Tài liệu Skkn một số phương pháp giải các bài toán về khoảng cách trong hình học không gian.

MỤC LỤC Trang PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ A . Lý do chọn đề tài 2 B . Phạm vi nghiên cứu đề tài 2 PHÂN II : NỘI DUNG ĐỀ TÀI A . Cơ sở lý luận 3 B . Thực trạng vấn đề 4 C . Một số giải pháp 6 I . Bài toán 1 : Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 6 II . Bài toán 2 : Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 9 III . Bài toán 3 : Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song IV . Bài toán 4 : Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau D . Kiểm nghiệm : 13 15 20 PHẦN III : KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ A . Kết luận 21 B . Kiến nghị 21 1 PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ A . LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI : - Từ đầu lớp 11 trở về trước : Học sinh mới chỉ làm việc với phần lớn là các hình trong phẳng . Mỗi hình đều có thể biểu diễn một cách tường minh, phản ánh trung thành hình dạng và có thể cả về kích thước bằng hình vẽ trên mặt giấy. Mọi quan hệ giữa các đối tượng đều được biểu diễn một cách trực quan. Đến chương II, III hình học lớp 11, hình vẽ là những hình phẳng không thể phản ánh trung thành các quan hệ như quan hệ vuông góc, quan hệ bằng nhau, … của các đối tượng. Đó là một khó khăn rất lớn đối với học sinh . - Sau khi giới thiệu 2 quan hệ: Quan hệ song song, quan hệ vuông góc trong không gian, sách giáo khoa hình học lớp 11 có đưa ra hai khái niệm quan trọng là “Khoảng cách” và “Góc” trong đó các bài toán liên quan đến hai khái niệm này được khai thác rất nhiều trong các kỳ thi như thi Đại học, Cao đẳng, thi học sinh giỏi. Ngoài ra việc giải quyết được các bài toán về khoảng cách còn giúp ta giải quyết được các bài toán về thể tích khối đa diện ở lớp 12. - Trong bài “ Khoảng cách”: Do yêu cầu về thời lượng chương trình, SGK hình học lớp 11 mới chỉ đưa ra các khái niệm về khoảng cách và nêu lên mối liên hệ giữa các khái niệm đó bằng một chú ý ở cuối bài và 2 ví dụ cơ bản về khoảng cách . Do đó, khi đứng trước một bài toán yêu cầu tính khoảng cách học sinh thường rất bối rối. Từ đó dẫn đến học sinh có tâm lý sợ và ngại học hình học không gian rồi âm thầm bỏ không học phần này . Từ những lý do trên cùng với kinh nghiệm trong thời gian giảng dạy, tôi xin mạnh dạn đưa ra đề tài: “ Một số phương pháp giải các bài toán về khoảng cách trong hình học không gian lớp 11”. Thông qua nội dung của đề tài tôi muốn sẽ cung cấp cho học sinh một cái nhìn tổng quan hơn về phương pháp giải, từ dó có định hướng tốt để tìm ra lời giải các bài toán về khoảng cách . Hy vọng đề tài nhỏ này sẽ làm cho học sinh yêu môn hình học không gian hơn và sẽ giúp đồng nghiệp có thêm một tư liệu tham khảo bổ ích trong qúa trình giảng dạy của mình . B . PHẠM VI NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI : Trong chương trình phổ thông để giải các bài toán về khoảng cách còn có phương pháp “ Gán hệ trục tọa độ trong hình học không gian” sau đó sử dụng tọa độ trong không gian để làm việc nhưng do khuôn khổ không cho phép nên trong đề tài này tôi chỉ khai thác vấn đề dưới góc độ nghiên cứu hình học không gian một cách thuần túy . 2 PHẦN II : NỘI DUNG ĐỀ TÀI A . CƠ SỞ LÝ LUẬN : - Trong nghiên cứu khoa học, việc tìm ra quy luật, phương pháp chung để giải quyết một vấn đề là việc vô cùng quan trọng vì nó giúp chúng ta có định hướng tìm lời giải của một lớp các bài toán tương tự nhau . Trong dạy học, giáo viên có vai trò thiết kế và điều khiển sao cho học sinh thực hiện và luyện tập những hoạt động tương thích với nội dung dạy học trong điều kiện được gợi động cơ, có hướng đích, có kiến thức về phương pháp tiến hành và có trải nghiệm thành công . Do vậy trang bị về phương pháp cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng của người giáo viên . - Trong bài “ Khoảng cách” sách giáo khoa hình học lớp 11 có đưa ra 4 khái niệm về khoảng cách : Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song , khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song . Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau . “Khoảng cách giữa 2 điểm A,B chính là độ dài đoạn thẳng AB”. Khái niệm này các em đã được giới thiệu và làm việc rất nhiều ở các cấp học dưới . Trên đây cũng là tất cả các khoảng cách có trong thực tế . Do đó nếu có được một hệ thống phương pháp giải các bài toán Bài toán 1 : Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng Bài toán 2 : Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng Bài toán 3: Tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song Bài toán 4 : Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau . thì hầu hết các bài toán về khoảng cách sẽ được giải quyết Ngoài ra trong 4 bài toán trên trừ “bài toán 1”, các bài toán đều quy về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng và có một số kiến thức thường hay sử dụng để giải các bài toán này . Vì vậy, tôi thấy việc đưa ra “Một số phương pháp giải các bài toán về khoảng cách trong hình học không gian lớp 11” là một việc rất cần thiết và bổ ích cho việc dạy của giáo viên cũng như việc học hình học không gian của học sinh . 3 B . THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ : Trong qúa trình giảng dạy của mình tôi nhận thấy phần lớn học sinh trường THPT Thiệu Hóa cũng như học sinh THPT nói chung còn rất lơ mơ về hình học không gian. Đặc biệt khi gặp các bài toán về khoảng cách thường không định hình được cách giải, lúng túng khi xác định hình chiếu của điểm lên đường thẳng, mặt phẳng hoặc xác định được hình chiếu nhưng lại không tính được khoảng cách, vì không biết cách tìm mối liên hệ giữa các yếu tố đã biết trong bài tập với yếu tố cần tìm, hoặc tìm được nhưng cách làm còn dài chưa kể đến việc chưa biết vẽ hình hay vẽ hình sai. Mặt khác thời lượng dành cho phần này lại ít nên học sinh không biết định hình cách làm thế nào khi đứng trước một bài toán . Cụ thể : Khi dạy cho học sinh tôi nhận thấy : S 1. Khi gặp bài toán : Bài toán : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Mặt bên (SAB) là tam giác cân tại S và mặt phẳng (SAB ) vuông góc với mặt phẳng (ABCD), cạnh bên SC tạo với mặt phẳng A D đáy một góc  .Tính khoảng cách từ trung điểm I I của AB đến mặt phẳng (SCD) B C * Học sinh thường không biết cách dựng hình chiếu H của I lên mp (SDC) như thế nào từ đó không thể tính được khoảng cách từ I đến mp (SDC) Bài toán : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a; SA = a 3 và vuông góc với mặt phẳng (ABCD) a. Tính khoảng cách từ O đến (SBC) b. Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến (SAC) * Học sinh thường lúng túng khi xác S định hình chiếu H1 của O lên (SBC), hình chiếu H2 của G lên (SAC), cũng không biết N sử dụng tỉ số khoảng cách . a) d  O;  SBC   d  A;  SBC   H OC 1   OA 2 � d  O;  SBC    1 d  A;  SBC   2 G A D O B C 4 b) d  G;(ASC)  GN 1   d  B;(ASC)  BN 3 1 � d  G;(ASC)   d  B;(ASC)  3 để đưa việc tính khoảng cách cần tìm về việc tính một số khoảng cách đơn giản hơn. Theo tôi đến đây giáo viên nên hướng dẫn cho học sinh một số quy trình dựng hình chiếu thường gặp; quy trình dựng hình chiếu trong các trường hợp đặc biệt để học sinh biết cách xác định các điểm H hoặc cách dùng tỷ lệ khoảng cách để đưa việc tính các khoảng cách phức tạp về các khoảng cách đơn giản . 2 . Khi gặp bài toán : Bài toán : Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, canh SA vuông góc với mặt đáy và SA = a . Tính khoảng cách giữa AC và SD. * Học sinh thường loay hoay đi dựng đường vuông góc chung và gặp bế tắc vì dựng khó. Cũng có một số học sinh biết cách đưa khoảng cách này về khoảng cách từ AC đến mặt phẳng qua SD song song với AC để giải bằng cách: Giải Trong mặt phẳng (ABCD) vẽ DB’//AC � d ( AC ; SD )  d ( AC ;(SDB '))  d ( A;( SDB ')) Ta tính được AB’= a, SB '  SD  B ' D  a 2 Vậy SB ' D đều . Gọi I là trung điểm SB’ thì S a 6 DI  , SB '  ( AID ) 2 � ( AID)  ( SB ' D) Kẻ đường cao AK của tam giác AID thì AK là khoảng cách từ A đến (SB’D) a 2 , AD  a 2 V ì AD  ( SAB) nên AD  AI AI . AD a � AK   DI 3 B' A Ta có AI = B D C * Đây cũng là lời giải mà sách bài tập trình bày. Tuy nhiên tôi thấy việc tính khoảng cách từ A đến (SDB’) như thế này vẫn dài. Ta có thể tính d(A; (SDB’)) theo một cách ngắn gọn hơn như sau: Dễ dàng suy ra A.SDB’ là hình chóp đều có AS, AD, AB’ đôi một vuông góc với nhau nên d(A; (SDB’)) chính là đường cao của hình chóp hạ từ A 5 S xuống mp(SDB’) � d ( A;( SB ' D ))  hA 1 1 1 1 1     2 � hA  a 3 2 2 2 2 hA AS AB ' AD 3a B' A Từ đây giáo viên có thể dẫn dắt tới phương pháp tính khoảng cách bằng cách coi khoảng cách B đó là độ dài đường cao của 1 hình chóp . Nếu hình chóp ấy đã biết thể tích và biết diện tích đáy thì có thể tính : d=h= D C 3V S 3. Khi gặp bài toán: Bài toán : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD . H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH  a 3 . Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng DM và SC theo a . S * Học sinh thường không nhận ra được vị trí tương đối giữa DM và SC có điểm đặc biệt là vuông góc với nhau nên loay hoay dựng đường vuông góc chung không được . N Đưa về khoảng cách từ đường thẳng đến mặt D A phẳng song song chứa đường còn lại, lại càng H M khó và cũng dẫn đến bế tắc . B C Lúc này vai trò của người giáo viên là rất quan trọng, phải hướng dẫn chỉ rõ cho học sinh phương pháp giải từng dạng toán, nên giải như thế nào cho hợp lý đối với từng loại để được một đáp án đúng và suy luận có lôgíc để có hướng làm tốt tránh được tình huống rối ren dễ mắc sai lầm . Trên cơ sở đó hình thành cho học sinh kỹ năng tốt khi giải quyết các bài toán về khoảng cách . C . MỘT SỐ GIẢI PHÁP : Qua nghiên cứu, trao đổi, đúc rút kinh nghiệm và ý kiến của đồng nghiệp, tôi mạnh dạn đưa ra hướng giải quyết các vấn đề trên của học sinh với giải pháp: Đưa ra “Một số phương pháp giải các bài toán về khoảng cách trong hình học không gian lớp 11” như sau: I . BÀI TOÁN 1: Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng 1 . Phương pháp : Để tính khoảng cách từ điểm O tới đường thẳng d ta thực hiện theo các bước sau : 6 B1 : Trong mặt phẳng ( O;d ) hạ OH vuông góc d với H thuộc d O B2 : Tính độ dài OH dựa vào hệ thức lượng trong tam giác, tứ giác, đường tròn . H d a . Các ví dụ : Ví dụ 1 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O, SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi I, M theo thứ tự là trung điểm của SC, AB . i) Tính khoảng cách từ I đến CM ii) Tính khoảng cách từ S đến CM Giải : i) Cách 1 : Gọi H là hình chiếu của I lên CM suy ra IH  CM Trong tam giác SCM ta có 5 SM  SA2  AM 2  a 2 5 CM  MB 2  BC 2  a 2 M H SC  SA2  AC 2  3a C 2 SC � Suy ra MSC cân tai M � MI  MS 2  � � �  2a �2 � S 1 1 1 10 3 �   2  2 � IH  a 2 2 IH IM SI 3a 10 Cách 2: Gọi H là hình chiếu của I lên CM I � IH  CM Vì IO//SA suy ra IO  CM � OH  CM A M 1 1a 2 2  a Ta có: OK  OB  3 3 2 6 a 1 1 1 20    2 � OH  2 2 2 20 OH OK OC a Trong tam giác vuông IOH ta có a a 2 3 IH  IO 2  OH 2  ( ) 2  ( )  a 2 10 20 Vậy khoảng cách từ I tới CM bằng 3 a 10 S I D O H B C A M D O K H B C 7 ii) d ( S ; CM ) SC a 30   2 � d ( S ; CM )  2d ( I ; CM )  2 IH  d ( I ; CM ) IC 5 Nhận xét : 1 . Ở ý i) giáo viên nên đưa thêm cách 2 để học sinh biết thêm: Trong nhiều trường hợp để tính khoảng cách OH từ O đến d mà trong mp (O;d ) khó tính thì có thể chọn một mặt phẳng khác chứa OH mà có nhiều yếu tố dễ tính hơn. Thường mặt phẳng đó là mặt phẳng chứa OH và một đường thẳng khác qua O vuông góc với d xuất hiện trong bài toán . 2 . Để tính khoảng cách từ S đến CM ở ý ii) học sinh có thể làm theo cách ở ý i), sau đó vận dụng hệ thức lượng trong tam giác SCM từ đó suy ra khoảng cách chính là độ dài đường cao tam giác SCM hạ từ S xuống CM . Nhưng cách này vẫn dài . Cách giải như đáp áp thì ngắn gọn hơn . Từ đó GV đưa ra: Chú ý: ▪ Nếu tồn tại đường thẳng a qua O, a // d thì d (O; d ) = d (A; d ) với A thuộc d ▪ Nếu OA cắt d tại I thì sử dụng tỉ số khoảng cách d (O; d ) OI  d ( A; d ) AI a A O ▪ Một số công thức thường dùng Định lý hàm số cosin K a 2  b 2  c 2  2bc.cos A A b  a  c  2ac.cos B 2 2 2 d O c  a  b  2ab.cos C 2 2 2 Các công thức về diện tích 1 1 1 a.ha  b.hb  c.hc 2 2 2 1 1 1 S  ab.sin C  bc.sin A  ac.sin B 2 2 2 abc S 4R S  pr S c b ha B A h  b '.c ' a.ha  b.c b c ha a 2  b2  c2 b 2  a.b ' C a H p  p  a  p  b  p  c c 2  a.c ' d K A Hệ thức lượng trong tam giác vuông 2 a H I S B c' b' H C a 8 1 1 1  2 2 2 ha b c b. Bài tập tự luyện Bài 1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông đường cao AB=a, BC=2a, SA=a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Ngoài ra còn có SC vuông góc với BD. Gọi M là một điểm trên đoạn SA, đặt AM=x với 0 �x �a . Tính khoảng cách từ D đến BM theo a và x. Tìm các giá trị của xđẻ khoảng cách này có GTNN, GTLN II . BÀI TOÁN 2: Tính khoảng cách từ 1 điểm tới 1 mặt phẳng Để tính khoảng cách từ điểm O đến mp (  ) ta có thể làm như sau 1 . Phương pháp 1 : B1: Dựng OH với H là hình chiếu của O lên (  ) bằng cách: ▪ Dựng mp(P) qua O vuông góc  O với (  ) cắt (  ) theo giao tuyến a ▪ Trong (P) dựng OH  A tại H B2: Tính độ dài OH a H  a . Các ví du : Ví dụ 1 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Mặt bên (SAB) là tam giác cân tại S và mặt phẳng (SAB ) vuông góc với mặt phẳng (ABCD), cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy một góc  .Tính khoảng cách từ chân đường cao hình chóp đến mp(SCD) Giải Gọi H là trung điểm của AB suy ra SH  AB � HS  (ABCD). Suy ra H là chân đường cao hạ từ S của hình chóp . Gọi K là trung điểm CD. Trong SHK gọi I là hình chiếu của H lên SK Ta có CD  ( SHK ) � CD  HI � HI  (SCD) Vậy HI là khoảng cách từ H đến mp(SCD) ˆ  Ta có  SC ;  ABCD    SCH BH 2  BC 2  S 5 a 2 I Tam giác SHC vuông tại H � SH  a 5 tan  2 A Trong  SHK vuông với HK = a , ta có: 1 1 1 5 tan   4    2 2 2 HI SH HK 5a.tan 2  D H K  2 B C 9 � HI  a 5 tan  5 tan 2   4 Chú ý : Trong phương pháp 1 có thể dựng được vô số mp(P). Trong thực hành giải toán nếu mp(P) không có sẵn ta thường hay chọn mp(P) như sau: Dựng đường thẳng d qua O vuông góc với đường thẳng  có sẵn trong (  ), cắt mp (  ) tại I. Từ I kẽ một đường thẳng O d M P H   I vuông góc với  cắt  tại M �    MOI  � ( )   MOI  . Vậy mp (MOI) là mp (P) cần dựng Ví dụ 2 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a, SA = a 3 và vuông góc với mặt phẳng (ABCD) i) Tính khoảng cách từ trung điểm M của SC tới mặt phẳng (ABCD) ii) Tính khoảng cách từ A đến mp (SBC), từ đó suy ra khoảng cách từ O đến mp (SBC) iii) Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác SAB đến mp (SAC) Giải i) Ta có MO // SA � MO vuông góc (ABCD) S � d ( M ;( ABCD))  MO  1 a 3 SA  2 2 ii) Nhận xét rằng N H BC  AB � � � BC  ( SAB ) �  SAB   (SBC ) BC  SA � M G A D Hạ AH vuông góc với SB � AH  ( SBC ) O � d ( A;( SBC ))  AH B Trong  SAB vuông tại A ta có C 1 1 1 1 1 4 a 3  2   2  2 � AH  2 2 2 AH SA AB 3a 2 (a 3) a Vậy khoảng cách từ A đến ( SBC ) bằng a 3 2 Vì AO � ( SBC ) = C nên 10 d ( A;( SBC )) OC 1 1 1 a 3   � d (O;( SBC ))  d ( A;( SBC ))  AH  d ( A;( SBC )) AC 2 2 2 4 iii) Vì BG � ( SAC ) = N nên d (G;( SAC )) GN 1 1   � d (G;( SAC ))  d ( B;( SAC )) d ( B;( SAC )) BN 3 2 Ta có ( BAC )  ( SAC ), BO  AC � d ( B;( SAC ))  BO  a 2 2 1 a 2 � d (G;( SAC)  BO  3 6 Nhân xét: 1 . Nếu trong bài toán đã có sẵn đường O H  thẳng d     thì chỉ cần dựng OH//d với H �d 2 . Nếu OA//  thì d (O;(  )) = d (A; (  )) 3 . Nếu OA cắt  tại I thì có thể sử dụng tỉ số khoảng cách d  O A H K A d (O;( )) OI  d ( A;( )) AI O  I K H để đưa việc tính khoàng cách cần tìm về việc tính một khoảng cách khác đơn giản hơn hoặc một khoảng cách đã biết trước đó. b. Bài tập tự luyện: Bài 1) (Bài 62-SBT). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, Aˆ  900 , BD=a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc giữa mp(SBC) và mặt đáy là 60 0. Tính khoảng cách từ A đến mp(SCB) Bài 2) (Câu IV-để thi Đại học khối D năm 2011). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA=3a, BC=4a; mp(SBC) vuông góc với ˆ  300 . Tính khoảng cách từ điểm B đến mp(ABC). Biết SB  2a 3 va SBC mp(SAC) theo a 2 . Phương pháp 2: Để tính khoảng cách từ O đến mp (  ) ta có thể coi khoảng cách từ O đến mp (  ) là độ dài đường cao của 1 hình chóp hoặc lăng trụ a . Các ví dụ : 11 Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a . Cạnh bên AA’ = a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC , E là trung điểm của BB’ . Tính khoảng cách từ B’ đến (AME) Giải Vì E là trung điểm của BB’ � d  B ';  AME    d ( B;( AME )) Dễ thấy hình chóp B.AME có BA, BE, BM đôi một vuông góc . Khoảng cách từ B đến (AME) bằng độ dài đường cao của hình chóp S.AME hạ từ A xuống mp(AME). Gọi hB là đường cao hạ từ B xuống (AME) A' B' 1 1 1 1 1 1 1 7     2  2  2 2 2 2 2 1 hB BE BM BA a a a2 a 2 4 a � hB  7 a Vậy khoảng cách từ B đến mp(AME) bằng 7 � C' E B A M C Nhận xét: Để tính khoảng cách từ B đến mp (EMA) thì có nhiều cách nhưng cách làm như đáp án trên là tối ưu nhất . Từ đây GV đưa ra Chú ý: Khi tính độ dài đường cao của hình chóp ta cần lưu ý : Nếu đó là hình chóp đều thì chân đường cao trùng với trọng tâm của tam giác đáy Nếu đó là hình chóp có 3 cạnh xuất phát từ một đỉnh đôi một vuông góc thì sử dụng công thức 1 1 1 1    2 2 2 OH OA OB OC 2 Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, tam giác ˆ  900 , BA =BC = a, AD = 2a .Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA ˆ  BAD ABC = a 2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) Giải S * Gọi I là trung điểm AD suy ra tứ giác ABCI là hình vuông và  ICD vuông cân tại I � CD  AC � �� CD ( SAC ) � CD SC CD  SA � H A B I C D 12  H ;( SCD)  HS Ta có : d B; SCD  BS   Trong tam giác vuông SAB có SH .SB  SA2 � SH .SB SA2 SH SA2 2  �   SB 2 SB 2 SB SB 2 3 Gọi V là thể tích hình chóp B.SCD, hB là độ dài đường cao hạ từ B xuống (SCD) d  B;  SCD    hB  SA.S BCD 3V  S SCD S SCD a2 a 2. 2 a  1 2a.a 2 2 2 1 1 1 SC.CD, S BCD  hD .BC  AB.CD ) 2 2 2 2 2 a a � d ( H ;( SCD))  hB  .  3 3 2 3 ( S SCD  Nhận xét: Giáo viên nên dẫn dắt học sinh đến việc tìm hình chiếu của H lên (SCD) là khó. Từ đó hướng dẫn học sinh giải theo cách như trong đáp án. Phương pháp này được dùng khi phương pháp 1 giải khó ra mà bài toán có nhiều yếu tố liên quan đến thể tích, diện tích và việc tính thể tích, diện tích là có thể hoặc tính được một cách đễ dàng . b . Bài tập tự luyện : Bài 1) (Đề thi Đại học khối D năm 2009). Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, AA’=2a, A’C=3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính khoảng cách từ A đến nặt phẳng (IBC) III . BÀI TOÁN 3: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song . Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song A a 1 . Phương pháp: Để tính khoảng cách từ d đến (  ) với d // (  ) (hoặc khoảng cách từ (  ) đến (  ) H    với ( )//( )) ta tiến hành theo các bước : B1 : Chọn 1 điểm A trên d (hoặc điểm A A  trên (  )) sao cho các khoảng cách ấy dễ tính nhất B2 : Kết luận d (d ;( ))  d ( A;( )) H  (hoặc d (( );(  ))  d ( A;(  )) ) ̃̃ a . Một số ví dụ : 13 Ví dụ 1: Cho hình hộp thoi ABCD .A’B’C’D’có tất cả các cạnh đều bằng ˆ  BAA ˆ '  DAA ˆ '  600 . Tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng đáy (ABCD) a và BAD và (A’B’C’D’) . Giải: Từ giả thiết suy ra các tam giác A’AD, BAD, A’AB là các tam giác đều. Suy ra tứ diện A’ABD là tứ diện đều. Khi đó hình chiếu của A’ trên mp(ABCD) chính là trọng tâm H của  ABD đều. Suy ra khoảng cách giữa mp(ABCD) và mp(A’B’C’D’) chính là độ dài A’H. A' D' B' C' A D 2 �a 3 � 2a 2 2 2 2 2 A ' H  AA '  AH  a  Ta có: � �3 � � 3 � � Vậy A’H = A ' H  B H O C a 6 3 Ví dụ 2 : Cho hình chóp S.ABCD có SA = a 6 và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Đáy ABCD là lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AD = 2a. Tính khoảng cách từ AD đến mặt phẳng (SBC) Giải Vì tứ giác ABCD là nửa lục giác đều đường kính AD � DA//BC � AD// (SBC) S � d ( AD;( SBC))  d ( A;( SBC)) Hạ AK vuông góc với BC ta được BC  AK � �� BC   SAK  �  SAK    SBC  BC  AS � H A D Hạ AG vuông góc với SK suy ra AG   SBC  � d  A;  SBC    AG K B C Do ABCD là nửa lục giác đều đường kính AD = 2a 14 � AK  BI  � a 3 2 A 1 1 1 1  2  2 2 AG SA AK a 6  � AG   2  1 I O 3 2 �a 3 � 2a � � �2 � 2 D  2 a 3 B K Vậy khoảng cách từ AD đến mp(SBC) bằng C 2 a 3 Nhận xét: Để giải được “bài toán 2”, học sinh cần nắm vững cách giải “bài toán 1” kết hợp với cách chọn điểm A hợp lý . Trong ví dụ 2 cơ sở để chọn điểm A là vì giả thiết cho SA vuông góc với mp(ABCD) từ đó ta suy ra SA vuông góc với BC đó là yếu tố thuận lợi cho việc dựng hình chiếu A lên mp(SBC) b . Bài tập tự luyện : Bài 1). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều Cạnh a, mặt bên (SBC) vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, SA, AC. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (MNP) và (SBC) IV . BÀI TOÁN 4: Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau J Để tính khoảng cách giữa 2 đường chéo nhau a và b ta có thể lựa chọn theo các phương pháp sau : 1 . Phương pháp 1 : B1 : Dựng đường vuông góc chung bằng cách ▪ Dựng theo quy trình trong sách giáo khoa ▪ Nếu a  b thì chỉ cần dựng mp(P) chứa b, vuông với a tại I. Trong mặt phẳng (P) hạ a I P b a b P J I IJ  b  J �b  . Suy ra IJ là đường vuông góc chung B2 : Tính độ dài đoạn vuông góc chung IJ a . Một số ví dụ: Ví dụ 1 : Cho hình hộp đứng ABCD. A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh A' D' a,  = 600 . Góc của đường chéo A’C’ và mặt phẳng đáy bằng 60 0. Tìm đường vuông góc chung của A’C và BB’. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng đó B' C' Giải I Ta có BB '/ /( A ' AB) và BO  ( A ' AC ) với J A D O B 15 60 C O là tâm của hình thoi ABCD. Kẽ OI//AA’ và IJ//BO thì dễ dàng chứng minh được IJ là đường vuông góc chung của BB’ và A’C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BB’ và A’C chính là BO . Mặt khác BO = Vậy d ( BB '; A ' C )  a . 2 a 2 Chú ý: Cần phân biệt 2 khái niệm “tính khoảng cách” và “dựng đường vuông góc chung”. “Dựng đường vuông góc chung” là bắt buộc phải dựng đường thẳng cắt và vuông góc với cả 2 đường thằng (Quy trình như trong SGK). Còn “tính khoảng cách” thì có thể không cần dựng đường vuông góc chung mà có thể tính thông qua một khoảng cách khác bằng khoảng cách đó. Ví dụ 2 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD. H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH= a 3 . Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng DM và SC theo a Giải Trong mặt phẳng (ABCD) ta có S ADM  DCN (c.g .c ) � Dˆ1  Cˆ1 � Dˆ 2  Cˆ1  Dˆ 2  Dˆ 1  900 ˆ  900 � DM  CN � DHC K N DM  SH � DM   SHC  M Hạ HK  SC( K �SC ) . Suy ra HK là đoạn vuông góc chung của DM và SC. Trong tam giác vuông DNC ta có HC.NC  DC 2 � HC  � H DC 2 2a  NC 5 1 1 1 19 2 3    � HK  a 2 2 2 2 HK HS HC 12a 19 2 3 a Vậy khoảng cách từ DM đến SC bằng 19 D C B A N D 1 2 H M 1 B C Chú ý: Khi tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau cần lưu ý: 16 Kiểm tra xem 2 đường thẳng có vuông góc với nhau không. Nếu có thì nên sử dụng phương pháp 1 b . Bài tập tự luyện : Bài 1) Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a, I là trung điểm AB. Dựng IS vuông góc với mp(ABCD) và SI  a 3 . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các 2 cạnh BC, SD, SB. Hãy dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp AB và SD SA và BD NP và AC MN và AP A I a 2 . Phương pháp 2 : Để tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng a,b chéo nhau ta có thể: b J ▪ Quy d(a; b) về d(a; (  )), với (  ) là mặt  phẳng chứa b, song song với a I a ▪ Quy d(a; b) về d ((  );(  )) với (  ), (  ) là  2 mặt phẳng song song với nhau lần lượt chứa 2 b đường thẳng a và b J  a . Một số ví du Ví dụ 1 : Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh bằng a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’ Giải Ta có : CD ' �( ACD ') � � BC ' �( A ' BC ') �� d  CD '; BC '   d   ACD '  ;  A ' BC '   ( ACD ') / /( A ' BC ') � A � Mặt khác, gọi G, G’ lần lượt là giao của DB’ với mp(ACD’) và mp(A’B’C’). Ta có DG=GG’=G’B’ Dể dàng chứng minh được DB '  ( ACD ') � d (CD '; BC ')  DB ' a 3  3 3 B D C G A' G' B' Ví dụ 2 : Cho hình chóp tứ giác đều C' S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Gọi E D' là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng MN và AC 17 Giải Gọi P là trung điểm của SA 1 2 Suy ra MP / / AD / / NC và MP  NC  AD � d (MN ; AC )  d ( MN ;( SAC))  d ( N ;( SAC))  Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều 1 d ( B;( SAC)) 2 S E � BO  ( SAC) a 2 2 1 a 2 � d ( MN ; AC )  BO  2 4 � d ( B;( SAC))  BO  P M A D O a 2 Vậy khoảng cách từ MN đến AC = 4 B N C Ví dụ 3 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a, SA = a và vuông góc với (ABCD) . Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng i) SC và AD ii) SB và AC Giải i) Nhận thấy AB / / BC � AD / /(SBC) S � d ( AD; SC)  d ( AD;( SBC))  d ( A;( SBC )) Gọi M là hình chiếu của A xuống SB � d ( A;( SBC)  AM  a 2 2 M a 2 Vậy khoảng cách giữa SC và AD bằng 2 A D D' ii) Từ B kẽ Bx song song AC cắt AD tại D’ � d ( SB; AC)  d ( AC ;(SBD '))  d ( A;( SBD ')) O B C Dễ thấy hình chóp A.SBD’ là hình chóp đều có AS, AD’,AB đôi một vuông góc � d ( A;( SBD '))  hA với � hA  1 1 1 1    2 2 2 hA AB AS AD '2 a 3 Vậy khoảng cách từ AC đến SB bằng a 3 18 Ví dụ 4 : Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C, CA = b, CB = a, cạnh SA = h vuông góc với đáy . Gọi D là trung điểm của AB . Tính i) Khoảng cách giữa 2 đường thẳng AC và SD ii) Khoảng cách giữa BC và SD Giải i) Từ D kẽ Dx // AC � d ( AC ; SD)  d ( AC ;( S , Dx)) = d ( A;( S , Dx)) Trong mp (ABC) vẽ AE // CB với E thuộc Dx � DE  EA S DE  SA � DE  ( SEA) Hạ AH vuông góc với SE � AH   SDE  � d ( A;  S , Dx  )  d ( A;(SDE))  AH H a Trong tam giác vuông SAE có AE  2 � AH   AS . AE AS 2  AE 2  E K a h. 2 D B A 1 2 a  4h 2 2 C a.h a  4h 2 2 Vậy khoảng cách giữa AC và DS là ah a  4h 2 2 ii) Gọi I là trung điểm của AC. Suy ra CB//ID � d (CB; SD )  d (CB;( SID))  d (C ;( SID))  d ( A;( SID)) Gọi K là hình chiếu của A lên SI. Ta có: AK  BC � AK  ID � �� AK   SID  AK  SI � � d  A;  SID    AK  AS . AI AS 2  AI 2  Vậy khoảng cách giữa BC và SD bằng b .h 2 1 4h 2  b 2 2  b.h 4h 2  b 2 bh 4h 2  b 2 Nhận xét 1 . Các bài toán trên có nhiều cách giải nhưng tôi chỉ trình bày ở đây cách giải mà qua nghiên cứu và giải tôi thấy là tối ưu nhất . 19 2 . Sở dĩ trong phần này tôi trình bày nhiều ví dụ hơn vì để giải được bài toán 4 theo phương pháp 2 thì học sinh cần phải : Nắm vững các cách giải các bài toán đã nêu trước đó, tổng hợp được các phương pháp giải trong mỗi tình huống khác nhau, linh hoạt trong cách sử dụng các phương pháp, cách làm bài. b . Bài tập tự luyện : Bài 1) (Bài 39 đề thi Đại học khối A năm 2011). Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB=BC=2a, hai mặt phẳng (SAB), (SAC) cùng vuông góc vói mp(ABC). Gọi M là trung điểm AB; mặt phẳng qua SM, song song với BC, cắt AC tại N. Biết Góc giữa (SBC), (ABC) bằng 60 0. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SN theo a D . KIỂM NGHIỆM : Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm giảng dạy lớp 11 được học sinh đồng tình và đạt kết qủa. Các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có hưỡng dẫn kỹ, các em học sinh với mức học trung bình cứng trở lên đã có kỹ năng giải các bài tập. Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt. Cụ thể ở các lớp khối 11 sau khi áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy thì kết qủa qua các bài kiểm tra thử như sau : Điểm 8 trở lên Năm học Lớp 2012 2011 2011 11M 11I 11A Tổng số 47 40 49 Số lượng 7 7 20 Tỷ lệ 15% 17,5% 40,8% Điểm từ 5 đến 7 Số Tỷ lệ lượng 20 42,5% 20 50% 20 40,8% Điểm dưới 5 Số lượng 20 13 9 Tỷ lệ 42,5% 32,5% 18,4% 20