Tài liệu Skkn một số phương pháp giải toán cực trị ở thcs

Phßng gi¸o dôc vµ ®µo t¹o huyÖn mü hµo Trêng thcs t® lª h÷u tr¸c a KINH NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ THCS Lĩnh vực/ môn học: Toán học Người thực hiện: Vũ Thị Hồng Liên Chức vụ: Giáo viên N¨m häc 2015 – 2016 0 CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc -----------O0O----------SƠ YẾU LÍ LỊCH Họ và tên: VŨ THỊ HỒNG LIÊN Ngày, tháng, năm sinh: 01/ 02 / 1972 Năm vào ngành: 1992 Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS trọng điểm Lê Hữu Trác Trình độ chuyên môn: Đại học toán Bộ môn giảng dạy: Môn toán 1 A MỞ ĐẦU I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu Toán học là một môn học chiếm vị trí quan trọng trong trường phổ thông. Dạy toán tức là dạy phương pháp suy luận. Học toán tức là rèn luyện khả năng tư duy lôgic. Các bài toán là một phương tiện tốt trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng kỹ sảo. Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ( hay còn gọi là các bài toán cực trị ) là những bài toán đi tìm cái lớn nhất, nhỏ nhất, rẻ nhất, đắt nhất, ngắn nhất, dài nhất … để dần dần hình thành cho học sinh có thói quen đi tìm một giải pháp tối ưu cho một công việc cụ thể nào đó trong thực tiễn sau này. Các bài toán cực trị là các bài toán tương đối hay và cũng tương đối khó, loại này rất phong phú và đa dạng đòi hỏi phải vận dụng kiến thức một các hợp lý, nhiều khi độc đáo và bất ngờ. Các bài toán cực trị thường được đưa vào lớp chọn, trường chuyên với những đối tượng học sinh khá và giỏi, trong sách giáo khoa ít đề cập đến các bài tập loại này. Toán cực trị cũng là loại toán rất gần gũi với thực tế, có nhiều ứng dụng trong thực tế. Chẳng hạn: - Hai xóm A và B cách nhau một con sông. Tìm vị trí ở bờ sông để bắc một cây cầu sao cho quãng đường từ A đến B là ngắn nhất. - Một cửa sổ hình chữ nhật cao h(m). Phần trên là nửa đường tròn đường kính d(m); chu vi của cả cửa sổ là 6(m). Hãy xác định h, d sao cho cửa sổ có diện tích bé nhất.Điều này chứng tỏ là toán học và thực tiễn không tách rời nhau. Trong chương trình toán học ở THCS, học sinh mới thực sự làm quen với loại toán cực trị từ năm lớp 7, kiến thức về loại toán này được nâng dần ở lớp 8 và lớp 9 và được học nhiều hơn trong chương trình THPT. Toán cực trị được nhắc đến nhiều trong các loại sách đọc thêm hoặc trong các tài liệu tham khảo, do đó giáo viên toán thường vất vả trong việc sưu tầm, tuyển chọn mới gây được hứng thú học tập, lòng say mê học toán của học sinh. Với mong muốn có được một tài liệu hệ thống về toán cực trị để dạy cho học sinh ở trung học cơ sở tôi sưu tầm, tuyển chọn một số phương pháp giải toán cực trị và một số bài toán cực trị thông dụng ở bậc THCS và viết thành đề tài: “Một số phương pháp giải toán cực trị ở THCS” để góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy bộ môn toán tại trường trung học cơ sở. 2. Ý nghĩa của giải pháp mới Trên cơ sở nghiên cứu đề tài, tôi đã hệ thống lại phân loại các bài tập về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên cơ sở hệ thức các kiến thức liên quan, xây dựng mô hình, giải pháp chung cho từng loại, có kế hoạch cho học sinh tiếp cận từng bài sao cho phù hợp với thời lượng chương trình và nội dung kiến thức, sau mỗi nội dung 2 thực hiện tôi có phương pháp kiểm tra đánh giá kịp thời nhằm đánh giá sự tiến bộ của học sinh, cũng như thu lại tín hiệu ngược từ quá trình giảng dạy để từ đó có các biện pháp cải tiến phương pháp dạy học cho phù hợp với từng đối tượng học sinh, nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy và gây hứng thú say mê cho học sinh. Trong quá trình dạy học để tránh khô khan, nhàm chán tôi kết hợp nhiều phương pháp, kỹ thuật dạy học khác nhau như tổ chức hoạt động nhóm, dạy học nêu và giải quyết vấn đề, bàn tay nặn bột … nhằm phát huy tối đa tính tích cực của học sinh giúp học sinh ghi nhớ vận dụng hiệu quả hơn nội dung tri tức chiếm lĩnh được. 3. Phạm vi nghiên cứu Đề tài được nghiên cứu tại trường THCS trọng điểm Lê Hữu Trác, huyện Mỹ Hào, Tỉnh Hưng Yên. Đối tượng nghiên cứu Học sinh lớp 9B, 8B là lớp thực nghiệm, lớp 8A, 9A là lớp đối chứng Lĩnh vực khoa học nghiên cứu là lĩnh vực toán học khối 8,9. II. PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH 1. Cơ sở lí luận Tri thức khoa học của nhân loại càng ngày càng đòi hỏi cao. Chính vì vậy, việc giảng dạy trong nhà trường phổ thông ngày càng đòi hỏi nâng cao chất lượng toàn diện, đào tạo thế hệ trẻ cho đất nước có tri thức cơ bản, một phẩm chất nhân cách, có khả năng tư duy, sáng tạo, tư duy độc lập, tính tích cực nắm bắt nhanh tri thức khoa học. Môn Toán là môn học góp phần tạo ra những yêu cầu đó. Việc hình thành năng lực giải Toán cho học sinh trung học cơ sở là việc làm chính không thể thiếu được của người thầy, rèn luyện cho các em có khả năng tư duy sáng tạo, nắm chắc kiến thức cơ bản, gây được hứng thú cho các em yêu thích môn Toán. Môn Toán có vị trí đặc biệt quan trọng trong trường phổ thông, có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ .Toán học là một môn khoa học gây nhiều hứng thú cho học sinh, nó là một môn học không thể thiếu trong quá trình học tập, nghiên cứu và cả trong cuộc sống hàng ngày. Một nhà toán học có nói: “Toán học được xem như là một khoa học chứng minh”. Thật vậy, do tính chất trừu tượng, tính chính xác, tư duy suy luận logic. Toán học được coi là "môn thể thao trí tuệ" rèn luyện cho học sinh trí thông minh, sáng tạo. Trong các môn học ở trường phổ thông, Toán học được coi như là một môn học cơ bản, là nền tảng để các em phát huy được năng lực bản thân, góp phần tạo điều kiện để các em học tốt các môn khoa học tự nhiên khác. 3 Vậy dạy như thế nào để học sinh không những nắm chắc kiến thức cơ bản, mô ôt cách có hê ô thống mà còn phải được nâng cao phát triển để các em có hứng, thú say mê học tâ pô là mô ôt câu hỏi mà mỗi thày cô luôn đă tô ra cho mình. Tuy nhiên để học tốt môn toán thì người giáo viên phải biết chắt lọc nội dung kiến thức, phải đi từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng và phát triển thành tổng quát giúp học sinh có thể phát triển tư duy toán học, làm cho các em trở nên yêu thích toán hơn từ đó các em có ý thức học tập đảm bảo yêu cầu của thời đại mới. 2. Cơ sở thực tiễn Là một giáo viên dược phân công giảng dạy môn toán lớp 9 với đối tượng học sinh khá giỏi, các em có tư duy nhạy bén và nhu cầu hiểu biết ngày càng nâng cao, làm thế nào để phát huy được hết khả năng của các em đó là trách nhiệm của mỗi giáo viên chúng ta. Qua giảng dạy chương trình toán 9 tôi nhận thấy đề tài về giải bài toán cực trị là một đề tài thật lí thú, phong phú đa dạng không thể thiếu ở môn toán THCS. Giải bài toán về tìm cực trị là mô tô dạng toán hay, khó, với mong muốn cung cấp cho các em một số phương pháp giải các bài toán về cực trị, giúp các em làm bài tập tốt hơn nhằm tích cực hoá hoạt động học tập, phát triển tư duy. 3. Các biện pháp tiến hành Trong quá trình nghiên cứu sách giáo khoa, tài liệu tham khảo… trong xu thế đẩy mạnh công cuộc đổi mới căn bản, toàn diện trong giáo dục, xuất phát từ mâu thuẫn giữa thực tiễn dạy học và đảm bảo chuẩn mục tiêu đầu ra, tôi nhận thấy phải đổi mới toàn diện từ mục tiêu, nội dung, phương pháp dạy học, cho từng nội dung, từng bài, từng chương, nhằm tích cực hóa hoạt động của người học, để người học tự giác tích cực chiếm lĩnh tri thức, hình thành và phát triển năng lực nhận thức, năng lực hành vi. Trong phạm vi của đề tài, tôi đã thực hiện một số biện pháp đat hiệu quả cao như xây dựng cho các em hệ thống kiến thức, các em hiểu thật sâu các kiến thức và cách vận dụng các kiến thức đó để giải quyết những bài toán nào, xây dựng phương pháp giải cho từng loại và có các ví dụ minh họa. Đổi mới phương pháp dạy học và đổi mới đánh giá, vừa thực hiện tự đánh giá vừa đánh giá đồng đẳng, sau khi thực hện xong nhiệm vụ đưa ra đáp án chuẩn, học sinh tự đánh giá và đánh giá chéo nhau để đảm bảo tính khách quan , kết hợp với đánh giá của giáo viên. 4 Giáo viên nhận xét đánh giá các cách giải hay nhằm động viên khích lệ kịp thời học sinh, giúp các em có hứng thú trong học tập và phát huy hết khả năng sáng tạo của bản thân, giúp cho các em phát triển toàn diện về trí tuệ, thể lực, nhân cách, đồng thời rèn cho các em các kỹ năng như giao tiếp, nhận xét, đánh giá, … 4. Thời gian tạo ra giải pháp Tôi nghiên cứu và thực hiện đề tài này trong năm học 2014-2015 và đầu năm học 2015-2016 hoàn thành vào tháng 2 năm 2016 5 B. NỘI DUNG I MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI - Giúp học sinh có hệ thống các bài tập về cực trị ,có phương pháp giải phù hợp cho từng loại. - Giúp học sinh có hứng thú học tập bộ môn, từ đó tích cực chủ động trong việc chiếm lĩnh tri thức. - Rèn tư duy sáng tạo, phân tích, tổng hợp và kĩ năng vận dụng kiến thức khi giải bài toán. Học sinh tự giác chủ động tìm tòi, phát hiện giải quyết nhiệm vụ nhận thức và có ý thức vận dụng linh hoạt sáng tạo các kiến thức kỹ năng đã thu nhận được.Củng cố và hướng dẫn học sinh làm bài tâ ôp để nâng cao chất lượng giờ dạy, và nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ cho bản thân, Coi đề tài là một tài liệu nghiên cứu đê thông qua đó giới thiệu cho bạn bè đồng nghiệp tham khảo vận dụng vào quá trình giảng dạy môn Toán ở trường THCS đạt hiệu quả cao. II. PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH 1.Mô tả giải pháp của đề tài PHẦN I: CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG ĐẠI SỐ Chương I. Những kiến thức cơ bản. I- Khái niệm. Cho một hàm số f(x) xác định trên một miền D. 1. M được gọi là giá trị lớn nhất của f(x) trên miền D nếu 2 điều kiện sau đồng thới được thoả mãn: x  D a, f(x)  M , b,  x0  D sao cho f(x0) = M. Ký hiệu M = maxf(x), x  D 2. M được gọi là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên miền D nếu 2 điều kiện sau đồng thời được thoả mãn: a, f(x)  M, x  D b,  x0  D sao cho f(x0) = M. Ký hiệu M =minf(x), x  D. II- Các kiến thức thường dùng: 6 x2  0 với mọi x 1. Tổng quát [ f(x) ]2n  0, x  R, n  Z [ f(x) ]2n + M  M Suy ra: 2. a, và -[ f(x) ]2n + M  M  0 với mọi x x b, x  y c, x  y  + x  - x , dấu “=” xảy ra khi x, y cùng dấu. y , dấu bằng xảy ra khi x,y cùng dấu. y Chứng minh: a,  0 . Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối. x b, Ta có  xy  xy x  2  x2 + 2 x  ( x Do + x Nên x + y y   2xy + y2  x2 + 2xy + y2 y 0; y x +  xy y y )2  ( x  y x  y )2 0 x  y Dấu bằng xảy ra khi x, y cùng dấu, hoặc x hoặc y bằng 0 c, Ta có: xy  xy  - xy  -xy. Tương tự phần b ta chứng minh được x - y  x  y Dấu bằng xảy ra khi x, y cùng dấu, hoặc x hoặc y bằng 0. 3. Bất đẳng thức Côsi ( Cauchy) và các dạng của bất đẳng thức Côsi a, ( a + b )2  4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b b, a b  2 b a c, a+b2 , ( a.b > 0 ) dấu bằng xảy ra khi a = b ab , ( a  0, b  0 ) dấu bằng xảy ra khi a = b Hệ quả: + a  0, b  0 và a + b = k ( không đổi ) Thì (a.b) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi a = b. Hai số không âm có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi hai số đó bằng nhau. + a  0, b  0 và a.b = k ( không đổi ) Thì (a + b) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi a = b. 7 Hai số không âm có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau. Suy ra: Trong các hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình xuông có chu vi nhỏ nhất. Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất. 4. Bất đẳng thức Bunhia cốpxki. (ax + by)2  (a2 + b2) (x2 + y2) a x  b y Dấu bằng xảy ra khi (a,b tỷ lệ với x, y) Chứng minh: Xét hiệu: (ax + by)2 – (a2 + b2) (x2 + y2) = a2x2 + b2y2 + 2abxy - a2x2 - a2y2- b2x2 - b2y2 = - (a2y2 - 2abxy - b2x2) = - (ay – bx)2  0 (ax + by)2  (a2 + b2) (x2 + y2) Do đó: a x  b y  Dấu bằng xảy ra khi ay = bx Tổng quát: (a1x1 + a2x2 + … + anxn)2   a 12  ...  a 2n  x 12  ...  x 2n  a a a 1 2 n Dấu bằng xảy ra khi: x  x  ...  x 1 2 n III- Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. 1. Phương pháp bất đẳng thức Đây là phương pháp sử dụng nhiều, hay gặp. Ở đây cần sử dụng các kỹ năng biến đổi đồng nhất, các bất đẳng thức để xuất hiện các dấu hiệu nhận biết trong khái niệm (Phần I), từ đó xác định được giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của một biểu thức. Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: f(x) = x2 + x + 1. Với biểu thức trên miền D là toàn bộ miền xác định của biểu thức, là tập R. Ta có: f(x) = x2 + x + 1 = x2 + x + 1 3  4 4 8 f(x) = (x + 1 2 )2 + 3 4 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là  3 4 3 1 khi x = - 2 4 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 1 x  4x  10 2 Nhận xét: x2 – 4x + 10 = (x-2)2 +6  6, x  D (D=R) Tử là hằng số dương Do đó: A lớn nhất khi và chỉ khi mẫu số đạt giá trị nhỏ nhất Mẫu số có giá trị nhỏ nhất bằng 6 khi x = 2 Suy ra A đạt giá trị lớn nhất bằng 1 6 khi x = 2 Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = x-2  4-x Trước hết xác định miền D = {x 2  x  4} Ta viết y = 1. x - 2  1. 4 - x Áp dụng bất đẳng thức Bunhia cốpxki ta có: y2  (12 + 12)(x – 2 + 4 - x) y2  4 Do y > 0 nên max y = 2 khi x-2 4-x 1 hay x = 3  D Vậy giá trị lớn nhất của y là 2 khi x = 3. 2. Phương pháp miền giá trị của hàm số. Giả sử ta phải tìm cực trị của một hàm số f(x) có miền giá trị D. Gọi y 0 là một giá trị nào đó của f(x) với x  D. Điều này có nghĩa là phương trình f(x) = y 0 phải có nghiệm với x  D. Sau khi giải phương trình điều kiện có nghiệm thường dẫn đến bất đẳng thức: m  y0  M Từ đó suy ra: min f(x) = m max f(x) = M Ví dụ 1: Trong mọi cặp nghiệm của phương trình: x2 – ( x2 + 1 )y + 8x + 7 = 0 (1) Hãy tìm cặp nghiệm (x,y) sao cho y lớn nhất. 9 Trước hết: (1)  (1-y)x2 + 8x + 7 – y = 0 (2) Nếu 1 – y = 0 3 y=1x =-4 Nếu 1 – y  0 y  1  ’ = 16 - ( 7 – y )( 1 – y ) ’ = - y2 + 8y + 9 ’ = ( 1 + y )( 9 – y ) (x,y) là nghiệm của phương trình (1) cho nên phương trình (2) phải có nghiệm. Do đó ’  0  ( 1 + y )( 9 – y )  0 -1y9 Suy ra: max y = 9 khi đó ’ = 0, x = 1 Vậy cặp nghiệm thoả mãn bài toán là (1; 9) Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x 4 1 x 2  1 2 Ta thấy (x2 + 1)2 > 0, x4 + 1 > 0 Nên A đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi Ta có 1 A  x 4  2x 2  1 x 4 1 Ta thấy rằng: Nên  1 2x 2 0, x 4 1 1 A đạt giá trị nhỏ nhất và ngược lại 2x 2 x 4 1 x 1 2x 2  1 4 1 A x 1 1 A nhỏ nhất bằng 1 khi x = 0 Do đó A đạt giá trị lớn nhất bằng 1 khi x = 0 Lại có x4 – 2x2 + 1  0 x4 + 1  2x2  2x 2 1 x 4 1 10 1 2x 2  1 4 2 A x 1  1 A lớn nhất bằng 2 khi x =  1. Do đó A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 2 khi x =  1. Chú ý: a, Muốn tìm cực trị của hàm số ta không những cần chứng minh f(x)  m hoặc f(x)  M mà phải tìm ra được sự tồn tại của biến để có thể xảy ra dấu đẳng thức. b, Nếu A = B + C + D + … (A, B, C, … là các biểu thức đại số). Để tìm cực trị của A, ta đi tìm cực trị của B, C, D… nhưng phải chứng minh được với cùng một giá trị của biến đồng thời các biểu thức B, C, D,… cùng đạt cực trị. c, Khi tìm cực trị của một biểu thức A, có khi ta thay điều kiện để tìm cực trị của biểu thức này bằng điều kiện tương đương để tìm cực trị của biểu thức khác như: - A; A2; 1 A ; A  m ( m là hằng số )… Chương II. Những dạng toán thường gặp và phương pháp giải I- Dạng 1: Đa thức bậc nhất có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a, A = x 1 b, B = 4  3x  5 c, C = x  1997  2000  x Bài giải a, A = x  1 Theo định nghĩa về giá trị tuyệt đối, ta có: x 1  0, x  A = x  1 đạt giá trị nhỏ nhất khi x + 1 = 0  x = -1 Vậy MinA = 0  x = -1 b, Ta có 4 - 3x  0  4  3x  5  5 Vậy biểu thức B đạt giá trị bằng 5 khi 4 – 3x = 0  x = 4 3 11 Do đó MinB = 5  x = 4 3 c, Áp dụng bất đẳng thức: x  y  x  y . Dấu bẳng xảy ra khi x, y cùng dấu hoặc x hoặc y bằng 0. Suy ra: C = x  1997  2000  x  x  1997  2000  x C3 MinC = 3 khi (x - 1997)(2000 - x)  0 x 1997 x - 1997 - 2000 - x + (x- 1997)(2000 - x) - 0 0 2000 + + + 0 - + 0 - Vậy minC = 3 khi 1997  x  2000 Kết luận: Các bài toán thuộc dạng 1 thường gặp ở lớp 7. Với dạng này cách giải thường tương đối dơn giản, chỉ cần áp dụng: + A  0, A . + A   A . + x  y  x  y , dấu bằng xảy ra khi xy  0. + A= m f(x)  n , tồn tại maxA hay minA phụ thuộc vào dấu của m. Bài tập áp dụng: 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a, A = 5 1  4x  1 b, B = x 1  x  4 c, C = x a  x b d, D = x 2  x 3  x 4  x 5 e, G = x  1  x  2  ...  x  1998 , với a < b. 2. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: a, H = 5  2x  1 b, I = 1 x 2 3  Các bài toán cực trị - Lê Mộng Ngọc – 1996  12 II- Dạng 2: Đa thức bậc 2. Ví dụ 1: a, Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x2 + 4x + 1 b, Tìm giá trị lớn nhất của B = 1 + 6x – x2 Bài giải a, A = x2 + 4x + 1 = x2 + 4x + 4 – 3 A = (x + 2)2 – 3 Nhận xét: (x + 2)2  0  (x + 2)2 – 3  -3  A  -3 Vậy: minA = -3  x + 2 = 0 x = -2 b, B = 1 + 6x – x2 = – x2 + 6x - 9 + 10 B = - (x - 3)2 + 10  10 vì - (x - 3)2  0, x Vậy maxB = 10 khi x – 3 = 0 x=3 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của biểu thức A = 2x2 – 20x + 53 Do A thoả mãn đẳng thức trên. Nên phương trình 2x2 – 20x + 53 – A = 0 có nghiệm Hay ’ = 100 – 2(53 – A) = 2A – 6  0  A 3 Do đó minA = 3  ’ = 0 x=5 Ví dụ 3: Với giá trị nào của x, y thì a, D = 5x2 – 12xy + 9y2 – 4x + 4 đạt giá trị nhỏ nhất b, E = 15 – 10x – 10x2 + 24xy – 16y2 đạt giá trị lớn nhất Bài giải a, D = 5x2 – 12xy + 9y2 – 4x + 4 D = x2 – 4x + 4 + 4x2 – 12xy + 9y2 D = (x – 2)2 + (2x – 3y)2  0, x, y 13  x  2 2  0 x  2 Nên dấu bằng xảy ra khi   4 2 y   2x - 3y  0  3  minD = 0 khi x  2   4 y  3 b, E = 15 – 10x – 10x2 + 24xy – 16y2 E = - (x2 + 10x + 25) – (9x2 – 24xy +16y2) + 40 E = 40 – (x + 5)2 – (3x – 4y)2 Ta thấy (x + 5)2  0; (3x – 4y)2  0 x  -5  x  5  0  Vậy E  40. Dấu bằng xảy ra khi    - 15 3x  4y  0 y   4 x  -5  Do đó maxE = 40 khi  - 15 y  4 Kết luận: - Muốn tìm cực trị của một biểu thức A (đa thức bậc 2), ta viết biểu thức A dưới dạng tổng của các biểu thức mà qua đó ta có thể xét dấu một cách thuận lợi. Chẳng hạn A = m[f(x)]2 + n[g(x)]2 + p Tồn tại maxA hay minA phụ thuộc vào dấu của m và n - Dùng phương pháp miền giá trị thường là đưa về điều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm Bài tập áp dụng: 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = 2x2 + 3x + 1 B = 4x2 + 4x + 11 C = 2x2 – 20x + 53 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của: 14 a, x2 + 2y2 – 2xy – 4y + 5 b, 2x2 + 9y2 – 6xy – 6x – 12y + 2024 3. Tìm giá trị lớn nhất của: a, -5x2 - 5y2 + 8x – 6y – 1 b, - a2 - b2 + ab + 2a + 2b 4. Tìm cặp số (x, y) thoả mãn phương trình: x2 + y2 + 6x – 3y – 2xy + 7 = 0. Sao cho y đạt giá trị lớn nhất. III- Dạng 3: Đa thức bậc cao. Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức A = (x2 + x + 1)2 Nhận xét: Theo tính chất của luỹ thừa bậc 2 thì A  0 Nhưng giá trị nhỏ nhất của A không phải bằng 0 vì x2 + x + 1  0 Ta có: x2 + x + 1 = x2 + x + = (x + 1 2 1 4 + 3 4 )2 + 3  3 x 4 4 Do đó A min  (x2 + x + 1) min 3 4 Nên minA = ( )2 = 9 1 x= 2 16 Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của B = x4 – 6x3 + 10x2 – 6x + 9 Ta thấy B = x4 – 6x3 + 9x2 + x2 – 6x + 9 B = (x2 – 3x)2 + (x – 3)2 x 2  3x  0  B  0, Dấu bằng xảy ra khi  x=3 x  3  0 Vậy minB = 0 khi x = 3. Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) = x(x+1)(x+2)(x+3) Xét f(x) = x(x+1)(x+2)(x+3) = (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) = (x2 + 3x)2 + 2(x2 + 3x) f(x) = (x2 + 3x)2 + 2(x2 + 3x) + 1 – 1 = (x2 + 3x + 1)2 – 1  f(x)  - 1, dấu bằng xảy ra khi x2 + 3x + 1 = 0  x 1,2  3 5 2 15 Vậy minf(x) = - 1  x  3 5 2 Chú ý: Khi giải bài toán cực trị cần trả lời đầy đủ hai nội dung: Cực trị của A bằng bao nhiêu và khi nào xảy ra. Chẳng hạn: Với A = (x2 x + 1)2  0  minA = 0. Sai lầm vì không có giá trị của x để A = 0. Bài tập áp dụng: 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức A = x4 – 2x3 + 3x2 – 2x + 1 B = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) C = x6 – 2x3 + x2 – 2x + 2 D = x4 – 6x3 + 10x2 – 6x + 9 E = x(x + 2)(x + 4)(x + 6) 2. Tìm giá trị lớn nhất của M = x3(16 – x3) IV- Dạng 4: Phân thức. Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của phân thức M = Ta thấy M = 3 4x  4x  5 2 3 3  4x  4x  5  2x  1 2 4 2 Do (2x + 1)2  0  (2x + 1)2 + 4  4 M 3 4 Vậy maxM = 3 1  2x + 1 = 0  x = 4 2 x 2  x 1 Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của A =  x  1 2 Cách 1: x 2  2x  1  x  1 1   A= 2 2  x  1  x  1  x  1 2 1 A = 1 x 1  Coi 1  x  1 2 1  m x 1 A = m2 – m + 1 16 2 1 3 3  A = m     2 4 4  Nên A   3 1 , dấu bằng xảy ra khi m = 4 2 1 1   x 1 x 1 2 3 x=1 4 Vậy minA = Cách 2: x 2  x  1 4x 2  4 x  4  A= 2  x  1 2 4 x  1 3x 2  6x  3  x 2  2x  1 A= 2 4 x  1 3 x  1   x  1 2 A= 4 x  1 2 2 2 A= 3  x 1  3   ,  4  2 x  1  4 3 4  minA = dấu bằng xảy ra khi x = 1 x=1 Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của B = Ta có B= B= 4x  3 x 2 1 4x  3 x 2  4x  4  x 2  1  x 2 1 x 2 1  x  2 2  1  1 x 1 2 vì x2 + 1 > 0 và (x + 2)2  0 Nên minB = -1 khi x + 2 = 0  x = -2 Mặt khác: B= 4x 2  4  4x 2  4 x  1 x2 1 2  2x  1 B = 4 4 x 1 2 vì x2 + 1 > 0 và (2x - 1)2  0 Nên maxB = 4  2x – 1 = 0 x= 1 2 17 Bài tập áp dụng: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các biểu thức 1. A= 2 6x - 5 - 9x 2 2. B= 3 4x  4x  5 C= 3x 2  8x  6 x 2  2x  1 4. D= x 2  x 1 x 2  2x  1 5. G= x  x  1 2 6. H= x 2  2x  1989 x2 3. 7. I= 8. K= 2 x 4 1 x 2  1 2 27  2x x2  9 V- Dạng 5: Căn thức và giá trị tuyệt đối. Ở đây cần chú ý + max f(x) = maxf 2 (x) ,xD + min f(x) = minf 2 (x) ,xD + f(x)  g(x)  f(x)  g(x) . Dấu bằng xảy ra khi f(x).g(x)  0 + f(x)  g(x)  f(x)  g(x) . Dấu bằng sảy ra khi f(x).g(x)  0   f(x)  g(x) + Bất đẳng thức Bunhia cốpxki Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x2  4x . Trước hết điều kiện xác định của A là 2  x  4. Áp dụng bất đẳng thức Bunhia côpxki ta có: 18  A2 = 1. x  2  1. 4  x  2  (12  12 )(x  2  4  x) A2  2.2 A2  4 Do A > 0. Nên A  2 Vậy maxA = 2 khi x2  4x x–2=4–x  x = 3. Thoả mãn điều kiện xác định. Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 5  3x 1 x 2 Điều kiện xác định của B là: -1 < x < 1 5 – 3x > 0  B > 0 Khi đó: Ta có: B2 = B2 = B2 =  5  3x  2  1 x  2 2 25  30x  9x 2  1 x 2 9  30x  25x 2  16  16x 2 1 x 2  3  5x  2  16  16 1 x 2 vì 1 – x2 > 0. Dấu bằng xảy ra khi 3 – 5x = 0  x = 3 5 Vậy minB2 = 16 khi x =  MinB = 4 khi x = 3 5 3 5 Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức H = x  2001  x  2002 Cách 1: Ta chia khoảng xác định và dựa vào định nghĩa: - Nếu x < 2001 Thì H = 2001 – x + 2002 – x H = 4003 – 2x > 1 - Nếu 2001  x  2002 Thì H = x – 2001 + 2002 – x = 1 - Nếu x > 2002 19