Tài liệu Skkn một số kinh nghiệm dạy học sinh tính tích phân bằng phương pháp từng phần

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị: Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh ----------------------Mã số: ……………… SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ KINH NGHIỆM DẠY HỌC SINH TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN Người thực hiện: VÕ NAM Lĩnh vực nghiên cứu: - Quản lý giáo dục: - Phương pháp dạy học bộ môn: TOÁN - Phương pháp giáo dục: - Lĩnh vực khác: Có đính kèm:  Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh Năm học: 2011 – 2012  Hiện vật khác SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC ----------------------I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN 1. Họ và tên: VÕ NAM 2. Ngày tháng năm sinh: 9 – 6 – 1963 3. Nam, nữ: nam 4. Địa chỉ: 105D Kp8 Phường Tân Phong, Biên Hòa, Đồng Nai 5. Điện thoại: 0919469877 6. E-mail: [email protected] 7. Chức vụ: Giáo viên 8. Đơn vị công tác: Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị: Cử nhân Khoa học - Năm nhận bằng: 1987 - Chuyên ngành đào tạo: Toán III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: dạy toán THPT - Số năm có kinh nghiệm: 27 năm - Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: Ứng dụng sự biến thiên của hàm số để chứng minh bất đẳng thức (2010 – 2011) Tên SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM DẠY HỌC SINH TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Để trao đổi kinh nghiệm với các đồng nghiệp về phương pháp dạy tích phân từng phần, cũng như nêu ra một số kinh nghiệm của tôi trong vấn đề này. II. TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI 1. MỞ ĐẦU Chúng ta đều biết một số phương pháp thông thường để tính tích phân là: đổi biến số, từng phần, đồng nhất đa thức, truy hồi. Phương pháp tích phân từng phần là một trong hai phương pháp chính để tính tích phân. Khi đó ta phải chia biểu thức trong dấu tích phân làm hai phần: u và dv. b b a a Ta có công thức: udv uv b  vdu a Vấn đề ở đây là việc đặt u và dv. Nếu đặt đúng thì làm được. Thông thường ta đặt dv cho phần dễ thấy nguyên hàm và u là phần còn lại, bởi vì từ u tìm du thì chắc chắn tìm được còn từ dv mà tìm v thì không phải dễ. 2. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA CHO ĐIỀU NÓI Ở TRÊN Sau đây là một số ví dụ để minh họa cho điều nói ở trên và tôi cũng phân tích cho học sinh thấy tại sao phải đặt như vậy. Trong các bài giải tôi xin lướt qua một số tiểu tiết. 2 1) Ví dụ 1: ( bài dễ ) Tính: I = lnx dx 1  Phân tích: rõ ràng bài này phải dùng phương pháp tích phân từng phần (vì không có cơ sở nào để đổi biến số) và khi dùng phương pháp tích phân từng phần thì ta không có một chọn lựa nào ngoài cách đặt: u = lnx ; dv = dx Bởi vì nếu đặt ngược lại thì ta không thể tìm được ngay nguyên hàm của lnx  Giải: dx x đặt u = lnx  du = dv = dx  v = x 2 2 suy ra: I = xlnx 1  dx = ln4 - 1 1 3 2) Ví dụ 2: ( bài hơi khó) Tính: I = ln(x 2  x)dx ( Đề thi ĐH 2004 khối D ) 2  Phân tích: cũng giống như ví dụ 1, ta chỉ có một cách đặt: u = ln(x2 – x) ; dv = dx  Giải: 2x  1 dx x2  x đặt u = ln(x2 – x)  du = dv = dx  v = x Suy ra: I = 3 xln(x 2  x)  2 3 2x  1  x  1 dx 2 3 = 3ln6 – 2ln2 - (2  2 1 )dx = x1 ... = 3ln3 – 2 π 3) Ví dụ 3: ( bài khó) Tính: In = cos n x cos(nx) dx ( nN*) 0  Phân tích: Thật ra bài này nằm trong nhóm bài dùng phương pháp truy hồi, nhưng phương pháp truy hồi lại sử dụng phương pháp từng phần để làm. Và cũng giống như phân tích của ví dụ 1 ta chỉ có một cách đặt duy nhất: đặt: u = cosnx ; dv = cosnx  Giải: đặt u = cosnx  du = - n cosn-1x sinx dx dv = cosnx  v = 1 sinnx n π Suy ra: In = π = π 1  n n 1  cos x sinnx   cos x sinnx sinx dx n 0 0 1 cos n  1 x[cos(n  1)x  cos(n  1)x]dx  20 1 1 π 1 1 π = 2 I n  1  2 cos 0 n 1 x cos(n  1)x dx n 1 = 2 I n  1  2 cos x (cosnx cosx - sinnx sinx) dx 0 = 1 1 1 I n 1  I n  I n 2 2 2 Suy ra: 1 I n  I n 1 2 Mà: I1 =  2  2n Vậy: In = ( dùng qui nạp ) -LƯU Ý CHO HỌC SINH LÀ: 1) Không phải lúc nào cũng chỉ có một cách đặt, có bài có hai cách đặt. 2) Không phải chỉ từng phần một lần mà có khi phải tiến hành nhiều lần. Những trường hợp này tôi sẽ nói rõ ở phần số 3 đó là phần phân loại một số dạng. 3. PHÂN LOẠI: Sau đây là một số kinh nghiệm của tôi đã được đúc kết lại sau nhiều năm dạy học về tính tích phân từng phần. Tôi sẽ phân loại một số dạng và cách giải chúng. Dạng 1: Nếu gặp 1 trong 3 bài sau đây: P(x)sin(ax  b)dx ; P(x)cos(ax  b)dx ; P(x)e ax  b dx trong đó P(x) là một đa thức bậc n của x Ta đặt: u = P(x); dv là phần còn lại và phải tiến hành từng phần n lần mới xong. Mỗi lần từng phần thì P(x) giảm một bậc cho tới khi không còn P(x) π 2 Ví dụ: tính I = (x  3x  1)sin2x dx 0 Giải: ( Đa thức bậc 2 nên ta phải tiến hành từng phần 2 lần ) ( Lần 1) đặt u = x2 + 3x - 1  du = (2x + 3)dx ; dv = sin2x dx  v =  cos2x 2 π Sau đó ta phải tính: (2x  3)cos2xdx 0 (Lần 2) đặt u = 2x + 3 ;  du = 2dx ; dv = cos2x dx  v = sin2x 2 π Sau đó ta phải tính: sin2xdx (tích phân đơn giản) 0 Bài tập tham khảo: Tính các tích phân sau đây: π x 3 1) I = (1  2x )cos 4 dx ( từng phần 3 lần ) 0 2 2) I = (x 2  3x ) 2 e  2x dx ( từng phần 4 lần ) 1 b Dạng 2: Nếu gặp bài: P(x) ln n x dx a trong đó P(x) là một đa thức bậc n của x Ta đặt: u = lnnx ; dv = P(x)dx và phải tiến hành từng phần n lần mới xong. Mỗi lần từng phần thì mũ của lnx giảm một bậc cho tới khi không còn lnx e Ví dụ: tính I = (x 3  4x 2  x  2)ln 2 xdx 1 Giải: ( mũ của lnx là 2 nên phải từng phần 2 lần ) ( Lần 1) đặt u = ln2x  du = 2lnx dx x dv = (x3 – 4x2 + x + 2)dx  v = x 4 4x 3 x 2    2x 4 3 2 e Sau đó ta phải tính:  x 3 4x 2 x      2 lnx dx  4 3 2  1 ( Lần 2 ) đặt: u = lnx ;  du = dv = ( dx x ; x 3 4x 2 x    2)dx 4 3 2  v= x 4 4x 3 x 2    2x 16 9 4 e Sau đó ta phải tính:  x 3 4x 2 x      2  dx  16 9 4  1 (tích phân đơn giản) 2  Bài tập tham khảo: tính I = (x 2  2x  1) ln 3 x dx ( từng phần 3 lần ) 1 b Dạng 3: Nếu gặp dạng: I b cx d = e sin(mx  n)dx hoặc J = a e cx d cos(mx  n)dx a Ta đặt: u = ecx+d ; dv là phần còn lại (hoặc đặt ngược lại cũng được – 2 cách đặt) Từng phần lần thứ nhất thì dạng này chuyển sang dạng kia, từng phần lần thứ hai thì lại về dạng cũ. Khi đó ta được một phương trình với I ( hoặc J ) là ẩn số, giải tìm I ( hoặc J )  Ví dụ: Tính I = e 2x -1 sin3x dx 0 Giải: đặt u = e2x-1  du = 2e2x-1 dx dv = sin3x  v = suy ra: I  cos3x 3 1 2x  1 (e cos3x) 3 =  π 2 e 2x -1cos3x dx 3 0 + 0  = 2 1 2π  1 1 (e  ) + e 2x -1cos3x dx 30 3 e ( dạng I chuyển về J )  gọi J = e 2x -1 cos3x dx 0 đặt u = e2x-1  du = 2e2x-1 dx dv = cos3x  v = suy ra: J = 1 2x  1 (e sin3x) 3 =Do đó: I = Vậy: I = sin3x 3 2 3 π 0 - 2 3 I ( dạng J lại chuyển về I ) I 1 2π  1 1 (e  ) 3 e - 4 9 I 3 2π  1 1 (e  ) 13 e π  Bài tập tham khảo: tính I = e 0 1 x cos x dx 2 III. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI Học sinh tính tích phân từng phần tốt hơn và nhanh hơn nếu gặp các dạng này, nếu gặp dạng tương tự thì cũng có thể làm được. Hoặc ít ra cũng lựa chọn cách đặt đúng đối với một bài tích phân nào đó nếu dùng phương pháp tích phân từng phần IV. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG: Các đồng nghiệp có thể tham khảo và áp dụng V. TÀI LIỆU THAM KHẢO: không NGƯỜI THỰC HIỆN (Ký tên và ghi rõ họ tên) VÕ NAM SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI Đơn vị ..................................... CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ................................, ngày tháng năm PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: ..................................... ––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm: .................................................................................................. ............................................................................................................................................... Họ và tên tác giả: .................................................... Chức vụ: ............................................. Đơn vị: .................................................................................................................................. Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào các ô tương ứng, ghi rõ tên bộ môn hoặc lĩnh vực khác) - Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học bộ môn: ...............................  - Phương pháp giáo dục  - Lĩnh vực khác: ........................................................  Sáng kiến kinh nghiệm đã được triển khai áp dụng: Tại đơn vị  1. Tính mới (Đánh dấu X vào 1 trong 2 ô dưới đây) - Có giải pháp hoàn toàn mới  Trong Ngành  - Có giải pháp cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có  2. Hiệu quả (Đánh dấu X vào 1 trong 4 ô dưới đây) - Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao  - Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao  - Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao  - Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả  3. Khả năng áp dụng (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô mỗi dòng dưới đây) - Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách: Tốt  Khá  Đạt  - Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ đi vào cuộc sống: Tốt  Khá  Đạt  - Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả trong phạm vi rộng: Tốt  Khá  Đạt  Phiếu này được đánh dấu X đầy đủ các ô tương ứng, có ký tên xác nhận của người có thẩm quyền, đóng dấu của đơn vị và đóng kèm vào cuối mỗi bản sáng kiến kinh nghiệm. XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN (Ký tên và ghi rõ họ tên) THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ (Ký tên, ghi rõ họ tên và đóng dấu)