Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Giáo dục - Đào tạo Toán học Skkn một số dạng toán cơ bản về xác suất của biến cố ” ở đại số giải tích 11 ...

Tài liệu Skkn một số dạng toán cơ bản về xác suất của biến cố ” ở đại số giải tích 11

.DOC
41
927
116

Mô tả:

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lí do chọn đề tài: Trong chương trình Toán THPT các bài toán có liên quan đến xác suất là một phần quan trọng của Đại số - giải tích 11, học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toán liên quan. Chính vì vậy trong giảng dạy ngoài việc giúp cho học sinh nắm được kiến thức cơ bản thì việc phát huy tính tích cực, tự lập của học sinh và biết áp dụng các kiến thức đã học vào giải các bài toán và ứng dụng toán học vào trong thực tế là rất cần thiết. Xác suất của biến cố là một trong những nội dung quan trọng của chương trình Toán phổ thông. Sau khi học sinh đã học xong “xác suất của biến cố ” bản thân tôi muốn học sinh tìm xác suất của một bài toán, của một ứng dụng trong thực tế một cách đơn giản, nên trong bài viết này “ Một số dạng toán cơ bản về xác suất của biến cố ” ở đại số - giải tích 11 sẽ giúp cho học sinh làm bài tập một cách nhanh chóng và chính xác. 2. Mục đích nghiên cứu: Nhằm hệ thống lại những kiến thức về xác suất của biến cố để học sinh hiểu và vận dụng tốt hơn trong các bài toán liên quan. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: Một số kiến thức liên quan đến xác suất của biến cố trong chương trình Đại số - giải tích 11 và học sinh lớp 11 của trường THPT Phạm Văn Đồng. 4. Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp suy luận, tổng hợp: Được đúc rút qua thời gian giảng dạy, hệ thống lại kiến thức, mở ra các hướng đi mới. Trang 1 Phương pháp trò chuyện: Trao đổi với nhiều học sinh để nắm tình hình sử dụng kiến thức vào giải toán . Phương pháp phân tích lý luận: Phân tích giúp học sinh nắm rõ bản chất của vấn đề. Trang 2 PHẦN II: PHẦN NỘI DUNG. THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI Khái niệm xác suất của biến cố là một khái niệm mới đối với học sinh. Xác suất của một biến là một số được đưa ra để đánh giá khả năng xảy ra của biến cố đó. Do đó, xác suất có biến cố gần 1 hay xảy ra hơn còn biến cố có xác suất gần 0 thường hiếm xảy ra. Khi nói đến việc tìm một số yếu tố liên quan đến xác suất của biến cố thì đại đa số học sinh đều làm được nhưng khi bài toán yêu tìm xác suất của biến cố thì học sinh còn rất nhiều lúng túng vì không biết phải áp dụng quy tắc cộng xác suất hay quy tắc nhân xác suất hay dạng toán tổng hợp giữa quy tắc công và quy tắc nhân. Vì vậy tôi đã chọn đề tài này để nghiên cứu. Nội dung của đề tài chia thành các mục: Chương I. Một số kiến thức liên quan đến xác suất của biến cố. Chương II. Một số bài toán liên quan đến xác suất của biến cố. Trang 3 CHƯƠNG I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ. 1. Phép thử, không gian mẫu. - Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó. - Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu. 2. Biến cố. Biến cố là một tập con của không gian mẫu. 3. Định nghĩa cổ điển của xác suất. - Giả sử A là một biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu n( A) hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số n() là xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A). ta có P ( A)  n( A) n () . 4. Tính chất của xác suất. - P(  ) = 0, P (  ) = 1. - 0  P ( A)  1 , với mọi biến cố A. - Nếu A và B xung khắc, thì P ( A  B )  P ( A)  P ( B) Trang 4 - Với mọi biến cố A, ta có P ( A)  1  P ( A) . 5. Các biến cố độc lập, công thức nhân xác suất. Nếu sự xảy ra của một biến cố không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của một biến cố khác thì ta nói hai biến cố đó độc lập. Tổng quát, đối với hai biến cố bất kì ta có mối quan hệ sau: A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P ( A.B)  P ( A).P ( B ). Trang 5 CHƯƠNG II: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ. Dạng toán 1: Bài tập về xác suất dựa vào các liệt kê các phần tử, dựa vào quy tắc cộng, quy tắc nhân và dựa vào công thức tính các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp . Ví dụ 1: Gieo ba đồng tiền cân đối và đồng chất. Tính xác suất của các biến cố sau: a. Mặt sấp xuất hiện đúng 1 lần. b. Mặt sấp xuất hiện 2 lần. Phân tích: Ta quy ước mặt có ghi chữ số là mặt ngửa – kí hiệu N, mặt còn lại là mặt sấp – kí hiệu S. Bài giải: Gieo một lần ba đồng tiền cân đối và đồng chất. Không gian mẫu của phép thử ở đây là:  = { NNN, SNN, NSN, NNS, SSN, SNS, NSS, SSS}  n() = 8 a. Gọi A là biến cố “ mặt sấp xảy ra đúng một lần” A = { SNN, NSN, NNS}  n( A) = 3 Nên P ( A)  3 8. b. Gọi B là biến cố “ mặt sấp xuất hiện 2 lần” Trang 6 B = { SSN, NSS, SNS}  n(B ) = 3 Nên P( B)  3 8. Ví dụ 2: Một tổ học sinh có 12 người trong đó có 7 nam và 5 nữ. Chọn ngẫu nhiên hai người trong tổ. Tìm xác suất để : a. Hai người được chọn đều là nữ. b. Hai nguời được chọn đều là nam. c. Hai người được chọn có 1 nam và 1 nữ. Bài giải: Tổng số học sinh trong tổ là 12 người. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Vậy 2 không gian mẫu có C12 = 66 phần tử. a. Gọi A là biến cố “ hai người được chọn là nữ” 2 Có C5 = 10 cách chọn 2 nữ trong 5 nữ. Vậy P ( A)  10 5  66 33 . b. Gọi B là biến cố “ hai nam trong 7 nam. Vậy P( B)  21 7  66 22 . c. Gọi C là biến cố “ hai người được chọn có 1 nam và 1 nữ” 1 Có C5 = 5 cách chọn 1 nữ trong 5 nữ. Trang 7 1 Và có C7 = 7 cách chọn 1 nam trong 7 nam. Vậy P (C )  5.7 35  66 66 . Ví dụ 3: Gieo một con xúc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của các biến cố sau : A: “ Xuất hiện mặt chẵn”. B : “ Xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3”. C: “ Xuất hiện mặt có số chấm không nhỏ hơn 3”. Bài giải Không gian mẫu:  = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}  n() = 6 Ta có: * A = { 2, 4, 6} nên n( A) = 3. Vậy P ( A)  3 1  6 2. * B = { 3, 6} nên n( B) = 2. Vậy P( B)  2 1  6 3. * C = { 3, 4, 5, 6} nên n( C) = 4. Vậy P (C )  4 2  6 3. Trang 8 Ví dụ 4: Có chín miếng bìa như nhau được ghi từ 1 đến 9. Lấy ngẫu nhiên hai miếng bìa và xếp theo thứ tự từ trái sang phải. Tính xác suất của các biến cố sau : a. A: “ Số tao thành là số chẵn”. b. B : “ Số tạo thành là số chia hết cho 5”. c. C: “ Số tạo thành có chữ số hàng chục nhỏ hơn chữ số hàng đơn vị”. Phân tích: Với đề ra như trên học sinh đọc đề không kỹ sẽ dẫn đến tìm sai số phần tử của không gian mẫu đó chính là học sinh không nhận ra được có sự sắp xếp thứ tự. Đối với câu c học sinh có thể tính số phần tử theo hai cách: đó là theo tổ hợp hoặc theo quy tắc đếm. Bài giải Mối kết quả của phép thử là một chỉnh hợp chập 2 của 9 phần tử. Vậy, không gian mẫu gồm: 2  = A9 = 72  n() = 72 ( kết quả đồng khả năng) a. Kí hiệu số tạo thành là: n  ab Vì n  A : nên b  { 2, 4, 6, 8} Vậy có : 4 cách chọn b và có 8 cách chọn a ( do a  b) Theo quy tắc nhân, ta có: n( A) = 4.8 = 32. Vậy P ( A)  32 4  72 9 . b. Vì n  B : nên b = 5 Vậy có : 1 cách chọn b và có 8 cách chọn a Trang 9 Theo quy tắc nhân, ta có: n( B) = 1.8 = 8. Vậy P( B)  8 1  72 9 . c. Cách 1: Vì n  C  a  b Rõ ràng mỗi số ab như vậy là một tổ hợp chập 2 của 9 phần tử và ngược 2 lại. Do đó, ta có: n( C) = C9 = 36. Vậy P (C )  36 1  72 2 . Cách 2: Vì n  C  a  b Với a = 1, ta có 1 cách chọn a, 8 cách chọn b Với a = 2, ta có 1 cách chọn a, 7 cách chọn b Với a = 3, ta có 1 cách chọn a, 6 cách chọn b Với a = 4, ta có 1 cách chọn a, 5 cách chọn b Với a = 5, ta có 1 cách chọn a, 3 cách chọn b Với a = 6, ta có 1 cách chọn a, 3 cách chọn b Với a = 7, ta có 1 cách chọn a, 2 cách chọn b Với a = 8, ta có 1 cách chọn a, 1 cách chọn b Theo quy tắc cộng ta có: n( C) = 1.8 + 1.7 + 1.6 +1.5 + 1.4 + 1.3 +1.2 + 1.1 = 36 Trang 10 Vậy P (C )  36 1  72 2 . Ví dụ 5: Một tổ có 9 học sinh, trong đó có 5 nam và 4 nữ được xếp thành một hàng dọc. Tính xác suất sao cho không có hai bạn nam nào đứng kề nhau. Bài giải Có 9 học sinh xếp thành một hàng dọc thf số cách xếp bằng số hoán vị của 9 phần tử, do đó không gian mẫu có 9! phần tử. Tổ có 9 học sinh, trong đó 5 nam và 4 nữ, muốn xếp thành một hàng dọc sao cho không có hai bạn nam nào đứng kề nhau thì phải xếp một học sinh nam đứng trước, rồi đến một học sinh nũ, tiếp tục cứ xếp xen kẽ nhau, học sinh xếp cuối cùng là nam. Số khả năng xảy ra bằng số hoán vị của 5 học sinh nam nhân với số hoán vị của 4 học sinh nữ, do đó có 5!.4!. Vậy P ( A)  5!.4! 1  9! 126 . Bài tập áp dụng: . 1. Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ một hộp chứa 20 thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Tìm xác suất để thẻ được lấy ghi số. a. Chắn. Trang 11 b. Chia hết cho 3. c. Lẻ và chia hết cho 3. ( Sách bài tập đại số - giải tích 11 – trang 70) Đáp số: Ta có  = { 1, 2, 3, ...., 20}  n() = 20 1 2; P ( A)  P( B)  3 10 ; P (C )  3 20 2. Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Tính xác suất của các biến cố: a. A : “ Số chấm ở hai mặt bằng nhau” b. B: “ Tổng số chấm không nhỏ hơn 10” c. C: “ Mặt 5 chấm xuất hiện trong lần gieo đầu” d. D: “ Mặt 5 chấm xuất hiện ít nhất một lần” ( Sách tuyển chọn 400 bài tập đại số - giải tích 11 – trang 85 ) Đáp số: Ta có  = { ( a, b) / 1  a, b  6}  n() = 36 P ( A)  1 6; P( B)  1 6; P (C )  1 6; P( D)  11 36 . 3. Một bộ sách có 4 tập mà nhìn bề ngoài giống hệt nhau. lấy ngẫu nhiên các tập sách xếp trên giá sách. Tính xác suất để các tập sách được xếp trên giá theo đúng thứ tự từ tập một đến tập bốn (kể từ trái qua phải hoặc từ phải qua trái) Trang 12 ( Sách toán cơ bản – nâng cao đại số - giải tích 11 – trang 64) Đáp số: P ( A)  1 12 . 4. Một hộp chứa 10 viên bi, trong đó có 5 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh và 2 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi. Tính xác suất để: a. Cả hai bi lấy ra đều là bi đỏ. b. Trong hai bi lấy ra có 1 bi xanh và 1 bi vàng. ( Sách rèn luyện giải toán đại số - giải tích 11 – trang 74) Đáp số: a. b. P ( A)  2 9. P( B)  2 15 . Trang 13 Dạng toán 2: Bài tập về xác suất của biến cố hợp - quy tắc cộng xác suất. Ví dụ 1: Một hộp đựng 6 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ có kích thước và trọng lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên ra 5 viên bi. Tìm xác suất để lấy được ít nhất ba viên bi màu đỏ. Phân tích: Yêu cầu của bài toán là lấy được ít nhất ba viên bi màu đỏ, do đó để tìm được xác suất của bài toán ta phải đưa về theo quy tắc hợp của hai biến cố. Bài giải: Tổng số bi trong hộp là 10 viên, lấy ngẫu nhiên 5 viên bi nên không gian 5 mẫu là C10 = 252 phần tử. Gọi A là biến cố lấy được ít nhất ba viên bi màu đỏ. A là hợp của hai biến cố:  A 1 là biến cố “ 3 viên bi đỏ và 2 viên bi xanh”. 3 Có C 4 = 4 cách lấy 3 viên bi đỏ. 2 và có C6 = 15 cách lấy hai viên bi xanh. Nên P ( A1 )  4.15 60  252 252 .  A 2 là biến cố “ 4 viên bi đỏ và 1 viên bi xanh”. 4 Có C 4 = 1 cách lấy 4 viên bi đỏ. Trang 14 1 và có C6 = 6 cách lấy 1 viên bi xanh. Nên P ( A2 )  1.6 6  252 252 . Vì A = A 1  A 2 và A 1 , A 2 là hai biến cố xung khắc Vậy P( A)  P( A1  A2 )  P( A1 )  P( A2 )  60 6 66 11    252 252 252 42 . Ví dụ 2: Một chiếc hộp kín đựng 12quả cầu trắng và 8 quả cầu đỏ có kích thước và trọng lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên ra 6 quả. Tìm xác suất để trong 6 quả lấy ra có ít nhất 5 quả cầu đỏ. Bài giải: Tổng số quả cầu trong hộp là 20 quả. Lấy ngẫu nhiên 6 quả. Vậy không 6 gian mẫu có C 20 = 38760 phần tử. Gọi A là biến cố “ lấy được ít nhất 5 quả cầu màu đỏ trong 6 quả cầu đã lấy” là biến cố hợp của hai biến cố:  A 1 là biến cố “ 5 quả cầu đỏ và 1 quả cầu trắng” 5 Có C8 = 56 cách lấy 5 quả cầu đỏ trong 8 quả cầu đỏ có trong hộp. 1 Và C12 = 12 cách lấy 1 quả cầu trắng trong 12 quả cầu trắng có trong hộp. Trang 15 Vậy P ( A1 )  56.12 672  38760 38760  A 2 là biến cố “ 6 quả cầu cùng màu đỏ ” 6 Có C8 = 28 cách lấy 6 quả cầu đỏ trong 8 quả cầu đỏ có trong hộp. Nên P ( A2 )  28 38760 . Vì A = A 1  A 2 và A 1 , A 2 là hai biến cố xung khắc Vậy P( A)  P( A1  A2 )  P( A1 )  P( A2 )  672 28 700 35    38760 38760 38760 1938 . Ví dụ 3: Một bình đựng 5 viên bi xanh, 3 viên bi vàng và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất sao cho: a. Lấy được 3 viên bi màu xanh. b. Lấy được ít nhất 1 bi vàng. c. Lấy được 3 viên bi cùng màu. Phân tích: Bài toán yêu cầu tìm xác suất của các biến cố, đối với yêu cầu thứ nhất thì đơn không kỹ thì sẽ không đưa ra hết được các trường hợp theo yêu cầu của bài toán. Bài giải Trang 16 Trong bình có tất cả 12 viên bi. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Vậy không gian 3 mẫu có C12 = 220 phần tử. a. Gọi A là biến cố “ lấy được 3 viên bi xanh” 3 5 Ta có C = 10 cách chọn 3 viên bi xanh. Vậy P ( A)  10 1  220 22 . b. Cách 1: Gọi B là biến cố “ lấy được ít nhất một viên bi vàng” nên B sẽ là hợp của các biến cố sau: C33 1  P( B1 )   220 220 . B 1 là biến cố “lấy được 3 viên bi vàng” B 2 là biến cố “lấy được 2 viên bi vàng, 1 viên bi xanh” C32 .C51 15  P( B2 )   220 220 . B 3 là biến cố “lấy được 2 viên bi vàng, 1 viên bi trắng” C32 .C 41 12  P( B3 )   220 220 . Trang 17 B 4 là biến cố “lấy được 1 viên bi vàng, 2 viên bi xanh” C31 .C52 30  P( B4 )   220 220 . B 5 là biến cố “lấy được 1 viên bi vàng, 2 viên bi trắng” C31 .C 42 18  P( B5 )   220 220 . B 6 là biến cố “lấy được 1 viên bi vàng, 1viên bi xanh và 1 viên bi trắng” C31 .C 41 .C51 60  P( B6 )   220 220 . Hiển nhiên B 1 , B 2 , B 3 , B 4 , B 5 , B 6 là các biến cố xung khắc. Vậy P( B)  P( B1  B2  B3  B4  B5  B6 )  P ( B1 )  P ( B2 )  P ( B3 )  P ( B4 )  P ( B5 )  P( B6 )  1  15  12  30  18  60 136 34   220 220 55 . Cách 2: Trang 18 Gọi B là biến cố “ trong 3 viên bi lấy được không có viên bi vàng nào” Vậy B là hợp của các biến cố sau: A là biến cố “ lấy được 3 viên bi xanh”  P ( A)  10 1  220 22 . C 43 4  P( B '1 )   220 220 . B’ 1 là biến cố “ lấy được 3 viên bi trắng” B’ 2 là biến cố “ lấy được 2 viên bi xanh và 1 viên bi trắng” C52 C 41 40  P( B'2 )   220 220 . B’ 3 là biến cố “ lấy được 2 viên bi trắng và 1 viên bi xanh” C 42 .C51 30  P ( B '3 )   220 220 . Hiển nhiên A, B’ 1 , B’ 2 , B’ 3 là các biến cố xung khắc. Vậy P ( B)  P ( A  B '1 B '2 B '3 )  P ( A)  P( B '1 )  P( B '2 )  P( B '3 ) Trang 19  Do đó 10  4  40  30 84  220 220 . P( B)  1  P( B)  1  84 136 34   220 220 55 . c. Gọi C là biến cố “ lấy được 3 viên bi cùng màu” là hợp của các biến cố: A là biến cố “ lấy được 3 viên bi xanh”  B 1 là biến cố “lấy được 3 viên bi vàng” P ( A)  10 1  220 22 .  P( B1 )  C33 1  220 220 . C 43 4  P( B '1 )   220 220 . B’ 1 là biến cố “ lấy được 3 viên bi trắng” Hiển nhiên A, B 1 , B’ 1 là các biến cố xung khắc. Vậy P (C )  P ( A  B1  B '1 )  P( A)  P ( B1 )  P ( B'1 )  10  4  1 15 3   220 220 44 . Ví dụ 4: Một chiếc hộp kín đựng 12 quả bóng bàn trong đó có 3 quả màu vàng và 9 quả màu trắng có kích thước và trọng lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên ra 3 quả. Tìm xác suất để : Trang 20
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan