Tài liệu Skkn một số cách giải bài toán lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ CÁCH GIẢI BÀI TOÁN LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU I ./ ĐẶT VẤN ĐỀ Như chúng ta đã biết Hình học là môn học rất khó đối với nhiều học sinh, mà đặc biệt là hình học không gian, đa số các em không biết nối kết hình học tổng hợp với hình học giải tích. Mặc dù ở các lớp thuộc ban khoa học tự nhiên học theo chương trình nâng cao nhưng các em vẫn còn rất yếu về hình học. Cụ thể để giải một số bài toán khó trong chương trình Hình học nâng cao 12 , ở chương III “Phương pháp toạ độ trong không gian”, đòi hỏi phải nắm vững các kiến thức hình học không gian ở lớp 11. Qua nhiều năm giảng dạy, tôi nhân thấy các em thường áp dụng một cách máy móc cách giải của một số bài toán mà các sách bài tập đã trình bày, chưa biết kết nối giữa hình học tổng hợp với hình học giải tích. Vì vậy, khi gặp phải bài toán “Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau”, các em thường lúng túng khi giải quyết bài toán này có những học sinh thì làm được nhưng còn mơ hồ về đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau, không nối kết được kiến thức đường vuông góc chung đã học ở môn Hình học 11 vào bài toán này. Chính vì vậy, tôi xin trình bày một số cách để giải bài toán “Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau”, nhằm mục đích giúp học sinh định hướng giải quyết bài toán trên một cách hợp lý tùy theo từng điều kiện cụ thể. II./ QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP: 1. Lý thuyết a. Định nghĩa : Cho hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 . Đường thẳng D cắt cả d1 và d2 đồng thời vuông góc với cả d1 và d2 được gọi là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1 và d2 . b. Các định lý : b.1- Hai đường thẳng chéo nhau có một và chỉ một đường vuông góc chung. b.2- Nếu d1, d2 là hai đường thẳng chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia. 2. Bài toán Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 . Lập phương trình đường thẳng D là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 . Bài giải: r Trong bài này ta giả sử đường thẳng d1 qua A(xA ;yA ;z A) có vectơ chỉ phương (VTCP) a , r đường thẳng d2 qua B(xB ;yB ;z B) có VTCP b a. Trường hợp đặc biệt : d1 ^ d 2 Ta có cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 như sau: d2 + Dựng mp (P): (P) É d1 và (P) ^ d 2 tại M + Dựng MN : MN ^ d1 tại N + Đường thẳng MN là đường vuông góc chung của d1 và d2 P M N d1 Chứng minh : “Đường thẳng MN là đường vuông chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2” Ta có: d1 ^ MN tại N và d 2 ^ MN tại M nên MN là đường vuông chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 Nên ta có cách lập phương trình đường vuông góc chung trong trường hợp d1 ^ d 2 này là: d2 B1: Lập phương trình mp(P) : (P) É d1 và (P) ^ d 2 r u B2: Tìm M: M = (P) Ç d 2 r r r B3: Khi đó D là đường thẳng qua M và có VTCP u = éëa, b ùû M P d1 b. Trong các trường hợp khác ta có thể sử dụng một trong các cách sau Cách 1: r r B1. Tìm vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng d1 là a , VTCP của d2 là b r r r r r r r B2. Tìm u = éëa, b ùû khi đó u ^ a và u ^ b d1 B3. Lập phương trình của : d2 r r Mặt phẳng (P) sao cho :(P) É d1 và (P) có cặp VTCP ( a, u ) r r Mặt phẳng (Q) sao cho :(Q) É d2 và (Q) có cặp VTCP ( b, u ) · · r u P Q B4. Ta có : D = (P) Ç (Q) Phương trình của đường thẳng D được lập từ giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Ta chứng minh D là đường vuông góc chung của d1 và d2 r r r Ta có : u ; a ; b lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng D , d1 và d2 r r r r Mà u ^ a và u ^ b nên d1 ^ D và d 2 ^ D r r D = (P) Ç (Q) và (P) É d1 nên d1 và D đồng phẳng mà u ; a không cùng phương nên D cắt d1 r r D = (P) Ç (Q) và (Q) É d2 nên d2 và D đồng phẳng mà u ; b không cùng phương nên D cắt d2 Vậy D là đường vuông góc chung của d1 và d2 Cách 2: B1. Lấy điểm M ( x M ; y M ; z M ) Î d1 , lấy điểm N ( x N ; y N ; z N ) Î d 2 uuuur Khi đó MN = (x N - x M ; y N - y M ; z N - z M ) d1 M r a B2: Đường thẳng MN là đường vuông góc chung của d1 và d2 uuuur r uuuur r ìïMN ^ a ìïMN.a = 0 Û í uuuur r Û í uuuur r ïîMN ^ b ïîMN.b = 0 Giải hệ này sẽ tìm toạ độ của hai điểm N và M B3: Đường thẳng D là đường thẳng MN N d2 r b Ta chứng minh D là đường vuông góc chung của d1 và d2 uuuur r ìï MN ^ a Ta có í uuuur r nên d1 ^ D và d 2 ^ D ïî MN ^ b D Ç d1 = M và D Ç d 2 = N Vậy D là đường vuông góc chung của d1 và d2 Cách 3: r r r r r r r B1: Tính u = éëa, b ùû khi đó u ^ a và u ^ b r r B3: Tìm M: M = d 2 Ç (P) d1 D B2: Lập phương trình mặt phẳng (P):(P) É d1 và (P) có cặp VTCP ( a, u ) P r u r r r B4: Khi đó D là đường thẳng qua M và có VTCP u = éëa, b ùû d2 M Ta chứng minh D là đường vuông góc chung của d1 và d2 r r r r Vì u ^ a và u ^ b nên d1 ^ D và d 2 ^ D D Ç d2 = M r r D là đường thẳng qua M và có VTCP u và M Î (P) , (P) có VTCP u nên D Ì (P) r r d1 , D đồng phẳng và u ; a không cùng phương nên d1 cắt D. Vậy D là đường vuông góc chung của d1 và d2 Cách 4: ìd1 Ì (P) îd 2 / /(P) B1: Lập phương trình mp(P): í D d2 B2: Lập phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d2 lên (P) B3: Tìm M = d 'Ç d1 r r u r r B4: Khi đó D là đường thẳng qua M và có VTCP u = éëa, b ùû P M d1 d’ Cách này có được từ cách dựng đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau ở Hình học 11 + Do d1 và d2 chéo nhau nên có duy nhất mp(P) chứa d1 và song song với d2 + d’ là hình chiếu vuông góc của (d2) lên (P) nên d’ // d2 r r + d’ và d1 đồng phẳng và có VTCP lần lượt là u ; a các vectơ này không cùng phương nên d1 cắt d’ tại M r r r + D là đường thẳng qua M và có VTCP u = éëa, b ùû + D , d2 và d’ đồng phẳng D Ç d’ = M nên D cắt d2 tại M r r r r + Vì u ^ a và u ^ b nên d1 ^ D và d 2 ^ D Vậy D là đường vuông góc chung của d1 và d2 Cách 5: d2 B1: Lấy A bất kì: A Î d1 B2: Lập phương trình mặt phẳng (P): (P) ' A, (P) ^ d1 d1 M B3: Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc d2 lên (P) B4: Tìm H là hình chiếu của A lên d’ c A B5: Viết phương trình đường thẳng c qua H và song song với d1 Khi đó: c Ç d 2 = M uuur B6: Khi đó D là đường thẳng qua M và có VTCP AH Ta chứng minh D là đường vuông góc chung của d1 và d2 + (P) ^ d1 Þ AH ^ d1 + H là hình chiếu của A lên d’ Þ AH ^ d ' Þ AH ^ d 2 uuur + D là đường thẳng qua M và có VTCP AH Þ AH / / D Suy ra : d1 ^ D và d 2 ^ D + D cắt d2 tại M + AH và D , d1 đồng phẳng , AH / /D , AH cắt d1 nên D cắt d1 D P d’ H Vậy D là đường vuông góc chung của d1 và d2 3. Ví dụ minh họa Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 có phương trình lần Ví dụ1: lượt là: ìx = 8 + t ï d1: í y = 5 + 2t ïz = 8 - t î x - 3 y -1 z -1 = = -7 2 3 và d2 : Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó Bài giải Cách 1 r Đường thẳng d1 qua A(8; 5; 8) có vectơ chỉ phương là a = (1; 2; -1) ; d2 qua B(3;1;1)có vectơ r chỉ phương là b = (-7; 2;3) r r Ta có : éëa, b ùû = (8; 4;16) Gọi D là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1 và d2 thì D có vectơ chỉ phương r u = (2;1; 4) r r Mặt phẳng (P) : (P) É d1 và (P) có cặp VTCP ( u, a ). Suy ra (P) qua A có vectơ pháp tuyến uur r r là: n1 = éë u, a ùû = (-9; 6;3) Phương trình của mp(P): 3x - 2y - z - 6 = 0 r r Mặt phẳng (Q) :(Q) É d2 và (Q) có cặp VTCP ( u, b ). Suy ra (Q) qua B có vectơ pháp tuyến uur r r n 2 = éë u, b ùû = (-5; -34;11) , phương trình của mp (Q): 5x + 34y - 11z - 38 = 0 ì x = 1 + 2t ï Khi đó : D = (P) Ç (Q) , phương trình tham số của D : í y = t ïz = -3 + 4t î Cách 2: Gọi : M Î d1 ; N Î d 2 khi đó ta có: M(8 + t;5 + 2t;8 - t); N(3 - 7t ';1 + 2t ';1 + 3t ') uuuur MN = (-5 - 7t '- t; -4 + 2t '- 2t; -7 + 3t '+ t) uuuur Giả sử đường thẳng MN là đường vuông góc chung của d1 và d2 thì MN đồng thời vuông r r góc với hai vectơ chỉ phương a và b nên ta có: uuuur r ì-5 - 7t '- t + 2(-4 + 2t '- 2t) - (-7 + 3t '+ t) = 0 ïìMN.a = 0 Ûí í uuuur r î-7(-5 - 7t '- t) + 2(-4 + 2t '- 2t) + 3(-7 + 3t '+ t) = 0 ïîMN.b = 0 ì-6t '- 6t = 6 ìt ' = 0 Ûí Ûí î62t '+ 6t = -6 î t = -1 Vậy M(7;3;9) , N(3;1;1). Suy ra đường vuông góc chung của d1 và d2 có phương trình tham ì x = 3 + 2t ï số là: í y = 1 + t ïz = 1 + 4t î Cách 3: r Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương là a = (1; 2; -1) , đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương là r r r b = (-7; 2;3) . Ta có éëa, b ùû = (8; 4;16) Gọi D là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1 và d2 thì D có vectơ chỉ phương r u = (2;1; 4) r r Mặt phẳng (P): (P) É d1 và (P) có cặp VTCP ( u, a ). Suy ra (P) đi qua A có vectơ pháp tuyến uur r r n1 = éë u, a ùû = (-9; 6;3) , khi đó phương trình mặt phẳng (P): 3x - 2y - z - 6 = 0 Gọi M = d 2 Ç (P) ì x = 3 - 7t ' ìt ' = 0 ï y = 1 + 2t ' ïx = 3 ï ï Toạ độ điểm M là nghiệm của hệ: í Ûí ïz = 1 + 3t ' ïy = 1 ïî-3x + 2y + z + 6 = 0 ïîz = 1 Vậy M(3;1;1) r Khi đó D qua M có vectơ chỉ phương u = (2;1; 4) , nên ta có phương trình tham số của đường ì x = 3 + 2t ï thẳng D là: í y = 1 + t ïz = 1 + 4t î Cách 4: r Đường thẳng d1 qua A(8;5;8) có vectơ chỉ phương là a = (1; 2; -1) , đường thẳng d2 r qua B(3;1;1)có vectơ chỉ phương là b = (-7; 2;3) . ì(P) É d1 î(P) / /d 2 Lập phương trình mp(P): í r r Mặt phẳng (P) qua A(8;5;8) có cặp vectơ chỉ phương ( a, b ) nên mp (P) có vectơ pháp tuyến r r r n = éëa, b ùû = (8; 4;16) . Khi đó mp(P) có phương trình là: 2x + y + 4z - 53 = 0 Gọi đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d2 lên mặt phẳng (P). Nên đường thẳng d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q), trong đó (Q) là mp chứa d2 và vuông góc với mp (P) r r Mặt phẳng (Q) qua B(3;1;1) và có cặp vectơ chỉ phương ( b, n ) nên mp(Q) có vectơ pháp uur r r tuyến n ' = éë b, n ùû = (5;34; -11) , mp (Q) có phương trình là: 5x + 34y - 11z - 38 = 0 ìx = 8 + t ì t = -1 ï y = 5 + 2t ïx = 7 ïï ï Gọi M = d 'Ç d1 , toạ độ điểm M là nghiệm của hệ : íz = 8 - t Ûí ï2x + y + 4z - 53 = 0 ïy = 3 ï ïîz = 9 ïî5x + 34y - 11z - 38 = 0 Vậy M(7;3;9) r r r uur Khi đó D là đường thẳng qua D và có VTCP u = éëa, b ùû = (8;4;16) hay u ' = (2;1; 4) Vậy phương trình tham số của đường thẳng ì x = 7 + 2t ï D : íy = 3 + t ï z = 9 + 4t î Cách 5: r Đường thẳng đi qua điểm A(8;5;8) có vectơ chỉ phương là a = (1; 2; -1) ; d2 qua B(3;1;1)có r vectơ chỉ phương là b = (-7; 2;3) + Gọi (P) là mặt phẳng qua A(8;5;8) và vuông góc với d1, (P) có vectơ pháp tuyến r a = (1; 2; -1) (P) : x + 2y - z - 10 = 0 + Gọi d’ là hình chiếu vuông góc của d2 lên (P) Þ d ' = (P) Ç (Q) . Với (Q) là mặt phẳng chứa r r d2 và vuông góc với (P) Þ (Q) qua B(3;1;1) có cặp VTCP ( a, b ) (Q): 2x + y + 4z - 11 = 0 Vậy d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) nên có phương trình tham số là: ì x = 4 + 3t ï í y = 3 - 2t ïz = - t î + Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên d’ uur (R) là mặt phẳng qua A và vuông góc (d’) nên (R) có vectơ pháp tuyến n R =(3;-2;-1) (R): 3x - 2y - z - 6 = 0 ì x = 4 + 3t ï y = 3 - 2t ï Khi đó : H = d 'Ç (R) . Toạ độ điểm H là nghiệm của hệ : í ïz = - t ïî3x - 2y - z - 6 = 0 ìx = 4 ï Û íy = 3 ïz = 0 î Vậy H(4; 3; 0) + Gọi c là đường thẳng qua H và c // d1 nên đường thẳng c có phương trình tham số là : ìx = 4 + t ï í y = 3 + 2t ïz = - t î + Gọi M = d 2 Ç c Þ M(3;1;1) uuur uur + Khi đó D là đường thẳng qua M và có VTCP HA =(4;2;8) hay u ' = (2;1; 4) , vậy phương trình tham số của đường thẳng D : ì x = 3 + 2t ï íy = 1 + t ïz = 1 + 4t î Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng d1 và d2 lần lượt có phương trình: ìx = t ï d1: í y = 3 ïz = 6 + t î ì x = 2 + t¢ ï d2: í y = 1 - t ¢ ï z = 2 - t¢ î a. Chứng minh rằng hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau nhưng vuông góc với nhau. b. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua d1 và vuông góc với d2. c. Lập phương trình đường thẳng vuông góc chung của d1 và d2. Hướng dẫn: r a. Đường thẳng d1 đi qua điểm A(0; 3; 6) có VTCP a = (1; 0;1) , d2 đi qua điểm B(2; 1; r 2 ) và có VTCP b = (1; -1; -1) . r r Ta thấy hai vectơ a = (1; 0;1) và b = (1; -1; -1) không cùng phương và hệ gồm hai phương của hai đường thẳng d1 và d2 vô nghiệm do đó d1 và d2 chéo nhau. rr Ta có a.b = 1.1 + 0.(-1) + 1.(-1) = 0 nên hai đường d1 và d2 vuông góc với nhau r b. Măt phẳng (P) đi qua điểm A(0; 3; 6) và có VTPT là b = (1; -1; -1) , khi đó (P) có phương trình là : x - y - z + 9 = 0 . c. (Khi làm câu c ta nên chọn trường hợp đặc biệt để giải) Gọi D là đường thẳng vuông góc chung của d1 và d2. -2 11 14 Đường thẳng d2 cắt mp(P) tại điểm M æç ; ; ö÷ è 3 3 3ø r r Ta có éë a, b ùû = (1; 2; -1) . æ -2 11 14 ö ; ; ÷ và có VTCP là è 3 3 3ø -2 ì ïx = 3 + t ï 11 ï phương trình tham số là: í y = + 2t 3 ï ï 14 ïz = 3 - t î Đường thẳng D đi qua điểm M ç r r é a, b ù = (1; 2; -1) có ë û 4. Một số bài tập rèn luyện Bài 1. Viết phương trình đường vuông góc chung của các cặp đường thẳng chéo nhau sau: a) ì x = -1 + 2t ï d1: í y = 1 + 3t ïz = 2 + t î d2 : x-2 y+2 z = = 1 5 -2 b) ìx = t ï d1: í y = 4 + t ïz = 6 + 2t î c) ì x = 3 - 4t ï d1: í y = -2 + t ï z = -1 + t î ìx = t ' ï d2 : í y = -6 + 3t ' ï z = -1 + t ' î ì x = -6t ' ï d2 : í y = 1 + t ' ïz = 2 + 2t ' î Bài 2. Cho hai đường thẳng d1 và d2 ìx = 1 - t ï d1: í y = 6 + 2t ï z = -1 î d2 : x -3 y-3 z -4 = = 2 2 3 a) Lập phương trình mặt phẳng(P) chứa d1 và song song với d2 . b) Lập phương trình hình chiếu của d2 lên mp(P). c) Lập phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2. III./ ĐÁNH GIÁ HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: Trước đây trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy, khi gặp các bài toán “viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau” các em thường lúng túng để xác định các cách giải quyết bài toán này. Trong năm học 2009 – 2010 bản thân tôi đã áp dụng các phương pháp trên vào trong bài giảng của mình, giúp các em học sinh định hướng và chọn một phương pháp cụ thể khi giải quyết bài toán viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau, và cho kiểm tra trên các lớp 12A2. 12B1 có kết quả như sau: Kiểm tra 15 phút Đề 1. Cho hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt có phương trình là ìx = 8 + t ï d1 : í y = 5 + 2t ïz = 8 - t î d2 : 3 - x y -1 z -1 = = 7 2 3 a) Chứng minh hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau.(2 điểm) b) Viết phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2. (8 điểm) ì x = 3 + 2t ï Đáp số câu b : D : í y = 1 + t ï z = 1 + 4t î Cho hai lớp kiểm tra ta thu được kết quả như sau: 1. Lớp 12A2 sĩ số: 43 Điểm 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Số lượng 10 8 8 5 3 5 4 0 0 0 2.Lớp 12B1 sĩ số: 40 Điểm 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Số lượng 1 5 7 2 5 8 5 5 2 0 Kiểm tra 20 phút Đề 1. Cho hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt có phương trình là ìx = 1+ t ï d1 : í y = -2 + t ïz = 3 - t î d2 : x y -1 z - 6 = = 1 2 3 a) Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d1 và d2. Tính góc giữa chúng.(3 điểm). b) Lập phương trình mp(P) chứa d1 và vuông góc với d1.(2 điểm) c) Lập phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2.(5 điểm) Đáp số: a) Hai đường thẳng chéo nhau . Góc giữa chúng là 90o . b) (P): x+y-z+5=0. c) Phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2 là x +1 y +1 z - 3 = = 5 -4 1 Sau khi cho hai lớp kiểm tra ta thu được kết quả như sau: 1. Lớp 12A2 sĩ số: 43 Điểm 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Số lượng 10 7 5 8 5 2 1 2 3 0 2. Lớp 12B1 sĩ số 40 Điểm 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Số lượng 3 2 6 3 7 8 5 3 2 1 IV./ KẾT LUẬN: Trên đây chỉ là tích luỹ kinh nghiệm về tìm hiểu về một số cách viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau của bản thân. Trong quá trình giảng dạy tôi đã áp dụng vào trong các lớp 12A2 và lớp 12B1 tôi nhận thấy các em phần nào hiểu được các cách giải, các em đã biết vận dụng và chọn lựa cách giải phù hợp trong từng bài toán. Với kinh nghiệm còn ít, chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót, tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến của quí thầy cô. Xin chân thành cảm ơn. Ninh sơn, ngày tháng 05 năm 2010 NGƯỜI VIẾT LÊ THỊ TUYẾT TRÂM