Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Giáo dục - Đào tạo Toán học Skkn một số phương pháp giải toán tích phân....

Tài liệu Skkn một số phương pháp giải toán tích phân.

.DOC
28
860
140

Mô tả:

SÔÛ GIAÙO DUÏC ÑAØO TAÏO ÑOÀNG NAI TRÖÔØNG THPT TRÒ AN TOÅ TOAÙN Mã số : SAÙNG KIEÁN KINH NGHIEÄM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN Người Thực Hiện : Leâ Coâng Quyù Lĩnh vực nghiên cứu Quản lý giáo dục Phương pháp dạy học bộ môn Phương pháp giáo dục Lĩnh vực khác Sản phẩm đính kèm : Mô hình phần mềm phim ảnh Năm học: 2011-2012 Trang1 Hiện vật khác SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC ****** I. 1. 2. 3. 4. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN Họ và tên : Leâ Coâng Quyù Ngày tháng năm sinh : 14/03 /1973 Nam, nữ :nam Địa chỉ : Tổ 1, Khu phố 3, Thị trấn Vĩnh An, Huyện Vĩnh Cửu, Tỉnh Đồng Nai 5. Điện thoại di động : 01677895669 6. Fax: e- mail: 7. Chức vụ: 8. Đơn vị công tác: Trường THPT Trị An II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO: - Học vị: cử nhân - Năm nhận bằng : 1996 - Chuyên ngành đào tạo: Toaùn III. KINH NGHIỆM KHOA H ỌC - Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm : dạy học môn Toaùn - Số năm có kinh nghiệm: 16 năm - Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 2 năm gần đây : Phương pháp giải phương trình lượng giác Trang2 I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chöông trình toaùn hoïc phoå thoâng , Tích phaân laø moät vaán ñeà khoù ñoái vôùi hoïc sinh , thöôøng hoïc sinh luùng tuùng khi laøm baøi, khoâng bieát baét ñaàu töø ñaâu, xuaát phaùt töø caùi gì, söû duïng phöông phaùp gì caùch bieán ñoåi naøo cho phuø hôïp . ñoïc baøi giaûi , saùch tham khaûo thì coù theå hieåu ñöôïc nhöng khi thöïc haønh thì khoù vaø thöôøng maéc sai laàm khi laøm toaùn . Tröôùc thöïc traïng ñoù baûn thaân toâi qua nhieàu naêm giaûng daïy . ñaõ ñuùc keát ñöôïc moät vaøi kinh nghieäm nhoû khi giaûi toaùn tích phaân. xin ñöôïc trình baøy döôùi ñaây ñeå ñoàng nghieäp vaø hoïc sinh coù theå tham khaûo vaø goùp yù kieán. Ñeà taøi tích phaân thì roäng , ôû ñaây toâi chæ giôùi thieäu moät số phöông phaùp giaûi baøi toaùn tích phaân maø trong quaù trình giaûng daïy hay gaëp nhaát. Beân caïnh ñoù ñöa baøi toaùn minh hoïa vaø caùch giaûi cuï theå roû raøng. Töø thaáp ñeán cao , töø ñôn giaûi ñeán phöùc taïp, ñeå hoïc sinh coù theå tham khaûo vaø hình thaønh ñöôïc phöông phaùp giaûi cho mình, töø ñoù thaáy höùng thuù hôn trong hoïc taäp moân Toaùn noùi chung vaø phöông phaùp giaûi tích phaân noùi rieâng. Trang3 II. TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN - Từ cơ sở sách giáo khoa giải tích lớp 12 nâng cao do nhà giáo Đoàn Quỳnh tổng chủ biên tôi tóm tắc phần lý thuyết như sau: a. Định nghĩa tích phân : cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân của f(x) từ a đến b và ký hiêu là: trong trường hợp a < b ta gọi  b a  f ( x) dx b a f ( x) dx là tích phân của f(x) trên đoạn [a;b] người ta còn dùng ký hiệu để chỉ hiệu số F(b) – F(a) vậy theo định nghĩa ta có :  b a b f ( x) dx F ( x) a = F(b) – F(a) = b. Tính chất của tích phân : giả sử các hàm số f(x) ,g(x) liên tục trên khoảng K và a,b,c là các số thuộc K. (1) (2) (3) (4) (5)  a  b  b a a a  b  b a a f ( x)dx  0 a f ( x)dx    f ( x)dx b c c b a f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx b b a a [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx b kf ( x)dx  k  f ( x)dx a (k : hằng số) - Trong sách giáo khoa các phương pháp tính tích phân chưa thật sự đầy đủ các dạng bài tập . do đó chưa đáp ứng đủ nhu cầu kiến thức phục vụ cho học sinh tham gia các kỳ thi như trung học chuyên nghiệp, cao đẳng và tuyển sinh đại học . Thông qua đề tài này , tôi đã phân loại , bổ sung thêm các dạng toán mà sách giáo khoa chưa giới thiệu theo tinh thần từ thấp đến cao, từ đơn giản đến phức tạp . mỗi loại có trình bày phương pháp cụ thể và ví dụ minh họa , bài giải một cách rõ ràng để học sinh và đồng nghiệp tiện tham khảo. Trang4 2. NỘI DUNG , BIỆN PHÁP THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI: a. Tính tích phân bằng định nghĩa phương pháp: xác định được ngay nguyên hàm của hàm số dưới dấu tích phân rối áp dụng định nghĩa để tính tích phân ví dụ 1: tính các tích phân sau:  4 3 a)  (x 3  1)dx b) 1  4   cos  2   3 sin x dx x  4 2 c)  x  1dx 2 giải 3  ( x  1)dx a) 1  4 b)  4   cos  2 3 4 3 ( = x  x) 4 1   3 sin x dx x  4 4 tan 34 1  3  (  1) 4 = 4 = 24 ( 4 tan x  3 cos x) =  4   4 =      3 cos  (4 tan  3 cos )8 4 4 4 4 2 c)I =  x  1dx 2 x - 1 neu x  1 x 1   1  x neu x  1 vì 1 2 I   (1  x)dx   ( x  1)dx 2 1 1 2 x2 x2  ( x  )  (  x) 2 2 2 1  1- 1 1  (2  2)  2  2  (  1)  5 2 2 Chú ý: ở dạng này học sinh thường mắc sai lầm khi lấy nguyên hàm , các em thường để cả dấu trị tuyệt đối khi lấy nguyên hàm . Trang5 x2 x 2 Sai lầm : nguyên hàm của f(x) = x  1 là F(x) = b. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số : b Tính tích phân  f ( x)dx a Cơ sở của phương pháp đổi biến số là công thức sau đây b u (b ) a u(a)  f  u ( x)u ' ( x)dx   f (u)du Trong đó hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, hàm số y = f(u) liên tục và sao cho hàm số f[u(x)] xác định trên K; a,b là 2 số thuộc K b  g ( x).h( x)dx chú ý: nếu tính tích phân a bằng phương pháp đổi biến đặt u = u(x) sao cho : h(x) = k u’(x) ( k hằng số ) và g(x) biểu diển được theo u ví dụ : Tính các tích phân sau: 1 a) I = e x 2  4 xdx 0 b) J = 1 phân tích : a) I = cos 2 x 0 1  2 sin 2 x dx e 1  ln x 1 x dx c) H = x  e xdx 2 0 2 x Ta xem g(x) = e ; h(x) = x Đặt u = -x2  g(x) = eu ( g(x) : biểu diễn được theo u ) 1  u ' ( x) u’(x) = -2x = -2h(x)  h(x) = 2 ( h(x) : bằng u’(x) nhân hằng số ) Vậy bài toán đặt u = -x2 là hợp lý giải Trang6 1  du a) Đặt u = -x2  du = -2xdx  xdx = 2 Đổi cận x = 1  u = -1 x=0u=0 1 do đó I = 0 1 1 1   e u du   e u du  e u 20 2 1 2 0 1 e 1  (e 0  e 1 )  2 2e 1  4 b) J = cos 2 x 0 1  2 sin 2 x dx du đặt u = 1+2sin2x  du = 4cos2xdx  cos2xdx = 4  đổi cận x = 4  u = 3 x= 0  u = 1 3 1 1 1 1 1 3 du  ln u 1  (ln 3  ln 1)  ln 3  4 4 4 do đó J = 4 1 u e 1  ln x 1 x dx c) H = 1 dx đặt u = 1+ lnx  du = x đổi cận x = e  u = 2 x=1u=1 2 do đó H = u2 1 udu  2 2  2 1 1 3  2 2 c. Tích phân hàm số hữu tỉ: Trang7 dx 1 a 1 Dạng 1: I =  ax  b  a  ax  b dx  a ln ax  b  C Dạng 2: I =  ax 2 dx (a  0)  bx  c ( với  = b2 -4ac)  nếu  > 0 : ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2) nên I=  1 1 1    a ( x1  x 2 )  x  x1 x  x 2  x  x1 1 dx  ln C a ( x  x ) x  x  1 2 2  nếu  = 0 : ax2 + bx + c = a(x – x0)2 ( với x0 =  b 2a ) nên 1 dx 1  C 2  a a ( x  x ) ( x  x ) 0 0 I =     a ( x  x 0 ) 2  ( 2 )  ) 4a   nếu  < 0: ax2 + bx + c = a(x- x0)2 + 4a =  ( 1 du 2 2  nên I có dạng I = a u   dùng đổi biến u = tant Dạng 3: I = (mx  n)dx 2  bx  c  ax  (ax 2  bx  c)'  1   . ax 2  bx  c   . ax 2  bx  c dx phân tích I = 1 (mx  n)dx  chú ý: nếu  > 0 ta có : I = a ( x  x1 )( x  x2 ) mx  n A B   phân tích ( x  x1 )( x  x 2 ) x  x1 x  x2 đồng nhất hệ số ta tìm được A,B sau đó đưa về dạng 1 Trang8 1 ( mx  n)dx 2  nếu  = 0 ta có I = a ( x  x0 ) = mx0  n mx  n 1 m 1 (  )dx  ln x  x 0  0 C 2  a x  x0 ( x  x0 ) a x  x0 ví dụ: Tính các tích phân sau: 2 2 dx 1 2x  1 A= xdx 1 (2 x  1) 2 ;B= ; C= 1 2 2 xdx 0 x 2  3x  2 1 ;D= x 0 4x  3 dx  x 1 2 giải: 2 A= 2 dx  2x  1 1 = 1 d (2 x  1) 2 1 1 1 l n 2 x  1 1  (ln 3  ln 1)  ln 3  2 1 2x  1 = 2 2 2 2 xdx 1 (2 x  1) 2 12 B= =   2 2x  1 1 2 xdx 1   1 (2 x  1) 2 2  1 (2 x  1) 2 (2 x  1) 2  dx = 2  2 1 1 1  dx  2   1 2 x  1 (2 x  1)  = 4 2 d (2 x  1) 1 1 2 x  1 + 4 1 2 2 1 1  1 1 1 1   4 ln3 - 4  3  = 4 ln3 + 6 1 2 C= x 0 2 2 xdx  3x  2 1 2 = 2 2 d (2 x  1) 1 1 1 (2 x  1) 2 14 ln 2 x  1 1  4 2 x  1 1 = = 2 xdx  ( x  1)( x  2) 0 2x A B A( x  2)  B ( x  1) ( A  B ) x  2 A  B     ( x  1 )( x  2 ) x  1 x  2 ( x  1 )( x  2 ) ( x  1)( x  2) phân tích : A  B  2  A  2   giải hệ :  2 A  B  0 B  4 Trang9 1 2 C  ( 0 1 2 4  )dx   2 ln x  1 02  4ln x  2 x 1 x  2 1 2 0 1 3  2. ln  4. ln  2 ln 2  4 ln 3  4 ln 2  4 ln 3  2 ln 2 2 2 1 x D= 0 4x  3 dx  x 1 2 4x  3  (2 x  1)    2 Phân tích : x  x  1 x 2  x  2 x  x  1 2 2  4   2   giải hệ     3   1 1 D= 4x  3 0 x 2  x  1dx 1 = 2 0 1 Ta có: 1 I 0 đặt 1 2x  1 1 dx   2 dx 2 x  x 1 x  x  1 0 1 1 2x  1 d ( x 2  x  1) 2 2 dx  2  2  2 ln x 2  x  1  2 ln 3 0 x  x 1 0 x  x 1 0 1 1 1 dx   dx 2 2 2 x  x 1   0  1 3  x     2   2   x 1 3     tan t , t    ;  2 2  2 2  đổi cận : x = 0  t = 6  x= 1  t = 3 Trang10 3 (tan 2 t  1)dt 2 dx = 2 2 1  3 3    (tan 2  1) x       2  2  4   3   I= 6 3 (tan 2 x  1) 2 dt 3 2 (tan x  1) 4 =  3 2   3 dt  2 3 t 6  3  6  2    36 3 3  vậy D = 2ln3 + 3 3 d. Tích phân của hàm vô tỉ: phương pháp : 1) khi gặp tích phân của hàm chứa đặt u = n n f ( x ) ta dùng phương pháp đổi biến số , f ( x ) ( f(x) : đa thức hoặc phân thức) nếu biến số vừa nêu không giải được thì : 2 2 + dùng x = acost ( hoặc x = asint ) khi gặp a  x 2 2 + dùng x = atant khi gặp a  x 2) với dạng  (mx  n) dx 1 ax 2  bx  c , đặt u = mx  n 2 nếu (ax2+bx+c)’ = k(mx + n) ta có thể đặt u = ax  bx  c ví dụ : Tính các tích phân sau: 1 a) A   3 0 x 1 3x  1 1 dx; b) B   0 xdx 1  2x  1 1 ; c)C   0 x 3 dx x2  2 giải 1 a) A3 0 x 1 3x  1 dx Trang11 3 đặt u = u3 1 3x  1  u3 = 3x + 1 3u2du = 3xdx  u2du = xdx và x = 3 đổi cận : x = 0  u = 1 3 x=1u= 4 u3 1 3 4 3 1 4 4 5   1 1 u 1  83 2 6 2 4 2 3   A  u du   (u  2u )du    u     23 2    u 3 1 3 5 3 5 5 1 1 3 1 b) 1  183 2  3  5 xdx B 1  2x  1 0 u2 1 2 x  1  u 2  2 x  1  2udu  2dx  udu  dx và x = 2 đặt u = đổi cận : x = 0  u = 1 x=1u= 3 u 2 1 3 .udu 3 3 2   1 1 u u 1 9 1 1 3 13 2 B  2   (u  u ) du       3       1 u 2 1 2 3 2 1 2 2 3 2 2 6 1 3 1 c) C 0 x 3 dx x2  2 2 2 2 đặt u = x  2  u  x  2  udu  xdx và x2 = u2 – 2 đổi cận : x = 0  u = 2 x=1u= 3 1 C 0 3 (u 2  2)udu    u x2  2 2 x 2 xdx  u3    u  2 du   2 u   3   2 3  2  Trang12 3  32 3( 2 2 2 4 2  2 2)  3 3 2 Ví dụ 2: A 1 1 dx x 2x 2  2x  1 ;B   0 dx ( x  1) x 2  2 x  2 Giải 2 A 1 dx x 2x  2x  1 2 1 1 1  2 du đặt u = x  x = u  dx = u đổi cận : x = 1  u = 1 x=2u=½ 1 1 du du 1 1 2 2 u u A   1 2 2 2 2 1 1 1 1 1  1 2  1 2 2 2 2 u u u u u u u 1 2   ln u  1  (u  1) 2  1 chú ý:  dx ( x  a)  b 2 1 B 0 1 1 2  ln(2  5 )  ln( 1 du u2 1 2  2u  u 2  1 2 du 2  2u  u 2 1  1 2 du (u  1) 2  1 3  13 42 5 )  ln 2 3  13  ln x  a  ( x  a ) 2  b  C dx ( x  1) x 2  2 x  2 2 đặt t = x  2 x  2  t2 = x2 + 2x + 2  tdt = (x+ 1)dx đổi cận : x = 0  t = 2 x=1t= 5 1 B 0  ( x  1)dx ( x  1) 2 5 tdt   2  ( t  1 ) t x 2  2x  2 2 5 5 dt 1  1 1  1 t 1  t 2  1  2   t  1  t  1 dt  2 ln t  1 2 2 1  5 1 2  1  1 ( 5  1)( 2  1) ln  ln  ln 2  5 1 2  1  2 ( 5  1)( 2  1) Trang13 5 2 1 Ví dụ 3: 3 dx  A 1 / 2 dx;B  8  2x  x 2 1 x2 dx x2  1 giải 1 A  1 / 2 1 dx 8  2x  x 2 dx  dx  9  ( x  1) 2 1 / 2     ;  đặt x-1 = 3sint , x  2 2   dx = 3costdt đổi cận : x =  1   2t= 6 x=1t=0 9  ( x  1) 2  9  9 sin 2 t  9(1  sin 2 t )  3 cos 2 t  3 cos t 0  Do đó : A = 3 B  1  3 cos tdt  3 cos t 6 0   0 dt  t    6  6 6 1 x2 dx x2     ;  đặt x = tant , x  2 2  đổi cận : x =  3 t = 3  x=1t= 4 dx = (1 + tan2x)dt 1  x 2  1  tan 2 t , x2 = tan2t Trang14  3  3   1  tan t (1  tan 2 t )dt   2 tan t  4 4 B= 2 1   3 3 2 1 1 cos t cos t . dt  dt  dt 2 2 2 2 2   sin t cos t  cos t . sin t  cos t . sin t 4 4 cos 2 t đặt u = sint  du = costdt  3 u 2 đổi cận : t = 3 2  u 2 t= 4 3 2 B= du  (1  u 2 2 2 )u 2 = 3 2 1  1  1   u 2  1  u 2 du   u 2 2  2 2  3 2 2 2 1  2 3 2 1 1 1  ( u  1  u  1)du   u 2 2 3 2 2 2 1 u 1  ln 2 u 1 3 2 2 2 1 32 2  2  2 2 1  ( 3  2)( 2  2)    ln  ln    ln 3 2 32 2  2  2 3 2  ( 3  2)( 2  2)  2 e.Tích phân hàm lượng giác *Xét tích phân dạng  R(sin x, cos x)dx nếu R( sin x, cos x)   R(sin x, cos x) thì đổi biến số t = cosx nếu R(sin x, cos x)   R(sin x, cos x) thì đổi biến số t = sinx nếu R( sin x, cos x)  R(sin x, cos x) thì đổi biến số t = tanx x nếu 3 cách trên thất bại đặt t = tan 2 sin *Dạng đặt biệt  n x cos m xdx(m, n  Z ) nếu n lẻ, m chẵn : đổi biến số t = cosx nếu n chẵn, m lẻ : đổi biến số t = sinx Trang15 nếu n lẻ, m lẻ : đổi biến số t = sinx ( hoặc t =cosx) nếu n chẵn, m chẵn và mn < 0 : đổi biến số t = tanx Ví dụ1: Tính các tích phân sau:  2 A=  cos 2  2  sin 4 x. cos 2 xdx 2 xdx 0 ;B=  2  2 0 giải: A=  cos 2 2 xdx = 0  1 1 sin 4 x 2  ( 1  cos 4 x ) dx  ( x  )  2 0 2 4 4 0  2  sin 4 x. cos 2 xdx B= 0 =  2  2 1 1  cos 2 x cos 6 x  1 1 1 1 1 2 (sin 2 x  sin 6 x) dx               20 2 2 6 0 2 2 6 2 6 3 Ví dụ 2:  2 3 cos x  sin 4 x dx A= 6  3 sin 2 x D dx sin x 3 2 4 sin x cos xdx C  dx cos x   0 cos x 6 ; B= 0 ; ;  giải  2 cos 3 x  4 dx  sin x * A=  4 6 đặt t = sinx  dt = cosxdx  1 đổi cận x = 6  t = 2 Trang16 3  x= 2 t=1  2  2 1 1 6 2 2 cos x. cos x (1  sin 2 x). cos x 1 t 2 1 1 A  dx   dx   4 dx    4  2 dx 4 4 sin x sin x t    1 t 1t 2 6 1 1  1 1  8  4    3     1    2  t1 3  3t  3  3 2   sin 3 x cos 2 xdx * B= 0 đặt t = cosx  dt = -sinxdx  sinxdx = -dt đổi cận x = 0  t = 1 x =   t = -1   sin 2 x cos 2 x sin xdx  B= 0   (1  cos 0 = 1 2 1 2 2 2 1 1 1  t3 t5  1 1 1 1 4           3 5  1 3 5 3 5 15  3 * 1 x) cos x sin xdx    (1  t )t dt   (1  t )t dt   (t 2  t 4 )dt 2 sin 3 x C dx cos x 0 đặt t = cosx  dt = -sinxdx  -dt = sinxdx đổi cận : x = 0  t = 1  1 x= 3 t= 2 Trang17 2 1  3 1 2 1 1 2 2 1  cos x 1 t2 1 t 2 1 C . sin xdx    dt   dt   (  t )dt cos x t t 1 1 t 0 1 2 1 t2 1  1 1 3  (ln t  )     ln      ln 2 2 1 2  2 8 8 2 chú ý : ta có thể đặt t = sinx  dt = cosxdx  3 3 sin x C cos xdx  2 0 cos x khi đó 3 2  0 t3 dt 1 t2 dùng tích phân hàm hữu tỉ ta tính được , tuy khá phức tạp hơn cách làm trên , trong trường hợp này ta nên dùng đổi biến đặt t = cosx biến ở mẫu số .  4 sin 2 x D dx 4 cos x  * 6 1 dx 2 Đặt t = tanx  dt = cos x  3  đổi cận: x = 6  t = 3 ; x = 4  t = 1  4   4 sin 2 x D dx 4  cos x 6 = 1 1 t3 2 tan x . . dx  t dt   1 3 cos 2 x  6 1 2 3 1 3 1 1  1 1  1     3 3 3  3 9 3 f.Phương pháp tích phân từng phần Cơ sở của phương pháp này là công thức sau: Trang18 b  u ( x)v' ( x)dx  (u( x)v( x)) a b a b   v( x)u ' ( x)dx a Trong đó các hàm số u,v có đạo hàm liên tục trên K và a,b là hai số thuộc K Ta còn viết công thức dưới dạng: b  udv  uv b a a b   vdu a Các loại tích phân dùng phương pháp từng phần thường gặp:  P( x)Q( x)dx nếu P(x) : đa thức Q(x) các hàm sau : eax+b , sin(ax + b) , cos(ax + b) đặt u = P(x) ; dv = Q(x)dx nếu P(x) : đa thức Q(x) : loga(cx + d) đặt u = Q(x) ; dv = P(x)dx V í d ụ: Tính tích phân các hàm số sau: 1 3x xe  dx a) A= 0 b) B=  2  6 0 c) C= 0  ( x  1) cos xdx 5  2 x ln( x  1)dx d) D = 2 giải: 1  xe 3x dx a)A= 0 đặt u = x  du = dx e 3x dv = e3xdx  v = 3 Trang19  (2  x) sin 3xdx 1 A= 1 e3x e3x x  dx 3 0 0 3 1 3x e3 e e 3 e 3 1 2e 3 1 9 0 3  9 9 9 9 = 3 =  2  ( x  1) cos xdx b)B = 0 đặt u = x - 1  du = dx cosxdx = dv  v = sinx (x - 1)sinx B=  2 0  2   sin xdx 0      1  cos x 2 11  2 2 0 = 2 = 2  6 c) C =  (2  x) sin 3xdx 0 đặt u = 2 – x  du = - dx cos 3x dv = sin3xdx chọn v = - 3 - (2 - x) C= cos3x 3  6 0  6  0 cos 3x 2 sin 3x dx   3 3 9 5 d) D =  2 x ln( x  1)dx 2 1 dx đặt u = ln(x-1)  du = x  1 dv = 2x dx chọn v = x2 – 1 Trang20  6 0  2 1 5   3 9 9
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan