www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ
TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong chương trình Hình học giải tích lớp 12, bên cạnh các dạng toán quen thuộc
như: viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu, tìm tọa độ điểm…. ta còn gặp
các bài toán tìm vị trí của điểm, đường thẳng hay mặt phẳng liên quan đến một điều kiện
cực trị. Đây là dạng Toán khó, chỉ có trong chương trình nâng cao và đề tuyển sinh Đại
học, cao đẳng.
Trong quá trình trực tiếp giảng dạy Toán lớp 12 và nghiên cứu, tôi thấy đây là
dạng toán không chỉ khó mà còn khá hay, lôi cuốn được các em học sinh khá giỏi. Nếu ta
biết sử dụng linh hoạt và khéo léo kiến thức của hình học thuần túy, véctơ, phương pháp
tọa độ, giải tích thì có thể đưa bài toán trên về một bài toán quen thuộc.
Với tinh thần trên, nhằm giúp các em hứng thú hơn, tạo cho các em niềm đam mê,
yêu thích môn toán, mở ra một cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến
thức đã học, tạo nền tảng cho các học sinh tự học, tự nghiên cứu, tôi trình bày chuyên đề
“ Một số bài toán cực trị trong hình học giải tích lớp 12”.
II. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI
1. Thuận lợi.
- Học sinh đã được trang bị kiến thức, các bài tập đã được luyện tập nhiều.
- Học sinh hứng thú trong tiết học, phát huy được khả năng sáng tạo, tự học và yêu
thích môn học.
- Có sự khích lệ từ kết quả học tập của học sinh khi thực hiện chuyên đề.
2. Khó khăn.
- Giáo viên mất nhiếu thời gian để chuẩn bị các dạng bài tập
- Nhiều học sinh bị mất kiến thức cơ bản trong hình học không gian, không nắm
vững các kiến thức về hình học, vec tơ, phương pháp độ trong không gian.
- Đa số học sinh yếu môn hình học.
III. NỘI DUNG.
1. Cơ sở lý luận.
Cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả phương pháp suy luận, khả
năng tư duy. Từ những kiến thức cơ bản phải dẫn dắt hoc sinh có được những kiến thức
nâng cao một cách tự nhiên (chứ không áp đặt ngay kiến thức nâng cao).
Trong chuyên đề chủ yếu dùng phương pháp tọa độ trong không gian để giải các
bài toán được đặt ra.
2. Nội dung.
Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB.
Trang 1/24
www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
2.1. Nhắc lại một số dạng toán hay được sử dụng.
a. Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (α)
- Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên (α).
- Viết phương trình đường thẳng MH(qua M và vuông góc
với (α))
- Tìm giao điểm H của MH và (α).
Nếu yêu cầu tìm điểm M’ đối xứng với M qua mặt
phẳng (α) thì ta vẫn tìm hình chiếu H của M lên (α), dùng
công thức trung điểm suy ra tọa độ M’.
b. Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng d:
- Viết phương trình tham số của d
- Gọi H d có tọa độ theo tham số t
H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên d khi
-
ud MH 0
- Tìm t, suy ra tọa độ của H.
2.2 Các bài toán cực trị liên quan đến tìm một điểm thỏa điều kiện cho trước.
Bài toán 1: Cho n điểm A1, A2, ..An, với n số k1, k2,.,kn thỏa k1+ k2+ ….+kn = k ≠ 0 và
đường thẳng d hay mặt phẳng (α). Tìm điểm M trên đường thẳng d hay mặt phẳng (α)
sao cho k1 MA1 k2 MA2 ... kn MAn có giá trị nhỏ nhất.
PP chung:
Tìm điểm I thỏa k1 IA1 + k 2 IA 2 +...+ k n IA n 0
Biến đổi k1 MA1 + k 2 MA 2 +...+ k n MA n = (k1 + k 2 +...+ k n )MI = k MI
Ví dụ 1: Cho đường thẳng d : x- 4 = y+1 = z và hai điểm A 0;1;5 , B 0;3;3 .
1
1
1
Tìm tọa độ điểm M trên đương thẳng d sao cho:
1) MA + MB có giá trị nhỏ nhất.
2) MA - 4MB có giá trị nhỏ nhất.
Tìm vị trí của M khi
MI
đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
1) Gọi điểm I thỏa IA + IB = 0 thì I là trung điểm AB và I(0; 2; 4)
Khi đó MA + MB MI + IA + MI IB 2 MI có giá trị nhỏ nhất
MI nhỏ nhất M là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d.
x = 4 + t
Đường thẳng d có vtcp u = (1; 1; 1) , phương trình tham số d: y = -1 + t
z = t
Tọa độ M(t + 4; -1 + t; t), IM = ( t+4; t-3 ; t - 4) khi M là hình chiếu vuông góc của I lên
đường thẳng d thì IM.u 0 hay 3t – 3 = 0 t = 1. Vậy M( 5; 0; 1).
Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB.
Trang 2/24
www.VNMATH.com SKKN: MỘT
SÔBÀI
TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
2) Gọi điểm J(x; y; z) thỏa JA - 4JB = 0
Ta có: (0 –x; 1 –y; 5 – z) – 4(0 – x; 3- y; 3- z) = (0; 0; 0)
13
7
13 7
x = 0; y = , z = , vậy J(0; ; )
5
3
5 3
Khi đó MA - 4MB MJ+ JA- 4(MJ JB) 3MJ 3 MJ có giá trị nhỏ nhất khi M là hình
chiếu vuông góc của J lên đường thẳng d.
18
17
;t) khi M là hình chiếu vuông góc của J
5
5
lên đường thẳng d thì JM.u 0 hay 3t – 3 = 0 t = 1
Vậy M( 5; 0; 1) thì MA - 4MB có giá trị nhỏ nhất.
Tọa độ M(4+ t; -1+ t; t), JM = ( t+ 4; t -
Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (α): 2x – 2y + 3z + 10 = 0 và ba
điểm A 1;0;1 ,
B -2;1;2 , C 1;-7;0 . Tìm điểm M trên mặt phẳng (α) sao cho :
1) MA + MB MC có giá trị nhỏ nhất.
2) MA -2MB 3MC có giá trị nhỏ nhất.
Giải:
1) Gọi G thỏa GA + GB +GC = 0 thì G là trọng tâm của tam giác ABC và G(0;-2;1).
Ta có MA + MB MC = MG + GA + MG GB MG GC = 3 MG có giá trị nhỏ nhất khi M
là hình chiếu vuông góc của G lên mặt phẳng (α).
Đường thẳng MG nhận n = (2; -2; 1) làm một vecto chỉ phương nên phương trình tham số
x = 2t
của MG là: y = -2-2t . Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình:
z = 1+3t
4t – 2(-2- 2t) + 3(1+3t)+ 10 = 0 17t 17 0 t 1
Vậy với M(-2; 0; -2) thì MA + MB MC có giá trị nhỏ nhất.
2) Gọi I(x; y; z) là điểm thỏa IA -2IB 3IC 0
Ta có (1- x; -y; 1-z) - 2(-2-x; 1-y; 2-z) + 3(1-x; -7-y; -z) = (0;0;0)
23
3
23 3
; z = - , vậy I(4; ; )
2
2
2
2
Ta có: MA -2MB 3MC = MI+IA -2(MI IB) 3(MI IC ) = 2MI có giá trị nhỏ nhất khi M là
x = 4; y = -
hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (α)
x = 4+2t
Phương trình tham số của đường thẳng MI: y = 23 -2t
2
3
z = 2 +3t
Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình:
2(4 2t) 2(
73
73
23
3
0t
2t) 3( 3t) 10 0 17t
2
2
2
34
Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB.
Trang 3/24
www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
Vậy với M( 5 ; 245 ; 135 ) thì MA -2MB 3MC đạt giá trị nhỏ nhất.
17
34
17
Bài toán 2: Cho đa giác A1 A2 ….An và n số thực k1, k2, …., kn thỏa k1+ k2+ ….+ kn = k .
Tìm
điểm M thuộc mặt phẳng ( hay đường thẳng) sao cho tổng T =
2
k1MA1 k2 MA22 ... kn MAn2 đạt giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất
PP
chung:
- Tìm điểm I thỏa k1 IA1 + k 2 IA 2 +...+ k n IA n 0
- Biến đổi : T = k1MA12 k 2MA 22 ... k nMA n2 =
= (k1 +...+ k n )MI 2 + k1IA12 k 2IA 22 .. k n IA n2 + 2 MI(k1 IA1 +..+ k n IA n )
= kMI 2 + k1IA12 k 2IA 22 ... k n IA 2n
Do k1IA12 k 2IA 22 ... k n IA n2 không đổi, Biểu thức T nhỏ nhất hoặc lớn nhất khi MI nhỏ
nhất hay M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng hay đường thẳng.
Chú ý:
- Nếu k1+ k2+ ….+ kn = k > 0, Biểu thức T đạt giá trị nhỏ nhất MI nhỏ nhất
- Nếu k1+ k2+ ….+ kn = k < 0, Biểu thức T đạt giá trị lớn nhất khi MI nhỏ nhất.
Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α): x + 2y + 2z + 7 = 0 và ba điểm A(1; 2; -1), B(3; 1; -2),
C(1; -2; 1).
1) Tìm M trên mặt phẳng (α) sao cho MA2 + MB2 có giá trị nhỏ nhất.
2) Tìm M trên mặt phẳng (α) sao cho MA2 - MB2 – MC2 có giá trị lớn nhất.
Giải:
3 3
1) Gọi điểm I(x; y; z) thỏa IA + IB = 0 thì I là trung điểm AB và I (2; ; )
2 2
2 2
2
2
Ta có: MA + MB = (MI + IA) +(MI + IB)
IA 2 + IB2 +2MI 2 +2MI(IA + IB) = IA 2 + IB2 +2MI 2
Do IA 2 + IB2 không đổi nên MA2 + MB2 nhỏ nhất khi MI2 có giá trị nhỏ nhất,
hay M là
hình chiếu vuông góc của I lên (α). Đường thẳng IM qua điểm I và có vtcp n α (1; 2; 2)
Phương trình tham số MI:
x = 2+t
3
y = + 2t
2
3
z = 2 +2t
Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình:
3
3
1 7
2 t 2( 2t) 2( 2t) 7 0 9t 9 0 t 1 M (1; ; )
2
2
2 2
1 7
Vậy với M(1; ; ) thì MA2 + MB2 có giá trị nhỏ nhất.
2 2
Nhận xét:
Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB.
Trang 4/24
www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
AB 2
Với I là trung điểm AB thì MA + MB = 2MI +
, do AB2 không đổi nên
2
MA2 + MB2 nhỏ nhất khi MI2 có giá trị nhỏ nhất, hay M là hình chiếu vuông góc của I
lên (α).
2) Gọi J(x; y; z) là điểm thỏa JA - JB -JB = 0
Hay (1 x; 2 y; 1 z) (3 x;1 y; 2 z) (1 x; 2 y;1 z) (0; 0; 0)
2
2
2
3 x 0
3 y 0 J(3; 3; 0)
z 0
Ta có: MA2 - MB2 – MC2 = (MJ + JA) 2 - (MJ + JB) 2 (MJ + JC) 2
J A 2 JB2 JC 2 MJ 2 + 2MJ(JA JB JC) JA 2 JB2 JC 2 MJ 2
Do JA 2 JB 2 JC 2 không đổi nên MA2 - MB2 – MC2 lớn nhất khi MJ nhỏ nhất hay M là
hình chiếu của J trên mặt phẳng (α).
Đường thẳng JM qua điểm I và có vtcp n α (1; 2; 2)
x = 3+t
Phương trình tham số MJ: y = -3+ 2t
z = 2t
Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình:
3 t 2( 3 2t) 2.2t 7 0 9t 4 0 t
4
23 35 8
M( ; ; )
9
9
9 9
Vậy với M ( 23 ; 35 ; 8 ) thì MA2 - MB2 – MC2 có giá trị lớn nhất.
9
9
9
Ví dụ 2: Cho đường thẳng d có phương trình:
x-1 y-2
z-3
và các điểm A(0;1;-2),
=
=
1
2
1
B( 2; -1; 2), C(4; 3; 3). Hãy tìm tọa độ điểm M trên d sao cho
1) MA2 - 2MB2 có giá trị lớn nhất
2) MA2 + MB2 + MC2 có giá trị nhỏ nhất.
Giải:
1) Gọi điểm I(x; y; z) là điểm thỏa IA -2 IB = 0
4 x 0
2) Hay: ( x;1 y; 2 z) 2(2 x; 1 y; 2 z) (0;0;0) 3 y 0 I(4; 3;6)
- 6+z 0
2
2
2
2
Ta có MA - 2MB = (MI + IA) 2(MI + IB)
IA 2 2IB 2 MI 2 + 2MI(IA 2 IB) IA 2 2IB2 MI 2
Do IA 2 - 2 IB2 không đổi nên MA2 -2 MB2 lớn nhất khi MI2 có giá trị nhỏ nhất, hay M là
hình chiếu vuông góc của I lên d.
x = 1+t
Đường thẳng d có vtcp u (1; 2;1) , phương trình tham số d: y = 2+ 2t
z = 3+ t
Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB.
Trang 5/24
www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
M d M(1 t; 2 2t; 3 t) , IM = ( t-3; 2t + 5 ; t - 3) khi M là hình chiếu vuông góc
2
1 2 7
của I lên đường thẳng d thì IM.u 0 6t 4 0 t M ( ; ; )
3
3 3 3
Vậy với M( 1 ; 2 ; 7 ) thì MA2 - 2MB2 có giá trị lớn nhất.
3 3 3
Nhận xét:Ta có thể dùng phương pháp khảo sát hàm số để tìm vị trí của điểm M
Với M d M(1 t; 2 2t; 3 t)
Và MA2 - 2MB2 = (t + 1)2 + (2t + 1)2 +(t + 5)2 – 2[(t - 1)2 + (2t + 3)2+(t +1)2
= - 6t2 – 8t +5
Xét hàm số f (t ) 6t 2 – 8t 5, t R .
2
Đạo hàm f '(t ) 12t – 8t , f '(t ) 0 t
3
Bảng biến thiên
2
T
3
f’(t)
+
0
23
3
f(t)
2
Từ bảng biến thiên ta thấy f(t) đạt giá trị lớn nhất khi t .
3
1 2 7
Hay MA2 - 2MB2 có giá trị lớn nhất khi M( ; ; )
3 33
2) Gọi điểm G(x; y; z) là điểm thỏa GA + GB +GC = 0 thì G(2;1;1) là trọng tâm ABC.
Ta có:
MA2 + MB2 + MC2 = (MG + GA) 2 + (MG + GB) 2 +(MG + GC) 2
= GA 2 GB2 GC 2 +3MG 2 + 2MG(GA GB GC)
= GA 2 GB 2 GC 2 +3MG 2
Do GA 2 GB2 GC 2 không đổi nên MA2 + MB2 + MC2 nhỏ nhất khi MG nhỏ nhất, hay
M là hình chiếu vuông góc của G lên đường thẳng d.
M d M(1 t; 2 2t; 3 t) , GM = ( t-1; 2t +1 ; t +2)
Khi M là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d thì
1
1 5
GM.u 0 6t 3 0 t M( ;1; ) .
2
2
2
1 5
Vậy với M ( ;1; ) thì MA2 + MB2 + MC2 có giá trị nhỏ nhất.
2 2
Bài toán 3: Cho mặt phẳng (α) có phương trình:ax + by + cz + d = 0 và hai điểm A,B
không thuộc (α) . Tìm điểm M trên (α) sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất.
PP chung:
Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB.
Trang 6/24
www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
1. Nếu (axA+byA+ czA + d)(axB+byB+ czB+ d) < 0 thì A, B nằm về hai phía với (α).
Để MA + MB nhỏ nhất khi M thuộc AB hay M là giao điểm của (α) và AB.
2. Nếu (axA+byA+ czA + d)(axB+ byB+ czB+ d) >0 thì A, B nằm về một phía với (α).
Khi đó ta tìm điểm A’ đối xứng với A qua (α). Do MA + MB = MA’+ MB mà đạt
giá trị nhỏ nhất khi M thuộc A’B hay M là giao điểm của (α) và A’B.
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) có phương trình:
x – 2y – 2z + 4 = 0 và hai điểm A(1; 1; 2), B(2; 0; 2). Tìm tọa độ điểm M trên mặt
phẳng (α) sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất.
Giải:
Thay tọa độ của A và B vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm về hai phía của (α).
Ta có MA + MB có giá trị nhỏ nhất khi
M là giao điểm của AB và (α).
Đường thẳng AB qua điểm B, nhận AB (1; 1;0) làm vecto chỉ phương.
x 2 t
Phương trình tham số của AB: y t .Tọa độ M ứng với t là nghiệm pt:
z 2
4 2
2
2 + t – 2(-t)- 2.2 + 4 = 0 3t 2 0 t . Hay M ( ; ;2) là điểm cần tìm.
3 3
3
Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (α) có phương trình: x – y + 2z = 0 và ba điểm A(1; 2;-1),
B(3; 1; -2), C(1; -2; -2). Hãy tìm điểm M trên d sao cho
1) MA + MB có giá trị nhỏ nhất
2) MA - MC có giá trị lớn nhất.
Giải:
1) Thay tọa độ của A và B vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm về một phía của (α).
Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua (α), để MA + MB có giá trị nhỏ nhất khi M là giao
điểm của A’B với (α).
Đường thẳng AA’ đi qua A và vuông góc với (α), AA’ nhận n (1; 1; 2) làm vecto chỉ
x 1 t
phương nên phương trình tham số AA’: y 2 t
z 1 2t
Tọa độ hình chiếu vuông góc H của A trên (α) ứng với t của phương trình
1
2
3 3
2 2
1 + t – (2 – t) + 2(-1 + 2t) = 0 6t – 3 = 0 hay t = H( ; ; 0)
x A ' = 2x H x A 2
Do H là trung điểm AA’ nên y A ' =2y H y A 1 A '(2; 1; 1) . A’B có vtcp A'B (1;0; 3)
z = 2z z 1
A'
H
A
x 2 t
Phương trình tham số A’B: y 1
z 1 3t
Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình:
Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB.
Trang 7/24
www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
2 + t – 1 + 2(1 – 3t) = 0 5t 3 0 t
3
hay M(13 ;1; 4 )
5
5
5
Vậy với M (13 ;1; 4 ) thì MA + MB có giá trị nhỏ nhất.
5
5
2) Thay tọa độ của A và C vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm về hai phía của
(α).Vậy nên A’ và C nằm cùng một phía đối với (α).
Ta thấy MA - MC MA' - MC A'C .
Nên MA - MC đạt giá trị lớn nhất khi M thuộc A’C nhưng ở phía ngoài đoạn A’C, tức M
là giao điểm của A’C và (α). Đường thẳng A’C có vtcp A'C (1; 3; 3)
x 2 t
Phương trình tham số A’C: y 1 3t
z 1 3t
Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình:
2 - t - (1 – 3t) + 2(1 - 3t) = 0 4t 3 0 t
3
hay M ( 5 ; 5 ; 5 )
4
4 4 4
Vậy với M ( 5 ; 5 ; 5 ) thì MA - MC có giá trị lớn nhất.
4
4
4
Bài toán 4: Cho đường thẳng d và hai điểm phân biệt A,B không thuộc d. Tìm điểm M
trên đường thẳng d sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất.
PP chung:
1. Nếu d và AB vuông góc với nhau
Ta làm như sau:
- Viết phương trình mặt phẳng (α) qua AB và vuông góc với d
- Tìm giao điểm M của AB và (α)
- Kết luận M là điểm cần tìm.
2. Nếu d và AB không vuông góc với nhau
Ta làm như sau:
- Đưa phương trình của d về dạng tham số, viết tọa độ của M theo tham số t
- Tính biểu thức MA + MB theo t, xét hàm số f(t) = MA + MB
- Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số f(t), từ đó suy ra t
- Tính tọa độ của M và kết luận.
Ví dụ 1: Cho đường thẳng d : x-1 = y + 2 = z-3 và hai điểm C(-4; 1; 1), D(3; 6; -3).
2
2
1
Hãy tìm điểm M trên d sao cho MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
x 1 2t
Đường thẳng d có phương trình tham số y 2 2t
z 3 t
qua điểm N(1; -2; 3), có vtcp u (2; 2;1) và CD (7;5; 4)
Ta có u . CD = 14 -10 – 4 = 0 d CD . Xét mặt phẳng (P) qua CD và vuông góc với d
(P) qua điểm C(-4; 1; 1) và nhận u (2; 2;1) làm vecto pháp tuyến
Phương trình (P): 2(x +4) – 2(y -1) + 1(z -1) = 0 hay 2x – 2y + z + 9 = 0
Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB.
Trang 8/24
www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
Điểm M thuộc d thỏa MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của d và mp(P).
Tọa độ M ứng với t là nghiệm của phương trình:
2 + 4t + 4 + 4t + 3 + t + 9 = 0 9t + 18 0 t 2
Vậy M(-3; 2; 1) thì MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất bằng: 2 2 17
Ví dụ 2: Cho hai điểm A(3; 0; 2), B(2; 1; 0). Hãy tìm điểm M trên trục Ox sao cho
MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất
Giải:
Ox có vtcp i (1;0;0) qua O(0; 0; 0), AB có vtcp AB (1;1; 2) và i.AB 1 0 Ox và
AB không
vuông góc.
Ta có [i , AB]OA = (0; 2; 1)(3; 0; 2) = 0 + 6 +2 = 8 nên AB và Ox chéo nhau.
x t
Phương trình tham số của Ox: y 0 . M Ox M(t;0;0)
z 0
S = MA + MB = (t -3)2 0 4 (t -2)2 1 0 = (t -3)2 4 (t -2)2 1
Ta phải tìm t sao cho S đạt giá trị nhỏ nhất. Trong mặt phẳng tọa độ với hệ Oxy xét các
điểm Mt(t; 0) Ox và hai điểm At(3;2), Bt(2; 1) thì S = MtAt + MtBt .
Ta thấy At, Bt nằm cùng phía với Ox nên ta lấy At’(3; -2) đối xứng với At qua Ox.
Phương trình đường thẳng At'Bt : 3x + y – 7 = 0
7
S = MtAt + MtBt nhỏ nhất khi M là giao điểm của Ox và At'Bt 3t - 7 = 0 hay t .
3
7
Vậy M ( ;0;0) là điểm cần tìm.
3
Cách khác: Ta có thể tìm điểm M bằng phương pháp khảo sát hàm số.
Ta xét hàm số f t (t -3)2 4 (t -2)2 1 ( t R )
f t
t 3
t 3
f t 0
2
t 2
4
t 3
t 3
2
(t 3)
t2
2
2
;
1
t 2
t 2
4
2
(t 2)
t 3 4
2
2
0
1
(*) với điều kiện 2 ≤ t ≤ 3 ta có:
t 2 1
2
2
2
(*) t 3 [ t 2 1] t 2 [ t 3 4]
t 1 [2;3]
t 3 2(t 2)
t 3 4 t 2
7
t
t 3 2(t 2)
3
Bảng biến thiên của hàm số f(t) :
2
T
f’(t)
2
7
3
-
0
+
Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB.
Trang 9/24
www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
f(t)
38 10
3
7
Từ bảng biến thiên suy ra min f t f =
3
38 10
3
7
38 10
, đạt được tại t 7 , tức là M( ;0; 0)
3
3
3
Vậy MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất bằng
Ví dụ 3: Cho đường thẳng d : x-2 = y-2 = z -1 và hai điểm A(-1; 1; 1), B(1; 4; 0). Hãy
2
2
1
tìm điểm M trên d sao cho chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
x 1 2t
Đường thẳng d có phương trình tham số y 2 2t qua điểm N(1; 2; 1), có vtcp
z 1 t
u (2;2;1) và AB (2;3; 1) . Ta có u . CD = 4 + 6 – 1 = 9 ≠ 0 d không vuông góc với
AB và [u, AB]NA = (-5; 4; 2)(-2; -1; 0) = 10 – 4 = 6 d và AB chéo nhau.
- Chu vi tam giác MAB là 2p = 2(MA + MB + AB), do AB không đổi nên 2p đạt giá trị
nhỏ nhất khi MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.
Xét điểm M d M(1 2t ; 2+2t;1 t ) , ta phải tìm t để MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất
Xét f t MA + MB = (2t 2)2 (2t 1)2 t 2 (2t ) 2 (2t 2) 2 (t 1)2
f t = 9t 2 12t 5 9t 2 6t 5 = (3t 2)2 1 (3t 1) 2 4
Có đạo hàm f '(t )
3t 2
2
3t 1
(3t 2) 1
(3t 1)2 4
3t 2
3t 1
3t 2
(3t 1)
2
1
f '(t ) 0
0
với t
2
2
2
2
3
3
(3t 2) 1
(3t 1) 4
(3t 2) 1
(3t 1) 4
(3t 2) 2 [(3t 1) 2 4] (3t 1) 2 [(3t 2)2 1]
5
t 3
2(3t 2) 3t 1
1
2
2
4(3t 2) (3t 1)
t
3
2(3t 2) 3t 1 t 1
3
Bảng biến thiên của hàm số f(t) :
T
f’(t)
-
1
3
0
+
f(t)
32
Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB.
Trang 10/24
www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
Ta thấy f(t) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 2 khi t =
1
3
2 4 1
3 3 3
Hay với M( ; ; ) thì MA + MB đạt giá nhỏ nhất bằng 3 2
Nhận xét: Trong dạng toán này nếu ta dùng phương pháp khảo sát hàm số thì việc tìm
t sẽ đơn giản hơn.
Bài toán 5: Cho hai đường thẳng d1,d2 chéo nhau. Tìm các điểm M d1, N d2 là chân
đoạn vuông góc chung của hai đường trên.
PP chung:
-
Viết phương trình hai đường thẳng dạng tham số
Lấy M d1 và N d 2 ( tọa độ theo tham số).
-
Giải hệ phương trình MN.u1 0 và MN.u 2 0
-
Tìm tọa độ M, N và kết luận.
u
( 1 , u 2 là các véctơ chỉ phương của d1 và d2 ).
Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng d1 : x-5 = y+1 = z -11 , d 2 : x+ 4 = y-3 = z - 4
1
2
-1
7
2
3
1) Chứng minh d1, d2 chéo nhau
2) Tìm điểm M d1 và N d 2 sao cho độ dài MN ngắn nhất.
Giải:
1) d1 qua M1(5; -1; 11), có vtcp u1 (1;2; 1)
d2 qua M2(-4; 3; 4), có vtcp u 2 (7; 2;3)
Ta có [ u1, u 2 ] M1M 2 = (8; 4; 16)(-9;4; -7) = -72 +16 – 112 = -168 0
Hay d1 và d2 chéo nhau.
2). M d1 và N d 2 sao cho độ dài MN ngắn nhất khi và chỉ khi MN là độ dài đoạn
vuông góc chung của d1 và d2.
Phương trình tham số của hai đường thẳng
x 4 7 t
x 5 t
d1: y 1 2t , d2: y 3 2t
z 4 3t
z 11 t
M d1 nên M(5 + t; -1 + 2t; 11- t), N d 2 nên N(-4 – 7t’;3 +2t’; 4 + 3t’)
MN ( - 7t’- t – 9; 2t’ – 2t +4; 3t’ + t – 7)
MN.u1 0
6t ' 6t 6 0
t 2
Ta có
62t ' 6t 50 0
t ' 1
MN.u 2 0
Do đó M(7; 3;9) và N(3; 1; 1) thì độ dài MN ngắn nhất bằng 2 21 .
Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB.
Trang 11/24
www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
x 2 t
Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: y 4 t và hai điểm A(1;2; 3),B(1; 0; 1). Tìm điểm M
z 2
trên d sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất
Giải:
-
Lấy điểm M trên d, Gọi H là hình chiếu vuông góc
của M lên AB
Tam giác MAB có diện tích S = 1 AB.MH đạt giá trị
2
nhỏ nhất khi MH nhỏ nhất, hay MH là đoạn vuông
góc chung của AB và d.
Ta thấy d qua M1(2; 4; -2), có vtcp u (1;1;0)
AB qua A(1; 2; 3) và AB (0; -2;-2) = 2u1
với u1 (0;1;1) là véc tơ chỉ phương của AB
x 1
Phương trình tham số AB y 2 t '
z 3 t '
M(2 + t; 4+ t; -2) d ,H(1; 2+ t’;3+t’) AB , MH ( -t -1; t’ – t -2; t’ +5)
t ' 2t 3
t ' 3
MH.u 0
Ta có
2t ' t 3
t 3
MH.u1 0
Vậy M(-1; 1; -2), H(1; -1; 0) khi đó MH = 2 3 , AB = 2 2
Diện tích S MAB
1
AB.MH 6
2
x 0
Ví dụ 3: Cho đường thẳng d: y t
. Trong các mặt cầu tiếp xúc với cả hai đường
z 2 t
thẳng d và trục Ox, hãy viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất.
Giải:
Giả sử mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R tiếp xúc với d tại M, tiếp xúc với Ox tại N
Ta thấy 2R = IM + IN ≥ MN, do đó mặt cầu (S) có đường kính nhỏ nhất là 2R = MN
khi và chỉ khi MN nhỏ nhất hay MNlà đoạn vuông góc chung của d và Ox.
Đường thẳng d qua M(0; 0; 2), có vtcp u (0;1; 1) ,
Ox qua O(0; 0; 0), có vtcp i (1;0;0) .
[ u, i ] OM = (0; 0; -1)(0; 0; 2) = -2 0 nên d và Ox chéo nhau.
Với M(0; t; 2- t) d, N(t’; 0; 0) Ox và MN ( t’; -t; t – 2)
-
Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB.
Trang 12/24
www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
MN.u 0
t t 2 0
t 1
Ta có
t ' 0
t ' 0
MN.i 0
Vậy M(0; 1; 1), N(0; 0; 0) ≡ O
1 1
Mặt cầu (S) có tâm I (0 ; ; ) , bán kính R = MN 2
2 2
2
2
1
1
1
Phương trình mặt cầu (S): x 2 ( y )2 ( z ) 2
2
2
2
Các bài toán cực trị liên quan đến vị trí của đường thẳng, mặt phẳng.
Bài toán 1: Cho hai điểm phân biệt A,B. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A và
cách B một khoảng lớn nhất.
PP chung:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng (α), khi đó
tam giác ABH vuông tại H và khoảng cách d(B; (α)) = BH ≤ AB.
Vậy d(B; (α)) lớn nhất bằng AB khi A ≡ H, khi đó (α) là mặt
phẳng đi qua A và vuông góc với AB.
Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm D(1; -2; 3) và cách điểm I(3; 1; -2) một khoảng lớn nhất.
Giải:
-2) một khoảng lớn nhất khi (α) là mặt phẳng đi qua D và vuông
(α) cách điểm I(3; -1;
góc với DI. (α) nhận DI (2; 1; -5) làm vectơ pháp tuyến
Phương trình mặt phẳng(α): 2(x -1) + 1(y +2) – 5(z -3 ) = 0 2x + y – 5z + 15 = 0
Ví dụ 2: Cho hai điểm A(2; 1; 3), B(1; -1; 1), gọi (α) là mặt phẳng qua A. Trong các
mặt cầu tâm A và tiếp xúc với (α), viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính lớn nhất.
Giải:
Mặt cầu (S) có bán kính R = d(A; (α)) lớn nhất khi (α) qua B và vuông góc với AB
BA (1; 2; 2) là véctơ pháp tuyến của (α)
Phương trình (α): 1(x -1) + 2(y +1) +2( z – 1) = 0 x + 2y + 2z – 1 = 0
1 1 6 1
R = d(A; (α))
3
2
2
2
1 2 2
Phương trình mặt cầu (S): (x -2)2 + (y -1)2 + (z – 3)2 = 9.
Bài toán 2: Cho điểm A và đường thẳng ∆ không đi qua A. Viết phương trình mặt
phẳng (α) chứa ∆ sao cho khoảng cách từ A đến (α) lớn nhất
PP chung:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (α),
K là hình chiếu vuông góc của A lên ∆
Ta có d(A; (α)) = AH ≤ AK lớn nhất thì H ≡ K, khi đó
(α) là mặt phẳng đi qua ∆ và vuông góc với AK. Hay (α) qua ∆
và vuông góc với mp(∆, A).
Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB.
Trang 13/24
www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
Ví dụ 1: Cho ba điểm A(2; 1; 3), B(3; 0; 2); C(0; -2; 1). Viết phương trình mặt phẳng
(α) đi qua hai điểm A, B và cách C một khoảng lớn nhất.
Giải:
Mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A, B và cách C một khoảng lớn nhất khi (α) đi qua hai
điểm
A, B và vuông góc với mp(ABC).
AB (1; 1; 1) , AC (2; 3; 2)
(ABC) có véctơ pháp tuyến n [AB, AC] (1;4; 5)
(α) có véctơ pháp tuyến n [n, AB] ( 9 6; 3) 3(3; 2;1)
Phương trình (α): 3(x– 2) + 2(y – 1) + 1(z – 3) = 0 3x + 2y + z – 11 = 0.
x 2 y 1 z 1
x
y 3 z 1
, d2 :
1
2
2
4
2
4
1) Chứng minh hai đường thẳng trên song song với nhau.
2) Trong các mặt phẳng chứa d1, hãy viết phương trình mặt phẳng (α) sao cho
khoảng cách giữa d2 và (α) là lớn nhất.
Ví dụ 2: Cho hai dường thẳng d1 :
Giải:
1) d1 qua M1(2; 1; -1), có vtcp u1 (1;2; 2)
d2 qua M2(0; 3; 1), có vtcp u 2 ( 2; 4; 4)
Ta thấy u2 2u1 và M1 d 2 nên hai đường thẳng song song
với nhau.
2) Xét(α1)
là mặt
phẳng chứa d1 và d2 thì (α1) có véctơ pháp
tuyến n1 [ u1 , M1M 2 ] (8; 2;6) 2(4;1;3) 2 n 2
Khoảng cách giữa d2 và (α) là lớn nhất khi (α) phải vuông góc
với (α1).
Do đó (α) nhận [u1 , n 2 ] (8; 11; 7) là véctơ pháp tuyến, qua
M1(2; 1; -1).
Phương trình (α): 8(x -2) -11(y -1) -7(z +1) = 0 hay 8x – 11y – 7z – 12 = 0.
Bài toán 3: Cho mặt phẳng (α) và điểm A thuộc (α), lấy B không thuộc (α). Tìm đường
thẳng ∆ nằm trong (α) đi qua A và cách B một khoảng lớn nhất, nhỏ nhất.
PP chung:
Gọi H là hình chiếu của B lên ∆ ta thấy d(B; ∆) = BH ≤ AB
Vậy khoảng cách từ B đến ∆ lớn nhất khi
A ≡ H hay ∆ là đường thẳng nằm trong
(α) và vuông góc với AB.
Gọi K là hình chiếu vuông góc của
B lên (α) khi đó d(B; (α)) = BH ≥ BK
Vậy khoảng cách từ B đến ∆ nhỏ nhất khi
K ≡ H hay ∆ là đường thẳng đi qua hai
điểm A, K.
Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB.
Trang 14/24
www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α): 2x – 2y + z + 15 = 0 và điểm A (-3; 3; -3).
Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trên (α), qua điểm A và cách điểm B(2;3; 5)
một khoảng :
1) Nhỏ nhất .
2) Lớn nhất.
Giải:
Ta thấy (α)có véctơ pháp tuyến n (2; 2;1)
1) Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (α)
x 2 2 t
Phương trình BH: y 3 2t
z 5 t
Tọa độ điểm H ứng với t là nghiệm của phương trình:
2(2 + 2t) - 2(3 – 2t) + 5 + t + 15= 0 t 2 hay H(-2; 7; 3)
Ta thấy d(B; ∆) nhỏ nhất khi ∆ đi qua hai điểm A, H do vậy AH (1; 4;6) là véc tơ chỉ
phương của ∆.
Phương trình của ∆: x+3 y-3 z +3
1
4
6
2) Ta có: d(B; ∆) lớn nhất
khi ∆ là đường thẳng nằm trong (α), qua A và vuông góc AB.
∆ có véctơ chỉ phương u [AB, n ] (16;11; 10)
Phương trình của ∆: x+3 y-3 z +3
16
11
10
Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm C(2; -1; 3), vuông góc với
đường thẳng d: x-3 y+2 z +5 và cách điểm D(4; -2; 1) một khoảng lớn nhất.
1
2
3
Giải:
Xét mặt phẳng (α) qua C và vuông góc với d, (α) nhận u d (1;2; 3) làm véctơ pháp
tuyến, thì ∆ nằm trong (α).
Do vậy d(D; ∆) lớn nhất khi ∆ nằm trong (α), qua C và vuông góc với CD.
∆ có véctơ chỉ phương u [CD, n ] (1; 8;5) .
Phương trình ∆: x-2 y+1 z -3
1
8
5
x 1 t
Ví dụ 3: Cho hai điểm A(2; 1; -1), B(-1; 2; 0) và đường thẳng d: y 0
z t
1) Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua d và B.
2) Viết phương trình đường thẳng ∆1 đi qua B cắt d sao cho khoảng cách từ A
đến ∆1 lớn nhất.
3) Viết phương trình đường thẳng ∆2 đi qua B cắt d sao cho khoảng cách từ A
đến ∆2 nhỏ nhất.
Giải:
1) Đường thẳng d qua điểm M(2; 0; 0) có vtcp ud (1;0; -1) , MB (2;2;0)
Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB.
Trang 15/24
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
www.VNMATH.com
[ u d , MB] (2; 2; 2) 2(1;1;1) 2n
(α) đi qua B nhận n (1;1;1) làm véctơ pháp tuyến nên pt (α): x + y + z – 1 = 0.
2) Gọi H là hình chiếu của A lên (α), để d(A, ∆1) nhỏ nhất khi ∆1 đi qua hai điểm B,H.
x 2 t
Phương trình tham số AH: y 1 t
z 1 t
Tọa độ H ứng với t là nghiệm phương trình:
5 2 4
1
2 + t + 1 + t -1 + t – 1 = 0 3t 1 0 t H( ; ; )
3 3 3
3
8 4 4
4
4
BH ( ; ; ) (2; 1; 1) u1 ∆1 nhận u1 làm véc tơ chỉ phương
3 3 3
3
3
Ta thấy u1 và u d không cùng phương nên d và ∆1 cắt nhau (do cùng thuộc mp (α))
Vậy phương trình ∆1: x+1 y-2 z
2
1
1
3) Gọi K là hình chiếu của A lên ∆2 ta có d(A, ∆2 ) = AK ≤ AB, để d(A, ∆2 ) lớn nhất khi
K ≡ B hay ∆2 nằm trong (α)và vuông góc với AB.
Ta có [ n , AB] (0; 4;4) 4(0;1; 1) 4u2 ∆2 nhận u 2 làm véc tơ chỉ phương, mặt
khác u 2 và u d không cùng phương nên d và ∆2 cắt nhau (do cùng thuộc mặt phẳng (α))
x 1
Phương trình ∆2: y 2 t
z t
Chú ý : Ta có thể dùng phương pháp khảo sát hàm số đề giải ý 2 và ý 3 trong ví dụ 3.
Gọi ∆ là đường thẳng tuỳý đi qua B và cắt d, giả sử ∆ cắt d tại điểm N(1+t, 0;-t), khi
đó ∆ có véc tơ chỉ phương NB (2 t;2; t )
Ta có AB ( 3;1;1) , [NB, AB] (2 t;2 2t;4 t )
[ NB, AB ]
3t 2 10t 12
(2 t )2 (2 2t ) 2 (4 t ) 2
Và d(A;∆) =
=
t 2 2t 4
NB
( 2 t ) 2 2 2 (t ) 2
16t 2 64t
3t 2 10t 12
Xét hàm số f (t ) 2
có f '(t ) 2
, với mọi t R
t 2t 4
(t 2t 4) 2
t 2
f '(t ) 0
t 2
Bảng biến thiên của f (t )
t
-2
2
f’(t)
+
0
-
0
+
11
3
f(t)
Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB.
Trang 16/24
www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
1
3
3
Từ bảng biến thiên ta thấy:
d(A;∆) lớn nhất bằng 11 khi t = -2 N(-1; 0;2); NB (0;2; 2) 2(0;1; 1)
x 1
và đường thẳng cần tìm có phương trình là: y 2 t
z t
1
khi t = 2 N(3; 0;-2); NB (4;2;2) 2(2; 1; 1)
3
x+1 y-2 z
và đường thẳng cần tìm có phương trình là :
2
1 1
d(A;∆) nhỏ nhất bằng
Bài toán 4: Cho mặt phẳng (α) và điểm A thuộc (α), đường thẳng d không song song
hoặc nằm trên (α) và không đi qua A. Tìm đường thẳng ∆ nằm trên (α), đi qua A sao
cho khoảng cách giữa ∆ và d là lớn nhất.
PP chung:
Gọi d1 là đường thẳng qua A và song song với d, B
là giao điểm của d với (α).
Xét (P) là mặt phẳng (d1, ∆), H và I là hình chiếu vuông
góc của B lên (P) và d1.
và BH ≤ BI
Ta thấy khoảng cách giữa ∆ và d là BH
nên BH lớn nhất khi I ≡ H, khi đó ∆ có vtcp u [BI, n ] .
Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: x-1 y-2 z -3 , mặt phẳng (α): 2x – y – z + 4 = 0 và
1
2
1
điểm A( -1; 1; 1).Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trên (α), đi qua A sao cho
khoảng cách giữa ∆ và d là lớn nhất.
Giải:
Đường thẳng d có vtcp u (1; 2; -1), (α) có vtpt n (2; -1; 1)
x 1 t
Phương trình tham số d: y 2 2t
z 3 t
Gọi B là giao điểm của d và (α), tọa độ B ứng với t là nghiệm phương trình:
2+ 2t – 2 – 2t – 3+ t + 4 = 0 t = -1 B(0; 0; 4)
Xét d1 là đường thẳng qua A và song song với d
x 1 t
Phương trình tham số đường thẳng d1: y 1 2t
z 1 t
Gọi I là hình chiếu vuông góc của B lên d1
Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB.
Trang 17/24
www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
I(-1 + t; 1 + 2t; 1 – t), BI (-1 + t; 1 + 2t;-5– t)
Ta có BI.u 0 -1 + t + 2(1 + 2t) –(-5– t) = 0 t = -1 I(-2; -1; 2)
Đường thẳng ∆ có vtcp u [BI, n ] = (-5; -10; 4) nên phương trình ∆: x+1 y-1 z -1 .
5
10
4
Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (P): x + y – z + 1= 0, điểm A(1; -1; 2) và đường thẳng
∆ : x+1 = y = z-4 . Trong các đường thẳng đi qua A và song song song với (P), hãy
2
1
3
viết phương trình đường thẳng d sao cho khoảng cách giữa d và ∆ lớn nhất.
Giải:
Mặt phẳng (α) qua A và song song với (P) có pt: x + y – z + 2= 0 d nằm trên (α).
n
u
(2;1;-3),
(α)
có
vtpt
Đường thẳng ∆ có vtcp
(1;1;-1)
x 1 2t
Phương trình tham số ∆: y t
z 4 3t
Gọi B là giao điểm của ∆ và (α), tọa độ B ứng với t là nghiệm phương trình:
-1+ 2t + t – (4- 3t) + 2 = 0 t =
1
1 5
B(0; ; )
2
2 2
Xét ∆1 là đường thẳng qua A và song song với ∆
x 1 2 t
Phương trình tham số đường thẳng ∆1: y 1 t
z 2 3t
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên ∆1 H(1 + 2t; -1 + t; 2 – 3t),
3
BH (1 + 2t; t - ; -3t)
2
3
1
Ta có BI.u 0 2 + 4t + t - + 9t = 0 t =
2
28
13
43 3
1
1
) = (26; -43; 3) = u1
BH =( ; ;
14
28 28
28
28
Đường thẳng d có vtcp u d [ u1 , n ] = (40; 29; 69).
Phương trình d : x-1 y+1 z -2
40
29
69
Bài toán 5: Cho hai đường thẳng ∆1 và ∆2 phân biệt và không song song với nhau. Viết
phương trình mặt phẳng (α) chứa ∆1 và tạo với ∆2 một góc lớn nhất.
Lời giải:
Vẽ một đường thẳng bất kỳ ∆3 song song với ∆2 và cắt ∆1 tại M. Gọi I là điểm cố định
trên ∆3 và H là hình chiếu vuông góc của I lên mp(α), kẻ IJ
∆1
Góc giữa (α) và ∆2 là góc IMH
= HM MJ không đổi
Trong tam giác vuông HMJ có cos IMH
IM
IM
Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB.
Trang 18/24
www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
lớn nhất khi MJ = MI hay H ≡ J, khi đó IMH
=(∆1,∆2) và (α) là mặt
Suy ra góc IMH
góc với mặt phẳng (∆1,∆2)
phẳng chứa ∆1 đồng
vuông
thời
Khi đó (α) nhận [ u 1 ,[ u 1 , u 2 ]] làm véctơ pháp tuyến.
Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: x-2 y+1 z-1 và hai điểm A( 3; -4; 2), B( 4; -3; 4).
2
1
1
Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa AB và tạo với d một góc lớn nhất.
Giải:
Đường thẳng d qua điểm M(2; -1; 1) có vtcp u (2; 1; 1) , AB (1;1;2)
=> n = [u, AB ] (3; 3;3) 3(1;1; 1)
Mặt phẳng (α) qua điểm A và nhận [ n, AB] (3; 3;0) 3(1; 1;0) làm vecto pháp tuyến
Phương trình mp(α): 1(x – 3) - 1(y + 4) = 0 hay x – y – 7 = 0
Khi đó cos((α),d) =
2 1 2
5 5
3
5
Ví dụ 2: Cho điểm A(1; 1; -1) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 2 = 0. Trong các mặt
phẳng đi qua A và vuông góc với (P), viết phương trình mặt phẳng (α) tạo với trục Oy
góc lớn nhất.
Giải:
Mp(p) có vecto pháp tuyến n P (2; 1; 2) .
Xét đường thẳng d qua A và vuông góc với (P), d có véctơ chỉ phương n P (2; 1; 2) ,
Oy có véctơ chỉ phương j (0;1;0) nên d và Oy không song song.
Theo bài toán 4 nếu (α) tạo với trục Oy góc lớn nhất thì (α) chứa d và vuông góc với
mp(d,Oy), do đó (α) nhận [ n P ,[ n P , j ]] = -2( 1; 4; 1) làm véctơ pháp tuyến nên pt (α):
1(x -1) + 4(y -1) +1( z + 1) = 0 hay x + 4y + z – 4 = 0.
Bài toán 6: Cho mặt phẳng (α) và điểm A thuộc (α), đường thẳng d không song song
hoặc nằm trên (α). Tìm đường thẳng ∆ nằm trên (α), đi qua A và tạo với d góc lớn
nhất, nhỏ nhất.
PP chung:
Vẽ đường thẳng d1 qua A và song song với d.
Trên d1 lấy điểm B khác A là điểm cố định, gọi K, H là
hình chiếu vuông góc của B lên (α) và ∆.
Ta có góc (d, ∆) = BAH
= BH ≥ BK . Do vậy góc (d, ∆) nhỏ
và sin(d, ∆) = sin BAH
AB
AB
nhất khi K ≡ H hay ∆ là đường thẳng AK.
Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB.
Trang 19/24
www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
Góc (d, ∆) lớn nhất bằng 900 khi ∆ d và ∆ có vtcp u [u d , n ]
Giải:
Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α): 2x + 2y – z – 7 = 0, điểm A(1; 2; -2) và đường thẳng
d: x+2 y-1 z -3 .
1
1
1
1) Viết phương trình đường thẳng ∆1 nằm trên (α), đi qua A và tạo với d một góc
lớn nhất.
2) Viết phương trình đường thẳng ∆2 nằm trên (α), đi qua A và tạo với d một góc
nhỏ nhất.
(α) có vectơ pháp tuyến n (2; 2; -1) , d có vectơ ud (1;1;1) qua điểm M(-2; 1; 3).
Ta thấy A (α) mặt khác n u d 0 nên d không song song hoặc nằm trên (α).
1) ∆1 tạo với d một góc lớn nhất khi ∆1 d
Do đó ∆1 có vectơ chỉ phương u1 [ud , n ] = (-3; 3; 0 ) = -3(1; -1; 0)
x 1 t
Phương trình tham số của ∆1: y 2 t
z 2
2) Xét đường thẳng d1 qua A và song song với d
Phương trình d1: x-1 y-2 z +2 , lấy điểm B(2; 3; -1) d1.
1
1
1
x 2 2 t
Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên (α) .Phương trình tham số của BK y 3 2t .
z 1 t
Tọa độ của K ứng với t là nghiệm của phương trình: 2(2 + 2t) + 2(3 + 2t)- (- 1- t) - 7 = 0
9t + 4 = 0 hay t =
4
10 19 5
K( ; ; )
9 9 9
9
1 1 13
∆2 tạo với d một góc nhỏ nhất khi nó đi qua hai điểm A và K, AK ( ; ; )
9 9 9
∆2 qua A(1; 2; -2), có vectơ chỉ phương u 2 9.AK (1;1;13)
x-1 y-2 z +2
Phương trình ∆2 :
1
1
13
Ví dụ 2: Cho hai điểm A(1; 0; 0) , B( 0; -2; 0) và đường thẳng d: x-1 y-2 z -3 .
2
1
1
Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, vuông góc với d và tạo với AB một góc nhỏ
nhất.
Giải:
Đường thẳng d có vectơ u d (2;1;1) .
Xét mặt phẳng
(α) qua A và vuông góc với d ∆ nằm trên (α)
(α) nhận u d (2;1;1) làm vectơ pháp tuyến. Phương trình (α): 2x + y + z – 2 = 0.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (α), BH có vectơ u d (2;1;1)
Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB.
Trang 20/24
- Xem thêm -
.PDF 
24 
1130 
149 
