Skkn một số phương pháp tìm cực trị trong môn toán

  • Số trang: 26 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 11 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 24000 tài liệu

Mô tả:

Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o h¶I d¬ng Kinh nghiÖm mét sè ph¬ng ph¸p t×m cùc trÞ M«n To¸n N¨m 2005 – 2006 Phßng gi¸o dôc cÈm giµng trêng t.h.c.s cÈm §Þnh --------------------------- Sè ph¸ch 1 Kinh nghiÖm mét sè ph¬ng ph¸p t×m cùc trÞ M«n To¸n Hä vµ tªn: NguyÔn ThÞ Thuý ®¸nh gi¸ cña nhµ trêng (NhËn xÐt, xÕp lo¹i) Sè ph¸ch Kinh nghiÖm mét sè ph¬ng ph¸p t×m cùc trÞ M«n To¸n ®¸nh gi¸ cña phßng gi¸o dôc & ®µo t¹o (NhËn xÐt, xÕp lo¹i) 2 Tªn t¸c gi¶ : …………………………………….. §¬n vÞ : ………………………………… phÇn I : ®Æt vÊn ®Ò I. c¬ së lý thuyÕt. Trong gi¶ng d¹y bé m«n to¸n, viÖc gióp häc sinh n¾m ch¾c kiÕn thøc c¬ b¶n, biÕt c¸ch khai th¸c kiÕn thøc, ¸p dông kiÕn thøc gi¶i ®îc nhiÒu lo¹i to¸n, nhiÒu d¹ng bµi tËp lµ hÕt søc quan träng, bëi ®ã lµ mét ph¬ng tiÖn tèt gióp häc sinh n¾m v÷ng tri thøc, ph¸t triÓn t duy h×nh thµnh kÜ n¨ng kÜ x¶o trong qu¸ tr×nh gi¶i to¸n. M«n to¸n cã nhiÒu d¹ng bµi tËp, trong ®ã d¹ng to¸n t×m cùc trÞ (gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt) lµ nh÷ng bµi to¸n ®i t×m c¸i lín nhÊt, nhá nhÊt, rÎ nhÊt, ®¾t nhÊt, ng¾n nhÊt, dµi nhÊt ... Qua nh÷ng bµi to¸n dÉn d¾t häc sinh cã thãi quen ®i t×m mét gi¶i ph¸p tèi u cho mét c«ng viÖc cô thÓ trong cuéc sèng thùc tÕ. §iÒu ®ã cho thÊy r»ng to¸n cùc trÞ lµ lo¹i to¸n rÊt gÇn gòi víi thùc tÕ vµ cã nhiÒu øng dông trong thùc tÕ hµng ngµy. Nã gióp häc sinh rÌn luyÖn nÕp nghÜ khoa häc, lu«n mong muèn lµm nh÷ng c«ng viÖc ®¹t hiÖu qu¶ cao nhÊt, tèt nhÊt. V× vËy, nã gãp phÇn kh«ng nhá vµo viÖc ph¸t triÓn trÝ tuÖ, thóc ®Èy niÒm say mª häc to¸n cho häc sinh, ®Æc biÖt lµ c¸c em häc sinh kh¸ giái. To¸n cùc trÞ ®îc ®Ò cËp nhiÒu trong c¸c lo¹i s¸ch tham kh¶o, do vËy gi¸o viªn rÊt khã kh¨n trong viÖc su tÇm vµ tuyÓn chän, vµ mét vÊn ®Ò ®Æt ra ë ®©y lµ lµm thÕ nµo ®Ó häc sinh n¾m ®îc ph¬ng ph¸p, t duy suy luËn mét c¸ch cã l« gÝc khi gi¶i to¸n cùc trÞ ? §Ó gãp phÇn vµo viÖc gi¶i quyÕt c¸c vÊn ®Ò trªn, b¶n th©n lµ gi¸o viªn thêng xuyªn gi¶ng d¹y vµ båi dìng häc sinh giái m«n to¸n líp 8 vµ líp 9, t«i m¹nh d¹n su tÇm, tuyÓn chän mét sè d¹ng bµi to¸n cùc trÞ vµ mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ¸p dông cho tõng d¹ng, hy väng ®em l¹i mét phÇn thuËn lîi cho gi¸o viªn khi thùc hiÖn chuyªn ®Ò nµy trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y cho häc sinh cÊp trung häc c¬ së nãi chung vµ båi dìng häc sinh giái líp 8, líp 9 nãi riªng. II. nh÷ng yªu cÇu cÇn thiÕt. 3 1. §èi víi gi¸o viªn. - Su tÇm tµi liÖu, ®äc, nghiªn cøu ®Ó hÖ thèng ho¸ kiÕn thøc, hÖ thèng c¸c d¹ng bµi tËp vÒ cùc trÞ. - T×m hiÓu s©u vÒ c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong néi dung ch¬ng tr×nh to¸n ë bËc trung häc c¬ së. - X©y dùng ®îc c¬ së lý thuyÕt ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ. - TuyÓn chän, ph©n lo¹i ®îc c¸c d¹ng bµi tËp c¬ b¶n vµ nªu lªn c¸c ph¬ng ph¸p chÝnh gi¶i tõng d¹ng bµi tËp cùc trÞ. - Dù ®o¸n ®îc mét sè sai sãt cña häc sinh cã thÓ m¾c ph¶i vµ nªu ®îc nh÷ng ®iÓm cÇn chó ý khi gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ. 2. §èi víi häc sinh. - HiÓu ®îc b¶n chÊt cña kh¸i niÖm cùc trÞ vµ n¾m ®îc c¸c bíc gi¶i cña bµi to¸n cùc trÞ. - Cã kÜ n¨ng nhËn d¹ng ®îc tõng lo¹i to¸n cùc trÞ, vËn dông linh ho¹t vµ s¸ng t¹o c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n cùc trÞ vµo tõng bµi tËp cô thÓ tõ ®¬n gi¶n ®Õn phøc t¹p. - ThÊy ®îc nh÷ng øng dông cña to¸n cùc trÞ trong thùc tÕ. PhÇn II : Néi dung A. Mét sè d¹ng to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè. I. §Þnh nghÜa vµ chó ý. 1. Cho biÓu thøc f(x). -Gi¸ trÞ M ®îc gäi lµ gi¸ trÞ lín nhÊt (GTLN) cña biÓu thøc f(x) nÕu tho¶ m·n hai ®iÒu kiÖn : +Víi mäi x ®Ó f(x) x¸c ®Þnh th× f(x)  M (M lµ h»ng sè) + Tån t¹i x0 sao cho f(x0) = M (1) (2) 4 -Gi¸ trÞ m ®îc gäi lµ gi¸ trÞ nhá nhÊt (GTNN) cña biÓu thøc f(x) nÕu tho¶ m·n hai ®iÒu kiÖn : + Víi mäi x ®Ó f(x) x¸c ®Þnh th× f(x) ≥ m (m lµ h»ng sè) (1’ ) + Tån t¹i x0 sao cho f(x0) = m (2’ ) 2. KÝ hiÖu : GTLN cña hµm f lµ M = max f(x) GTLN cña hµm f lµ m = min f(x) 3. Tæng qu¸t chung : §èi víi biÓu thøc chøa nhiÒu biÕn ta còng cã ®Þnh nghÜa t¬ng tù. 4. C¸c bíc t×m cùc trÞ : Tõ c¸c ®Þnh nghÜa trªn, th«ng thêng, ®Ó t×m GTLN hoÆc GTNN ta tiÕn hµnh theo 3 bíc nh sau : -Bíc 1 : X¸c lËp bÊt ®¼ng thøc d¹ng : f(x) ≤ M hoÆc f(x) ≥ m víi M, m lµ c¸c h»ng sè. -Bíc 2 : XÐt xem dÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi nµo ? -Bíc 3 : KÕt luËn max hoÆc min theo yªu cÇu. 5. Chó ý : NÕu chØ cã ®iÒu kiÖn (1) hay (1’) th× cha thÓ nãi g× vÒ cùc trÞ cña mét biÓu thøc. Ch¼ng h¹n, xÐt biÓu thøc (x – 1) 2 + (x – 3) 2 . MÆc dï ta cã A ≥ 0, nhng cha thÓ kÕt luËn ®îc minA, v× kh«ng tån t¹i gi¸ trÞ nµo cña x ®Ó A = 0. II. C¸c kiÕn thøc thêng dïng. 1. x2  0  x DÊu “=” x¶y ra  x = 0 Më réng : [f(x)]2n  0 , x  R , n  Z. Khi ®ã ta cã [f(x)]2n + M  M ; -[f (x)]2n + m  m. DÊu “=” x¶y ra  f(x) = 0 DÊu “=” x¶y ra  x = 0 2. a/ x  0 DÊu “=” x¶y ra  x, y cïng dÊu b/ x + y  x + y c/ x - y  x - y 3. a/ a2 + b2  2ab ,  a, b. b/ a  b 2  a > 0, b > 0. b a DÊu “=” x¶y ra  x, y cïng dÊu vµx >y DÊu “=” x¶y ra  a = b DÊu “=” x¶y ra  a = b 4. BÊt ®¼ng thøc C«-si a/ Cho 2 sè kh«ng ©m a vµ b ta cã : ab  ab . 2 DÊu “=” x¶y ra  a = b b/ Cho 3 sè kh«ng ©m a, b vµ c, ta cã : abc 3  abc . 3 DÊu “=” x¶y ra  a = b = c. 5 c/ Tæng qu¸t : Cho n sè kh«ng ©m a1 , a2 , ..... , an , ta cã : a 1  a 2  .....  a n  a1 a2 ..... an. n DÊu “=” x¶y ra  a1 = a2 = .....= an 5. BÊt ®¼ng thøc Bu-nhi-a-c«p-xki a/ Cho hai cÆp sè a, b vµ x, y ta cã : (ax + by)2  (a2 + b2) (x2 + y2). DÊu “=” x¶y ra  ay = bx b/ Tæng qu¸t : Cho 2n sè a1 , a2 , .... , an , b1 , b2 , .... , bn, ta cã : a1b1 + a2b2 + ...... + anbn ) 2  ( a12 + a22 +.... + an2 ) ( b12 + b22 + ... bn2 ) a a a 1 2 n DÊu “=” x¶y ra  b  b ...... b 1 2 n III. Mét sè ph¬ng ph¸p t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt. 1. Ph¬ng ph¸p nhãm – so s¸nh. §Ó tiÕn hµnh gi¶i bµi to¸n t×m GTLN, GTNN ta cã thÓ dïng c¸c phÐp biÕn ®æi ®¹i sè ®Ó nhãm c¸c sè h¹ng vµ ®a bÊt ®¼ng thøc ban ®Çu vÒ c¸c d¹ng sau : p = A2 + k ≥ k, p = -B2 + l ≤ l, p = A2 + B2 + m ≥ m, p = A.B2 + n ≥ n víi A ≥ 0, p = A.B ≥ k.l víi A ≥ k > 0, B ≥ l > 0. TÊt nhiªn lµ dÊu ®¼ng thøc ph¶i x¶y ra trong miÒn x¸c ®Þnh cña c¸c biÕn sè. Ngoµi ra, ®«i khi ta sö dông c¸c tÝnh chÊt ®ång biÕn, nghÞch biÕn cña hµm sè, ch¼ng h¹n : M ≥ N, a > 1  aM ≥ aN; M ≥ N, 0 < a < 1  aM ≤ aN; A ≥ B > 0, α > 0  Aα ≥ Bα ; A ≥ B > 0, α < 0  Aα ≤ Bα . Lu ý r»ng nÕu ta sö dông nhiÒu bÊt ®¼ng thøc so s¸nh th× dÊu “=” x¶y ra ph¶i mang tÝnh ®ång thêi ë c¸c ®¼ng thøc ®ã. VÝ dô 1: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c biÓu thøc : 1/ A = x4 + 4x2 – 3; 2/ B = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1; 3/ C = (x – 1) 2 + (x2 – 1) 4 + (x3 – 1) 6. Gi¶i : 1/ V× x4, x2 ≥ 0 nªn suy ra A ≥ 0 + 0 – 3  A ≥ -3. DÊu “=” x¶y ra  x = 0 VËy minA = -3 khi x = 0 C¸ch kh¸c : Ta cã A = x2(x2 + 4) – 3 ≥ – 3. DÊu “=” x¶y ra  x2(x2 + 4) = 0  x = 0 6 VËy minA = -3 khi x = 0 2 2/ Ta cã B = (x + x + 1) = 2 V× 2 2 2  1 3 9 x        2 4 16     dÊu “=” x¶y ra khi x =  1 . 1 3 3  x     , 2 4 4  2 Nªn minB = 9  x =  1 . 16 2 3/ DÔ thÊy C ≥ 0. DÊu “=” x¶y ra khi (x – 1) 2 = (x2 – 1)4 = (x3 – 1)6 = 0  x =1 VËy minC = 0, khi x = 1 VÝ dô 2 : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc M = - x2 + 2x + 6 Gi¶i : Ta cã B = - x2 + 2x + 6 = -(x2 – 2x) + 6 = -( x – 1)2 + 7 V× -( x – 1)2  0 , x  -( x – 1)2 + 7  7. DÊu “=” x¶y ra khi x = 1 VËy max B = 7  x = 1 2. Ph¬ng ph¸p dïng bÊt ®¼ng thøc C«-si. Còng gièng nh khi sö dông c¸c bÊt ®¼ng thøc kh¸c, cã khi ta ph¶i tiÕn hµnh viÖc t¸ch, nhãm, thªm, bít, chia nh©n c¸c sè h¹ng ®Ó ®a vÒ d¹ng cã thÓ ¸p dông trùc tiÕp. VÝ dô : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc : 1/ A = x 1  x2 x 1 x 2/ B = ; ; yz x  1  zx y  2  xy z  3 xyz 3/ C = . Gi¶i : 1/ §iÒu kiÖn 0 ≤x≤ 1. ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«-si cho 2 sè kh«ng ©m ta ®îc : A = x 1  x 2  x 2 1  x 2   x2  1  x2 1  2 2 DÊu “=” x¶y ra  x2 = 1 – x2  x2 = 1 2  x=± 1 2 . VËy max A = 1 2 2/ §iÒu kiÖn x ≥ 1, ta cã B = x 1 x 1 x  1   x 1x  1 1 2  x 2 7 DÊu “=” x¶y ra  1 = x – 1  x =2. VËy max B = 1 2 3/ §iÒu kiÖn x ≥ 1, y ≥ 2, z ≥ 3, ta cã : x 1  x C= z 3 z 2(y  2) 1(x  1) 1 1 3(z  3)  .  . x y z 2 3 = ≤ y 2  y 1 x  1 1 2y 2 1 3z 3  .  . 2x 2y 2z 2 3 = 1 1 1   2 2 2 2 3 DÊu “=” x¶y ra  1 = x – 1 ; 2 = y – 2 ; 3 = z – 3  x = 2, y = 4, z = 6. 1 1 1 VËy max C =  1    . 2 2 3 IV. Nh÷ng d¹ng to¸n thêng gÆp. D¹ng 1 : Cùc trÞ cña ®a thøc d¹ng tam thøc bËc hai. 1. KiÕn thøc cÇn thiÕt. Gi¶ sö cho ®a thøc f(x) x¸c ®Þnh trªn R 2 §a f(x) vÒ d¹ng : f(x) = k   g(x) (k lµ h»ng sè) a/ NÕu f(x) = k +  g( x) 2 th× min f(x) = k  g(x) = 0 b/ NÕu f(x) = k –  g( x) 2 th× max f(x) = k  g(x) = 0 2. Mét sè vÝ dô. VÝ dô 1 : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : 2 A= x –x+1 Gi¶i : Ta cã A = x2 – x + 1 = x2 – 2x. 1 + 1 + 3 = 2 V× 1  x   2  2 4 ≥ 0  x nªn 1  x   2  1 0 2  x DÊu “=” x¶y ra  x  2 4 1  x   2  2 + 3 4 + 3 ≥ 3 4 4 1 2 VËy min A = 1  x = 1 2 2 VÝ dô 2 : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc B = - x2 + 4x + 5 Gi¶i : Ta cã B = -x2 + 4x + 5 = 9 – (x – 2)2 V× - (x - 2 )2  0 x nªn 9 – (x - 2 )  9 DÊu “=” x¶y ra  x – 2 = 0  x = 2 VËy max B = 9  x = 2 8 VÝ dô 3 : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : D = (x+1)2 + (x + 3 )2 Gi¶i : Ta cã D = 2(x +2 )2 + 2  2 x V×: 2(x + 2 )2  0 x  2(x +2 )2 + 2  2 DÊu "=" x¶y ra  x = -2. VËy min D = 2  x = -2 3. Mét sè nhËn xÐt. a/ Cho tam thøc bËc hai: P = ax2 + bx + c (a ≠ 0) Ta cã P = ax2 +bx + c = a(x2 + b x) + c (do a  0) = a (x + b )2 + = a (x + 2a b 2a )2 + a 2 c- b 4a 4ac  b 2 4a 2 §Æt 4ac  b = k 4a Do (x + b )2  0 nªn 2a - NÕu a > 0 th× a.(x + b )2  0 do ®ã P  k  - NÕu 2a b b min P = k  x + =0x=2a 2a b 2 a < 0 th× a.(x + )  0 do ®ã P  k 2a b max P = k  x = 2a  b/ Dùa vµo tÝnh chÊt biÕn thiªn cña hµm sè lµ tam thøc bËc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) + Khi a > 0 : Parabol quay bÒ lâm lªn phÝa trªn  hµm sè cã cùc tiÓu. + Khi a < 0: Parapol quay bÒ lâm xuèng díi  hµm sè cã cùc ®¹i. - Tõ ®ã ta ®i ®Õn kÕt luËn : Mçi tam thøc bËc hai ®Òu cã mét cùc trÞ (hoÆc gi¸ trÞ nhá nhÊt hoÆc gi¸ trÞ lín nhÊt) D¹ng 2 : Cùc trÞ cña hµm ®a thøc nhiÒu biÕn. 1. KiÕn thøc cÇn thiÕt. Cho F = F1 + F2 th× : maxF = maxF1 + maxF2. (minF = minF1 + minF2). Trong ®ã F1, F2 lµ c¸c biÓu thøc chøa biÕn ®èi lËp víi nhau hoÆc cã chøa cïng biÕn th× cïng ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt (gi¸ trÞ nhá nhÊt ) t¹i mét bé gi¸ trÞ x¸c ®Þnh cña biÕn. 2. Mét sè vÝ dô. VÝ dô 4 : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : 9 A = 5x2 - 12xy + 9y2 - 4x + 4 Gi¶i : A = x - 4x + 4 + 4x2 - 12xy + 9y2 = (x - 2)2 + (2x - 3y)2 2  x 2   x  22  A  0, dÊu "=" x¶y ra     y 4 2   2 x  3y   3  x 2 VËy min A = 0   y  4  3 VÝ dô 5 : a/ T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : B = x2 + xy + y2 – 3x – 3y + 2009 b/ T×m gi¸ trÞ cña x; y ®Ó biÓu thøc : 2 2 N = –a – b + ab + 2a + 2b ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt Gi¶i : a/ Ta cã B = x2 – 2x + 1 + y2 – 2y +1 + xy – x – y + 1 + 2006 = (x – 1)2 + (y – 1) 2 + xy – x – y + 1 + 2006 = 2 y  1 3  2 ( x  1)  2   4 (y  1)  2006 2006 y 1  DÊu "=" x¶y ra  (x  1)  2 0   y  1 0  x 1   y 1 VËy min B = 2006  x = y = 1 b/ Ta cã: 2N = –2a2 – 2b2 + 2ab + 4a + 4b = –(a – b)2 – (a – 2)2 – (b – 2)2 + 8  8 DÊu "=" x¶y ra   a  b 0   a  2 0  b  2 0  a=b=2 VËy max N = 4  a = b = 2 VÝ dô 6 : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : D = m2 - 4mp + 5p2 + 10m - 22p + 28. Gi¶i : Ta cã D = m2 – 4mp + 4p2 + p2 – 2p + 1 + 10m – 20p + 27 = (m – 2p)2 + (p –1)2 + 10(m – 2p) + 27 §Æt m – 2p = t  D = t2 + 10t + (p – 1)2 + 27 = t2 + 10t + 25 + (p – 1)2 + 2 = (t + 5)2 + (p – 1)2 + 2  2 DÊu "=" x¶y ra  t  5 0   p  1 0   t  5   p 1   m  2 p  5   p 1   m  3   p 1 10 VËy min D = 2   m  3   p 1 3. Mét sè nhËn xÐt. - §èi víi hµm ®a thøc nhiÒu biÕn, häc sinh cÇn ph¶i linh ho¹t trong viÖc t¸ch h¹ng tö ®Ó lµm xuÊt hiÖn tæng c¸c luü thõa bËc ch½n cña mét biÓu thøc hay tæng c¸c h»ng ®¼ng thøc (a  b)2 nh ®· tr×nh bµy ë vÝ dô 4, vÝ dô 5. - ë vÝ dô 5, phÇn b thay cho viÖc biÕn ®æi N ta biÕn ®æi 2N khi ®ã bµi to¸n ®îc thùc hiÖn thuËn lîi h¬n. - Bªn c¹nh ®ã, cã nh÷ng t×nh huèng x¶y ra nh ë vÝ dô 6 th× cã thÓ häc sinh sÏ lóng tóng trong sù xuÊt hiÖn cña 10(m – 2p). Khi ®ã dïng ph¬ng ph¸p ®æi biÕn (®Æt Èn phô) nh ®· tr×nh bµy th× sÏ ®a ®îc bµi to¸n vÒ d¹ng cña vÝ dô 5. 4. Mét sè bµi tËp. 4.1. T×m gi¸ trÞ cña x ; y ®Ó c¸c biÓu thøc sau ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt : a/ -x2 + 2xy – 4y2 + 2x + 10y + 5 b/ -5x2 – 5y2 + 8x – 6y – 1 4.2. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : x2 + 2y2 – 2xy – 4y + 5 4.3. T×m cÆp (x ; y) ®Ó biÓu thøc sau ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt : x2 + 26y2 – 10xy + 14 – 76y + 56 D¹ng 3 : Cùc trÞ cña hµm ph©n thøc ®¹i sè. 1. KiÕn thøc cÇn thiÕt. + §Ó gi¶i d¹ng to¸n nµy ta chñ yÕu dïng ph¬ng ph¸p t¸ch phÇn nguyªn. + Cho P = 1 víi A > 0 th× max P = A 1 min A ; min P = 1 max A B»ng c¸ch ¸p dông tÝnh chÊt trªn ta cã thÓ ®a bµi to¸n t×m cùc trÞ cña ph©n thøc vÒ bµi to¸n t×m cùc trÞ cña ®a thøc. 2. Mét sè vÝ dô. VÝ dô 7 : T×m x  N ®Ó 7x  8 2x  3 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. Gi¶i : §Æt A = 7x  8  2A = 14 x  16 = 7(2x  3)  5 = 7 + 2x  3 2x  3 2x  3 NhËn thÊy A lín nhÊt  2A lín nhÊt  5 2x  3 5 2x  3 lín nhÊt  2x – 3 lµ sè d¬ng nhá nhÊt. Mµ x  N nªn 2x – 3 d¬ng nhá nhÊt b»ng 1  x = 2 VËy max(2A) = 12  maxA = 6  x = 2. VÝ dô 8 : T×m x  Z ®Ó M = 7 x x 5 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. 11  (x  7)  ( x  5  2) = = -1 + 2 x 5 x 5 x 5 §Ó M nhá nhÊt th× 2 nhá nhÊt  x – 5 lµ sè ©m lín nhÊt. x 5 Gi¶i : Ta cã M = Mµ x  Z nªn x – 5 = -1  x = 4 VËy min M = -1 – 2 = -3 khi x = 4. VÝ dô 9 : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P = Gi¶i : Ta cã P =  1 .  x  2x  4 2 1 1 = ( x  1)2  3 x  2x  4 2 NhËn thÊy P nhá nhÊt  (x – 1)2 + 3 nhá nhÊt. Mµ (x – 1)2  0 víi  x  (x – 1)2 + 3  3 1 Do ®ã (x – 1)2 + 3 ®¹t GTNN b»ng 3  x = 1. VËy min P =  x= 3 1. VÝ dô 10 : T×m GTLN vµ GTNN cña biÓu thøc Gi¶i : Q= 4x  3 . x2  1 2 2 2 a/ Ta cã Q = x  4x 2 4  x  1 = (x 2 2)  1 x 1 x 1 2 Do (x 2 2)  0 víi  x  Q  -1 víi  x. DÊu “=” x¶y ra  x = -2 x 1 VËy min Q = -1  x = -2 2 2 2 2 2 b/ Ta cã Q = 4x  4  24x  4x  1 = 4(x  1)2  (2x  1) = 4  (2x2  1) x 1 x 1 Do  (2x2  1) 2 x 1 x 1 ≤ 0 víi  x  Q ≤ 4. DÊu “=” x¶y ra  x = 1 2 VËy maxQ = 4  x = 1 2 2 VÝ dô 11 : T×m GTNN cña M = 3x2  8x  6 . x  2x  1 Gi¶i : §KX§ : x ≠ 1 3(x 2  2x  1)  2(x  1)  1 3(x  1)2  2(x  1)  1 Ta cã M = = (x  1)2 (x  1)2 = 3 §Æt y = 1 , x 1 2 1  x  1 ( x  1)2 khi ®ã M = 3 – 2y + y2 = (y – 1)2 + 2  2 DÊu “=” x¶y ra  y = 1  1 x 1 =1x=2 12 VËy min M = 2  x= 2 3. Mét sè nhËn xÐt. - Khi gi¶i to¸n cùc trÞ cña hµm ph©n thøc, häc sinh cÇn ph¶i biÕt biÕn ®æi linh ho¹t ®Ó t¸ch phÇn nguyªn. - Cã nh÷ng biÓu thøc tån t¹i c¶ GTLN vµ GTNN nh bµi to¸n ®· tr×nh bµy ë vÝ dô 10, cho nªn häc sinh cÇn ®Þnh híng c¸ch ph©n tÝch bµi to¸n ®Ó lµm xuÊt hiÖn nh÷ng t×nh huèng theo yªu cÇu bµi to¸n nªu. 4. Mét sè bµi tËp. T×m GTNN, GTLN(nÕu cã) cña c¸c biÓu thøc sau : 2 A = 2x2  6x  6 ; x  4x  5 2 B = x  28x  7 x 1 2 D = 3x4  4x2  3 x  2x  1 4 ; C= 1 2x  4x  5 2 (x  R) D¹ng 4 : Cùc trÞ cña hµm chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi. 1. KiÕn thøc cÇn thiÕt. a/f(x) = f(x) nÕu f(x)  0 ; f(x) = - f(x) nÕu f(x) < 0 b/f(x) + g(x)  f(x) + g(x). DÊu "=" x¶y ra  f(x).g(x)  0 c/f(x) - g(x)  f(x) - g(x). DÊu "=" x¶y ra  f(x).g(x)  0 víif(x)  g(x) d/ Gi¶ sö max f(x) = A, min f(x) = a víi f(x) xÐt trªn ®o¹n [a1 ;b1] + NÕu f(x)  0 ta cã max f(x) = max f(x)=A trªn [a1 ;b1] min f(x) = minf(x)= a trªn [a1 ;b1] + NÕu : max f(x)  0 cßn min f(x)  0 trªn [a1 ;b1] : Ta cã : maxf(x)= max(A ; a) minf(x)= 0 + NÕu f(x) < 0 ta cã maxf(x)= - minf(x) trªn [a1 ;b1] minf(x) = - maxf(x) trªn [a1 ;b1] 2. Mét sè vÝ dô. VÝ dô 12 : T×m GTLN cña A = 2000 – 1999x – 1 Gi¶i : V× x – 1  0  x  -1999x – 1  0  x Do ®ã A = 2000 – 1999x – 1  2000  x. DÊu “=” x¶y ra  x = 1 VËy max A = 2000  x = 1. VÝ dô 13 : T×m GTLN cña B = x + 8 – x Gi¶i : C¸ch 1 : XÐt kho¶ng gi¸ trÞ cña x. 13 a/ NÕu x < 0 th× x = -x vµ 8 - x = 8 - x khi ®ã B = 8 - 2x b/ NÕu 0  x  8 th× x = x vµ  8 - x = 8 - x khi ®ã B = x + 8 - x = 8 c/ NÕu x > 8 th× x = x vµ 8 - x = x - 8 khi ®ã B = x + x - 8 = 2x - 8 So s¸nh c¸c gi¸ trÞ cña B trong 3 kho¶ng trªn ta cã : min B = 8  0  x  8 C¸ch 2 : Sö dông bÊt ®¼ng thøc. f(x) + g(x)  f(x) + g(x). DÊu "=" x¶y ra  f(x).g(x)  0 Ta cã B = B = x + 8 – x  x + 8 - x= 8 DÊu “=” x¶y ra  x(8 - x) ≥ 0  x(x - 8)  0  0  x  8 VËy min B = 8  0  x  8 VÝ dô 14 : T×m GTNN cña C = x - 2 + x - 5 + 15 Gi¶i : C¸ch 1 : XÐt kho¶ng gi¸ trÞ cña x. a/ NÕu x < 2 th× x - 2 = 2 - x vµ x - 5 = 5 - x khi ®ã C = 2 – x + 5 – x + 15 = 22 – 2x b/ NÕu 2  x  5 th× x – 2 = x – 2 vµ x – 5 = 5 – x, khi ®ã C = x - 2 + 5 - x + 15 = 18 c/ NÕu x > 5 th× x – 2 = x – 2 vµ x – 5 = x – 5, khi ®ã C = x - 2 + x - 5 + 15 = 2x + 8 So s¸nh c¸c gi¸ trÞ cña C trong 3 kho¶ng trªn ta cã : min C = 18  2  x  5 C¸ch 2 : Sö dông bÊt ®¼ng thøc 1b) ®· nªu ë trªn. V× x - 2 + x - 5 = x - 2 + 5 - x x - 2 + 5 - x  = 3 DÊu "=" x¶y ra  (x - 2)(5 - x)  0  2  x  5 Do ®ã : C = x - 2 + x - 5+ 15  3 + 15 = 18 VËy min C = 18  2  x  5 VÝ dô 15 : T×m GTNN cña M = x + 1 + x + 2 + .... + x + 99 + x + 100 Gi¶i : Ta cã M = x + 1 + -x - 100+ .... + x + 50 + -x - 50 V× cã x + 1 + -x - 100 x + 1 - x - 100 = 99 dÊu "=" x¶y ra  -100  x  -1 T¬ng tù ……. x + 50 + -x - 50  1. DÊu "=" x¶y ra  - 51  x  - 50 14 Do ®ã M  1 + 3 + ... + 97 + 99 = 2500. DÊu "=" x¶y ra  - 51  x  - 50 VÝ dô 16 : T×m GTNN cña B = x - 1 + x - 2 + x - 3 Gi¶i : XÐt C = x - 1 + x - 3 = x - 1 + 3 - x  x - 1 + 3 - x = 2  C = 2  (x - 1)(3 - x)  0  1  x  3 MÆt kh¸c x - 2  0. DÊu "=" x¶y ra  x = 2 Do ®ã B = x - 1 + x - 2 + x - 3  2 + 0 = 2 DÊu "=" x¶y ra   1 x 3   x 2 x=2 VËy min B = 2  x = 2 3. Mét sè nhËn xÐt. -§Ó thùc hiÖn gi¶i bµi to¸n cùc trÞ cña hµm chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi, häc sinh cÇn n¾m ®îc ®Þnh nghÜa gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña mét sè hay 1 biÓu thøc vµ linh ho¹t vËn dông c¸c tÝnh chÊt cña trÞ tuyÖt ®èi trong qu¸ tr×nh gi¶i. -C¸c vÝ dô 13, 14 trong phÇn lêi gi¶i cña c¸ch 2 vµ c¸c vÝ dô 15, 16 ta ®· sö dông tÝnh chÊt : "Hai sè ®èi nhau th× cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi b»ng nhau”, tõ ®ã vËn dông bÊt ®¼ng thøc 1b ®Ó t×m ra lêi gi¶i bµi to¸n mét c¸ch nhanh chãng. -Víi mét bµi to¸n cùc trÞ cã thÓ tån t¹i nhiÒu c¸ch gi¶i, ch¼ng h¹n ë vÝ dô 16 cã thÓ gi¶i b»ng c¸ch kh¸c lµ xÐt kho¶ng gi¸ trÞ cña x ®Ó ph¸ dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi, song gi¶i ph¸p nµy kh«ng khoa häc nh lêi gi¶ ®· chän. Do ®ã häc sinh cÇn ph¶i cã sù quan s¸t, ph©n tÝch bµi to¸n ®Ó t×m ra híng ®i thÝch hîp, khoa häc. 4. Mét sè bµi tËp. T×m GTNN, GTLN ( nÕu cã ) cña c¸c biÓu thøc : a) x - 1 + x -2 b) 51 - 4x - 2 c) x - 1 + x - 2 + 2x - 5 d) x - 2 + x - 4+ x - 6 + ..... + x - 102 Sè c¸c biÓu thøc chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi lµ lÎ . D¹ng 5 : Cùc trÞ cña hµm c¨n thøc. VÝ dô 17 : T×m GTNN cña M = (x - 1994)2 + (x - 1995)2 Gi¶i : Ta ®a bµi to¸n nµy vÒ d¹ng hµm chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi b»ng c¸ch ¸p dông h»ng ®¼ng thøc : A2 = A. Ta cã : M = x – 1994 + x – 1995 15 = x – 1994 + 1995 – x  x - 1994 + 1995 – x = 1  M  1. DÊu "=" x¶y ra  (x - 1994)( 1995 - x)  0  1994  x  1995 VËy min M = 1  1994  x  1995 VÝ dô 17 : T×m GTNN cña N= (x - 1999)2 + (x - 2000)2 + (x - 2001)2 Híng dÉn : Ta ®a bµi to¸n nµy vÒ d¹ng hµm chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi, sau ®ã ¸p dông vÝ dô 16 ®Ó gi¶i. KÕt qu¶ : min N = 2  x = 2000 VÝ dô 22: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc M= 2 - x + 1+ x Gi¶i: 2-x0 <=> -1  x  2 §iÒu kiÖn ®Ó tån t¹i c¨n thøc : 1+ x  0 Do M > 0 nªn M lín nhÊt <=> M2 lín nhÊt Ta cã M2 = 2 - x + 1+ x +2 (2 - x)(1 + x) = 3 + 2 (2 - x)(1 + x) = 3 + 2 2 + x - x2 = 3 + 2 9/4 - (x - 1/2)2 Do ®ã M2 lín nhÊt <=> (x - 1/2)2 = 0 <=> x = 1/2 => max M2 = 6 <=> x =1/2. VËy max M = 6 <=> x=1/2 1 VÝ dô 23: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña N = x+ x+1 Gi¶i : TX§: x  0 DÔ thÊy N < 0 do ®ã N nhá nhÊt <=> {N} lín nhÊt <=> (x + x + 1) nhá nhÊt <=> x nhá nhÊt mµ x  0 => min x= 0 VËy min N = -1 <=> x = 0 C¸ch 2: 1 V× x  0 nªn 1  1 => -  - 1 , dÊu b»ng x¶y ra <=> x= 0 x+x+1 x+x+1 VËy min N = -1<=> x= 0 VÝ dô 23: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 1 1 a2+ 2 A= + 2(1 + a) 2(1 - a) 1 - a3 Gi¶i: Tríc hÕt ta thu gän biÓu thøc A: TX§: a  0 , a 1 16 1 - a + 1+ a A= a2 + 2 1 2(1- a) 1+ a +a2 -a2 -2 = 1-a = a2 + 2 3 - 1- a a-1 1 - a3 1 = =- (1 - a)(1 + a +a ) (1 - a)(1 + a +a ) 1 + a +a2 DÔ thÊy A < 0 nªn A nhá nhÊt <=> {A} lín nhÊt <=> (a2 + a + 1) nhá nhÊt 2 2 mµ a  0 =>min (a2 + a + 1) = 1 <=> a = 0 Khi ®ã min A = - 1 <=> a = 0 VÝ dô 24: T×m cùc trÞ cña biÓu thøc : 1 M= 2000 - 1 -x2 Gi¶i : TX§: - 1 x 1 + Do x  [-1 ; 1] nªn 2000 - 1 -x2  2000 , dÊu b»ng x¶y ra <=> x =  1 1 1  Nªn M = 2000 - 1 -x2 2000 VËy min M = 1/2000 <=> x =  1 + Do 1 -x2  1 => 2000 - 1 -x2  2000 - 1 => 2000 - 1 -x2  1999 Nªn M  1/1999 , DÊu b»ng x¶y ra <=> x = 0 VËy max M =1/1999 <=> x = 0 * Mét sè bµi tËp : 1) T×m cùc trÞ cña A = x - 1 + 5 - x 2) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 5 - 3x M= 1 - x2 1 3) T×m cùc trÞ cña B = 15 - 1 - x2 4) Cho hµm sè y = x - 1 - 2 x - 2 + x + 7 - 6 x - 2 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña y . * NhËn xÐt : - Víi bµi to¸n t×m cùc trÞ cña hµm c¨n thøc , tríc khi gi¶i häc sinh cÇn lu ý ®Æt ®iÒu kiÖn ®Ó tån t¹i c¨n thøc vµ nÕu bµi to¸n chøa c¨n d¹ng A2 th× ta ®a ®îc vÒ d¹ng hµm cha dÊu gÝa trÞ tuyÖt ®èi nh vÝ dô 20 , 21 . - Cã trêng hîp ta kh«ng thÓ t×m trùc tiÕp cùc trÞ cña mét biÓu thøc mµ ®i t×m cùc trÞ cña b×nh ph¬ng biÓu thøc ®ã cÇn lu ý biÓu thøc ®ã ph¶i d¬ng nh bµi to¸n ®· tr×nh bµy ë vÝ dô 22 . 17 VI - Cùc trÞ cã ®iÒu kiÖn Lo¹i to¸n cùc trÞ cã ®iÒu kiÖn rÊt ®a d¹ng vµ phong phó . C¸ch gi¶i d¹ng nµy c¬ b¶n ph¶i vËn dông linh ho¹t ®îc ®iÒu kiÖn cña bµi vµ ph¶i kÕt hîp thµnh th¹o nh÷ng bíc biÕn ®æi trung gian , vã thÓ ph¶i sö dông thªm bÊt ®¼ng thøc ®· biÕt nh bÊt ®¼ng thøc Cauchy , Bunhiacopxky hay mét sè bÊt ®¼ng thøc phô kh¸c mµ ta cÇn chøng minh . VÝ dô 25 : Cho x + y = 2 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = x2 + y2 Gi¶i Sö dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopxky Ta cã : ( 1 . x + 1. y ) 2  ( 1 + 1 ) ( x2 + y 2 ) Hay : 2 ( x2 + y 2 )  ( x + y )2 mµ x + y = 2 Nªn 2 ( x2 + y 2 )  4 => x2 + y 2  2 tøc lµ A  2 x= y dÊu b»ng x¶y ra <=> => x = y = 1 x + y =2 VÝ dô 26: Cho 5x + 2y = 10 .T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A = 3xy - x2 - y2 Gi¶i : 10 - 5x Tõ 5x + 2y = 10 => y = 2 => A = 3x (10 - 5x ) - x2 2 10 - 5x 2 30x - 15x2 = 2 100 - 100x + 25x2 - x2 - 2 4 = 1/4 (- 59x2 + 160x - 100 ) = 125/59 - 59/4 ( x - 80/59 )2  125/59 DÊu " = " x¶y ra <=> x = 80/59 x = 80/59 VËy maxA = 125/59 <=> y = 95/59 VÝ dô 27 : a) Cho 2 sè d¬ng x, y tho¶ m·n x + y = 1 1 1 1 1 TÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M = 1 + 1+ 11x y x y Gi¶i : ( x + 1 ) ( y + 1 ) ( x - 1 ) ( y-1 ) M= x2 y2 V× x + y = 1 nªn x -1 = -y vµ y -1 = -x do ®ã ( x + 1 ) ( y + 1 ) xy ( x + 1 ) (y + 1 ) x + y + xy + 1 2 + xy 2 M= = = = = 1+ 18 x2 y2 xy xy xy xy 2 V× xy > 0 nªn M nhá nhÊt <=> const nhá nhÊt <=> xy lín nhÊt mµ x + y = 1= xy nªn xy lín nhÊt <=> x = y = 1/2 2 1 VËy min M = 1 + = 9 <=> x = y = 1/4 2 2 16 x + 4x + 1 b ) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña B = Víi x > 0 2x Gi¶i: 1 B = 8x + 2 + 2x 1 Do x > 0 vµ tÝch 8x . = 4 kh«ng ®æi nªn tæng cña chóng nhá nhÊt <=> 2x 1 8x = <=> 16x2 = 1 <=> x = 1/4 2x 1 VËy min B = 8 . 1/4 + 2 + = 4 +2 = 6 <=> x = 1/4 2. 1/4 VÝ dô 28 : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc 1 2 B= + víi 0 < x < 1 x 1-x Gi¶i : 1 M= 2 + 1-x = 2x 1-x +1 + +2 = 2x + +3 x 1-x x 1-x x 1- x 1- x 2x §Æt =a; = b . Do 0 < x < 1 => 1 - x > 0 = > a > 0 , b > 0 x 1-x ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy cho 2 sè d¬ng a vµ b ta cã : 1-x 2x 1- x 2x a + b  2ab <=>  2 + x 1-x <=> 1-x x 1-x 2x 2 + x + 2 1-x 19 Do ®ã M = a +b  2 2 + 3 , dÊu b»ng x¶y ra <=> VÝ dô 29: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc N= 2x + 3y - 4z biÕt r»ng x,y,z  0 vµ tho¶ m·n hÖ ph¬ng tr×nh 2x + y + 3z = 6 (1) 3x + 4y - 3z =4 (2) Gi¶i : Tõ hÖ ph¬ng tr×nh ®iÒu kiÖn ta cã: 5x + 5y = 10 <=> x + y =2 <=> y = 2 x (*) Thay (*) vµo (1) : 2x + 2 -x +3z =6 <=> x + 3z =4 <=> z = 4/3 - x/3 (**) Thay (*) vµ (**) vµo biÓu thøc N: 16 4 x x 2 4 x N  2 x  3 y  4 z  2 x  3 2  x   4    2 x  6  3x     3 3 3 3 3 3 do x  0 nªn x/3 + 2/3  2/3 , dÊu "=" x¶y ra <=> x =0 x =0 VËy min N = 2/3 <=> y = 2 z = 4/3 Ta l¹i cã : y  0 nªn tõ (*) => x  2 z  0 nªn tõ (**) =>x  4 , tõ ®ã => x  2 Do ®ã x/3 + 2/3  2/3 + 2/3 = 4/3 , dÊu b»ng x¶y ra <=> x =2 VËy max N = 4/3 <=> x =2, y = 0 , z = 2/3 VÝ dô 30: Cho x,y,z lµ c¸c sè tho¶ m·n hÖ ph¬ng tr×nh : x+y+z=5 xy + yz + zx = 8 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ bÐ nhÊt cña x,y,z Gi¶i : x + y + z =5 y+z=5-x XÐt hÖ ph¬ng tr×nh <=> xy + yz + zx = 8 yz = 8 + x2 - 5x Do ®ã y, z lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh : t2 - (5 - x)t + x2 - 5x + 8 = 0 (1) Ta cã  = (5 - x)2 - 4(x2 - 5x + 8 ) = -3x2 +10x - 7 y , z cã gi¸ trÞ lín nhÊt , bÐ nhÊt <=> ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm tøc lµ <=> -3x2 +10x - 7  0 <=> 3x2 -10x + 7  0 <=> (x - 1) ( 3x - 7)  0 <=> 1  x  7/3 V× vai trß x , y , z nh nhau nªn 1  y  7/3 ; 1  z  7/3 . VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña chóng lµ 7/3 vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 1 . * Mét sè bµi tËp : 20
- Xem thêm -