Giáo viên: Đinh Văn Ba
Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
1. Mục lục
Trang
A. Đặt vấn đề
B. Nội dung
2
2
1. Thực trạng vấn đề
2.Giải pháp thực hiện
3. Phạm vi thực hiện
4. Nội dung
3
5. Hiệu quả
18
C. Kết luận
18
A. Đặt vấn đề
Trong chương trình giải tích 12 chuyên đề hàm số là một phần quan trọng
đối với Học sinh. Việc giải các câu hỏi phụ về hàm số thường là vấn đề khó
1
Sáng kiến kinh nghiệm
Giáo viên: Đinh Văn Ba
Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
đòi hỏi học sinh phải có kiến thức tổng hợp, đặc biệt phải biết phân loại từng
dạng một. Trong các dạng toán về câu hỏi phụ về hàm số bài toán về “ tiếp
tuyến” là một bài toán cơ bản đối với học sinh. Để có được cách nhìn tổng
quan về phần này đòi hỏi học sinh phải nắm được các kiến thức cơ bản và các
bài toán tổng quát cho từng dạng.
Đây cũng là một phần quan trọng trong các đề thi học kỳ ,thi tốt nghiệp và đại
học. phần lý thuyết đơn giản nhưng bài tập thì rất đa dạng đòi hỏi học sinh
phải có tính tư duy lôgic. Chính vì vậy tôi nghiên cứu đề tài “ Một số phương
pháp giải bài tập về tiếp tuyến” nhằm mục đích giúp HS phân loại một số
dạng toán để đưa ra cách giải nhanh hơn.
B. Nội dung
1. Thực trạng của vấn đề
Trong SGK đại số và giải tích lớp 11 đã đưa ra bài toán về tiếp tuyến khi
biết tiếp điểm. Nếu chưa biết tiếp điểm thì có phương pháp nào để viết được
phương trình tiếp tuyến không? Đây là vấn đề mà học sinh hay lúng túng khi
đi tìm cách giải, nếu ta không nắm vững kiến thức cơ bản thì rất khó có thể
làm được.
2. Giải pháp thực hiện
Đối với giáo viên: Xây dựng hệ thống bài tập với các phương pháp cụ thể
phù hợp cho từng loại, tổ chức cho học sinh hoạt động trong các tiết luyện tập
trên lớp và các tiết dạy bồi dưỡng.
Đối với học sinh: Nắm vững kiến thức cơ bản, các công thức hay sử dụng và
ôn luyện theo từng dạng.
3. Phạm vi thực hiện:
Tổ chức học sinh thực hiện chuyên đề này sau khi học xong chương trình hàm
số.
4. Nội dung:
Cho đồ thị (C): y= f(x). Gọi M 0, M là hai điểm phân biệt và cùng thuộc đồ thị
(C). Nếu cố định M0 và cho M di chuyển trên (C) đến gần M 0 thì vị trí giới
( MM 0 )
hạn của cát tuyến (M0M) là tiếp tuyến (M0T) tại điểm M0. Tức là: Mlim
�M
= Tiếp tuyến M0T.
Ta thường gặp các bài toán về tiếp tuyến sau:
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại tiếp điểm
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước
Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua một điểm
cho trước.
Bài toán 4; Viết phương trình tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị tại hai điểm
phân biệt. Từ đó viết phương trình tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị tại một điểm
và cắt đồ thị tại hai điểm khác.
Đối với hai bài toán 1 và 2 ta cần chú ý tới việc viết phương trình tiếp
tuyến tại tiếp điểm và bài toán viết phương trình tiếp tuyến đi qua một
0
2
Sáng kiến kinh nghiệm
Giáo viên: Đinh Văn Ba
Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
điểm (có thể thuộc đồ thị hoặc không thuộc). Đối với bài toán 4 thì chỉ
xuất hiện ở đồ thị hàm số bậc 4.
Phương pháp giải bài toán 1:
Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm thì tiếp tuyến tại M0(x0;y0) (C):
y= f(x) có hệ số góc là f ‘(x). Nên phương trình tiếp tuyến tại M0(x0;y0) của
(C) là:
y= f ,(x0)(x- x0) + f(x0)
Phương pháp giải bài toán 2:
Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k tiếp xúc với đồ thị (C) tại điểm có hoành
độ xi suy ra f,(xi) = k suy ra x=xi là nghiệm của f,(x) = k . Giải phương trình
f,(x) = k ta tìm được các xi và viết được phương trình tiếp tuyến
Phương pháp giải bài toán 3:
Bài toán: Cho đồ thị (C): y= f(x) và điểm A(a;b) cho trước. Viết phương
trình tiếp tuyến đi qua A(a; b) đến đồ thị (C)
Để giải loại này có 2 phương pháp:
1.Phương pháp tìm tiếp điểm
Phương pháp này có 2 cách
Cách 1: Giả sử tiếp tuyến đi qua A(a;b) tiếp xúc (C) tại tiếp điểm có hoành
độ xi suy ra phương trình tiếp tuyến có dạng: y= f ,(xi)(x- xi) + f(xi) (t)
Do A(a;b) (t) nên b= f ,(xi)(a- xi) + f(xi) suy ra x= xi là nghiệm của
phương trình b= f ‘(x)(a- x) + f(x) f ‘(x)(x-a) +b- f(x)=0(*)
Giải phương trình (*) suy ra nghiệm x
x , x ,...... x ,...... x
0
1
i
n
,
Phương trình tiếp tuyến tại x= xi là: y= f (xi)(x- xi) + f(xi)
Cách 2: Đường thẳng đi qua A(a;b) với hệ số góc k có phương trình:
y= k(x-a) +b tiếp xúc với đồ thị (C): Hệ phương trình:
f ( x ) k ( x a ) b
,
có nghiệm
,
(
x
)
k
f
Giải hệ phương trình trên ta tìm được các nghiêm x=x i và viết được
phương trình tiếp tuyến: y= f ,(xi)(x- xi) + f(xi)
2.Phương pháp tìm điều kiện nghiệm kép.
Đường thẳng đi qua A(a;b) với hệ số góc k có phương trình:
y= k(x-a) +b tiếp xúc với đồ thị (C): k(x-a) +b=f(x) có nghiệm bội
giải và biện luận ta tìm ra các giá trị của k từ đó viết được phương trình
tiếp tuyến đi qua A
Phương pháp giải bài toán 4
Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C)y=ax 4+bx3+cx2+d (a 0) tiếp
xúc với đồ thị tại hai điểm phân biệt
3
Sáng kiến kinh nghiệm
Giáo viên: Đinh Văn Ba
Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
Phương pháp: Giả sử đường thẳng (a): y=kx+m tiếp xúc với (C) y=f(x)tại hai
điểm phân biệt có hoành độ là x1, x2 khi đó f(x)= kx+m (*)có hai nghiệm kép
phân biệt x1, x2 . Giải phương trình (*) bằng cách cho đồng nhất các hệ số ta
tìm được x1,x2 và phương trình tiếp tuyến.
Sau đây là các dạng toán cụ thể:
DẠNG 1: TIẾP TUYẾN HÀM ĐA THỨC BẬC 3
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm thuộc đồ thị
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y=f(x)=x3-3x+5 khi biết:
1) Hoành độ của tiếp điểm là x1=-1; x2=2; x3= 3
2) Tung độ của tiếp điểm là y1=5; y2=3; y3=7
Giải:
Đạo hàm y’(x)=3x2 – 3
x
3
3 x1 5
1) x1=-1
y1=
; y’(-1)=0. Phương trình tiếp tuyến tại M(-1,7) là:
(t1): y=y’(-1) x 1 + y(-1) y = 7
1
3
x12 3
x
3
x
5
1
1
2) y1=5
x1
=0 x1 0, 3
=5
Tiếp tuyến tại x1=0 là (t1): y=y’(0)(x - 0) + 5 y = -3x + 5
Tiếp tuyến tại x1 = -
3
Tiếp tuyến tại x 1 =
3
là (t2): y = y’(- 3 )(x + 3 ) + 5
y = 6x + 6 3 + 5
là (t3): y = y’( 3 )(x - 3 ) + 5 y = 6x - 6
3
+
5
Bài 2: Cho (C): y = f(x) = 2x3 – 3x2 + 9x – 4. Viết phương trình tiếp tuyến của
(C) tại các giao điểm của (C) với các đồ thị sau:
1. Đường thẳng (d): y = 7x + 4
2. Parabol (p):
y = -x2 + 8x – 3
3. Đường cong (C): y = x3 – 4x2 + 6x – 7
Giải:
1. Hoành độ giao điểm của (C) với (d) là nghiệm của phương trình:
2x3 – 3x2 + 9x – 4 = 7x + 4 (x - 2)( 2x2 + x + 4)
2
1
3
2
(x -2) x x 3 0 x = 2.
2
4
Tiếp tuyến tại x = 2 có phương trình y = y’(2)(x - 2) + y(2)
= 21(x - 2) + 18 = 21x - 24
Làm tương tự ta cũng giải được các ý 2 và 3.
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=x 3-3x2 biết tiếp tuyến
vuông góc với đường thẳng y=
1
3
x
Giải: Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=
1
3
x nên tiếp tuyến có hệ
số góc bằng -3. Gọi tiếp điểm có hoành độ x0 y’(x0)=3 x02 -6 x 0=-3
3(x0-1)2=0 x0=1. phương trình tiếp tuyến tại x0=1 là:
4
Sáng kiến kinh nghiệm
Giáo viên: Đinh Văn Ba
Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
y= -3(x-1)+y(1) y= -3x+1
Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=x 3-3x2+1 biết tiếp
tuyến song song với đường thẳng y= 9x+2012
Giải: Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y= 9x+2012 nên tiếp tuyến
có hệ số góc bằng 9. gọi tiếp điểm có hoành độ x0 y’(x0)=3 x02 -6x0=9
x02 -2x0-3=0 x0=-1 hoặc x0=3
Tiếp tuyến tại x0=-1 là y=9(x+1)-3 y= 9x+6
Tiếp tuyến tại x0=3 là y=9(x-3)+1 y= 9x-26
Bài toán 3: Phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm cho trước đến đồ thị.
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(
19
; 4 ) đến đồ thị (C) có phương
12
trình: y=f(x)=2x3–3x2+5
Giải:
Đường thẳng đi qua A(
y = k(x -
19
4)
12
19
; 4 ) với hệ số góc k có phương trình
12
tiếp xúc với (C): y = f(x) Hệ
19
f
(
x
)
k
x 4
12
f ' ( x) k
19
19
f ( x) f ' ( x) x
4 2x3–3x2+5= 6x(x - 1)(x12
12
19
17
( x 1)(2 x 1) 6 x( x 1)( x
) ( x 1)(4 x 2
x 1) 0
12
2
nghiệm
x1 1
x 2 2
1
x3
8
Tiếp tuyến (t1): y = y’(1)(x-
có
)+4
19
) + 4 y 4
12
Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(0;-1) đến C có phương trình:
y= 2x3+ 3(m-1)x2+ 6(m-2)x-1
Giải: Đường thẳng đi qua A với hệ số góc k có phương trình: y=kx-1 tiếp xúc
với (C) y=f(x) Hệ
f ( x) kx 1
có nghiệm
f ' ( x ) k
f ( x) f ' ( x ) x 1 f ' ( x) x 1
x1 0
f ( x) 0 x2[4x+3(m-1)]=0
3(1 m)
x2
4
5
Sáng kiến kinh nghiệm
Giáo viên: Đinh Văn Ba
f
Từ
,
Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
( x) =6x2 +6(m-1)x+ 6(m-2) suy ra
Với x1= 0 f’(0)=6(m-2) Tiếp tuyến (t1): y= 6(m-2)x-1
, 3(1 m)
3(1 m)
3
f
=
(3m2-22m+35)
4
8
4
3
2
(3m
-22m+35)x-1
8
Với x2=
y=
Bài 3: Cho hàm số (C) y=f(x) =x3-3x2+2
a. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(
23
; 2 )
9
đến (C).
b. Tìm trên đường thẳng y=-2 các điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông
góc với nhau.
Giải: a. Đường thẳng đi qua A(
y= k(x-
23
)-2
9
với hệ số góc k có phương trình:
tiếp xúc với (C) y= f(x) Hệ phương trình:
23
f
(
x
)
k
(
x
) 2
9
f , ( x ) k
f , ( x)( x
23
; 2 )
9
có nghiệm
23
) 2 f ( x) 0
9
f ( x) f , ( x)( x
23
) 2
9
3x3-16x2+23x-6=0 (1)
1
Giải phương trình (1) ta được x=2; x=3 và x= 3
23
)-2 y=-2
9
23
x=3 suy ra tiếp tuyến (t2): y=y’(3)(x- 9 )-2 y=9x-25
1
1
23
5
61
x= 3 suy ra tiếp tuyến (t3): y=y’( 3 )(x- 9 )-2 y= 3 x 27
Với x=2 suy ra tiếp tuyến (t1): y=y’(2)(xVới
Với
b. Lấy bất kì M(m;-2) thuộc đường thẳng y=-2 đường thẳng đi qua M(m;-2)
với hệ số góc k có phương trình: y=k(x-m)-2 tiếp xúc với (C): y= f(x) Hệ
f ( x ) k ( x m) 2
phương trình:
có nghiệm
f ' ( x ) k
f ( x) f , ( x )( x m) 2
f , ( x)( x m) 2 f ( x) 0
x 2
(x-2)[2x2-(3m-1)x+2]=0
2
g ( x ) 2 x (3m 1) x 2 0
Do không thể có tiếp tuyến nào vuông góc với tiếp tuyến y=-2 song song với
Ox
6
Sáng kiến kinh nghiệm
Giáo viên: Đinh Văn Ba
Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
Nên để từ M(m; -2) kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với (C) thì g(x)=0 phải có
2 nghiệm phân biệt x1;x2 và các tiếp tuyến tại các điểm có hoành độ x 1;x2
vuông góc với nhau.
Ta có:-1= y’(x1).y’(x2) = (3x 1 2 - 6x1)( 3x 2 2 - 6x2) = 9x1x2[x1x2 – 2(x1+x2) + 4]
= 9[1 – (3m - 1) + 4] = 9[6 – 3m] = 54 -27m
55
m=
27
Với m =
55
27
thì g = (3m - 1)2 – 16 > (3.2 - 1)2 – 16 = 9 > 0
55
Vậy điểm M( 27 ; 2 )
Bài 4: Cho hàm số y = -x3 + 3x + 2 (C). Tìm trên trục hoành các điểm kẻ
được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Giải:
Lấy bất kỳ A(a;0) �Ox . Đường thẳng đi qua A(a;0) với hệ số góc k có
phương trình y = k(x - a) tiếp xúc với (C): y = f(x) Hệ phương trình:
f ( x ) k ( x a )
có nghiệm f(x) = f’(x)(x - a)
f ' ( x) k
f(x) – f’(x)(x- a) = 0 2x3 – 3ax2 + 3a + 2 = 0
(x + 1)[2x2 – (3a + 2)x + 3a + 2] = 0 (x + 1).g(x) = 0
Từ điểm A(a;0) kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) g(x) = 0 có 2 nghiệm phân
a 2
(3a 2)(3a 6) 0
biệt và khác (-1)
2
g( )1 6(a )1 0 1 a
3
Bài 5: Cho (C): y = x3 -12x + 12. Tìm trên đường thẳng y = -4 các điểm có
thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Giải:
Lấy bất kì M(m;-4) đường y = -4. Đường thẳng đi qua M(m;-4) với hệ số
góc k có phương trình y = k(x - m) – 4 tiếp xúc với đồ thị (C) Hệ phương
trình
f ( x ) k ( x m) 4
có nghiệm
f ' ( x ) k
f(x)= f’(x)(x-m) – 4 f(x)(x - m) – f(x) – 4 = 0
7
Sáng kiến kinh nghiệm
Giáo viên: Đinh Văn Ba
Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
(x - 2)[2x2 – (3m - 4)x – (6m - 8)] = 0 (x - 2)g(x) = 0
Từ M(m; -4) kẻ được 3 tiếp tuyến đi qua (C) g(x) = 0 có 2 nghiệm phân
biệt và khác 2
m 4
(3m 4)(3m 12) 0
4
g(2) 24 12m 0 m 2
3
Bài 6: Cho (C): y = x3 – 6x2 + 9x -1
Từ 1 điểm bất kỳ trên đường thẳng x = 2 kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến
(C).
Giải:
Lấy bất kỳ M(2; m) đường thẳng x = 2. Đường thẳng đi qua M(2;m) với
hệ số góc k có phương trình y = k(x - 2) + m tiếp xúc với đồ thị (C): y = f(x).
f ( x) k ( x 2) m
Hệ
f ' ( x) k
có nghiệm f(x) = f’(x)(x - 2) + m
f(x) – f’(x)(x - 2) = m g(x) = -2x3 + 12x2 – 24x + 17 = m
Ta có g’(x) = -6(x - 2)2 0 Bảng biến thiên
-
x
,
g ( x)
g(x)
+
2
0
-
+
-
Nghiệm của phương trình tìm tiếp điểm cũng là hoành độ giao điểm của
đường thẳng y = m với đồ thị y = g(x). Nhìn bảng biến thiên suy ra g(x) = m
chỉ có đúng 1 nghiệm. Vậy từ M(2;m) bất kỳ đường thẳng x = 2 chỉ kẻ
được duy nhất 1 tiếp tuyến đến đồ thị (C): y = f(x).
Bài 7: Tìm trên đồ thị (C): y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a 0)
Các điểm kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Giải:
Lấy bất kỳ điểm M(m;f(m)) (C): y = f(x). Đường thẳng đi qua M(m;f(m))
với hệ số góc k có phương trình: y = k(x-m) + f(m) tiếp xúc với (C).
Hệ
f ( x ) k ( x m) f ( m)
f ' ( x) k
có nghiệm f(x) = f’(x)(x-m) + f(m)
8
Sáng kiến kinh nghiệm
Giáo viên: Đinh Văn Ba
Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
f’(x)(x-m) – [f(x) – f(m)] = 0
(3ax2 + 2bx + c)(x-m) – [a(x3 – m3)] + b(x2 – m2) + c(x - m)] = 0
(x - m)[2ax2 – (am – b)x – m(am + b)] = 0
x1 m
(x - m) [2ax + (am + b)] = 0
x 2 am b
2a
2
Từ điểm M(m,f(m)) kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C)
(am b)
b
3am b m
2a
3a
b
b
M( 3a , f ( 3a ) ) (C) là điểm kẻ được đúng
x1 = x2 m
Vậy
1 tiếp tuyến đến (C).
b
�3a
�
Nhận xét : f’(x) = 6ax + 2b = 0 Điểm uốn U � ; f (
b �
)�
3a �
Vậy trên đồ thị hàm bậc 3 điểm uốn là điểm duy nhất kẻ được đúng 1 tiếp
tuyến đến đồ thị.
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho hàm số: y x3 3 x 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
1
x 1.
9
Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y x3 3 x 2 2 biết tiếp
hàm số biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y
tuyến vuông góc với đường thẳng 5y-3x+4=0
Bài 3: Cho hám số: y x 3 3x 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C)
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=-9x+1
DẠNG 2: TIẾP TUYẾN HÀM ĐA THỨC BẬC 4
Bài toán 1: Phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm thuộc đồ thị.
(C ) : y f ( x) ( x 1) 2 ( x 1) 2
Bài 1: Cho 2 đồ thị
(P) : y g ( x) 2 x 2 m
a. Tìm m để (C) và (P) tiếp xúc nhau.
b. Viết phương trình tiếp tuyến chung tại các điểm chung của (C) với (P).
Giải:
a. (C) và (P) tiếp xúc nhau
f ( x) g ( x)
f ' ( x) g ' ( x)
có nghiệm
9
Sáng kiến kinh nghiệm
Giáo viên: Đinh Văn Ba
Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
42 2 42
x 2x 21 x m mx 4x 1 x0,m1
3 2 2
4x 4x4x 4x( 2 0) x 2,m3
Vậy với m = -3 hoặc m = 0 thì (C) và (P) tiếp xúc nhau.
b. Xét m = 1, x0 = 0 (P): y = g(x) = 2x2 + 1
Phương trình tiếp tuyến chung tại x0 = 0: y = g’(0)(x - 0) + g(0) y = 1
+ Xét m = -3, x0 = 2 (P): y = g(x) = 2x2 – 3
Phương trình tiếp tuyến chung tại x0 = 2 :
y = g’( 2 )(x- 2 )+g( 2 )= 4 2 x - 7
+ Xét m = -3, x0 = - 2 (P) = y = g(x) = 2x2 – 3
Phương trình tiếp tuyến chung tại x0 =- 2 :
y = g’(- 2 )(x+ 2 )+g( 2 )=4 2 x-7
Bài 2: Cho đồ thị (C): y = -x 4 + 2mx2 – 2m + 1. Tìm m để các tiếp tuyên với
đồ thị tại A(1;0), B(-1;0) với nhau.
Giải:
Do A(1;0) (C); B(-1;0) (C) nên các tiếp tuyến tại A và B vuông góc với
nhau y’(1).y’(-1) = (4m - 4)(-4m + 4) = -1
-16m2 + 32m – 15 = 0 m =
5
4
hoặc m =
3
4
.
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước.
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y =
1 4 1 3 1 2
x x x x 5 biết
4
3
2
tuyến song song với đường thẳng y = 2x – 1.
Giải:
Đạo hàm y’(x) = x3 – x2 + x + 1
Giả sử tiếp tuyến (t) song song y = 2x – 1 tiếp xúc với (C) tại x0
y’(x0) = 2 x03 – x02 + x0 + 1 = 2 (x0 - 1)(x02 + 1) = 0
x0 = 1 Phương trình (t): y = 2(x – 1) + y(1) y = 2x -
tiếp
67
12
Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = x 4 – 2x2 + 4x – 1 biết tiếp
1
tuyến vuông góc với đường thẳng y = - 4 x 3
Giải:
Đạo hàn y’(x) = 4x3 – 4x + 4
10
Sáng kiến kinh nghiệm
Giáo viên: Đinh Văn Ba
Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
1
Do tiếp tuyến (t) vuông góc với y = - 4 x 3 nên (t) có hệ số góc k = 4.
Giả sử (t) tiếp xúc (C) tại điểm có hoành độ x0 y’(x0) = 4
4x03 – 4x0 + 4 = 4 4x0(x02 - 1) = 0 x0 = 0; x0 = 1
Tại x0 = 0 Tiếp tuyến (t1): y = 4x + y(0) = 4x – 1
Tại x0 = -1 Tiếp tuyến (t2): y = 4(x + 1) + y(-1) = 4x – 2
Tại x0 = 1 Tiếp tuyến (t3): y = 4(x - 1) + y(1) = 4x – 2
Do (t2) = (t3) nên chỉ có 2 tiếp tuyến là y = 4x – 1 và y = 4x – 2
Bài 3: Cho (Cm): y = x3 + mx2 – m – 1.
Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại A song song với đường thẳng y = 2x với A
là điểm cố định có hoành độ dương của (Cm).
Giải:
Xét phương y0 = x03 + mx02 – m – 1 m m(x02 - 1) + (x04 – 1 – y0) = 0
m
2
�
�x 0 1 0
�x0 �1
��
� Điểm cố định A(1;0)
�4
4
y
x
1
0
0
�0
�x0 1 y0 0
Tiếp tuyến với đồ thị tại A song song với y = 2x y’(1) = 2
4 + 2m = 2 m = -1.
Bài toán 3: Phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm cho trước.
Bài 1: Cho đồ thị (C): y = f(x) =
1 4 1 2
x x .
2
2
Viết phương trình tiếp tuyến đi
qua O(0;0) đến đồ thị (C).
Giải: Đường thẳng đi qua O(0;0) với hệ số góc k có phương trình y = kx tiếp
xúc với đồ thị (C): y = f(x)
f ( x) kx
f ' ( x) k
có nghiệm f(x) = f’(x).x
11
Sáng kiến kinh nghiệm
Giáo viên: Đinh Văn Ba
Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
1
2
f’(x).x – f(x) = 0 (2x3 - x)x - ( x 4
1 2
x )
2
=0
3
3 4 1 2
1
3
x x 0 x 2 (3x 2 1) 0 x 0;
,
2
2
2
3
3
Tại x1 = 0 Tiếp tuyến (t1): y = f’(0).x y = 0
Tại x2 =
Tại x3 =
3
Tiếp tuyến (t2): y = f’(
3
3
3
Tiếp tuyến (t3): y = f’(
3
3
3
3
).x =
).x =
3
9
x
3
x
9
Bài 2: Cho đồ thị (C): y = f(x) = (2 – x2)2
Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(0;4) đến đồ thị (C).
Giải:
Đường thẳng đi qua A(0;4) với hệ số góc k có phương trình y = kx + 4 tiếp
xúc với đồ thị (C): y = f(x) Hệ
f ( x) kx 4
f ' ( x ) k
có nghiệm
f(x) = f’(x)x + 4 f’(x).x + 4 – f(x) = 0
(4x3 – 8x)x + 4 – (4 – 4x2 + x4 ) = 0 x2(3x2 - 4) = 0
x1 0
x 2 3
2
3
2 3
x3
3
Tại x1 = 0 tiếp tuyến: y = f(0).x + 4 y = 4
2 3
tiếp tuyến: y = f( 2 3 )x + 4 y =
Tại x2 =
Tại x3 =
3
2 3
3
tiếp tuyến: y =
3
2 3
f(
3
)x + 4 y
16 3
x4
9
16 3
x4
=
9
Bài toán 4: Phương trình tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị tại 2 điểm phân
biệt.
Bài 1: Cho đồ thị (C): y = f(x) = x4 – 4x3 + 3
Viết phương trình tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị tại 2 điểm phân biệt và tìm
hoành độ của 2 tiếp điểm.
Giải:
Đường thẳng y = kx + m tiếp xúc với đồ thị (C): y = f(x) tại 2 điểm phân biệt.
f(x) = kx + m có 2 nghiệm kép x1, x2 phân biệt.
x4 – 4x3 –kx + 3 – m = 0 có 2 nghiệm kép x1, x2 phân biệt.
12
Sáng kiến kinh nghiệm
Giáo viên: Đinh Văn Ba
Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
x4 – 4x3 –kx + 3 – m = (x-x1)2(x-x2)2 x
x4 – 4x3 –kx + 3 – m =[x2-Sx+P]2 x (S=x1+x2, P= x1.x2)
x4 – 4x3 –kx + 3 – m =x4- 2Sx3+(S2+2P)x2-2SPx+P2 x
2 S 4
2
S 2 P 0
2
SP
k
P 2 3 m
S x1 x2 2
P x x 2
1 2
k
2
SP
8
m 3 P 2 1
x1 1 3
x2 1 3
PTTT :
y 8 x 1
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho hàm số: y x 4 4 x 2 4 (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) đi
qua điểm A(0;4)
1
2
3
2
Bài 2: Cho hàm số: y x 4 3 x 2 (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C)
3
2
đi qua điểm A(0; )
DẠNG 3: TIẾP TUYẾN CỦA HÀM PHÂN THỨC BẬC NHẤT/BẬC NHẤT.
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm thuộc đồ thị.
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số
y
2x 1
x 1
tại tiếp điểm
có hoành độ bằng 1
Giải: Tiếp tuyến có dạng:y= f ‘(x0)(x- x0) + f(x0)
3
1
Ta có f ‘(1)= 4 ;f(1)= 2
3
4
PTTT: y ( x 1)
1
3
1
y x
4
4
2
Bài 2: Tìm a,b để đồ thị (C): y =
ax b
x 1
cắt Oy tại A(0;-1) đồng thời tiếp
tuyến tại A có hệ số góc bằng 3.
Giải:
a.0b
y (0) 1
b 1 b 1
0
1
Yêu cầu bài toán
( a b)
y'(0) 2 3 a b 3 a 4
(0 1)
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc k cho trước.
13
Sáng kiến kinh nghiệm
Giáo viên: Đinh Văn Ba
Bài 1: Cho (C): y =
Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
4x 5
2x 1
. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song
( ): y=3x+2.
Giải:đường thẳng y=3x+m tiếp xúc (C) 3x+m=
4x 5
2x 1
có nghệm kép
(3x+m)(2x+1)=-4x-5 có nghiệm kép
6x2+(2m+7)x+(m+5)=0 có nghiệm kép =(2m+7)2-24(m+5)=0
4m2+4m-92=0 m2+m-23=0 m=
Vậy hai tiếp tuyến là: y 3x
1 93
2
1 � 93
2
2x 3
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) () :y=-2x
4
1
1
2x 3
y x m tiếp xúc (C) x m
có nghiệm kép
2
2
5x 4
Bài 2: Cho (C): y 5 x
Giải:Đường thẳng
(x + 2m)(5x - 4) = 2(2x - 3) có nghiệm kép
5x2 + 2(5m - 4)x – (8m - 6) = 0 có nghiệm kép
= (5m - 4)2 + 5(8m - 6) = 0
25m2 – 14 = 0 m = 14 /5
Vậy có hai tiếp tuyến
() :
y = -2x là y =
1
x ( 14 / 5)
2
Bài toán 3: Phương tình tiếp tuyến đi qua 1 điểm cho trước.
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(0;1) đến đồ thị (C): y =
4x 3
2x 1
Giải:
Đường thẳng đi qua A(0;1) với hệ số góc k có phương trình y = kx + 1 tiếp
xúc với đồ thị (C): y =
4x 3
2x 1
4x 3
kx + 1 =
có nghiệm kép
2x 1
(kx + 1)(2x - 1) = -4x + 3 có nghiệm kép
2kx2 – (k - 6)x – 4 = 0 có nghiệm kép
k 0 và = (k - 6)2 + 32k = k2 + 20k + 36 =
0
k = - 2; k = -18
Vậy có 2 tiếp tuyến là y = -2x + 1 và y = -18x + 1
Bài 2: Tìm trên đường thẳng x=3 các điểm kẻ được tiếp tuyến đến (C):
y=
2x 1
x 2
Giải:
Lấy bất kỳ điểm A(3,a) thuộc đừng thẳng x = 3. Đường thẳng đi qua A(3;a)
với hệ số góc k có phương trình y = k(x - 3) + a tiếp xúc với (C): y =
2x 1
x 2
2x 1
phương trình k(x - 3) + a =
có nghiệm kép
x 2
14
Sáng kiến kinh nghiệm
Giáo viên: Đinh Văn Ba
Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
[kx – (3k - a)](x -2) = 2x + 1 có nghiệm kép
kx2 – [5k – (a - 2)]x + [6k – (2a + 1)] = 0 có nghiệm kép
k 0 và = [5k – (a -2)]2 – 4k[6k – (2a + 1)] = 0
g(k) = k2 – 2(a - 12)k + (a - 2)2 = 0 và k 0
Qua A(3,a) kẻ được ít nhất1 tiếp tuyến đến (C) g(k) = 0 có nghiệm k 0
140 20a 0
a 7
140 20a 0
a 7 a 7
g(0) (a 2)2 0
Bài 3: Tìm trên Oy những điểm kẻ đúng 1 tiếp tuyến đến đồ thị (C): y =
x 1
x 1
Giải:
Lấy bất kỳ A(0,a) Oy. Đường thẳng đi qua A(0,a) với hệ số góc k có
phương trình y = kx + a tiếp xúc với (C): y =
x 1
x 1
kx + a =
x 1
x 1
có
nghiệm kép
(kx + a)(x - 1) = x + 1 có nghiệm kép
kx2 – [k – (a - 1)x – (a + 1)]x – (a + 1) = 0 có nghiệm kép
k 0 và = [k – (a -1)2] + 4(a + 1)k = 0
k 0 và g(k) = k2 + 2(a + 3)k + (a - 1)2 = 0
Qua A(0,a) kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C) g(k) = 0 có đúng 1 nghiệm
k 0
2
và g(0)= (a - 1) a=01
' 8( a 1) 0
0 1
a2
' 8( a 1) 0 và g(0) = (a -1)
a 1
a 1
Vậy từ các điểm A1(0,-1), A2(0,1) kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C).
Bài 4: Tìm trên đường thẳng y = 2 các điểm kẻ được tiếp tuyến đến (C):y=
3x 4
4x 3
Giải:
Lấy bất kỳ A(a,2) thuộc đường thẳng y = 2. Đường thẳng đi qua A(a,2) với hệ
số góc k có phương trình y = k(x - a) + 2 tiếp xúc với (C): y =
3x 4
4x 3
3x 4
k(x -a) + 2 =
hay [kx – (ak - 2)](4x - 3) = 3x + 4 có nghiệm kép
4x 3
4kx2 – [(4a + 3)k - 5]x + (3ak - 10) = 0 có nghiệm kép
k 0 và = g(k) = (4a - 3)2k2 – 10(4a - 13)k + 25 = 0
Qua A(a,2) kẻ được tiếp tuyến đến (C) g(k) = 0 có nghiệm k 0
15
Sáng kiến kinh nghiệm
Giáo viên: Đinh Văn Ba
Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
' 2000( a 2) 0
�
a2
�
�
' 2000(a 2) 0 �۳�
�
�
a2
�
�
�
�g (0) 25 �0
�
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho hàm số y
a
2
x2
(C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C)
x2
biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-6;5)
Bài 2: Cho hàm số y
x2
(C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C)
x 1
tại giao điểm của đồ thị với trục tung.
DẠNG 4: TIẾP TUYẾN HÀM PHÂN THỨC BẬC 2/BẬC 1
Bài toán 1: Phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm thuộc đồ thị
Bài 1: Cho đồ thị (Cm): y =
x 2 2mx m
xm
a. Chứng minh rằng: nếu (Cm) cắt Ox tại x 0 thì tiếp tuyến (Cm) tại điểm đó có
2 x0 2m
hệ số góc là k0 = x m
0
b. Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 2 điểm và tiếp tuyến tại 2 điểm đó vuông góc với
nhau.
Giải:
2
x 2mx m x0 2mx0 m 0
a. (Cm) cắt Ox = (x ,0)
0 (*)
x0 m x 0 m 0
0
k0 = y’(x0) =
2
0 0
(2 x0 2m)( x0 m) ( x02 2mx0 m) 2 x 0 2m
( x0 m)2
x0 m
x12,2 2mx1,2 m 0
y(x1,2) 0
(**)
x1,2 m 0
b. Giả sử (C) cắt Ox tại x x
1, 2
x2 – 2mx + m = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 khác (-m)
Tiếp tuyến tại x1, x2 vuông góc với nhau 1 k1 y ' ( x1 ). y ' ( x2 )
g (x) =
2 x1 2m 2 x2 2m
4( x1 m)( x2 m)
= x m . x m ( x m)( x m)
1
2
1
2
-(x1 + m)(x2+m) = 4(x1-m)(x2-m)
5x1x2 – 3m(x1 + x2) + 5m2 = 0
16
Sáng kiến kinh nghiệm
Giáo viên: Đinh Văn Ba
Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
5m – 3m(2m) + 5m2 = 0 m(5 - m) = 0 m � 0;5
Với m = 0 thì g(x) = x2 = 0 x1 = x2 = 0 = -m loại do (**)
Với m = 5 thì g(x) = x2 – 10x + 5 = 0 x1,2 = 5 2 5 m (thoả mãn).
Vậy đáp số m = 5.
Bài 2: Cho (C): y =
2 x 2 3x m
( m 0; m 1)
x m
Chứng minh rằng: Tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với Oy cắt tiệm cận đứng
tại điểm có tung độ bằng 1.
Giải:
2 x 2 3x m
�� TCР: x m
x �m
xm
lim y lim
x �m
+ Đạo hàm: y’(x) =
2 x 2 4mx 2m
2
y ' (0)
2
m
( x m)
+ Tiếp tuyến tại A = (C) Oy có hoành độ xA = 0 nên có phương trình là:
(t): y = y’(0)(x - 0) + y(0)
(t ) : y
2
x 1
m
+ Giao điểm của (t) với TCĐ: x = m có tung độ là y =
Bài 3: Cho (C): y =
2
.m 1 1
m
3 x 2 mx 4
4x m
Tìm m để tiếp tuyến tại x = 0 vuông góc với tiệm cận của đồ thị (C).
Giải:
m
3 7m 64 7m TCĐ
x
y = f(x) = 4
16 16(4x m) TCX
2
: x=
: y=
4
3
7m
x
4
16
12 x 2 6mx ( m 2 16)
m 2 16
y
'
(
0
)
( 4 x m) 2
m2
m
TCĐ : x =
y ' (0) 0 m 2 16 0 m 4
4
3
7m
4
TCX : y =
x
y ' ( 0)
4
16
3
+ Đạo hàm: y’(x) =
+ Tiếp tuyến
+ Tiếp tuyến
3(m2 - 16) = 4m2 m2 = -48 vô nghiệm ĐS: m = 4
Bài 4: Tìm trên đồ thị (C): y =
x 2 2x 2
x 1
các điểm sao cho tiếp tuyến tại đó
vuông góc với tiệm cận xiên của (C).
Giải:
y = f(x) =
x 2 2x 2
x 1
= (x + 1) +
1
TCX
x 1
:y=x+1
17
Sáng kiến kinh nghiệm
Giáo viên: Đinh Văn Ba
Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
+ Tiếp tuyến tại x = x0 có hệ số góc f’(x0) sẽ vuông góc với y = x + 1
f ' ( x0 ) =
x0 1
x0 1
1
1
2
-1 1 - ( x 1) 2 1 ( x0 1) 2
0
2
3 2
2 3 2
y0
M 1 ( 1
,
)
2
2
2
2
2
3 2
2 3 2
y0
M 2 ( 1
,
)
2
2
2
2
Bài toán 2: Phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước.
Bài 1: Cho (C): y =
x 2 3x 3
x2
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc
với đường thẳng ( ): 3y – x + 6 = 0
Giải:
1
x 2
3
Do hệ số góc của ( ): y =
là
1
3
nên tiếp tuyến
()
có hệ số góc là
(-3).
Đường thẳng y = -3x + m tiếp xúc với (C)
x 2 3x 3
3 x m
x2
có nghiệm
kép
4x2 – (m - 9)x – (2m - 3) = 0 có nghiệm kép
= (m - 9)2 + 16(2m - 3) = 0 m2 + 14m + 33 = 0 m = -11; m = -3
Có 2 tiếp tuyến () là y = -3x – 11 và y = -3x – 3.
Bài 2: Cho (C): y =
2x2 7x 7
x 2
.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song
song với đường thẳng y = x + 4
Giải:
y=
2x2 7x 7
=
x 2
1
.
x 2
2x – 3 +
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương
x 1
1
1
trình y’(x) = 1 2 2
( x 2) x 3
Tiếp tuyến tại x = 1 có phương trình :y = (x - 1) – 2 = x – 3
Tiếp tuyến tại x = 3 có phương trình :y = (x - 3) + 4 = x + 1
Bài toán 3: Tiếp tuyến đi qua 1 điểm cho trước.
Bài tập: Chứng minh rằng: Từ điểm A(1, -1) luôn kẻ được 2 tiếp tuyến vuông
góc nhau đến đồ thị (C): y =
x 2 x 1
x 1
Giải:
Đường thẳng đi qua A(1,-1) với hệ số góc k có phương trình y = k(x - 1) – 1
Tiếp xúc (C): y =
x 2 x 1
x 1
2
k(x -1) – 1 = x x 1 có nghiệm kép
x 1
[kx – (k + 1)](x + 1) = x2 + x + 1 có nghiệm kép
(k - 1)x2 – 2x – (k + 2) = 0 có nghiệm kép
18
Sáng kiến kinh nghiệm
Giáo viên: Đinh Văn Ba
Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
k1 ( 1 5)/ 2
k 10
2
g(k) k k 1 0 k2 ( 1 5)/ 2
Do k1k2 = -1 nên từ A(1,-1) luôn kẻ được hai tiếp tuyến nhau đến (C).
Bài tập tự luyện:
1.Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ A(1;1) đến (C):
2. Cho đồ thị (C)
y
x2 x 2
x2
y
x 2 4x 5
x 2
. Tìm các điểm A Ox kẻ được hai tiếp tuyến
đến (C).
5. Hiệu quả đạt được
Sau khi thực hiện xong chuyên đề trên học sinh đã nâng cao được khả năng tư
duy khi làm các bài toán về tiếp tuyến
Kết quả thu được ở hai lớp như sau:
Lớp
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
C1
10%
62%
28%
0%
C3
25%
35%
32%
8%
C. Kết luận:
Các bài toán về viết phương trình tiếp tuyến đóng vai trò quan trọng đối với
học sinh, nó chiếm một phần kiến thức trong các kỳ thi.
Mục đích của đề tài này là giúp học sinh có kỹ năng giải các bài toán liên
quan đến phần tiếp tuyến.
Trên đây là một số dạng toán mà tôi thấy phù hợp đối với tất cả các học sinh
đặc biệt là những học sinh khá, và giỏi, nhằm ôn luyện cho học sinh để từ đó
học sinh có thể định hướng cho các bài toán khác. Khi làm đề tài có những
vấn đề chưa hợp lí, rất mong được sự góp ý của các thầy cô để việc dạy học
có được hiệu quả cao hơn.
Thiệu Hoá, ngày 01/04/2012
Người viết
19
Sáng kiến kinh nghiệm
Giáo viên: Đinh Văn Ba
Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
Đinh Văn Ba
Tài liệu tham khảo:
1. Khảo sát hàm số
Tác giả: Võ Đại Mau
NXB trẻ
2. Giới thiệu đề thi tuyển sinh môn toán năm học 2001-2002
Tác giả Doãn Minh Cường NXB Hà Nội
3. Hàm số
Tác giả: Trần Phương
NXB Hà Nội
4.Giới thiệu đề thi môn toán năm học: 1997-2002
Tác giả: Nguyễn Trọng Bá- Trần Tuấn Điệp
NXBGD
5. Khảo sát hàm số .
Nhóm tác giả Trần Văn Hạo- Nguyễn CamTrần Đức Huyên
NXBGD
20
Sáng kiến kinh nghiệm
- Xem thêm -
.DOC 
20 
287 
64 
