Skkn một số biện pháp giúp hs khắc phục sai lầm khi giải phương trình và bất phương trình ở toán 10

  • Số trang: 21 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 17 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 24000 tài liệu

Mô tả:

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: “MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIÚP HS KHẮC PHỤC SAI LẦM KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Ở TOÁN 10” I. ĐẶT VẤN ĐỀ Trong dạy học Toán việc vận dụng lý thuyết đã học để giải bài toán của học sinh còn gặp một số khó khăn và sai lầm.Chính vì vậy giáo viên cần hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp nào để giúp học sinh giải bài toán mà không mắc phải sai lầm là cần thiết và phù hợp . Mặt khác khi đứng trước một bài toán về phương trình hay bất phương trình thì học sinh thường giải theo thói quen mà không biết mình bị sai do không nắm vững lý thuyết vừa học.Việc giải hay sai nhất là học sinh lớp 10 khi giải một phương trình hoặc bất phương trình thì rút gọn hoặc bỏ mẫu mà không ghi thêm điều kiện nào.Những sai sót đó là do trước đây ở THCS học sinh giải phương trình hoặc bất phương trình mà mẫu thường là hằng số nên học sinh rút gọn hoặc bỏ mẫu được... Vì lí do trên tôi chọn đề tài: Một số biện pháp giúp HS khắc phục sai lầm khi giải phương trình và bất phương trình ở Toán 10. II. CƠ SỞ LÝ LUẬN Ở trường phổ thông,dạy Toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Trong dạy học toán, mỗi bài tập toán được sử dụng với những dụng ý khác nhau, có thể tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra … Ở thời điểm cụ thể nào đó, mỗi bài tập chứa đựng tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau (chức năng dạy học, chức năng giáo dục, chức năng phát triển, chức năng kiểm tra), những chức năng này đều hướng tới việc thực hiện các mục đích dạy học. 1. Yêu cầu đối với lời giải bài toán + Lời giải không có sai lầm; + Lập luận phải có căn cứ chính xác; + Lời giải phải đầy đủ. Ngoài ba yêu cầu nói trên,trong dạy học bài tập,cần yêu cầu lời giải ngắn gọn, đơn giản nhất, cách trình bày rõ ràng hợp lí. Tìm được một lời giải hay của một bài toán tức là đã khai thác được những đặc điểm riêng của bài toán,điều đó làm cho học sinh “có thể biết được cái quyến rũ của sự sáng tạo cùng niềm vui thắng lợi” (G. Polya – 1975) 2. Phương pháp tìm tòi lời giải bài toán - Tìm hiểu nội dung bài toán: + Giả thiết là gì ? Kết luận là gì ? Sử dụng kí hiệu như thế nào ? + Dạng toán nào ? (toán chứng minh hay toán tìm tòi...) + Kiến thức cơ bản cần có là gì ? (các khái niệm, các định lí, các điều kiện tương đương, các phương pháp chứng minh, …) - Xây dựng chương trình giải (tức là chỉ rõ các bước tiến hành): Bước 1 là gì ? Bước 2 giải quyết vấn đề gì ? … - Thực hiện chương trình giải: Trình bày bài làm theo các bước đã chỉ ra. Chú ý sai lầm thường gặp trong tính toán, trong biến đổi, … - Kiểm tra và nghiên cứu lời giải: xét xem có sai lầm không ? Có biện luận kết quả tìm được không ? Nếu bài toán có nội dung thực tiễn thì kết quả tìm được có phù hợp với thực tiễn không ? Một điều quan trọng là cần luyện tập cho học sinh thói quen đọc lại yêu cầu của bài toán sau khi đã giải xong bài toán đó, để học sinh một lần nữa hiểu rõ hơn chương trình giải đề xuất, hiểu sâu sắc hơn kiến thức cơ bản đã ngầm cho trong giả thiết. 3. Trình tự dạy học bài tập toán. Trình tự dạy học bài tập toán thường bao gồm các bước sau: Hoạt động 1: Tìm hiểu nội dung bài toán Hoạt động 2: Xây dựng chương trình giải Hoạt động 3: Thực hiện chương trình giải Hoạt động 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải 4. Quan niệm về tiến trình giải toán Giải toán là việc thực hiện một hệ thống hành động phức tạp, vì bài toán là sự kết hợp đa dạng nhiều khái niệm, nhiều quan hệ toán học, cần có sự chọn lọc sáng tạo các phương pháp giải quyết vấn đề. Như vậy giải bài toán là tìm kiếm một cách có ý thức các phương tiện thích hợp để đạt được mục đích của bài tập. Đó là một quá trình tìm tòi sáng tạo, huy động kiến thức, kỹ năng, thủ thuật và các phẩm chất của trí tuệ để giải quyết vấn đề đã cho. Theo Howard Gardner, G. Polya, … thì tiến trình lao động của học sinh khi giải một bài toán có thể theo các hướng sau: - Hướng tổng quát hóa: Hướng này dựa trên quan điểm tổng hợp, chuyển từ một tập hợp đối tượng trong bài toán sang một tập hợp khác lớn hơn và chứa đựng tập hợp ban đầu. - Hướng cụ thể hóa: Hướng này dựa trên quan điểm phân tích, chuyển bài toán ban đầu thành những bài toán thành phần có quan hệ logic với nhau. Chuyển tập hợp các đối tượng trong bài toán ban đầu sang một tập hợp con của nó, rồi từ tập con đó tìm ra lời giải của bài toán hoặc một tình huống hữu ích cho việc giải bài toán đã cho. - Hướng chuyển bài toán về bài toán trung gian: Khi gặp bài toán phức tạp, học sinh có thể đi giải các bài toán trung gian để đạt đến từng điểm một, rồi giải bài toán đã cho hoặc có thể giả định điều đối lập với bài toán đang tìm cách giải và xác định hệ quả của điều khẳng định kia hay đưa về bài toán liên quan dễ hơn, một bài toán tương tự hoặc một phần bài toán, từ đó rút ra những điều hữu ích để giải bài toán đã cho. Theo G. Polya, việc giải toán xem như thực hiện một hệ thống hành động: hiểu rõ bài toán, xây dựng một chương trình giải, thực hiện chương trình khảo sát lời giải đã tìm được. Theo ông điều quan trọng trong quá trình giải bài toán là qua đó học sinh nảy sinh lòng say mê, khát vọng giải toán, thu nhận và hình thành tri thức mới, đặc biệt là tiếp cận, phát hiện và sáng tạo. III. CƠ SỞ THỰC TIỂN Trong quá trình giảng dạy ở lớp 10 tôi thấy khi học sinh giải các bài toán về phương trình hoặc bất phương trình thì học sinh vận dụng thường biến đổi tương đương mà không chú ý đến điều kiện xác định . Từ thực trạng trên nên trong quá trình dạy tôi đã dần dần hình thành phương pháp bằng cách trước tiên học sinh cần nắm vững lý thuyết về phương trình tương đương và bất phương trình tương đương từ đó áp dụng vào bài toán cơ bản đến bài toán ở mức độ khó hơn. Do đó trong giảng dạy chính khoá cũng như dạy bồi dưỡng, tôi thường trang bị đầy đủ kiến thức phổ thông và phương pháp giải toán đại số cho học sinh.Như vậy khi giải bài toán về phương trình hay bất phương trình học sinh có thể tự tin lựa chọn một phương pháp để giải phù hợp mà không mắc sai lầm. IV. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU: CÁC SAI LẦM THƯỜNG GẶP TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Ở LỚP 10 I. SAI LẦM THƯỜNG GẶP TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Ở LỚP 10: 1. DẠNG: f ( x)  0 � f ( x)  0 g ( x) ? Ví dụ: Giải phương trình: x2  x  6 0 2 x 2  3x  2 (1) Sai lầm thường gặp : x  2 � x2  x  6 2  0 � x  x6  0 � � 2 x3 2 x  3x  2 � Nguyên nhân sai: x=-2 thì 2x2+3x-2=0 nên loại nghiệm x=-2 Lời giải đúng: �� x3 2 � � � �x  x  6  0 �x  2(loai ) x  x6 � �� � x3 0 �� 2 2 2 x  3 x  2 �0 2 x  3x  2 � 1 � x �2; x � � � 2 2 KẾT LUẬN: �f ( x )  0 f ( x) 0�� g ( x) �g ( x) �0 Bài tập tương tự: Giải phương trình: 2. DẠNG: f(x).g(x)=0 Ví dụ: Giải phương trình: x2  7 x  6 5 x6 �f ( x)  0 �� g ( x)  0 � ? x  2( x 2  x  6)  0 (2) Sai lầm thường gặp: x2 � �x  2  0 � �� x  2 Pt(2) � �2 x x60 � � x3 � Nguyên nhân sai lầm:với x=-2 thì Lời giải đúng: KẾT LUẬN: x  2 vô nghĩa. x2 � �x  2  0 � �� x  2 x2 � � �� � pt(2) � ��x 2  x  6  0 � � � � x3 x3 �� � � � � x  2 � 0 �x �2 � � � � �f ( x)  0 f(x).g(x)=0 � �g ( x)  0 với x thuộc tập xác định của phương trình � f(x).g(x)=0. Bài tâp tương tự: Giải phương trình (x+1) 3. DẠNG : x2  x  2  2 x  2 f ( x)  g ( x) � f ( x).h( x)  g ( x).h( x) Ví dụ: ? Giải phương trình: x 2  3x  2  x 2  x  1  4 x  3 (3) Sai lầm thường gặp: Pt(3) � ( x 2  3x  2) 2 � (x 2 3x  2 ) + ( x 2  x  1 ) 2 =(4x-3)( x 2  3x  2  x 2  x  1 ) - (x 2  x  1 )=(4x-3)( x 2  3x  2  x2  x  1 ) � 4x-3=(4x-3)( x 2  3 x  2  x 2  x  1 ) � 4x  3  0 � � 3 x � �2 4 �� �� �x  3 x  2 �0 � 2 � 2 2 � x  3 x  2  x 2  x  1  1(*) � x  3x  2  x  x  1  1 � Pt(*) � x 2  3x  2  ( x 2  x  1  1) 2 � x 2  3x  2  x 2  x  1  2 x 2  x  1  1  x �0 � �x �0 � x2  x  1   x � �2 � (vn) � 2 x  1 x  x  1  (  x ) � � Vậy phương trình (3)có nghiệm: x= 3 4 Nguyên nhân sai lầm: Thử lại : 3 x= 4 không thỏa mãn phương trình (3) Lời giải dúng: Pt(3) � � � 4x  3 x 2  3x  2  x 2  x  1 ( x 2  3 x  2)  ( x 2  x  1) x 2  3x  2  x 2  x  1 1 1 ( x 2  3x  2) 2  ( x 2  x  1) 2 x 2  3x  2  x 2  x  1 1 � x 2  3x  2  x 2  x  1  1 � x 2  3x  2  x 2  x  1  1 � x 2  3 x  2  ( x 2  x  1  1)2 � x 2  3x  2  x 2  x  1  2 x2  x  1  1  x �0 � �x �0 � x 2  x  1   x � �2 � (vn) � 2 x  1 x  x  1  (  x ) � � Vậy pt(3) vô nghiệm �f ( x).h( x)  g ( x).h( x) KẾT LUẬN: f ( x)  g ( x) � �h( x) �0 � Bài tập tương tự: Giải phương trình: a. ( b. ( x  1  1)( x  10  4)  x 4. DẠNG: A.B  A. B ; Ví dụ: Giải phương trình x  1  1)( x  1  x 2  x  7)  x A  B A B ? ( x  1)( x 2  x  2)  x  1 (4) Sai lầm thường gặp: Pt (3) � ( x  1)[(x+1)(x+2)]  x  1 � ( x  1) 2 ( x  2)  x  1 � x 1 x  2  x 1 � x  2 1 �� � x3 �x  1 � �x  1  0 � � �x  2 �0 � �� � x  2 1 � � � �x  1  0 � Nguyên nhân sai lầm: x=-1 là nghiệm của phương trình. Lời giải đúng: Pt(4) � ( x  1)[(x+1)(x+2)]  x  1 � ( x  1) 2 ( x  2)  x  1 x 1  0 � � �x  1 x  2  x  1 �� � � � �x  1 �0 � x  1 � x  1 � � � x  2 1� � �� x3 � � � �x  1 � x 2  9  ( x  5) x3 x3 ( x  3)( x  3)  ( x  5) x3 x 3 2.Giải phương trình: 2 Sai lầm thường gặp: pt (5) � 2 � 2 x  3 x  3  ( x  5) x3 x3 (5) � x  3(2 x  3  x5 )0 x 3 x3 (2( x  3)  ( x  5)  0 x3 � x3 ( x  11)  0 x3 x 3  0 x3 � � � � �� x  11  0 � � x  11 � x  11 � � � � � � x3 0 x  3 � � � � � Nguyên nhân sai lầm:x=-3 là nghiệm của pt(5) cách giải trên đã làm mất nghiệm x=-3 Lời giải đúng: pt (5) � 2 �2 � ( x  3)( x  3)  ( x  5) x3 ( x  3) 2  ( x  5) x3 x3 x 3 x3 x3 �2 . x  3  ( x  5) x 3 x3 x3 x3 x3 (2 x  3  ( x  5))  0 x3 � � 2 x  3  ( x  5)  0 � � �x  3 � �0 � �� � �x  3 � x3 � 0 x3 � KẾT LUẬN: � � 2( x  3)  ( x  5)  0; x  3 �0 � � � � 2(3  x)  ( x  5)  0; x  3 �0 � � � � � x3 � � � � � x �3 � � � � x3 0 � � �� x  11  0; x �3 � �� 1  3 x  0; x �3 �� � x  11 � � �� �� x3 � � �� x  3 � �� x �  3 � � � x  3 � �A � nêuA �0, B  0 � A. BnêuA, B �0 A �B A.B  � ;  �  A.  BnêuA, B �0 B �  A nêuA �0, B  0 � � B Các bài tập tương tự: Giải các phương trình sau: a. 3 c. x 2  25  (2 x  1) x 5 x5 (3 x  1)(3 x 2  4 x  1)  x  1 b. 2 d. x 2  x  6  ( x  5) x2 x 3 (2 x  3)(2 x 2  x  3)  x  1 5.DẠNG: Ví dụ: �A  C A.B  A.C � � A0 � ? Giải phương trình sau: 2 x 3  3x  x 2  2 x (6) Sai lầm thường gặp: Pt(6) � x(2 x 2  3)  x( x  2) � x 2 x 2  3  x x  2 � x ( 2 x 2  3  x  2)  0 �x  0 x0 � �� �� 2 2 � � 2x  3  x  2 �2x  3  x  2  0 x0 � �� 2 �2x  3  x  2 x0 x 0 � � � � �� �� �x �2 �x �2 � � 2 � � 2 x2  3  x  2 � �2 x  x  3  0 � � x0 � � �x �2 � � �� �� x 1 � x  0 �� � 1 �� � x � � 2 �� � Nguyên nhân sai lầm: Phép biến đổi phương trình sau không phải là phép biến đổi tương đương x(2 x 2  3)  x( x  2) � x 2 x 2  3  x x  2 Lời giải đúng: pt(6) � x0 � x0 � � 2 x0 � � 2 x  x  1  0 � � 2 �� � 2x  3  x  2 � � � x(2 x 2  3)  x( x  2) � � 1 � x x � 2 � � � � � � 2 �x( x  2) �0 �� � x � 0 � � � � KẾT LUẬN: A0 � � A.B  A.C � � �B  C � � �A �0; A.B �0 � II. SAI LẦM THƯỜNG GẶP TRONG GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LỚP 10 1. DẠNG: �g ( x) �0 f ( x) a � �� b. f ( x ) �a.g ( x) g ( x) b � Ví dụ: Giải bất phương trình: x 1 1 � x  x  12 2 2 (7) ; �f ( x) �0; g ( x) �0 1 1 � �� f ( x) g ( x ) �f ( x) �g ( x) ? Sai lầm thường �x 2  x  12  0 �x �4; x �3 � � � gặp:Bpt(7) � 2 2( x  1) �( x 2  x  12) � �x  3x  10 �0 x �4; x �3 �� �x 2 � � � � �� �� x �5 �x �3 �� � x �2 x �5 �� � Nguyên nhân sai lầm: Với x�(-4;3) thì x2+x-12<0 nên khi nhân 2 vế với biểu thức này thì bất phương trình đổi dấu. Lời giải đúng: x 1 Bpt(7) ��۳۳ 2 x  x  12 1 2 2( x  1)  ( x 2  x  12) x 2  x  12 0 x 2  3x  10 x 2  x  12 0 0 Lập bảng xét dấu: x � -5 -4 2 3 � + x 2  3x  10 0 + - - 0 + x 2  x  12 + VT + + 0 - - P + 0 0 Dựa vào bảng xét dấu ta chọn nghiệm bất phương trình: S=( �;-5] �(-4;2] �(3; �) 1 1 2.Giải bất phương trình: x  3 �4 x  6 (8) - 0 + P + Sai lầm thường gặp: 3 � �x �3; x � 2 � � 3 x �9 � ( x  3)(4 x  6) �0 � � Bpt(8) ���۳ �x  3 �4 x  6 3 � �x �3; x � 2 � � �x �3 x 3 3 Nguyên nhân sai lầm:Với x�(3; 2 ) thì x+3>0>4x-6 và bất phương trình nghiệm đúng.Cách giải trên đã làm mất nghiệm. Lời giải đúng: 1 Bpt(8) �x�۳۳ 3 1 4x  6 0 4 x  6  ( x  3) ( x  3)(4 x  6) 0 3( x  3) ( x  3)(4 x  6) 0 Lập bảng xét dấu: -� x -3 x-3 - x+3 - 4x-6 - VT - 0 3/2 - - + + - P + 0 P +� 3 0 + + + - + 0 + Dựa vào bảng xét dấu ta chọn nghiệm của bất phương trình là: S=(-3;3/2) �[3; �) KẾT LUẬN: 2. DẠNG: f ( x) a f ( x) a  �   0 � b.g ( x)[bf(x)-ag(x)]>0 g ( x) b g ( x) b 1 1  � f ( x).g ( x)[g ( x )  f ( x)]  0 f ( x ) g ( x) f 2 ( x) g ( x) �۳� � 0 g ( x) 0; f 2 ( x) g ( x) 0 g ( x) 0 ? Ví dụ: Giải bất phương trình:x2(2x2-3x+1) �0 (9) Sai lầm thường x �1 � 1 gặp:Bpt(9) � 2 x  3x  1 �0 � � � x� � 2 2 Nguyên nhân sai lầm: Với x=0 thì x2(2x2-3x+1)=0 nên (9) thỏa mãn.Cách giải trên đã làm mất nghiệm. x0 � 1 � x �(�; ] �[1; �) �{0} 2 2 x  3 x  1 �0 � Lời giải đúng: Bpt(9) � � 2 2 � 0 KẾT LUẬN: f ( x) g ( x) � �f ( x)  0 2 ; f ( x ) g ( x) 0 � g ( x ) � 0 � �f ( x)  0 � g ( x) �0 � Bài tập tương tự: Giải bất phương trình: (2 x  1) 2 (4 x  3) 4 (3x 2  5 x  2) �0 3. DẠNG f (x).g(x) � � 0 Ví dụ: Giải bất trình : Sai lầm thường gặp: f (x) �0 � ; f (x).g(x) 0 � g(x) �0 � ( x 2  3 x) 2 x 2  3x  2 �0 (10) f (x) �0 � � g(x) �0 � ? �� x 2 �� 1 x �3 � �� � x � 2 x 2  3 x  2 �0 � � � �� 2� 1 Bpt(10) � �2 � x � �x  3 x �0 �� x �3 � 2 �� x �0 �� Nguyên nhân sai lầm: x=2 cũng là nghiệm của bất phương trình(10) Lời giải � � 2 2 x  3x  2  0 � � 2 2 � � ( x  3 x) 2 x  3 x  2  0 x 2  3x  0 � � � 2 đúng:Bpt(10) � � 2 �2 x  3 x  2  0 2 � ( x  3 x ) 2 x  3 x  2  0 � � � � 2 x 2  3x  2  0 � � �2 � �x  3 x  0 � � x2 � � � 1 � � x � � 2 � �۳x 3 � � x3 � � � 1 � � x � � 2 � KẾT LUẬN: � �f ( x)  0; x �D g (x) � � � f ( x) g ( x)  0 �g ( x)  0 f ( x ) g ( x) �0 � � �� � � � f ( x ) g ( x )  0 �f ( x) �0 � � �f ( x)  0 � � � �g ( x)  0 � Bài tập tương tự:Giải bất phương trình: (2 x  5) 4. DẠNG: � � x2 � x 3 � � 1 x � � � 2 2 x 2  5 x  2 �0 f ( x) �g ( x ) � f ( x)  h( x) �g ( x)  h( x) f ( x ) � h(x)۳ g ( x) h( x) f ( x) g ( x) ? Ví dụ: Giải bất phương trình sau: x 2 x2  x4 4 x � 2  4  x2 2 (11) Sai lầm thường gặp: Bpt(11) x 2 (2  4  x 2 ) � x2  x  4  4  x 2 � x2 � �x �0 � �2 2 2 �x  x  4  4  x �2  4  x �x �0 �x �0 � �2 �� 2 �x �3 � �x  x  6 �0 Nguyên nhân sai lầm: Phép biến đổi Lời giải đúng: x 2  x  4  4  x 2 �2  4  x 2 thành x 2  x  6 �0 ĐKXĐ:  x �0; 2  x  2 Bpt(11) x 2 (2  4  x 2 ) � x2  x  4  4  x 2 � x2 � �x �0 � �2 2 2 �x  x  4  4  x �2  4  x �x �0 �x �0 �x �0 � 2 � �� 4  x �0 � �2 �x �2 � � 2 �x �2 � �x 2  x  6 �0 �2 �x �3 � � là không tương đương. KẾT LUẬN: f ( x) �g ( x) � f ( x)  h( x) �g ( x)  h( x ) ;h(x)�D với D là tập xác định của f ( x ) �g ( x) f ( x) � h ( x)۳ g ( x) h( x) f ( x) g ( x) ;với x thuộc tập xác định f ( x )  h( x ) �g ( x )  h( x ) của Bài tập tương tự:Giải bất phương trình: x2 3 x 2  2 x  1  25  x 2 � 5  25  x 2 V. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Sau khi tôi dạy một số tiết trên lớp và một số buổi bồi dưỡng thì tôi cho tiến hành kiểm tra khả năng tiếp thu kiến thức của học sinh trên các lớp tôi dạy thì thu được kết quả sau: Lớp Năm học Số học sinh đạt yêu cầu 10C1 2009-2010 38/51 (74,5 %) 10C2 2009-2010 41/52 (78,8%) 10A3 2009-2010 41/50 (82,0%) VI. KẾT LUẬN: Được giảng dạy các lớp 10 nên tôi đã nhận thấy được một số khuyết điểm, sai lầm mà học sinh thường mắc phải trong khi giải bài tập,nhất là những bài toán về phương trình và bất phương trình có chứa ẩn ở mẫu và có chứa ẩn trong dấu căn thức bậc hai. Khi hướng dẫn học sinh sửa bài tập gặp những bài toán về phương trình và bất phương trình có chứa ẩn ở mẫu và có chứa ẩn trong dấu căn thức bậc hai tôi thường trăn trở phải làm sao cho các em thấu suốt một cách triệt để,biết phân loại các bài toán,phân tích mỗi loại và tìm phương pháp vận dụng lý thuyết vào mỗi loại bài.Trên cơ sở đó tôi luôn tích luỹ kinh nghiệm sau mỗi tiết dạy ,tìm tòi đổi mới và đưa các bài tập áp dụng vào một tiết học giải bài tập,luyện tập hoặc ôn tập chương nên phần nào các em đã hiểu đựơc . Qua đó các em phần nào tự tin hơn khi giải một bài toán mà không sợ mình mắc phải sai làm nào. Trong bài viết này , tôi chỉ giới thiệu một số dạng toán cơ bản mà các em thường mắc sai lầm khi giải để cho các em nắm được một cách chắc chắn hơn. Mong rằng có những ý kiến chia sẻ đóng góp kinh nghiệm của đồng nghiệp để bài viết hoàn thiện hơn.
- Xem thêm -