Một sốố ứng dụng của lượng giác
ThS: Phan Thị Thái Hòa
Trang 1
Một sốố ứng dụng của lượng giác
ThS: Phan Thị Thái Hòa
Trang 2
Một sốố ứng dụng của lượng giác
ThS: Phan Thị Thái Hòa
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Lượng giác là một nhánh của toán học để tìm hiểu về tam giác và sự
liên hệ giữa cạnh và góc của nó. Ban đầu lượng giác xuất phát từ Hình học,
nhưng khi “càng lớn lên” chúng lại khoác cho mình chiếc áo của Đại số và
Giải tích. Vì vậy mà ứng dụng của nó cũng vô cùng phong phú. Việc phát
hiện các ứng dụng đa dạng của lượng giác luôn là vấn đề khó và hấp dẫn.
Thông thường những bài toán đại số, số học, hình học thì được giải bằng
“chất liệu” tương ứng là đại số, số học, hình học. Nhưng có những dạng toán
nếu giải thuần bằng những phương pháp này thì sẽ gặp không ít khó khăn nếu
như không muốn nói là bế tắt. Tuy nhiên, nếu chúng ta phát hiện được bản
chất của lượng giác được biểu hiện trong những bài toán đó thì lượng giác trở
thành một công cụ rất đắc lực và hữu hiệu. Bên cạnh đó, thông qua chuyên đề
này tôi muốn giới thiệu “lượng giác dưới góc nhìn khác” để cho thấy lượng
giác có vẽ đẹp, tầm quan trọng và là công cụ đa năng trong giải toán.
Để nâng cao hiệu quả dạy học phần lượng giác ở THPT không những
đưa ra những bài tập lượng giác thuần túy mà quan tâm đến việc chuyển đổi
ngôn ngữ đại số, giải tích và hình học sang lượng giác.
Với những lí do nêu trên mà chuyên đề mang tên “Một số ứng dụng
của lượng giác” .
Chuyên đề được chia thành 4 phần:
Phần thứ nhất: Mở đầu.
Phần thứ hai: Kiến thức chuẩn bị.
Phần thứ ba: Một số ứng dụng của lượng giác.
Phần thứ tư: Kết luận
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Giúp học sinh có cái nhìn toàn diện và hệ thống việc ứng dụng lượng giác
trong đại số, số học, giải tích và trong hình học.
Trang 3
Một sốố ứng dụng của lượng giác
ThS: Phan Thị Thái Hòa
-
Xây dựng hệ thống các ví dụ minh họa, các bài tập tự giải được sử dụng
phương pháp lượng giác nhằm nâng cao trình độ tư duy và kỹ năng giải
-
toán cho học sinh.
Giúp bản thân và đồng nghiệp nâng cao trình độ chuyên môn, đổi mới
phương pháp có hiệu quả.
III. ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU
- Đối tượng nghiên cứu: Thông qua các bài toán tích phân, dãy số, phương
-
trình, hệ phương trình, tính góc và cạnh của tam giác, nhận dạng tam giác.
Phạm vi nghiên cứu: Trong chương trình sách giáo khoa toán hiện hành và
trong nội dung đề thi CĐ-ĐH, đề thi học sinh giỏi các cấp, đề thi học sinh
giỏi máy tính cầm tay.
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Nghiên cứu tài liệu, sách và báo liên quan đến đề tài.
- Điều tra và khảo sát thực tế học sinh.
- Trao đổi cùng đồng nghiệp trong và ngoài tổ chuyên môn.
- Tích lũy, đúc kết và rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy.
IV. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
1)
Khó khăn:
Do khối lượng công thức lượng giác là khá nhiều và học sinh
không hiểu bản chất của lượng giác. Vì vậy khi gặp các bài toán lượng
giác học sinh thường ngán, ngại bỏ qua. Đó là chưa nói đến ứng dụng của
lượng giác.
Điều đáng nói là cho đến nay vẫn thiếu những tài liệu ứng dụng
của lượng giác trong đại số, giải tích và trong hình học, nếu có cũng chưa
có tính hệ thống. Hơn nữa, học sinh chưa có thói quen tự học, tự nghiên
cứu.
Trang 4
Một sốố ứng dụng của lượng giác
ThS: Phan Thị Thái Hòa
2)
Số liệu thống kê: Sau đây là kết quả kiểm tra 60 phút tự luận của 2
lớp
12 trong năm học 2013-2014 (trước khi áp dụng SKKN ).
I. Công thức lượng giác
1.1 Bảng giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt.
cos
cosα
cos
cos
sin
sin
sin
sin
sinα
sin
cos
cosα
tan
tan
tan
tanα
cot
cot
cot
cot
cot
cotα
tan
tan
Góc
GTLG
2
2
1.2 Hằng đẳng thức lượng giác
sin x cos x 1
2
2
tan x.cot x 1 x
k
, k Z
2
tan x
sin x
x k , k Z
cos x
2
1 cot 2 x
1
x k , k Z
sin 2 x
cot x
cos x
x k , k Z
sin x
1 tan 2 x
1
x k , k Z
2
2
cos x
Trang 5
Một sốố ứng dụng của lượng giác
ThS: Phan Thị Thái Hòa
1.3 Công thức cộng
sin a b sin a cos b cos a sin b
tan a b tan a tan b
cos a b cos a cos b msin a sin b
cot a b cot a cot b m1
cot b cot a
1 mtan a tan b
1.4 Công thức nhân
a. Công thức nhân đôi
sin 2 x 2sin x.cos x
cos 2 x cos2 x sin 2 x 2cos 2 x 1 1 2sin 2 x
tan 2 x
2tan x
1 tan 2 x
b. Công thức nhân ba
sin3x 3sin x 4 sin 3 x
cos3x 4 cos 3 x 3cos x
tan3x
3tan x tan 3 x
1 3tan 2 x
1.5 Công thức tính theo
2t
sin x
1 t 2 ;
t tan x
2
1 t 2
cos x
1 t 2 ;
1.6 Công thức hạ bậc
Trang 6
tan x
2t
1 t 2 .
Một sốố ứng dụng của lượng giác
ThS: Phan Thị Thái Hòa
sin 2 x 1 cos 2 x
2
;
cos2 x 1 cos 2 x
2
;
tan 2 x 1 cos 2 x
1 cos 2 x .
1.7 Công thức biến đổi tổng thành tích
cos a cos b 2 cos
sin a sin b 2 sin
ab
a b
. cos
2
2
cos a cos b 2 sin
a b
a b
. cos
2
2
sin a sin b 2 cos
a b
a b
.sin
2
2
ab
a b
.sin
2
2
1.8 Công thức biến đổi tích thành tổng
1
cos a. cos b cos a b cos a b
2
1
sin a.sin b cos a b cos a b
2
1
sin a. cos b sin a b sin a b
2
II. Một số dấu hiệu chuyển bài toán qua dạng lượng giác.
Do số lượng các công thức lượng giác là rất nhiều, nên khi chuyển bài
toán qua lượng giác thì đòi hỏi học sinh phải nắm vững các công thức lượng
giác, kĩ thuật biến đổi, tính tuần hoàn và tính bị chặn của các hàm số lượng
giác. Hơn nữa trong bài toán phải có dấu hiệu đặc trưng của lượng giác về
biểu thức, đẳng thức hoặc biến x tham gia trong bài toán. Sau đây là một số
dấu hiệu cơ bản.
2.1 Nếu
x a
x a sin t , t ;
2 2 hoặc x a cos t , t 0;
, ta đặt
Trang 7
Một sốố ứng dụng của lượng giác
ThS: Phan Thị Thái Hòa
2.2 Nếu
x a a 0
, ta đặt
x
x
2.3 Nếu x
�, ta đặt
a
sin t
hoặc
, t ;
cos t
2 2
a
x a tan t , t
2.4 Nếu bài toán có chứa đẳng thức
f ( x) cos t
g ( x) sin t hoặc
, t 0;
;
2 2 hoặc
f 2 x g 2 x 1
x a cot t , t 0;
, thì có thể đặt
g ( x) cos t
f ( x) sin t
2
2
2.5 Nếu bài toán chứa biểu thức a x thì có thể đặt:
x | a | sin t , t ,
2 2 hoặc x | a | cos t , t 0,
2.6 Nếu bài toán chứa biểu thức
x
|a|
, t
sin t
x 2 a 2 thì có thể đặt:
|a|
x
, t 0, \
2 , 2 \ 0
cos t
2
hoặc
2
2
2.7 Nếu bài toán chứa biểu thức a x thì có thể đặt:
Trang 8
Một sốố ứng dụng của lượng giác
ThS: Phan Thị Thái Hòa
x | a | tan t , t ,
2 2 hoặc x | a | cot t , t 0, .
2.8 Nếu bài toán chứa biểu thức
hoặc
ax
a x thì có thể đặt: x a cos 2t , t 0;
ax
x a cos 2t , t 0; \
a x thì đặt
2 .
2.9 Nếu bài toán chứa biểu thức ( x a)(b x) thì có thể đặt:
x a b a sin 2 t , t 0;
x y
x y
2x
2x
2
2
2.10 Nếu bài toán chứa biểu thức 1 xy hoặc 1 xy hoặc 1 x hoặc 1 x
1 x2
3x x3
2
2
hoặc 1 x hoặc 1 3x …thì ta có thể đặt
2.11 Nhận xét
Với hàm số sin
2
2
● 1 2x 1 2sin cos 2
Trang 9
x tan
y tan
,
;
2 2 .
Một sốố ứng dụng của lượng giác
ThS: Phan Thị Thái Hòa
●
1 1 x2 1 1 sin 2 sin 4 cos 4
2
2
2
2
3
3
● 3x 4 x 3sin 4sin sin 3
●
1 3 x2 1 3 sin 2 sin 6 cos6
4
4
2
2
5
3
5
3
● 16 x 20 x 5 x 16 sin 20 sin 5sin sin 5
Với hàm số cos
2
2
● 2 x 1 2cos 1 cos 2
3
3
● 4 x 3x 4cos 3cos cos3
3 3x 2cos 3 3 2cos 8cos3 6cos 2.cos3
x
●
4
2
4
2
● 8 x 8 x 1 8 cos 8 cos 1 cos4
5
3
5
3
● 16 x 20 x 5x 16 cos 20 cos 5cos cos5
6
4
2
6
4
2
● 32 x 48 x 18 x 1 32 cos 48 cos 18cos 1 cos6
III. Phương trình bậc ba.
Phương trình là một dạng toán cơ bản nhưng cũng rất quan trọng trong
lĩnh vực đại số. Chúng ta làm quen với các bài toán về phương trình từ những
ngày đầu học toán. Ở cấp tiểu học, chúng ta được biết đến những bài toán tìm
x…, những năm ở THCS bài toán về phương trình bậc nhất, phương trình bậc
hai, phương trình vô tỉ được xây dựng, Hiện nay, việc giải và biện luận
phương trình bậc nhất, bậc hai đã trở nên rất quen thuộc đối với học sinh ở
cấp THPT. Học sinh cũng có dịp làm quen với phương trình bậc ba, phương
trình bậc bốn, tuy nhiên việc giải và biện luận phương trình bậc ba tổng quát
Trang 10
Một sốố ứng dụng của lượng giác
ThS: Phan Thị Thái Hòa
chưa được trình bày trong chương trình THPT. Tôi xin giới thiệu cách giải và
biện luận phương trình bậc ba dạng tổng quát.
3
2
a
x
b
x
c1x d1 0 a1 0
1
1
Phương trình bậc ba dạng tổng quát:
3
2
mọi phương trình (*) đều đưa về dạng chuẩn tắc x ax bx c 0 .
Giải và biện luận phương trình:
Lời giải: Đặt
x y
t 3 at 2 bt c 0 (1)
a
3 . Khi đó phương trình (1) có thể viết dưới dạng
3
2
a
a
a
y 3 a y 3 b y 3 c 0
a2
a 3 ab
p
b q c
3
3
27 3
Tương đương y py q (2) . Trong đó
,
Nếu p = 0 thì phương trình (2) có nghiệm duy nhất
y3q
Nếu p > 0 thì ta đưa phương trình về dạng Bài toán 1 hoặc Bài toán 2
bằng cách đặt
y 2t
p
3 ta thu được phương trình dạng
4t 3 3t m, với
+ Nếu
m 1
m
3 3q
2p p
(3)
thì ta đặt m = cos α và phương trình (2) có 3 nghiêm
t1 cos
3 ;
t2,3 cos
2
3
Trang 11
Một sốố ứng dụng của lượng giác
ThS: Phan Thị Thái Hòa
1
1
m d 3 3
m 1
2
d thì phương trình có nghiêm duy
+ Nếu
thì đặt
1
1 1
t d 3 m m2 1 3 m m2 1
2
d 2
nhất là
Nếu p < 0 thì đặt
y 2t
p
3 ta sẽ được phương trình 4t 3 3t m
1
1
m d 3 3
2
d với d 3 m
Đặt
m 2 1 .
1
t 3 m m2 1 3 m m2 1
Khi đó phương trình có nghiệm duy nhất 2
Từ nghiệm t ta tính được nghiệm y và từ đó suy ra nghiệm x
x2
p 1 3
a
m m2 1 3 m m2 1
3 2
3.
I.V Công thức, định lý trong hình học phẳng
Trong tam giác ABC ta ký hiệu:
a, b, c tương ứng là độ dài các cạnh BC , AC , AB
S là diện tích , p là nửa chu vi tam giác ABC
ha , hb , hc tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ A , B , C
ma , mb , mc tương ứng là độ dài các đường trung tuyến kẻ từ A , B , C
Trang 12
Một sốố ứng dụng của lượng giác
ThS: Phan Thị Thái Hòa
R , r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.
4.1 Định lý hàm số sin
a
b
c
2R
sin A sin B sin C
4.2 Định lý hàm số cos :
a 2 b 2 c 2 2bc cos A
b 2 a 2 c 2 2ac cos B
c 2 a 2 b 2 2ab cos C
4.3 Độ dài đường trung tuyến :
ma
2c 2 2b 2 a 2
2
4.4 Độ dài đường cao :
ha b.sin C c.sin B
a.sin B.sin C
sin A
;
ha
2S
a .
4.5 Diện tích tam giác :
S
p p a p b p c
1
a 2 .sin B.sin C
S a.ha
2
2sin A
S
abc
abc
R
4R
4S
S 2 R 2 .sin A.sin B.sin C .
1
1
1
S .a.b.sin C .b.c.sin A .a.c.sin B
2
2
2
V Đẳng thức lượng giác trong tam giác
Trang 13
Một sốố ứng dụng của lượng giác
ThS: Phan Thị Thái Hòa
sin A B sin C
cos A B cos C
tan A B tan C
cot A B cot C
sin
A B
C
cos
2
2
cos
A B
C
sin
2
2
tan
A B
C
cot
2
2
cot
A B
C
tan
2
2 .
I. Trong chương trình toán học THPT, dãy số là một phần quan trọng của Đại
số & Giải Tích 11, học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toán
liên quan đến dãy số như tính giới hạn hay xác định công thức số hạng tổng
2
quát của dãy số. Khi gặp các con số đặc biệt 2
;
3 1
2
; ; 2 ; 3 ...
2
có liên quan
đến các giá trị lượng giác thì ta cũng phải nghĩ đến việc sử dụng công cụ
lượng giác để giải chúng. Dưới đây là một số ví dụ ứng dụng của lượng giác
trong dãy số.
3
u1
2
u
u 4un31 3un 1 , n 2
Bài 1.1 Cho dãy số n có n
Trang 14
Một sốố ứng dụng của lượng giác
ThS: Phan Thị Thái Hòa
Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số
un .
Bài giải
Nhận xét: Từ công thức truy hồi của dãy, gợi nhớ đến công thức nhân ba của
3
hàm số cosin, bên cạnh đó số 2 có liên hệ với giá trị lượng góc đặc biệt.
Ta có
u1
3
cos
2
6
u2 4cos3
3
3 cos cos
6
6
6
u3 4cos3
3.
3.
32
3 cos
cos
6
6
6
Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được
Bài 1.2 Cho dãy số
un
un cos
3n 1
6
3
u1
2
u 2 u 2 , n 2
n 1
có n
Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số
un .
Bài giải
Nhận xét: Bài toán giấu đi tính lượng giác rất khéo, quan sát từ công thức
truy hồi của dãy, ta tạo ra công thức nhân đôi của hàm số cosin.
Vì vậy, đặt
3
cos , ;
4
2
Trang 15
Một sốố ứng dụng của lượng giác
ThS: Phan Thị Thái Hòa
Khi đó
3
u1 2 2cos
4
u2 2 1 2cos2 2cos 2
u3 2 1 2cos2 2 2cos 4
Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được
un 2 cos 2n1
u1 3
u un 2 1 , n 1
n1 1 2 u 1
n
u
Bài 1.3 Cho dãy số n có
. Tính
u2015
( Trích đề thi Olympic 30/40/2003)
Bài giải
Nhận xét: Quan sát từ công thức truy hồi của dãy, ta chú ý đến 2 công thức
sau
tan
Ta có
π
= 2 -1
tan a b tan a tan b
3 tan
8
1 tan a tan b , ngoài ra
3
và
u1 3 tan
3
tan tan
3
8 tan
u2
3 8
1 tan . tan
3
8
Trang 16
Một sốố ứng dụng của lượng giác
ThS: Phan Thị Thái Hòa
tan tan
8
3 8
u3
tan 2
8
3
1 tan . tan
8
3 8
un tan n 1
3
Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được
Vậy
3
u2015 tan 2014 tan 2 3
3
8
3
4
u0 1
1
u1
2
u un 1 un
u
u
Bài 1.4 Cho dãy số n có : n 2
. Tính 2015
Bài giải
Cách 1: Ta có
3
1
u1 cos cos 1
2
3
3
1
u2 u1 u0 cos 2
2
3
u0 1 cos 0 cos 0
Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được
Vậy
u2015 cos
un cos
2015
1
cos 672
3
3 2.
Trang 17
n
3
8
Một sốố ứng dụng của lượng giác
ThS: Phan Thị Thái Hòa
Cách 2: Sử dụng phương trình sai phân tuyến tính bậc hai để tìm số hạng
tổng quát
● Phương trình đặc trưng 1 0 có nghiệm phức
2
1,2
1 i 3
2
1
3
1
A ; B ; r 1; arctan
2
2
3 3
Ta có
công thức số hạng tổng quát của dãy số có dạng
un C1.cos
C1 cos 0 C2 sin 0 0
1
C1 cos C2 sin
3
3 2
● C1 , C2 là nghiệm của hệ phương trình
Vậy
un cos
n
n
C2 .sin
3
3
C 1
1
C2 0
n
2015 1
u2015 cos
3 . Do đó
3
2.
Bài 1.5 Cho dãy số
un
n
lim un
có un 2 2 2 ... 2 . Tìm n .
Bài giải
Ta có
2 2cos
4
2 2 2 2cos
2 1 cos 2 cos 2 cos 3
4
4
8
2
Trang 18
Một sốố ứng dụng của lượng giác
ThS: Phan Thị Thái Hòa
2 2 2 2 1 cos
2 cos 4
2 cos
8
16
2
Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được
Suy ra
Vậy
2 ... 2 2 cos
2n1
2 2 ... 2 2 1 cos n1 2 sin n2
2
un 2n1 sin
2
2n 2
sin
2n 2
lim un lim 2n1 sin n 2 lim
n
n
2 n 2
2n 2
Do dó
① Cho hai dãy số
2
.
an , bn được xác định như sau
2015 2016
a
1
2
a a1 b1
2
2
...
a an 1 bn1
n
2
và
b1 2016 a1
b2 a2 b1
...
a , lim bn
bn an bn1 . Tính nlim
n
n
.
u0 2000
1
an3
u
u
n
n
1
2
lim
un
u
② Cho dãy số n được xác định như sau
. Tính n n .
Trang 19
Một sốố ứng dụng của lượng giác
ThS: Phan Thị Thái Hòa
u1 2
lim
u 2 un , n 1
un
③ Cho dãy sốố
có n1
. Tìm n
④ Cho dãy số
④Cho dãy số
un
vn
1
u1
2
u 2u 2 1 , n 2
n 1
có : n
. Tính
un
u2016
v1 1
v vn 2 1 , n 1
n1 1 2 v 1
n
có:
. Tính
.
v2016
1
u
1
2
2 2 1 un21
, n 2
un
u
2
④ Cho dãy số n có
Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số
un .
1
u1 3
u u 1 u 2 , n 1
un
n 1
n 1
④ Cho dãy số
có n
Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số
④ Cho dãy số
un
un .
u0 2
v0 1
u 2un .vn
n 1 un vn
v un 1.vn
v
và n có : n 1
. Tính
Trang 20
v2015 và u2016
- Xem thêm -