Tài liệu Skkn một số phương pháp giải toán cực trị

Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n cùc trÞ Më ®Çu I - C¬ Së thc tiÔn BÊt kÓ mét lÜnh vùc nµo trong cuéc sèng còng cã nh÷ng yÕu tè vît tréi, nh÷ng c¸ nh©n ®iÓn h×nh hay nh÷ng thµnh tÝch cao nhÊt hay mét kû lôc nµo ®ã mµ kh«ng ai vît qua ®ã lµ c¸i "nhÊt".Trong to¸n häc còng vËy trong mçi lÜnh vùc l¹i cã nh÷ng ®¹i lîng "lín nhÊt" hay "há nhÊt" ngêi ta thêng gäi lµ c¸c bµi to¸n cùc trÞ, c¸c bµi to¸n nµy rÊt phæ biÕn trong c¸c ®Ò thi vµo líp 10 THPT, hay thi vµo c¸c trêng Cao ®¼ng, §¹i häc còng nh c¸c ®Ò thi häc sinh giái ë nhiÒu n¨m… Néi dung c¸c bµi to¸n cùc trÞ rÊt phong phó ®ßi hái ph¶i vËn dông kiÕn thøc mét c¸ch hîp lý, nhiÒu khi kh¸ ®éc ®¸o vµ bÊt ngê. ë bËc THCS (chñ yÕu häc sinh kh¸, giái) ®· ®îc lµm quen víi lo¹i to¸n nµy víi d¹ng chuyªn ®Ò. Tuy nhiªn, khi t×m hiÓu thªm mét sè ®ång nghiÖp th× thÊy nã còng kh«ng dÔ dµng víi häc sinh. Víi nh÷ng lÝ do nh vËy t«i ®· t×m hiÓu x©y dùng ®Ò tµi “Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n cùc trÞ”. Víi mong muèn ®îc tr×nh bµy mét vµi kinh nghiÖm gi¶ng d¹y cña m×nh ®Ó c¸c ®ång nghiÖp tham kh¶o, rÊt mong ®îc sù ®ãng gãp ch©n thµnh ®Ó ®Ò tµi ®îc ph¸t huy hiÖu qu¶. II - NhiÖm vô cña s¸ng kiÕn: 1/ §èi tîng vµ ph¬ng ph¸p nghiªn cøu: - §èi tîng nghiªn cøu: Häc sinh THCS (chñ yÕu lµ häc sinh líp 8, 9) - Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu: + §iÒu tra, thùc nghiÖm, kh¶o s¸t kÕt qu¶ häc tËp cña häc sinh. + Thùc nghiÖm gi¶ng d¹y chuyªn ®Ò cho c¸c líp båi dìng häc sinh giái to¸n líp 8, 9 cïng víi nhãm chuyªn m«n thùc hiÖn. + §iÒu tra, ®¸nh gi¸ kÕt qu¶ häc tËp cña häc sinh sau khi thùc nghiÖm gi¶ng d¹y chuyªn ®Ò. + Trao ®æi ý kiÕn víi ®ång nghiÖp 1 Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n cùc trÞ 2/ NhiÖm vô cña s¸ng kiÕn: - §a ra nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n nhÊt cña gi¸ trÞ cùc trÞ, chØ ra ®îc sai lÇm thêng m¾c ph¶i. - §Ò xuÊt mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt, ®ång thêi rÌn cho häc sinh t×m tßi lêi gi¶i. - Lùa chän ph¬ng ph¸p gi¶i hîp lý. Muèn vËy, ph¶i rÌn cho häc sinh kh¶ n¨ng ph©n tÝch, xem xÐt bµi to¸n díi d¹ng ®Æc thï riªng lÎ. MÆt kh¸c, cÇn khuyÕn khÝch häc sinh t×m hiÓu c¸ch gi¶i cho mét bµi tËp ®Ó häc sinh ph¸t huy ®îc kh¶ n¨ng t duy linh ho¹t, nh¹y bÐn khi t×m lêi gi¶i bµi to¸n, t¹o ®îc lßng say mª, s¸ng t¹o, ngµy cµng tù tin, kh«ng cßn t©m lý ng¹i ngïng ®èi víi bµi to¸n cùc trÞ. III - Néi dung s¸ng kiÕn: Ch¬ng I: Mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt. Nh÷ng sai lÇm thêng m¾c ph¶i khi gi¶i to¸n cùc trÞ. Ch¬ng II: Mét sè ph¬ng ph¸p t×m cùc trÞ 1/ Ph¬ng ph¸p tam thøc bËc hai 2/ Ph¬ng ph¸p miÒn gi¸ trÞ 3/ Ph¬ng ph¸p bÊt ®¼ng thøc. Ch¬ng I: KiÕn thøc c¬ b¶n 2 Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n cùc trÞ I - §Þnh nghÜa: 1/ §Þnh nghÜa 1: Cho biÓu thøc nhÊt cña f ( x, y,...) f ( x, y ,...) x¸c ®Þnh trªn miÒn D , ta nãi M lµ gi¸ trÞ lín trªn D nÕu 2 ®iÒu kiÖn sau ®îc tho¶ m·n: i) Víi x, y... thuéc D th× ii) Tån t¹i x 0 , y 0 ... thuéc D f ( x, y ,...)  M sao cho víi M lµ h»ng sè. f ( x, y,...)  M 2/ §Þnh nghÜa 2: Cho biÓu thøc nhÊt cña f ( x, y,...) f ( x, y,...) x¸c ®Þnh trªn miÒn D , ta nãi m lµ gi¸ trÞ nhá trªn D nÕu 2 ®iÒu kiÖn sau ®îc tho¶ m·n: i) Víi mäi x, y... thuéc D th× ii) Tån t¹i x 0 , y 0 ... thuéc D f ( x, y ,...) m sao cho víi m lµ h»ng sè. f ( x, y ,...) m . Chó ý: §Ó tranh sai lÇm thêng m¾c ph¶i khi lµm lo¹i bµi to¸n nµy, ta cÇn nhÊn m¹nh vµ kh¾c s©u 2 ®iÒu kiÖn cña ®Þnh nghÜa: RÌn nh÷ng ph¶n x¹ sau: + Chøng tá f ( x, y ,...)  M + ChØ ra sù tån t¹i hoÆc f ( x, y ,...) m ) x 0 , y 0 ... thuéc D ®Ó víi mäi x, y,... thuéc D f ( x, y ,...) ®¹t cùc trÞ. Chó y ®Õn miÒn gi¸ trÞ cña biÕn. Ta ký hiÖu MaxA lµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña A, MinA lµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A II - Mét sè tÝnh chÊt cña gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè: 1/ TÝnh chÊt 1: Gi¶ sö A  B khi ®ã ta cã: f ( x)  max f ( x) a/ Max x A xB f ( x)  min f ( x) b/ Min xB xA 2/ TÝnh chÊt 2: NÕu víi mäi x thuéc D , ta cã: f ( x, y ) 0 3 Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n cùc trÞ f ( x)  max f 2 ( x ) a/ Max xD xD Min f ( x)  min f 2 ( x ) xD xD 3/ TÝnh chÊt 3: a / Max f ( x)  g ( x))  Max f ( x)  Max f ( x) xD xD1 xD2 b / Min f ( x)  g ( x))  Min f ( x)  Min f ( x) xD xD1 DÊu b»ng trong g (x ) (1) xD2 (1) ( 2) xÈy ra khi cã Ýt nhÊt mét ®iÓm cïng ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. T¬ng tù nÕu tån t¹i cïng ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt th× ( 2) x0 mµ t¹i ®ã x 0 thuéc D f (x ) vµ mµ t¹i ®ã f ,g cã dÊu b»ng. 4/ TÝnh chÊt 4: Max f ( x)  min ( f ( x)) xD1 xD 5/ TÝnh chÊt 5: f (x) m min f ( x) f ( x)  Max M , m  NÕu ®Æt M Max , th× Max . xD xD xD xD 6/ TÝnh chÊt 6: Gi¶ sö D1  x  D; f ( x) 0 vµ D2  x  D; f ( x) 0 th× Min f ( x) Min  max f ( x); min f ( x) xD xD1 xD2 Khi d¹y phÇn nµy, gi¸o viªn nªn híng dÉn häc sinh chøng minh c¸c tÝnh chÊt (dùa vµo ®Þnh nghÜa), tr¸nh ¸p ®Æt ®Ó häc sinh n¾m v÷ng kiÕn thøc vµ tr¸nh ®îc sai lÇm khi vËn dông gi¶i bµi tËp. Chó ý: Khi nãi ®Õn gi¸ trÞ lín nhÊt hay nhá nhÊt cña mét hµm sè, bao giê còng ph¶i t×m TX§. Cïng mét hµm sè f (x ) nhng xÐt trªn hai TX§ kh¸c nhau th× nãi chung gi¸ trÞ lín nhÊt t¬ng øng kh¸c nhau. §Ó cho phï hîp víi ch¬ng tr×nh c¸c líp phæ th«ng c¬ së, ta gi¶ thiÕt lµ c¸c bµi to¸n ®ang xÐt ®Òu tån t¹i gi¸ trÞ cùc trÞ trªn mét tËp hîp nµo ®ã. III - Nh÷ng sai lÇm thêng gÆp khi gi¶i to¸n cùc trÞ: 4 Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n cùc trÞ 1/ Sai lÇm trong chøng minh ®iÒu kiÖn 1: VÝ dô 1: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: A 3 4x  4x  5 2 Lêi gi¶i sai: Ph©n thøc A cã tö sè lµ sè kh«ng ®æi nªn A cã gi¸ trÞ lín nhÊt khi mÉu nhá nhÊt. Ta cã: 4 x 2  4 x  5 (2 x  1) 2  4 4, x  3 3  , x 4x  4x  5 4 2 3 1  Max A   x  4 2 Ph©n tÝch sai lÇm: Tuy ®¸p sè kh«ng sai nhng khi kh¼ng ®Þnh “ A cã tö sè lµ sè kh«ng ®æi nªn A cã gi¸ trÞ lín nhÊt khi mÉu nhá nhÊt” mµ cha ®a ra nhËn xÐt tö mÉu lµ c¸c sè d¬ng. Ta ®a ra mét vÝ dô: 1 XÐt biÓu thøc B  x 2  4 Víi lËp luËn “ph©n thøc B cã tö kh«ng ®æi nªn cã gi¸ trÞ lín nhÊt khi mÉu nhá nhÊt” do mÉu nhá nhÊt b»ng  4 khi x 0 , ta sÏ ®i ®Õn: ph¶i lµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña B , ch¼ng h¹n víi x 3 th× max B  1 4 kh«ng 1 1  . 5 4 M¾c sai lÇm trªn lµ do kh«ng n¾m v÷ng tÝnh chÊt cña bÊt ®¼ng thøc: §· m¸y mãc ¸p dông quy t¾c so s¸nh 2 ph©n sè cã tö sè vµ mÉu sè lµ sè tù nhiªn sang hai ph©n sè cã tö vµ mÉu lµ sè nguyªn. 2 2 Lêi gi¶i ®óng: Bæ sung thªm nhËn xÐt: 4 x  4 x  5 (2 x  1)  4 4 nªn tö vµ mÉu cña A lµ c¸c sè d¬ng. HoÆc tõ nhËn xÐt trªn suy ra A  0 , do ®ã A lín 1 nhÊt khi vµ chØ khi A nhá nhÊt  4 x 2  4 x  5 nhá nhÊt. VÝ dô 2: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: A  x 2  y 2 biÕt x  y 4 Lêi gi¶i sai: Ta cã: A  x 2  y 2 2 xy Do ®ã A nhá nhÊt  x 2  y 2 2 xy Khi ®ã MinA 2 2  2 2 8 5  x  y 2 Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n cùc trÞ Ph©n tÝch sai lÇm: §¸p sè tuy kh«ng sai nhng lËp luËn m¾c sai lÇm. Ta f ( x, y )  g ( x , y ) , míi chøng minh ®îc m lµ h»ng sè. chø cha chøng minh ®îc f ( x, y )  m víi Ta ®a ra mét vÞ dô: Víi lËp luËn nh trªn, tõ bÊt ®¼ng thøc ®óng x 2 4 x  4 sÏ suy ra: x 2 nhá nhÊt  x 2 4 x  4  ( x  2) 2 0  x 2 . DÉn ®Õn: Minx 2 4  x 2 DÔ thÊy kÕt qu¶ ®óng ph¶i lµ: min x 2 0  x 0 C¸ch gi¶i ®óng: Ta cã: ( x  y ) 2 4 2  x 2  2 xy  y 2 16 (1) Ta l¹i cã: ( x  y ) 2 0  x 2  2 xy  y 2 0 ( 2) Tõ (1) , ( 2) : 2( x 2  y ) 2 16  x 2  y 2 8 MinA 8  x  y 2 VËy 2/ Sai lÇm trong chøng minh ®iÒu kiÖn 2: VD1: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: A x  x Lêi gi¶i sai: 2 1 1  1 1  A  x  x  x  x     x    4 4  2 4  VËy MinA  1 4 Ph©n tÝch sai lÇm: Sau khi chøng minh xÈy ra dÊu ®¼ng thøc f ( x)  1 . 4 Lêi gi¶i ®óng: Do ®ã x A x  ph¶i cã x 0 x 0 Min A 0  x 0 VD2: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña: A  xyz( x  y )( y  x)( z  x) Víi 1 , 4 cha chØ ra trêng hîp XÈy ra dÊu ®¼ng thøc khi vµ chØ khi v« lý. §Ó tån t¹i f ( x)  x, y, z 0 vµ x  y  z 1 6 x  1 , 2 Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n cùc trÞ Lêi gi¶i sai: ¸p dông bÊt ®¼ng thøc: 4ab (a  b) 2 4( x  y ) z ( x  y  z ) 2 1 4( x  z ) x ( y  z  x ) 2 1 4( x  x) y ( z  x  y ) 2 1 Nh©n tõng vÕ (do hai vÕ ®Òu kh«ng ©m) 64 xyz( x  y )( y  x ) z  x ) 1 MaxA  1 64 Ph©n tÝch sai lÇm: Sai lÇm còng ë chç cha chØ ra ®îc trêng hîp xÈy ra dÊu ®¼ng thøc. §iÒu kiÖn ®Ó A 1 64  x  y z  y  z x   z  x y  x  y  z 1   x, y, z 0 C¸ch gi¶i ®óng: lµ:  x  y  z 0   x  y  z 1  x , y , z 0   m©u thuÈn ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si cho ba sè kh«ng ©m: (1) 1  x  y  z 3.3 xyz 2 ( x  y )  ( y  z )  ( z  x ) 3.3 ( x  y )( y  z )( z  x) Nh©n tõng vÕ (1) víi ( 2) do  2 2 9.3 A  A   9 2 vÕ ®Òu kh«ng ©m) 3 3 1  2 MaxA    x  y  z  3 9 Ch¬ng II: 7 ( 2) Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n cùc trÞ mét sè ph¬ng ph¸p t×m cùc trÞ 1/ Ph¬ng ph¸p tam thøc bËc hai I - Néi dung: Sö dông trùc tiÕp ®Þnh nghÜa cùc trÞ th«ng qua viÖc biÕn ®æi tam thøc bËc hai vÒ d¹ng b×nh ph¬ng mét biÓu thøc chøa biÕn vµ mét sè h¹ng tù do. II - C¸c vÝ dô: D¹ng 1: T×m cùc trÞ cña tam thøc bËc hai 1/ T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A  x 2  8 x  1 2/ T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña B 2 x 2  4 x  1 3/ T×m gi¸ trÞ nÕu cã cña C  3x 2  4 x  1 4/ Cho tam thøc bËc hai P ax 2  bx c T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P nÕu a  0 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P nÕu a  0 HD gi¶i: NhËn xÐt: C¸c biÓu thøc ®Òu ë d¹ng tam thøc bËc hai. 1/ A  x 2  8 x  1 ( x  4) 2  15  15  min A  15  x 4 2/ B 2 x 2  4 x  1 2( x  1) 2  1  1  min B  1  x 1 2 3/ 2 7 7  C  3 x 2  4 x  1  3 x     3 3 3  7 2  max C   x  3 3 2 4/ b c b  b 2  4ac   P ax 2  bx  c a x 2  x   a x    a a 2a  4c   + NÕu a  0 : min P  b 2  4ac b  x 4a 2a 8 Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n cùc trÞ + NÕu a  0 : max P  b 2  4ac b  x 4a 2a D¹ng 2: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña ®a thøc bËc cao: VD1: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña HD: A ( x 2  x  1) 2 MinA  Min( x 2  x  1) Bµi to¸n trªn lµ d¹ng ®Æc biÖt cña bµi to¸n sau: VD2: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña B  f ( x) 2k (k  N ) C  x ( x  3)( x  4)( x  7) HD: Dïng ph¬ng ph¸p ®æi biÕn. D¹ng 3: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña ph©n thøc mµ cã tö lµ h»ng sè, cã mÉu lµ tam thøc bËc hai. 3 VD: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña M  4 x 2  4 x  5 D¹ng nµy ph¶i chó ý ®Õn dÊu cña tö thøc. D¹ng 4: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña ph©n thøc cã mÉu lµ b×nh ph¬ng nhÞ thøc: VD: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña HD: §Æt y P 1  1 , x 1 P x2  x 1 ( x  1) 2 1 1  x  1 ( x  1) 2 2 cã 1 3 3  P  y 2  y  1  y     2 4 4   3 1 MinP   y   x 1 4 2 C¸ch 2: ViÕt N díi d¹ng tæng cña mét sè víi mét biÓu thøc kh«ng ©m: 9 Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n cùc trÞ 2 P 4x 2  4x  4 3  x  1  3      4  2( x  1  4 4( x  1) 2 3 MinP   x 1 4 D¹ng 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, lín nhÊt cña mét biÓu thøc quan hÖ gi÷a c¸c biÕn: VD: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A 3 xy  x 2  y 2 BiÕt x, y lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: 5 x  2 y 10 Gi¶i: Ta cã: 10  5 x 5 x  2 y 10  y  2 1  A  (  59 x 2  160 x  100) 4  59  160  2  x    25 4  59   2 59   80  6400   x        25 4   59  3481  2  59  80  1600  25 x   4  59  59 2 125 59  80  125  A  x   59 4  59  59  80 x 125  59 VËy max A    59  95 y  59 III - Mét sè bµi tËp tù gi¶i: 10 Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n cùc trÞ 1/ T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt (lín nhÊt) cña biÓu thøc sau: 2 a/ A 4 x  20 x  35 2 b/ B  2 x  3x  1 2/ T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau: a/ A ( x  1)( x  2( x  3)( x  5) P 2 x 2  5 y 2 víi Q a 3  b 3  ab b/ B x 2  2x  y 2  4 y  5 · 3 y 7 víi a  b 1 IV - TiÓu kÕt: Lo¹i to¸n t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt b»ng ph¬ng ph¸p tam thøc bËc hai lµ c¬ b¶n nhÊt, gióp häc sinh dÔ lµm quen víi to¸n cùc trÞ. RÌn kü n¨ng gi¶i to¸n, ®æi biÕn mét c¸ch linh ho¹t phï hîp víi tõng lo¹i to¸n ®Ó biÕn ®æi c¸c bµi to¸n d¹ng kh¸c vÒ d¹ng tam thøc bËc hai. 2/ Ph¬ng ph¸p miÒn gi¸ trÞ cña hµm sè: I - Néi dung ph¬ng ph¸p: XÐt bµi to¸n sau: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm sè x  D. Gäi y0 f (x ) víi lµ mét gi¸ trÞ tuú ý cña hµm sè xÐt trªn miÒn ®· cho, tøc lµ hÖ ph- ¬ng tr×nh (Èn x ) sau cã nghiÖm: f ( x)  y0 xD Tuú d¹ng cña hÖ (1) ( 2) (1) , ( 2) mµ ta cã c¸c ®iÒu kiÖn cã nghiÖm thÝch hîp. Trong nhiÒu trêng hîp, ®iÒu kiÖn Êy sÏ ®a vÒ d¹ng V× y 0 lµ Max f ( x ) b mét gi¸ trÞ bÊt kú cña f (x ) nÒn tõ a  y 0 b (3) ta (3) . thu ®îc: Min f ( x ) a vµ trong ®ã x  D. Nh vËy thùc ch©t cña ph¬ng ph¸p nµy lµ ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai vµ sö dông ®iÒu kiÖn  0. II - C¸c vÝ dô: 11 Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n cùc trÞ T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña: A x2  x 1 x2  x 1 Gi¶i: · BiÓu thøc A nhËn gi¸ trÞ a khi vµ chØ khi ph¬ng tr×nh Èn x sau ®©y cã nghiÖm: x 2  x  1 (1) a 2 x  x 1 Do x 2  x  1 0 nªn (1)  ax 2  ax  a  x 2  x  1  )(a  1) x 2  (a  1) x  (a  1) 0( 2) + TH1: NÕu a 1 th× ( 2) cã + TH2: NÕu a 0 th× ®Ó ( 2) nghiÖm x 0 cã nghiÖm, cÇn vµ ®ñ lµ  0 , tøc lµ: ( a  1) 2  4( a  1) 2 0  (a  1  2a  2)(4  1  2a  2) 0  (3a  1)(a  3) 0 1 a 3 (a 1) . 3 1 a  hoÆc a 3 th× nghiÖm cña ( 2) 3  (a  1) (a  1) x  2(a  1) 2(1  a ) 1 a  th× x 1, víi a 3 th× x  1 3  Víi Víi lµ: Gép c¶ hai trêng hîp 1 vµ 2 ta cã: 1 MinA   x 1 3 MaxA 3  x  1 C¸ch kh¸c: A 3 x 2  3x  3  2 x 2  4 x  2 2( x  1) 2  3  3 x2  x 1 x 2  x 1  max A 3  x  1 12 Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n cùc trÞ A 3x 2  3x  3 x 2  x 1 2( x 2  2 x  1) 1 2( x  1) 2 1      2 2 2 2 3 3( x  x  1) 3 3x  3x  3 3( x  x  1) 3( x  x  1) 1  MinA   x 1 3 Më réng: Bµi to¸n cßn cã thÓ cho díi d¹ng kh¸c, ®ã lµ: 1/ Chøng minh: 1 x2  x 1  3 3 x 2  x 1 2/ T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm (v« nghiÖm): x2  x 1  m 0 x2  x 1 3/ Cho ph¬ng tr×nh: ( 3m x1 , x 2 . T×m 2  2m  1) x 2  (2m 2  10m  3) x  1 0 gi¸ trÞ lín nhÊt cña tæng cã 2 nghiÖm x1  x 2 . III - Bµi tËp tù gi¶i: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña c¸c hµm sè sau: a/ y  x2  x 1 x 2 1 b/ y  x 2  x 1 x 2 1 IV - tiÓu kÕt: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña mét hµm sè hoÆc nh÷ng biÓu thøc cã thÓ ®a vÒ hµm sè b»ng ph¬ng ph¸p miÒn gi¸ trÞ thêng ®îc ®a vÒ ph¬ng tr×nh vµ t×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm. Ph¬ng ph¸p nµy cã u ®iÓm lµ t×m cùc trÞ th«ng qua viÖc t×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm, th«ng qua viÖc nµy gióp cho häc sinh rÌn kü n¨ng gi¶i ph¬ng tr×nh. 3/ Ph¬ng ph¸p sö dông c¸c bÊt ®¼ng thøc quen thuéc 1/ N«i dung ph¬ng ph¸p: Dùa trùc tiÕp vµo ®Þnh nghÜa gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè  f (x) M ,x  D M Maxf (x)   fx(0x) DM: f,(xx0 DM m Min f (x)    x0  D : f (x0 m 13 Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n cùc trÞ Nh vËy, khi t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè f (x ) trªn miÒn D nµo ®ã, ta tiÕn hµnh theo hai bíc: + Chøng minh mét bÊt ®¼ng thøc + T×m x0  D sao cho øng víi gi¸ trÞ Êy, bÊt ®¼ng thøc t×m ®îc trë thµnh ®¼ng thøc. NÕu sö dông c¸c bÊt ®¼ng thøc c¬ b¶n nh C«si, Trªbsep, Bunhia c«pxki th× c¸c ®iÓm nh vËy thêng ®îc t×m thÊy nhê phÇn 2 trong c¸ch ph¸t hiÖn ra dÊu ®¼ng thøc Êy, cÇn cã mét nhËn xÐt thÝch hîp. 2/ C¸c bÊt ®¼ng thøc thêng dïng: 1/ a 2 0. Tæng qu¸t a 2 k 0, k nguyªn d¬ng XÈy ra dÊu ®¼ng thøc  a 0 (  a ) 2 k 0, k 2/  a 2 0. Tæng qu¸t nguyªn d¬ng XÈy ra dÊu ®¼ng thøc  a 0 XÈy ra dÊu ®¼ng thøc  a 0 3/ a 0 . 4/  a a  a 5/ a b a  b XÈy ra dÊu ®¼ng thøc  ab 0 (a, b cïng dÊu) a  b a  b XÈy ra dÊu ®¼ng thøc  ab 0 (a, b cïng dÊu) XÈy ra dÊu ®¼ng thøc  a 0 a b c a  b  c XÈy ra dÊu ®¼ng thøc 6/ a b; ab 0  1 1  . a b 7/ a b  2 b a a, b cïng víi  ab 0; bc 0; ac 0 ; XÈy ra dÊu ®¼ng thøc  a b dÊu. XÈy ra dÊu ®¼ng thøc  a b 8/ BÊt ®¼ng thøc C«si: + §èi víi 2 sè d¬ng a b  ab 2 + §èi víi a, b (hoÆc bÊt kú. a 2  b 2 2ab) . a1 0; i 1,..., n : a1  a 2  ...  a n n  a1 .a 2 ...a 2 n 14 XÈy ra dÊu ®¼ng thøc  a b Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n cùc trÞ 9/ BÊt ®¼ng thøc Bunhia c«pxki: NÕu ( a1 , a 2 ,...a n ) vµ (b1 , b2 ,...bn ) lµ 2 2 2 2 2 nh÷ng sè tuú ý, ta cã: 2 (a1  a 2 ,...  a n ) . (b1  b2 ,...  bn ) (a1b1  a 2 b2  ...  a n bn ) 2 DÊu b»ng xÈy ra  ai a j  bi b j (víi quy íc r»ng nÕu ai 0 th× bi 0 ). 10/ BÊt ®¼ng thøc TrªbsÐp. a1 a 2 ... a n + NÕu b1 b2 ... bn th× n(a1b1  a 2 b2 ...a n bn ) (a1  a 2 ...  a n ).(b1  b2 ...  bn ). DÊu b»ng xÈy ra + NÕu  ai a j hoÆc bi b j ; a i , b j tuú ý a1 a 2 ... a n b1 b2 ... bn th× n(a1b1  a 2 b2 ...a n bn ) (a1  a 2 ...  a n ).(b1  b2 ...  bn ). DÊu b»ng xÈy ra  ai a j hoÆc bi b j ; a i , b j tuú ý. III - C¸c vÝ dô: VD1: Cho biÓu thøc xy  yz  zx 1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P x 4  y 4  z 4 Gi¶i ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhia c«psxki ®èi víi ( x, y , z ) vµ ( y , z , x ) 1 ( xy  yz  zx) 2 ( x 2  y 2  z 2 )( y 2  z 2  x 2 )  1 ( x 2  y 2  z 2 ) 2 MÆt kh¸c, ®èi víi (1, 1, 1) vµ x 2 , y 2 , z 2 ), ta cã: ( 2) (1.x 2  1. y 2  1.z 2 ) 2 (12  12  12 ) 2 .( y 4  z 4  x 4 ) Tõ (1) vµ ( 2) suy ra: 1 3( y 4  z 4  x 4 ) 3P  P  15 (1) 1 3 Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n cùc trÞ x y z  VËy 1  y x x  MinP    3 1 1 1   2 2 2 VD2: T×m gi¸ trÞ y lín x z nhÊt cña: a/ A x 1 b/ B biÕt y 2  x  y z x  y 4 y 2 y x 1  x Gi¶i: x 1; y 2 a/ §iÒu kiÖn: BÊt ®¼ng thøc C«si cho phÐp lµm gi¶m mét tæng: a b  ab 2 ë ®©y l¹i muèn lµm t¨ng mét tæng. Ta dïng bÊt ®¼ng thøc: a  b  2( a 2  b 2 ) A x 1 x1 y 2 x1,5 MaxA 2     yx 4 y2,5 y  2  2( x  1  y  2)  2 C¸ch kh¸c: XÐt A 2 råi dïng bÊt ®¼ng thøc C«si b/ §iÒu kiÖn: x 1; y 2 BÊt ®¼ng thøc C«si cho phÐp lµm tréi mét tÝch: Ta xem c¸c biÓu thøc: x  1, y 2 x  1  1.( x  1) y 2  2.( y  2) 2 Theo bÊt ®¼ng thøc C«si: 16 lµ c¸c tÝch: ab  a b 2 Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n cùc trÞ 1.( x  1) 1  x  1 1 x 1    x x 2x 2 y 2 2( y  2) 2 y 2 2 2   .  y 4 y 2 2y 2 2 2 1 2 2 2 x 11 x 2 MaxB       2 4 4  x  2 2  y 4 VD3: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: Ta cã: Ax 2  x 3 Gi¶i: A  x  2  x  3 x  2  3  x 1  MinA 1  ( x  2)(3  x) 0  x 3 Chó ý: Gi¶i bµi to¸n linh ho¹t khi biÕn ®æi x  3 3 x ®Ó ¸p dông bÊt ®¼ng thøc gi¸ trÞ tuyÖt ®èi. C¸ch kh¸c: XÐt kho¶ng gi¸ trÞ cña x. VD4: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè: y  x  1  x  2  ...  x  2000 D¹ng hµm sè khiÕn ta nghÜ ®Õn ¸p dông bÊt ®¼ng thøc: a b a  b víi 1000 cÆp gi¸ trÞ tuyÖt ®èi. Ta cã: y ( x  1  x  2000 )  ( x  2  x  1999 )  ...  ( x  999  x  1000 )     y1 ( x  1  x  2000 ) 1999  min y1 1999  x  1 ; 2000 y 2 ( x  2  x  1999 ) 1997  min y 2 1997  x  2 ; 2000  Y1000 ( x  999  x  1000 ) 1  min Y1000 1  x  999, 1000 VËy Min y 1  3  5  ...  1999 1000 2 1000000 17  ®èi Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n cùc trÞ Më réng: Tõ bµi to¸n trªn ta cã thÓ ra c¸c bµi to¸n sau: 1/ T×m miÒn gi¸ trÞ cña hµm sè: y  x  1  x  2  ...   x  2004 2/ Chøng minh bÊt ®¼ng thøc: y  x  1  x  2  ...  x  2004 10 6 3/ T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè: y  x  1  x  2  ...  x  2002 III - Bµi tËp tù gi¶i: A (1  x) 2 (1  x ) 3 1/ T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: HD: ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si víi 5 víi sè x 1 kh«ng ©m: 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x ; ; ; ; 2 2 3 3 3 2/ T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè: y 3 x  HD: ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhia víi (1;1); (3 x; 2  9x 2 2  9x 2 ) 3/ T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: M 5 1  4 x  1 4/ T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: N x  x 1 5/ T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: a/ A  x 2  2x 1  b/ x 2  6x  9 B  x 9 6 x  x 1  2 x IV - TiÓu kÕt: Sö dông c¸c bÊt ®¼ng thøc c¬ b¶n ®èi víi mçi bµi ®ßi hái tÝnh linh ho¹t cao, mçi bµi cã mét nÐt riªng biÖt, kh«ng cã quy t¾c chung ®Ó vËn dông. V× vËy cÇn cho häc sinh lµm quen víi nhiÒu lo¹i bµi tËp nµy./. 18 Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n cùc trÞ KÕt qu¶ ¸p dông Qu¸ tr×nh nghiªn cøu, trùc tiÕp gi¶ng d¹y vµ båi dìng häc sinh giái, phÇn chuyªn ®Ò “To¸n cùc trÞ” ®· ph¸t huy tÝnh tÝch cùc s¸ng t¹o cña häc sinh - häc sinh kh«ng cßn c¶m thÊy ng¹i mµ ngîc l¹i cßn rÊt høng thó khi gÆp nh÷ng bµi to¸n vÒ cùc trÞ. KÕt qu¶ thÓ hiÖn nh sau: Khi cha ¸p dông: §èi víi 9B n¨m häc 2006 - 2007 sè häc sinh ®¹t ®iÓm giái m«n to¸n cña 9B chØ ®¹t 30%. Nh÷ng kho¸ häc tríc HSG huyÖn m«n to¸n líp 9 chØ ®¹t 1 ®Õn 2 em. N¨m häc 2005 - 2006, líp 9B t«i d¹y m«n to¸n cã ®Õn 60% sè häc sinh ®¹t ®iÓm giái vµ 5 em ®¹t HSG huyÖn. §©y lµ mét kÕt qu¶ ®¸ng ghi nhËn trªn mét ®Þa bµn gi¸o d©n nh x· S¬n TiÕn. 19