiết lập một phương trình mũ một biến giải bằng cách đặt ẩn x x x phụ 6.9  13.6  6.4  0 . Rồi bằng cách thay biến để đưa phương trình x y x mũ một biến thành phương trình mũ hai biến 6.9  13.6  6.4  0 , ta được bài toán sau:  log5 x  log5 y  2 y  2 x  x 6.9  13.6 y  6.4 x  0  Bài toán 19: Giải hệ phương trình . 18 Nếu ta thiết lập một phương trình mũ một biến giải bằng cách sử x x x dụng hàm số 3  4  5 . Rồi bằng cách thay biến để đưa phương trình mũ x x y một biến thành phương trình mũ hai biến 3  4  5 , ta được bài toán sau:  log 2 x  log 2 y  2 y  2 x  x 3  4x  5y  Bài toán 20: Giải hệ phương trình . Nếu ta thiết lập một phương trình đại số hai biến x 2  y 2  6 x  2 y  6  0 , ta được bài toán sau:  log 3 x  log 3 y  3 y  3x  2 x  y2  6x  2 y  6  0 Bài toán 21: Giải hệ phương trình  . 4. Cách 4 Qua các bước thiết lập hệ phương trình mũ và lôgarit mới ở cách 4 ta thấy tương tự như cách 3. Chỉ khác phương trình tạo ra bước 1 là một phương trình đại số. Do vậy tôi chỉ giới thiệu một vài bài, còn lại sẽ đưa vào phần bài tập đề nghị. *Ví dụ 9 19 f (t )  t  - Bước 1: Ta có hàm số một phương trình đại số x 1 t đồng biến trên R*. Do đó ta thiết lập 1 1  y  x y x y . - Bước 2: Thiết lập một phương trình lôgarit một biến giải bằng cách đưa về phương trình cơ bản(chuyển về cùng cơ số) log x 2.log2 ( x  6)  1 . Rồi bằng cách thay biến để đưa phương trình lôgarit một biến thành phương trình lôgarit hai biến log x 2.log 2 ( y  6)  1 , ta được bài toán sau: Bài toán 22: Giải hệ phương trình 1 1  x   y   y x   log 2.log ( y  6)  1  x 2 . Hướng giải Ta có hàm số f (t )  t  Do đó phương trình x 1 t đồng biến trên R*. 1 1 1 1  y  x  y  x y y x x y . Thay vào phương trình thứ hai ta được phương trình lôgarit một biến log x 2.log 2 ( x  6)  1  ...  x=3. Vậy x=y=3. 20