Tài liệu Skkn một số dạng phương trình và bất phương trinh chứa căn thức

Së gi¸o dôc & ®µo t¹o H¶i D¬ng S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Mét sè d¹ng ph¬ng tr×nh - bÊt ph¬ng tr×nh chøa c¨n thøc vµ ph¬ng ph¸p gi¶i M«n : To¸n Khèi : 9 N¨m häc 2007 - 2008 Phßng gi¸o dôc & ®µo t¹o thanh miÖn PhÇn ghi sè ph¸ch cña Phßng GD & §T ……………………… S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Mét sè d¹ng ph¬ng tr×nh - bÊt ph¬ng tr×nh chøa c¨n thøc vµ ph¬ng ph¸p gi¶i M«n : To¸n Khèi : 9 1 bïi v¨n uý Ngêi thùc hiÖn: ®¸nh gi¸ cña tæ chuyªn m«n (NhËn xÐt, ®¸nh gi¸ xÕp lo¹i) .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... ........................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... ........................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... ®¸nh gi¸ cña héi ®ång nhµ trêng (NhËn xÐt, ®¸nh gi¸ xÕp lo¹i, ký vµ ®ãng dÊu) .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... ........................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... ........................................................................................................................... ............................................... ........................................................................... PhÇn ghi sè ph¸ch cña Phßng GD & §T ……………………… S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Mét sè d¹ng ph¬ng tr×nh - bÊt ph¬ng tr×nh chøa c¨n thøc vµ ph¬ng ph¸p gi¶i M«n : To¸n Khèi : 9 ®¸nh gi¸, xÕp lo¹i cña Phßng gi¸o dôc vµ ®µo t¹o (NhËn xÐt, ®¸nh gi¸ xÕp lo¹i, ký vµ ®ãng dÊu) .......................................................................................................................... ........................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... ........................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... ........................................................................................................................... .......................................................................................................................... t¸c gi¶ :........................................................................ §¬n vÞ c«ng t¸c : ....................................................................................... A. ®Æt vÊn ®Ò 2 Trong ch¬ng tr×nh d¹y to¸n nãi chung cña trung häc c¬ së, cã rÊt nhiÒu vÊn ®Ò mµ ngêi d¹y chóng ta cÇn quan t©m, ®¸nh gi¸ vµ suy nghÜ ®Ó tõ ®ã t duy tæng hîp, tiÕn hµnh thùc hiÖn ¸p dông viÖc ®æi míi gióp cho viÖc gi¶ng d¹y cña thÇy hiÖu qu¶ h¬n, viÖc tiÕp thu cña trß dÔ dµng h¬n vµ häc trß høng thó víi viÖc häc tËp ë tr êng. Qua nghiªn cøu ch¬ng tr×nh gi¶ng d¹y t«i nhËn thÊy trong ph©n m«n §¹i sè líp 9 phÇn bµi tËp liªn quan ®Õn c¨n thøc vµ c¸c phÐp biÕn ®æi cña c¨n thøc ®Æc biÖt lµ c¸c d¹ng to¸n vÒ ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh chøa c¨n thøc ®èi víi häc sinh khi thùc hiÖn rÊt khã kh¨n, trong mét sè ®Ò thi häc sinh giái c¸c cÊp th× d¹ng to¸n liªn quan ®Õn gi¶i ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh chøa c¨n thøc lµ nh÷ng bµi to¸n hay vµ khã. Trong nh÷ng n¨m gÇn ®©y, viÖc ®æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc lµ mét yªu cÇu b¾t buéc ®èi víi tÊt c¶ c¸c m«n häc, cô thÓ chóng ta ph¶i ¸p dông linh ho¹t c¸c ph¬ng ph¸p ®Ó t¹o cho häc sinh häc tËp cã hÖ thèng, tù gi¸c trong viÖc nghiªn cøu lý thuyÕt còng nh t×m tßi lêi gi¶i, ph¸t triÓn tÝnh s¸ng t¹o cña häc sinh trong viÖc vËn dông c¸c kiÕn thøc ®· häc ®Ó kh¸m ph¸ lêi gi¶i cña c¸c bµi tËp, thèng kª vµ ®a chóng vÒ mét sè d¹ng c¬ b¶n trªn c¬ së ®ã thùc hiÖn viÖc gi¶i to¸n mét c¸ch dÔ dµng h¬n. Qua qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y c¸c ®èi tîng häc sinh, t«i ®· thùc hiÖn viÖc tæng hîp mét sè d¹ng to¸n vÒ ph¬ng tr×nh - bÊt ph¬ng tr×nh chøa c¨n thøc vµ ph¬ng ph¸p gi¶i, bíc ®Çu ®· ®¹t ®îc nh÷ng kÕt qu¶ nhÊt ®Þnh. T«i m¹nh d¹n tæng hîp vµ viÕt s¸ng kiÕn kinh nghiÖm “ Mét sè d¹ng ph¬ng tr×nh – bÊt ph¬ng tr×nh vµ ph¬ng ph¸p gi¶i” trong khu«n khæ cña ch¬ng tr×nh to¸n trung häc c¬ së nh»m mong muèn ®îc c¸c ®ång nghiÖp tham kh¶o vµ cho ý kiÕn. B. gi¶I quyÕt vÊn ®Ò Mét trong nh÷ng ®iÒu cÇn lu ý nhÊt ®èi víi ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh chøa c¨n lµ tÝnh kh«ng thuËn nghÞch cña c¸c phÐp to¸n. Nh×n chung nh÷ng d¹ng ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh c¬ b¶n lµ c¸c ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh cã thÓ ®a vÒ ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh ®¹i sè bËc nguyªn. V× vËy cÇn lu ý ®Õn ®iÒu kiÖn cã nghÜa cña biÓu thøc. VÝ dô 1: A(x) = (1 + x )2 + (1 - x )2 vµ B(x) = 2 + 2x th× A(x) = B(x) chØ ®óng khi x > 0 VÝ dô 2: XÐt ph¬ng tr×nh 4 A( x) = B(x) (1) th× ®iÒu kiÖn ®èi víi B(x) lµ quan träng. NÕu cha biÕt th«ng tin ®èi víi B(x) th× kh«ng thÓ viÕt: (1)  A(x) = B(x) 4 3 B(x)  0 VÝ dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh 4 x  1 = 1 x Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 1 (2) NÕu chØ dùa vµo phÐp tÝnh biÕn ®æi ta sÏ thÊy:  x 1  (2)  x - 1 = (1 - x)2    x 2  Do vËy, trong mäi trêng hîp, cÇn ph¶i xem xÐt ®iÒu kiÖn cã nghÜa cña ph¬ng tr×nh mét c¸ch chi tiÕt, sau ®ã míi tiÕn hµnh c¸c phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng. 1. Quy t¾c gi¶n íc: Kh¸c víi c¸c biÓu thøc ®¹i sè bËc nguyªn khi mét thõa sè kh¸c kh«ng, ta cã thÓ gi¶n íc hoÆc ®Æt thõa sè chung. §èi víi biÓu thøc chøa c¨n, cÇn ®Æc biÖt lu ý tíi ®iÒu kiÖn cã nghÜa. ( x  1)) x + ( x  2) x = x ( x  3) Bµi to¸n 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: Gi¶i: §iÒu kiÖn cã nghÜa: (x - 1)x  0 x 2 (x - 2)x  0  x=0 x(x + 3)  0 x - 3 1) x = 0 lµ mét nghiÖm. 2) XÐt x  2 khi ®ã cã thÓ gi¶n íc hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cho x x  1 + x  2 = x 3  2x - 3 + 2 ( x  1)( x  2) = x + 3  2 ( x  1)( x  2) = 6 - x 6 - x 0 x 6    x =  28 4 (x2 - 3x + 2) = 36 - 12x + x2 KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn x  2 ta ®îc nghiÖm x = 3 3x2 = 28 28 3 3) XÐt x  - 3 khi ®ã viÕt ph¬ng tr×nh ®· cho díi d¹ng: (1  x )( x ) + ( 2  x )( x ) = ( x )( x  3) Gi¶n íc 2 vÕ cho  x 1 x + 2  x =  3  x Trêng hîp nµy ph¬ng tr×nh v« nghiÖm v× vÕ tr¸i lín h¬n vÕ ph¶i. Tãm l¹i: ph¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm x = 0 vµ x = 28 3 2. Quy t¾c thay gi¸ trÞ: Sö dông h»ng ®¼ng thøc: (u + v) 3 = u3 + v3 + 3uv (u +v) Tõ biÓu thøc u + v = a dÔ dµng suy ra: u3 + v3 + 3uva = a3 Tuy nhiªn, phÐp thÕ gi¸ trÞ u + v = a nµy vµo biÓu thøc lËp ph¬ng cã thÓ dÉn ®Õn mét phÐp b×nh ph¬ng vµ phÐp biÕn ®æi kh«ng cßn lµ phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng. Bµi to¸n 2: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: 3 x + 3 3  x  m (1) Gi¶i: (1)  3 3  x  m - 3 x  3 - x  m3 - 3m2 3 x + 3m 3 x 2 - x  3m 3 x 2 - 3m2 3 x + m3 - 3  0 1) m = 0,  x lµ nghiÖm. 2) m  0 xÐt tam thøc bËc hai: f(t) = 3mt2 - 3m2t + m3 - 3, víi t = 3 x = 9m4 - 12m(m3 - 3) = - 3m4 + 36m = - 3m(m3 - 12) 4 m 0 -0 3 + 12 0 - a) NÕu m < 0 th× < 0 => f(t)  0, t . VËy x lµ nghiÖm b) NÕu 0 < m  3 12 th× f(t)  0 => 3m 2   6m 2  t  3m   6m Tõ ®ã ta ®îc  3m 2    3   x   6m     3m 2    3     6m   c) m > 3 12 th×  < 0 => f(t) > 0 t , bÊt ph¬ng tr×nh v« nghiÖm Bµi to¸n 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 3 2  x  x 2 + 3 2  x  x 2 = 3 4 Gi¶i: LËp ph¬ng hai vÕ ta ®îc: 4 + 3 3 2  x  x2 . 3 2  x  x2 ( 3 2  x  x2 + 3 2  x  x2 ) = 4 VËy ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng víi: 3 2  x  x2 + 3 2  x  x2 = 3 4 3 3 2  x  x2 . 3 2  x  x2 = 0 V× 3 2x x 2 > 0 nªn suy ra: 3 2 x x = 0 => 2  x 1   x  2 Hai gi¸ trÞ nµy ®Òu tho¶ m·n ph¬ng tr×nh ®· cho. 3. PhÐp h÷u tØ ho¸: Mét trong nh÷ng ph¬ng ph¸p c¬ b¶n ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh chøa c¨n lµ chuyÓn bµi to¸n ®· cho vÒ d¹ng h÷u tû (bËc nguyªn) b»ng c¸ch ®Æt Èn phô. Bµi to¸n 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 4 x  1 = (a 4 x - 4 x  1 )x Gi¶i: §iÒu kiÖn x  0 NhËn xÐt: a , x = 0 kh«ng lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. Chia 2 vÕ cña ph¬ng tr×nh cho x 4 x , ta ®îc:  x  1  x  5 4 = a (1) + NÕu a 1 ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. + XÐt a > 1 khi ®ã (1)  x 1 x Bµi to¸n 5: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 4 Gi¶i: §iÒu kiÖn 1  x  5; §Æt Khi ®ã: 2 2 x = (y + )4 + 1, 4 5 x = 4 4 x 1 4  (y   (y + 2 2 2 4 ) 2 2 2 +y+ )2 - (y - 2 2 = 2 )2 2 + 2(y2 - VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = ( 4 5 + 5 x a 1 =y 4  (y  Thay vµo (1) ta ®îc ph¬ng tr×nh: 4 1 4 =a5  x= x 1 + 2 2 = 2 ,- 2 2 (1) y  2 2 )4 + (y - 2 2 ) 2 = 4  2y4 + 6y2 - 2 2 4  ) 2 2 5 2 2 2 4 ) 2  (y+ 1 2 4 +1=5 )4 = 4 7 2 = 0 => y =  2 2 x2= (- 2 2 4  ) 2 2 +1=1 6  2x 6  2x Bµi to¸n 6: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: 2( 1  x  x )  4 1  x + 4 x Gi¶i: §iÒu kiÖn 0  x  1 ViÕt bÊt ph¬ng tr×nh ®· cho díi d¹ng: ( 4 1  x + 4 x )2 + ( 4 1  x - 4 x )2  4 1  x + 4 x (1) 4 4 §Æt 1  x + x = y 4 1 x  1 - x Do Nªn: y  1 suy ra y2  y 4 x x Do vËy ( 4 1  x + 4 x )2  4 1  x + 4 x VËy (1) lu«n lu«n ®óng. Suy ra nghiÖm lµ ®o¹n  0;1 4. PhÐp chuyÓn vÒ hÖ: (h÷u tØ ho¸ gi¸n tiÕp) Nh×n chung, c¸c ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh chøa c¨n thøc ®Òu cã thÓ chuyÓn ®îc vÒ mét hÖ h÷u tØ. Tuy nhiªn, kh«ng ph¶i khi nµo còng cho thÊy tÝnh u viÖt cña hÖ nhËn ®îc. Th«ng thêng, phÐp to¸n chuyÓn vÒ hÖ sÏ cã hiÖu qu¶ khi c¸c phÐp to¸n ®ã cã sö dông c¸c h»ng ®¼ng thøc quen biÕt. Bµi to¸n 7: Gi¶i ph¬ng tr×nh Gi¶i: §iÒu kiÖn: -5 < x < 5; §Æt Khi ®ã ta ®îc hÖ: u2 + v2 = 10 - 4 - 4 + 2(u + v) = 8 u v 3 (u + v)2 = 10 + 2uv  (u + v)(1 - 2 ) = 4 uv §Æt tiÕp 2 uv Ta ®îc hÖ: = t  uv 3 = 2 t + 5 x 5 x =u; 5 x 5 x = 8 3 =v;0 4 t 16 9(1  t ) 2 (u + v)2 = 10 + (u + v)2 = uv = 2 t VËy t ph¶i tho¶ m·n ph¬ng tr×nh 16 9(1  t ) 2 = 10 + 4 t  8t = 45t(1 - t)2 + 18(1 - t)2  45t3 - 72t2 + t + 18 = 0  15 (3t3 - 2t2) - 14 (3t2 - 2t) - 9(3t - 2) = 0  (3t - 2) (15t2 - 14t - 9) = 0 t = 2 => uv = 3 3  t= 7  2 46 15 => uv = 30 7  2 46 = a1 VËy u,v lµ nghiÖm cña mét trong hai hÖ sau: (u + v)2 = 10 + 2uv = 16 u 1 = 3 ; v1 = 1 (1) => (u - v)2 = 10 - 2uv = 4 u 2 = 1 ; v2 = 3 u3 = 6 1 2 ( 10  2a1  10  2a1 ) (u + v)2 = 10 + 2a1 (2) v3 = 1 2 u4 = 1 ( 10  2a1  10  2a1 ) 2 1 ( 10  2a1  10  2a1 ) 2 => (u - v)2 = 10 - 2a1 v4 = ( 10  2a1  C¸c nghiÖm nµy ®Òu tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (*) Suy ra nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ: x = 5 - u k2 , k = 1,2,3,4 Bµi to¸n 8: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x2 - 2x = 2 2 x  Gi¶i: §iÒu kiÖn x  1 2  §Æt 2 x  1 =  y + . Chän  ,  ®Ó x2 - 2x = 2 (  y +  ) (  y +  )2 = 2x - 1 Lµ hÖ ®èi xøng: LÊy  = 1,  = -1 (*) y=x x2 - 2x = 2(x - 1)  x2 - y2 = 0 1 hÖ : Ta ®îc hÖ: x2 - 2x = 2(y - 1) ( x  1 , y  1) y2 - 2y = 2(x - 1) 2 2 - 2x = 2(y - 1) x  (x2 - 2x) - (y2 - 2y) = 2(y - 1) - 2(x - 1) x2 - 2x = 2(y - 1) 10  2a1 ) y=-x x2 - 2x = 2(- x - 1) y=x  x=y=2  2 x2 - 4x + 2 = 0 y = -x ( v« nghiÖm) 2 x = -2 §èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn cña hÖ (*) ta ®îc nghiÖm duy nhÊt cña ph¬ng tr×nh : x=2+ 2  Bµi to¸n 9: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2 x + Gi¶i: §iÒu kiÖn 0 x  2 §Æt 2 x = u 4 x =v 0 u  u+v= 1 sÏ ®îc hÖ 2 4 x = 1 2 0 v  4 2 1 u=( - v) 2 ; 2  u2 + v4 = 2 ( Gi¶i ph¬ng tr×nh (1): v4 + v2 - 2  (v4 + 2v2 + 1) - (v2 +  (v2 + 1)2 - (v + 1 2 1 2 1 =2 2 + 1)=0 2 v+ 2 v - v)2 + v4 = 2 )2 = 0 7 (1) 1 1  (v2 + v + 1 + 2 )(v2 - v + 1 - 2 ) = 0 VÕ tr¸i lu«n lu«n d¬ng, vËy ph¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm. 5. Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: (phÐp ®Æt Èn phô kh«ng toµn phÇn) Mét trong nh÷ng néi dung khã nhÊt cña lo¹i ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh chøa c¨n chÝnh lµ x¸c ®Þnh tiªu chuÈn ®Ó mét biÓu thøc chøa c¨n cã thÓ ph©n tÝch ®îc thµnh nh©n tö. Tuy nhiªn, dùa vµo ®Æc thï riªng cña tõng bµi, cã thÓ xem mét bé phËn thÝch hîp cña biÓu thøc ®· cho nh mét biÕn sè ®éc lËp vµ ph©n tÝch chóng theo biÕn phô ®ã. Bµi to¸n 10: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 4 1  x - 1 = 3x + 2 1  x + 1  x (1) Ph©n tÝch: Coi 1  x = t nh biÕn ®éc lËp. Khi ®ã viÕt (1) díi d¹ng: 4 1  x - 1 = 3(1 - t2 ) + 2t + t 1  x (2)  3t2 - (2 + 1  x ) t + 4( 1  x - 1) = 0 Còng nh vËy, nÕu coi 1  x = t lµ Èn phô míi th× còng cã mét ph¬ng tr×nh t¬ng tù. Tuy nhiªn, sù may m¾n ®Ó gi¶i ®îc ph¬ng tr×nh (2) theo tam thøc bËc hai cña t qu¶ lµ Ýt x¶y ra. §ã chÝnh lµ ®iÓm nót quan träng nhÊt trong ph¬ng ph¸p ®Æt Èn sè phô kh«ng toµn phÇn: Th«ng thêng, tríc khi gi¶i, ta cÇn xÐt biÓu diÔn cña sè h¹ng 3x díi d¹ng tæ hîp cña 2 sè: ( 1  x )2 ; ( 1  x )2 ; 3x =  (1 - x) +  (1+ x) +  Vµ chän  ,  ,  thÝch hîp ®Ó tam thøc theo biÕn t cã biÖt thøc  = 0. Gi¶i: §iÒu kiÖn -1  x 1 (1) §Æt 1  x = t 3x = - (1 - x) + 2 (1 + x) - 1 = - t2 + 2(x + 1) - 1 Khi ®ã ph¬ng tr×nh (1) cã d¹ng 4 1  x - 1 = - t2 + 2(x + 1) - 1 + 2t + t 1  x  t2 - (2 + 1  x )t + 4 1  x - 2(1 + x) = 0 (3)  = (2 - 3 1  x )2 Suy ra (3)  (t - 2 1  x ) (t - 2 + 1  x ) = 0 t = 2 1 x x=- 3 1 x = 2 1 x 2    5 t = 2 - 1 x x=0 1 x = 2 - 1 x C¶ hai gi¸ trÞ ®Òu tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (1). VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lµ x = 0 vµ x=- 3 5 6. PhÐp gi¶i vµ biÖn luËn: ViÖc gi¶i ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh chøa c¨n thøc cã tham sè thêng ®îc tiÕn hµnh theo ®Æc thï cña tõng bµi cô thÓ ®Ó t×m c¸ch gi¶i tèi u. §Ó cã mét c¸ch hÖ thèng c¸c bíc, ta s¾p xÕp viÖc biÖn luËn theo tr×nh tù díi ®©y: Bµi to¸n 11: Gi¶i vµ biÖn luËn bÊt ph¬ng tr×nh (1) x2  1  x – m Ph©n tÝch: C¸c ®iÓm ®Æc biÖt: x =  1, x = m -1 1 m Tõ ®ã, suy ra phÐp biÖn luËn theo sù ph©n bè cña m. Gi¶i: §iÒu kiÖn x 1 x - 1 1) m = 1 (1)  x2  1  x - 1 a) x - 1  0 => x  1. Suy ra x  - 1 lµ nghiÖm b) x - 1  0 => x  1 BÊt ph¬ng tr×nh (1)  x2 - 1  x2 - 2x + 1  x  1 VËy x  1 Lµ nghiÖm 8 x - 1 2) m = -1 (1)  x 2  1  x + 1 (2) a) x  - 1 lµ nghiÖm b) XÐt x > - 1. BÊt ph¬ng tr×nh (2)  x2 - 1  x2 +2x +1  x  -1 (lo¹i) VËy x  -1 lµ nghiÖm 3) m < -1 a) x < m lµ nghiÖm b) XÐt x  m khi ®ã bÊt ph¬ng tr×nh (1)  x2 -1  x2 - 2mx + m2  2mx  m2 + 1  x  VËy x  m2 1 2m m2 1 2m => m  x  m2 1 2m lµ nghiÖm. 4) -1 < m < 1 a) x  -1 lµ nghiÖm b) XÐt x  1 BÊt ph¬ng tr×nh (1)  x2 -1  x2 -2mx + m2  2mx  m2 + 1 (*) + -1 < m  0 th× ( * ) v« nghiÖm + 0 < m < 1 th× ( * )  x  VËy x  -1 x  m2 1 2m m2 1 2m tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x  1 lµ nghiÖm . 5) m > 1 a) x  -1 lµ nghiÖm b) XÐt x  m BÊt ph¬ng tr×nh (1)  x  m2 1 2m kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x  m. VËy x  -1 lµ nghiÖm. Bµi to¸n 12: Gi¶i vµ biÖn luËn bÊt ph¬ng tr×nh sau: ( x  m)( x  m  2)  2x - m - 1 (1) Gi¶i: (1)  ( x  1)  (m  1)  2(x - 1) - (m - 1) (1') §iÒu kiÖn ®Ó c¨n thøc cã nghÜa: x 1 + m  1 (2) x 1 - m  1 1) XÐt 2(x - 1) - (m - 1)  0  x  1 + m  1 kÕt hîp víi (2) th× (1) cã nghiÖm: 2 2 x 1 - m  1 2) XÐt 2(x - 1) - ( m - 1) > 0  x > 1 + 2 m 1 kÕt 2 hîp víi (2) ta ®îc x > 1 khi m = 1 vµ x  1 + m  1 khi m  1 khi ®ã : (1)  (x - 1)2 - (m - 1)2  4(x - 1)2 - 4(m - 1) (x - 1) + (m - 1)2  3(x - 1)2 - 4(m - 1) (x - 1) + 2(m - 1)2  0  (x - 1)2 + 2 (x - 1) - (m - 1) 2  0 x=1 m=1 Trêng hîp nµy v« nghiÖm   x-m=0 x=1 KÕt luËn:  m bÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x  1 - m  1 Bµi to¸n 13: Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh: x2 + m = x  m Gi¶i: §iÒu kiÖn: x  m §Æt x  m = y th× x = y2 + m ta ®îc hÖ y 0 x2 + m = y x2 + m = y 9 x = y2 + m x  m; y  0  (x - y)(x + y + 1) = 0 x  m; y  0 y=x x2 - x + m = 0 (1) x  m; y  0 y = -1 - x  x2 + x + m + 1 = 0 (2) x  m; y  0 1) Gi¶i hÖ (1) a) NÕu m < 0 th× (1) cã nghiÖm x = y = 1  1  4m 2 b) NÕu m  0 th× ®iÒu kiÖn ®Ó (1) cã nghiÖm lµ  = 1 - 4m  0  0  m  Khi ®ã x - m = x2  0 => x  m vµ hÖ (1) cã nghiÖm x = y = 2) Gi¶i hÖ (2) a) m + 1 > 0  m > -1 kh«ng x¶y ra v× x>m y = -1 - x > 0 b) NÕu m + 1  0 th× (2) x= y=  x= y= Trêng hîp nµy hÖ v« nghiÖm.  1  3  4m 2  1   3  4m 2  1   3  4m 2  1   3  4m 2 1 4 1 4 th× ph¬ng tr×nh cã . th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. Bµi to¸n 14: Gi¶i vµ biÖn luËn: a x 3  1 = x2 + 2 Gi¶i: §iÒu kiÖn: x  1 ViÕt ph¬ng tr×nh díi d¹ng a ( x  1)( x  x  1) = (x2 + x + 1) - (x - 1)  a ( x  1)( x  x  1) = ( x 2  x  1) 2  ( x  1 )2 2 2  a §Æt x 1 = 1 – ( 2 x  1 )2 x  x 1 x  x 1 x 1 = y (1); 0  y   3  2 3 2 3 x  x 1 2 CÇn x¸c ®Þnh a ®Ó ph¬ng tr×nh : f(y) = y2 + ay - 1 = 0 (2) cã nghiÖm trong   0;   32 3   3  v× f(0) = -1 nªn (2) lu«n lu«n cã mét nghiÖm nhá h¬n 0. VËy (2) cã nghiÖm trong   0;   32 3   3  khi vµ chØ khi f (  3 2 3 3 ) 0  a  10 2( 3  1)  3 2 3 (3) Khi ®ã ph¬ng tr×nh ®· cho t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh : x 1 = 2 x  x 1 y x= 1  y 2   3y 4  6 y 2  1 2y2 KÕt luËn 2( 3  1) i) Víi a <  3 2 3 x=  a  a2  4 2 ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. 2( 3  1) ii) Víi a  Víi y =  3 2 3 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: 1  y 2   3y 4  6 y 2  1 2y 2 víi y =  a  a2  4 2 bµi tËp ¸p dông Bµi 1: Gi¶i vµ biÖn luËn c¸c ph¬ng tr×nh 1) 3 x  a - 3 x  b = c 2) x 2  ax  1 = ax + 1 3) x  ax  1 = x  1 + x 4) 4 x  1 + 4 2  x = a Bµi 2: Gi¶i vµ biÖn luËn c¸c bÊt ph¬ng tr×nh 1) x  a + x  1  a  1 2) x( x  a) + x( x  a)  x 2 2 3) 1 x 2 - 1 a 3 x 4) x  a - x  a  2 x  a Bµi 3: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh 1) x 3  1 = x2+3x -1 2) x + 4 x(1  x) 2 + 4 (1  x) 3 = 1  x + 4 x 3 + 4 3) 2x2 - 6x - 1 = 4 x  5 4) 1+x - 2x2 = 4 x 2  1 - 2 x  1 Bµi 4: Gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh 1) 4 4 x  1  x 2) 1  x 2 ( 1  x 2 + 2 x )  1 - 2x - x2 3) x2 + 2  8 x  8 4) x2 - 2x - 1  2(1 - x) x 2  2 x  1 Bµi 5: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: 1) x + x  1 = 13. 2) 2x2 + 3x + 2 x 2  3x  9 = 33. 3) x  3  4 x  1 + x  8  6 x  1 = 1. 4) 3x 2  6 x  7 + 5 x 2  10 x  14 = 4 – 2x – x2. Bµi 6: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: 1) 2 x  5 + 3 x  5 = 2. 2) 1  x x  4 = x + 1. 2 3) 3 x 3x = 1  1 4  22 . 9 x 9 x 4) x – 5 + x  6 = 7. Bµi 7: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: 1) 3 x  45 - 3 x  16 = 1. 2) x + 4 x = 12. 2 2 11 x 2 (1  x) 3) 2 3 x 2 - 3 3 x = 20. 4) x  3  2 x  4 + 2x  2 x2 5) 6) x3 x  1 3 x2  1 x2 2x  2 - 3 x2  1 3 x 1 x 4 = 7 12 x 4 = 1. . = 4. c. KÕt luËn C¸ch ®a c¸c bµi to¸n vÒ mét sè d¹ng ®Ó cã ph¬ng ph¸p gi¶i hîp lý ®· gióp cho häc sinh nhËn d¹ng bµi to¸n nhanh h¬n, ph¶n øng tríc c¸c bµi to¸n nh¹y c¶m h¬n, lµm cho t duy cña häc sinh ho¹t ®éng mét c¸ch linh ho¹t, ph¸t huy tÝnh ®éc lËp s¸ng t¹o vµ t¹o høng thó cho häc sinh häc tËp cã kÕt qu¶. §Ó thùc hiÖn c«ng viÖc nµy ®ßi hái ngêi thÇy ph¶i tham kh¶o nhiÒu tµi liÖu, ph¶i dµnh thêi gian hîp lý vÝ dô ë c¸c giê häc chÝnh kho¸, giê häc ngo¹i kho¸, giê häc tù chän, giê thùc hµnh ...... vµ ph¶i thùc sù say mª m«n To¸n víi c¸c c¨n thøc ®Çy hãc bóa. HÖ thèng ho¸ ®îc c¸c kiÕn thøc liªn quan ®Õn phÐp biÕn ®æi c¨n thøc, mét sè kü n¨ng biÕn ®æi mang tÝnh ®Þnh lîng vµ cßn cã thÓ lµ c¶ c¸ch ®Æt sao cho phï hîp nhÊt. §èi víi häc trß cÇn ph¶i n¾m ch¾c kiÕn thøc vÒ nhiÒu m¶ng liªn quan nh c¸c phÐp biÕn ®æi c¨n thøc, ®iÒu kiÖn cã nghÜa cña biÓu thøc trong c¨n, mét sè phÐp biÕn ®æi ®¹i sè . Trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y t«i nhËn thÊy vai trß cña ngêi thÇy trong viÖc t¹o høng thó häc tËp cho häc sinh trong c¸c giê häc lµ ®Æc biÖt quan träng, chóng ta ph¶i lu«n lu«n ®a häc sinh vµo trong c¸c t×nh huèng cã vÊn ®Ò ®Ó c¸c em t duy, suy nghÜ nhng l¹i ph¶i tr¸nh nhµm ch¸n, lÆp l¹i. Muèn vËy, chóng ta ph¶i mÊt nhiÒu thêi gian cho c«ng viÖc chuÈn bÞ gi¸o ¸n, ®Æt ra c¸c t×nh huèng vµ ph¬ng ¸n gi¶i quyÕt t×nh huèng trong mçi d¹ng bµi tËp mµ m×nh ®· tæng hîp, lµm cho c¸c bµi tËp dÔ trë nªn thËt ®¬n gi¶n, mµ khã trë nªn dÔ dµng h¬n. MÆt kh¸c trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y chóng ta ph¶i biÕt ®éng viªn khuyÕn khÝch, khÝch lÖ häc sinh tham gia t×m tßi s¸ng t¹o, s¸ng t¹o l¹i nh÷ng kiÕn thøc, kü n¨ng ®· ®îc tiÕp thu, nghiªn cøu. Mçi thÇy, c« gi¸o nªn dïng ph¬ng ph¸p biÓu d¬ng sù cè g¾ng cña c¸c em, tr©n träng thµnh qu¶ lao ®éng s¸ng t¹o cña c¸c em dï lµ rÊt nhá. Trªn ®©y lµ mét sè d¹ng ph¬ng tr×nh – bÊt ph¬ng tr×nh vµ ph¬ng ph¸p gi¶i mµ trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y vµ nghiªn cøu tµi liÖu t«i ®· tæng hîp ®îc. T«i rÊt mong nuèn c¸c b¹n ®ång nghiÖp tham kh¶o vµ gãp ý vÒ c¶ néi dung vµ ph¬ng ph¸p ®Ó gióp cho s¸ng kiÕn cña t«i ngµy cµng hoµn thiÖn h¬n vµ nã thùc sù gióp cho viÖc häc tËp cña häc sinh theo ph¬ng ph¸p míi ngµy cµng hiÖu qu¶./. T«i xin tr©n träng c¶m ¬n! 12