Tài liệu Skkn một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải

“Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải” I. PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Toán học có vai trò rất quan trọng đối với đời sống và đối với các ngành khoa học. Ngay từ thế kỉ XIII, nhà tư tưởng Anh R.Bêcơn đã nói rằng: “Ai không hiểu biết toán học thì không thể hiểu biết bất cứ một khoa học nào khác và cũng không thể phát hiện ra sự dốt nát của bản thân mình”. Đến giữa thế kỉ XX nhà vật lí học nổi tiếng (P.Dirac) khẳng định rằng khi xây dựng lí thuyết vật lí “không được tin vào mọi quan niệm vật lí”, mà phải “tin vào sơ đồ toán học, ngay cả khi sơ đồ này thoạt đầu có thể không liên hệ gì với vật lí cả”. Sự phát triển của các nhà khoa học đã chứng minh lời tiên đoán của Các Mác: “Một khoa học chỉ thực sự phát triển nếu có thể sử dụng được phương pháp toán học”. Môn Toán học nói chung, Toán học ở bậc THCS nói riêng, trong đó có chương trình Toán lớp 7 luôn có sự kế thừa và phát triển kiến thức liền mạch trong hệ thống kiến thức Toán học của nhân loại. Trong quá trình dạy học Toán 7, tôi thấy các bài toán về tỉ lệ thức chiếm lượng kiến thức lí thuyết không nhiều, song về bài tập có vai trò quan trọng trong việc giải quyết nhiều bài toán cơ bản tính toán, suy luận chúng minh cũng như việc áp dụng kiến thức này vào nhiều phần kiến thức Toán, kể cả phân môn Hình học. Trong thực tế, nhiều học sinh bị nhầm lẫn giữa tỉ số của hai số và phân số, giải các bài tập về tỉ lệ thức một cách rập khuôn máy móc và cảm thấy khó khăn, “sợ” các bài tập này. Nguyên nhân cơ bản của những khó khăn mà học sinh gặp phải khi giải bài tập về tỉ lệ thức là học sinh chưa chủ động rèn luyện cách trình bày lời giải, các lập luận, những kiến thức được áp dụng trong quá trình làm bài nên dẫn đến thụ động, rập khuôn, thiếu tính sáng tạo. Do đó, học sinh mau quên những kĩ năng cơ bản ấy. Trong thực tế, theo chủ quan cá nhân tôi, tôi thấy điều cơ bản của việc dạy cách giải bài tập toán là tìm ra phương pháp dạy cho học sinh hiểu và tự giải những bài tập quen thuộc, cơ bản một cách rõ ràng, ngắn gọn, để từ đó học sinh liên tưởng, tìm tòi, vận dụng vào trong các bài tập liên quan hoặc cùng dạng. Vậy, làm thế nào để học sinh khắc sâu và vận dụng những kiến thức về tỉ lệ thức để giải được các bài tập cơ bản về tỉ lệ thức? Để trả lời câu hỏi này, tôi đã viết sáng kiến kinh nghiệm tìm hiểu “Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải” trong chương trình Toán lớp 7, với mong muốn qua nội dung SKKN này, sẽ giúp các em giải một số bài tập cơ bản về tỉ lệ thức một cách dễ dàng nhất, hiệu quả nhất. Qua kiến thức trong sách giáo khoa và tham khảo một số tài liệu liên quan về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau, tôi đã cố gắng hệ thống lại một số dạng bài tập cơ bản liên quan tỉ lệ thức, mỗi dạng bài tập đều có phần gợi ý nhận xét, định hướng những cách giải thông qua kiến thức được áp dụng trong bài tập đó. Hơn nữa, với mong muốn được tích lũy thêm kiến thức kinh nghiệm trong giảng dạy, dần được làm quen với công tác nghiên cứu khoa học giáo dục, ngày càng nâng cao nhận thức khoa học bộ môn, những lí luận cần thiết về chuyên môn Giáo viên: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang - 1 - “Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải” phục vụ cho công việc giảng dạy của bản thân, đồng thời nhận được nhiều ý kiến góp ý của các thầy cô đồng nghiệp trong và ngoài nhà trường để SKKN này được trọn vẹn hơn nữa. Có lẽ rằng nhiều ý kiến của tôi nêu ra sẽ chưa thật trọn vẹn, song tôi luôn hy vọng rằng sự tích lũy của tôi sẽ góp được một điều nhỏ bé nào đó cho mỗi chúng ta trong quá trình giảng dạy mảng kiến thức này. Đây là lí do giúp tôi chọn nghiên cứu SKKN này. Mặc dù đã cố gắng để hoàn thành SKKN này, song việc mắc phải những sai sót trong trình bày, trong diễn đạt …là điều không thể tránh khỏi. Tôi rất mong nhận được sự góp ý, bổ sung của quý thầy cô giáo, của các đồng nghiệp và bạn đọc để SKKN của tôi được hoàn thiện hơn nữa. 2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài *Mục tiêu - Xây dựng cơ sở lý thuyết về tỉ lệ thức để giải các bài toán cơ bản liên quan. - Phân loại và hệ thống các dạng bài tập từ dễ đến khó. - Rèn luyện kĩ năng thực hành giải bài tập, phát triển và rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh qua việc tìm tòi, chọn lọc, tham khảo kiến thức và các cách giải đối với mỗi bài tập. - Hướng mở rộng SKKN trong điều kiện thực thi được nội dung mở rộng. * Nhiệm vụ - Củng cố được các kiến thức cơ bản về tỉ lệ thức, các kĩ năng thực hiện phép tính, tính toán thông thường phục vụ cho SKKN, đồng thời phân biệt, nhận dạng được từng loại bài tập, vận dụng phương pháp hợp lý của từng dạng vào giải toán. Từ đó hiểu được bản chất các dạng bài tập cơ bản về tỉ lệ thức. - Phát huy khả năng tư duy sáng tạo trong khi làm bài, biết suy luận từ bài dễ đến bài khó với cách giải hay hơn thông qua việc luyện một số cách giải phù hợp cho từng dạng. Với sáng kiến kinh nghiệm này, tôi muốn đưa ra một số bài toán cơ bản về một số cách giải các bài toán cơ bản về tỉ lệ thức trong chương trình Toán 7 và những cách giải thông thường. Cụ thể: + Hệ thống một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức trong chương trình Toán 7 (nội dung kiến thức trong tuần 5 và tuần 6 - Bài 7: Tỉ lệ thức và Bài 8: Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau). + Tìm hiểu kết quả và mức độ đạt được khi triển khai sáng kiến sau ba năm thực hiện. Từ đó phân tích, rút ra bài học kinh nghiệm. 3. Đối tượng nghiên cứu Giáo viên: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang - 2 - “Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải” - Kiến thức cơ bản về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong chương trình Toán 7 và một số tài liệu liên quan. - Học sinh Lớp 7 ở bậc trung học cơ sở – Trường THCS Lương Thế Vinh – Huyện Krông Ana các năm học 2012 – 2013; 2013 – 2014; 2014 – 2015. 4. Giới hạn, phạm vi nghiên cứu Do tuổi đời và tuổi nghề chưa nhiều, với sự tích lũy có hạn của bản thân, tôi chỉ mạn phép nghiên cứu về một số cách giải các bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong chương trình Toán 7, trong thời gian nghiên cứu và áp dụng SKKN là các năm học gần đây tôi được trực tiếp dạy chương trình Toán 7. 5. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu tài liệu. - Phương pháp đàm thoại – gợi mở. - Phương pháp thu thập và xử lý số liệu. - Phương pháp tác động giáo dục . - Phương pháp kiểm tra đánh giá. - Phương pháp thực nghiệm. II. PHẦN NỘI DUNG 1. Cơ sở lí luận Qua thực tế giảng dạy môn Toán THCS nói chung và môn Toán lớp 7 bậc trung học cơ sở – Trường THCS Lương Thế Vinh – Huyện Krông Ana các năm học 2012 – 2013; 2013 – 2014; 2014 – 2015 nói riêng, tôi thấy môn Toán 7 - phân môn Đại số đã tạo ra những sự liên kết kiến thức của cuối chương trình Toán 6 và đầu chương trình Toán 7, trong đó có phần kiến thức về tỉ lệ thức. Để am hiểu cặn kẽ mảng kiến thức này, đòi hỏi người học phải luôn có sự đam mê khám phá, tìm hiểu và ghi nhớ định nghĩa, tính chất của tỉ lệ thức một cách chính xác và sáng tạo. Những kiến thức ở mức độ căn bản thường yêu cầu tất cả người học phải nắm được. Những kiến thức mở rộng, nâng cao, luôn tạo ra nhiều cơ hội mới cho những ai có lòng say mê bộ môn, có tính kiên trì, nghị lực, có bản lĩnh vượt khó tìm hiểu và chinh phục. Giáo viên: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang - 3 - “Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải” Trong quá trình giảng dạy, cùng với sự trao đổi qua các đồng nghiệp, tôi thấy kết quả của học sinh trong khi học mảng kiến thức về tỉ lệ thức được thể hiện rất rõ qua việc luyện tập trên lớp, bài kiểm tra 15 phút lần một và bài kiểm tra một tiết lần một. Có những bài học sinh trình bày rất tốt, sáng tạo, tuy nhiên có nhiều bài làm trình bày sơ sài, dư thừa hoặc thiếu sót nhiều, thậm chí nhiều bài không định hình được cách trình bày…Và sau khi hướng dẫn, tìm cho các em những mẹo nhớ, những cách trình bày ngắn gọn thì các em phần nào đã cải thiện được chất lượng bài làm, nhiều em học sinh khá giỏi rất hứng thú với mảng kiến thức này. Kiến thức lí thuyết 1/ Định nghĩa a c  - Tỉ lệ thức là đẳng thức giữa hai tỉ số: b d hoặc a : b  c : d (với a, b, c, d  Q; b,d 0 là các số hạng của tỉ lệ thức; a và d là các ngoại tỉ; b và c là các trung tỉ) 2/ Tính chất 2.1) Tính chất 1 (tính chất cơ bản của tỉ lệ thức): Trong một tỉ lệ thức, tích a c  suy ra a.d  b.c các trung tỉ bằng tích các ngoại tỉ. Từ tỉ lệ thức b d 2.2) Tính chất 2: Từ đẳng thức a.d  b.c với a, b, c, d  0 , cho ta các tỉ lệ a c a b d c d b  ;  ;  ;  b d c d b a c a thức: 2.3) Tính chất 3: (tính chất hoán vị các số hạng của tỉ lệ thức): Từ tỉ lệ thức a c  ;(a, b, c, d  0) b d , suy ra các tỉ lệ thức: d c  + Đổi chỗ ngoại tỉ: b a a b  c d + Đổi chỗ trung tỉ: Giáo viên: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang - 4 - “Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải” d b  c a + Đổi chỗ ngoại tỉ và đổi chỗ trung tỉ: 3/ Dãy các tỉ số bằng nhau: a c e    ... * Dãy tỉ số bằng nhau gồm ba tỉ số bằng nhau trở lên: b d f * Tính chất: a c a c a c a c     ;(b   d) + Từ tỉ lệ thức b d suy ra tỉ lệ thức sau: b d b  d b  d a c e a  c  e a  c  e 2a  3c  e       ... b d f b  d  f b  d  f 2b  3d  f + Dãy tỉ số bằng nhau: a b c   m n p * Nếu a, b, c tỉ lệ với m, n, p, ta có: a c e   m b d f * Nếu có thì a  b.m, c  d.m, e  f .m * Ngoài ra, ta thấy tỉ lệ thức là một đẳng thức nên nó cũng có tính chất của một a c  ;(a, b, c, d  0) b d đẳng thức: Từ tỉ lệ thức , suy ra: 2 2 a  c  a c      . +/  b   d  b d 2 a  c e +/    . b d f a c m.  m. ;  m  0  b d +/ 3 3 3 a c e a  c  e  a c e m.a n.c           . .  ;  m;n  0  b d f b  d  f  b d f +/ m.b n.d +/ 2. Thực trạng Giáo viên: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang - 5 - “Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải” Sau thời gian được phân công giảng dạy các lớp 7 trong những năm học vừa qua tại trường THCS Lương Thế Vinh, bản thân tôi đã tích lũy được những kiến thức và học hỏi từ đồng nghiệp rất nhiều kinh nghiệm quý báu, điều đó đã giúp tôi có nhiều thuận lợi hơn trong quá trình thực hiện nhiệm vụ giảng dạy được phân công. Trong những năm tôi mới ra trường, tôi đã được phân công dạy lớp 7. Từ năm học 2007– 2008, tôi đã tích lũy một số kiến thức và các dạng bài tập cơ bản về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau. Tôi đã dần sưu tầm, tìm hiểu các bài toán về vấn đề này và áp dụng vào dạy các năm học 2012 – 2013; 2013 – 2014; 2014 – 2015. Qua thời gian nghiên cứu, thực hiện viết và áp dụng SKKN “Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải” ở trường THCS Lương Thế Vinh – Huyện Krông Ana – Tỉnh ĐắkLắk”, bản thân tôi tiếp tục trao đổi với những giáo viên đã và đang giảng dạy khối 7 để tích lũy thêm kiến thức cho SKKN này. Qua đó, tôi thấy: 2.1. Thuận lợi – Khó khăn * Thuận lợi: SKKN này được chuẩn bị, thử nghiệm và hoàn thành trong thời gian ba năm học, được sự trao đổi về kiến thức cũng như kinh nghiệm với các đồng nghiệp, nên bản thân tôi đã phần nào tự tích lũy cho mình một vốn kiến thức nho nhỏ đảm bảo cho SKKN được hoàn thành. Với lượng kiến thức nêu trong SKKN, tuy chưa đầy đủ song có thể đã đáp ứng được mục tiêu của SKKN đề ra, phần nào đã giúp cho học sinh dễ dàng hơn trong tiếp cận và ghi nhớ các dạng bài tập cơ bản về tỉ lệ thức. Đồng thời, thu hút thêm sự đóng góp ý kiến, nhận xét của mọi người để SKKN hoàn thiện hơn. * Khó khăn: Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành SKKN, bên cạnh những mặt thuận lợi cũng có nhiều những khó khăn phải kể đến. Trước hết, do những năm đầu đi dạy, tuổi đời và tuổi nghề của bản thân còn quá non trẻ, ít kinh nghiệm trong giảng dạy, chủ yếu chú trọng rèn luyện nhiều ở phương pháp dạy học, lại là những năm đầu bước vào nghề nên bản thân tôi còn nhiều lúng túng. Do đó việc thử nghiệm, so sánh kết quả của SKKN này có phần không được thuận lợi như mong muốn. Mặt khác, các em học sinh khối 7 đã có sự thay đổi về tâm sinh lí lứa tuổi, tính tự giác trong học tập của các em chưa cao, vì vậy muốn các em áp dụng kiến thức đã học vào các bài tập cụ thể thì GV sẽ phải trình bày bài tập mẫu, chỉnh sửa, uốn nắn nhiều, khi đó các em mới có thể hiểu và nắm được kiến thức, song nhiều em ít có sự rèn luyện, tự học nên việc lưu giữ kiến thức còn hạn chế, mau nhớ kiến thức nhưng có thể quên ngay hoặc nhớ không chính xác các kiến thức đã học. Vì vậy, khi gặp lại các dạng toán hoặc các bài toán đã học, tuy quen thuộc nhưng đối với nhiều em dường như là rất mới mẻ … 2.2. Thành công – Hạn chế * Thành công: SKKN được áp dụng trực tiếp vào giảng dạy học sinh trong nhiều tiết luyện tập bài tập của mảng kiến thức này (những dạng bài tập cơ bản) cũng như trong việc dạy học hai buổi tại trường đã đạt mục tiêu đề ra. Đồng Giáo viên: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang - 6 - “Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải” thời, tôi đã áp dụng trong ôn thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính cầm tay Casio (từ năm 2013 đến 2015), ôn thi học sinh giỏi môn Toán (năm học 2010 – 2015), ôn thi Violympic khối 9 (năm học 2011 – 2015), thi Violympic khối 7 (2010 – 2015). Học sinh nắm kiến thức chắc chắn hơn, chính xác hơn, nhận dạng và phân tích bài toán nhanh hơn. Từ đó, kĩ năng trình bày bài làm được cải thiện rõ rệt, kết quả học sinh giỏi các cấp đáng ghi nhận. Đây là tiền đề vững chắc, những thuận lợi đáng kể góp phần giữ vững kết quả đại trà và công tác bồi dưỡng HSG đối với nội dung kiến thức này của bản thân tôi trong thời gian vừa qua. * Hạn chế: Học sinh khối 7 đã có sự thay đổi về tâm sinh lí lứa tuổi, mất tập trung trong giờ học, nhiều em chưa tập trung trong việc học và làm bài ở lớp cũng như ở nhà, giảm chất lượng của các kĩ năng “nghe – ghi – nghĩ – nói” trong giờ học. Vì thế, năng lực tư duy logic của các em chưa thật tốt. Vì thế, việc áp lý thuyết để làm bài tập về tỉ lệ thức nói riêng và nhiều mảng kiến thức khác đối với các em là một điều lạ lẫm, khó khăn. Hầu hết chỉ có các học sinh khá, giỏi mới có thể tự làm đúng hướng và trọn vẹn yêu cầu của bài toán. Còn hầu hết các học sinh khác lúng túng không biết cách trình bày lời giải, nhiều em nhầm lẫn tỉ số của a và a a b là b  a,b  Q;b 0  với phân số b  a,b  Z;b 0  , kĩ năng phân tích và lập chương trình giải còn hạn chế nhiều và trình bày lời giải như thế nào là đúng mặc dù được giáo viên hướng dẫn hoặc đã được trình bày bài tập mẫu. 2.3. Mặt mạnh – mặt yếu * Mặt mạnh: Đây là một vấn đề hay trong toán học, vận dụng được rộng rãi, có giá trị sử dụng lâu dài và có thể tiếp tục mở rộng theo hướng chuyên sâu hơn. Nội dung này là một phần kiến thức tuy ngắn gọn song được bao hàm có thể áp dụng được trực tiếp vào giảng dạy trên lớp cũng như dạy tạo nguồn kiến thức bồi dưỡng HSG của nhiều khối lớp cấp THCS. * Mặt yếu: Cách trình bày bài làm đôi khi gây cho học sinh lối mòn nếu học sinh không thật chăm chỉ, thụ động. Đề bài đôi khi quá “cồng kềnh” như dạng toán chia tỉ lệ hoặc quá “đơn giản” như dạng toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức dẫn đến học sinh dễ mắc sai lầm trong suy nghĩ, trong lời giải, trong trình bày…Vì vậy, đây là một vấn đề để bản thân tôi trăn trở, suy nghĩ và chuẩn bị kiến thức thật cẩn thận khi giảng dạy. Từ đó, tôi tự rút kinh nghiệm cho mình để mục đích cuối cùng là đạt được kết quả cao về nội dung của SKKN đề ra. 2.4. Các nguyên nhân, các yếu tố tác động. Thực tế cho thấy có nhiều nguyên nhân, nhiều yếu tố tác động tạo nên những khó khăn, hạn chế nêu trên. Trước hết phải kể đến là ý thức tự giác trong học tập của người học chưa cao, khả năng tự học, tự rèn của học sinh hiện nay giảm sút nhiều, học sinh bị thụ động hoặc “bão hòa” kiến thức vì học thêm, học ôn quá Giáo viên: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang - 7 - “Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải” nhiều môn học. Nhiều học sinh chăm ngoan, học giỏi, có ý thức rèn luyện và tự học cao. Các em ít có những suy nghĩ sáng tạo khi làm bài tập khó hoặc khi làm bài tập sai thì động lực để các em quyết tâm tự làm lại cho đúng chưa nhiều, còn chờ đợi giáo viên sửa bài. Một điều nữa là việc lưu giữ (quá trình ghi nhớ), tái hiện (trình bày bằng lời hoặc viết) của học sinh chưa tốt, các em lười học bài và làm bài tập ở nhà, thậm chí nhiều em làm bài tập đối phó, chiếu lệ cho xong. Trong mảng kiến thức về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau, các em học sinh trung bình và trung bình – khá tỏ ra lúng túng khi lập luận, khi trình bày lời giải. Vì vậy mà các em nhanh quên kiến thức đã áp dụng để giải bài tập dẫn đến ngại làm bài tập tương tự. Trong khi đó, để học môn toán tốt, nhớ lâu kiến thức thì con đường vô cùng hiệu quả là luyện giải bài tập. 2.5. Phân tích, đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đặt ra Từ thực trạng và nguyên nhân trên, để giúp các em có vốn kiến thức, lấy lại sự tự tin trong học tập, thầy cô cần giúp các em ôn tập, một cách hệ thống lại các kiến thức đã học, hướng dẫn các em cách trình bày lời giải của một bài tập, sau đó yêu cầu các em vận dụng làm các bài tập từ dễ đến khó. Giáo viên cần kiểm tra thường xuyên việc học và làm bài tập của học sinh. Giải pháp khắc phục là cần tăng cường sự phối hợp tốt hơn nữa giữa nhà trường và gia đình học sinh, đặc biệt là những em mà gia đình có điều kiện kinh tế khó khăn, sự động viên khích lệ của giáo viên dành cho gia đình và bản thân các em là cần thiết. 3. Giải pháp, biện pháp 3.1. Mục tiêu của giải pháp, biện pháp Do yêu cầu của phương pháp dạy học mới có sự thay đổi so với phương pháp dạy học truyền thống, phải đảm bảo tính chủ đạo của thầy và chủ động của trò; thầy hướng dẫn, điều khiển, đồng thời kích thích hứng thú học tập ở các em để các em tự giác, tích cực chiếm lĩnh tri thức của nhân loại cho bản thân. Để giúp học sinh nắm được tốt các kiến thức về tỉ lệ thức vào làm các bài tập cơ bản, tôi đã sử dụng phối kết hợp nhiều phương pháp dạy học như: Đặt vấn đề, đàm thoại - gợi mở, trực quan, vấn đáp, kết hợp trò chơi để tăng thêm động lực, niềm phấn khích đối với các em… để các em có thể tiếp thu kiến thức một cách tốt nhất. 3.2. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp Một số dạng bài tập cơ bản. Dạng 1: Lập tỉ lệ thức Bài 1:Thay tỉ số các số bằng tỉ số của các số nguyên: 7 4 : ; 3 5 2 : 0,3; 5 Giáo viên: Đoàn Công Nam 0,23 :1,2 Trường THCS Lương Thế Vinh Trang - 8 - “Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải” * Phương pháp: Thực hiện phép chia hai số hữu tỉ (hoặc hai số thực) 7 4 7 5 35 : = . = 3 5 3 4 12 (là tỉ số của hai số nguyên 35 và 12) Ví dụ: Bài 2: Các tỉ số sau đây có lập thành tỉ lệ thức không? 15 30 a) 21 và 42 1 b) 0,25 :1,75 và 7 c) 0,4:1 2 3 5 và 5 . * Phương pháp: Sử dụng định nghĩa về tỉ lệ thức. + Nếu hai tỉ số bằng nhau: lập được tỉ lệ thức. + Nếu hai tỉ số không bằng nhau: không lập được tỉ lệ thức. 15 5 30 5 15 30     21 42 là một tỉ lệ thức. Ví dụ: a) Ta có: 21 7 và 42 7 2 2 2 3 0,4 :1  0,4 :1  5 7 5 5 nên ta không có tỉ lệ thức trong trường b) Ta có: hợp này. Bài 3: Có thể lập được tỉ lệ thức từ các số sau đây không? Nếu có hãy viết các tỉ lệ thức đó: 3; 9; 27; 81; 243. * Phương pháp: + Trước hết, tạo đẳng thức a.d  b.c (bằng cách kiểm tra). + Áp dụng tính chất Tính chất 2: Từ đẳng thức a.d  b.c với a, b, c, d  0 , a c a b d c d b  ;  ;  ;  cho ta các tỉ lệ thức: b d c d b a c a Ví dụ: Ta có 3.81  9.27 , theo thính chất 2, ta có các tỉ lệ thức sau: 3 27  ; 9 81 3 9  ; 27 81 9 81  ; 3 27 27 81  3 9 Dạng 2: Tìm số hạng chưa biết của tỉ lệ thức: * Tìm một số hạng chưa biết của tỉ lệ thức: Giáo viên: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang - 9 - “Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải” Bài 4: Tìm x biết: 2,1 x 10 12 x 3 = = 0,7 3 ; d) 2,5 : x = 4,7 :12,1 x 36  4 5 a) ;b) ; c) a c  suy ra a.d  b.c b d * Phương pháp: Áp dụng tính chất 1, từ tỉ lệ thức . Từ đó: a b.c b.c  ; d  d a  (Tìm ngoại tỉ ta lấy tích hai trung tỉ chia cho ngoại tỉ còn lại) b a.d a.d  ; c  c b  (Tìm trung tỉ ta lấy tích hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ còn lại) x Ví dụ: a) 4 d)  3 5  x  4  . 3 5  12 5 (x là ngoại tỉ) 2,5 : x = 4,7 :12,1 � x = ( 2,5.12,1) : 4,7 = 605 94 (x là trung tỉ) Bài 5: Tìm x trong các tỉ lệ thức sau: a) - 15 : 6 =- 2x : ( - 4) b) 30 : 5x = 4 :12 x 2 24 = c) 6 25 * Phương pháp: Tìm ngoại tỉ hoặc trung tỉ là biểu thức chứa x, sau đó tìm x - 15.( - 4) - 15 : 6 =- 2x : ( - 4) � - 2x = = 10 � x = 10 : (- 2) =- 5 6 a) 2 x 2 24 6.24 144 � 12 � 12 � = � x2 = = =� � x = 12 � x =� � � 25 25 �5 � 5 hoặc 5 c) 6 25 Giáo viên: Đoàn Công Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh Trang - 10 “Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải” x - 60 = x Bài 6: Tìm x trong tỉ lệ thức sau: - 15 * Phương pháp: Áp dụng tính chất 1 (tính chất cơ bản của tỉ lệ thức): Trong một tỉ lệ thức, tích các trung tỉ bằng tích các ngoại tỉ. Từ tỉ lệ thức a c  suy ra a.d  b.c b d x - 60 = � x.x = (- 15)(- 60) � x 2 = 900 � x = 30 - 15 x hoặc x =- 30 Bài 7: Tìm x trong tỉ lệ thức: x- 1 6 = a) x + 5 7 x- 2 x+4 = b) x - 1 x + 7 * Phương pháp: Áp dụng tính chất 1 (tính chất cơ bản của tỉ lệ thức): Trong một tỉ lệ thức, tích các trung tỉ bằng tích các ngoại tỉ. Từ tỉ lệ thức a c  suy ra a.d  b.c b d x- 1 6 = � 7 ( x - 1) = 6.( x + 5) � 7x - 7 = 6x + 30 � 7x - 6x = 30 + 7 � x = 37 x + 5 7 a) b) x - 2 x +4 = � ( x - 2)( x + 7 ) = ( x - 1)( x + 4) x - 1 x +7 � x 2 + 7x - 2x - 14 = x 2 + 4x - x - 4 � 5x - 14 = 3x - 4 � 5x - 3x = - 4 +14 � 2x = 10 � x = 5 * Tìm hai, ba, … số hạng chưa biết của tỉ lệ thức: Bài 8: Tìm hai số x và y biết rằng: x y  a) 2 5 và x  y  63 x y  b) 2 5 và x  y  109 Giáo viên: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh x y  c) 2 5 và x.y  10 Trang - 11 - “Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải” * Phương pháp: + Cách 1: Khi x, y là hai số hạng khác nhau (x là trung tỉ thì y là ngoại tỉ và ngược lại), căn cứ vào mối quan hệ của x và y trong đề bài đã cho (tổng hay hiệu), ta áp dụng tính chất: a c a c a c a c     ;(b   d) b d b d b  d b  d Từ tỉ lệ thức suy ra tỉ lệ thức sau: *Chú ý: ta phải viết lại dãy tỉ số bằng nhau hoặc tỉ lệ thức được áp dụng tính chất. x y  2 5 và x  y  63 Ví dụ: a) x y x  y 63     9 2 5 2  5 7 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: x y  9  x  (9).2  18;  9  y  (9).5  45 5 Suy ra: 2 Vậy x  18; y  45 a c e   m + Cách 2: Áp dụng nhận xét: Nếu có b d f thì a  b.m, c  d.m, e  f.m x y   m  x  2m; y  5m (1) Đặt: 2 5 . Theo đề bài ta có: x  y  63 , thay (1) vào biểu thức ta được: 2m  5m  63  7m  63  m  9 Khi đó: x  2(9)  18; y  5( 9)  45 + Cách 3: Biểu thị số hạng này theo số hạng kia. x y 2y   x 5 Ta có: 2 5 ta được: x  y  63  Giáo viên: Đoàn Công Nam - (2) . Theo đề bài ta có: x  y  63 , thay (2) vào biểu thức 2y (63).5  y  63  2y  5y  (63).5  y   45 5 7 Trường THCS Lương Thế Vinh Trang - 12 “Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải” Thay y  45 vào (2), ta được: x 2.(45)  18 5 x y  2 5 và x.y  10 c) + Cách 1: Đối với dạng bài tập mà mối quan hệ của x và y không phải là tổng (hiệu), chúng ta phải sử dụng đến các tính chất bổ trợ, chẳng hạn câu c, ta áp dụng 2 2 a  c  a c      . tính chất:  b   d  b d 2 x  x  x.y 10 x  1 1  1    2 Ta có:  2  10 10 hoặc 2 . Suy ra x  2 hoặc x  2 + Với x  2  y  5 + Với x  2  y  5 a c e   m + Cách 2: Áp dụng nhận xét: Nếu có b d f thì a  b.m, c  d.m, e  f.m x y   m  x  2m; y  5m (3) Đặt 2 5 . Thay (3) và biểu thức x.y  10 , ta được: 2m.5m  10  m 2  1 . Suy ra m  1 hoặc m  1 + Với m  1  x  2; y  5 + Với m  1  x  2; y  5 + Cách 3: Biểu thị số hạng này theo số hạng kia. x y 2y   x 5 Ta có: 2 5 Giáo viên: Đoàn Công Nam - (4) . Thay (4) vào biểu thức x.y  10 , ta được: Trường THCS Lương Thế Vinh Trang - 13 “Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải” x.y  10  2y 2 .y  10  2y 2  50  y 2  25   5  5 Suy ra y  5 hoặc y  5 + Với y  5  x  2 + Với y  5  x  2 x y  2 2 Bài 9: Tìm hai số x, y biết rằng: 5 3 và x  y  4;(x, y  0) * Phương pháp: x y x 2 y2 x 2  y2 4 1       5 3 25 9 25  9 16 4 + Cách 1: Áp dụng tính chất trong bài 7, ta có:  x2  25 5 5 9 3 3  x x y2   y  y 4 2 hoặc 2 và 4 2 hoặc 2 Vì x, y  0 nên x 5 3 y 2 và 2. a c e   m + Cách 2: Áp dụng nhận xét: Nếu có b d f thì a  b.m, c  d.m, e  f.m  x  5k x y  k  2 2 5 3  y  3k ; thay vào x  y  4 , tiếp tục tìm x và y. Đặt + Cách 3: Biểu thị số hạng này theo số hạng kia. x y 5y   x 2 2 5 3 3 , thay vào biểu thức x  y  4 , tiếp tục tìm x và y. Giáo viên: Đoàn Công Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh Trang - 14 “Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải” x y  Bài 10: Tìm x, y biết: 15 20 và 2x  3y  180 * Phương pháp: Đề bài cho trước 2x  3y  180 . Vậy, làm như thế nào để x y  áp dụng được tính chất đã biết đối với tỉ lệ thức 15 20 ? m.a n.c  ;  m;n  0  Áp dụng tính chất: m.b n.d x y 2x 3y 2x  3y 180      2 Ta có: 15 20 30 60 30  60 90 Suy ra: x  2.15  30 và y  2.20  40 . Vậy x  30; y  40 * Các cách 2 và 3 áp dụng tương tự cho bài tập 10. x y z   Bài 11: Tìm x, y, z cho: 15 20 28 và x  y  z  42 * Phương pháp: Sử dụng các cách có thể, chẳng hạn dùng tính chất của dãy x y z xyz 42     6 15 20 28 15  20  28 7 tỉ số bằng nhau, ta có: Suy ra: x  90; y  120;z  168 x y z   Bài 12: Tìm x, y, z cho: 15 20 28 và 3x  2y  z  19 * Gợi ý: Thay đổi điều kiện x  y  z  42 thành điều kiện 3x  2y  z  19 , ta giải x y z 3x 2y z      15 20 28 45 40 28 tương tự bài 11. Ta có: Giáo viên: Đoàn Công Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh Trang - 15 “Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải” Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta tiếp tục tìm x và y. x y  Bài 13: Tìm x, y, z biết: 2 3 (5) y z ;  4 5 (6) (7) và x  y  z  10 * Phương pháp: + Cách 1: Đối với bài tập này, cần tìm ba số hạng là x, y, z. Vì vậy, để áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta phải tạo được dãy tỉ số bằng nhau bằng cách sử a c m.  m. ;  m  0  b d dụng tính chất: như sau: x y   2 3 y z   4 5 x 1 y 1 .  .  2 4 3 4 y 1 z 1 .  .  4 3 5 3 x y   z 8 12  x y    y z 8 12 15   12 15  y y (Ở đây ta có 3 và 4 là hai tỉ số cùng chứa số hạng y của hai tỉ lệ thức đã cho, nên ta tạo ra hai tỉ số giống nhau đối với số hạng y của hai tỉ lệ thức này để lập dãy tỉ số bằng nhau) x y z x  y  z 10     2 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 8 12 15 8  12  15 5 x  2  x  16 Suy ra 8 ; y  2  y  24 12 ; z  2  z  30 15 Vậy x  16 ; y  24 ; z  30 a c e   m + Cách 2: Áp dụng nhận xét: Nếu có b d f thì a  b.m, c  d.m, e  f.m x y y z 3m   m ;   n  y  3m  4n  n  4 5 4 . Đặt 2 3 Giáo viên: Đoàn Công Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh Trang - 16 “Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải” x y y z   m  x  2m; y  3m   n  y  4n;z  5n 2 3 4 5 Khi đó: và (7) Mà x  y  z  10 nên 2m  3m  5n  10 Thay n 3m 4 vào 2m  3m  5n  10  Tiếp tục thay m  2 vào 2m  3m  5. x  2m; y  3m; z  5. 3m  10  5m  10  m  2 4 3m 4 để tìm x, y, z. + Cách 3: Biểu thị hai số hạng này theo số hạng còn lại. Từ (5) ta suy ra x 2y 5y z 3 .Từ (6) ta suy ra 4 . Thay vào (7) ta được: 2y 5y y  10 3 4 . Ta tìm y, sau đó thay y vào tìm x và z. + Cách 4: Biến đổi và áp dụng tính chất của đẳng thức Ta có: 3x  2y và 5y  4z Cộng vế theo vế hai đẳng thức trên ta được: 3x  5y  2y  4z  3x  3y  4z  0  3(x  y  z)  z  0  z  30 (vì x  y  z  10 (7) ) Vì Vì 5y  4z  y  4z  24 5 3x  2y  x  2y  16 3 (8) Bài 14: Tìm x, y, z biết 2x  3y  5z và x  y  z  95 * Phương pháp: Giáo viên: Đoàn Công Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh Trang - 17 “Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải” + Cách 1: Từ 2x  3y  x y  3 2; 3y  5z  y z  5 3 Sau đó, đưa về dãy tỉ số bằng nhau và giải tương tự cách 1 của bài 13. Tuy nhiên, cách này hơi dài và một số học sinh thường bị sai ở bước đầu tạo ra hai tỉ lệ thức a c m.  m. ;  m  0  b d như trên hoặc một số học sinh bị sai khi áp dụng tính chất . Vì vậy mà các em thường nhớ máy móc để làm bài. + Cách 2: Chúng ta phân tích cách làm: - Nếu có dãy tỉ số bằng nhau của của x, y, z và kết hợp điều kiện (8) ta sẽ tìm được x, y, z. - Làm thế nào để từ điều kiện 2x  3y  5z sẽ có dãy tỉ số bằng nhau của của x, y, z. Ta sẽ chia các vế của đẳng thức 2x  3y  5z cho BCNN(2;3;5)  30 như sau: 2x  3y  5z  2x 3y 5z x y z      30 30 30 15 10 6 x y z x  y  z 95     5 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 15 10 6 15  10  6 19  x  75; y  50; z  30  Bài tập mở rộng dạng 2: 1 2 3 x y z 3 4 Bài 15: Tìm x, y, z biết: 2 (9) và x  y  15 * Gợi ý: Ta chọn cách giải phù hợp + Cách 1: (tương tự bài 14) x y z x  y 15     5 - Chia các vế của (9) cho BCNN(1; 2; 3)  6 ta có: 12 9 8 12  9 3 Giáo viên: Đoàn Công Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh Trang - 18 “Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải”  x  12.5  60; y  5.9  45; z  8.5  40 + Cách 2: Vì x  y  15 ta nên biểu thị x và y theo z 1 2 3 3 9 x y z x z y  z (10) 2 3 4 2 và 8 Sau đó, ta thay (10) vào điều kiện x  y  15 để tìm z, sau đó tìm x và y. Bài 16. Tìm x, y, z biết: x 1 y  2 z  3   2 3 4 a) 2x 2y 4z   4 5 b) 3  12   11 và 2x  3y  z  50 và x  y  z  49 * Gợi ý: a) Từ (1) ta có: 2  x  1 3  y  2  z  3 2x  2  3y  6  z  3  2x  3y  z   2  6  3     4 9 4 494 9 50  5  5 9 x 1  5  x  11 Suy ra: 2 ; y2  5  x  17 3 ; z 3  5  z  23 4 b) Tương tự bài 14: Chia các vế của (12) cho BCNN (2;3;4) = 12 2x 3y 4z 2x 3y 4z x y z x yz 49           1 3 4 5 3.12 4.12 5.12 18 16 15 18  16  15 49 Suy ra x  18; y  16; z  15 Giáo viên: Đoàn Công Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh Trang - 19 “Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải” a1  1 a 2  2 a 9   ...  9 8 1 Bài 17: Tìm các số a1 , a 2 , ..., a 9 biết: 9 và a1  a 2  ...  a 9  90 * Gợi ý: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: a1  1 a 2  2 a  9 a1  1  a 2  2  ...  a 9  9   ...  9  9 8 1 9  8  7  ...  1  a  a  ...  a 9    1  2  ...  9   90  45  1  1 2 9  8  ...  1 45 Từ đó suy ra a1 , a 2 , ..., a 9 Dạng 3: Bài toán về chứng minh đẳng thức Sau khi học sinh đã nắm được kiến thức cơ bản của tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau, thành thạo hai dạng toán nêu trên, có thể nâng cao khả năng tư duy của học sinh bằng dạng bài tập chứng minh đẳng thức với một số bài tập cơ bản sau: a c ab cd  1  b d a  b c  d với a, b, c, d  0 Bài 18: Chứng minh rằng: Nếu thì a c a c ab cd   1  1  b d b d (cộng vào * Gợi ý: Với a, b, c, d  0 , ta có: b d hai vế của đẳng thức với cùng một số) Tương tự:  ab b  c  d d (1) (đổi chỗ trung tỉ) a c a c a b cd a b b   1  1    b d b d b d c  d d (2) ab ab ab cd    c  d c  d a  b c  d (đpcm) Từ (1) và (2) suy ra: Giáo viên: Đoàn Công Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh Trang - 20