SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG PT DÂN TỘC NỘI TRÚ LIÊN HUYỆN TÂN PHÚ-ĐỊNH QUÁN
Mã số: ………………..
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
“MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BA ĐIỂM
THẲNG HÀNG TRONG HÌNH HỌC THCS”
Người thực hiện: Nguyễn Thị Hòa
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục
- Phương pháp dạy học bộ môn: Toán
- Lĩnh vực khác: …………
Có đính kèm
Mô hình
Đĩa CD(DVD)
Phim ảnh
Hiện vật khác
Năm học: 2016-2017
1
SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên: Nguyễn Thị Hòa
2. Ngày tháng năm sinh: 12/08/1988
3. Nam, nữ: Nữ
4. Địa chỉ: Tổ 5- Ấp 7 – xã Nam Cát Tiên - Tân Phú - Đồng Nai.
5. Điện thoại: 0613856483 (cơ quan), ĐTDĐ : 0949889637
6. Fax: ………….. E-mail:
[email protected]
7. Chức vụ: Giáo viên
8. Nhiệm vụ được giao: Giảng dạy môn Toán lớp 6, CĐTC Toán 6, Nghề
THVP 8b, chủ nhiệm lớp 6b.
9. Đơn vị công tác: Trường phổ thông Dân Tộc Nội Trú liên huyện Tân
Phú – Định Quán.
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân đại
học sư phạm.
- Năm nhận bằng: 2014
- Chuyên ngành đào tạo: Toán
III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy môn Toán THCS.
- Số năm có kinh nghiệm: 5 năm
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:
+ SKKN: “Một vài ứng dụng của phương pháp tam giác đồng dạng trong hình học
8”
+ SKKN: “Phương pháp chứng minh bất đẳng thức” .
+ SKKN: “Một số phương pháp so sánh hai phân số”
2
Tên SKKN: “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG
HÀNG TRONG HÌNH HỌC THCS”
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Là giáo viên của trường PT. Dân tộc nội trú, nhận thấy trình độ của học sinh
thường không đồng đều ở các bộ môn, học sinh thường yếu về các môn tự nhiên,
năng lực tư duy cũng như khả năng lập luận của học sinh còn rất nhiều hạn chế, do
vậy làm thế nào để học sinh có hứng thú học tập bộ môn và có khả năng giải quyết
tốt một số bài tập là một câu hỏi đặt ra cho tất cả giáo viên toán có tâm huyết với
nghề nghiệp.
Như chúng ta đã biết, ở lứa tuổi học sinh THCS phần lớn các em còn ham chơi,
chứa chú trọng đến việc học tập, định hướng về mục đích học tập cũng chưa thật rõ
ràng. Môn toán là bộ môn có thể nói là rất khó đối với học sinh, đặc biệt là phần
hình học vì vậy nếu chúng ta không có giải pháp hữu hiệu sẽ dẫn đến tình trạng
học sinh chán học bộ môn hình thành thói quen xấu là trông chờ, ỷ lại ở chính bản
thân người học.
Dạng toán chứng minh 3 điểm thẳng hàng ở phân môn hình học được coi như
một dạng toán chứng minh rắc rối và khó tìm hướng giải nhất đối với học sinh.
Nhưng lại là dạng toán tổng hợp bởi nó vận dụng đến nhiều kiến thức liên quan
trong bộ môn hình học bậc THCS. Giúp học sinh có hướng giải quyết dạng toán
này chúng ta đã giúp học sinh nắm chắc được kiến thức của hầu như cả bậc học
THCS.
Chính vì vậy mà tôi chọn đề tài “một số phương pháp chứng minh ba điểm
thẳng hàng trong hình học THCS”. Trong sáng kiến này, tôi xin đưa ra một số
phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng thường gặp trong chương trình hình
học THCS; Mỗi phương pháp đưa ra ví dụ minh họa có phân tích định hướng giải
và một số bài tập vận dụng, nhằm giúp học sinh có định hướng được phương pháp
chứng minh ba điểm thẳng hàng; hứng thú hơn khi học về hình học nói riêng và bộ
môn Toán nói chung.
Hy vọng với phần tài liệu này, có thể giúp các em vận dụng linh hoạt kiến thức
vào bài toán chứng minh ba điểm thẳng cũng như các bài tập khác liên quan. Qua
đó học sinh lĩnh hội được kiến thức một cách chủ động, sáng tạo và hình thành thói
quen vận dụng kiến thức vào các môn học, vào thực tiễn.
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1. Cơ sở lý luận
Toán học là một môn khoa học tự nhiên có một vai trò rất quan trọng trong các
lĩnh vực khoa học, toán học nghiên cứu rất nhiều, rất đa dạng và phong phú. Toán
học có vai trò quan trọng trong đời sống, trong khoa học và trong công nghệ hiện
đại, việc nắm vững các kiến thức toán học giúp cho học sinh có cơ sở nghiên cứu
các bộ môn khoa học khác, đồng thời có thể hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh
vực. Trong đó, dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng là một dạng toán vận
dụng đến nhiều kiến thức liên quan trong bộ môn hình học bậc THCS và có rất
nhiều ứng dụng trong giải toán hình học; để giải các bài toán hình học, bên cạnh
3
việc nắm vững khái niệm và các tính chất, định lí thì mỗi học sinh phải có sự đam
mê, tìm tòi, chủ động lĩnh hội các kiến thức.
2. Cơ sở thực tiễn
Đa số học sinh thường ngại khi học hình học, các em chưa định hướng được
cách giải các bài toán một cách rõ ràng, không biết dùng kiến thức nào vào giải các
bài toán. Một số học sinh ý thức tự học chưa cao, không tích cực và chủ động lĩnh
hội kiến thức.
Ngoài ra, trong các bài kiểm tra, thi thì số điểm của hình học thường chiếm tỉ lệ
ít hơn nên một số học sinh không chú trọng đến bài toán hình. Do đó học sinh
không có hứng thú khi học hình học.
Tâm lý các em ngại học hình. Đối tượng giảng dạy là những học sinh người
dân tộc thiểu số vùng sâu, vùng xa đến từ hai huyện Tân Phú - Định Quán, hoàn
cảnh kinh tế gia đình khó khăn; sự quan tâm của gia đình đến việc học của các em
cũng chưa thật sâu sắc. Mặt khác, đa số các em chỉ thích học các môn vận động,
năng khiếu,..khả năng tư duy các môn tự nhiên chậm, đặc biệt với những bài toán
chứng minh hình học. Từ những giải pháp đã có trong sách vở, trong SKKN này,
tôi xin nêu ra và hệ thống một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng
thường gặp trong hình học THCS, các ví dụ minh họa và các bài tập vận dụng. Các
giải pháp trong đề tài là giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có và chưa từng
áp dụng tại đơn vị trường PT. DTNT.
III.
TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP (ĐỀ XUẤT)
Giải pháp: “Một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng trong hình
học THCS”
1. Sử dụng khái niệm hai góc kề bù có ba điểm nằm trên hai cạnh là hai tia
đối nhau.
O
ˆ
ˆ
ˆ
Nếu AOB BOC AOC 180
B.
Ba điểm A, O, C thẳng hàng
A
.
.
O
C
.
1.1. Ví dụ
Ví dụ 1: ( Bài tập 55 trang 80 SGK Hình học 7). Cho hình vẽ:
Chứng minh ba điểm B, D, C thẳng hàng.
GIẢI
Ta có: KD là đường trung trực của AC
DA = DC
ADC cân tại D
ˆ
ˆ
D1 D 2 (1)
Lại có: DI là đường trung trực của AB DA = DB
ˆ
ˆ
ABD cân tại D D3 D 4 (2)
B
I
4
D
3
2
A
1
K
C
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Từ (1) và (2) suy ra D1 D 4 = D 2 D 3
4
Ta có: DK // AI (cùng vuông góc với AC)
)
ˆ
ˆ
0
0
ˆ
ˆ
ˆ
Mà I 90 suy ra IDK 90 D1 D 4 = D 2 D 3 =900
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
D1 D 2 D 3 D 4 = 1800
Vậy ba điểm B, D, C thẳng hàng.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông ở A, M là trung điểm AC. Kẻ tia Cx vuông góc
CA (tia Cx và điểm B ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC). Trên tia Cx lấy điểm
D sao cho CD = AB. Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng.
0
ˆ
ˆ
Gợi ý: Muốn B, M, D thẳng hàng cần chứng minh BMC CMD 180
GIẢI
AMB và CMD có:
Xét
AB = DC (gt).
ˆ
ˆ
BAM DCM 900
MA = MC (M là trung điểm AC)
ˆ
ˆ
Do đó: AMB = CMD (c.g.c) AMB CMD
0
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Mà AMB BMC 180 (kề bù) nên BMC CMD 180 .
Vậy ba điểm B, M, D thẳng hàng.
1.2. Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC,
trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của BE và CD. Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng
ˆ
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông ở A có ABC 60 . Vẽ tia Cx BC (tia Cx và điểm
A ở phía ở cùng phía bờ BC), trên tia Cx lấy điểm E sao cho CE = CA. Trên tia
đối của tia BC lấy điểm F sao cho BF = BA. Chứng minh ba điểm E, A, F thẳng
hàng.
0
2. Sử dụng tiên đề về đường thẳng song song
Tiên đề Ơclít: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ kẻ được duy nhất
một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.
Do đó, nếu qua điểm A ta kẻ được AB và AC cùng song song với một đường
thẳng d nào đó thì A, B, C thẳng hàng.
A
B
CB // d
CA // d
C
A, B, C thẳng hàng
d
2.1. Ví dụ
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D. Kẻ DF song
song BC (F AC). Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CE = BD. Gọi I là
trung điểm của DE. Chứng minh ba điểm B, I, C thẳng hàng.
5
GIẢI
ˆ
ˆ
Ta có ADF B (cặp góc đồng vị)
ˆ
ˆ
AFD ACB
(cặp góc đồng vị)
ˆ
ˆ
Mà B ACB (tam giác ABC cân tại A)
ˆ
ˆ
Suy ra ADF AFD ADF cân tại A
Mặt khác
BD AB AD
BD CF
CF AC AF
Mà BD = CE (gt) suy ra CE = CF vì ID = IE
IC là đường trung bình của DEF CI // DF (tính chất đường trung bình)
Mà BC // DF suy ra B, I, C thẳng hàng.
Ví dụ 2: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tai trung điểm O của mỗi
đoạn. Trên tia AB lấy lấy điểm M sao cho B là trung điểm AM, trên tia AD lấy
điểm N sao cho D là trung điểm AN. Chúng minh ba điểm M, C, N thẳng hàng.
Hướng dẫn: Chứng minh: CM // BD và CN // BD từ đó suy ra M, C, N thẳng hàng.
GIẢI
Xét AOD và COD có:
A
OA = OC (vì O là trung điểm AC)
x
=
ˆ
ˆ
*
AOD COB (hai góc đối đỉnh)
X
O
B
D
/
/
OD = OB (vì O là trung điểm BD)
ˆ
ˆ
=
Vậy AOD = COB (c.g.c) DAO OCB
*
ˆ
ˆ
Do đó AD // BC DAB CBM (ở vị trí đồng vị) M
Xét DAB và CBM có :
X
C
N
AD = BC ( do AOD = COB)
ˆ
ˆ
DAB CBM (cmt)
AB = BM ( B là trung điểm AM)
ˆ
ˆ
Vậy DAB = CBM (c.g.c) ABD BMC
Do đó BD // CM. (1)
Lập luận tương tự ta được BD // CN. (2)
Từ (1) và (2) , theo tiên đề Ơ-Clit suy ra ba điểm M, C, N thẳng hàng
2.2. Bài tập vận dụng
Bài 1. Cho tam giác ABC. Vẽ cung tròn tâm C bán kính AB và cung tròn tâm B
bán kính AC. Đường tròn tâm A bán kính BC cắt các cung tròn tâm C và tâm B
lần lượt tại E và F. ( E và F nằm trên cùng nửa mặt phẳng bờ BC chứa A) Chứng
minh ba điểm F, A, E thẳng hàng.
Bài 2: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC,
AB. Trên các đường thẳng BM và CN lần lượt lấy các điểm D và E sao cho M là
trung điểm BD và N là trung điểm EC. Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng
6
3. Chứng minh hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và cùng vuông góc với
một đường thẳng cho trước:
A
B
C
a
thẳng hàng
3.1. Ví dụ
Ví dụ 1: Cho ABC, trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB.
Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC. Vẽ AH vuông góc BC (H
BC). Trên đoạn DE lấy điểm K sao cho BH = DK. chứng minh ba điểm A, H, K
thẳng hàng.
GIẢI
ˆ
ˆ
K
Có ADE = ABC (vì AE = AC, AD = AB, DAE BAC ) E
D
ˆ ˆ
D B DE // BC
ˆ ˆ
L ạ i c ó AHB = AKD (vì AB= AD, BH= DK, D B )
ˆ
ˆ
AKD AHB 900 AK BC
A
B
C
H
Mà AH BC
Suy ra ba điểm K, A, H thẳng hàng.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là trung điểm BC.
a) Chứng minh AM BC.
b) Vẽ hai đườn tròn tâm B và tâm C có cùng bán kính sao cho chúng cắt
nhau tại hai điểm P và Q . Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng.
Gợi ý:. - Chứng minh AM, PM, QM cùng vuông góc BC
- Hoặc AP, AQ là tia phân giác của góc BAC.
GIẢI.
a) Chứng minh AM BC.
Xét ΔABM và ΔACM có:
AB =AC (gt)
AM chung
MB = MC (M là trung điểm BC)
Vậy ΔABM = ΔACM (c.c.c).
ˆ
ˆ
Suy ra: AMB AMC (hai góc tương ứng)
0
ˆ
ˆ
Mà AMB AMC 180 (hai góc kề bù) nên
ˆ
ˆ
AMB AMC 900
Do đó AM BC (đpcm)
b) Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng.
Chứng minh tương tự ta được: ΔBPM = ΔCPM (c.c.c).
ˆ
ˆ
Suy ra: PMB PMC (hai góc tương ứng)
7
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Mà PMB PMC 180 nên PMB PMC = 900
Do đó PM BC.
Lập luận tương tự QM BC
Từ điểm M trên BC có AM BC,PM BC, QM BC
Nên ba điểm A, P, Q thẳng hàng (đpcm)
0
3.2. Bài tập vận dụng: Cho tam giác ABC vuông góc tại A có góc B bằng 530.
a) Tính góc C.
b) Trên cạnh BC, lấy điểm D sao cho BD = BA. Tia phân giác của góc B cắt
cạnh AC ở điểm E. Chứng minh rằng ΔBEA = ΔBED.
c) Qua C, vẽ đường thẳng vuông góc với BE tại H. CH cắt đường thẳng AB
tại F. Chứng minh: ΔBHF = ΔBHC.
d) Chứng minh ΔBAC = ΔBDF và D, E, F thẳng hàng.
4. Chứng minh ba điểm cùng thuộc tia phân giác của một góc:
x
ˆ
BA là tia phân giác xAy
A, B , C thang hàng
ˆ
CA là tia phân giác xAy
C
B
A
y
4.1. Ví dụ
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là một điểm nằm trong tam
giác sao cho MB = MC. Gọi N là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm A, M,
N thẳng hàng.
GIẢI
A
Có ABM = ACM (vì AM chung, AB = AC, MB = MC )
ˆ
ˆ
ˆ
BAM CAM AM là tia phân giác BAC (1)
Tương tự ABN= ACN (c.c.c)
ˆ
ˆ
ˆ
BAN CAN
BAC
M
C
AN là tia phân giác
(2)
B
N
Từ (1), (2) suy ra ba điểmA, M, N thẳng hàng.
Ví dụ 2: Cho góc xOy .Trên hai cạnh Ox và Oy lấy lần lượt hai điểm B và C sao
cho OB = OC. Vẽ đường tròn tâm B và tâm C có cùng bán kính sao cho chúng cắt
nhau tại hai điểm A và D nằm trong góc xOy. Chứng minh ba điểm O, A, D thẳng
hàng.
Hướng dẫn: Chứng minh OD và OA là tia phân giác của góc xOy
GIẢI:
x
Xét ΔBOD và ΔCOD có:
B
OB = OC (gt)
=
=
/
OD chung
A
D
O
/
=
BD = CD (D là giao điểm của hai
=
C
đường tròn tâm B và tâm C cùng bán kính).
y
Vậy ΔBOD =ΔCOD (c.c.c)
ˆ
ˆ
Suy ra BOD COD
Hình 10
8
Điểm D nằm trong góc xOy nên tia OD nằm giữa hai tia Ox và Oy.
ˆ
Do đó OD là tia phân giác của xOy .
ˆ
Chứng minh tương tự ta được OA là tia phân giác của xOy
Góc xOy chỉ có một tia phân giác nên hai tia OD và OA trùng nhau.
Vậy ba điểm O, D, A thẳng hàng.
4.2. Bài tập vận dụng
Bài 1. Cho tam giác ABC có AB = AC. Kẻ BM AC, CN AB (
M AC , N AB ), H là giao điểm của BM và CN.
a) Chứng minh AM = AN.
b) Gọi K là trung điểm BC. Chứng minh ba điểm A, H, K thẳng hàng.
Bài 2. Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi H là trung điểm BC. Trên nửa mặt
phẳng bờ AB chứa C kẻ tia Bx vuông góc AB, trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa B
kẻ tia Cy vuông AC. Bx và Cy cắt nhau tại E. Chứng minh ba điểm A, H, E thẳng
hàng.
5. Sử dụng tính chất đường phân giác của một góc, tính chất đường trung
trực của đoạn thẳng, tính chất ba đường trung trực, ba đường phân giác, ba
đường cao trong tam giác
5.1. Chứng minh ba điểm cùng thuộc đường trung trực của một đoạn thẳng
A
A thuộc đường trung trực của MN
B thuộc đường trung trực của MN => A, B, C thẳng hàng
C thuộc đường trung trực của MN
B
C
M
N
Ví dụ: Cho ba tam giác cân ABC, DBC và EBC có chung đáy BC. Chứng minh
rằng ba điểm A, D, E thẳng hàng.
GIẢI
ABC cân tại A suy ra AB = AC
Ta có:
A thuộc đường trung trực của BC (1)
A
Lại có DBC cân tại D suy ra DB = DC
D thuộc đường trung trực của BC (2)
D
Có EBC cân tại E suy ra EB = EC
B
C
E thuộc đường trung trực của BC (3)
E
Từ (1), (2), (3) suy ra ba điểm A, D, E thẳng hàng.
5.2. Áp dụng đường trung tuyến của một tam giác thì phải đi qua trọng tâm.
A
G là trọng tâm tam giác ABC
AM là trung tuyến tam giác ABC
=> A, B, C thẳng hàng
G
C
B
M
Ví dụ: Cho tam giác ABC, kẻ trung tuyến AM. Trên AM lấy hai điểm P, Q sao
M
9
cho AQ = PQ = PM. Gọi E là trung điểm của AC. Chứng minh ba điểm B, P, E
thẳng hàng.
A
GIẢI
Q
Trong ABC có AM là trung tuyến
E
mà AQ = QP = PM (gt)
P
2
AP = 3 AM
C
B
P là trọng tâm ABC
Vì E là trung điểm của AC nên BE là trung tuyến của ABC
BE đi qua trọng tâm P hay ba điểm B, P, E thẳng hàng.
5.3. Chứng minh đường phân giác của tam giác thì đi qua giao điểm chung của
A
chúng:
ˆ ˆ
I là giao điểm 2 đường phân giác B, C
I
ˆ
AD là phân giác của A
Ba điểm A, I, D thẳng hàng.
C
D
B
Ví dụ: Cho tam giác ABC, các tia phân giác các góc A và C cắt nhau tại I. Các
đường phân giác các góc ngoài tại đỉnh A và C cắt nhau ở K. Chứng minh ba điểm
B, I, K thẳng hàng.
GIẢI
Vì K thuộc đường phân giác góc ngoài tại A nên K cách đều hai cạnh Ax và
AC (1)
Vì K thuộc đường phân giác góc ngoài tại C nên K cách đều hai cạnh Cy và
x
AC (2)
C
Từ (1) và (2) suy ra K cách đều 2 cạnh Ax và Cy
K
A
Hay K cách đều hai cạnh BA và BC
ˆ
KB là tia phân giác B
I
ˆ ˆ
Vì I là giao điểm của hai tia phân giác A, C nên:
B
y
C
ˆ
BI là tia phân giác B (gt) Ba điểm B, I, K thẳng hàng
5.4. Chứng minh đường cao của tam giác thì đi qua trực tâm của tam giác
A
đó:
H là trực tâm ABC
AD là đường cao ABC
A, H, D ba điểm thẳng hàng
H
B
C
D
A
Ví dụ: Cho tam giác ABC cân tại A, vẽ đường cao BH và CK cắt nhau tại I.
Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh A, I, M thẳng hàng.
K
H 10
I
B
C
M
GIẢI
Vì I là giao điểm hai đường cao BH và CK nên I là trực tâm ABC
ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến nên cũng là đường cao.
Đường cao AM đi qua trực tâm I
Ba điểm A, I, M thẳng hàng.
5.5. Chứng minh đường trung trực của một cạnh thì đi qua giao điểm hai
A
đường trung trực của hai cạnh còn lại:
O là giao điểm 2 đường trung trực của 2 cạnh AC và BC E
F
EF là đường trung trực của cạnh AB
O
=> E, F,O thẳng hàng
B
C
Ví dụ: Cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC. Đường trung
trực của AB, AC cắt nhau ở D. Chứng minh A, D, M thẳng hàng.
A
GIẢI
ABC cân tại A có MB = MC nên: AM là đường trung tuyến ABC
AM cũng là đường trung trực của ABC
D
Mà D là giao điểm hai đường trung trực cạnh AB, AC
Ba điểm A, D, M thẳng hàng.
Nên AM đi qua D
B
M
C
6. Mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm
Nếu K là trung điểm BD, K’ là giao điểm của BD và AC. Nếu K’ Là trung điểm
BD thì K’ K thì A, K, C thẳng hàng.
6.1 Ví dụ. Cho tam giác ABC cân ở A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối tia
CA lấy điểm N sao cho BM = CN. Gọi K là trung điểm MN. Chứng minh ba điểm
B, K, C thẳng hàng
GIẢI
A
BC ; NF BC ( E ; F BC)
Kẻ ME
M
BME và CNF vuông tại E và F có:
ˆ
ˆ
ˆ
BM = CN (gt), MBE NCF (cùng bằng ACB )
Do đó: BME = CNF (Trường hợp cạnh huyền- góc nhọn)
=
B
K'
K
E
hình 11
F
C
=
N
Suy ra: ME = NF.
Gọi K’ là giao điểm của BC và MN.
ˆ
ˆ
MEK’ và NFK’ vuông ở E và F có: ME = NF (cmt), EMK' FNK' (so le trong
của ME // FN) .
Vậy MEK’ = NFK’ (g-c-g). Do đó: MK’ = NK’ .
Vậy K’ là trung điểm MN, mà K là trung điểm MN nên K K’
Do đó ba điểm B,K,C thẳng hàng.
0
ˆ
6.2. Bài tập vận dụng: Cho tam giác ABC cân ở A, BAC 108 , Gọi O là một
ˆ
điểm nằm trên tia phân giác của góc C sao cho CBO 12 . Vẽ tam giác đều BOM
(M và A cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ BO). Chứng minh ba điểm C, A, M
thẳng hàng.
0
11
ˆ
ˆ
Hướng dẫn: Chứng minh OCA OCM từ đó suy ra tia CA và tia CM trùng
nhau.
GIẢI
Tam giác ABC cân ở A
1800 1080
ˆ
ˆ
ABC ACB
36 0
2
nên
(tính chất của tam giác cân).
0
ˆ
ˆ
ˆ
Mà CO là tia phân giác của ACB , nên OCA BCO 18 .
0
ˆ
Do đó BOC 150
M
0
ˆ
ΔBOM đều nên BOM 60 .
ˆ
MOC 3600 - (1500 600 ) 1500
=
=
Vậy:
/
ΔBOC và ΔMOC có:
B
OB = OM ( vì ΔBOM đều)
ˆ
ˆ
BOC = MOC 1500
OC chung
Do đó : ΔBOC = ΔMOC (c.g.c)
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Suy ra: OCB OCM mà OCB OCA (gt) nên OCA OCM .
12
//
A
108
O /
C
Hình 13
ˆ
ˆ
Hai tia CA và CM cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ CO và OCA OCM nên tia CA
và tia CM trùng nhau.
Vậy ba điểm C, A, M thẳng hàng. (đpcm)
7. Sử dụng tính chất hình bình hành.
Có thể sử dụng tính chất: hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung
điểm mỗi đường.
Do đó, nếu chứng minh được tứ giác ABCD là hình bình hành và O là trung điểm
của AC thì B,O,D thẳng hàng.
7.1. Ví dụ : Cho ABC có trực tâm H nội tiếp (O) đường kính CM, gọi I là trung
điểm của AB. Chứng minh rằng H, I, M thẳng hàng.
Giải
A
MB BC, AH BC (suy từ giả thiết)
MB // AH.
Mà MA // BH (cùng vuông góc với AC)
M
I
H
O
AMBH là hình bình hành.
C
B
AB cắt MH tại trung điểm I của AB và MH
(t/c hình bình hành)
12
H, I, M thẳng hàng.
7.2. Bài tập vận dụng
Cho ABC và điểm M bất kỳ trong tam giác. Gọi A1, B1, C1 thứ tự là các
điểm đối xứng của M qua các trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Gọi O là giao
điểm của BB1 và CC1. Chứng minh các điểm A, O, A1 thẳng hàng.
8. Sử dụng các tính chất của đường tròn.
Khi B là tâm của đường tròn đường kính AC, hoặc các đường tròn tâm A và
đường tròn tâm C tiếp xúc nhau tại B thì 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó.
8.1. Ví dụ
Ví dụ 1: Từ một điểm M trên đường tròn ngoại tiếp ABC hạ các đường thẳng
MD, ME, MF lần lượt vuông góc với BC, CA, và AB. Chứng minh D, E, F thẳng
hàng (Đường thẳng sim sơn).
Hướng dẫn:
Chứng minh các tứ giác BDMF, MECD, AMBC, MFEA nội tiếp.
Sử dụng tính chất hai góc nội tiếp cùng chắn một cung. So sánh các góc:
AME, góc AFE, góc DMB, góc DFB, góc DME và BMA so sánh góc AME và
góc DMB.
So sánh hai góc DFB và AFE ba điểm D, F, E thẳng hàng.
D
B
M
F
O
A
Chứng minh:
ˆ
ˆ
Ta có: MCB MAF (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MB).
Từ 3 tứ giác nội tiếp AMFE , MDBF và MDCE ta có:
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
DME DCE 1800 ; BMA DCA 1800 DME BMA
ˆ
ˆ
C
BMD AME (1);
E
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Mặt khác: AMF AFE; BMD BFD (Hai góc nội tiếp cùng
ˆ
ˆ
Từ (1), (2) DFB AFE Ba điểm E, F, D thẳng hàng
Ví dụ 2. Cho (O) đường kính AB. Điểm M chuyển động trên (O), M≠A; M≠B.
Kẻ MH vuông góc với AB. Vẽ đường tròn (O 1) đường kính MH cắt đường thẳng
M
MA và MB tại C và D. Chứng minh rằng:
a) C, D, O1 thẳng hàng.
D
b) ABDC nội tiếp.
Giải
0
ˆ
a) Ta có: AMB 90 (góc nội tiếp chắn nửa (O))
C
A
O
1
H
B
O
13
ˆ
CMD 90
0
CD là đường kính của (O1)
C, D, O1 thẳng hàng.
b) MCHD là hình chữ nhật nội tiếp (O1).
ˆ
ˆ
MCD MHD (2 góc nội tiếp cùng chắn MD )
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Mà MCD B MCD ACD B ACD 180
ABDC nội tiếp.
8.2. Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho đường tròn (O) và dây cung AB. Lấy I thuộc đoạn AB sao cho IA >
IB. Gọi D là điểm chính giữa cung nhỏ AB, DI cắt (O) tại điểm thứ hai C. Tiếp
tuyến với (O) tại C cắt AB tại K. Lấy điểm E sao cho
KE KI
1
IE , EC
2
cắt (O) tại
F. Chứng minh rằng D, O, F thẳng hàng.
Bài 2: Cho ABC (AC > AB). Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác tiếp xúc với
AB, BC ở D và E. Gọi M, N là trung điểm của AC, BC. Gọi K là giao điểm của
MN và AI. Chứng minh rằng:
a. Bốn điểm I, E, K, C cùng thuộc một đường tròn.
b. Ba điểm D, E, K thẳng hàng
Hướng dẫn: IE BC góc IEC = ? I, E, C thuộc đường tròn đường kính IC,
vậy ta phải chứng minh điểm K thuộc đường tròn đường kính IC tức là góc
IKC=900.
9. Thêm điểm
Để chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng có thể xác định thêm điểm D khác A,
B, C sau đó chứng minh hai trong ba bộ 3 điểm A, B, D; A, C, D; B, C, D thẳng
hàng.
9.1.Ví dụ: Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm 2 đường chéo. Điểm M trên
đoạn OB, lấy E đối xứng với A qua M; H là hình chiếu của điểm E trên BC, vẽ
hình chữ nhật EHCF. Chứng minh M, H, F thẳng hàng.
Giải
A
B
Gọi I là giao điểm của HF và CE
M
H; I; F thẳng hàng (*) (t/c hình chữ nhật)
Cần chứng minh: M, I, F thẳng hàng.
MA ME
O
1
1
AE ( gt )
OA OC AC
2
2
và
E
H
I
14
D
C
F
(t/c hình chữ nhật)
OM là đường trung bình của ACE
ˆ
ˆ
OM // CE ODC ICF (2 góc đồng vị)
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Mà ODC OCD và IFC ICF (vì OCD cân tại O, ICF cân tại I, t/c hình chữ
nhật)
ˆ
ˆ
OCD = IFC IF//AC mà IM //AC (do IM là đường trung bình ACE)
M, I, F thẳng hàng (tiên đề Ơclít)
Kết hợp với (*) ta có: M, H, F thẳng hàng.
9.2. Bài tập vận dụng
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đương tròn (O). Gọi E là giao điểm của AB và
CD. Gọi F là giao điểm của AC và BD. Các tiếp tuyến với (O) tại B và C cắt nhau
tại M. Chứng minh rằng E, M, F thẳng hàng.
10. Sử dụng sự đồng qui của các đường thẳng
10.1. Ví dụ:
Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD, đáy lớn là AB. Đường thẳng kẻ từ C song song
với AD cắt đường chéo BD tại M, cắt AB ở F. Đường thẳng kẻ từ D song song với
BC cắt đường chéo AC ở N, cắt AB ở E. Các đường thẳng kẻ từ E và F lần lượt
song song với BD và AC cắt AD và BC theo thứ tự tại P và Q. Chứng minh 4 điểm
M, N, P, Q thẳng hàng.
Định hướng: Áp dụng định lý Talét thuận đảo đối với các ADB, ABC, ADC, …
ta phải chứng minh MQ // CD, MP // AB, MN // AB điều phải chứng minh.
P
Chứng minh: Áp dụng định lý Ta lét đối
với các tam giác ta có:
C
D
AN AE AP AE AE AN AP
;
NC EB PD CD EB NC PD . Do
M
N
Q
DCBE là hình bình hành DC = EB, BC
A
E
F
B
AN AP
= DE NC PD , từ đó ta có PN//CD (1).
Chứng minh tương tự ta có:
BM BQ MB AP
;
MQ // CD(2); MP // AB(3)
MD QC MD PD
.
Từ (1),(2),(3) đường thẳng PN, PM, MQ trùng nhau, hay 4 điểm M, N, P, Q
thẳng hàng.
15
Ví Dụ 2: Cho hai đường thẳng a và b song song. Trên đường thẳng a lấy hai
điểm A và B, trên đường thẳng b lấy hai điểm C và D (A và C nằm cùng một nửa
mặt phẳng có bờ là BD) sao cho CD = 2AB. Qua A kẻ đường thẳng c song song
với BD và cắt b tại M, cắt BC tại I. Qua I kẻ đường thẳng d song song với đường
thẳng a và cắt BD tại N. BM cắt DI tại K. Chứng minh rằng ba điểm C, K, N thẳng
hàng.
A
B
Định hướng: hãy dự đoán vị trí của điểm M trên đoạn
CD, vị trí điểm I trên đoạn BC, vị trí điểm N trên đoạn
BD Các đường BM, CN, DI là các đường gì đặc
biệt của BCD?
Chứng minh:
I
C
N
K
M
D
Ta có: AB // MD; AM // BD (gt) Tứ giác ABDM là hình bình hành
MD = AB mà CD = 2AB (gt) MD = MC (1).
Lại có: MI // BD mà MC = MD (cmt)
IB = IC (đường thẳng qua trung điểm một cạnh và song song với cạnh thứ hai
của BCD thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba) (2).
Có IN // CD mà IB = IC (cmt)
NB = ND (đường thẳng qua trung điểm một cạnh và song song với cạnh thứ hai
của BCD thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba) (3).
Từ (1), (2), (3) BM, DI, CN là ba đường trung tuyến của BCD
Mà BM x DI tại K theo định lý ba đường trung tuyến đồng qui ta có CN cũng
qua điểm K C, N, K thẳng hàng.
10.2. Bài tập vận dụng: Cho tam giác ABC nội tiếp trong một đường tròn tâm O.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC, P là điểm chính giữa của cung AC,
I là giao của AN và CM, K là giao của OP và AC. Chứng minh rằng ba điểm B, I,
K thẳng hàng.
Định hướng: AN và CM là hai đường trung tuyến của ABC, AN và CM cắt nhau
ở I, do vậy I chính là trọng tâm của ABC. Nhờ tính chất đồng qui của ba đường
trung tuyến ta có thể dự đoán BK là trung tuyến thứ 3 của ABC. Vấn đề đặt ra là
ta phải chứng minh được K là trung điểm của AC.
IV.HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN
Qua quá trình vận dụng đề tài vào trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy
học sinh đã có sự hứng thú hơn trong quá trình làm các bài tập và tiết học hình học
hứng thú hơn. Các em mạnh dạn làm các bài tập hơn và bước đầu đã có sự tiến bộ
16
trong quá trình học tập và định hướng tốt trong chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Cụ thể như sau:
Tổng
số HS
Số HS trên trung
bình
Trong đó số HS
đạt giỏi, khá
Số HS dưới
trung bình
TSHS
%
TSHS
%
TSHS
%
Khi chưa
áp dụng
chuyên đề
69
32
43.5
8
11.6
37
53.6
Sau khi áp
dụng
chuyên đề
69
53
76.8
10
14.5
16
23,2
Kết quả trên cho thấy số học sinh đạt điểm trên trung bình, khá, giỏi tăng lên
rõ rệt; tuy nhiên một số học sinh còn ẩu trong trình bày bài giải, vẽ hình.
Trên đây là một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng trong hình
học THCS. Trong mỗi phương pháp đều có những ví dụ điển hình và các bài tập
tương tự. Chứng minh ba điểm thẳng hàng là một dạng toán khó, tổng hợp nhiều
kiến thức, rất đa dạng về phương pháp chứng minh, tuy nhiên với khả năng của
mình, tôi chỉ nêu một vài phương pháp thường gặp trong chương trình hình học
THCS. Dẫu biết rằng, phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng đã được nhiều
tác giả đề cập ở nhiều khía cạnh khác nhau. Do đó không thể có sự sáng tạo hoàn
toàn mà chỉ dừng lại ở mức độ nhất định.
Tôi tin chắc rằng kinh nghiệm của tôi cũng chỉ là một trong những biện pháp
nhỏ bé trong vô vàn phương pháp được đúc kết trong sách vở cũng như các quý
thầy cô giáo đi trước. Vì vậy bản thân tôi rất mong được sự đóng góp chân thành từ
các thầy cô giáo và bạn bè đồng nghiệp để giúp tôi hoàn thiện phương pháp của
mình để phục vụ cho sự nghiệp giáo dục nhiều hơn. Tôi xin trân thành cảm ơn!
V. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG
Tùy từng đối tượng học sinh giáo viên đưa ra các yêu cầu, bài tập vừa sức
nhằm tạo niềm tin cho học sinh từ đó các em có hứng thú hơn khi học hình học.
Giáo viên nên có một vài tiết ngoài giờ để hệ thống lại một số kiến thức và phương
pháp chứng minh để các em nắm vững kiến thức và linh hoạt vận dụng trong khi
làm bài tập cũng như trong thực tế cuộc sống. SKKN này áp dụng chủ yếu cho học
sinh THCS. Sáng kiến này thay thế một phần giải pháp, đề xuất đã có.
VI. TÀI LIỆU THAM KHẢO
- Bộ Giáo dục và Đào tạo (2016). Sách giáo khoa Toán 7, 8, 9, tái bản lần thứ mười
một, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, Hà Nội.
- Tôn Thân và cộng sự (2009). Các dạng toán và phương pháp giải toán 7, 9,
NXBGD, Hà Nội.
17
- Phan Văn Đức, Nguyễn Hoàng Khanh (2008), Tuyển tập các bài toán hay và khó
Hình học 7,8,9, NXBGD, Hà Nội.
- Lê Bích Ngọc, Lê Hồng Đức (2006), Bổ trợ kiến thức THCS phương pháp giải
toán Hình học, NXBGD, Hà Nội.
- Phạm Thu (2005), Tổng hợp kiến thức toán THCS, NXBĐHSP, TP HCM.
- Hữu Bình (2008), Nâng cao và phát triển toán 8, tái bản lần thứ tư, NXBGD, Hà
Nội.
-https://sites.google.com/site/toanhoctoantap/kien-thuc-toan/14-phuong-phapchung-minh-3-diem-thang-hang/
-
/
18
VII. PHỤ LỤC
Trang
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI ..................................................................................... 01
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ................................................................ 01
1. Cơ sở lý luận .......................................................................................................01
2. Cơ sở thực tiễn.....................................................................................................02
III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP.....................................................02
1. Sử dụng khái niệm hai góc kề bù có ba điểm nằm trên hai cạnh
là hai tia đối nhau...................................................................................................02
2. Sử dụng tiên đề về đường thẳng song song.........................................................03
3. Chứng minh hai đường thẳng cùng đi qua một điểm
và cùng vuông góc với một đường thẳng cho trước...............................................04
4. Chứng minh ba điểm cùng thuộc tia phân giác của một góc.............................05
5. Sử dụng tính chất đường phân giác của một góc, tính chất đường trung trực của
đoạn thẳng, tính chất ba đường trung trực, ba đường phân giác, ba đường cao trong
tam giác...................................................................................................................06
6. Mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm...............................................................08
7. Sử dụng tính chất hình bình hành........................................................................09
8. Sử dụng các tính chất của đường tròn................................................................ 10
9. Thêm điểm...........................................................................................................11
10. Sử dụng sự đồng qui của các đường thẳng....................................................... 12
IV. HIỆU QUẢ ĐỀ TÀI ........................................................................................ 13
V. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG ....................................14
VI. TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................................14
VII. PHỤ LỤC.........................................................................................................16
NGƯỜI THỰC HIỆN
Nguyễn Thị Hòa
19
ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT HỌC SINH
(Trước khi áp dụng đề tài)
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông ở A, M là trung điểm AC. Kẻ tia Cx vuông
góc CA (tia Cx và điểm B ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC). Trên tia Cx lấy
điểm D sao cho CD = AB. Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng.
Bài 2: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tai trung điểm O của mỗi
đoạn. Trên tia AB lấy lấy điểm M sao cho B là trung điểm AM, trên tia AD lấy
điểm N sao cho D là trung điểm AN. Chúng minh ba điểm M, C, N thẳng hàng.
Bài 3: Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là một điểm nằm trong tam
giác sao cho MB = MC. Gọi N là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm A, M,
N thẳng hàng.
Hết
20
.DOC 
25 
1615 
55 
