Skkn một số phương pháp giải bài tập về tiếp tuyến

  • Số trang: 20 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 21 |
  • Lượt tải: 0
nguyen-thanhbinh

Đã đăng 8358 tài liệu

Mô tả:

Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa 1. Mục lục Trang A. Đặt vấn đề B. Nội dung 2 2 1. Thực trạng vấn đề 2.Giải pháp thực hiện 3. Phạm vi thực hiện 4. Nội dung 3 5. Hiệu quả 18 C. Kết luận 18 A. Đặt vấn đề Trong chương trình giải tích 12 chuyên đề hàm số là một phần quan trọng đối với Học sinh. Việc giải các câu hỏi phụ về hàm số thường là vấn đề khó 1 Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa đòi hỏi học sinh phải có kiến thức tổng hợp, đặc biệt phải biết phân loại từng dạng một. Trong các dạng toán về câu hỏi phụ về hàm số bài toán về “ tiếp tuyến” là một bài toán cơ bản đối với học sinh. Để có được cách nhìn tổng quan về phần này đòi hỏi học sinh phải nắm được các kiến thức cơ bản và các bài toán tổng quát cho từng dạng. Đây cũng là một phần quan trọng trong các đề thi học kỳ ,thi tốt nghiệp và đại học. phần lý thuyết đơn giản nhưng bài tập thì rất đa dạng đòi hỏi học sinh phải có tính tư duy lôgic. Chính vì vậy tôi nghiên cứu đề tài “ Một số phương pháp giải bài tập về tiếp tuyến” nhằm mục đích giúp HS phân loại một số dạng toán để đưa ra cách giải nhanh hơn. B. Nội dung 1. Thực trạng của vấn đề Trong SGK đại số và giải tích lớp 11 đã đưa ra bài toán về tiếp tuyến khi biết tiếp điểm. Nếu chưa biết tiếp điểm thì có phương pháp nào để viết được phương trình tiếp tuyến không? Đây là vấn đề mà học sinh hay lúng túng khi đi tìm cách giải, nếu ta không nắm vững kiến thức cơ bản thì rất khó có thể làm được. 2. Giải pháp thực hiện Đối với giáo viên: Xây dựng hệ thống bài tập với các phương pháp cụ thể phù hợp cho từng loại, tổ chức cho học sinh hoạt động trong các tiết luyện tập trên lớp và các tiết dạy bồi dưỡng. Đối với học sinh: Nắm vững kiến thức cơ bản, các công thức hay sử dụng và ôn luyện theo từng dạng. 3. Phạm vi thực hiện: Tổ chức học sinh thực hiện chuyên đề này sau khi học xong chương trình hàm số. 4. Nội dung: Cho đồ thị (C): y= f(x). Gọi M 0, M là hai điểm phân biệt và cùng thuộc đồ thị (C). Nếu cố định M0 và cho M di chuyển trên (C) đến gần M 0 thì vị trí giới ( MM 0 ) hạn của cát tuyến (M0M) là tiếp tuyến (M0T) tại điểm M0. Tức là: Mlim �M = Tiếp tuyến M0T. Ta thường gặp các bài toán về tiếp tuyến sau: Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại tiếp điểm Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua một điểm cho trước. Bài toán 4; Viết phương trình tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị tại hai điểm phân biệt. Từ đó viết phương trình tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị tại một điểm và cắt đồ thị tại hai điểm khác. Đối với hai bài toán 1 và 2 ta cần chú ý tới việc viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm và bài toán viết phương trình tiếp tuyến đi qua một 0 2 Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa điểm (có thể thuộc đồ thị hoặc không thuộc). Đối với bài toán 4 thì chỉ xuất hiện ở đồ thị hàm số bậc 4. Phương pháp giải bài toán 1: Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm thì tiếp tuyến tại M0(x0;y0)  (C): y= f(x) có hệ số góc là f ‘(x). Nên phương trình tiếp tuyến tại M0(x0;y0) của (C) là: y= f ,(x0)(x- x0) + f(x0) Phương pháp giải bài toán 2: Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k tiếp xúc với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ xi suy ra f,(xi) = k suy ra x=xi là nghiệm của f,(x) = k . Giải phương trình f,(x) = k ta tìm được các xi và viết được phương trình tiếp tuyến Phương pháp giải bài toán 3: Bài toán: Cho đồ thị (C): y= f(x) và điểm A(a;b) cho trước. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(a; b) đến đồ thị (C) Để giải loại này có 2 phương pháp: 1.Phương pháp tìm tiếp điểm Phương pháp này có 2 cách Cách 1: Giả sử tiếp tuyến đi qua A(a;b) tiếp xúc (C) tại tiếp điểm có hoành độ xi suy ra phương trình tiếp tuyến có dạng: y= f ,(xi)(x- xi) + f(xi) (t) Do A(a;b)  (t) nên b= f ,(xi)(a- xi) + f(xi) suy ra x= xi là nghiệm của phương trình b= f ‘(x)(a- x) + f(x)  f ‘(x)(x-a) +b- f(x)=0(*) Giải phương trình (*) suy ra nghiệm x   x , x ,...... x ,...... x  0 1 i n , Phương trình tiếp tuyến tại x= xi là: y= f (xi)(x- xi) + f(xi) Cách 2: Đường thẳng đi qua A(a;b) với hệ số góc k có phương trình: y= k(x-a) +b tiếp xúc với đồ thị (C):  Hệ phương trình:  f ( x ) k ( x  a )  b  , có nghiệm  , ( x )  k f  Giải hệ phương trình trên ta tìm được các nghiêm x=x i và viết được phương trình tiếp tuyến: y= f ,(xi)(x- xi) + f(xi) 2.Phương pháp tìm điều kiện nghiệm kép. Đường thẳng đi qua A(a;b) với hệ số góc k có phương trình: y= k(x-a) +b tiếp xúc với đồ thị (C):  k(x-a) +b=f(x) có nghiệm bội giải và biện luận ta tìm ra các giá trị của k từ đó viết được phương trình tiếp tuyến đi qua A Phương pháp giải bài toán 4 Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C)y=ax 4+bx3+cx2+d (a 0) tiếp xúc với đồ thị tại hai điểm phân biệt 3 Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa Phương pháp: Giả sử đường thẳng (a): y=kx+m tiếp xúc với (C) y=f(x)tại hai điểm phân biệt có hoành độ là x1, x2 khi đó f(x)= kx+m (*)có hai nghiệm kép phân biệt x1, x2 . Giải phương trình (*) bằng cách cho đồng nhất các hệ số ta tìm được x1,x2 và phương trình tiếp tuyến. Sau đây là các dạng toán cụ thể: DẠNG 1: TIẾP TUYẾN HÀM ĐA THỨC BẬC 3 Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm thuộc đồ thị Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y=f(x)=x3-3x+5 khi biết: 1) Hoành độ của tiếp điểm là x1=-1; x2=2; x3= 3 2) Tung độ của tiếp điểm là y1=5; y2=3; y3=7 Giải: Đạo hàm y’(x)=3x2 – 3 x 3  3 x1  5 1) x1=-1 y1= ; y’(-1)=0. Phương trình tiếp tuyến tại M(-1,7) là: (t1): y=y’(-1)  x    1  + y(-1)  y = 7  1 3 x12  3    x  3 x  5 1 1 2) y1=5 x1 =0  x1   0, 3 =5 Tiếp tuyến tại x1=0 là (t1): y=y’(0)(x - 0) + 5  y = -3x + 5 Tiếp tuyến tại x1 = - 3 Tiếp tuyến tại x 1 = 3 là (t2): y = y’(- 3 )(x + 3 ) + 5  y = 6x + 6 3 + 5 là (t3): y = y’( 3 )(x - 3 ) + 5  y = 6x - 6 3 + 5 Bài 2: Cho (C): y = f(x) = 2x3 – 3x2 + 9x – 4. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với các đồ thị sau: 1. Đường thẳng (d): y = 7x + 4 2. Parabol (p): y = -x2 + 8x – 3 3. Đường cong (C): y = x3 – 4x2 + 6x – 7 Giải: 1. Hoành độ giao điểm của (C) với (d) là nghiệm của phương trình: 2x3 – 3x2 + 9x – 4 = 7x + 4  (x - 2)( 2x2 + x + 4) 2   1 3 2  (x -2)  x    x  3  0  x = 2. 2 4    Tiếp tuyến tại x = 2 có phương trình y = y’(2)(x - 2) + y(2) = 21(x - 2) + 18 = 21x - 24 Làm tương tự ta cũng giải được các ý 2 và 3. Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=x 3-3x2 biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y= 1 3 x Giải: Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y= 1 3 x nên tiếp tuyến có hệ số góc bằng -3. Gọi tiếp điểm có hoành độ x0  y’(x0)=3 x02 -6 x 0=-3  3(x0-1)2=0  x0=1.  phương trình tiếp tuyến tại x0=1 là: 4 Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa y= -3(x-1)+y(1)  y= -3x+1 Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=x 3-3x2+1 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y= 9x+2012 Giải: Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y= 9x+2012 nên tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9. gọi tiếp điểm có hoành độ x0  y’(x0)=3 x02 -6x0=9  x02 -2x0-3=0  x0=-1 hoặc x0=3 Tiếp tuyến tại x0=-1 là y=9(x+1)-3  y= 9x+6 Tiếp tuyến tại x0=3 là y=9(x-3)+1  y= 9x-26 Bài toán 3: Phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm cho trước đến đồ thị. Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A( 19 ; 4 ) đến đồ thị (C) có phương 12 trình: y=f(x)=2x3–3x2+5 Giải: Đường thẳng đi qua A( y = k(x - 19 4) 12 19 ; 4 ) với hệ số góc k có phương trình 12 tiếp xúc với (C): y = f(x)  Hệ   19  f ( x )  k x 4   12    f ' ( x) k  19  19   f ( x)  f ' ( x) x    4  2x3–3x2+5= 6x(x - 1)(x12 12   19 17  ( x  1)(2 x  1) 6 x( x  1)( x  )  ( x  1)(4 x 2  x  1) 0 12 2 nghiệm   x1 1     x 2 2  1  x3  8  Tiếp tuyến (t1): y = y’(1)(x- có )+4 19 ) + 4  y 4 12 Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(0;-1) đến C có phương trình: y= 2x3+ 3(m-1)x2+ 6(m-2)x-1 Giải: Đường thẳng đi qua A với hệ số góc k có phương trình: y=kx-1 tiếp xúc với (C) y=f(x)  Hệ  f ( x) kx  1 có nghiệm   f ' ( x ) k  f ( x)  f ' ( x ) x  1  f ' ( x) x  1   x1 0 f ( x) 0  x2[4x+3(m-1)]=0     3(1  m)  x2 4 5 Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Đinh Văn Ba f Từ , Trung tâm GDTX Thiệu Hóa ( x) =6x2 +6(m-1)x+ 6(m-2) suy ra Với x1= 0  f’(0)=6(m-2)  Tiếp tuyến (t1): y= 6(m-2)x-1 ,  3(1  m)  3(1  m)  3  f  = (3m2-22m+35) 4 8 4    3 2 (3m -22m+35)x-1 8 Với x2=  y= Bài 3: Cho hàm số (C) y=f(x) =x3-3x2+2 a. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A( 23 ; 2 ) 9 đến (C). b. Tìm trên đường thẳng y=-2 các điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. Giải: a. Đường thẳng đi qua A( y= k(x- 23 )-2 9 với hệ số góc k có phương trình: tiếp xúc với (C) y= f(x)  Hệ phương trình: 23  f ( x )  k ( x  ) 2  9   f , ( x ) k  f , ( x)( x  23 ; 2 ) 9 có nghiệm 23 )  2  f ( x) 0  9  f ( x)  f , ( x)( x  23 ) 2  9 3x3-16x2+23x-6=0 (1) 1 Giải phương trình (1) ta được x=2; x=3 và x= 3 23 )-2  y=-2 9 23 x=3 suy ra tiếp tuyến (t2): y=y’(3)(x- 9 )-2  y=9x-25 1 1 23  5 61 x= 3 suy ra tiếp tuyến (t3): y=y’( 3 )(x- 9 )-2  y= 3 x  27 Với x=2 suy ra tiếp tuyến (t1): y=y’(2)(xVới Với b. Lấy bất kì M(m;-2) thuộc đường thẳng y=-2 đường thẳng đi qua M(m;-2) với hệ số góc k có phương trình: y=k(x-m)-2 tiếp xúc với (C): y= f(x)  Hệ  f ( x ) k ( x  m)  2 phương trình:  có nghiệm  f ' ( x ) k  f ( x)  f , ( x )( x  m)  2  f , ( x)( x  m)  2  f ( x) 0  x 2  (x-2)[2x2-(3m-1)x+2]=0   2  g ( x ) 2 x  (3m  1) x  2 0 Do không thể có tiếp tuyến nào vuông góc với tiếp tuyến y=-2 song song với Ox 6 Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa Nên để từ M(m; -2) kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với (C) thì g(x)=0 phải có 2 nghiệm phân biệt x1;x2 và các tiếp tuyến tại các điểm có hoành độ x 1;x2 vuông góc với nhau. Ta có:-1= y’(x1).y’(x2) = (3x 1 2 - 6x1)( 3x 2 2 - 6x2) = 9x1x2[x1x2 – 2(x1+x2) + 4] = 9[1 – (3m - 1) + 4] = 9[6 – 3m] = 54 -27m 55 m= 27 Với m = 55 27 thì  g = (3m - 1)2 – 16 > (3.2 - 1)2 – 16 = 9 > 0 55 Vậy điểm M( 27 ; 2 ) Bài 4: Cho hàm số y = -x3 + 3x + 2 (C). Tìm trên trục hoành các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C). Giải: Lấy bất kỳ A(a;0) �Ox . Đường thẳng đi qua A(a;0) với hệ số góc k có phương trình y = k(x - a) tiếp xúc với (C): y = f(x)  Hệ phương trình:  f ( x ) k ( x  a ) có nghiệm  f(x) = f’(x)(x - a)   f ' ( x) k  f(x) – f’(x)(x- a) = 0  2x3 – 3ax2 + 3a + 2 = 0  (x + 1)[2x2 – (3a + 2)x + 3a + 2] = 0  (x + 1).g(x) = 0 Từ điểm A(a;0) kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C)  g(x) = 0 có 2 nghiệm phân a  2   (3a  2)(3a  6)  0  biệt và khác (-1)    2  g( )1 6(a  )1 0  1 a   3 Bài 5: Cho (C): y = x3 -12x + 12. Tìm trên đường thẳng y = -4 các điểm có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C). Giải: Lấy bất kì M(m;-4)  đường y = -4. Đường thẳng đi qua M(m;-4) với hệ số góc k có phương trình y = k(x - m) – 4 tiếp xúc với đồ thị (C)  Hệ phương trình  f ( x )  k ( x  m)  4 có nghiệm   f ' ( x ) k  f(x)= f’(x)(x-m) – 4  f(x)(x - m) – f(x) – 4 = 0 7 Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa  (x - 2)[2x2 – (3m - 4)x – (6m - 8)] = 0  (x - 2)g(x) = 0 Từ M(m; -4) kẻ được 3 tiếp tuyến đi qua (C)  g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt và khác 2  m   4   (3m  4)(3m 12)  0  4   g(2) 24  12m 0   m 2 3 Bài 6: Cho (C): y = x3 – 6x2 + 9x -1 Từ 1 điểm bất kỳ trên đường thẳng x = 2 kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến (C). Giải: Lấy bất kỳ M(2; m)  đường thẳng x = 2. Đường thẳng đi qua M(2;m) với hệ số góc k có phương trình y = k(x - 2) + m tiếp xúc với đồ thị (C): y = f(x).  f ( x) k ( x  2)  m  Hệ   f ' ( x) k có nghiệm  f(x) = f’(x)(x - 2) + m  f(x) – f’(x)(x - 2) = m  g(x) = -2x3 + 12x2 – 24x + 17 = m Ta có g’(x) = -6(x - 2)2 0  Bảng biến thiên - x , g ( x) g(x) + 2 0 - + - Nghiệm của phương trình tìm tiếp điểm cũng là hoành độ giao điểm của đường thẳng y = m với đồ thị y = g(x). Nhìn bảng biến thiên suy ra g(x) = m chỉ có đúng 1 nghiệm. Vậy từ M(2;m) bất kỳ  đường thẳng x = 2 chỉ kẻ được duy nhất 1 tiếp tuyến đến đồ thị (C): y = f(x). Bài 7: Tìm trên đồ thị (C): y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a 0) Các điểm kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến đồ thị (C). Giải: Lấy bất kỳ điểm M(m;f(m))  (C): y = f(x). Đường thẳng đi qua M(m;f(m)) với hệ số góc k có phương trình: y = k(x-m) + f(m) tiếp xúc với (C).  Hệ  f ( x )  k ( x  m)  f ( m)   f ' ( x) k có nghiệm  f(x) = f’(x)(x-m) + f(m) 8 Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa  f’(x)(x-m) – [f(x) – f(m)] = 0  (3ax2 + 2bx + c)(x-m) – [a(x3 – m3)] + b(x2 – m2) + c(x - m)] = 0  (x - m)[2ax2 – (am – b)x – m(am + b)] = 0  x1 m    (x - m) [2ax + (am + b)] = 0  x 2  am  b 2a  2 Từ điểm M(m,f(m)) kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C)  (am  b) b  3am  b  m  2a 3a  b  b M( 3a , f ( 3a ) )  (C) là điểm kẻ được đúng  x1 = x2  m  Vậy 1 tiếp tuyến đến (C). b �3a � Nhận xét : f’(x) = 6ax + 2b = 0  Điểm uốn U � ; f ( b � )� 3a � Vậy trên đồ thị hàm bậc 3 điểm uốn là điểm duy nhất kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến đồ thị. Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho hàm số: y  x3  3 x  1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị 1 x 1. 9 Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y  x3  3 x 2  2 biết tiếp hàm số biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y  tuyến vuông góc với đường thẳng 5y-3x+4=0 Bài 3: Cho hám số: y   x 3  3x  1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=-9x+1 DẠNG 2: TIẾP TUYẾN HÀM ĐA THỨC BẬC 4 Bài toán 1: Phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm thuộc đồ thị.  (C ) : y  f ( x) ( x  1) 2 ( x  1) 2 Bài 1: Cho 2 đồ thị   (P) : y  g ( x) 2 x 2  m a. Tìm m để (C) và (P) tiếp xúc nhau. b. Viết phương trình tiếp tuyến chung tại các điểm chung của (C) với (P). Giải: a. (C) và (P) tiếp xúc nhau   f ( x)  g ( x)   f ' ( x)  g ' ( x) có nghiệm 9 Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa 42 2 42  x  2x  21 x m mx  4x 1 x0,m1  3  2  2 4x  4x4x 4x(  2 0) x 2,m3 Vậy với m = -3 hoặc m = 0 thì (C) và (P) tiếp xúc nhau. b. Xét m = 1, x0 = 0  (P): y = g(x) = 2x2 + 1 Phương trình tiếp tuyến chung tại x0 = 0: y = g’(0)(x - 0) + g(0)  y = 1 + Xét m = -3, x0 = 2  (P): y = g(x) = 2x2 – 3 Phương trình tiếp tuyến chung tại x0 = 2 : y = g’( 2 )(x- 2 )+g( 2 )= 4 2 x - 7 + Xét m = -3, x0 = - 2  (P) = y = g(x) = 2x2 – 3 Phương trình tiếp tuyến chung tại x0 =- 2 : y = g’(- 2 )(x+ 2 )+g( 2 )=4 2 x-7 Bài 2: Cho đồ thị (C): y = -x 4 + 2mx2 – 2m + 1. Tìm m để các tiếp tuyên với đồ thị tại A(1;0), B(-1;0)  với nhau. Giải: Do A(1;0)  (C); B(-1;0)  (C) nên các tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau  y’(1).y’(-1) = (4m - 4)(-4m + 4) = -1  -16m2 + 32m – 15 = 0  m = 5 4 hoặc m = 3 4 . Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước. Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = 1 4 1 3 1 2 x  x  x  x  5 biết 4 3 2 tuyến song song với đường thẳng y = 2x – 1. Giải: Đạo hàm y’(x) = x3 – x2 + x + 1 Giả sử tiếp tuyến (t) song song y = 2x – 1 tiếp xúc với (C) tại x0  y’(x0) = 2  x03 – x02 + x0 + 1 = 2  (x0 - 1)(x02 + 1) = 0  x0 = 1  Phương trình (t): y = 2(x – 1) + y(1)  y = 2x - tiếp 67 12 Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = x 4 – 2x2 + 4x – 1 biết tiếp 1 tuyến vuông góc với đường thẳng y = - 4 x  3 Giải: Đạo hàn y’(x) = 4x3 – 4x + 4 10 Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa 1 Do tiếp tuyến (t) vuông góc với y = - 4 x  3 nên (t) có hệ số góc k = 4. Giả sử (t) tiếp xúc (C) tại điểm có hoành độ x0  y’(x0) = 4  4x03 – 4x0 + 4 = 4  4x0(x02 - 1) = 0  x0 = 0; x0 = 1 Tại x0 = 0  Tiếp tuyến (t1): y = 4x + y(0) = 4x – 1 Tại x0 = -1  Tiếp tuyến (t2): y = 4(x + 1) + y(-1) = 4x – 2 Tại x0 = 1  Tiếp tuyến (t3): y = 4(x - 1) + y(1) = 4x – 2 Do (t2) = (t3) nên chỉ có 2 tiếp tuyến là y = 4x – 1 và y = 4x – 2 Bài 3: Cho (Cm): y = x3 + mx2 – m – 1. Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại A song song với đường thẳng y = 2x với A là điểm cố định có hoành độ dương của (Cm). Giải: Xét phương y0 = x03 + mx02 – m – 1 m  m(x02 - 1) + (x04 – 1 – y0) = 0 m 2 � �x 0  1  0 �x0  �1 �� � Điểm cố định A(1;0)  �4 4 y  x  1  0 0 �0 �x0  1  y0  0 Tiếp tuyến với đồ thị tại A song song với y = 2x  y’(1) = 2  4 + 2m = 2  m = -1. Bài toán 3: Phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm cho trước. Bài 1: Cho đồ thị (C): y = f(x) = 1 4 1 2 x  x . 2 2 Viết phương trình tiếp tuyến đi qua O(0;0) đến đồ thị (C). Giải: Đường thẳng đi qua O(0;0) với hệ số góc k có phương trình y = kx tiếp xúc với đồ thị (C): y = f(x)  f ( x) kx   f ' ( x) k có nghiệm  f(x) = f’(x).x 11 Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa 1 2  f’(x).x – f(x) = 0  (2x3 - x)x - ( x 4   1 2 x ) 2 =0   3 3 4 1 2 1 3 x  x 0  x 2 (3x 2  1) 0  x   0; ,  2 2 2 3 3   Tại x1 = 0  Tiếp tuyến (t1): y = f’(0).x  y = 0 Tại x2 = Tại x3 = 3   Tiếp tuyến (t2): y = f’(  3 3 3  Tiếp tuyến (t3): y = f’( 3 3 3 3 ).x = ).x = 3  9 x 3 x 9 Bài 2: Cho đồ thị (C): y = f(x) = (2 – x2)2 Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(0;4) đến đồ thị (C). Giải: Đường thẳng đi qua A(0;4) với hệ số góc k có phương trình y = kx + 4 tiếp xúc với đồ thị (C): y = f(x)  Hệ  f ( x) kx  4   f ' ( x ) k có nghiệm  f(x) = f’(x)x + 4  f’(x).x + 4 – f(x) = 0  (4x3 – 8x)x + 4 – (4 – 4x2 + x4 ) = 0  x2(3x2 - 4) = 0    x1 0  x 2 3  2 3   2 3  x3   3  Tại x1 = 0  tiếp tuyến: y = f(0).x + 4  y = 4 2 3  tiếp tuyến: y = f( 2 3 )x + 4  y = Tại x2 = Tại x3 = 3  2 3 3  tiếp tuyến: y = 3  2 3 f( 3 )x + 4  y  16 3 x4 9 16 3 x4 = 9 Bài toán 4: Phương trình tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị tại 2 điểm phân biệt. Bài 1: Cho đồ thị (C): y = f(x) = x4 – 4x3 + 3 Viết phương trình tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị tại 2 điểm phân biệt và tìm hoành độ của 2 tiếp điểm. Giải: Đường thẳng y = kx + m tiếp xúc với đồ thị (C): y = f(x) tại 2 điểm phân biệt.  f(x) = kx + m có 2 nghiệm kép x1, x2 phân biệt.  x4 – 4x3 –kx + 3 – m = 0 có 2 nghiệm kép x1, x2 phân biệt. 12 Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa  x4 – 4x3 –kx + 3 – m = (x-x1)2(x-x2)2  x  x4 – 4x3 –kx + 3 – m =[x2-Sx+P]2  x (S=x1+x2, P= x1.x2)  x4 – 4x3 –kx + 3 – m =x4- 2Sx3+(S2+2P)x2-2SPx+P2  x  2 S 4  2  S  2 P 0    2 SP  k   P 2 3  m   S  x1  x2 2  P  x x  2  1 2   k  2 SP   8   m 3  P 2  1  x1 1  3   x2 1  3   PTTT :  y  8 x  1  Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho hàm số: y  x 4  4 x 2  4 (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm A(0;4) 1 2 3 2 Bài 2: Cho hàm số: y  x 4  3 x 2  (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) 3 2 đi qua điểm A(0; ) DẠNG 3: TIẾP TUYẾN CỦA HÀM PHÂN THỨC BẬC NHẤT/BẬC NHẤT. Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm thuộc đồ thị. Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y 2x  1 x 1 tại tiếp điểm có hoành độ bằng 1 Giải: Tiếp tuyến có dạng:y= f ‘(x0)(x- x0) + f(x0) 3 1 Ta có f ‘(1)= 4 ;f(1)= 2 3 4 PTTT: y  ( x  1)  1 3 1  y x 4 4 2 Bài 2: Tìm a,b để đồ thị (C): y = ax  b x 1 cắt Oy tại A(0;-1) đồng thời tiếp tuyến tại A có hệ số góc bằng 3. Giải:  a.0b y (0)   1  b  1 b 1 0  1  Yêu cầu bài toán    ( a  b)      y'(0)  2 3  a  b 3 a  4  (0 1) Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc k cho trước. 13 Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Đinh Văn Ba Bài 1: Cho (C): y = Trung tâm GDTX Thiệu Hóa  4x  5 2x 1 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song (  ): y=3x+2. Giải:đường thẳng y=3x+m tiếp xúc (C)  3x+m=  4x  5 2x 1 có nghệm kép  (3x+m)(2x+1)=-4x-5 có nghiệm kép  6x2+(2m+7)x+(m+5)=0 có nghiệm kép   =(2m+7)2-24(m+5)=0  4m2+4m-92=0  m2+m-23=0  m=  Vậy hai tiếp tuyến là: y  3x  1  93 2 1 � 93 2 2x  3 Viết phương trình tiếp tuyến của (C)  () :y=-2x 4 1 1 2x  3 y  x  m tiếp xúc (C)  x  m  có nghiệm kép 2 2 5x  4 Bài 2: Cho (C): y  5 x  Giải:Đường thẳng  (x + 2m)(5x - 4) = 2(2x - 3) có nghiệm kép  5x2 + 2(5m - 4)x – (8m - 6) = 0 có nghiệm kép   = (5m - 4)2 + 5(8m - 6) = 0  25m2 – 14 = 0  m =  14 /5 Vậy có hai tiếp tuyến  () : y = -2x là y = 1 x ( 14 / 5) 2 Bài toán 3: Phương tình tiếp tuyến đi qua 1 điểm cho trước. Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(0;1) đến đồ thị (C): y =  4x  3 2x  1 Giải: Đường thẳng đi qua A(0;1) với hệ số góc k có phương trình y = kx + 1 tiếp xúc với đồ thị (C): y =  4x  3 2x  1  4x  3  kx + 1 = có nghiệm kép 2x  1  (kx + 1)(2x - 1) = -4x + 3 có nghiệm kép  2kx2 – (k - 6)x – 4 = 0 có nghiệm kép  k 0 và  = (k - 6)2 + 32k = k2 + 20k + 36 = 0  k = - 2; k = -18 Vậy có 2 tiếp tuyến là y = -2x + 1 và y = -18x + 1 Bài 2: Tìm trên đường thẳng x=3 các điểm kẻ được tiếp tuyến đến (C): y= 2x 1 x 2 Giải: Lấy bất kỳ điểm A(3,a) thuộc đừng thẳng x = 3. Đường thẳng đi qua A(3;a) với hệ số góc k có phương trình y = k(x - 3) + a tiếp xúc với (C): y = 2x 1 x 2 2x 1  phương trình k(x - 3) + a = có nghiệm kép x 2 14 Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa [kx – (3k - a)](x -2) = 2x + 1 có nghiệm kép kx2 – [5k – (a - 2)]x + [6k – (2a + 1)] = 0 có nghiệm kép k 0 và  = [5k – (a -2)]2 – 4k[6k – (2a + 1)] = 0 g(k) = k2 – 2(a - 12)k + (a - 2)2 = 0 và k 0 Qua A(3,a) kẻ được ít nhất1 tiếp tuyến đến (C)  g(k) = 0 có nghiệm k 0      140  20a  0 a  7     140  20a 0  a 7  a 7   g(0) (a  2)2 0   Bài 3: Tìm trên Oy những điểm kẻ đúng 1 tiếp tuyến đến đồ thị (C): y = x 1 x 1 Giải: Lấy bất kỳ A(0,a)  Oy. Đường thẳng đi qua A(0,a) với hệ số góc k có phương trình y = kx + a tiếp xúc với (C): y = x 1  x 1 kx + a = x 1 x 1 có nghiệm kép  (kx + a)(x - 1) = x + 1 có nghiệm kép  kx2 – [k – (a - 1)x – (a + 1)]x – (a + 1) = 0 có nghiệm kép  k 0 và  = [k – (a -1)2] + 4(a + 1)k = 0  k 0 và g(k) = k2 + 2(a + 3)k + (a - 1)2 = 0 Qua A(0,a) kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C)  g(k) = 0 có đúng 1 nghiệm k 0 2 và g(0)= (a - 1) a=01   ' 8( a  1)  0      0 1  a2    ' 8( a  1) 0 và g(0) = (a -1)  a 1    a  1 Vậy từ các điểm A1(0,-1), A2(0,1) kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C). Bài 4: Tìm trên đường thẳng y = 2 các điểm kẻ được tiếp tuyến đến (C):y= 3x  4 4x  3 Giải: Lấy bất kỳ A(a,2) thuộc đường thẳng y = 2. Đường thẳng đi qua A(a,2) với hệ số góc k có phương trình y = k(x - a) + 2 tiếp xúc với (C): y = 3x  4 4x  3 3x  4  k(x -a) + 2 = hay [kx – (ak - 2)](4x - 3) = 3x + 4 có nghiệm kép 4x  3  4kx2 – [(4a + 3)k - 5]x + (3ak - 10) = 0 có nghiệm kép  k 0 và  = g(k) = (4a - 3)2k2 – 10(4a - 13)k + 25 = 0 Qua A(a,2) kẻ được tiếp tuyến đến (C)  g(k) = 0 có nghiệm k 0 15 Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa  '  2000( a  2)  0 � a2 � �  '  2000(a  2)  0 �۳�  � � a2 � � � �g (0)  25 �0 � Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho hàm số y  a 2 x2 (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) x2 biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-6;5) Bài 2: Cho hàm số y  x2 (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) x 1 tại giao điểm của đồ thị với trục tung. DẠNG 4: TIẾP TUYẾN HÀM PHÂN THỨC BẬC 2/BẬC 1 Bài toán 1: Phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm thuộc đồ thị Bài 1: Cho đồ thị (Cm): y = x 2  2mx  m xm a. Chứng minh rằng: nếu (Cm) cắt Ox tại x 0 thì tiếp tuyến (Cm) tại điểm đó có 2 x0  2m hệ số góc là k0 = x  m 0 b. Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 2 điểm và tiếp tuyến tại 2 điểm đó vuông góc với nhau. Giải: 2  x  2mx m x0  2mx0 m 0 a. (Cm) cắt Ox = (x ,0)  0   (*) x0  m  x 0  m  0 0 k0 = y’(x0) = 2 0 0 (2 x0  2m)( x0  m)  ( x02  2mx0  m) 2 x 0 2m  ( x0  m)2 x0  m  x12,2  2mx1,2  m 0  y(x1,2) 0   (**)  x1,2  m 0 b. Giả sử (C) cắt Ox tại x x 1, 2 x2 – 2mx + m = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 khác (-m) Tiếp tuyến tại x1, x2 vuông góc với nhau   1 k1  y ' ( x1 ). y ' ( x2 )  g (x) = 2 x1  2m 2 x2  2m 4( x1  m)( x2  m) = x  m . x  m  ( x  m)( x  m) 1 2 1 2  -(x1 + m)(x2+m) = 4(x1-m)(x2-m)  5x1x2 – 3m(x1 + x2) + 5m2 = 0 16 Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa  5m – 3m(2m) + 5m2 = 0  m(5 - m) = 0  m � 0;5 Với m = 0 thì g(x) = x2 = 0  x1 = x2 = 0 = -m loại do (**) Với m = 5 thì g(x) = x2 – 10x + 5 = 0  x1,2 = 5 2 5  m (thoả mãn). Vậy đáp số m = 5. Bài 2: Cho (C): y = 2 x 2  3x  m ( m 0; m 1) x m Chứng minh rằng: Tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với Oy cắt tiệm cận đứng tại điểm có tung độ bằng 1. Giải: 2 x 2  3x  m  �� TCĐ : x  m x �m xm lim y  lim x �m + Đạo hàm: y’(x) = 2 x 2  4mx  2m 2  y ' (0)  2 m ( x  m) + Tiếp tuyến tại A = (C)  Oy có hoành độ xA = 0 nên có phương trình là: (t): y = y’(0)(x - 0) + y(0)  (t ) : y  2 x 1 m + Giao điểm của (t) với TCĐ: x = m có tung độ là y = Bài 3: Cho (C): y = 2 .m  1 1 m  3 x 2  mx  4 4x  m Tìm m để tiếp tuyến tại x = 0 vuông góc với tiệm cận của đồ thị (C). Giải:  m  3 7m 64  7m  TCĐ x   y = f(x) = 4 16 16(4x  m)  TCX 2 : x= : y= 4  3 7m x 4 16  12 x 2  6mx  ( m 2  16) m 2  16  y ' ( 0 )  ( 4 x  m) 2 m2 m  TCĐ : x =  y ' (0) 0  m 2  16 0  m 4 4 3 7m 4  TCX : y = x  y ' ( 0)  4 16 3 + Đạo hàm: y’(x) = + Tiếp tuyến + Tiếp tuyến  3(m2 - 16) = 4m2  m2 = -48 vô nghiệm  ĐS: m = 4 Bài 4: Tìm trên đồ thị (C): y = x 2  2x  2 x 1 các điểm sao cho tiếp tuyến tại đó vuông góc với tiệm cận xiên của (C). Giải: y = f(x) = x 2  2x  2 x 1 = (x + 1) + 1  TCX x 1 :y=x+1 17 Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa + Tiếp tuyến tại x = x0 có hệ số góc f’(x0) sẽ vuông góc với y = x + 1  f ' ( x0 ) =   x0  1      x0  1   1 1 2 -1  1 - ( x 1) 2  1  ( x0  1) 2 0 2 3 2 2 3 2  y0   M 1 ( 1  , ) 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2  y0   M 2 ( 1  , ) 2 2 2 2 Bài toán 2: Phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước. Bài 1: Cho (C): y = x 2  3x  3 x2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng (  ): 3y – x + 6 = 0 Giải: 1 x 2 3 Do hệ số góc của (  ): y = là 1 3 nên tiếp tuyến  () có hệ số góc là (-3). Đường thẳng y = -3x + m tiếp xúc với (C)  x 2  3x  3  3 x  m x2 có nghiệm kép  4x2 – (m - 9)x – (2m - 3) = 0 có nghiệm kép   = (m - 9)2 + 16(2m - 3) = 0  m2 + 14m + 33 = 0  m = -11; m = -3  Có 2 tiếp tuyến  () là y = -3x – 11 và y = -3x – 3. Bài 2: Cho (C): y = 2x2  7x  7 x 2 .Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = x + 4 Giải: y= 2x2  7x  7 = x 2 1 . x 2 2x – 3 + Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương  x 1 1 1   trình y’(x) = 1  2 2 ( x  2)  x 3 Tiếp tuyến tại x = 1 có phương trình :y = (x - 1) – 2 = x – 3 Tiếp tuyến tại x = 3 có phương trình :y = (x - 3) + 4 = x + 1 Bài toán 3: Tiếp tuyến đi qua 1 điểm cho trước. Bài tập: Chứng minh rằng: Từ điểm A(1, -1) luôn kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc nhau đến đồ thị (C): y = x 2  x 1 x 1 Giải: Đường thẳng đi qua A(1,-1) với hệ số góc k có phương trình y = k(x - 1) – 1 Tiếp xúc (C): y = x 2  x 1 x 1 2  k(x -1) – 1 = x  x  1 có nghiệm kép x 1  [kx – (k + 1)](x + 1) = x2 + x + 1 có nghiệm kép  (k - 1)x2 – 2x – (k + 2) = 0 có nghiệm kép 18 Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa k1 ( 1 5)/ 2 k  10   2   g(k) k  k  1 0 k2 ( 1 5)/ 2 Do k1k2 = -1 nên từ A(1,-1) luôn kẻ được hai tiếp tuyến  nhau đến (C). Bài tập tự luyện: 1.Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ A(1;1) đến (C): 2. Cho đồ thị (C) y x2  x  2 x2 y x 2  4x  5 x 2 . Tìm các điểm A  Ox kẻ được hai tiếp tuyến đến (C). 5. Hiệu quả đạt được Sau khi thực hiện xong chuyên đề trên học sinh đã nâng cao được khả năng tư duy khi làm các bài toán về tiếp tuyến Kết quả thu được ở hai lớp như sau: Lớp Giỏi Khá Trung bình Yếu C1 10% 62% 28% 0% C3 25% 35% 32% 8% C. Kết luận: Các bài toán về viết phương trình tiếp tuyến đóng vai trò quan trọng đối với học sinh, nó chiếm một phần kiến thức trong các kỳ thi. Mục đích của đề tài này là giúp học sinh có kỹ năng giải các bài toán liên quan đến phần tiếp tuyến. Trên đây là một số dạng toán mà tôi thấy phù hợp đối với tất cả các học sinh đặc biệt là những học sinh khá, và giỏi, nhằm ôn luyện cho học sinh để từ đó học sinh có thể định hướng cho các bài toán khác. Khi làm đề tài có những vấn đề chưa hợp lí, rất mong được sự góp ý của các thầy cô để việc dạy học có được hiệu quả cao hơn. Thiệu Hoá, ngày 01/04/2012 Người viết 19 Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa Đinh Văn Ba Tài liệu tham khảo: 1. Khảo sát hàm số Tác giả: Võ Đại Mau NXB trẻ 2. Giới thiệu đề thi tuyển sinh môn toán năm học 2001-2002 Tác giả Doãn Minh Cường NXB Hà Nội 3. Hàm số Tác giả: Trần Phương NXB Hà Nội 4.Giới thiệu đề thi môn toán năm học: 1997-2002 Tác giả: Nguyễn Trọng Bá- Trần Tuấn Điệp NXBGD 5. Khảo sát hàm số . Nhóm tác giả Trần Văn Hạo- Nguyễn CamTrần Đức Huyên NXBGD 20 Sáng kiến kinh nghiệm
- Xem thêm -