Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Giáo dục - Đào tạo Toán học Skkn một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quy...

Tài liệu Skkn một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết

.DOC
22
1069
68

Mô tả:

Một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết MỤC LỤC PHẦN I PHẦN MỞ ĐẦU 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 3. ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU 4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 5. THỜI GIAN NGHIÊN CỨU PHẦN II Chương 1 Chương 2 Chương 3 I II PHẦN III NỘI DUNG ĐỀ TÀI CƠ SỞ LÝ LUẬN, CƠ SỞ THỰC TIỄN 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN 2. CƠ SỞ THỰC TIỄN THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI MỘT SỐ GIẢI PHÁP PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ 1. ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI I 2. ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI II PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Trang 3 Trang 3 Trang 3 Trang 4 Trang 5 Trang 5 Trang 5 Trang 9 Trang 11 KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ 1 KẾT LUẬN 2 KIẾN NGHỊ 3 TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Thanh Xuân Trang 2 Trang 2 Trang 2 Trang 2 Trang 3 1 THPT Nguyễn Trường Tộ Trường Trang 15 Trang 16 Trang 17 Một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài: Toán học là một môn khoa học đòi hỏi sự tư duy rất lớn với một sự lập luận chặt chẽ và logic. Để có được những kỹ năng đó, đòi hỏi học sinh cần phải có một vốn kiến thức cơ bản về toán học phổ thông. Tuy nhiên, thật tế cho thấy đa số học sinh thường hay lúng túng và lập luận thiếu chặt chẽ khi đứng trước một bài toán nào đó, thậm chí các em bị bế tắc không tìm được lời giải khi đối diện với một bài toán. Một mặt, do các em thiếu kỹ năng về phương pháp trình bày. Mặt khác, do các em chưa nắm chắc về phương pháp giải, hoặc đã nắm rõ phương pháp nhưng chưa phân loại được bài toán để áp dụng phương pháp giải phù hợp. Trong chương trình môn Toán Giải tích lớp 12, mảng kiến thức về tích phân chiếm một vị trí quan trọng, thường được ra trong các đề thi tốt nghiệp, ĐH-CĐ, TCCN. Mặc dù, sách giáo khoa giải tích 12(Cơ bản) đã nêu ra hai phương pháp giải là: phương pháp đổi biến số và phương pháp tính tích phân từng phần, nhưng không nêu rõ các bước để thực hiện phương pháp, cũng như phân loại dạng toán để áp dụng đối với từng phương pháp (đặc biệt là phương pháp đổi biến số). Do đó, khi đứng trước một bài toán tích phân học sinh thường hay lúng túng, không phân được dạng để áp dụng phương pháp, hoặc nếu phân được dạng thì cũng không biết bắt đầu như thế nào, đặc biệt là đối với đa số học sinh có học lực trung bình và yếu như ở trường THPT Nguyễn Trường Tộ. Nhằm nâng cao kỹ năng nhận dạng, cũng như rèn luyện kỹ năng giải toán tích phân cho học sinh, tôi đã chọn đề tài: “ MỘT SỐ KINH NGHIỆM TRONG VIỆC NHẬN DẠNG BÀI TẬP TÍCH PHÂN VÀ HƯỚNG GIẢI QUYẾT ” nhằm nêu ra một số kỹ năng nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết những bài toán tích phân đó, qua đó giúp cho học sinh với học lực đa số trung bình và yếu như trường THPT Nguyễn Trường Tộ có một số kỹ năng tối thiểu để giải các bài toán tích phân trong các đề thi tốt nghiệp THPT nói riêng và các kỳ thi tuyển sinh nói chung. 2. Mục đích của đề tài: Mục đích của đề tài này người viết muốn nêu ra một cách nhìn nhận, một số kỹ năng trong việc giải các bài toán tích phân, nhằm giúp cho học sinh có được những kỹ năng cơ bản để nhận dạng cũng như vận dụng phương pháp giải phù hợp khi đối diện với một bài toán tích phân. 3. Đối tượng và phạm vi của đề tài: Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của đề tài là một số dạng bài tập về tích phân trong sách Giải Tích lớp 12-Cơ bản và một số bài toán tích phân trong các đề kiểm tra học kỳ II của Sở Giáo dục và Đào tạo , cũng như các bài toán tích phân trong các đề thi tốt nghiệp THPT của Bộ Giáo dục và Đào tạo. 4. Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp: - Nghiên cứu lý luận chung. - Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học . - Tổng hợp so sánh , đúc rút kinh nghiệm. Cách thực hiện: - Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn. - Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua quá trình giảng dạy. Lê Thanh Xuân 2 THPT Nguyễn Trường Tộ Trường Một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết - Thông qua việc giảng dạy trực tiếp ở các lớp khối 12 trong các năm học. 5. Thời gian nghiên cứu: Trong suốt thời gian trực tiếp giảng dạy các lớp 12 tại trường THPT A Lưới từ năm 2007 đến nay. PHẦN II: NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN. 1. Cơ sở lý luận: Mỗi một con người tồn tại trong cuộc sống đều hình thành cho mình một kỹ năng sống riêng. Kỹ năng của con người không phải sinh ra là đã có mà được hình thành từ môi trường sống, từ kinh nghiệm sống của mỗi con người. Để hình thành một kỹ năng không phải đơn giản mà phải trải qua một quá trình dài trên cơ sở đúc rút những kinh nghiệm vốn có, trên cơ sở phân tích, tổng hợp và khái quát hoá. Kỹ năng trong giải toán cũng có thể được hiểu như là những kỹ xảo, những thủ thuật trong quá trình giải toán. Đối với mỗi dạng toán đều mang trong nó những cách giải với những thủ thuật riêng mà việc hình thành cho học sinh những thủ thuật đó là một điều thật sự cần thiết cho người học toán. Việc hình thành cho học sinh kỹ năng trong giải toán không chỉ mang lại cho học sinh có một cách nhìn tổng quát về mặt phương pháp đối với một dạng toán nào đó mà còn giáo dục cho học sinh biết phân tích, xem xét để trong mỗi tình huống cụ thể, công việc cụ thể sẽ vận dụng khả năng nào là hợp lý. Đồng thời nó góp phần bồi dưỡng cho ngưòi học những đức tính cần thiết của người lao động sáng tạo như tính chủ động, tính kiên trì vượt khó, tính kế hoạch, kỹ năng phân tích, tổng hợp... của một sự vật, hiện tượng. 2. Cơ sở thực tiễn: Nhiệm vụ trọng tâm trong mỗi năm học của trường THPT Nguyễn Trường Tộ là nhằm nâng cao tỷ lệ thi đỗ tốt nghiệp trung học phổ thông, mà môn Toán là một trong những môn thi bắt buộc trong sáu môn thi do Bộ Giáo dục và Đào tạo quy định hàng năm, trong đó tích phân là một trong những mảng kiến thức hầu như phải có trong các đề thi Tốt nghiệp THPT của Bộ GD-ĐT. Do đó, việc hình thành cho học sinh kỹ năng nhận dạng, chọn cách giải phù hợp khi đứng trước một bài toán tích phân thực sự là một điều cần thiết và thiết thực cho học sinh mà đặc biệt là học sinh dân tộc tiểu số với học lực đa số là trung bình và yếu như trường THPT Nguyễn Trường Tộ. Lê Thanh Xuân 3 THPT Nguyễn Trường Tộ Trường Một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết Chương II: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI Học sinh trường THPT Nguyễn Trường Tộ đa số là người dân tộc thiểu số nên nhận thức còn chậm, chưa hệ thống được kiến thức. Khi gặp các bài toán về tích phân đa số học sinh chưa phân loại và định hình được cách giải, hướng giải. Bên cạnh đó, sách giáo khoa Giải tích 12-Cơ bản- Trang 108 trong phần “ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN ”, ở phần “ phương pháp đổi biến số ” sau khi đưa ra định lý: Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn  a; b . Giả sử hàm số x   (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn  ;   sao cho  ( )  a,  (  )  b và a   (t )  b với mọi t   ;   . Khi đó: b   a f ( x)dx   f (  (t ))  ' (t )dt  1 sách giáo khoa đưa ra một ví dụ áp dụng là: “ Ví dụ 5: Tính cách đặt x  tan t ,  1 1 x 2 dx , và được giải bằng 0   t 2 2 ”. Sau định lý và ví dụ trên sách giáo khoa lại đưa ra chú ý: b “ Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn  a; b . Để tính  f ( x)dx a , đôi khi ta chọn hàm số u  u (x) làm biến số mới, trong đó trên đoạn  a; b , u (x) có đạo hàm liên tục và u ( x)   ;   . Giả sử có thể viết: f ( x )  g (u ( x))u ' ( x) , x   a; b , với g(u) liên tục trên đoạn  ;   . u (b ) b Khi đó, ta có:  a f ( x)dx   g (u )du u(a) ”. Sau phần chú ý trên, sách giáo khoa lại đưa ra hai ví dụ áp dụng, là: “ Ví dụ 6: Tính  2  sin 1 2 x cos xdx 0 , và được giải bằng cách đặt 0 2 giải bằng cách đặt u  1  x ”. Lê Thanh Xuân x  u  sin x ; Ví dụ 7: Tính 1  x  4 THPT Nguyễn Trường Tộ Trường 2 3 dx , và được Một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết Rõ ràng sách giáo khoa đã nêu ra hai phương pháp đổi biến số trong tính tích phân là đổi biến số bằng cách đặt x   (t ) và đổi biến số bằng cách đặt u   (x) . Tuy nhiên, qua thực tế nhiều năm giảng dạy các lớp 12 ở trường THPT Nguyễn Trường Tộ, với học lực của học sinh chủ yếu là trung bình và yếu thì riêng việc tiếp thu, hiểu định lý và chú ý trên đã là quá khó chứ chưa nói đến việc áp dụng chúng để giải toán. Hơn nữa, sách giáo khoa cũng không nêu ra các bước để thực hiện phương pháp đổi biến số một cách rõ ràng để học sinh vận dụng, cũng như phân loại dạng toán để khi nào thì áp dụng phương pháp đổi biến số và đổi sang biến mới thì đặt như thế nào. Bởi vậy, dù học sinh có nắm rõ các bước để thực hiện phương pháp đổi biến số, nhìn được bài toán tích phân đã cho là sử dụng phương pháp đổi biến số, thì đổi biến bằng cách đặt như thế nào, tôi thấy học sinh vẫn còn lúng túng và thiếu tự tin. Đối với “ phương pháp tính tích phân từng phần ”, sách giáo khoa đã đưa ra định lý để làm cơ sở cho việc xây dựng công thức. Tuy nhiên về phân loại dạng toán để sử dụng phương pháp tính tích phân từng phần thì phải sử dụng bảng tổng hợp các dạng toán tính nguyên hàm từng phần ở Hoạt động 8 – Sách giao khoa - Cơ bản - Trang 100, nhưng bảng tổng hợp ở phần này cũng chưa đầy đủ về phương pháp và dạng toán. Bởi vậy chúng ta cũng cần phải bổ sung để học sinh có một cách nhìn tổng quát, đầy đủ về phương pháp và dạng toán, từ đó học sinh có một cách nhìn tổng thể nhằm giúp cho học sinh sử dụng phương pháp tích phân từng phần một cách chính xác và hiệu quả. CHƯƠNG III: MỘT SỐ GIẢI PHÁP Qua nghiên cứu trao đổi và đúc rút kinh nghiệm từ thực tế tôi mạnh dạn xây dựng những phương pháp, đưa ra một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết những bài tập đó, qua đó giúp cho học sinh hình thành được những kỹ năng, cách nhìn nhận để từ đó có hướng giải quyết khi đứng trước một bài toán tích phân một mảng kiến thức quan trọng thường được ra trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT, cũng như các kỳ thi tuyển sinh ĐH-CĐ và TCCN. I. Phương pháp đổi biến số: 1) Đổi biến số loại I ( đặt u   (x) ): a) Phương pháp: b Giả sử cần tính:  f ( x)dx a Bước 1: Đặt u   ( x)  du   ' ( x)dx  x  a  u   (a )  Bước 2: Đổi cận :  x  b  u   (b) Lê Thanh Xuân 5 THPT Nguyễn Trường Tộ Trường Một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết Bước 3: Biểu thị : f ( x)dx  g (u ) du Lúc đó: b  (b )  (b ) a (a)  (a)  f ( x)dx   g (u)du  G(u )  G (  (b))  G (  (a)) b) Cách nhận dạng một bài toán tích phân khi sử dụng phương pháp đổi biến số loại I: P( x)  * Dạng 1: Hàm số dưới dấu tích phân là hàm có dạng (Q( x)) Cách giải: Thông thường ta đặt u  Q(x) 3 Ví dụ 1: Tính  0 x2 1  x  3 2 dx ( Bài tập 3a – Giải Tích 12 – Cơ bản – Trang 113) Bài giải: Đặt u  1  x  du  dx x  0  u  1  Đổi cận:  x  3  u  4 x2 3 2 Biểu thị: 1  x  3  Do đó: 0 x2 1  u  2 du dx  u 4 dx   3 1  x  2 1 3 2 1  u  2 du  4  u 3 2   1 1 u 3 2 2 u u 3 2   u2  du 3   u2  4 1 1 1 1 3    3   2  5    u 2  2u 2  u 2 du    2u 2  4u 2  u 2   3  3 1   1 4 3 Vậy  0 x2 1  x  3 2 dx  5 3 .  * Dạng 2: Hàm số dưới dấu tích phân là hàm có dạng P( x). Q( x)  Cách giải: Lê Thanh Xuân Thông thường ta đặt u  Q(x) 6 THPT Nguyễn Trường Tộ Trường Một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết 1 x Ví dụ 2: Tính 2 (1  x 3 ) 4 dx 0 ( Đề thi TN THPT – Năm 2008) 1 u  1  x 3  du  3x 2 dx  x 2 dx   du 3 Đặt Bài giải: x  0  u  1  Đổi cận:  x  1  u  0 1 x 2 (1  x 3 ) 4 dx   u 4 du 3 Biểu thị: 1 0 Do đó: x 2 1  3 4 1 Vậy 1 1 4 1 4 1 5 0 x (1  x ) dx   3 1 u du  3 0 u du  15 u 2 (1  x 3 ) 4 dx  0 1 15 0 . * Dạng 3: Hàm số dưới dấu tích phân là hàm lượng giác. b  f (sin x). cos x.dx  Cách giải: Nếu gặp : a đặt u  sin x b  f (cos x). sin x.dx  a b 1  f (tan x). cos 2 a b 1  f (cot x). sin a x 2 x đặt u  cos x dx  dx  đặt u  tan x đặt u  cot x ( f (u ) : là biểu thức biểu diễn theo u ) I Ví dụ 3: Tính  6 cos x  1  sin x dx 0 ( Đề kiểm tra HKII – Năm học:2008-2009 – Sở GD-ĐT T.T.Huế ) Lê Thanh Xuân 7 THPT Nguyễn Trường Tộ Trường 1 15 Một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết Bài giải: I Phân tích:  6  6 b cos x 1 0 1  sin x dx  0 1  sin x cos xdx ( Dạng:  f (sin x). cos x.dx a ) Đặt u  1  sin x  du  cos xdx ( Lẽ ra đặt u  sin x nhưng ta đặt u  1  sin x để mẫu số theo biến u được gọn hơn) x  0  u  1   3   x  6  u  2 Đổi cận: cos x 1 dx  du u Biểu thị: 1  sin x I Do đó:  6 3 2 cos x 3 2 1  1  sin x dx   u du  ln u 0 1  ln 1 3 2  6 cos x 3 dx  ln 1  sin x 2 0 I Vậy  3 Ví dụ 4: Tính   cos . dx 2 x. tan x 4 ( Đề kiểm tra HKII – Năm học:2005-2006 – Sở GD-ĐT T.T.Huế ) Bài giải:  3 Phân tích: Đặt Lê Thanh Xuân   cos dx 2 x. tan x  3   4 4 u  tan x  du  1 1 dx 2 tan x cos x b . (Dạng: 1  f (tan x). cos a 1 dx cos 2 x 8 THPT Nguyễn Trường Tộ Trường 2 x .dx ) Một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết    x  4  u  1  x    u  3  3 Đổi cận:  dx 2 Biểu thị: cos x, tan x  3 Do đó:   cos  1 du  u 2 du 1 2   u du  2u 1 4  3   cos Vậy x. tan x  u 3 dx 2 1  dx 2 x. tan x  3 1 2    2 4 3 1 1   2 4 3 1 . 4 * Dạng 4 : Hàm số dưới dấu tích phân chứa ln x b Cách giải: Nếu gặp: 1  f (ln x). x dx  a đặt u  ln x ( f (ln x) : là biểu thức chứa ln x )  e3 cos(ln x) dx x 1 Ví dụ 5: Tính  ( Đề kiểm tra HKII – Năm học:2006-2007 – Sở GD-ĐT T.T.Huế ) Bài giải:   e3 e3 cos(ln x ) 1 1 x dx  1 cos(ln x). x dx Phân tích: Đặt u  ln x  du  b ( Dạng a 1 dx x x  1  u  0     3 x  e  u  3 Đổi cận:  Lê Thanh Xuân 1  f (ln x). x dx 9 THPT Nguyễn Trường Tộ Trường ) Một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết cos(ln x) dx  cos udu x Biểu thị:  3  3  e3 cos(ln x) 3 dx   cos udu  sin u  x 2 1 0 0  Do đó:  e3 cos(ln x) 3 dx  x 2 1  Vậy * Dạng 5: Hàm số dưới dấu tích phân chứa n f ( x) n Cách giải: Chúng ta có thể đặt u  f ( x) n ( Để đơn giản, sau khi đặt u  f ( x) ta nên nâng lũy thừa bậc n hai vế trước khi lấy vi phân ) 2 Ví dụ 6: Tính 2 xdx J  x2 1 1 ( Đề thi TN THPT – Năm 2007) Bài giải: 2 2 2 Đặt u  x  1  u  x  1  2udu  2 xdx  xdx  udu  x  1  u  2   Đổi cận:  x  2  u  5 2 xdx Biểu thị: 2 Do đó: 2 Vậy Lê Thanh Xuân  1  1 x2 1 x2 1 x2 1 2udu  2du u 5 5 2 xdx 2 xdx   2du  2u  2  2 5 2  2 5 2  2  10 THPT Nguyễn Trường Tộ Trường Một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết ln 5 I Ví dụ 7: Tính  e  1 ex x ex 1 ln 2 dx ( Đề thi TN THPT – Năm 2006) Bài giải: x 2 x x x Đặt u  e  1  u  e  1  2udu  e dx  e dx  2udu  x  ln 2  u  2  Đổi cận:  x  ln 5  u  5 e e 1 x Biểu thị: ln 5 Do đó:  Vậy e ln 2 ln 5   1 ex x e x x  5 1 ex 2   11 2udu  2 u 2  2 du u   5  1  dx   2 u  2 du  2 u 3  2u   50 3 2 ex 1 2  1 ex ex 1 ln 2 u dx  2 dx  50 2) Đổi biến số loại II ( đặt x   (t ) ) a) Phương pháp: b Giả sử cần tính:  f ( x)dx a Bước 1: Đặt x   (t )  dx   ' (t )dt  x  a   (t )  a  t    Bước 2: Đổi cận :  x  b   (t )  b  t   Bước 3: Biểu thị : f ( x)dx  g (t )dt b Lúc đó:   f ( x)dx   g (t )dt  G(t ) a   G (  )  G ( )  b) Cách nhận dạng một bài toán tích phân khi sử dụng phương pháp đổi biến số loại II: * Dạng 1: Hàm số dưới dấu tích phân có chứa Lê Thanh Xuân a2  x2 ( a  0) 11 THPT Nguyễn Trường Tộ Trường Một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết Cách giải: Ta có thể đặt x  a sin t ( hoặc x  a cos t ) ( Vì hàm số y  sin t có hàm số ngược trên đoạn    / 2;  / 2 nên ta chỉ xét biến số t trên đoạn    / 2;  / 2 , và hàm số y  cos t ta chỉ xét t   0;   ) 1 Ví dụ 8: Tính  1  x 2 dx 0 ( Bài tập 3b/ – Sách giáo khoa – Trang 113)   Bài giải: Đặt x  sin t ( với  2 t  2 )  dx  cos tdt  x  0  sin t  0  t  0     x  1  sin t  1  t  2 Đổi cận: Biểu thị: 1 Do đó:  0 1  x 2 dx  1  sin 2 t cos tdt  cos 2 t cos tdt  cos t cos tdt  2  2 1  x 2 dx   cos t cos tdt   cos 2 tdt 0 0  2 ( Vì 0t    cos t  0 2 )  2 1  cos 2t 1 1   dt  (t  sin 2t )  2 2 2 4 0 0 1 Vậy  1  x 2 dx  0  4 2 2 * Dạng 1: Hàm số dưới dấu tích phân có chứa a  x ( a  0) Cách giải: Ta có thể đặt x  a tan t ( hoặc x  a cot t )     ;  y  tan t y  cot t ( Vì các hàm số và có hàm ngược trên khoảng  2 2  nên ta chỉ     ;  xét biến số t trên là khoảng  2 2  ) Lê Thanh Xuân 12 THPT Nguyễn Trường Tộ Trường Một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết 2 Ví dụ 9: Tính Bài giải: dx  4 x 2 0    2    t    dx  dt 2  2 cos 2 t Đặt x  2 tan t  x  0  2 tan t  0  t  0     x  1  2 tan t  2  t  4 Đổi cận: dx 1 2 1 2 1  . .dt  . cos 2 t. dt  dt 2 2 2 2 4 2 4  4 tan t cos t cos t Biểu thị: 4  x  4 Do đó: 2 Vậy  dx 1 1 4   dt  0 4  x 2 0 2 2 t 0  8 2 dx  4 x 2  0  8 3) Một số lưu ý về phương pháp đổi biến số: Các bài toán tích phân trong các đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ, TCCN thường được giải bằng phương pháp đổi biến số loại I nhiều hơn phương pháp đổi biến số loại II. Tuy nhiên, khi đứng trước một bài toán tích phân nhiều khi chúng ta khó phân biệt phải sử dụng phương pháp đổi biến số loại nào. Vì vậy, khi đối diện với một bài toán tích phân mà chúng ta đã xác định được bài toán đó thuộc một trong các dạng phải sử dụng phương pháp đổi biến số, thì trước tiên chúng ta nên bắt đầu từ phương pháp đổi biến số loại I, và nếu với phương pháp này chúng ta gặp khó khăn ở bước 3, nghĩa là việc biểu thị biểu thức dưới dấu tích phân f ( x) dx theo g (u )du không thuận lợi thì chúng ta nghĩ ngay đến phương pháp đổi biến số loại II. 1 Chẳng hạn, như Ví dụ 8: Tính dưới dấu tích phân có chứa n f ( x ) là  0 1  x 2 dx , nếu chúng ta nhận định rằng vì hàm số 1  x 2 , nên sử dụng phương pháp đổi biến số loại I 2 bằng cách đặt u  1  x , thì từ đó ta có: u  1  x 2  u 2  1  x 2  2udu  2 xdx  xdx  udu Lê Thanh Xuân 13 THPT Nguyễn Trường Tộ Trường Một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết Nhưng, như chúng ta thấy hàm số dưới dấu tích phân chỉ có dx , nếu thêm xdx vào biểu thức dưới dấu tích phân thì phải có phép chia cho x , nghĩa là biểu thức dưới dấu tích phân sẽ trở 1 x2 xdx x , và khi đó chúng ta sẽ gặp khó khăn vì hai nhẽ: thành: i) Vì tích phân được lấy từ 0 đến 1 nên có chứa x  0 , do đó phép chia không hợp lệ. ii) Theo cách đặt ở trên thì chúng ta có thể biểu thị được x  1  u , nếu chúng ta biểu thị x theo u thì lại xuất hiện dấu căn mới. Vì vậy, bài toán này không phù hợp với phương pháp đổi biến số loại I nên chúng ta phải sử dụng phương pháp đổi biến số loại II. II. Phương pháp tính tích phân từng phần: 1) Công thức: 2 2 Nếu u  u (x) và v  v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn  a; b thì: b b a a b  u ( x)v' ( x)dx  (u ( x)v( x))   u ' ( x)v( x)dx ( hay b b a a  udv  uv a b   vdu a ) 2) Cách nhận dạng một bài toán tích phân khi sử dụng phương pháp tích phân từng phần: b  P( x) cos xdx * Dạng 1: Nếu tích phân cần tính có dạng a ( P(x) là đa thức của x ) u  P( x) du  P' ( x)dx   Cách giải: Đặt dv  cos xdx v  sin x  Ví dụ 10: Tính  x(1  cos x)dx 0 ( Đề thi TN THPT – Năm 2009) Bài giải: Ta có: Lê Thanh Xuân     0 0 0 0  x(1  cos x)dx   ( x  x cos x)dx   xdx   x cos xdx 14 THPT Nguyễn Trường Tộ Trường Một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết x2  2  0  2   x cos xdx  I 2 0  Ta tính I   x cos xdx 0 u  x du  dx   Đặt: dv  cos xdx v  sin x   Khi đó:  0  Vậy  I  x sin x 0   sin xdx  x sin x 0  cos x 0  2  x(1  cos x)dx  0 2 2 2 b * Dạng 2: Nếu tích phân cần tính có dạng  P( x) sin xdx a ( P(x) là đa thức của x ) u  P( x) du  P' ( x) dx   Cách giải: Đặt dv  sin xdx v   cos x  2 Ví dụ 11: Tính I   (1  x ) sin xdx 0 ( Bài tập 4a/ – Sách giáo khoa – Trang 113) Bài giải: u  1  x du  dx   Đặt: dv  sin xdx v   cos x Khiđó: I   (1  x) cos x  2 0  2  0 Lê Thanh Xuân    cos xdx   (1  x) cos x 02  sin x 02  2 15 THPT Nguyễn Trường Tộ Trường Một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết  2 Vậy  (1  x) sin xdx  2 0 b * Dạng 3: Nếu tích phân cần tính có dạng  P ( x )e x dx a ( P(x) là đa thức của x ) u  P ( x) du  P' ( x)dx    x x Cách giải: Đặt dv  e dx v  e 1 Ví dụ 12: Tính I   (4 x  1)e x dx 0 ( Đề thi TN THPT – Năm 2008 – Lần 2) Bài giải: u  4 x  1 du  4dx   x x dv  e dx  v  e Đặt: I  (4 x  1)e Khi đó: x 1 0 1 1 1 0 0   4e x dx  (4 x  1)e x  4e x 0 1 Vậy I   (4 x  1)e x dx  9e  5 0 b * Dạng 4: Nếu tích phân cần tính có dạng  P( x) ln xdx a ( P(x) là đa thức của x , P(x) có thể bằng 1 ) 1  u  ln x du  dx  x  dv  P ( x )dx v là một nguyên hàm của P(x)  Cách giải: Đặt 1 Ví dụ 13: Tính Lê Thanh Xuân K   2 x ln xdx 0 16 THPT Nguyễn Trường Tộ Trường  9e  5 Một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết ( Đề thi TN THPT – Năm 2007 ) Bài giải: 1  u  ln x du  dx  x  dv  2 xdx v  x 2  Đặt: Khi đó: 3 3 3 3 1 x2 2 2 K  x ln x   x dx  x ln x   xdx  x ln x  1 1 1 x 2 1 1 2 3 3 2 1  9 ln 3  4 1 Vậy K   2 x ln xdx  9 ln 3  4 0 3) Một số lưu ý về phương pháp tính tích phân từng phần: b Ngoài các bài toán tích phân có dạng:  P( x) cos xdx a b ,  P( x) sin xdx a b ,  P ( x )e x dx a , b  P( x) ln xdx a thì chúng ta phải sử dụng phương pháp tính tích phân từng phần như đã nêu ở b trên, thì những bài toán tích phân có dạng sau: b ax  b  P( x)e dx a  P( x) cos(ax  b).dx a b ,  P( x) sin(ax  b).dx a , b ,  P( x) ln(ax  b).dx a cũng được giải bằng phương pháp tích phân từng phần với cách đặt u và dv hoàn toàn tương tự. Lê Thanh Xuân 17 THPT Nguyễn Trường Tộ Trường Một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 1) Kết luận: Mỗi một dạng toán đều liên hệ mật thiết với những kỹ năng nhất định. Đó là những kỹ năng đã được tiến hành trong quá trình hình thành dạng toán đó. Phát hiện được những kỹ năng tiềm tàng trong một dạng toán là vạch được một con đường để người học chiếm lĩnh dạng toán đó và đạt được những mục đích học tập khác, cũng đồng thời cụ thể hoá mục đích dạy học dạng toán đó và chỉ ra được cách kiểm tra xem mục đích dạy học có đạt kết quả hay không và đạt được đến mức độ nào. Không có kỹ năng nào là tối ưu cho mọi dạng toán mà ta cần truyền đạt trong quá trình dạy học. Cùng một dạng toán đó, nhưng có bài lại phù hợp với kỹ năng này nhưng bài toán khác lại phù hợp với kỹ năng khác. Và hiển nhiên chúng ta không thể áp dụng cứng nhắc mỗi dạng toán với một kỹ năng nhất định mà còn phụ thuộc rất nhiều vào từng bài toán cụ thể, phụ thuộc vào sự nhận thức, sự tiếp thu của từng đối tượng học sinh. Tích phân là một nội dung quan trọng trong chương trình môn toán lớp 12 nói riêng và bậc THPT nói chung. Nhưng đối với học sinh lại là một mảng kiến thức tương đối khó, đây cũng là phần nhiều thầy cô giáo quan tâm. Đề tài của tôi chỉ dừng lại ở mức độ là áp dụng cho học sinh có học lực đa số là trung bình và yếu như ở trường THPT Nguyễn Trường Tộ. Vì vậy, việc phân loại dạng toán trong hai phương pháp là phương pháp đổi biến số và phương pháp tích phân từng phần có thể chưa được tổng quát và đầy đủ. Tuy nhiên, tôi nhận thấy rằng với mức độ nhận thức còn yếu như học sinh của trường THPT Nguyễn Trường Tộ thì những kỹ năng nhận dạng như trên là vừa sức đối với học sinh và cũng mang lại cho học sinh những thủ thuật tương đối đầy đủ để Lê Thanh Xuân 18 THPT Nguyễn Trường Tộ Trường Một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết giải các bài toán tích phân trong một kỳ thi mà tầm quan trọng của nó chỉ dừng lại ở mức độ đánh giá về kỹ năng vận dụng kiến thức với mức độ cơ bản như kỳ thi tốt nghiệp THPT. Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm học mà tôi giảng dạy lớp 12, được học sinh đồng tình và đạt được kết quả đáng khích lệ và cũng đã nâng cao khả năng giải toán tích phân cho học sinh. Ngoài ra, các em còn hứng thú học tập hơn và ở những lớp có hướng dẫn kỹ các em học sinh với mức học trung bình cũng đã có kỹ năng giải các bài tập tốt hơn. Cụ thể ở các lớp khối 12 sau khi áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy thì số học sinh hiểu và có kỹ năng giải được cơ bản các dạng toán như đã nêu ra trong sáng kiến kinh nghiệm này , kết quả qua các bài kiểm tra thử như sau : Năm học Lớp Tổng số 2009-2010 2010-2011 2011-2012 12a1 12a1 12a3 38 38 39 Điểm 8 trở lên Số Tỷ lệ lượng 15 39% 17 45% 7 18% Điểm từ 5 đến 7 Điểm dưới 5 Số Số Tỷ lệ Tỷ lệ lượng lượng 19 50% 4 11% 14 37% 7 18% 22 56% 10 26% ( Ở đây các lớp 12a1 là các lớp chọn của trường THPT Nguyễn Trường Tộ, còn lớp 12a3 là lớp có học lực đa số là trung bình – yếu nên với kết quả thực nghiệm như trên đối với lớp 12a3 có thể nói rằng sáng kiến kinh nghiệm đã mang lại kết quả đáng khích lệ ) Như vậy tôi nhận thấy các kỹ năng đã mang lại hiệu quả tương đối. Theo tôi khi dạy phần phương pháp tính tích giáo viên cần chỉ rõ các các bước trong mỗi phương pháp và cách nhận dạng đối với mỗi phương pháp để học sinh tiếp thu bài được tốt hơn. Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn còn có nhiều thiếu sót và hạn chế. Tôi rất mong nhận được sự quan tâm đóng góp ý kiến của tất cả các đồng chí, đồng nghiệp để đề tài sáng kiến kinh nghiệm được hoàn thiện hơn. 2) Một số kiến nghị: * Đối với tổ Toán - Tin trường THPT Nguyễn Trường Tộ: - Cần phát động, động viên các thành viên trong tổ tăng cường nghiên cứu khoa học, sáng tạo đồ dùng dạy học, nghiên cứu ứng dụng các phần mêm dạy học để kích thích sự say mê học tập của học sinh về môn toán nói riêng mà các môn học khác nói chung. - Cần có những buổi để thảo luận về những chuyên đề, những kinh nghiệm trong công tác giảng dạy. * Đối với trường THPT Nguyễn Trường Tộ: - Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có nhiều hơn nữa tài liệu sách tham khảo hay để nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ . - Nhà trường cần tổ chức các bổi trao đổi phương pháp giảng dạy. Có tủ sách lưu lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để làm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề. -----------------------------------Hết---------------------------------Lê Thanh Xuân 19 THPT Nguyễn Trường Tộ Trường Một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Sách giáo khoa Giải tích 12 – Cơ Bản - NXB Giáo Dục - 2008. 2. Sách giáo viên Giải tích 12-Cơ Bản - NXB Giáo Dục - 2008. 3. Các phương pháp cơ bản tìm nguyên hàm, tích phân và số phức – Phan Huy Khải – NXB Giáo Dục – Năm 2009.. 4. Một số đề thi tốt nghiệp THPT của Bộ GD – ĐT. Lê Thanh Xuân 20 THPT Nguyễn Trường Tộ Trường
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan