Tài liệu Skkn lũy thừa và một số dạng toán thường gặp”

Trường THCS Tân Bình thường gặp Lũy thừa và một số dạng toán Phần I: Đặt vấn đề Trong chương trình toán ở bậc THCS có thể nói “Toán lũy thừa là một mảng kiến thức khá lớn, chứa đựng rất nhiều các bài toán hay và khó. Để làm được các bài toán về lũy thừa không phài việc dễ dàng kể cả đối với học sinh khá và giỏi, nhất là đối với học sinh khối 6 và 7. Các em mới được làm quen với môn đại số và mới được tiếp cận với toán lũy thừa nên chưa có công cụ phổ biến để thực hiện các phép biến đổi đại số, ít phương pháp, kỹ năng tính toán,…. Để nâng cao và mở rộng kiến thức phần lũy thừa cho học sinh lớp 6, lớp 7, bằng kinh nghiệm giảng dạy của mình kết hợp sự tìm tòi, học hỏi các thầy cô giáo đồng nghiệp, tôi muốn trình bày một số ý kiến về chuyên đề “Lũy thừa và một số dạng toán thường gặp” nhằm cung cấp phần nào kiến thức cơ bản, cần thiết và những kinh nghiệm cụ thể về phương pháp giải toán lũy thừa cho các đối tượng học sinh. Bên cạnh đó giúp học sinh rèn luyện thao tác tư duy, phương pháp suy luận logic, … tạo sự say mê cho các bạn yêu thích môn toán. Phần II: Giải quyết vấn đề I. Cơ sở lý thuyết: a. Định nghĩa lũy thừa với số mũ tự nhiên an = a a.........  .   a (n  N*) n thừa số b. Một số tính chất : Với a, b, m, n  N am. an = am+n am : an = am-n (a ≠ 0, m > n) (a.b)m = am. bm (m ≠ 0) (am)n = am.n (m,n ≠ 0) Quy ước: Trang 1 Trường THCS Tân Bình thường gặp Lũy thừa và một số dạng toán a1 = a a0 = 1 (a ≠ 0) Với: x, y  Q; m, n  N; a, b  Z  xn = x.x.........    x (n  N*) n thừa số n an a    n b b xo = 1 xm  x m n n x (b ≠ 0) xm . xn = xm+n (x ≠ 0) 1 x = xn -n (x ≠ 0) (xm)n = xm.n (x.y)m = xm. ym n  x xn    n y  y c. (y ≠ 0) Kiến thức bổ sung * Với mọi x, y, z  Q: x2 ≥ 0 x < y <=> x + z < y + z * Với x  Q, n  N: (-x)2n = x2n (-x)2n+1 = - x2n+1 * Với a, b  Q; a > b > 0 => an > bn a>b <=> a2n +1 > b2n + 1 a > 1 , m > n > 0 => am > an 0 < a < 1 , m > n > 0 => am < an II. Các dạng bài tập  Dạng 1: Tìm số chưa biết 1.1. (x ≠ 0) Tìm cơ số, thành phần của cơ số trong lũy thừa - Phương pháp 1: Đưa về 2 lũy thừa cùng số mũ Trang 2 Trường THCS Tân Bình thường gặp Lũy thừa và một số dạng toán  Chú ý: Với x, y Q, n  N x 2 n1  y 2 n 1 � x  y x y � x2n  y 2n � � x  y � Ví dụ: Tìm x biết: a/ x3 = -27 b/ (2x - 3)2 = 9 Hướng dẫn : a/ x3 = -27 b/ (2x - 3)2 = 9 => (2x - 3)2 = (-3)2 = 32 x3 = (-3)3 => 2x -3 =3  x = -3 hay 2x -3 = -3 2x = 6 hay 2x = 0 x=3 hay x=0 Vậy x = 3 hay x = 0 . - Phương pháp 2: + Áp dụng a.b + a.c = a. (b + c) a0 � b0 � + Áp dụng a.b  0 � � Ví dụ 1: Tìm số hữu tỉ x biết : x2 = x 5 Hướng dẫn : 2 5 5 2 2 3 x = x => x - x = 0 => x .(x - 1) = 0 =>  x 2 0  3  x  1 0  x 0 =>  x  3 1 =>  x 0  x 1  (3y - 1)10 = (3y - 1)20 ví dụ 2 : Tìm số hữu tỉ y biết : x10 = x20 Hướng dẫn: đặt 3y -1 = x . Khi đó (*) trở thành : Giải tương tự bài ở trên ta được :  x 10 0  10  x  1 0 +) Với x = 0 ta có: 3y -1 = 0 => 3y = 1 => y = Trang 3 (*)  x 0 =>  x10 1  1 3 =>  x 0  x  1    x 1 Trường THCS Tân Bình thường gặp Lũy thừa và một số dạng toán +) Với x = 1 ta có : 3y -1 = 1 => 3y = 2 => y = 2 3 +) Với x = -1 ta có : 3y -1 = -1 => 3y = 0 => y = 0 Vậy - y= 1 3 ; 2 3 ;0 Phương pháp 3: Với mọi x  Q ta có x 2 �0 (3x - 5)100 + (2y + 1)200  0 Ví dụ 1 : Tìm x và y biết : (*) Hướng dẫn : so sánh Ta thấy : (3x - 5)100 và (2y +1)200 với 0 .  x Q (3x - 5)100  0 (2y +1)200  0  x Q  biểu thức (*) chỉ có thể bằng 0, không thể bé hơn 0 Vậy : (3x - 5)100 + (2y + 1)200 = 0 khi (3x - 5)100 = (2y + 1)200 = 0 3x - 5 = 2y + 1 =0 => x = 5 3 và  x Z (x + 2)2  0 2(y - 3)2  0  x Z  1 2 (x + 2)2 + 2(y - 3)2 < 4 Ví dụ 2 :Tìm các số nguyên x và y sao cho : Hướng dẫn : y= (1) (2) Từ (1) và (2) suy ra, để :(x + 2)2 + 2(y -3)2 < 4 thì chỉ có thể xảy ra các trường hợp sau: (x + 2)2 = 0 +) Trường hợp 1 : => x = -2 (x + 2)2 = 0 +) Trường hợp 2 : => +) Trường hợp 3 : => và x = -2 (x + 2)2 = 1 =>  x  2 1  x  2  1  =>  x  1  x  3  +) Trường hợp 4 : và (x + 2)2 = 1 (y - 3)2 = 0 y=3 (y - 3)2 = 1 => và (y - 3)2 = 0 => và  y 4  y 2  y=3 (y – 3)2 = 1 Trang 4 Trường THCS Tân Bình thường gặp Lũy thừa và một số dạng toán =>  x  1  x  3  =>  y 4  y 2  Vậy ta có bảng giá trị tương ứng của x và y thỏa mãn đầ bài là : x y -2 3 -2 4 -2 2 -1 3 -3 3 -1 4 -3 2 -3 4 -1 2 Các bài toán tương tự : 1 Tìm x biết : a/ (2x - 1)4 = 81 b/ (x -2)2 = 1 c/ (2x - 1)3 = -8 d/ (x - 1)5 = - 32 e/ (4x - 3)3 = -125 f/ (x - 2)2 = 16 2 . Tìm y biết : a/ y200 = y b/ y2008 = y2010 c/ (2y - 1)50 = 2y - 1 d/ ( y 3 -5 )2000 = ( 3 . Tìm a, b, c biết : a/ (2a + 1)2 + (b + 3)4 + (5c - 6)2  0 b/ (a - 7)2 + (3b + 2)2 + (4c - 5)6  0 c/ (12a - 9)2 + (8b + 1)4 + (c +19)6  0 d/ (7b -3)4 + (21a - 6)4 + (18c +5)6  0 1.2 Tìm số mũ, thành phần trong số mũ của lũy thừa. - Phương pháp 1 : Đưa về hai lũy thừa có cùng cơ số  Chú ý: Víi x ≠ 0 ; x≠ ±1 ta có x n  x m � n  m Ví dụ : Tìm n  N biết : a, 2008n = 1 c, 32-n. 16n = 1024 b, 5n + 5n+2 = 650 d, 3-1.3n + 5.3n-1 = 162 Hướng dẫn : a/ 2008n = 1=> 2008n = 20080 => n = 0 b/ 5n + 5n+2 = 650 5n + 5n.52 = 650 5n.(1 + 25) = 650 => 5n = 650 : 26 5n = 25 = 52 Trang 5 y 3 -5 )2008 Trường THCS Tân Bình thường gặp Lũy thừa và một số dạng toán => n = 2 - Phương pháp 2 : Với x  Q ; m, n  N áp dụng tính chất 1  x n  x m � n  m Ví dụ 1 : Tìm các số tự nhiên n sao cho : a/ 3 < 3n  234 b/ 8.16  2n  4 Hướng dẫn : a/ 3 < 3n  234 31 < 3n  35 => n   2;3;4;5 b/ 8.16  2n  4 23.24  2n  22 27  2n  22 => n   2;3;4;5;6;7 Ví dụ 2 : Tìm số tự nhiên n biết rằng : 415 . 915 < 2n . 3n < 1816 . 216 Hướng dẫn : 415 . 915 < 2n . 3n < 1816 . 216 (4. 9)15 < (2.3)n < (18.2)16 3615 < 6n < 3616 630 < 6n < 632 => n = 31 Các bài toán tương tự: 1. Tìm các số tự nhiên n sao cho a. 9 . 27n = 35 b. c. 3-2. 34. 3n = 37 d. (23 : 4) . 2n = 4 2-1 . 2n + 4. 2n = 9. 25 2. Tìm các số tự nhiên n sao cho: a. 125.5  5n  5.25 c. 243  3n  9.27 b. (n54)2 = n d. 2n+3 2n =144 3. Tìm các số tự nhiên x, y biết rằng a. 2x+1 . 3y = 12x b. 10x : 5y = 20y 4. Tìm các số tự nhiên n biết rằng a. 411 . 2511  2n. 5n  2012.512 Trang 6 Trường THCS Tân Bình thường gặp Lũy thừa và một số dạng toán 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 b. 4 5 4 5 4 5 4 . 6  6  6 5  6 5  6  6 2 n 3 3 3 2 2 1.3. Mét sè trêng hîp kh¸c - Phương pháp: Kết hợp hai trường hợp trên Ví dụ 1: Tìm x biết: (x-1) x+2 = (x-1)x+4 Đặt x-1 = y ta có: (1) x+2=y+3 x+4=y+5 Khi đó (1) trở thành : yy+3 = yy+5 yy+5 - yy+3 = 0 yy+3(y2 - 1) = 0 => yy+3 = 0 hoặc y2 - 1 = 0. * Nếu : yy+3 = 0 => y = 0 Khi đó : x - 1 = 0 hay x = 1. * NÕu : y2 - 1 = 0 => y2 = 12 => y = 1 hoặc y = -1 Với y = 1 ta có : x - 1 = 1 hay x = 2 Với y = -1 ta có : x -1 = -1 hay x = 0 VËy x   0;1;2 Ví dụ 2 : T×m x biÕt : x(6-x)2003 = (6-x)2003 Hướng dẫn : x. (6-x)2003 = (6-x)2003 x. (6-x)2003 - (6-x)2003 = 0 (6-x)2003 (x-1) = 0 => (6-x)2003 = 0 hoÆc (x-1) = 0 * NÕu (6-x)2003 = 0 * NÕu (x-1) = 0 => (6-x) = 0 => x = 1 VËy : x   1;6 Ví dụ 3 : Tìm số tự nhiên a, b biết rằng : a. 2a + 124 = 5b b. 10a + 168 = b2 Trang 7 =>x = 6 Trường THCS Tân Bình thường gặp Lũy thừa và một số dạng toán Híng dÉn : a) 2a + 124 = 5b (1) * XÐt a = 0, khi ®ã (1) trë thµnh 20 + 124 = 5b Hay 5b = 125 5b = 53 Do ®ã a= 0 vµ b = 3 * XÐt a  1. Ta thÊy vÕ tr¸i cña (1) lu«n lµ sè ch½n vµ vÕ ph¶i cña (1) lu«n lµ sè lÎ víi mäi a  1 , a,b  N, ®iÒu nµy v« lý. KÕt luËn : VËy : a = 0 vµ b = 3. b) 10a + 168 = b2 (2) T¬ng tù c©u a * XÐt a = 0, khi ®ã (2) trë thµnh 100 + 168 = b2 169 = b2 132 = b2 => b = 13 (v× b  N) Do ®ã a = 0 vµ b = 13. * XÐt a  1. Chúng ta đều biết với mọi số tự nhiên a  1 thì 10a có chữ số tận cùng là 0 nên suy ra 10a + 168 có chữ số tận cùng là 8, theo (2) thì b2 có chữ số tận cùng là 8. Điều này vô lý. Kết luận : Vậy : a = 0 và b = 13. Các bài toán tương tự: Tìm số tự nhiên a, b để : a. 3a + 9b = 183 b. 5a + 323 = b2 c. 2a + 342 = 7b d. 2a + 80 = 3b  D¹ng 2: Tìm chữ số tận cùng của 1 giá trị lũy thừa Trang 8 Trường THCS Tân Bình thường gặp - Lũy thừa và một số dạng toán Phương pháp: Để tìm chữ số tận cùng của 1 giá trị lũy thừa ta thường đưa về dạng các lũy thừa có chữ số tận cùng là một trong các chữ số sau: 0 ; 1 ; 4;5;6;9.  Lưu ý :  Tất cả các số có chữ số tận cùng là : 0 ; 1 ; 5 ; 6 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng có chữ số tận cùng là chính những số đó.  Những số có chữ số tận cùng là 4 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có chữ số tận cùng là 6 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 4.  Những số có chữ số tận cùng là 9 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có chữ số tận cùng là 1 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 9.  Những số có chữ số tận cùng là 2 ; 7 ; 3 ; 8 ta cần nhớ các kết quả sau : 24 = 16 74 = 2401 34 = 81 84 = 4096 Ví dụ 1 : Tìm chữ số tận cùng của các số sau : 20072008 , 1358 2008 , 23456 , 5235, 20032005 , 9 9 , 4 5 ,996, 81975, 10231024. 67 9 Hướng dẫn : §a c¸c lòy thõa trªn vÒ d¹ng c¸c lòy thõa cña sè cã ch÷ sè tËn cïng lµ : 0 ; 1 ; 5 ; 6 . +) 20072008 = (20074)502 = ( ......1 )502 = +) 23456 = (24)864 = 16864 = ......6 ......1 nªn 20072008 ch÷ sè tËn cïng lµ 1 . => 23456 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 6 . +) 5235 = 5232. 523 = (524)8. ......8 = ( ......6 )8 . ...... 8 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 8 +) 10231024 = (10234)256 = ( ......1 )256 = 1. ......1 ......8 7 45 ......2 +) 996 = ( 94)24 =( ......1 )24 = ......1 . ......8 = ......1 ) . 2003 = 501 ......1 . cã ch÷ sè tËn cïng lµ 4 67 +) 1358 2008 = (13584) 502 = ( ......6 )502 = lµ 6. +) 81975 = 81972. 83 = (84)493. cïng lµ 2 . ......6 =>10231024 cã ch÷ sè tËn cïng lµ +) 20032005 = 20032004. 2003 = (20034)501. 2003 = ( 2003 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 3 +) Ta thÊy 5 6 lµ mét sè lÎ nªn = = ......6 ......6 => 1358 2008 cã ch÷ sè tËn cïng ......2 => 81975 cã ch÷ sè tËn => 996 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 1 . Trang 9 Trường THCS Tân Bình thường gặp Lũy thừa và một số dạng toán +) Ta thÊy 99 lµ mét sè lÎ nªn 9 9 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 9 . 9 Ví dụ 2 : Cho A = 172008 - 112008 - 32008 . T×m ch÷ sè hµng ®¬n vÞ cña A . §©y lµ d¹ng to¸n t×m ch÷ sè tËn cïng cña mét tæng , ta ph¶i t×m ch÷ sè tËn cïng cña tæng sè h¹ng , råi céng c¸c ch÷ sè tËn cïng ®ã l¹i . Hướng dẫn : T×m ch÷ sè tËn cïng cña 172008 ; 112008 ; 32008 ta cã : A = 172008 – 112008 – 32008 = ......1 - ......1 - ......1 = ......0 - ......1 = ......9 VËy A cã ch÷ sè tËn cïng lµ 9 . Ví dụ 3 : Cho M = 1725 + 244 - 1321 . Chøng tá r»ng : M 10 Ta thÊy mét sè chia hÕt cho 10 khi cã ch÷ sè tËn cïng lµ 0 nªn ®Ó chøng tá M 10 ta chøng tá M cã ch÷ sè tËn cïng lµ 0 . Gi¶i : 1725 = 1724.17 = (174)6. 17 = ( ......1 )6.17 = ......1 .17 =  ......7 244 =(242)2 = 5762 = .....6 1321 = (134)5.13 = ( ......1 )5.13 = VËy M = ......7 + - .....6 ......3 = ......0 ......1 . 13 = => M 10 ......3 Ví dụ 4 : Chøng tá r»ng, c¸c sè cã d¹ng: a/ n b/  Chó ý: chia hÕt cho 5 (n  N, n ≥ 2) A = 22  1 chia hÕt cho 10 (n  N, n ≥ 1) B = 24  4 n 22 n = 2 2 2 .2 n 2    24 2n  2 16 2 n 2 , 24  24 4  164 , 92  92 2  812     n n 1 n 1 Hướng dẫn : a) Víi n  N, n ≥ 2, ta cã : n 2 2 = 2 2 .2 2 n 2    24 2n  2 16 2 n 2 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 6 => A = 2 2  1 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 5 VËy A 5 n b) Víi n  N, n ≥ 1, ta cã : n 2 4 = 2 4 .4 n 1    24 4n  1 16 4 n 1 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 6 => B = 2 4  4 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 0 VËy B 10 n c) Víi n  N, n ≥ 1, ta cã : Trang 10 n n 1 n 1 Trường THCS Tân Bình thường gặp 92 n = 9 2 .2 n 1    92 Lũy thừa và một số dạng toán 2n 1 812 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 1 n 1 => H = 9 2  3 cã tËn cïng lµ 4 VËy H 2 n Các bài toán tương tự: 1) T×m ch÷ sè tËn cïng cña c¸c sè sau: 22222003; 77772005; 20082004; 1112006; 20052005; 20062006 ; 9992003; 20042004; 20002000; 20032005 2) Chøng tá r»ng, víi mäi sè tù nhiªn n : a/ 34n + 1 + 2 chia hÕt cho 5 b/ 24n + 1 + 3 chia hÕt cho 5 c/ 92n + 1 + 1 chia hÕt cho 10 3) Chøng tá r»ng c¸c sè cã d¹ng: a/ 2 2 +1 cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 7 (n  N, n ≥ 2) b/ 2 4  1 cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 7 (n  N, n ≥ 1) c/ 3 2 +4 chia hÕt cho 5 n n n d/ 3 4 - 1 n (n  N, n ≥ 2) (n  N, n ≥ 1) chia hÕt cho 10 4) T×m ch÷ sè hµng ®¬n vÞ cña : a/ A = 66661111 + 11111111 - 665555 b/ B = 10n + 555n + 666n c/ H = 99992n +9992n+1 +10n ( n  N*) d/ E = 20084n + 20094n + 20074n ( n  N* ) 5) Trong c¸c sè sau sè nµo chia hÕt cho 2 , cho 5 , cho 10 ? a/ 34n+1 + 1 (n  N b/ 24n+1 -2 (n  N) (n  N, n ≥ 2) c/ 2 2 +4 n d/ 9 4 - 6 n (n  N, n ≥ 1) 6) T×m ch÷ sè tËn cïng cña sè tù nhiªn a ®Ó 7) T×m sè tù nhiªn n ®Ó n10 + 1 a2 + 1 10 8) Chøng tá r»ng , víi mäi sè tù nhiªn n th× : a/ 3n+2 - 2n+2 + 3n -2n 10 b/ 3n+3 + 2n+3 + 3n+1 + 2n+2 6 Trang 11 (n > 1) 5 Trường THCS Tân Bình thường gặp Lũy thừa và một số dạng toán  D¹ng 3: Tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa . * Phương pháp: Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa, ta cần chú ý những số đặc biệt sau : +) Các số có tận cùng là 01 , 25 , 76 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng chính nó. +) Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa ta thường đưa về dạng có hai chữ số tận cùng là: 01 ; 25 hoặc 76 . +) Các số 210 ; 410; 165; 65; 184; 242; 684; 742 có tận cùng bằng 76. +) Các số 320; 910; 815; 74; 512; 992 có tận cùng là 01 . +) Số 26n (n  N, n >1) có tận cùng là 76 Bài 1 : Tìm hai chữ số tận cùng của: 2100 ; 3100 Dựa vào nhận xét trên học sinh có thể dễ dàng làm được bài này: 2100 = (220)5 = ( ......76 )5 = ......76 3100 = (320)5= ( ......01 )5 = ......01 Bài 2: Tìm hai chữ số tận cùng của: a, 5151 b, 9999 c, 6666 d, 14101. 16101 Hướng dẫn: §a vÒ d¹ng c¸c sè cã hai chữ số tận cùng là : 01 ; 25 hoÆc 76 . a) 5151 = (512)25. 51 = ( ......01 )25. 51 = ......01 . 51 = ......51 => 5151 cã 2 ch÷ sè tËn cïng lµ 51 b) 9999 =(992)49.99 = ( ......01 )49 . 99= c) 6666 =(65)133.6 = ( ......76 )133 . 6= ......01 ......76 . 99 = .6= ......99 ......56 d) 14101. 16101 = (14. 16)101 = 224101 = (2242)50. 224 = ( ......76 )50 . 224 = ......76 . 224 = ......24 Bài 3: Tìm hai chữ số tận cùng của: a) 512k; b) 992n; c) 65n; 512k+1 992n+1; (k  N*) 99 99 65n+1; 99 ; (n  N*) 6 66 66 ; Gîi ý: a) 512k = (512)k = ( ......01 )k 512k+1 = 51. (512)k = 51. ( ......01 )k Trang 12 (n  N*) Trường THCS Tân Bình thường gặp Lũy thừa và một số dạng toán b) 992n = (992)n = ( ......01 )n 992n+1 = 99. (992)n = 99. ( ......01 )n 99 99 99 , ta cã 9999 lµ mét sè lÎ => 99 99 cã d¹ng 992n+1 99 => 99 99 = 99.(992)n = 99 . ( ......01 )n c) 65n = ( 65)n = ( ......76 )n (Víi n  N, n > 1) (Víi n  N, n > 1) 99 65n+1 = 6 . ( 65)n = 6. ( ......76 )n 6 66 66 , ta cã 6666 lµ mét sè cã tËn cïng lµ 6, => 6 66 cã d¹ng 65n+1 (n  N, n > 1) 66 => 6 66 = 6 . ( ......76 )n 66 Các bài toán tương tự : 1. Tìm hai chữ số tận cùng của: a) 72003 b) 9 9 c) 742003 9 d) 182004 e) 682005 f) 742004 2. Tìm hai chữ số tận cùng của: a) 492n ; 492n+1 (n  N) b) 24n . 38n (n  N) c) 23n . 3n ; 23n+3 . 3n+1 (n  N) d) 742n (n  N) ; 742n+1 3. Chứng tỏ rằng : a, A = 262n - 26  5 vµ b, B = 242n+1 + 76 100 10 ( n  N, n > 1) (Víi n  N) c, M = 512000 . 742000 . 992000 cã 2 ch÷ sè tËn cïng lµ 76.  D¹ng 4: Tìm ba chữ số tận cùng trở lên . *Phương pháp : Chú ý một số điểm sau. +) Các số có tận cùng 001, 376, 625 nâng lên lũy thừa (khác 0) cũng có tận cùng bằng chính số đó. +) Số có tận cùng 0625 nâng lên lũy thừa (khác 0) cũng có tận cùng bằng 0625. Bài 1. Tìm 3 chữ số tận cùng, 4 chữ số tận cùng của 52000. Học sinh có thể làm phần này không mấy khó khăn nhờ kĩ năng đã có từ các phần trước. 52000 = (54)500 = 625500 = (0625)500 Vậy : 52000 có ba chữ số tận cùng là 625, có bốn chữ số tận cùng là 0625. Bài 2 : Tìm ba chữ số tận cùng của: a, 23n . 47n (n  N*) Trang 13 Trường THCS Tân Bình thường gặp Lũy thừa và một số dạng toán b, 23n+3 . 47n+2 (n  N) Để tìm được ba chữ số cuối của một lũy thừa đã là khó với học sinh, bài này lại yêu cầu tìm ba chữ số cuối của một tích các lũy thừa thì quả thật là rất khó. Đối với học sinh khá, giỏi cũng cần tới sự gợi ý của giáo viên. a, 23n . 47n = (23)n . 47n = (8 . 47)n = 376n 376n có tận cùng là 376 => 23n . 47n có tận cùng là 376. b , 23n+3 . 47n+2. Dù đã làm được câu a, đến câu b học sinh cũng không tránh khỏi lúng túng ở số mũ. Giáo viên có thể hướng dẫn : 23n+3 . 47n+2 = 23(n+1) . 47n+1 . 47 = (23)(n+1) . 47n+1 . 47 = (8.47)n+1 . 47 = 47 . 376n+1 Ta có : 376n+1 có các chữ số tận cùng là 376 => 47 . 376n+1 có chữ số tận cùng là 672 Bài 3: Chứng tỏ rằng: n a. 5 4 + 375  1000 ( n N, n ≥ 1) b. 5 2 - 25  100 ( n N, n ≥ 2) n c. 2001n + 23n . 47n + 252n có tận cùng bằng 002 Nếu học sinh làm tốt các phần trước thì khi gặp bài này sẽ không gặp nhiều khó khăn, tuy nhiên, rất cần đến sự tư duy logic, liên hệ đến kiến thức liên quan và kĩ năng biến đổi. n a. Ta có: 5 4 = 5 4.4 n 1 = 625 4 n 1 tận cùng là 625 ( n  N, n ≥ 1) => 5 4 + 375 có tận cùng 000. n n Vậy: 5 4 + 375  1000 n 2 b. Ta có 5 2 = 5 2 .2 = 5 4  2 = 625 2 n 2 n 2 n 2 ( n  N, n ≥ 2) n Vậy 5 2 - 25 có 2 chữ số tận cùng là 00. Do đó : 5 2 - 25  100 n c. 2001n + 23n . 47n + 252n Ta thấy : 2001n có tận cùng là 001 23n . 47n = (8 . 47 )n = 376n có tận cùng là 376 252n = (252)n = 625n có tận cùng là 625 Vậy: 2001n + 23n . 47n + 252n có tận cùng là 002. Trang 14 Trường THCS Tân Bình thường gặp Lũy thừa và một số dạng toán D¹ng 5 : So s¸nh hai lòy thõa - Phương pháp 1: Biến đổi về hai lũy thừa có cùng số mũ, cùng cơ số  Chú ý : với a, b, m ,n N ta có:  a > b  an > bn  nN*  m > n  am > an (a >1)  m > n  am < an (0 < a <1) Ví dụ: So s¸nh : a/ 2300 vµ 3200 b/ 200710 vµ 200810 c/ (2008-2007)2009 vµ (1998 - 1997)1999 Híng dÉn: a/ ta có: 2300= (23)100=8100 3200=(32)100=9100 Vì 8100< 9100  2300< 3200 b/ V× 2007 < 2008 nªn 200710 < 200810 (2008-2007)2009 = 12009 = 1 c/ Ta cã : (1998 - 1997)1999 = 11999 = 1 Vậy (2008-2007)2009 = (1998 - 1997)1999 - Phương pháp 2: Dùng tính chất đơn điệu của phép nhân (nếu a > b thì a.c > b.c với c> 0) Ví dụ: So s¸nh a/ 85 và 3.47 b/ 202303 và 303202 c/ 992 và 999910 Hướng dẫn : a/ Ta cã : 85 = 215 = 2.214 < 3.214 = 3.47 => 85 < 3.47 b/ Ta cã : 202303 = (2.101)3.101 = (23.1013)101 = (8.101.1012)101 = (808.1012)101 303202 = (3.101)2.101 = (32.1012)101 = (9.1012)101 V× 808.1012 > 9.1012 nªn 202303 > 303202 Trang 15 Trường THCS Tân Bình thường gặp Lũy thừa và một số dạng toán c/ Ta thÊy : 992 < 99.101 = 9999 => (992)10 < 999910 hay 9920 < 999910 - Phương pháp 3: Dùng lũy thừa trung gian Chú ý:   Ta thêm bớt ở cơ số để đưa về 2 lũy thừa cùng cơ số.  Ta thêm bớt ở số mũ để tìm được UCLN rồi đưa về 2 lũy thừa cùng số mũ. Ví dụ: So s¸nh a/ 3111 và 1714 b/ 10750 vµ 7375 c/ 291 vµ 535 Hướng dẫn : a/ Ta có 3111 < 3211 mà: 3211 = (25)11 = 255 1714 > 1614 mà: 1614 = (24)14 = 256 vậy 3111 < 255 vậy 1711 > 256 vì 256 > 255 nên 3111 < 1714 b/ Ta thấy : 10750 < 10850 = (4. 27)50 = 2100. 3150 (1) 7375 > 7275 = (8. 9)75 = 2225. 3150 (2) Từ (1) và (2) => 10750 < 2100. 3150 < 2225. 3150 < 7375 10750 < 7375 Vậy c/ 291 > 290 = (25)18 = 3218 535 < 536 = (52)18 = 2518 => 291 > 3218 > 2518 > 535 Vậy 291 > 535 Các bài toán tương tự: Bài 1 : Chứng tỏ rằng 527 < 263 < 528 Bài 2: So s¸nh : a/ (-32)9 vµ (-16)13 d/ (-32)9 vµ (-18)13 528 vµ 2614 1 2300 vµ b/ (-5)30 vµ (-3)50 1 100 ) 16 e/ (  h/ 521 vµ 12410 1 1 1 l/ 199 vµ 300 200 3 5 3 1 500 ) 2 vµ (  f/199010 + 19909 và 199110 g/ i/421 vµ 647 m/  1    4 8 vµ Trang 16 1   8 c/ 1010 và 48.505 j/230 + 330 + 430 vµ 3. 2410 k/ 5 n/  1     10  15 vµ  3     10  20 Trường THCS Tân Bình thường gặp Lũy thừa và một số dạng toán  D¹ng 6 : So sánh liên quan đến biểu thức có chứa lũy thừa Ví dụ 1: Chøng tá r»ng. 1 1 1 1 1  2  2  ..   1 2 2 2 3 4 2007 2008 2 a/ H = b/ K =  1 1 1 1 1 1 1 1  2 2 2 2 2 2  2 2 2 4 6 8 10 12 14 Lu ý: 1 1 1   n.(n  1) n n  1 (n  N*) ab � �acbd � cd � Hướng dẫn : a/ Ta cã: => Mµ 1 1  2 1.2 2 H= , 1 1  2 2.3 3 , 1 1 , …,  2 3.4 4 1 1  2 2007.2008 2008 1 1 1 1 1 1 1 1  2  2  ..      ..  2 2 2 1.2 2.3 2007.2008 2 3 4 2007 2008 (*) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1   ..  1       .....   1  1 1.2 2.3 2007.2008 2 2 3 3 4 2007 2008 2008 Nªn , tõ (*) => H < 1 b/ K = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1  2  2  2  2  2  2 ) < 2 (1+1) = 2 .2 = 1 2 2 2 2 3 4 5 6 7 2 2 (V× theo c©u a, VËy K < 1 2 1 1 1 1 1 1       1) 2 2 32 4 2 5 2 6 2 7 2 . Ví dụ 2: So s¸nh A vµ B biÕt : A= 2008 2008  1 2008 2009  1 ; B= 2008 2007  1 2008 2008  1 Tríc khi t×m lêi gi¶i bµi nµy gi¸o viªn cã thÓ cung cÊp cho häc sinh tÝnh chÊt sau : * Víi mäi sè tù nhiªn a , b , c kh¸c 0 , ta chøng minh ®îc : +) NÕu +) NÕu a b > 1 th× a b < 1 th× a ac  b bc a a c  b bc Ap dông tÝnh chÊt trªn vµo bµi 6 , ta cã : Trang 17 Trường THCS Tân Bình thường gặp Lũy thừa và một số dạng toán 2008 V× A = 2008 2009  1 < 1 nªn 2008 1 2008 2008 2008 2008.(2008 2007 A = 2008 2009  1 < 2008 2009  1  2007 = 20082009  2008 = 2009 2008 1 2008 2008  1  2007  2008 2008.( 2008  1)  1) = 2008 2007  1 2008 2007  1 =B VËy A < B . 2008  1).2008 2008 2009  1  2007 C¸ch 1: Ta cã : 2008.A = (2008 2009 =1+  2009 2008 2008 1 1 2007  1).2008 2008 2008  1  2007 2008.B = 2008 2008 =1+  2008 2008 2008 1 1 2007 < 2009 2008 1 V× 20082009+1 >20082008+1 nªn 2007 2008 2009  1 2007 2008 2008  1 2007 2008 2008  1 => 2008.A < 2008. B => A < B C¸ch 2: 1 A 2009 2009  2007 2008.(2008 2008  1)  2007 = 2008 2008  1 = 2008  2008 = = 2008 2008 2008 2008  1 B 1 2008 1 2008 1 2007 20082008  1 2008 2008  2007 2008.(2008 2007  1)  2007 = 2008 2007  1 = 2008  2008 = = 2007 2007 2008 2008  1 2008 1 1 2007 20082007  1 V× 20082008+1> 20082007 +1 nªn => 2008 VËy 2008 1 A > 1 B 2007 2007 > 2008 2008 2008 1 2008 2007  1 => A < B (v× A,B > 0) Ví dụ 3: So s¸nh M vµ N biÕt: Hướng dẫn : 2007 2007 < 2008 2008  1 2008 2007  1 M= Trang 18 100100  1 100 99  1 ; N= 100101  1 100100  1 Trường THCS Tân Bình thường gặp Lũy thừa và một số dạng toán 101 C¸ch 1 : N = 100100  1 > 1 100 1 101 101 101 => N = 100100  1 > 100100  1  99 = 100100  100 = 100 1 100  1  99 100  100 (100100  1).100 100100  1 = = (100 99  1).100 100 99  1 M VËy M < N. 99 100 100 M = 100 99  1 = 100 99100  99 = (100  199).100  99 = 100 - C¸ch 2 : 100 1 100 1 100 1 100 101 101 1).100  99 N = 100100  1 = 100 100100  99 = (100  100 = 100 - 100 1 100 V× 10099 + 1 < 100100 + 1 nªn 1 100 1 99 100 99  1 99 100100  1 99 99 99 > => 100 < 100 99 100 100  1 100  1 100 99  1 99 100100  1 VËy M < N. Các bài toán tương tự: Bài 1: So s¸nh : 15 a/ A = 1316  1 13 1 1999 b/ A = 19991998  1 1999 13 1 1999 1 69 B = 100 68  1 vµ 1 1 2000 B = 19991999  1 vµ 100 c/ A = 100 99  1 100 16 B = 1317  1 vµ 100 1 Bài 2: Chøng tá : a/ H = b/ 1 1 1 1 1  2  2  ..   .....  2  1 2 2 2 3 4 2003 n (n N * , n 1) 1 1 1 1 1  2  2  ..   2 2 2 2 4 6 100 c/ 1 1 1 1 1 1  2  2  2  ..   2 6 5 6 7 4 100  D¹ng 7: Chứng minh chia hết. - Phương pháp: Vận dụng linh hoạt các công thức, phép tính về lũy thừa để tính cho hợp lý và nhanh. Biết kết hợp hài hòa một số phương pháp khi biến đổi.  Chú ý: Nếu a m, a n, (m;n) = 1 thì a Trang 19 m.n (a, m, n  N*) Trường THCS Tân Bình thường gặp Lũy thừa và một số dạng toán Bµi 2: Chøng tá r»ng: a/ A = 102008 + 125 b/ B = 52008 + 52007 + 52006 c/ M = 88 + 220 45 31 17 d H = 3135 . 299 – 3136 . 36 7 Hướng dẫn : a/ Ta cã: 102008 + 125 = 100...0 2008 sè 0 + 125 = 100...0125 2005 sè 0 A cã tËn cïng lµ 5 => A 5 Tæng c¸c ch÷ sè cña A lµ : 1+1+2+5 = 9 => A 9. Mµ (5;9) = 1 => A 5.9 hay A 45 b/ Ta có: B = 52008 + 52007 + 52006 B = 52006 .( 52 + 51 + 1) B = 52006 . 31  31 Ví dụ 2 . Cho A = 2+ 22 + 23 +…+ 260 Chøng tá r»ng : A 3 , A 7 , A 5 Hướng dẫn : A = 2+ 22 + 23 +…+ 260 = (2+22)+(23+24)+(25+26)+...+(257+258)+(259+260) = 2.(1+2)+23.(1+2)+25.(1+2)+...+257.(1+2)+259.(1+2) = (1+2).(2+23+25+...+257+259) = 3.( 2+23+25+...+257+259) => A 3 Tương tự, ta có : A =(2+ 22 + 23)+(24+25+26)+…+(258+259+ 260 ) = 2.(1+2+22)+24.(1+2+22)+...+258.(1+2+22) = (1+2+22).(2+24+27+...+258) = 7.(2+24+27+...+258) => A 7 A = (2+ 23)+(22+24)+…+(257+259)+(258+ 260 ) A = 2(1+22)+22(1+22)+…+257(1+22)+258(1+22) = (1+22).(2+22+25+26+...+257+258) = 5. (2+22+25+26+...+257+258 Trang 20