SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Đơn vị: TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH
Mã số: ................................
(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LƯỢNG GIÁC
TRONG ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC
Người thực hiện: Phạm Hữu Danh
Lĩnh vực nghiên cứu: Toán Học.
Năm học: 2011-2012
2
SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên: PHẠM HỮU DANH
2. Ngày tháng năm sinh: 01/02/1986
3. Nam, nữ: Nam
4. Địa chỉ: 177/2 Nguyễn Ái Quốc, phường Tân Biên, Biên Hòa, Đồng Nai
5. Điện thoại: 0904470753
6. E-mail:
[email protected]
7. Chức vụ: Giáo viên
8. Đơn vị công tác: Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân.
- Năm nhận bằng: 2008
- Chuyên ngành đào tạo: Toán học.
III.KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Toán học.
Số năm có kinh nghiệm: 4.
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: 1
“Một số vấn đề cơ bản về lý thuyết chia hết, đồng dư”.
Giáo viên: Phạm Hữu Danh
Một số ứng dụng của lượng giác
3
Tên SKKN
MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LƯỢNG GIÁC
TRONG ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Lượng Giác là một trong những lĩnh vực cơ bản nhất của toán học, đã tồn tại và
tiếp tục phát triển trong hàng ngàn năm qua. Lượng giác không chỉ là một nhánh của
đại số mà còn là một ngành toán học độc lập, có nhiều ứng dụng trong khoa học và
thực tiễn.
Trong khuôn khổ toán phổ thông, lượng giác được giảng dạy vào cuối năm lớp
10 và đầu năm lớp 11 với những chủ đề cơ bản như: Công thức lượng giác, Phương
trình lượng giác và Hệ thức lượng trong tam giác. Tuy nhiên lượng giác xuất hiện trong
nhiều lĩnh vực khác của toán học như: Hình học, Tích phân.
Chuyên đề Một Số Ứng Dụng Của Lượng Giác Trong Đại Số Và Hình Học
nhằm giúp các em học sinh có một cái nhìn khác về chuyên ngành lượng giác. Đó là
việc sử dụng các công thức, tính chất lượng giác để giải quyết các bài toán về đại số và
hình học. Bản thân các bài toán này có thể không liên quan gì tới lượng giác.
Hi vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho thầy cô và các em học sinh có điều kiện
nghiên cứu sâu hơn những điều thú vị trong các phép thế lượng giác.
II. TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
1. Cơ sở lý luận
Những vấn đề cơ bản về lượng giác như công thức lượng giác, phương trình
lượng giác… đều đã được đề cập tới trong chương trình Trung học phổ thông. Tuy
nhiên trong khuôn khổ sách giáo khoa thì những ứng dụng của lượng giác hầu như
không được nhắc đến.
Chuyên đề này được viết nhằm giúp độc giả có thể thấy được những ứng dụng
của lượng giác trong việc giải quyết các bài toán khác. Qua đó rèn luyên kĩ năng tư
duy, phát triển bài toán ở nhiều góc độ khác nhau.
Tài liệu không nhắc lại các công thức lượng giác cơ bản. Độc giả muốn tìm hiểu
tất nhiên phải nắm các tính chất trong chương trình phổ thông.
2. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài
Trong $1, tác giả trình bày những kiến thức chuẩn bị để phục vụ cho việc giải các
bài tập về sau. Trong phần này, các Phép thế lượng giác phổ biến sẽ được đề cập đến.
$2 nói về Một số ứng dụng của lượng giác trong đại số. Các dạng toán cơ bản
như Giải phương trình, Hệ phương trình, Chứng minh bất đẳng thức sẽ được nhắc tới.
Giáo viên: Phạm Hữu Danh
Một số ứng dụng của lượng giác
4
$3 đề cập đến Ứng dụng của lượng giác trong hình học. Bản thân lượng giác
xuất phát từ hình học. Tiêu biểu là Hệ thức lượng trong tam giác. Tài liệu còn đưa ra
một số bài toán hình học phẳng mà có thể giải được bằng công cụ lượng giác.
Do chuyên đề không nhắc lại những kiến thức về lượng giác cơ bản nên tác giả
chủ yếu sẽ đưa ra những bài tập để bạn đọc tham khảo. Các em học sinh cần có những
kiến thức cơ sở về lượng giác để theo dõi những bài tập dưới đây.
III. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
Chuyên đề này đã được áp dụng trong việc giảng dạy cho học sinh khối 10. Hiện
nay tài liệu về phép thế lượng giác không nhiều nên đây có thể là cẩm nang để các em
tra cứu khi cần thiết, qua đó phát triển thêm tư duy toán học của mình.
Nội dung này được truyền đạt tới học sinh trong khoảng 16 tiết. Các bài tập được
trình bày chi tiết trong tiến trình lên lớp và một số bài luyện tập để học sinh nghiên
cứu ở nhà.
Sau khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này, học sinh đã có một cái nhìn vững
chắc hơn về những những ứng dụng của lượng giác. Các em đã thay đổi cách nhìn
lượng giác như một ngành độc lập nhưng đã thấy được sự hữu ích của phép thế lượng
giác. Qua đó thêm tinh thần say mê toán học thông qua những vẻ đẹp vốn có của nó.
IV. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG
Đề tài này có thể áp dụng cho khuôn khổ các trường Trung học phổ thông, đặc
biệt dành cho những học sinh khá giỏi về toán có hứng thú về lượng giác.
Để học sinh thấy được ý nghĩa của các phép thế lượng giác, giáo viên có thể giải
một số bài tập bằng phương pháp thông thường và đối chiếu với cách giải bằng phương
pháp lượng giác.
V.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Tài liệu chuyên toán Đại Số Và Giải Tích – Đoàn Quỳnh, Trần Nam Dũng,
Nguyễn Vũ Lương, Đặng Hùng Thắng - NXB Giáo Dục Việt Nam – 2010.
2. Chuyên đề lượng giác – Huỳnh Công Thái - NXB Đại Học Quốc Gia TP.HCM
- 2005.
3. Tuyển tập 200 bài thi vô địch toán: Lượng Giác – Vũ Dương Thụy, Nguyễn
Văn Nho - NXB Giáo Dục – 2005.
NGƯỜI THỰC HIỆN
(Ký tên và ghi rõ họ tên)
Giáo viên: Phạm Hữu Danh
Một số ứng dụng của lượng giác
5
SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI
Đơn vị .....................................
CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
................................, ngày
tháng
năm
PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học: .....................................
–––––––––––––––––
Tên sáng kiến kinh nghiệm: ..................................................................................................
...............................................................................................................................................
Họ và tên tác giả: .................................................... Chức vụ: .............................................
Đơn vị: ..................................................................................................................................
Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào các ô tương ứng, ghi rõ tên bộ môn hoặc lĩnh vực khác)
- Quản lý giáo dục
- Phương pháp dạy học bộ môn: ...............................
- Phương pháp giáo dục
- Lĩnh vực khác: ........................................................
Sáng kiến kinh nghiệm đã được triển khai áp dụng: Tại đơn vị
Trong Ngành
1. Tính mới (Đánh dấu X vào 1 trong 2 ô dưới đây)
-
Có giải pháp hoàn toàn mới
-
Có giải pháp cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có
2. Hiệu quả (Đánh dấu X vào 1 trong 4 ô dưới đây)
-
Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao
- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng trong
toàn ngành có hiệu quả cao
-
Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao
- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng tại đơn
vị có hiệu quả
3. Khả năng áp dụng (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô mỗi dòng dưới đây)
- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách:
Tốt
Khá
Đạt
- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ đi
vào cuộc sống:
Tốt
Khá
Đạt
- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả
trong phạm vi rộng:
Tốt
Khá
Đạt
Phiếu này được đánh dấu X đầy đủ các ô tương ứng, có ký tên xác nhận của người có
thẩm quyền, đóng dấu của đơn vị và đóng kèm vào cuối mỗi bản sáng kiến kinh nghiệm.
XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN
(Ký tên và ghi rõ họ tên)
Giáo viên: Phạm Hữu Danh
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
(Ký tên, ghi rõ họ tên và đóng dấu)
Một số ứng dụng của lượng giác
6
$1. PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC
I. Hàm Số Lượng Giác Ngược
a) Hàm số
sin : ; 1;1
2 2
x
a y sin x
là một song ánh. Do đó tồn tại hàm số ngược
arcsin : 1;1 ;
2 2
x
a y arcsin x
b) Hàm số
cos : 0;
1;1
x a y cos x
là một song ánh. Do đó tồn tại hàm số ngược
arccos : 1;1
x
0;
a y arccos x
c) Hàm số
tan : ; �
2 2
x
a y tan x
là một song ánh. Do đó tồn tại hàm số ngược
arctan : � ;
2 2
x a y arctan x
d) Hàm số
Giáo viên: Phạm Hữu Danh
Một số ứng dụng của lượng giác
7
cot : 0; �
x a y cot x
là một song ánh. Do đó tồn tại hàm số ngược
arccot : � 0;
x a y arccot x
II. Các Phép Thế Lượng Giác Thường Sử Dụng
1. Một số phép thế lượng giác chung
a) Nếu x a a 0 thì có thể đặt:
x a sin ; 2 ; 2
x a cos ; 0;
Biểu thức áp dụng:
a2 x2 .
2
2
2
b) Nếu x y a thì có thể đặt:
x a sin
; 0;2
y
a
cos
c) Nếu x a thì có thể đặt:
x
Biểu thức áp dụng:
a
a
,x
cos
sin
x2 a2 .
d) Với mọi x đều có thể đặt:
x tan ; ;
2 2
Giáo viên: Phạm Hữu Danh
Một số ứng dụng của lượng giác
8
Biểu thức áp dụng:
x2 a2 ,
x y
1 xy .
2. Một số phép thế lượng giác trong tam giác
a) Nếu xy yz zx 1 thì tồn tại các góc , , sao cho:
x tan , y tan , z tan
2
2
2
b) Nếu x y z xyz thì tồn tại các góc , , sao cho:
x tan , y tan , z tan
Đặc biệt:
Nếu ba số dương x, y, z thỏa xy yz zx 1 thì tồn tại tam giác ABC sao cho:
x tan
A
B
C
, y tan , z tan
2
2
2
Nếu ba số dương x, y, z thỏa x y z xyz thì tồn tại tam giác nhọn ABC thỏa:
x tan A, y tan B, z tan C
Giáo viên: Phạm Hữu Danh
Một số ứng dụng của lượng giác
9
$2. ỨNG DỤNG CỦA LƯỢNG GIÁC TRONG ĐẠI SỐ
I. Chứng Minh Đẳng Thức, Bất Đẳng Thức
Bài 1:
x y x y x x2 y2 x x2 y 2
x
y
Cho
. Chứng minh rằng:
.
Giải
Nếu x=0 thì y=0: đẳng thức hiển nhiên đúng.
Nếu x 0 : chia hai vế cho |x|
2
2
y
y
y
y
1 1 1 1 1 1
x
x
x
x
(1)
y
y
1
cos 0
Vì x
nên có thể đặt x
.
1
1 cos 1 cos 1 sin 1 sin
1 cos 1 cos 1 sin 1 sin
Đẳng thức cuối đúng, ta có điều phải chứng minh.
Bài 2:
Cho a, b, c là các số thuộc khoảng (0;1). Chứng minh:
abc
1 a 1 b 1 c 1.
Giải
x, y, z 0;
2
2
2
2 thỏa: a cos x, b cos y, c cos z .
Vì 0 a, b, c 1 nên tồn tại các góc
Bất đẳng thức trở thành: cos x cos y cos z sin x sin y sin z 1 .
Thật vậy:
cos x cos y cos z sin x sin y sin z cos x cos y sin x sin y cos x y 1 .
Bất đẳng thức ban đầu được chứng minh.
Bài 3:
Giáo viên: Phạm Hữu Danh
Một số ứng dụng của lượng giác
10
2
2
Cho hai số thực x, y thỏa x y 1 . Chứng minh rằng:
16 x 5 y 5 20 x 3 y 3 5 x y
2
.
Giải
Đặt x cos a, y sin a; a 0;2 .
Áp dụng các công thức lượng giác:
cos5a 16cos 5 a 20cos 3 a 5cos a 16 x 5 20 x 3 5 x
sin 5a 16sin 5 a 20sin 3 a 5sin a 16 y 5 20 y 3 5 y
Do đó:
16 x 5 y 5 20 x3 y 3 5 x y sin 5a cos5a 2 sin 5a 2
4
.
Bài 4:
x y 1 x y
P
1 x 1 y . Chứng minh
Cho biểu thức
2
2
2
2
2
2
2
2
P
1
4.
Giải
P
Ta có:
x2
1 x
2
2
y2
1 y
Đặt x tan , y tan thì
2
2
.
sin 2
2x
2y
,sin
2
1 x2
1 y2 .
Do đó:
1
1
P sin 2 2 sin 2 2 sin sin 2 sin 2 sin 2
4
4
cos sin sin cos
1
sin 2 2 sin 2 2
4
Vậy
P
1
4.
Bài 5:
Giáo viên: Phạm Hữu Danh
Một số ứng dụng của lượng giác
11
Cho ba số dương x, y, z thỏa xy+yz+zx=1. Chứng minh:
2x
2y
2z
1
1
1
1 x2 1 y 2 1 z 2
1 x2
1 y2
1 z2 .
Giải
Tồn tại tam giác ABC thỏa:
x tan
A
B
C
, y tan , z tan
2
2
2.
Bất đẳng thức được viết lại:
sin A sin B sin C cos
Ta có:
sin A sin B 2sin
A
B
C
cos cos
2
2
2.
A B
AB
C
cos
2cos
2
2
2.
Tương tự
A
2
B
sin C sin A 2cos
2
sin B sin C 2cos
Cộng ba bất đẳng thức lại ta được điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi:
1
A BC x y z
3
3.
Bài 6:
Cho ba số dương a, b, c thỏa abc+a+c=b. Chứng minh:
2
2
3
10
2
2
2
a 1 b 1 c 1 3 .
Giải
Từ điều kiện của a, b, c suy ra
b
ac
1 ac .
Đặt a tan A, c tan C thì b tan A C .
Bất đẳng thức được viết lại:
Giáo viên: Phạm Hữu Danh
Một số ứng dụng của lượng giác
12
2
2
3
10
2
2
tan A 1 tan A C 1 tan C 1 3
2
Ta có:
2
2
3
2
2
tan A 1 tan A C 1 tan C 1
2
2cos 2 A 2cos 2 A C 3cos 2 C
cos 2 A cos 2 A C 3cos 2 C
2sin 2 A C sin C 3cos 2 C
2 sin C 3 1 sin 2 C
2
10
1 10
3 sin C
3
3
3
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi:
sin 2 A C sin C 0
sin 2 A C 1
sin C 1
3
Bài 7:
Cho ba số dương a, b, c thỏa điều kiện:
1
1
1
2
1
2
2
2
a
1
b
1
c
1
a
1
b
1
c
1
Chứng minh: abc 1 .
Giải
Từ giả thiết, tồn tại các góc nhọn A, B, C thỏa:
cos A
1
1
1
,cos B
,cos C
a 1
b 1
c 1 .
Ta có:
Giáo viên: Phạm Hữu Danh
Một số ứng dụng của lượng giác
13
cos 2 A cos 2 B cos 2 C 2cos A cos B cos C 1
cos A cos B cos C
2
1 cos 2 B 1 cos 2 C
cos A cos B cos C sin B sin C
cos A cos B C
A B C
Vậy A, B, C là ba góc của một tam giác.
1 cos A
1 cos B
1 cos C
a
,b
,c
cos A
cos B
cos C .
Theo cách đặt thì:
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
1 cos A 1 cos B 1 cos C cos A cos B cos C
1 cos A 1 cos B 1 cos C
.
.
cot A cot B cot C
sin A
sin B
sin C
A
B
C
۳ tan tan tan
cot A cot B cot C
2
2
2
A
B
C
۳ tan A tan B tan C cot cot cot
2
2
2
A
B
C
tan A tan B tan C cot cot cot
2
2
2
۳
Để ý rằng:
tan A tan B
sin A B
2sin C
2sin C
C
2cot
cos A cos B cos A B cos A B 1 cos C
2
Tương tự:
A
2
B
tan C tan A 2cot
2
tan B tan C 2cot
Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều, ta được điều phải chứng minh.
Dấu “=” xảy ra khi tam giác ABC đều, tức là a=b=c=1.
LUYỆN TẬP
Bài 8:
Cho các số dương a, b, c, d. Chứng minh:
ab cd
a d b c .
Bài 9:
Giáo viên: Phạm Hữu Danh
Một số ứng dụng của lượng giác
14
2
2
Cho x, y là hai số thỏa 4 x 9 y 25 . Chứng minh: 6 x 12 y 25 .
Bài 10:
Cho ba số dương x, y, z thỏa x+y+z=xyz. Chứng minh rằng:
1
1
1
3
1 x2
1 y2
1 z2 2 .
Bài 11:
Cho ba số dương thỏa xy+yz+zx=1. Chứng minh rằng:
2x
y
z
9
1 x2
1 y2
1 z2 4 .
II. Giải Phương Trình
Bài 12:
2
3
Giải phương trình: 1 x 4 x 3 x .
Giải
Điều kiện: 1 x 1 .
Đặt x cos 0 , ta được phương trình:
3
k 2
2
sin cos3 cos3 cos
k �
2
3 k 2
2
5 3
; ;
8 8 4 .
Đối chiếu điều kiện 0 , ta tính được:
Nghiệm của phương trình ban đầu là:
1
cos
4 2 2
x cos
8
2
2
5
4 2 2
2
2
1 cos
x cos
5
8
x cos
3
2
4
2
Giáo viên: Phạm Hữu Danh
Một số ứng dụng của lượng giác
15
Bài 13:
Giải phương trình: x 2 2 2 x .
Giải
x 2 x 2 0
x 2
2 2 x 0 thì Vế phải không xác định.
Nếu
Do đó x 2;2 . Đặt x 2cos t 0 t . Khi đó:
2 x 2cos
t
2
t
t
2 2 x 2sin 2cos
4
2 4
t
2 2 2 x 2cos
4 8
Phương trình được rút gọn thành:
2
t
cos t cos t
9
4 8
Vậy nghiệm của phương trình là
x 2cos
2
9 .
Bài 14:
Giải phương trình:
x
x
x2 1
35
12 .
Giải
Điều kiện x>1.
1
x
0
sin
2 . Phương trình trở thành:
Đặt
1
1
35
sin cos 12
Giáo viên: Phạm Hữu Danh
Một số ứng dụng của lượng giác
16
Đặt
t sin cos 0 t 2
thì:
7
t 5
2t
35
t 2 1 12
t 5
7
7
sin
cos
5
7
sin cos 12
t
25 .
5 , ta được
Loại nghiệm âm, với
3
sin 5
sin 4
5 . Nghiệm của phương trình là
Do đó
3
x 5
x 4
5.
Bài 15:
5
3
Giải phương trình: x 15 x 45 x 27 0 .
Giải
5
3
Trước hết ta chứng minh công thức: cos5a 16cos a 20cos a 5cos a .
Thật vậy:
cos5a cos 3a 2a cos3a cos 2a sin 3a sin 2a
4cos3 a 3cos a 2cos 2 a 1 3sin a 4sin 3 a 2sin a cos a
Khai triển và thu gọn, đưa tất cả về cosa ta được điều phải chứng minh.
Ta tìm nghiệm của phương trình ban đầu thỏa: x 2 3 .
Đặt x 2 3 cos t 0 t . Phương trình trở thành:
288 3 cos5 t 360 3 cos 3 t 90 3 cos t 27 0
2 16cos5 t 20cos3 t 5cos t 3 0
cos5t cos
Giáo viên: Phạm Hữu Danh
k 2
t
k �
6
30
5
Một số ứng dụng của lượng giác
17
2 3;2 3
là:
Vậy ta tìm được 5 nghiệm trên đoạn
k 2
2 3 cos
5
30
; k 0,1,2,3,4
.
Phương trình bậc năm có tối đa 5 nghiệm nên đó cũng chính là tất cả các nghiệm.
Bài 16:
3
Cho a
1. Khi đó z 4 x 3 x 1 (vô lý).
3
Giả sử x là số nhỏ nhất và x<-1. Khi đó z 4 x 3 x x (vô lý).
Do đó x 1 . Tương tự y , z 1 .
Đặt x cos 0 . Sử dụng công thức nhân ba ta được:
z cos3 , y cos9 , x cos 27 .
k
; k 0;1;...;13
13
cos cos 27
k ; k 1;2;...;13
14
Ta có:
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình:
k
k
;
k
0;1;...;13
,
; k 1;2;...;13
S cos ;cos3 ;cos9
13
14
với
.
Bài 20:
Giải hệ phương trình sau:
Giáo viên: Phạm Hữu Danh
Một số ứng dụng của lượng giác
19
1
1
1
3 x 4 y 5 z
x
y
z
xy yz zx 1
.
Giải
x
3 x 1
2
Ta có:
y
4 y 1
2
z
5 z 1
2
. Do đó x, y, z cùng dấu.
Nếu (x,y,z) là nghiệm thì (-x,-y,-z) cũng là nghiệm. Ta tìm nghiệm dương của hệ.
A
B
C
x tan , y tan , z tan
2
2
2.
Tồn tại tam giác ABC sao cho:
sin a
Áp dụng công thức
2 tan
a
2
1 tan 2
sin A sin B sin C
a
4
5 .
2 ta có: 3
Kết hợp định lý sin ta được ABC là tam giác vuông tại C và
Ta tính được:
tan
C
3
4
,sin A ,sin B
2
5
5.
A 1
B 1
C
, tan , tan 1
2 3
2 2
2
.
1 1 1 1
; ;1, ; ; 1
.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là 3 2 3 2
Bài 21:
Giả sử x, y, z là nghiệm của hệ phương trình:
x y 4 y
y z 4 z
z x 4 x
.
Tìm tất cả các giá trị mà S=x+y+z có thể nhận.
Giải
Cộng ba phương trình lại ta được:
x y z 4 x y z x 2 y 2 z 2 3S x 2 y 2 z 2
Suy ra S 0 nên trong ba số x, y , z phải có ít nhất một số không âm.
Giáo viên: Phạm Hữu Danh
Một số ứng dụng của lượng giác
20
0 4 y
Giả sử x
y2
0
0
y 4.
Tương tự ta cũng chứng minh được: 0 x, z 4 .
Đặt
x 4sin 2 a;0 a
2.
Thay vào phương trình thứ ba:
Thay vào phương trình thứ hai:
z 4sin 2 a 4 4sin 2 a 16sin 2 a cos 2 a 4sin 2 2a
y 4sin 2 2a 4 4sin 2 2 a 4sin 2 4a
Thay vào phương trình thứ nhất:
.
.
z 4sin 2 4a 4 4sin 2 4a 4sin 2 8a
.
2
2
Ta có: sin a sin 8a cos 2a cos16a 16a 2a k 2 .
k
16a 2a k 2 a
; k 0;1;2;3
7
TH1:
.
Nếu k=0 thì a=0: S=0.
Nếu k=1;2;3 thì:
2
3
S 4 sin 2 sin 2
sin 2
7
7
7
TH2:
16a 2a k 2 a
2
6
3 1
cos
cos 7
4 cos
7
7
7
2 2
.
k
; k 0;1;2;3;4
9
Nếu k=0 thì a=0: S=0.
Nếu k=1;2;4 thì:
2
4
S 4 sin 2 sin 2
sin 2
9
9
9
2
4
8
3
4
cos
cos
cos
6
2
9
9
9
.
Nếu k=3 thì:
2
4
S 4 sin 2 sin 2
sin 2
3
3
3
2
4
8
3
cos
cos 9
4 cos
3
3
3
2
.
Bài 22:
Trong các nghiệm (x;y;z;t) của hệ phương trình:
Giáo viên: Phạm Hữu Danh
Một số ứng dụng của lượng giác