1.Tên sáng kiến: Giải phương trình, hệ phương trình vô tỉ bằng phương pháp đạo hàm.
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Học sinh lớp 11, lớp 12 và giáo viên trung học phổ thông.
3.Thời gian áp dụng sáng kiến:
Từ ngày 6 tháng 9 năm 2014 đến ngày 10 tháng 1 năm 2015
4.Tác giả:
Họ và tên: Hoàng Hữu Đạt
Năm sinh: 1980
Nơi thường trú: Thôn Bình Thượng, xã Yên Thọ, huyện Ý Yên, tỉnh Nam Định.
Trình độ chuyên môn: Cử nhân khoa học
Chức vụ công tác: Giáo viên
Nơi làm việc: Trường THPT Mỹ Tho – Ý Yên – Nam Định.
Điện thoại: 0989 118 585.
5. Đồng tác giả: không.
6. Đơn vị áp dụng sáng kiến:
Tên đơn vị: Trường THPT Mỹ Tho.
Địa chỉ: xã Yên Chính, huyện Ý Yên, tỉnh Nam Định.
Điện thoại: 03503 825 642
2
Cấu trúc của sáng kiến
Trang
I.Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến ………………………………………………….4
II.Mô tả giải pháp………………………………………………………………………...4
1.Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến…………………………………………...4
2.Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến………………………………………………....7
2.1. Cơ sở lý thuyết…………………………………………………………………....7
2.2.Các ví dụ minh họa…..............................................................................................8
2.2.1.Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đạo hàm.........................................8
2.2.1.1.Phương trình được đưa về dạng f ( x) 0 ....................................................8
2.2.1.2.Phương trình được đưa về dạng f (u ) f (v) ……………………………..15
2.2.1.3.Một số dạng biến đổi đặc biệt: đưa phương trình về dạng đồng bậc ba…..22
2.2.2.Giải hệ phương trình bằng phương pháp đạo hàm............................................31
3. Thực nghiệm sư phạm .................................................................................................43
3.1.Mục đích thực nghiệm ……………………………………………………...…......43
3.2.Đối tượng địa bàn và cách thực hiện………………………………………..…......43
3.3.Nội dung và thực nghiệm…………………………………………………...….......43
3.3.1.Thực nghiệm trong nghiên cứu kiến thức mới………………………………....43
3.3.2.Thực nghiệm trong củng cố hoàn thiện kiến thức ………………………...…...45
3.3.3.Thực nghiệm trong kiểm tra đánh giá ………………………………………...45
3.3.4 Đánh giá kết quả thực nghiệm ………………………………………………....45
III. Hiệu quả do sáng kiến đem lại……………………………………………………......46
1.Trước hết đối với việc dạy của giáo viên…………………………………………….. 46
2. Đối với việc học của học sinh …………………………………………………..........46
2.1.Về kiến thức ………………………………………………………………….........46
2.2.Về tư tưởng tình cảm ………………………………………………………….…..47
2.3.Về kỹ năng ………………………………………………………………………...47
3. Kết luận…………………………………………………………………………….....48
IV. Cam kết không sao chép hoặc vi phạm bản quyền ………………………………......48
3
BÁO CÁO SÁNG KIẾN
I. Điều kiện, hoàn cảnh tạo ra sáng kiến
Chúng ta đã biết rằng: Dạy học Toán là dạy cho người học có năng lực trí tuệ. Năng
lực này sẽ giúp cho họ học tập và tiếp thu các kiến thức về tự nhiên, xã hội, bồi dưỡng thế
giới quan duy vật biện chứng. Vì vậy dạy Toán không chỉ đơn thuần dạy cho học sinh nắm
được kiến thức, những định lí Toán học. Điều quan trọng là dạy cho học sinh năng lực trí
tuệ. Năng lực này sẽ được hình thành và phát triển trong học tập.
Trong quá trình dạy học môn Toán ở bậc THPT các bài toán về phương trình, hệ
phương trình chiếm một vị trí rất quan trọng, xuyên suốt chương trình cả ba khối lớp, với
nhiều phương pháp giải đa dạng như: Phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp đặt
ẩn phụ…Trong quá trình giảng dạy và ôn luyện thi THPT Quốc Gia, thi học sinh giỏi tỉnh
cho các em học sinh tôi thấy việc giải phương trình và hệ phương trình vô tỉ rất quan trọng
đối với học sinh THPT vì việc giải phương trình vô tỉ giúp học sinh rèn luyện được kỹ năng
giải toán, tính cẩn thận, chính xác và làm cho học sinh nắm chắc môn toán hơn. Giải tốt
phương trình vô tỉ học sinh được nâng cao tư duy và vận dụng để hiểu biết các nội dung
khác trong chương trình toán THPT.
Tuy nhiên trong thực tế các bài toán giải phương trình, hệ phương trình trong các đề
thi ĐH đặc biệt là phương trình, hệ phương trình vô tỉ lại sử dụng phương pháp hàm số để
giải chỉ có số ít các em học sinh biết phương pháp này nhưng trình bày còn lúng túng, chưa
gọn gàng sáng sủa. Thậm chí còn một số học sinh không có hướng giải quyết. Nguyên nhân
do đâu ?
Nguyên nhân chính là do phần phương trình vô tỉ được trình bày ở SGK đại số 10.
Tuy nhiên đó là các bài toán khá đơn giản khá xa với đề thi THPT Quốc Gia. Phương trình
vô tỉ chủ yếu dùng phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp đặt ẩn phụ. Trong
chương trình SGK giải tích 12 học sinh biết sử dụng tính đơn điệu của hàm số để khảo sát và
vẽ đồ thị hàm số. Lượng bài tập ứng dụng tính đơn điệu của ahàm số để giải phương trình và
hệ phương trình vô tỉ thì rất hạn chế mà trong đề thi THPT Quốc Gia nhiều bài toán giải
bằng phương pháp hàm số. Do đó việc trang bị cho học sinh phương pháp hàm số để giải
toán là rất cần thiết. Những bài toán sử dụng phương pháp hàm số để giải thường có cách
giải ngắn gọn hay và độc đáo.
Để góp phần vào việc giải quyết các đề khó khăn trên, tôi mạnh dạn sưu tầm, tập hợp,
bổ xung và sắp xếp các bài toán dạng này theo cấu trúc rõ ràng và đa dạng viết thành đề tài:
“ Giải phương trình, hệ phương trình vô tỉ bằng phương pháp đạo hàm”. Hy vọng rằng với
đề tài này sẽ giúp học sinh nhận biết, xử lý bài toán giải phương trình, hệ phương trình
nhanh và thành thạo hơn.
II.Mô tả giải pháp:
1.Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến.Thực trạng của việc dạy học phương
trình, hệ phương trình vô tỉ bằng phương pháp đạo hàm trong trường THPT hiện nay.
Toán học là một trong những môn học khoa học, cơ bản mang tính trừu tượng, nhưng
ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực của đời sống xã hội, trong khoa
học lý thuyết và trong khoa học ứng dụng. Toán học là môn khoa học giữ một vai trò quan
trọng trong suốt bậc học THPT. Tuy nhiên nó là một môn học khó, khô khan và đòi hỏi ở
mỗi học sinh phải có nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho mình. Chính vì vậy đối
với mỗi giáo viên dạy toán việc tìm hiểu cấu trúc của chương trình nội dung của SGK, nắm
vững các phương pháp dạy học là một việc không thể thiếu. Để từ đó tìm ra các biện pháp
4
dạy học có hiệu quả trong việc truyền thụ các kiến thức toán học cho học sinh, công việc đó
cần phải làm thường xuyên trong quá trình giảng dạy.
Chủ đề phương trình và hệ phương trình được đề cập trong SGK đại số 10 với số tiết
là 14 tiết, với thời lượng đó học sinh nắm vững được các kiến thức cơ bản về căn thức,
phương trình, hệ phương trình, các phép biến đổi đại số. Học sinh đã biết được một số
phương pháp giải phương trình, hệ phương trình, biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến
thức, kỹ năng từ đơn giản đến phức tạp. Trong SGK Giải tích lớp 12 có giới thiệu chủ đề:
Ứng dụng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với số tiết tương đối nhiều,
học sinh nắm được khái niệm đồng biến nghịch biến của hàm số trên một khoảng từ đó học
sinh có thể chỉ ra được các khoảng đồng biến và nghịch biến của một hàm số nào đó.Học
sinh biết khảo sát sự biến thiên và vẽ được đồ thị hàm số dựa vào tính đồng biến nghịch
biến của hàm số. Ngoài ứng dụng khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số, đạo hàm là
công cụ sắc bén để giải quyết nhiều dạng toán khác nhau như giải phương trình, hệ phương
trình, bất phương trình, hệ bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức...
Tuy nhiên trong các đề thi THPT Quốc Gia hiện nay câu phương trình và hệ phương
trình là một câu tương đối khó đối với học sinh và chủ yếu dùng phương pháp hàm số để
giải.Thông thường bài tập trong SGK đưa ra đơn giản, lượng bài tập đưa ra sau mỗi bài học
cũng rất hạn chế chủ yếu dùng phương pháp biến đổi tương đương và đặt ẩn phụ…, còn
lượng bài tập sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải chưa có nhiều. SGK chỉ giới thiệu
các bài tập này, do đó phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình
và hệ phương trình là không phổ biến và bắt buộc. Chính lẽ đó mà học sinh sử dụng phương
pháp này một các máy móc hoặc chưa biết cách sử dụng.
Ví dụ 1: Giải phương trình: 7 x 7 7 x 6 13
Đối với phương trình này học sinh sẽ giải theo cách bình phương hai vế hoặc đặt ẩn
phụ sau đó bình phương hai vế hoặc nhân liên hợp đưa về hệ phương trình.Tuy nhiên nếu sử
dụng phương pháp đạo hàm ta thấy vế trái là một hàm đồng biến và x = 6 là một nghiệm của
phương trình thì lời giải của bài toán rất ngắn ngọn.
Ví dụ 2: Giải phương trình: x 3 2 x 1 4 x
Đứng trước phương trình này học sinh lúng túng không biết dùng phương pháp nào để giải
3
nhưng nếu tinh ý một chút thì chuyển x sang bên vế trái, khi đó vế trái là một hàm đồng
biến ta thấy x=1 là một nghiệm của phương trình. Do đó khi sử dụng phương pháp đạo hàm
thì bài toán này trở nên đơn giản.
3
4
Ví dụ 3: Giải phương trình : 6 x 5 x 5 x 4
Nhận xét: Có thể giải bài toán này theo hướng sau:
3
3
5
6 x 5 x3 5 x 5
3
6 x 1
3
6 x 5
2
3 6x 5 1
3
6 x 5 1 x3 5 x 4
x 1 x 2 x 4
x 1
6
x2 x 4
2
3 6 x 5 3 6 x 5 1
(*)
Vấn đề đặt ra là giải phương trình (*) sẽ rất phức tạp. Vì vậy ta sẽ giải phương trình bằng
phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số.
Ta có :
3
Xét hàm số
Ta có
6 x 5 x3 5 x 5
f t t3 t
6 x 5 3 6 x 5 x3 x
trên �.
f t 3t 2 1 0, t �
Do đó: (*)
. Suy ra
f
3
(*)
6x 5 f x
x3 6 x 5 0
3
f t t3 t
đồng biến trên �.
6x 5 x
x 1 x 2 x 5 0
x 1
1 21
x
2
x 1 21
2
Vậy phương trình có nghiệm là
x 1; x
1 21
1 21
;x
2
2 .
* Qua các ví dụ trên ta thấy nếu giải quyết bài toán bằng phương pháp dùng tính đơn
điệu của hàm số thì bài toán trở nên đơn giản và lời giải ngắn gọn hơn.
2
2
Ví dụ 4: Giải phương trình : 3x(2 9 x 3) (4 x 2)(1 1 x x ) 0
Giải:
Cách 1: ( Dự đoán nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất)
Viết lại phương trình dưới dạng
(2 x 1)(2 (2 x 1) 2 3 3 x (2 ( 3 x) 2 3)
6
Nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm thoả mãn :
Nhận thấy nếu
2 x 1 3 x x
3x(2x+1)<0
1
x0
2
1
1
x
5 thì hai vế của phương trình bằng nhau. Do đó
5
1 1
x ;0
5 2
là nghiệm của phương trình. Hơn nữa ta thấy nghiệm
Ta chứng minh
+ Với
x
1
5 là nghiệm duy nhất .
1
1
x 0 2 x 1 3 x
2
5
2 x 1
2
( 3 x ) 2
nên ta có :
2 (2 x 1)2 3 2 (3 x) 2 3) (2 x 1)(2 (2 x 1) 2 3 3 x (2 (3 x) 2 3)
1 1
;
2 5.
suy ra phương trình vô nghiệm trên khoảng
1
1
x0
;0
+ Với 5
: làm tương tự như trên ta thấy phương trình vô nghiệm trên 5 .
Vậy nghiệm của phương trình là
x
1
5.
Cách 2: ( Dùng phương pháp hàm số) Viết lại phương trình dưới dạng:
(2 x 1)(2 (2 x 1) 2 3 3 x (2 ( 3 x) 2 3)
2
Xét hàm số f (t ) t (2 t 3) trên �. Ta có
(1)
f (t ) 2 t 2 3
t2
t2 3
0, t �
.
Suy ra hàm số đồng biến trên �.
Do đó :
(1)
f 2 x 1 f 3x 2 x 1 3x x
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là
x
1
5.
1
5.
* Từ hai cách trình bày của ví dụ 4, ta thấy trình bày theo cách 2 vẫn ngắn gọn hơn và
độc đáo hơn.
7
Đối với học sinh khá giỏi việc tiếp cận phương pháp này để giải toán là một vấn đề
cần thiết, giúp các em có kỹ năng, kỹ sảo trong việc giải bài tập bằng phương pháp hàm số.
Đồng thời chuẩn bị cho các em một kiến thức vững vàng và đạt kết quả cao trong kỳ thi
THPT Quốc Gia.
Đứng trước thực tế học sinh THPT đặc biệt là học sinh lớp 12 cần nắm chắc các kiến
thức về đạo hàm biết vận dụng và tìm ra các phương pháp giải khi gặp các bài toán giải
phương trình, hệ phương trình. Tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến này mục đích hỗ trợ cho các
em học sinh có được hệ thống các bài tập giải phương trình và hệ phương trình bằng phương
pháp đạo hàm, đồng thời giúp các đồng nghiệp có được nguồn tài liệu bồi dưỡng học sinh
thi THPT Quốc Gia và thi học sinh giỏi tỉnh.
Trong phạm vi hạn hẹp của một sáng kiến tôi chỉ đưa ra phương trình, hệ phương
trình vô tỉ giải bằng phương pháp đạo hàm.
2.Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến:
2.1 Cơ sở lý thuyết: Học sinh cần nắm một số vấn đề sau đây
1. Định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số:
y f x
+ Hàm số
đồng biến trên khoảng K nếu với mọi x1 , x2 thuộc K,
x1 x2 f x1 f x2
+ Hàm số
y f x
nghịch biến trên khoảng K nếu với mọi x1 , x2 thuộc K,
x1 x2 f x1 f x2
2. Tính chất của các hàm đồng biến, nghịch biến:
+ Nếu
thì tổng
f x
f x g x
+ Nếu
trên D thì tích
f x
và
g x
là hai hàm số cùng đồng biến ( hoặc cùng nghịch biến) trên D
cũng là hàm số đồng biến ( hoặc nghịch biến) trên D.
và
g x
f x .g x
là hai hàm số dương, cùng đồng biến ( hoặc cùng nghịch biến)
cũng là hàm số đồng biến ( hoặc nghịch biến) trên D
3. Công thức tính đạo hàm:
+ Công thức tính đạo hàm hàm số hợp:
u x .u x .u x
1
(*)
- Công thức (*) chỉ đúng với là hằng số.
u x
- Nếu không nguyên thì công thức (*) chỉ đúng khi nhận giá trị dương.
8
+ Công thức tính đạo hàm của hàm số căn bậc n : Nếu
và thỏa mãn điều kiện
khi n lẻ thì
n
u x
u x 0
u x
là hàm số có đạo hàm trên K
u x 0
với mọi x thuộc K khi n chẵn,
với mọi x thuộc K
n uu x x
n 1
n
4. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số dựa trên định lí sau:
+ Định lí:
Cho hàm số
y f x
có đạo hàm trên K ( Kí hiệu K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng)
a) Nếu
f x 0
f x
với mọi x thuộc K thì hàm số đồng biến trên K.
b) Nếu
f x 0
f x
với mọi x thuộc K thì hàm số nghịch biến trên K.
c) Nếu
f x 0
f x
với mọi x thuộc K thì hàm số không đổi trên K.
+ Chú ý: Quy tắc trên để xét tính đơn điệu của hàm số chỉ là điều kiện đủ chứ không phải
là điều kiện cần.
5.Các tính chất đơn điệu của hàm số:
a) Nếu hàm số
y f x
đơn điệu trên K, thì phương trình
f x c
( với c là hằng số)
nếu có nghiệm x x0 thì nghiệm đó là duy nhất.
b) Nếu hàm số
thì
y f x
đơn điệu trên K,
f u x f v x u x v x
u x
,
v x
là các hàm số nhận giá trị thuộc K
.
2.2 Các ví dụ minh họa
2.2.1.Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đạo hàm
2.2.1.1. Phương trình đưa về dạng
f x = 0
Phương pháp:
Bước 1: Tìm ĐKXĐ : D của phương trình.
Bước 2: Xét hàm
y f x
trên D.
Bước 3: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số
y f x
.
Bước 4: Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số để kết luận nghiệm.
9
Ví dụ 1: Giải phương trình: 5 2 x 3 x 2
Phân tích
+Ví dụ trên là bài toán cơ bản có thể giải bằng phương pháp biến đổi tương, đặt ẩn phụ,
phương pháp nhân liên hợp. Tuy nhiên nếu dùng phương pháp đạo hàm thì lời giải ngắn
ngọn hơn rất nhiều.
+ Bài toán có chứa hai căn
5 2 x , 3 x nhưng
5 2x 3 x
1
5 2x
1
2 3 x
0
.
+ Sử dụng máy tính ta được nghiệm x 2 .
Nên bài toán giải quyết được bằng phương pháp hàm số.
Lời giải tham khảo
ĐK:
5
x 3
2
Xét hàm số
f x 5 2x 3 x 2
5
;3
trên 2
1
1
5
x ;3
f x
0
2
5
2
x
3
x
Với
, ta có:
5
;3
f 2 0
là hàm số đồng biến trên 2 , mà
Suy ra
f x
Do đó
f x 0
có nghiệm duy nhất x 2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 2
Ví dụ 2: Giải phương trình:
x 3 4 2 x 1 4 x3
Phân tích:
+ Ta thấy trong phương trình trên có căn bậc hai và bậc bốn lại có biến x 3 ở ngoài căn, nên
việc đặt ẩn phụ tương đối phức tạp. Mà ta thấy chuyển x 3 sang vế phải thì ta được một biểu
thức có đạo hàm luôn dương.
+ Sử dụng máy tính ta được nghiệm: x 1
Nên bài toán giải quyết được bằng phương pháp hàm số.
Lời giải tham khảo
ĐK:
x
1
2
10
3
4
Viết lại phương trình đã cho thành: x x 3 2 x 1 4 0
1
;
f x x x 3 2x 1 4
Xét hàm số
trên 2
3
4
1
f x 3 x 2
1
x
2
2 , ta có
Với
x3
1
2
4
2 x 1
1
;
f x
Suy ra
là hàm số đồng biến trên 2
Do đó
f x 0
3
0
4
, mà f 1 1 4 1 4 0
có nghiệm duy nhất x 1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 1
Ví dụ 3: Giải phương trình :
3
x 3x 1 4 2 x 1
Phân tích
+ Trong phương trình có chứa ba căn thức:
x , 3 x 1, 2 x 1 . Nếu dùng các phương pháp:
3
đăt ẩn phụ hoặc biến đổi tương đương thì tương đối phức tạp thậm trí bế tắc. Ta có thể dùng
phương pháp nhân liên hợp, nhưng bài toán biến đổi tương đối phức tạp .
+ Ta thấy nếu ta chuyển
3
2 x 1 sang vế phải của phương trình ta thấy :
x 3x 1 2 x 1
1
3
3
x2
3
2 3x 1
1
2x 1
0
+ Sử dụng máy tính ta được x 1 là nghiệm.
Nên bài toán giải quyết được bằng phương pháp hàm số tương đối ngắn gọn.
Lời giải tham khảo
ĐK:
x
1
2
Viết lại phương trình đã cho thành :
3
x 3x 1 2 x 1 4 0
1
2 ;
f x x 3x 1 2 x 1 4
Xét hàm số
trên
3
Với
x
1
3
1
1
f x
0
3 2
2
3
x
1
2
x
1
3
x
2 , ta có:
11
1
3
;
,mà f 1 1 4 1 4 0
là hàm số đồng biến trên 2
Suy ra
f x
Do đó
f x 0
có nghiệm duy nhất x 1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 1
2 x 3 3 x 2 6 x 16 2 3 4 x
Ví dụ 4: Giải phương trình:
Phân tích
+ Ta thấy 2 x 3 x 6 x 16 tương đối công kềnh nên bài toán giải quyết bằng phương
pháp nâng lũy thừa hay phương pháp đặt ẩn phụ là tương đối phức tạp.
3
Nhưng ta thấy:
2
2x
Do đó ta chuyển
3
3 x 2 6 x 12 6 x 2 x 1 0
.
4 x sang vế trái thì vế trái là biểu thức có đạo hàm luôn dương
+ Sử dụng máy tính ta được x 1 là nghiệm.
Nên bài toán này giải quyết được bằng phương pháp hàm số.
Lời giải tham khảo
Điều kiện xác định:
x 2 2 x 2 x 8 0
2 x3 3 x 2 6 x 16 0
2 x 4
4 x 0
4 x 0
Phương trình đã cho tương đương:
Xét hàm số
Với
f x 2 x 3 3 x 2 6 x 16 4 x 2 3
x 2; 4
Suy ra
f x
2 x 3 3 x 2 6 x 16 4 x 2 3 0
, ta có
f x
3 x 2 x 1
2 x 3 3 x 2 6 x 16
là hàm số đồng biến trên khoảng
Do đó phương trình
f x 0
trên
1
2 4 x
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 1 .
Ví dụ 5: Giải phương trình:
0
2;4 , mà f 1 0
có nghiệm duy nhất x 1
34 3 2x
2; 4
5
2 x3 6
2x 1
Phân tích
12
+ Quan sát qua ta thấy vế trái của phương trình là biểu thức công kềnh và khó nhìn ra dấu
của đạo hàm. Nhưng ta thấy:
4
3 2x
2
4
4
3 2x
0
3
1 2 x 1
1
0
2
2 x 1 2 x 1
2x 1
2x 1
.
Do đó vế trái của phương trình là biểu thức có đạo hàm luôn âm.
+ Sử dụng máy tính ta được x 1 là nghiệm của phương trình.
Nên bài toán giải quyết được bằng phương pháp hàm số.
Lời giải tham khảo
1
3
x
2
Điều kiện 2
Phương trình đã cho tương đương với :
Xét hàm số
5
1 3
2 x3 6 x ;
2x 1
2 2
,
f x 34 3 2x
f x
1 3
x ;
2 2 ta có:
Với
5
2 x3 6 0
2x 1
34 3 2x
6
4
3 2x
3
5
2 x 1
2x 1
6x2 0
1 3
;
f x
f 1 0
Suy ra
là hàm số nghịch biến trên 2 2 , mà
Do đó
f x 0
có nghiệm duy nhất x 1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 1
Ví dụ 6:Giải phương trình:
3x 8 x 1
5
2 x 11
Phân tích
13
+ Ta thấy
3x 8 x 1
3
2 3x 8
1
2 x 1 chưa xác định được dấu của biểu thức trên.
Nhưng nếu ta quy đồng và nhân liên hợp ta được:
3x 8 x 1
3
2 3x 8
1
2 x 1
3 x 1 3x 8
2 3x 8 x 1
6 x 17
2 3x 8 x 1 3 3 x 8 x 1
0, x
8
3
5
Do đó ta chuyển 2 x 11 sang vế trái của phương trình thì ta được một biểu thức ở vế trái có
đạo hàm dương.
8 11 11
; , ;
nên ta phải xét
+ Lưu ý: Tập xác định của phương trình có hai khoảng là 3 2 2
trên từng khoảng một.
+ Sử dụng máy tính ta tìm được hai nghiệm x 3; x 8
Do đó bài toán giải quyết được bằng phương pháp hàm số.
Lời giải tham khảo
x
x
Điều kiện:
8
3
11
2
Phương trình đã cho tương đương với:
Xét hàm số :
f x 3x 8 x 1
3x 8 x 1
5
0
2 x 11
8 11
x ;
3 2
5
,
2 x 11
11
;
2
8 11 11
x ; ;
ta có :
Với 3 2 2
f x
3
2 3x 8
1
2 x 1
10
2 x 11
2
3 x 1 3x 8
10
2
2 3x 8 x 1 2 x 11
14
6 x 17
2 3x 8 x 1 3 3 x 8 x 1
10
2 x 11
2
0
8 11
11
;
;
f x
, nên trên mỗi khoảng
Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 3 2 và 2
phương trình
Mà
f x 0
f 3 0; f 8 0
có tối đa một nghiệm.
, do đó
f x 0
có hai nghiệm x 3; x 8
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x 3; x 8
4 x 1
Ví dụ 7: Giải phương trình:
x 3 3 3x 5 4 x 8
Phân tích
+ Nếu ta tính đạo hàm luôn thì vế trái rất cồng kềnh. Do đó ta chia cả hai vế của phương
4 x 1
trình cho
ta được phương trình:
x 3 3 3x 3
4x 8
0
4x 1
+ Ta thấy :
x3
3
1
2 x3
3x 3
0
1
3
3
3 x 3
2
0
36
36
4 x 8
4 x 8
0
4 x 1 4 x 1
4 x 1 4 x 1
Do đó vế trái là biểu thức có đạo hàm mang dấu dương
+ Sử dụng máy tính ta được nghiệm: x 2; x 1
Nên bài toán gải quyết được bằng cách hàm số.
Lời giải tham khảo:
Điều kiện: x 3 .
Ta thấy
x
1
4 không là nghiệm của phương trình.
15
Với
x
1
4 phương trình tương đương với:
Xét hàm số
f x x 3 3 3x 5
1 1
x 3; ;
4 4
Với
x 3 3 3x 5
4x 8
,
4x 1
1 1
x 3; ;
4 4
1
1
36
f x
0
2
2 x 3 3 3 3 x 5 2 4 x 1
, ta có:
1
3;
f x
Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 4 và
phương trình
Mà
f x 0
4x 8
0
4x 1
1
;
4
, nên trên mỗi khoảng
có tối đa một nghiệm.
f 2 f 1 0
Do đó phương trình
f x 0
có hai nghiệm x 2; x 1
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x 2; x 1
Ví dụ 8: Giải phương trình:
x 5 5 x x2 6
Phân tích
2
+ Phương trình viết lại thành: x x 5 5 x 6 0
+ Lấy đạo hàm vế trái ta được:
2x
1
1
2 x5 2 5 x
(*)
Ta thấy x 0 là một nghiệm của biểu thức (*), do đó ta quy đồng và nhân liên hợp biểu
1
thức 2 5 x
1
2 x 5 ta được:
1
1
2x
x 2
2 x5 2 5 x
25 x 2
+ Ta thấy:
2x
5 x 5 x
1
1
1
0
2 x5 2 5 x
có nghiệm duy nhất x 0 . Do đó ta đi xét dấu của
biểu thức đạo hàm trên từng khoảng
5;0 , 0;5
16
Lời giải tham khảo
Điều kiện: 5 x 5
2
Phương trình đã cho tương đương với: x x 5 5 x 6 0
Xét hàm số
Với
f x x 2 x 5 5 x 6, x 5;5
x 5;5
f x 2 x
, ta có:
25 x 2
1
2 x5
1
2 5 x
2x x
25 x 2
5 x 5 x
x
5 x 5 x
2 25 x 2
2x
2
5 x 5 x
1
f x 0 x 0
Ta thấy
f x 0
Suy ra hàm số
khi
f x
x 0;5
f 4 f 4 0
f x 0
đồng biến trên khoảng
mỗi khoảng phương trình
Mà
;
f x 0
, do đó
khi
x 5;0
0;5 , nghịch biến trên khoảng 5;0 . Nên trên
có tối đa một nghiệm.
f x 0
có hai nghiệm x 4 và x 4
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x 4 và x 4 .
4
2
Ví dụ 9: Giải phương trình: 3 10 3x 3 10 3x 10 x 3x
Phân tích
4
2
+ Phương trình đã cho viết thành: x 3x 3 10 3 x 3 10 3 x 10 0
+ Lấy đạo hàm vế trái ta được:
4 x3 6 x
9
9
2 10 3 x 2 10 3 x (*).
Ta thấy x 0 là một nghiệm của biểu thức (*), do đó quy đồng và nhân liên hợp của biểu
9
9
9
9
4 x3 6 x
2 10 3 x 2 10 3 x
thức 2 10 3 x 2 10 3 x ta được:
x 4 x 2 6
27
10 3x 10 3x
10 3 x 10 3 x
17
Suy ra
4 x3 6 x
9
9
0
2 10 3 x 2 10 3 x
có nghiệm duy nhất x 0 .
Do đó ta đi xét dấu của
4 x3 6 x
9
9
2 10 3 x 2 10 3 x trên từng khoảng
10 10
;0 , 0;
3 3
Lời giải tham khảo
Điều kiện :
10
10
x
3
3
4
2
Phương trình đã cho tương đương với: x 3x 3 10 3 x 3 10 3 x 10 0
10 10
x ;
3 3 ta có:
Với
f x 4 x 6 x
3
x 4 x 2 6
9
2 10 3 x
9
4 x3 6 x
2 10 3x
27
10 3x 10 3x
9
10 3x 10 3 x
2 10 3x 10 3 x
10 3 x 10 3 x
f x 0 x 0
10
f x 0 khi x 0; ; f x 0 khi x
3
Ta thấy:
10
;0
3
10
10
0;
;0
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng 3 , nghịch biến trên khoảng 3
Nên trên mỗi khoảng phương trình
Mà
f 2 f 2 0
. Do đó
f x 0
f x 0
có tối đa một nghiệm.
có hai nghiệm x 2 và x 2
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x 2 và x 2
Bài tập tự luyện: Giải các phương trình sau:
18
3
1) x x 1 x 2 5
2)
3
7)
6 x 15 4 3 x 5 20 2 x 3
4 x 4 3 8 x 3 34 6 x x 2
3)
8)
3
4) 5 x 1 4 x 3 11 2 3 x 1
3
2
5) 4 x 13x 19 x 48 21 23 2 x
6)
5 4 7 3x
x2 2
1 x2
8 x
5
2x2
x
2
x
1
1
2
4 5 x
3 7x 2
9) 3 x 1 x 7 x 2 4
6
25 4 x 3
5x 1
3
3
3
10) 5 x 1 2 x 1 x 4
11)
3x 2 x 3 2 x 7 5
2.2.1.2.Phương trình đưa được về dạng : f(u)=f(v).
Phương pháp:
Bước 1: Tìm ĐKXĐ
Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng:
Bước 3: Xét hàm số
f t
, chứng minh
f u f v
f t
( với u, v là các hàm số theo x )
là hàm số đơn điệu.
Bước 4: Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số để kết luận nghiệm.
** Trong phương pháp trên thì bước 2 là quan trọng nhất.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
5
2 x 1 5 5x 2 5x 2 2 x 1
Phân tích
+ Ta thấy trong phương trình có hai biểu thức dưới dấu căn là:
2 x 1 , 5 x 2 . Do đó nếu
5
5
ta đặt u 2 x 1, v 5 x 2 thì phương trình trở thành: u u v v
f t t 5 t, t 0
+ Xét hàm số đặc trưng:
Lời giải tham khảo
Điều kiện xác định:
Ta thấy
Với
x
x
x
2
5
2
5 không là nghiệm của phương trình.
u 2 x 1
2
5 , đặt v 5 x 2 , (u 0, v 0)
19
5
5
Phương trình trở thành: u u v v
Xét hàm số
f t 5 t t
f t
Ta có:
1
5
5 t
Theo (1) ta có :
4
1
2 t
(1)
( t0 )
0, t 0
f t
là hàm số đồng biến trên khoảng
0;
f u f v u v
Với u v ta được: 5 x 2 2 x 1 x 1 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x 1
Ví dụ 2: Giải phương trình: 2 x 2 x 2 x 3 2 x 3
Phân tích
+ Cộng cả hai vế của phương trình với 2 thì phương trình tương đương với:
2x 2
2x 2
x32 2 x3
+ Đặt u 2 x 2, v 2 x 3 , phương trình trở thành: u u v v
+ Xét hàm số :
f t t t
Lời giải tham khảo:
Điều kiện xác định: x 1
Phương trình đã cho tương đương với:
2x 2
Ta thấy x 1 không là nghiệm của phương trình.
u 2 x 2
, u, v 0
v
2
x
3
Với x 1 , đặt
Phương trình trở thành: u u v v
Xét hàm số
f t
f t t t , t 0
là hàm số đồng biến trên
Theo (1) ta có
(1)
f t 1
1
2 t
0;
f u f v u v
20
2x 2 2 x 3 2 x 3
0
, t 0
x 0
2
4x x 3 0
Với u v ta được : 2 x 2 2 x 3 2 x x 3
x 0
3
x
4
x 1
x 1 ( thỏa mãn điều kiên xác định)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 1
Ví dụ 3: Giải phương trình:
Phân tích
+ Ta thấy :
x2 2 x 3 4 x2 2x 4 x 6 4 4 x 3
x 2 2 x 3 x 2 2 x 3; 4 x 6 4 x 3 3
2
nên nếu đặt: u x 2 x; v 4 x 3
thì phương trình trở thành: u 3 4 u v 3 4 v
+ Xét hàm số
f t t 3 4 t
Lời giải tham khảo
Điều kiện xác định: x 0
Ta thấy x 0 không là nghiệm của phương trình.
u x2 2 x
, (u 0, v 0)
v 4x 3
x
0
Với
, đặt
Phương trình trở thành: u 3 u v 3 v
Xét hàm số
f t t 3 t
Với t 0 ta có :
Theo (1) ta có:
f t
1
2 t 3
(1)
với t 0
1
2 t
0
f t
f u f v u v
x 1
2
x 3
Với u v ta được x 2 x 4 x 3
Kết hợp với điều kiện ta được: x 3
21
là hàm số đồng biến trên
0;
- Xem thêm -
.DOC 
63 
1047 
91 
