Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Giáo dục - Đào tạo Toán học Skkn một số ứng dụng của lượng giác....

Tài liệu Skkn một số ứng dụng của lượng giác.

.DOC
61
1080
116

Mô tả:

Một sốố ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa Trang 1 Một sốố ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa Trang 2 Một sốố ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Lượng giác là một nhánh của toán học để tìm hiểu về tam giác và sự liên hệ giữa cạnh và góc của nó. Ban đầu lượng giác xuất phát từ Hình học, nhưng khi “càng lớn lên” chúng lại khoác cho mình chiếc áo của Đại số và Giải tích. Vì vậy mà ứng dụng của nó cũng vô cùng phong phú. Việc phát hiện các ứng dụng đa dạng của lượng giác luôn là vấn đề khó và hấp dẫn. Thông thường những bài toán đại số, số học, hình học thì được giải bằng “chất liệu” tương ứng là đại số, số học, hình học. Nhưng có những dạng toán nếu giải thuần bằng những phương pháp này thì sẽ gặp không ít khó khăn nếu như không muốn nói là bế tắt. Tuy nhiên, nếu chúng ta phát hiện được bản chất của lượng giác được biểu hiện trong những bài toán đó thì lượng giác trở thành một công cụ rất đắc lực và hữu hiệu. Bên cạnh đó, thông qua chuyên đề này tôi muốn giới thiệu “lượng giác dưới góc nhìn khác” để cho thấy lượng giác có vẽ đẹp, tầm quan trọng và là công cụ đa năng trong giải toán. Để nâng cao hiệu quả dạy học phần lượng giác ở THPT không những đưa ra những bài tập lượng giác thuần túy mà quan tâm đến việc chuyển đổi ngôn ngữ đại số, giải tích và hình học sang lượng giác. Với những lí do nêu trên mà chuyên đề mang tên “Một số ứng dụng của lượng giác” . Chuyên đề được chia thành 4 phần:  Phần thứ nhất: Mở đầu.  Phần thứ hai: Kiến thức chuẩn bị.  Phần thứ ba: Một số ứng dụng của lượng giác.  Phần thứ tư: Kết luận II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Giúp học sinh có cái nhìn toàn diện và hệ thống việc ứng dụng lượng giác trong đại số, số học, giải tích và trong hình học. Trang 3 Một sốố ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa - Xây dựng hệ thống các ví dụ minh họa, các bài tập tự giải được sử dụng phương pháp lượng giác nhằm nâng cao trình độ tư duy và kỹ năng giải - toán cho học sinh. Giúp bản thân và đồng nghiệp nâng cao trình độ chuyên môn, đổi mới phương pháp có hiệu quả. III. ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU - Đối tượng nghiên cứu: Thông qua các bài toán tích phân, dãy số, phương - trình, hệ phương trình, tính góc và cạnh của tam giác, nhận dạng tam giác. Phạm vi nghiên cứu: Trong chương trình sách giáo khoa toán hiện hành và trong nội dung đề thi CĐ-ĐH, đề thi học sinh giỏi các cấp, đề thi học sinh giỏi máy tính cầm tay. IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu tài liệu, sách và báo liên quan đến đề tài. - Điều tra và khảo sát thực tế học sinh. - Trao đổi cùng đồng nghiệp trong và ngoài tổ chuyên môn. - Tích lũy, đúc kết và rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy. IV. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN ĐỀ TÀI 1) Khó khăn: Do khối lượng công thức lượng giác là khá nhiều và học sinh  không hiểu bản chất của lượng giác. Vì vậy khi gặp các bài toán lượng giác học sinh thường ngán, ngại bỏ qua. Đó là chưa nói đến ứng dụng của lượng giác. Điều đáng nói là cho đến nay vẫn thiếu những tài liệu ứng dụng  của lượng giác trong đại số, giải tích và trong hình học, nếu có cũng chưa có tính hệ thống. Hơn nữa, học sinh chưa có thói quen tự học, tự nghiên cứu. Trang 4 Một sốố ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa 2) Số liệu thống kê: Sau đây là kết quả kiểm tra 60 phút tự luận của 2 lớp 12 trong năm học 2013-2014 (trước khi áp dụng SKKN ). I. Công thức lượng giác 1.1 Bảng giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt.          cos cosα  cos   cos  sin   sin  sin  sin  sinα  sin  cos  cosα tan  tan   tan  tanα cot   cot  cot  cot   cot  cotα tan   tan  Góc GTLG 2 2 1.2 Hằng đẳng thức lượng giác  sin x  cos x  1 2 2 tan x.cot x  1 x   k  , k  Z 2  tan x   sin x    x   k , k  Z  cos x  2  1  cot 2 x  1  x  k , k  Z  sin 2 x cot x  cos x  x  k , k  Z  sin x 1  tan 2 x   1   x   k , k  Z  2  2 cos x   Trang 5 Một sốố ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa 1.3 Công thức cộng sin  a  b   sin a cos b  cos a sin b tan  a  b   tan a  tan b cos  a  b   cos a cos b msin a sin b cot  a  b   cot a cot b m1 cot b  cot a 1 mtan a tan b 1.4 Công thức nhân a. Công thức nhân đôi sin 2 x  2sin x.cos x cos 2 x  cos2 x  sin 2 x  2cos 2 x 1  1  2sin 2 x tan 2 x  2tan x 1  tan 2 x b. Công thức nhân ba sin3x  3sin x  4 sin 3 x cos3x  4 cos 3 x  3cos x tan3x  3tan x  tan 3 x 1  3tan 2 x 1.5 Công thức tính theo 2t sin x  1 t 2 ; t  tan x 2 1 t 2 cos x  1 t 2 ; 1.6 Công thức hạ bậc Trang 6 tan x  2t 1 t 2 . Một sốố ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa sin 2 x  1  cos 2 x 2 ; cos2 x  1  cos 2 x 2 ; tan 2 x  1  cos 2 x 1  cos 2 x . 1.7 Công thức biến đổi tổng thành tích cos a  cos b  2 cos sin a  sin b  2 sin ab a b . cos 2 2 cos a  cos b  2 sin a b a b . cos 2 2 sin a  sin b  2 cos a b a b .sin 2 2 ab a b .sin 2 2 1.8 Công thức biến đổi tích thành tổng 1 cos a. cos b  cos  a  b   cos  a  b   2  1 sin a.sin b   cos  a  b   cos  a  b   2  1 sin a. cos b  sin  a  b   sin  a  b   2  II. Một số dấu hiệu chuyển bài toán qua dạng lượng giác. Do số lượng các công thức lượng giác là rất nhiều, nên khi chuyển bài toán qua lượng giác thì đòi hỏi học sinh phải nắm vững các công thức lượng giác, kĩ thuật biến đổi, tính tuần hoàn và tính bị chặn của các hàm số lượng giác. Hơn nữa trong bài toán phải có dấu hiệu đặc trưng của lượng giác về biểu thức, đẳng thức hoặc biến x tham gia trong bài toán. Sau đây là một số dấu hiệu cơ bản. 2.1 Nếu x a    x  a sin t , t   ;     2 2  hoặc x  a cos t , t  0;  , ta đặt Trang 7 Một sốố ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa 2.2 Nếu x  a  a  0 , ta đặt x x 2.3 Nếu x  �, ta đặt a sin t hoặc    , t   ;  cos t  2 2 a x  a tan t , t  2.4 Nếu bài toán có chứa đẳng thức  f ( x)  cos t   g ( x)  sin t hoặc , t   0;      ;   2 2  hoặc f 2  x  g 2  x 1 x  a cot t , t   0;   , thì có thể đặt  g ( x)  cos t   f ( x)  sin t 2 2 2.5 Nếu bài toán chứa biểu thức a  x thì có thể đặt:    x | a | sin t , t   ,     2 2  hoặc x | a | cos t , t  0,   2.6 Nếu bài toán chứa biểu thức x |a| , t sin t x 2  a 2 thì có thể đặt:      |a| x , t  0,   \    2 , 2  \  0 cos t   2 hoặc 2 2 2.7 Nếu bài toán chứa biểu thức a  x thì có thể đặt: Trang 8 Một sốố ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa    x | a | tan t , t    ,   2 2  hoặc x | a | cot t , t   0,  . 2.8 Nếu bài toán chứa biểu thức hoặc ax a  x thì có thể đặt: x  a cos 2t , t   0;    ax x  a cos 2t , t   0;   \   a  x thì đặt 2 . 2.9 Nếu bài toán chứa biểu thức ( x  a)(b  x) thì có thể đặt: x  a   b  a  sin 2 t , t  0;  x y x y 2x 2x 2 2 2.10 Nếu bài toán chứa biểu thức 1  xy hoặc 1  xy hoặc 1  x hoặc 1  x 1 x2 3x  x3 2 2 hoặc 1  x hoặc 1  3x …thì ta có thể đặt 2.11 Nhận xét  Với hàm số sin 2 2 ● 1  2x  1  2sin   cos 2 Trang 9  x  tan    y  tan    ,          ;    2 2  . Một sốố ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa ● 1  1 x2  1  1 sin 2   sin 4     cos 4    2 2 2 2 3 3 ● 3x  4 x  3sin   4sin   sin 3 ● 1  3 x2  1  3 sin 2   sin 6     cos6    4 4 2 2 5 3 5 3 ● 16 x  20 x  5 x  16 sin   20 sin   5sin   sin 5  Với hàm số cos 2 2 ● 2 x 1  2cos   1  cos 2 3 3 ● 4 x  3x  4cos   3cos   cos3 3  3x  2cos  3  3 2cos   8cos3   6cos   2.cos3 x     ● 4 2 4 2 ● 8 x  8 x 1  8 cos   8 cos  1  cos4 5 3 5 3 ● 16 x  20 x  5x  16 cos   20 cos   5cos  cos5 6 4 2 6 4 2 ● 32 x  48 x  18 x 1  32 cos   48 cos  18cos  1  cos6 III. Phương trình bậc ba. Phương trình là một dạng toán cơ bản nhưng cũng rất quan trọng trong lĩnh vực đại số. Chúng ta làm quen với các bài toán về phương trình từ những ngày đầu học toán. Ở cấp tiểu học, chúng ta được biết đến những bài toán tìm x…, những năm ở THCS bài toán về phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, phương trình vô tỉ được xây dựng, Hiện nay, việc giải và biện luận phương trình bậc nhất, bậc hai đã trở nên rất quen thuộc đối với học sinh ở cấp THPT. Học sinh cũng có dịp làm quen với phương trình bậc ba, phương trình bậc bốn, tuy nhiên việc giải và biện luận phương trình bậc ba tổng quát Trang 10 Một sốố ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa chưa được trình bày trong chương trình THPT. Tôi xin giới thiệu cách giải và biện luận phương trình bậc ba dạng tổng quát. 3 2 a x  b x  c1x  d1  0  a1  0    1 1 Phương trình bậc ba dạng tổng quát: 3 2 mọi phương trình (*) đều đưa về dạng chuẩn tắc x  ax  bx  c  0 . Giải và biện luận phương trình: Lời giải: Đặt x y t 3  at 2  bt  c  0 (1) a 3 . Khi đó phương trình (1) có thể viết dưới dạng 3 2  a  a  a  y  3   a  y  3   b y  3  c  0       a2 a 3 ab p b q    c 3 3 27 3 Tương đương y  py  q (2) . Trong đó ,  Nếu p = 0 thì phương trình (2) có nghiệm duy nhất y3q  Nếu p > 0 thì ta đưa phương trình về dạng Bài toán 1 hoặc Bài toán 2 bằng cách đặt y  2t p 3 ta thu được phương trình dạng 4t 3  3t  m, với + Nếu m 1 m 3 3q 2p p (3) thì ta đặt m = cos α và phương trình (2) có 3 nghiêm t1  cos  3 ; t2,3  cos   2 3 Trang 11 Một sốố ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa 1 1  m  d 3  3  m 1 2 d  thì phương trình có nghiêm duy + Nếu thì đặt 1 1  1  t   d     3 m  m2  1  3 m  m2  1  2 d  2  nhất là  Nếu p < 0 thì đặt y  2t p 3 ta sẽ được phương trình 4t 3  3t  m 1 1  m  d 3  3  2 d  với d 3  m  Đặt m 2 1 . 1  t   3 m  m2  1  3 m  m2  1   Khi đó phương trình có nghiệm duy nhất 2  Từ nghiệm t ta tính được nghiệm y và từ đó suy ra nghiệm x x2 p 1 3  a m  m2 1  3 m  m2 1    3 2  3. I.V Công thức, định lý trong hình học phẳng Trong tam giác ABC ta ký hiệu: a, b, c tương ứng là độ dài các cạnh BC , AC , AB S là diện tích , p là nửa chu vi tam giác ABC ha , hb , hc tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ A , B , C ma , mb , mc tương ứng là độ dài các đường trung tuyến kẻ từ A , B , C Trang 12 Một sốố ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa R , r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác. 4.1 Định lý hàm số sin a b c    2R sin A sin B sin C 4.2 Định lý hàm số cos : a 2  b 2  c 2  2bc cos A b 2  a 2  c 2  2ac cos B c 2  a 2  b 2  2ab cos C 4.3 Độ dài đường trung tuyến : ma  2c 2  2b 2  a 2 2 4.4 Độ dài đường cao : ha  b.sin C  c.sin B  a.sin B.sin C sin A ; ha  2S a . 4.5 Diện tích tam giác : S p p  a  p  b  p  c 1 a 2 .sin B.sin C S  a.ha  2 2sin A S abc abc  R 4R 4S S  2 R 2 .sin A.sin B.sin C . 1 1 1 S  .a.b.sin C  .b.c.sin A  .a.c.sin B 2 2 2 V Đẳng thức lượng giác trong tam giác Trang 13 Một sốố ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa sin  A  B   sin C cos  A  B    cos C tan  A  B    tan C cot  A  B    cot C sin A B C  cos 2 2 cos A B C  sin 2 2 tan A B C  cot 2 2 cot A B C  tan 2 2 . I. Trong chương trình toán học THPT, dãy số là một phần quan trọng của Đại số & Giải Tích 11, học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toán liên quan đến dãy số như tính giới hạn hay xác định công thức số hạng tổng 2 quát của dãy số. Khi gặp các con số đặc biệt 2 ; 3 1 2 ; ; 2 ; 3 ... 2 có liên quan đến các giá trị lượng giác thì ta cũng phải nghĩ đến việc sử dụng công cụ lượng giác để giải chúng. Dưới đây là một số ví dụ ứng dụng của lượng giác trong dãy số.  3  u1  2   u u  4un31  3un 1 , n  2 Bài 1.1 Cho dãy số  n  có  n Trang 14 Một sốố ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số  un  . Bài giải Nhận xét: Từ công thức truy hồi của dãy, gợi nhớ đến công thức nhân ba của 3 hàm số cosin, bên cạnh đó số 2 có liên hệ với giá trị lượng góc đặc biệt. Ta có u1  3   cos 2 6 u2  4cos3   3   3 cos  cos 6 6 6 u3  4cos3 3. 3. 32    3 cos  cos 6 6 6 Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được Bài 1.2 Cho dãy số  un  un  cos 3n 1 6 3   u1  2   u  2  u 2 , n  2 n 1 có  n Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số  un  . Bài giải Nhận xét: Bài toán giấu đi tính lượng giác rất khéo, quan sát từ công thức truy hồi của dãy, ta tạo ra công thức nhân đôi của hàm số cosin. Vì vậy, đặt 3     cos  ,    ;   4 2  Trang 15 Một sốố ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa Khi đó  3 u1  2      2cos  4   u2  2  1  2cos2    2cos 2 u3  2  1  2cos2 2   2cos 4 Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được un  2 cos  2n1   u1  3   u  un  2  1 , n  1  n1 1  2 u  1 n u Bài 1.3 Cho dãy số  n  có  . Tính   u2015 ( Trích đề thi Olympic 30/40/2003) Bài giải Nhận xét: Quan sát từ công thức truy hồi của dãy, ta chú ý đến 2 công thức sau tan Ta có π  = 2 -1 tan  a  b   tan a  tan b 3  tan 8 1  tan a tan b , ngoài ra 3 và u1  3  tan  3 tan   tan  3 8  tan      u2    3 8 1  tan  . tan  3 8 Trang 16 Một sốố ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa   tan       tan  8   3 8 u3   tan   2   8   3 1  tan     . tan  8 3 8   un  tan    n  1   3 Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được Vậy   3    u2015  tan   2014    tan     2  3 3 8 3 4   u0  1  1   u1  2   u  un 1  un u u Bài 1.4 Cho dãy số  n  có :  n  2 . Tính 2015 Bài giải Cách 1: Ta có    3 1   u1   cos  cos 1  2 3  3 1  u2  u1  u0    cos  2   2  3 u0  1  cos 0  cos  0  Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được Vậy u2015  cos un  cos 2015    1   cos  672    3 3 2.  Trang 17 n 3 8 Một sốố ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa Cách 2: Sử dụng phương trình sai phân tuyến tính bậc hai để tìm số hạng tổng quát ● Phương trình đặc trưng     1  0 có nghiệm phức 2 1,2  1 i 3 2 1 3 1  A  ; B  ; r  1;   arctan  2 2 3 3 Ta có  công thức số hạng tổng quát của dãy số có dạng un  C1.cos  C1 cos 0  C2 sin 0  0     1 C1 cos  C2 sin   3 3 2 ● C1 , C2 là nghiệm của hệ phương trình  Vậy un  cos n n  C2 .sin 3 3 C  1   1  C2  0 n 2015   1 u2015  cos  3 . Do đó 3 2. Bài 1.5 Cho dãy số  un  n lim un có un  2  2  2  ...  2 . Tìm n  . Bài giải Ta có 2  2cos  4 2  2  2  2cos       2 1  cos   2 cos  2 cos 3 4 4 8 2  Trang 18 Một sốố ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa  2  2  2  2 1  cos      2 cos 4   2 cos 8 16 2 Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được Suy ra Vậy 2  ...  2  2 cos  2n1   2  2  ...  2  2 1  cos n1   2 sin n2 2  un  2n1  sin  2  2n  2   sin   2n  2 lim un  lim  2n1  sin n 2   lim   n  n    2  n   2  2n  2 Do dó ① Cho hai dãy số      2  .  an  ,  bn  được xác định như sau 2015  2016  a  1  2   a  a1  b1  2 2  ...   a  an 1  bn1  n 2 và  b1  2016 a1   b2  a2 b1  ...  a , lim bn  bn  an bn1 . Tính nlim   n n   .  u0  2000  1  an3 u  u  n n  1 2 lim  un u  ② Cho dãy số n được xác định như sau  . Tính n  n . Trang 19 Một sốố ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa  u1  2  lim u  2  un , n  1 un   ③ Cho dãy sốố có  n1 . Tìm n  ④ Cho dãy số  ④Cho dãy số un   vn  1   u1  2   u  2u 2  1 , n  2 n 1 có :  n . Tính un u2016  v1  1   v  vn  2  1 , n  1  n1 1  2 v  1 n có:  . Tính  .  v2016 1  u  1  2   2  2 1  un21  , n  2  un  u 2 ④ Cho dãy số  n  có  Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số  un  . 1   u1  3   u  u  1  u 2 , n  1 un   n 1 n 1 ④ Cho dãy số có  n Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số ④ Cho dãy số  un   un  .  u0  2   v0  1   u  2un .vn  n 1 un  vn   v  un 1.vn v và  n  có :  n 1 . Tính Trang 20 v2015 và u2016
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan