Mô tả:
së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o hµ néi
Tr-êng ThPt nguyÔn gia thiÒu
-----------------------------------------------------------------------------
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm:
Mét sè d¹ng bÊt ph-¬ng tr×nh
chøa c¨n thøc bËc hai th-êng gÆp
Gi¸o viªn : NguyÔn quèc hoµn
Tæ
: To¸n
Hµ Néi, 5 / 2010
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
më ®Çu
Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh lµ bµi to¸n khã víi nhiÒu häc sinh kÓ c¶ häc sinh
®-îc cho lµ kh¸ giái; trong ®ã cã bÊt ph-¬ng tr×nh chøa c¨n thøc bËc hai ®-îc
coi lµ khã h¬n c¶. Nªn t«i chän ®Ò tµi: “ Mét sè d¹ng bÊt ph-¬ng tr×nh chøa
c¨n thøc bËc hai th-êng gÆp ” ®Ó lµm s¸ng kiÕn kinh nghiÖm. Víi môc ®Ých
mong muèn ®Ò tµi nµy sÏ gãp phÇn gióp häc sinh hiÓu râ h¬n vÒ m¶ng bÊt
ph-¬ng tr×nh chøa c¨n thøc bËc hai nãi riªng vµ bÊt ph-¬ng tr×nh nãi chung,
®ång thêi còng mong muèn ®©y lµ tµi liÖu tham kh¶o cho nh÷ng ai quan t©m
®Õn m«n to¸n.
KiÕn thøc thÓ hiÖn trong s¸ng kiÕn kinh nghiÖm nµy hoµn toµn trong
ch-¬ng tr×nh To¸n §¹i sè líp 10 ban C¬ b¶n, ban Khoa häc tù nhiªn, ban
Khoa häc x· héi vµ nh©n v¨n. Néi dung s¸ng kiÕn kinh nghiÖm nµy cã thÓ sö
dông ®Ó chuyÓn sang phÇn ph-¬ng tr×nh còng ®-îc; xong khi chuyÓn sang
ph-¬ng tr×nh cã nh÷ng phÇn sÏ ®-îc më réng ®Ó cã bµi to¸n hay h¬n. Do ®ã
ng-êi nghiªn cøu cã thÓ sö dông s¸ng kiÕn kinh nghiÖm nµy vµo nhiÒu môc
®Ých gi¸o dôc kh¸c nhau còng ®-îc.
Néi dung s¸ng kiÕn kinh nghiÖm nµy gåm cã 9 d¹ng to¸n kh¸c nhau.
H1
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
Mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n sau ®· cã trong s¸ch gi¸o khoa ®-a ra sau
®©y mµ kh«ng nªu néi dung:
1. «n tËp hµm sè bËc hai vµ ®å thÞ cña nã.
2. «n tËp ®Þnh lý vÒ dÊu cña nhÞ thøc bËc nhÊt.
3. «n tËp ®Þnh lý vÒ dÊu cña tam thøc bËc hai.
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm:
“ Mét sè d¹ng bÊt ph-¬ng tr×nh chøa c¨n thøc bËc hai th-êng gÆp ”
D¹ng 1
f(x) ≥ 0
f(x) < g(x) ⇔
f(x) < g(x)
f(x) ≥ 0
f(x) ≤ g(x) ⇔
f(x) ≤ g(x)
g(x) ≥ 0
f(x) > g(x) ⇔
f(x) > g(x)
f(x) ≥ 0
f(x) ≥ g(x) ⇔
f(x) ≥ g(x)
Bµi to¸n. Gi¶i c¸c bÊt ph-¬ng tr×nh sau:
1)
x2 − 3x + 2 ≤ 2x 2 + 5x + 2
(1)
2)
2x 2 + 10x + 8 > x 2 − 5x − 36
(2)
3)
x 3 − 8 < 2x 2 + 5x − 14
(3)
Gi¶i:
x ≥ 2
x
≥
2
x ≤ −8
(1) x 2 − 3x + 2 ≥ 0
x ≤ 1
⇔ x ≤ 1
⇔
⇔ 0 ≤ x ≤ 1
1) ⇔ 2
2
x − 3x + 2 ≤ 2x + 5x + 2 2
x ≥ 0
x + 8x ≥ 0 x ≤ −8 x ≥ 2
H2
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (1) lµ
S = (−∞ ; −8] ∪ [0 ; 1] ∪ [ 2 ; + ∞) .
x ≥ 9
x 2 − 5 x − 36 ≥ 0
2) ⇔ 2
⇔
x ≤ −4
2
2
x
+
10
x
+
8
>
x
−
5
x
−
36
x 2 + 15 x + 44 > 0
( 2)
x ≥ 9
x ≤ −4
⇔
x > −4
x < −11
x < −11
⇔
x ≥ −9
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (2) lµ
S = ( −∞ ; − 11] ∪ [9 ; + ∞ ) .
3
x − 8 ≥ 0
3) ⇔ 3
2
x − 8 < 2x + 5x − 14
(3)
x ≥ 2
⇔
2
(x − 1)(x − x − 6) < 0
x ≥ 2
⇔
−2 < x < 3
3
x ≥ 8
⇔ 3
2
x − 2x − 5x + 6 < 0
x ≥ 2
⇔ 2
x − x − 6 < 0
⇔ 2≤x<3
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (3) lµ
S = [ 2 ; 3) .
Bµi tËp t-¬ng tù. Gi¶i c¸c bÊt ph-¬ng tr×nh sau:
1)
x 2 − 3x − 4 ≤
2x2 + x − 5
2)
2 x 2 + 9 x + 13 >
3)
2 x2 − 9 x − 4 ≥
4)
2 x 2 + 12 x + 16 < x 2 − 3x − 28
5)
x3 − 2 x 2 − 1 ≥
6)
x3 − x 2 <
x 2 − 3x + 2
x 2 − 3x − 4
x2 − x − 2
x2 + x − 2 .
H3
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
D¹ng 2
f (x) ≥ 0
f(x) < g(x) ⇔ g(x) > 0
f (x) < g 2 (x)
f(x) ≥ 0
f(x) ≤ g(x) ⇔ g(x) ≥ 0
f(x) ≤ g 2 (x)
Bµi to¸n. Gi¶i c¸c bÊt ph-¬ng tr×nh sau:
1)
x 2 − 8x + 7 + 3x ≤ 1
(1)
2) 2 9 + 8x − x 2 + 1 < 9x
3)
1−
(2)
1
<2
x
(3)
Gi¶i:
(1)
1) ⇔ x2 − 8x + 7 ≤ 1 − 3x
1
x ≤
3
2
⇔ x − 8x + 7 ≤ 9x 2 − 6x + 1
x≥7
x ≤ 1
x2 − 8x + 7 ≥ 0
⇔ 1 − 3 x ≥ 0
2
2
x − 8 x + 7 ≤ (1 − 3 x )
1
x ≤
⇔
3
2
8x + 2x − 6 ≥ 0
1
x
≤
3
⇔
3
x
≥
4
x ≤ −1
⇔ x ≤ −1
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (1) lµ
S = ( −∞ ; − 1] .
9 + 8 x − x 2 ≥ 0
⇔ 9 x − 1 > 0
4(9 + 8 x − x 2 ) < (9 x − 1) 2
(2)
2) ⇔ 2 9 + 8x − x2 < 9x − 1
H4
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
−1 ≤ x ≤ 9
1
⇔ x >
9
2
2
−
4x + 32x + 36 < 81x − 18x + 1
1
0
1
9 < x ≤ 9
⇔ x > 1
7
x < −
17
⇔1< x ≤ 9
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (2) lµ
S = (1 ; 9].
x ≠ 0
(3)
1
3) ⇔ 1 − ≥ 0
x
1
1 − x < 4
x ≠ 0
x − 1
⇔
≥0
x
3x + 1
x > 0
x < 0
1
x ≥ 1
x<−
⇔ x > 0
⇔
3
x ≥ 1
x < − 1
3
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (3) lµ
1
S = −∞ ; − ∪ [1 ; + ∞ ) .
3
Bµi tËp t-¬ng tù. Gi¶i c¸c bÊt ph-¬ng tr×nh sau:
1)
x 2 − 2x − 8 + 2 ≤ x
2)
2x 2 − 5x + 2 + x ≤ 2
3)
3x 2 − 8x − 3 + 1 ≤ 2x
4) 3 (x + 6)(x − 2) + 7 + 3 < 5x
5) 3 (x − 6)(x + 2) + 7 + 2x < 6
6)
2x 4 − 5x 2 + 3 + 1 < x2.
H5
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
D¹ng 3
g(x) < 0
f(x) ≥ 0
f(x) > g(x) ⇔
g(x) ≥ 0
2
f(x) > g (x)
g(x) < 0
f(x) ≥ 0
f(x) ≥ g(x) ⇔
g(x) ≥ 0
2
f(x) ≥ g (x)
Bµi to¸n. Gi¶i c¸c bÊt ph-¬ng tr×nh sau:
1)
−3x 2 + 10x − 3 ≥ x + 1
(1)
2)
(x − 1)(3 − x) + 3 + 4 > 3x
(2)
3)
2x 2 − 8x + 1 > x 2 + 1
(3)
Gi¶i:
x < −1
1 ≤ x < 3
⇔ 3
x ≥ −1
−3x 2 + 10x − 3 ≥ x 2 + 2x + 1
x + 1 < 0
2
(1)
−3x + 10x − 3 ≥ 0
1) ⇔
x + 1 ≥ 0
−3x 2 + 10x − 3 ≥ ( x + 1)2
x ≥ −1
⇔ 2
4x − 8x + 4 ≤ 0
x ≥ −1
⇔
2
4(x − 1) ≤ 0
x ≥ −1
⇔ x =1
⇔
x = 1
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (1) lµ
S = { 1 }.
(2)
2) ⇔ 4x − x2 > 3x − 4
3x − 4 < 0
2
4x − x ≥ 0
⇔
3x − 4 ≥ 0
4x − x 2 > (3x − 4)2
H6
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
4
x < 3
0 ≤ x ≤ 4
⇔
x ≥ 4
3
4x − x 2 > 9x 2 − 24x + 16
4
0 ≤ x < 3
4
⇔
x≥
3
2
10x − 28x + 16 < 0
4
0
≤
x
<
3
4
⇔ x ≥
3
4 < x < 2
5
4
0
≤
x
<
3
⇔
4 ≤ x < 2
3
⇔0≤x<2
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (2) lµ
S = [0 ; 2 ) .
(3)
3) ⇔ 2x2 − 8x + 1 > (x2 + 1)2
⇔ 2x2 − 8x + 1 > x 4 + 2x2 + 1
⇔ x4 + 8x < 0
⇔ x(x3 + 8) < 0
⇔ x(x + 2)(x2 − 2x + 4) < 0
⇔ x(x + 2) < 0
⇔ −2 < x < 0
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (3) lµ
S = ( −2 ; 0 ) .
Bµi tËp t-¬ng tù. Gi¶i c¸c bÊt ph-¬ng tr×nh sau:
1)
(x − 3)(5 − x) + 15 + 4 > 2x
2)
x 2 + 5x + 4 + 2 ≥ 3x
3)
x 2 − 4x − 5 + x ≥ 11
4)
x 4 + x2 + 1 ≥ x + 1
5)
x 4 − x 2 + 1 + 1 > 2x
6)
2x 4 − 5x 2 + 2 + 2x 2 ≥ 1.
H7
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
D¹ng 4
f (x) + g(x) < p(x) + q(x)
hoÆc:
f (x) + g(x) ≤ p(x) + q(x)
(Trong ®ã: f(x) + g(x) = p(x) + q(x)).
Ph-¬ng ph¸p:
f (x) ≥ 0
g(x) ≥ 0
§iÒu kiÖn:
p(x) ≥ 0
q(x) ≥ 0
B×nh ph-¬ng hai vÕ cña bÊt ph-¬ng tr×nh, sau ®ã ®-a vÒ d¹ng 1.
Bµi to¸n. Gi¶i c¸c bÊt ph-¬ng tr×nh sau:
1)
x + 2 + 5 − 2x < 2x + 7 − 3x
(1)
2)
x + 3 − 2x + 5 ≥ 3 − 3x − 5 − 2x
(2)
3)
3 − 2x − 4 − 3x ≤ 2x + 2 − x + 3
(3)
Gi¶i:
1) §iÒu kiÖn: 0 ≤ x ≤
(1)
⇔
(
7
3
x + 2 + 5 − 2x
) (
2
<
2x + 7 − 3x
)
2
⇔ x + 2 + 5 − 2x + 2 x + 2. 5 − 2x < 2x + 7 − 3x + 2 2x. 7 − 3x
⇔ 2 (x + 2)(5 − 2x) < 2 2x(7 − 3x)
⇔ −2x 2 + x + 10 < −6x 2 + 14x
⇔ −2x 2 + x + 10 < −6x 2 + 14 x
⇔ 4x 2 − 13x + 10 < 0
5
< x < 2 ; tho¶ m·n ®iÒu kiÖn.
4
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (1) lµ
⇔
5
S = ; 2.
4
2) §iÒu kiÖn: −
5
≤ x ≤1
2
H8
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
(2)
⇔ x + 3 + 5 − 2x ≥ 3 − 3x + 2x + 5
⇔
(
x + 3 + 5 − 2x
) ≥(
2
3 − 3x + 2x + 5
)
2
⇔ x + 3 + 5 − 2x + 2 3 + x. 5 − 2x ≥ 3 − 3x + 2x + 5 + 2 3 − 3x. 2x + 5
⇔ 2 (3 + x)(5 − 2x) ≥ 2 (3 − 3x)(2x + 5)
⇔ −2x 2 − x + 15 ≥ −6x 2 − 9x + 15
⇔ −2x2 − x + 15 ≥ −6x2 − 9x + 15
⇔ 4x2 + 8x ≥ 0
x ≥ 0
⇔
x ≤ −2
KÕt hîp ®iÒu kiÖn, cã tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (2) lµ
5
S = − ; − 2 ∪ [0 ; 1].
2
3) §iÒu kiÖn: –1 ≤ x ≤
4
3
(3)
⇔ 3 − 2x + x + 3 ≤ 4 − 3x + 2x + 2
⇔
(
3 − 2x + x + 3
) (
2
≤
4 − 3x + 2x + 2
)
2
⇔ 3 − 2x + x + 3 + 2 3 − 2x. x + 3 ≤ 4 − 3x + 2x + 2 + 2 4 − 3x. 2x + 2
⇔ 2 (3 − 2x)(x + 3) ≤ 2 (4 − 3x)(2x + 2)
⇔ −2x2 − 3x + 9 ≤ −6x2 + 2x + 8
⇔ −2x2 − 3x + 9 ≤ −6x2 + 2x + 8
⇔ 4x2 − 5x + 1 ≤ 0
1
≤ x ≤ 1; tho¶ m·n ®iÒu kiÖn
4
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (3) lµ
⇔
1
S = ; 1 .
4
Bµi tËp t-¬ng tù. Gi¶i c¸c bÊt ph-¬ng tr×nh sau:
1)
x + 1 + 3x − 1 > 2x − 1 + 2x + 1
H9
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
2)
x − 1 + 3x + 1 ≤ 2x − 1 + 2x + 1
3)
2x + 1 + 2x − 2 < x + 1 + 3x − 2
4)
x − 1 + 3x + 2 ≥ 2x − 1 + 2x + 2
5)
5x − 1 − 5x + 7 > 2x − 3 − 2x + 5
6)
2x + 3 − x + 2 < 4x − 3 − 3x − 4.
D¹ng 5
Cã nh÷ng bµi to¸n gÇn gièng d¹ng 2 vµ d¹ng 3, nh-ng g(x) ë ®©y lµ tam
thøc bËc hai, khi b×nh ph-¬ng hai vÕ sÏ dÉn ®Õn bÊt ph-¬ng tr×nh bËc bèn rÊt
khã gi¶i. Do ®ã ta cã c¸ch gi¶i kh¸c lµ ®Æt Èn phô, d-íi ®©y lµ mét sè bµi to¸n
minh ho¹.
Bµi to¸n 1. Gi¶i c¸c bÊt ph-¬ng tr×nh sau:
1)
(x + 1)(x − 2) + x2 ≥ x + 8
(1)
2)
6x 2 − 18x + 12 < 10 + 3x − x 2
(2)
3) 2 x2 + 2x + 10 + 5 > x(x + 2)
(3)
Gi¶i:
1)
§Æt: t =
(x + 1)(x − 2) ;
t ≥0
⇔ t 2 = x2 − x − 2 ⇔ x2 − x = t 2 + 2
(1)
t ≥ 2
⇔ t + t2 + 2 − 8 ≥ 0 ⇔ t2 + t − 6 ≥ 0 ⇔
t ≤ −3 (lo¹i)
VËy:
x ≥ 3
(x + 1)(x − 2) ≥ 2 ⇔ x 2 − x − 2 ≥ 4 ⇔ x 2 − x − 6 ≥ 0 ⇔
x ≤ −2
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (1) lµ
S = ( −∞ ; − 2] ∪ [3 ; + ∞ ) .
H 10
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
§Æt: t = 6x2 − 18x + 12 ;
2)
t ≥0
12 − t 2
⇔ 3x − x =
6
⇔ t = 6x − 18x + 12
2
2
12 − t 2
⇔ t < 10 +
6
(2)
VËy:
2
⇔ 6t < 60 + 12 − t 2
⇔ t 2 + 6t − 72 < 0
⇔ −12 < t < 6
6x2 − 18x + 12 < 6 ⇔ x2 − 3x + 2 < 6
x 2 − 3x + 2 ≥ 0
⇔ 2
x − 3x + 2 < 6
x ≥ 2
⇔ x ≤ 1
2
x − 3x − 4 < 0
x ≥ 2
⇔ x ≤ 1
−1 < x < 4
−1 < x ≤ 1
⇔
2 ≤ x < 4
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (2) lµ
S = ( −1 ; 1] ∪ [2 ; 4 ).
§Æt: t = x2 + 2x + 10 ;
3)
t ≥3
⇔ t 2 = x2 + 2x + 10
⇔ x(x + 2) = t 2 − 10
(3)
⇔ 2t + 5 > t 2 − 10 ⇔ t 2 − 2t − 15 < 0 ⇔ −3 < t < 5
VËy:
x2 + 2x + 10 < 5 ⇔ x2 + 2x + 10 < 25
⇔ x2 + 2x − 15 < 0 ⇔ −5 < x < 3
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (3) lµ
S = ( − 5 ; 3).
Bµi to¸n 2. Cho bÊt ph-¬ng tr×nh:
x 2 + 2x + (x + 3)(1 − x) + 5 ≥ m
(*)
a) Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh (*) víi m = 2.
b) T×m m ®Ó bÊt ph-¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm.
c) T×m m ®Ó bÊt ph-¬ng tr×nh (*) nghiÖm ®óng ∀x ∈ [ −4 ; 2].
Gi¶i:
(x + 3)(1 − x) + 5 = − x2 − 2x + 8 = (x + 4)(2 − x) = 9 − (x + 1)2
§Æt : t = (x + 3)(1 − x) + 5;
⇔ t 2 = −x2 − 2x + 8
0≤t ≤3
⇔ x2 + 2x = 8 − t 2
H 11
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
(*)
⇔ 8 − t2 + t ≥ m
⇔ − t 2 + t + 8 ≥ m (**)
(**)
a) m = 2, ⇔ − t 2 + t + 8 ≥ 2 ⇔ t 2 − t − 6 ≤ 0 ⇔ −2 ≤ t ≤ 3
VËy:
−x2 − 2x + 8 ≤ 3 ⇔ 9 − (x + 1)2 ≤ 3; nghiÖm ®óng ∀x ∈ [–4 ; 2].
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (*) lµ
S = [–4 ; 2].
b) BÊt ph-¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm ⇔ bÊt ph-¬ng tr×nh (**) cã nghiÖm t tho¶
m·n: 0 ≤ t ≤ 3
Gäi f(t) = −t 2 + t + 8;
0≤t ≤3
B¶ng biÕn thiªn:
t
−∞
0
1
2
+∞
33
4
f(t)
8
⇒ 2 ≤ f(t) ≤
33
;
4
2
∀t ∈ [0 ; 3]
Do ®ã (**) cã nghiÖm t ∈ [0 ; 3] ⇔
KÕt luËn: m ≤
3
33
33
≥m ⇔m≤
4
4
33
, bÊt ph-¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm.
4
c) BÊt ph-¬ng tr×nh (*) nghiÖm ®óng ∀x ∈ [ −4 ; 2] ⇔ bÊt ph-¬ng tr×nh (**)
nghiÖm ®óng ∀t ∈ [0 ; 3].
Theo kÕt qu¶ phÇn trªn, cã: 2 ≥ m ⇔ m ≤ 2.
KÕt luËn: m ≤ 2, bÊt ph-¬ng tr×nh (*) nghiÖm ®óng ∀x ∈ [ −4 ; 2] .
Bµi to¸n 3. Cho bÊt ph-¬ng tr×nh:
2 (x + 1)(x − 7) + 25 + 6x ≥ x2 + m
a) Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh (1) víi m = 3.
b) T×m m ®Ó bÊt ph-¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm.
H 12
(1)
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
Gi¶i:
(x + 1)(x − 7) + 25 = x2 − 6x + 18 = (x − 3)2 + 9
§Æt : t = (x + 1)(x − 7) + 25 ;
t ≥ 3.
⇔ t 2 = x 2 − 6x + 18
⇔ x 2 − 6x = t 2 − 18
(1)
⇔ 2t ≥ t 2 − 18 + m ⇔ t 2 − 2t − 18 ≤ −m
(2)
(2)
a) m = 3, ⇔ t 2 − 2t − 18 ≤ −3 ⇔ t 2 − 2t − 15 ≤ 0 ⇔ −3 ≤ t ≤ 5
VËy:
x2 − 6x + 18 ≤ 5 ⇔ x2 − 6x + 18 ≤ 25 ⇔ x2 − 6x − 7 ≤ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 7
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh lµ
S = [ −1 ; 7] .
b) BÊt ph-¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm ⇔ bÊt ph-¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm t tho¶
m·n: t ≥ 3
Gäi f(t) = t 2 − 2t − 18;
t ≥3
B¶ng biÕn thiªn:
t
-∞
1
3
+∞
f(t)
+∞
–15
⇒ f(t) ≥ − 15 ;
∀t ≥ 3.
Do bÊt ph-¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm ⇔ −15 ≤ − m ⇔ m ≤ 15
KÕt luËn: m ≤ 15, bÊt ph-¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm.
Bµi tËp t-¬ng tù.
Bµi 1. Gi¶i c¸c bÊt ph-¬ng tr×nh sau:
1) x 2 + 12x − 8 (x − 2)(x + 14) < 16
2) (x − 1)(x − 9) ≥ 4 + 10 x 2 − 10x − 11
H 13
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
3) (x − 2)
x +1
+ (x + 1)(x − 2) ≥ 6
x−2
4)
(x − 1)(x + 2) < 4 − x − x 2
5)
(1 + x)(4 + x) > 2 + x(x + 5)
6)
(x − 2)(4 − x) + 6x ≥ x 2 + 10 .
Bµi 2. Cho bÊt ph-¬ng tr×nh:
(x + 1)(x + 3) ≥ m + 6 (x − 1)(x + 5)
a) Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh víi m = 0.
b) T×m m ®Ó bÊt ph-¬ng tr×nh nghiÖm ®óng víi mäi x ∈ [ −5 ; 1] .
Bµi 3. Cho bÊt ph-¬ng tr×nh:
(x − 1)(x + 3) − x 2 + 2x + 10 ≤ m
a) Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh víi m = 7.
b) T×m m ®Ó bÊt ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm.
H 14
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
D¹ng 6
f (x) +
g(x) >
hoặc:
h(x)
f (x) +
g(x) ≥
h(x)
Phương pháp:
f (x) ≥ 0
Điều kiện: g(x) ≥ 0
h(x) ≥ 0
Dạng này có thể còn những cách giải khác, xong ở đây xin giới thiệu
một số bài toán mà sau khi bình phương hai vế sẽ đưa về dạng 2 hoặc dạng 3
hoặc dạng 5.
Bài toán. Giải các bất phương trình sau :
1)
5−x ≥
2x + 2 −
2)
1+ x <
6+x −
3)
x −1 +
2x <
4)
x 2 − 3x + 2 +
x −1
(1)
x−2
(2)
2x 2 + x − 1
(3)
x 2 − 4x + 3 ≥
x 2 − 5x + 4
(4)
Giải:
1) Điều kiện: 1 ≤ x ≤ 5
(1)
⇔ 5−x +
2x + 2 ⇔
x −1 ≥
(
5 − x + x −1
) ≥(
2
2x + 2
)
2
⇔ 5 – x + x – 1 + 2 5 − x . x − 1 ≥ 2x + 2
⇔ 2 (5 − x)(x − 1) ≥ 2x + 2 – 4
⇔
−x 2 + 6x − 5 ≥ x – 1
⇔ –x 2 + 6x – 5 ≥ (x – 1)2 (Hai vế không âm, do: 1 ≤ x ≤ 5)
⇔ –x 2 + 6x – 5 ≥ x2 – 2x + 1
⇔ 2x2 – 8x + 6 ≤ 0
⇔ 1 ≤ x ≤ 3; thoả mãn điều kiện.
Kết luận: tập nghiệm bất phương trình (1) là
S = [1 ; 3].
2) Điều kiện: x ≥ 2
(2)
⇔
1+ x +
x−2 <
x+6
⇔
H 15
(
1+ x + x − 2
) <(
2
6+x
)
2
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
⇔ x + 1 + x − 2 + 2 1+ x . x − 2 < 6 + x
⇔ 2 (x + 1)(x − 2) < x + 6 − 2x + 1
⇔ 2 x2 − x − 2 < 7 − x
7 − x > 0
⇔ x ≥ 2
4(x 2 − x − 2) < (7 − x) 2
x < 7
⇔ x ≥ 2
4x 2 − 4x − 8 < x 2 − 14x + 49
2 ≤ x < 7
⇔ 2
3x + 10x − 57 < 0
2 ≤ x < 7
⇔ −19
3 < x < 3
⇔2≤x<3
Kết luận: tập nghiệm bất phương trình (2) là
S = [2 ; 3).
3) Điều kiện: x ≥ 1
(3)
⇔
(
x − 1 + 2x
) (
2
<
2x 2 + x − 1
)
2
⇔ x − 1 + 2x + 2 x − 1 . 2x < 2x 2 + x − 1
⇔ 2 2x(x − 1) < 2x 2 + x − 1 − 3x + 1
⇔ 2 2x 2 − 2x < 2x 2 − 2x
⇔
⇔
(
) − 2 2x − 2x > 0
2x − 2x ( 2x − 2x − 2 ) > 0
2x 2 − 2x
2
2
2
2
2x 2 − 2x > 2
⇔
2
2x − 2x > 0
⇔
2x2 − 2x > 2
⇔ 2x 2 − 2x > 4
⇔ x2 − x − 2 > 0
x > 2
⇔
x < −1
Kết hợp với điều kiện, có tập nghiệm bất phương trình (3) là
S = (2 ; + ∞ ).
H 16
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
x ≥ 2
x ≤ 1
x ≥ 3
⇔
x ≤ 1
x ≥ 4
x ≤ 1
x 2 − 3x + 2 ≥ 0
4) Điều kiện: x 2 − 4x + 3 ≥ 0
x 2 − 5x + 4 ≥ 0
(4)
(x − 1)(x − 2) +
⇔
(x − 1)(x − 3) ≥
x ≥ 4
⇔
x ≤ 1
(x − 1)(x − 4)
+) Trường hợp 1: x ≥ 4
(4)
x−2 +
⇔
x −3 ≥
x − 4 ; nghiệm đúng ∀ x ≥ 4.
+) Trường hợp 2: x = 1, thay vào bất phương trình thoả mãn.
+) Trường hợp 3: x < 1
(4)
⇔
(1 − x)(2 − x) +
⇔
2−x +
⇔
(
(1 − x)(3 − x) ≥
3− x ≥
2− x + 3− x
(1 − x)(4 − x)
4−x
) ≥(
2
⇔ 2 − x + 3 − x + 2 2−x
4−x
)
2
3− x ≥ 4 − x
⇔ 2 2 − x . 3 − x ≥ 4 − x + 2x − 5
⇔ 2 2 − x . 3 − x ≥ x − 1; nghiệm đúng ∀ x < 1
Kết luận: tập nghiệm bất phương trình (4) là
S = (− ∞ ; 1] ∪ [4 ; + ∞ ).
Bài tập tương tự. Giải các bất phương trình sau:
1)
3x − 3 +
5−x < 2 x
2)
2+x ≥
7+x −
3)
x−2 ≤
x 2 − 8x − 2 −
4)
x +3 ≥
x 2 − 20 −
5)
x −1 ≤
x 2 + 4x − 1 −
6)
x+2 +
3 − x < 11 + x − x 2
x −1
H 17
x −8
x −5
x +3
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
7)
2−x +
x + 3 > 11 − x − x 2
8)
x2 −1 +
x 2 + 3x + 2 ≤
9)
x 2 − 3x + 2 >
10)
x2 −1 +
x 2 + 8x + 7
x 2 − 4x + 3 +
x 2 − 5x + 4
x2 + x − 2 .
x 2 − 2x + 1 >
D¹ng 7
a
(
)
f(x) ± g(x) + b f(x).g(x) ≥ m
(Trong ®ã: f(x) + g(x) = c; c = const)
Ph-¬ng ph¸p:
f (x) ≥ 0
§iÒu kiÖn:
g(x) ≥ 0
§Æt: t =
f (x) ± g(x) ;
t×m ®iÒu kiÖn cho t
±(t 2 − c)
2
Sau ®ã thay vµo bÊt ph-¬ng tr×nh vµ gi¶i tiÕp
⇔ f (x).g(x) =
Chó ý: D¹ng nµy nÕu lµ ph-¬ng tr×nh, ta cßn cã c¸ch gi¶i kh¸c lµ ®-a vÒ hÖ
ph-¬ng tr×nh ®Ó gi¶i.
Bµi to¸n 1. Gi¶i c¸c bÊt ph-¬ng tr×nh sau:
1)
x + 1 + 4 − x + 1 < 2 4 + 3x − x 2
(1)
2)
2x + 1 + 9 + 16x − 4x 2 < 9 − 2x + 5
(2)
3) x + 10 − x 2 + x. 10 − x 2 < 7
(3)
4) x −
(4)
5 − x 2 + x. 5 − x 2 > 1
Gi¶i:
1) §iÒu kiÖn: − 1 ≤ x ≤ 4
§Æt: t = 1 + x + 4 − x;
H 18
5 ≤ t ≤ 10
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
⇔ t2 =
(
1+ x + 4 − x
)
2
⇔ t 2 = 1 + x + 4 − x + 2 1 + x. 4 − x
⇔ 2 4 + 3x − x 2 = t 2 − 5
(1)
t > 3
⇔ t +1 < t2 − 5 ⇔ t2 − t − 6 > 0 ⇔
t < −2; lo¹i
VËy:
1+ x + 4 − x > 3
⇔ 1 + x + 4 − x + 2 4 + 3x − x 2 > 9
⇔ 2 4 + 3x − x 2 > 4 ⇔ 4 + 3x − x 2 > 4
⇔ x 2 − 3x < 0
⇔ 0 < x < 3; tho¶ m·n ®iÒu kiÖn
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (1) lµ
S = (0 ; 3).
2) §iÒu kiÖn: −
1
9
≤x≤
2
2
§Æt: t =
2x + 1 − 9 − 2x;
− 10 ≤ t ≤ 10
⇔ t 2 = 2x + 1 + 9 − 2x − 2 2x + 1. 9 − 2x
⇔ t 2 = 10 − 2 9 + 16x − 4x 2
10 − t 2
⇔ 9 + 16x − 4x =
2
2
t < 0
10 − t 2
⇔ t+
< 5 ⇔ 2t + 10 − t 2 < 10 ⇔ t 2 − 2t > 0 ⇔
2
t > 2
(2)
2x + 1 − 9 − 2x < 0
VËy:
2x + 1 − 9 − 2x > 2
+) Gi¶i (I):
(I)
(II)
2x + 1 < 9 − 2x ⇔ 2x + 1 < 9 − 2x ⇔ 4x < 8 ⇔ x < 2
1
KÕt hîp ®iÒu kiÖn, cã: − ≤ x < 2
2
2x + 1 ≥ 9 − 2x
+) Gi¶i (II):
2x + 1 − 9 − 2x
(
)
2
>4
H 19
2x + 1 ≥ 9 − 2x
⇔
2
10 − 2 9 + 16x − 4x > 4
- Xem thêm -