Tài liệu Skkn một số biện pháp khắc phục khó khăn cho học sinh khi giải bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

MỤC LỤC THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN...................................................................1 I. Điều kiện, hoàn cảnh tạo ra sáng kiến................................................................2 II. Mô tả giải pháp....................................................................................................3 1.Thực trạng trước khi tạo ra sáng kiến.................................................................3 2. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến:................................................................3 2.1. Nêu vấn đề cần giải quyết:..........................................................................3 2.2. Chỉ ra tính mới:...........................................................................................3 2.3. Sự khác biệt của giải pháp mới so với giải pháp cũ:...................................4 2.4. Cách thức thực hiện, các bước thực hiện của giải pháp một cách cụ thể, rõ ràng, cũng như các điều kiện cụ thể để áp dụng giải pháp................................4 2.4.1: Chuẩn bị các kiến thức liên quan.........................................................4 2.4.2. Nêu, phân tích và giải pháp khắc phục một số khó khăn mà học sinh thường gặp khi giải toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian......................................................................................................6 2.5. Nêu rõ khả năng áp dụng vào thực tế của giải pháp mới và mang lại lợi ích thiết thực...............................................................................................................18 2.6. Giải pháp mới này còn có thể áp dụng cho đối tượng, cơ quan, tổ chức nào nữa không ?..........................................................................................................18 III. Hiệu quả do sáng kiến đem lại:......................................................................18 1. Hiệu quả về kinh tế:.........................................................................................18 2. Hiệu quả về mặt xã hội:...................................................................................18 IV. Cam kết không sao chép hoặc vi phạm bản quyền:......................................18 TÀI LIỆU THAM KHẢO.........................................................................................19 THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN 1. Tên sáng kiến: “MỘT SỐ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC KHÓ KHĂN CHO HỌC SINH KHI GIẢI BÀI TOÁN TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN”. 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Sáng kiến được áp dụng trong giảng dạy môn Toán nội dung Hình học không gian lớp 11cho đối tượng học sinh lớp 11. 3. Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 15 tháng 10 năm 2015 đến ngày 25 tháng 04 năm 2015. 4. Tác giả: Họ và tên : Lê Thị Hà. Năm sinh: 1985 Nơi thường trú: Thôn Ba Trung-Yên Minh-Ý Yên- Nam Định. Trình độ chuyên môn: Thạc sỹ Chức vụ: Giáo viên Nơi làm việc: Trường THPT Lý Nhân Tông Điện thoại: 0979.054.196 Tỷ lệ đóng góp tạo ra sáng kiến: 100%. 5. Đồng tác giả: Không có. 6. Đơn vị áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Tên đơn vị: Trường THPT Lý Nhân Tông Địa chỉ: Xã Yên Lợi- Huyện Ý Yên – Tỉnh Nam Định Điện thoại: 03503. 963. 939 1 Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông BÁO CÁO SÁNG KIẾN I. Điều kiện, hoàn cảnh tạo ra sáng kiến. Nội dung hình học không gian thường xoay quanh ba đối tượng điểm, đường thẳng, mặt phẳng. Mở đầu nội dung hình học không gian chương II trong sách giáo khoa hình học lớp 11 ban cơ bản đã trình bày “Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng”. Mặt khác hầu hết các bài toán hình học không gian đều liên quan đến hai đối tượng này. Do vậy nếu học sinh thành thạo giải bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian thì sẽ góp phần giải quyết được rất nhiều bài toán hình học không gian khác như: bài toán tìm giao tuyến, bài toán tìm thiết diện, bài toán liên quan đến khoảng khoảng cách, bài toán phân chia và lắp ghép khối đa diện,… Như vậy nội dung của bài toán là một trong những nội dung cơ sở, nội dung mở đầu của hình học không gian, nên nó đóng vai trò quan trọng trong hình học không gian. Nếu học sinh không thành thạo bài toán này sẽ dẫn đến sự lúng túng khi học các nội dung tiếp theo (chẳng hạn như không vẽ được hình, không xác định được giao tuyến, thiết diện,..). Bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng không phải là bài toán khó trong mảng hình học không gian, nhưng không phải học sinh nào cũng thành thạo bài toán này. Trong quá trình dạy học và quan sát học sinh giải bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng tác giả thấy các em còn mắc phải một số khó khăn như: khả năng tưởng tượng hình không gian chưa tốt, chưa có con đường rõ ràng để chỉ ra mặt phẳng phụ chứa đường thẳng và cắt mặt phẳng theo giao tuyến nào đó, chưa biết cách quan sát và kiểm tra một đường thẳng có thuộc một mặt phẳng hay không … Bên cạnh đó các em còn có tâm lí tránh né các câu hình trong các bài kiểm tra cũng như trong các đề thi tập trung. Nguyên nhân của thực trạng này là do các em không có kiến thức nền tảng vững chắc về hình học không gian, chưa có phương pháp tư duy phù hợp, khả năng tư duy trừu tượng và tưởng tượng hình không gian của các em chưa tốt,… Thêm vào đó là còn một số giáo viên có quan niệm chỉ tập trung dạy phần Đại số và giải tích mà coi nhẹ phần Hình học. Với lí do phần Đại số và giải tích chiếm nhiều điểm hơn phần Hình học trong các đề thi, và cho rằng học sinh khó lấy điểm nội dung Hình học hơn là nội dung Đại số và giải tích, dẫn đến việc các em ít được rèn luyện nội dung này. Từ điều kiện hoàn cảnh như vậy tác giả đã nảy sinh sáng kiến: “Một số giải pháp khắc phục khó khăn cho học sinh khi giải bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian”. Với mong muốn giúp các em giảm bớt khó khăn khi bắt đầu làm quen với nội dung hình học không gian. Tác giả hy vọng rằng sáng siến kinh nghiệm của bản thân sẽ góp một phần nhỏ để nâng cao chất lượng giảng dạy môn Toán cho nhà trường nói riêng và cho các em học sinh nói chung. Từ đó góp phần nhỏ bé của mình nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện của trường THPT Lý Nhân Tông nói riêng của tỉnh Nam Định nói chung . 2 Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông II. Mô tả giải pháp. 1. Thực trạng trước khi tạo ra sáng kiến. Khi hướng dẫn học sinh giải bài toán tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng ( ) các giáo viên thường hướng dẫn học sinh làm theo hai cách: Cách 1: Tìm trong ( ) một đường thẳng d ' cắt d tại I. Khi đó điểm I chính là giao điểm của d và ( ) . Cách 2: Tìm một mặt phẳng phụ (  ) chứa d ' và cắt ( ) theo giao tuyến  .Sau đó tìm giao điểm I của d và  . Điểm I chính là giao điểm của d và ( ) . Trong quá trình giảng dạy, bên cạnh việc nêu phương pháp giải thì việc nhận xét,dự đoán các khó khăn, những sai sót mà học sinh trong quy trình giải toán là việc rất cần thiết. Bản thân tác giả cũng hướng dẫn học sinh giải bài toán này theo hai cách trên, đồng thời tiến hành quan sát trong quá trình giải toán của học sinh và rút ra những nhận xét sau: Ưu điểm của giải pháp này là: Học sinh dễ hiểu và dễ ghi nhớ. Cả hai cách đều quy về tìm giao điểm của hai đường thẳng trong cùng một mặt phẳng, điều này rất quen thuộc khi các em học trong hình học phẳng. Nhược điểm của giải pháp này là: Trong cách 1: Học sinh gặp khó khăn khi tìm và phát hiện ra đường thẳng d ' , đôi khi còn ngộ nhận d ' ( tức là học sinh chỉ ra một đường thẳng d ' cắt d nhưng thực tế d ' không cắt d ). Trong cách 2: Học sinh gặp khó khăn khi tìm và phát hiện ra mặt phẳng (  ) . Như vậy hướng dẫn học sinh khắc phục một số khó khăn khi giải bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng là rất cần thiết. 2. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến: 2.1. Nêu vấn đề cần giải quyết: Trong báo cáo sáng kiến, tác giả xin trình bày giải pháp để khắc phục một số khó khăn thường gặp của học khi giải bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng. 2.2. Chỉ ra tính mới: Báo cáo chỉ rõ và hướng dẫn cho học sinh cách khắc phục một số khó khăn thường gặp khi giải bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng đó là: 3 Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông -Học sinh hiểu và tìm được đường thẳng d ' , tránh ngộ nhận d ' trong cách 1. -Học sinh hiểu và tìm được mặt phẳng (  ) trong cách 2. 2.3. Sự khác biệt của giải pháp mới so với giải pháp cũ: Trong giải pháp cũ học sinh không được chỉ ra khó khăn và cách khắc phục khó khăn trong quá trình giải toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng. Còn trong báo cáo này tác giả đưa ra việc chú trọng làm rõ và hướng dẫn học sinh giải quyết một số khó khăn trong quy trình giải toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, góp phần giúp các em tự tin trong quá trình giải toán hình học không gian. 2.4. Cách thức thực hiện, các bước thực hiện của giải pháp một cách cụ thể, rõ ràng, cũng như các điều kiện cụ thể để áp dụng giải pháp. 2.4.1: Chuẩn bị các kiến thức liên quan. *Một số tính chất thừa nhận:  Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.  Tính chất 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng.  Tính chất 3: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt cùng thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng.  Tính chất 4: Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa. Từ đó suy ra: Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung đi qua điểm chung đó. Đường thẳng chung đó gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng. Mọi điểm chung của hai mặt phẳng đều nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng. *Một số cách xác định một mặt phẳng:  Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng.  Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và chứa một đường thẳng không đi qua điểm đó. 4 Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông  Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.  Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng song song. *Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian: Cho hai đường thẳng a và b trong không gian. Khi đó có thể xảy ra một trong hai trường hợp:  Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa a và b . Ta nói a và b đồng phẳng, và có ba khả năng xảy ra: a và b cắt nhau, a và b song song, a trùng với b .  Trường hợp 2: Không có một mặt phẳng nào chứa a và b .Ta nói a và b chéo nhau. *Một số các định lí và hệ quả: Định lí 1: Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. Định lí 2 ( về giao tuyến của ba mặt phẳng): Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau. Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó. Định lí 3: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. Định lí 4: Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng ( ) và d song song với đường thẳng d ' nằm trong ( ) thì d song song với ( ) . Định lí 5: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng ( ) .Nếu mặt phẳng (  ) chứa a và cắt ( ) theo giao tuyến b thì b song song với ( ) . Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó. 5 Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông Định lí 6: Nếu mặt phẳng ( ) chứa hai đường thẳng cắt nhau a , b và a , b cùng song song với mặt phẳng (  ) thì ( ) song song với (  ) . Định lí 7: Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau. 2.4.2. Nêu, phân tích và giải pháp khắc phục một số khó khăn mà học sinh thường gặp khi giải toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. a) Khó khăn thứ nhất: Học sinh lúng túng không biết với bài toán cụ thể thì nên dùng theo cách 1 hay cách 2. Sở dĩ các em gặp khó khăn này là do các em chưa phân biệt được khi nào thì nên làm theo cách 1 và khi nào thì nên làm theo cách 2. Để khắc phục khó khăn này giáo viên có thể gợi ý cho các em: Hãy quan sát trong mặt phẳng ( ) , nếu có ngay đường thẳng d ' thì ta dùng cách 1 còn nếu không có d ' thì ta chuyển sang cách 2. Ở đây lại đặt ra vấn đề là hướng dẫn các em nên quan sát như thế nào để tránh ngộ nhận hình? Vì thực tế có nhiều học sinh chỉ ra đường thẳng d ' chưa đúng? Tác giả xin nêu ra giải pháp cho khó khăn này như sau: Thứ nhất : Giáo viên cần nhấn mạnh hai đặc điểm của đường thẳng d’ là : d’ nằm trong mặt phẳng ( ) và d ' cắt d . Thứ hai : Nếu một đường thẳng có hai điểm nằm trên một mặt phẳng thì đường thẳng nằm trong mặt phẳng. Từ đó HS chỉ cần nối hai điểm sẵn có hoặc những điểm đặc biêt như trung điểm của đoạn thẳng ,… trong mặt phẳng ( ) thì sẽ có được một số đường thẳng nằm trong mặt phẳng ( ) . Thứ ba : d ' và d cắt nhau tức là hai đường thẳng này phải cùng nằm trên một mặt phẳng. VD1 : Cho tứ diện ABCD,gọi M,N lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh AB,AC của tứ diện sao cho MN không song song với BC. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (BCD) 6 Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông Phân tích bài toán: Trong mặt phẳng (BCD) sẵn có các điểm B,C,D. Nối hai điểm trong ba điểm này ta có một số đường thẳng sẵn có trong mặt phẳng (BCD) là: BC,BD,CD. Trong ba đường thẳng này chỉ có BC thuộc cùng mặt phẳng (ABC) với MN, mặt khác theo giả thiết BC và MN không song song với nhau nên BC cắt MN. Vậy BC chính là đường thẳng d ' . Lời giải: Trong (ABC) có: MN không song song với BC nên ta gọi MN cắt BC tại I  I  MN  I  MN      I  MN  ( BCD)  I  BC  I  ( BCD) VD2: Cho tứ diện ABCD, gọi K là trung điểm của AD, G là trọng tâm của tam giác ABC. Tìm giao điểm của GK và mặt phẳng (BCD). A K B G D I M C Phân tích bài toán: Trong mặt phẳng (BCD) sẵn có các điểm B, C, D. Nối hai điểm trong ba điểm này ta có một số đường thẳng sẵn có trong mặt phẳng (BCD) là: BC, BD, CD. Trong ba đường thẳng này không có đường thẳng nào đồng phẳng với GK. Nhưng theo giả thiết G là trọng tâm của tam giác ABC nên chúng ta có thể nghĩ đến điểm đặc biệt ở đây là trung điểm M của BC. Nối M với D ta có thêm đường thẳng MD của mặt phẳng (BCD). Nhận thấy MD và GK cùng thuộc mặt phẳng (AMD) và AG AK  GM KD do đó GK và MD cắt nhau. Vậy MD chính là đường thẳng d ' AG AK  Lời giải: Gọi M là trung điểm của BC.Trong (AMD) có : GM KD nên ta gọi  I  ( BCD)  I  MD      I  GK  ( BCD) I  GK I  GK   MD cắt GK tại I 7 Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông *Khó khăn thứ hai là: Khi học sinh đã xác định làm theo cách 2 thì học sinh lại gặp khó khăn khi đi tìm mặt phẳng (  ) , các em cũng thường mắc phải lỗi ngộ nhận hình vẽ. Biện pháp khắc phục: Giáo viên gợi ý cho học sinh nhớ lại một số cách xác định mặt phẳng: - Hai đường thẳng song song hoặc cắt nhau xác định một mặt phẳng. - Ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định một mặt phẳng. - Một điểm và một đường thẳng không đi qua nó xác định một mặt phẳng. Từ đó có thể hướng dẫn học sinh tìm mặt phẳng (  ) bằng một trong các cách sau: Cách 1: Chúng ta quan sát xem d có thể cắt hoặc song song với những đường thẳng d ' nào thì mặt phẳng chứa d và d ' có thể là mặt phẳng (  ) . Cách 2: Tìm những cặp đường thẳng a và b cắt nhau hoặc song song lần lượt chứa hai điểm của đường thẳng d. Khi đó mặt phẳng (  ) có thể là mặt phẳng chứa a và b . d Cách 3: Chúng ta chú ý đến hai điểm nằm trên chẳng hạn hai điểm A và B. Sau đó quan sát tiếp một trong hai điểm đó có nằm trên đường thẳng a nào đó không (Ví dụ A thuộc a ). Khi đó mặt phẳng (  ) có thể là mặt phẳng chứa a và B. VD3: Cho tứ diện ABCD, gọi K là trung điểm của AD, G là trọng tâm của tam giác ABC. Tìm giao điểm của GK và mặt phẳng (BCD). A K P G N D B M I C Phân tích và hướng dẫn học sinh tìm lời giải: Trước hết chúng ta cần quan tâm xem GK có thể nằm trên mặt phẳng nào? Cách 1: Quan sát GK có thể song song hoặc cắt những đường thẳng nào? Dễ thấy GK có thể cắt các đường thẳng như: AD, BN,AM,CP. -Nếu ta kết hợp GK với AM hoặc AD thì ta có được mp (AMD) chứa GK và cắt (BCD) theo giao tuyến DM. Từ đó giao điểm của MD với GK chính là giao điểm của đường thẳng GK với (BCD). 8 Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông -Nếu ta kết hợp GK với CP thì ta mặt phẳng (CPK) chứa GK chứa PK//BD nên cắt (BCD) theo giao tuyến  đi qua C và song song với BD.  cắt GK tại I thì I là giao điểm của GK với mp(BCD). A K P B G D M I C -Nếu ta kết hợp GK với BN thì ta được mặt phẳng (BNK) chứa GK, chứa NK//CD nên cắt (BCD) theo giao tuyến  đi qua B và song song với CD.  cắt GK tại I thì I là giao điểm của GK với mp(BCD). A K B G N D I M C Cách 2: Dựa vào hai đường thẳng song song hoặc cắt nhau lần lượt chứa hai điểm của đường thẳng GK để xác định mặt phẳng (  ) . Phân tích và tìm lời giải: Ta có K là trung điểm của AD như vậy K thuộc đường thẳng AD, G là trọng tâm của tam giác ABC nên G có thể thuộc các đường trung tuyến AM,BN,CP của tam giác ABC. Nhưng trong ba đường AM,BN,CP thì chỉ có đường thẳng AM là cắt đường thẳng AD do đó chúng xác định một mặt phẳng đó là mặt phẳng (AMD), hai đường thẳng còn lại thì không đồng phẳng với đường thẳng AK. Vậy GK nằm trên mặt phẳng (AMD). Mặt phẳng (AMD) chứa đường thẳng DM của mặt phẳng (BCD). Tiếp theo chúng ta xét xem hai đường thẳng GK và DM có thể cắt nhau AG AK  2  1 DK nên DM cắt GK tại I. Vậy I chính là giao được không? Do tỉ số GM điểm của GK với (BCD) 9 Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông A K P G N D B M I C Lời giải: Gọi M là trung điểm của BC. Xét tam giác AMD có: AG AK  2  1 GM DK Suy ra GK không song song với DM.  I  ( BCD)  I  DM GK  DM  I      GK  ( BCD)  I I  GK I  GK   Gọi Cách 3: Ta có K là trung điểm của AD như vậy K thuộc đường thẳng AD, G là trọng tâm của tam giác ABC nên A, G, D không thẳng hàng do đó xác định mặt phẳng (AGD) hay (AMD) chứa GK và cắt (BCD) theo giao tuyến MD. Từ đó giao điểm I của GK và MD chính là giao điểm của GK với (BCD). Tương tự như vậy chúng ta có thể chỉ thêm các mặt phẳng (CPK), (BNK) chứa GK và cắt (BCD) theo những giao tuyến đã chỉ ra trong cách 1. Từ đó dễ dàng xác định được giao điểm của đường thẳng GK và mặt phẳng (BCD). VD4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Tìm giao điểm của AC’ với mặt phẳng (BDD’B’). A B D A' D' C I B' C' 10 Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông Phân tích: Cách 1: Tìm trong mặt phẳng (BDD’B’) một đường thẳng cắt đường thẳng AC’. Thật vậy: Trong mặt phẳng (BDD’B’) có BD’ cùng thuộc mặt phẳng (ABC’D’) với đường thẳng AC’. Nên giao điểm I của AC và đường thẳng BD’ chính là giao điểm của AC với (BDD’B’). Lời giải: Trong mặt phẳng (ABC’D’) gọi AC ' BD '  I  I  ( BDD ' B ')  I  BD '      AC ' ( BDD ' B ')  I  I  AC '  I  AC ' Cách 2: Phân tích: Hai điểm A, C’ của đường thẳng AC’ lần lượt nằm trên hai đường thẳng song song AC và A’C’. Do đó AC’ nằm trong mặt phẳng (ACC’A’). Mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến OO’. Với O, O’ lần lượt là giao điểm của AC với BD và A’C’ với B’D’. Vậy giao điểm I của AC’ với OO’ chính là giao điểm của AC’ và mặt phẳng (BDD’B’). A B O D C I A' B' O' D' C' Lời giải: Gọi AC  BD  O; A ' C ' B ' D '  O '  ( ACC ' A ')  ( BDD ' B ')  OO '  I  OO '  I  ( BDD ' B ') AC ' OO '  I     I  AC '  AC ' ( BDD ' B ')  I   I  AC ' gọi 11 Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông *Chú ý: Nếu chúng ta quan sát không có sẵn đường thẳng d ' thỏa mãn thì chúng ta cũng có thể tạo ra d ' bằng cách kéo dài các đường thẳng của mặt phẳng ( ) hoặc kẻ thêm đường thẳng song song nằm trong mặt phẳng ( ) . VD5: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của AB,AD,SC. Tìm giao điểm của mặt phẳng (MNP) với các cạnh của hình chóp. Phân tích và hướng học sinh tìm lời giải: Tìm giao điểm của đường thẳng SB và mp(MNP): Cách 1: Kéo dài đường thẳng MN của mặt phẳng (MNP). MN nằm trên mặt phẳng (ABCD), MN không song song với BC và CD nên MN cắt BC, CD lần lượt tại hai điểm J, I. Nối PJ, PI ta có thêm hai đường thẳng của mặt phẳng (MNP). Đường thẳng PJ và SB cùng thuộc mp(SBC) và cắt nhau tại F. Khi đó F là giao điểm của SB và (MNP). Tương tự ta cũng tìm được giao điểm E của (MNP) và SD. S P E I C F D N J B M A Lời giải: Trong mặt phẳng (ABCD) gọi MN  BC  J ; MN  CD  I  J  (MNP)  JP  (MNP)  J  MN        J  BC  J  (SBC )  JP  (SBC ) Trong mặt phẳng (SBC) gọi JP  SB  F  F  ( MNP)  F  JP      F  SB  (MNP)  F  SB  F  SB Tương tự ta có IP cắt SD tại I. Điểm I chính là giao điểm của mặt phẳng (MNP) với SD. Các cạnh SC, AB, AD lần lượt cắt (MNP) tại các điểm P, M, N. Các cạnh BC, CD, SA của hình chóp không cắt mặt phẳng (MNP). Cách 2 (Sử dụng định lí giao tuyến của ba mặt phẳng): 12 Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông Giả sử SB cắt mặt phẳng (MNP) tại F. Khi đó PF chính là giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với mặt phẳng (SBC). Xét ba mặt phẳng (MNP), mặt phẳng (SBC), mặt phẳng (ABCD) cắt nhau theo ba giao tuyến là BC, MN, FP. Mà MN và BC không song song nên chúng cắt nhau tại J. Do đó PF cũng đi qua J. Vậy F chính là giao điểm của PJ với SB. Hoàn toàn tương tự ta cũng có giao điểm E của PI với SD chính là giao điểm của SD với mặt phẳng (MNP). S P E I C F D N J B M A Lời giải: Gọi E, F lần lượt là giao điểm của SD,SB với mặt phẳng (MNP). Xét ba mặt phẳng (MNP), mặt phẳng (SBC), mặt phẳng (ABCD) có: ( MNP)  ( ABCD)  MN ; ( SAB)  ( ABCD)  AB; ( MNP)  ( SAB)  PF MN  AB  J  J  PF  F  PJ  SB Hoàn toàn tương tự ta cũng có giao điểm E của đường thẳng SD với mặt phẳng (MNP). VD5: Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N,P lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh CB, DB, DA sao cho NP song song với AB. Tìm giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng AC. Phân tích: Cách 1: Trong mặt phẳng (ABC) kẻ MQ//AB, điểm Q thuộc đoạn AC. Có AB//NP nên NP//MQ. Do đó M,N,P,Q đồng phẳng hay Q thuộc mặt phẳng (MNP). Vậy Q chính là giao điểm của AC với (MNP). D N P B A M Q C Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông 13 Lời giải: Trong mặt phẳng (ABC) kẻ MQ//AB,Q thuộc đoạn AC Lại có: NP / / AB  NP / / MQ  M,N,P,Q đồng phẳng  Q  ( MNP)  AC  (MNP)  Q Cách 2: (Sử dụng hệ quả định lí giao tuyến của ba mặt phẳng): Giả sử AC cắt (MNP) tại điểm Q. Khi đó MQ chính là giao tuyến của mặt phẳng (MNP) và (ABC) . Xét hai mặt phẳng (MNP), mặt phẳng (ABC) lần lượt chứa hai đường thẳng NP và AB song song với nhau, do đó giao tuyến MQ song song hoặc trùng với AB. Mặt khác MQ không trùng với AB nên MQ song song với AB. Vậy trong mặt phẳng (ABC) qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại Q. Khi đó Q chính là giao điểm của (MNP) với AC. D N P B A M Q C Lời giải: Gọi AC  (MNP )  Q  (MNP )  ( ABC )  MQ Xét ba mặt phẳng (MNP), (ABD),(ABC) có: ( MNP)  ( ABC )  MQ NP / / AB, NP  (MNP ), AB  ( ABC )  MQ / / AB Qua M kẻ đường thẳng d song song với AB cắt AC tại Q. BÀI TẬP HỌC SINH TỰ HỌC. Bài 1: Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc miền trong của tam giác ACD. Gọi I và J tương ứng là hai điểm trên cạnh BC và BD sao cho IJ không song song với CD. a) Hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (IJM) và (ACD). b) Lấy N là điểm thuộc miền trong của tam giác ABD sao cho JN cắt đoạn AB tại L. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNJ) và (ABC). 14 Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm I và lấy các điểm J, K lần lượt là điểm thuộc miền trong các tam giác BCD và ACD. Gọi L là giao điểm của JK với mặt phẳng (ABC). a) Hãy xác định điểm L. b) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (IJK) với các mặt của tứ diện ABCD. Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD. M và N tương ứng là các điểm thuộc các cạnh SC và BC. Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN). Bài 4: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, M’ lần lượt là trung điểm của BC, B’C’, K là một điểm trên đoạn MM’. Tìm giao điểm của đường thẳng A’K với mặt phẳng (ABC). Bài 5: Cho tứ giác ABCD nằm trong mặt phẳng (  ) có hai cạnh AB và CD không song song. Gọi S là điểm nằm ngoài mặt phẳng (  ) và M là trung điểm đoạn SC. Tìm giao điểm của đường thẳng SD và mặt phẳng (MAB). Bài 6: Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP = 2PD. Tìm giao điểm của CD và mặt phẳng (MNP). Bài 7: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD, trên cạnh AD lấy điểm P không trùng với trung điểm của AD. a) Tìm giao điểm E của MP và mặt phẳng (BCD). b) Tìm giao điểm của BC với mặt phẳng (MNP). Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Trong mặt phẳng đáy vẽ đường thẳng d đi qua A và không song song với các cạnh của hình bình hành, d cắt đoạn BC tại E. Gọi C’ là một điểm trên cạnh SC. Tìm giao điểm M của CD và mặt phẳng (C’AE). Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có AB và CD không song song. Gọi M là một điểm thuộc miền trong của tam giác SCD. a) Tìm giao điểm N của đường thẳng CD và mặt phẳng (SBM). b) Tìm giao điểm I của đường thẳng BM với mặt phẳng (SAC). c) Tìm giao điểm P của SC với mặt phẳng (ABM). Bài 10: Cho tứ diện ABCD và ba điểm P, Q, R lần lượt lấy trên ba cạnh AB, CD, BC. Tìm giao điểm S của AD và mặt phẳng (PQR) trong hai trường hợp: a) PR song song với AC b) PR cắt AC Bài 11: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và G là trung điểm của đoạn MN. Tìm giao điểm A’ của đường thẳng AG với mặt phẳng (BCD). Bài 12: Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy một điểm M. Cho (  ) là mặt phẳng đi qua M và song song với hai đường thẳng AC và BD. Tìm giao điểm của (  ) với các cạnh của tứ diện. Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Xác định giao điểm của các cạnh hình chóp với mặt phẳng (  ) đi qua O, song song với AB và SC. 15 Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông Bài 14: Trong mặt phẳng (  ) cho hình bình hành ABCD. Qua A,B,C,D lần lượt vẽ bốn đường thẳng a, b, c, d song song với nhau không nằm trên (  ). Trên a, b, c lần lượt lấy ba điểm A’,B’,C’ tùy ý. Xác định giao điểm D’ của đường thẳng d với mặt phẳng (A’B’C’). Bài 15: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, M’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và B’C’, d là giao tuyến của hai mặt phẳng (AB’C’) và (BA’C’). Tìm giao điểm G của đường thẳng d với mặt phẳng (AM’M). chứng minh G là trọng tâm của tam giác AB’C’. Bài 16: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ a) Tìm các giao điểm G1, G2 của AC’ với các mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C). b) Chứng minh G1 và G2 chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau. Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M,N,P theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng SA, BC, CD. a) Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (MNP). b) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành ABCD, hãy tìm giao điểm của đường thẳng SO với mặt phẳng (MNP). Bài 18: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thang đáy lớn AB. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh SB và SC. a) Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN). b) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (AMN). Bài 19: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB= a . Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy một góc 600. Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA. a) Tính thể tích của hai khối chóp S.DBC và S.ABC. b) Tính thể tích của khối chóp S.DBC. Bài 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy và AB= a , AD= b ,SA= c . Lấy các điểm B’, D’ theo thứ tự thuộc SB,SD sao cho AB’ vuông góc với SB, AD’ vuông góc với SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích của khối chóp S.AB’C’D’. Bài 21: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên tạo với đáy một góc 600. Gọi M là trung điểm của SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F. Tính thể tích khối chóp S.AEMF. * Điều kiện áp dụng giải pháp: -Về phía học sinh: Yêu cầu học sinh nắm chắc các kiến thức đại cương về đường thẳng và mặt phẳng, nắm chắc cách xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, nắm chắc các tiên đề và các tính chất của hình học phẳng, nắm chắc một số định lí về quan hệ song song trong không gian, có niềm yêu thích môn Toán, yêu thích hình học không gian. -Về phía giáo viên: Hướng dẫn tỉ mỉ cho học sinh và thường xuyên nhắc lại các kiến thức lí thuyết cũ có liên quan, nhất là các kiến thức về hình học phẳng mà các em đã biết, đồng thời vừa giới thiệu kiến thức mới vừa mô hình hóa những kiến 16 Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông thức mới thông qua những hình ảnh thực tế trong phòng học để học sinh dễ dàng chiếm lĩnh và trải nghiệm kiến thức. Quá trình tôi nghiên cứu đưa ra kết quả của giải pháp như sau: Khi chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy thực tế ở lớp 11A 4, năm học 2014 – 2015 thì trong đề thi kiểm tra 45’ hình học có câu: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Xác định giao điểm của các cạnh hình chóp với mặt phẳng (  ) đi qua O, song song với AB và SC. Kết quả kiểm tra : Lớp 11A4 Tỉ lệ Số học sinh làm được câu tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng 15/37 40,54% Số học sinh làm không làm được câu tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng 22/37 59,46% Sở dĩ đạt kết quả như trên là do: - Thời gian làm quen và luyện tập bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng chưa nhiều. - Là phần kiến thức mới nên các em chưa hình thành được thao tác tư duy cho dạng toán này. - Học sinh lớp 11A4 chủ yếu có học lực trung bình. - Khi tiếp cận các bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng đòi hỏi các em phải nắm chắc các kiến thức tương giao trong hình học phẳng, và đòi hỏi khả năng phân tích, tưởng tượng và khái quát hóa cao độ. - Khả năng tưởng tượng hình không gian của các em còn kém. Rút kinh nghiệm từ kết quả bài kiểm tra ấy tôi đã tập trung suy nghĩ, tìm tòi và hoàn thiện sáng kiến : “Một số biện pháp khắc phục khó khăn khi giải bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian” giảng dạy trên lớp 11A3 trong năm học 2015 – 2016 thì đã đạt được kết quả thiết thực sau: Trong đề trong đề thi kiểm tra 45’ hình học có câu: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Xác định giao điểm của các cạnh hình chóp với mặt phẳng (  ) đi qua O, song song với AB và SC. Kết quả kiểm tra: Lớp 11A3 Tỉ lệ Số học sinh làm được câu tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng. 24/29 82,75% Số học sinh làm không làm được câu tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng. 5/29 17,25% Biểu đồ so sánh kết quả kiểm tra của hai lớp 11A4 và lớp 11A3. 17 Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông 90% 80% 70% 60% 50% 11A4 11A3 40% 30% 20% 10% 0% Học sinh làm được Học sinh không làm được Như vậy tỉ lệ phần trăm các em học sinh làm được bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng tăng, tỉ lệ các em không làm được bài giảm. Hơn nữa sau mỗi kì thi hoặc bài kiểm tra học sinh đã không tránh né với các bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, cũng như các bài toán hình học không gian nói chung. Một số học sinh còn tỏ ra rất thích thú với những bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng. Từ đó các em hoàn toàn tự tin và làm chủ các bài toán liên quan như tìm thiết diện, tính thể tích, và các bài toán có liên quan đến khoảng cách,… 2.5. Nêu rõ khả năng áp dụng vào thực tế của giải pháp mới và mang lại lợi ích thiết thực. Từ những kết quả trên đây cho thấy sáng kiến hoàn toàn có khả năng áp dụng vào việc giảng dạy và học tập nội dung hình học không gian ở lớp 11. 2.6. Giải pháp mới này còn có thể áp dụng cho đối tượng, cơ quan, tổ chức nào nữa không ? Sáng kiến hoàn toàn có thể áp dụng vào việc giảng dạy và học tập nội dung hình học không gian ở tất cả các đối tượng học sinh lớp 11, lớp 12 ở tất cả các trường THPT khác. III. Hiệu quả do sáng kiến đem lại: 1. Hiệu quả về kinh tế: Không tính bằng tiền. 2. Hiệu quả về mặt xã hội: Sáng kiến góp phần nâng cao chất lượng dạy và học môn toán trong trường THPT, góp phần tạo hứng thú cho học sinh khi học toán, giúp các em yêu thích môn học hơn. 18 Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông IV. Cam kết không sao chép hoặc vi phạm bản quyền: Tôi xin cam đoan sang kiến này là do chính tôi suy nghĩ và biên soạn, thực nghiệm. Tôi xin chịu trách nhiệm trước các cơ quan quản lý và pháp luật của nhà nước về lời cam đoan này! CƠ QUAN ÁP DỤNG SÁNG KIẾN Trường THPT Lý Nhân Tông xác nhận đã áp dụng sáng kiến kinh nghiệm của tác giả Lê Thị Hà thuộc lĩnh vực môn Toán HIỆU TRƯỞNG TÁC GIẢ TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), 2006, Hình học 11, NXB Giáo Dục. 2. Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), 2006, Bài tập Hình học 11, NXB Giáo Dục. 3. Nguyễn Phú Khánh, 2013, Trọng tâm kiến thức và phương pháp giải hình học không gian, NXB Đại học Sư phạm Hà Nội. 4. Nguyễn Văn Nho,2011, Các dạng toán trong những kì thi tuyển sinh vào đại học hiện nay, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. 5. Đỗ Thanh Sơn, 1999, Phương pháp giải Toán Hình học không gian 11 , NXB Thành Phố Hồ Chí Minh. 6. Nguyễn Bá Kim, 2007, Phương pháp dạy học môn Toán, NXB Đại học Sư phạm Hà Nội. 7. Trần Đình Thì, 2007, Phân dạng và phương pháp giải Hình học 11, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. 8. Các diễn đàn Toán học trên internet: bachkim.violet.vn, diendantoanhoc.net, vnmath.vn, ...... 19 Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông