Tài liệu Skkn linh hoạt và sáng tạo khi hướng dẫn học sinh lớp 5 giải toán có lời văn

A ĐẶT VẤN ĐỀ Trong môn toán ở bậc tiểu học các bài toán có lời văn có một vị trí rất quan trọng. Bởi vì: Việc giải toán giúp học sinh củng cố, vận dụng và hiểu sâu sắc thêm tất cả các kiến thức về số học, về đo lường, về hình học đã được học trong môn toán ở tiểu học. Hơn thế nữa phần lớn các biểu tượng, khái niệm, quy tắc, tính chất toán học ở tiểu học đều được học sinh tiếp thu qua con đường giải toán, chứ không phái qua con đường lý luận. Ví dụ: Quy tắc chia một số thập phân cho một số tự nhiên được dạy ở lớp 5 qua bài toán: “ Một sợi dây dài 8,4m được chia thành 4 đoạn bằng nhau. Hỏi mỗi đoạn dây dài bao nhiêu mét?” Thông qua nội dung thực tế nhiều hình thức, nhiều vẻ của các đề toán, học sinh sẽ tiếp thu được những kiến thức phong phú về cuộc sống và có điều kiện để rèn luyện khả năng áp dụng các kiến thức toán học vào cuộc sống ; làm tốt điều Bác Hồ căn dặn là “ Học đi đôi với hành”. Mỗi đề toán là một bức tranh nhỏ của cuộc sống. Khi giải mỗi bài toán, học sinh phải biết rút ra từ bức tranh ấy cái bản chất toán học của nó, phải biết chọn lựa những phép tính thích hợp, biết làm đúng các phép tí nh đó, biết đặt lời giải chính xác…Vì thế quá trình giải toán sẽ giúp học sinh rèn luyện khả năng quan sát, khả năng sử dụng Tiếng việt và giải quyết các vấn đề của cuộc sống qua con mắt toán học của mình. Việc giải các bài toán sẽ giúp phát triển trí thông minh, óc sáng tạo và thói quen làm việc một cách khoa học cho học sinh. Bởi vì khi giải toán, học sinh phải biết tập trung chú ý vào cái bản chất của đề toán, phải biết gạt bỏ những cái thứ yếu, phải biết phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải biết phân tích để tìm ra những đường dây liên hệ giữa các số liệu ...Nhờ đó mà đầu óc các em sẽ sáng suốt hơn, tinh tế hơn, tư duy của các em sẽ linh hoạt, chính xác hơn; cách suy nghĩ và làm việc của các em sẽ khoa học hơn. Việc giải các bài toán còn đòi hỏi học sinh phải biết tự mình xem xét vấn đề, tự mình tìm tòi cách giải quyết vấn đề, tự mình thực hiện các phép tính, tự mình kiểm tra lại các kết quả….Do đó giải toán là một cách rất tốt để rèn luyện đức tính kiên trì, tự lực vượt khó, cẩn thận, chu đáo; yêu thích sự chặt chẽ, chính xác. Thông qua giải toán chắng những giúp các em học giỏi toán mà còn giúp các em học giỏi tất cả các môn học khác. Để rèn luyện cho học sinh lớp 5 có kỹ năng giải toán, tôi đã đi sâu tìm tòi nghiên cứu đúc rút ra : “Linh hoạt và sáng tạo khi hướng dẫn học sinh lớp 5 giải toán có lời văn ” Tôi mạnh dạn nêu ra với hy vọng sáng kiến này sẽ góp phần nhỏ bé vào công tác dạy học theo phương pháp hướng tới cỏ thể, hướng vào người học ở tiểu 1 học hiện nay, từng bước nâng cao chất lượng dạy học, đáp ứng với mục tiêu giáo dục Tiểu học. Sáng kiến kinh nghiệm này được tích luỹ trong quá trình dạy học trên lớp, quá trình sinh hoạt chuyên môn trong khối tổ, trong cụm chuyên môn của bản thân và sự góp ý của hội đồng khoa học nhà trường. Phạm vi đề tài: + Phạm vi nghiên cứu: Học sinh khối 5 trường Tiểu học vùng thuận lợi Môn Toán lớp 5 + Phạm vi sử dụng: Dùng cho giáo viên tiểu học đọc tham khảo và áp dụng. Sáng kiến kinh nghiệm này đã được bản thân và đồng nghiệp áp dụng trong quá trình dạy học trên lớp chủ nhiệm, các khối lớp trong trường và trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp. B. THỰC TRẠNG Qua thực tế tìm hiểu thực trạng dạy và học giải toán ở lớp 5 tôi thấy có những mặt mạnh và tồn tại sau: 1. Những ưu điểm và thuận lợi: Trong nhà trường tiểu học đã được trang bị tài liệu thiết bị đồ dùng dạy học tương đối đầy đủ, tạo điều kiện dạy và học đạt kết quả cao. Giáo viên được cung cấp đầy đủ tài liệu, đồ dùng dạy học như: sách giáo khoa, sách hướng dẫn, các tài liệu khác. Đó là các yếu tố quan trọng giúp người giáo viên thực hiện được nhiệm vụ của quá trình dạy học đồng thời nó là hành trang cần thiết cho mỗi giáo viên đứng lớp. Học sinh có đủ tài liệu như: Sách giáo khoa, vở bài tập và đồ dùng học tập. Giáo viên đã sắp xếp dành nhiều thời gian cho học sinh được làm việc với sách giáo khoa, vở bài tập. Trong giờ học, khi truyền đạt nội dung của bài mới giáo viên đó kết hợp nhiều phương pháp dạy học như: Giảng giải, trực quan, vấn đáp. luyện tập thực hành,.... và dạy đúng theo quy trình giải toán có lời văn như sau: 1. Đọc kỹ đề toán 2. Tóm tắt đề toán 3. Phân tích bài toán để tìm cách giải 4. Giải bài toán và thử lại các kết quả Ngoài ra giáo viên nên định hướng cho học sinh giỏi biết khai thác bài toán 2. Những hạn chế còn tồn tại: 2 Giải toán có lời văn là dạng toán khó nhất với học sinh tiểu học. Nhiều em thực hiện tốt các phép tính nhưng khi vận dụng vào giải toán có lời văn các em gặp rất nhiều khó khăn. Không hiểu đề, không trình bày được bài giải. Do các nguyên nhân sau : * Về học sinh: Nguyên nhân thứ nhất là do tâm lý học sinh cảm thấy giải toán là một vấn đề khó, nên dẫn đến không đọc kỹ đề bài, không tự suy luận được yêu cầu bài toán đặt ra là gi? khi không suy nghĩ được cách trả lời thì không mày mò làm tiếp, hoặc làm đại khái qua loa, từ đó dẫn đến không giải được bài toán có lời văn. tình trạng học sinh vừa đọc xong đề đã vội vàng bắt tay vào giải ngay. Nguyên nhân thứ hai là mất căn bản toán học về các phép toán cộng trừ nhân chia. không biết các thuật ngữ như: "gấp bao nhiêu lần" hay "kém hơn" hay "it hơn" hay "nhiều hơn" ....cho nên các em không xác định được nên làm phép tính giải nào trước, phép tính giải nào sau. Khi giải toán học sinh còn thụ động, giải bài toán còn máy móc. Một số em chỉ hoạt động giải các bài toán cụ thể chứ không biết cách liên hệ so sánh với các bài toán khác. Vì vậy học sinh gặp khó khăn trong việc nhận cái chung trong các bài toán có nội dung bề ngoài khác nhau nhưng cùng thuộc một loại toán. Khi tóm tắt một đề toán, học sinh chưa biết cách biểu diễn cho trực quan, dễ hiểu. Khả năng phân tích đề kém nên học sinh lúng túng khi gặp bài toán có dữ kiện ở dạng gián tiếp. Sau khi giải một bài toán xong học sinh không có thói quen kiểm tra lại kết quả của bài toán. * Về giáo viên: Khi dạy giải toán có lời văn giáo viên còn mắc một số sai lầm: Chưa chú trọng rèn luyện kĩ năng tóm tắt bài toán cho học sinh khiến học sinh có nhận thức lệch lạc, dẫn đến không hiểu được bản chất, cách giải bài toán. Giáo viên chỉ yêu cầu học sinh tới mức giải từng bài toán cụ thể, chưa liên hệ bài toán đang giải với bài toán đã giải, chưa phát triển đề toán tương tự với các bài toán đó qua việc học sinh tự đặt đề toán tương tự và giải theo đề toán mới. Khi dạy giáo viên ít chú ý cung cấp ngôn ngữ toán học cho học sinh dẫn đến các em thường gặp khó khăn khi xác định dữ liệu của bài toán. Đặc biệt các em không tự mình đặt được đề toán tương tự phù hợp với thực tế cuộc sống. Giáo viên sử dụng tài liệu ( sách giáo khoa ) một cách máy móc, áp đặt. Chẳng hạn khi dạy bài mới, giáo viên không chép đề toán ra bảng phụ mà còn cho học sinh mở sách giáo khoa ra đọc đề, như vậy học sinh lười suy nghĩ, nhìn vào lời giải có sẵn trong sách giáo khoa. 3 C. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Hướng dẫn học sinh nắm chắc phương pháp chung để giải các bài toán. Mỗi bài toán các em có làm tốt được hay không đều phụ thuộc vào các phương pháp giải toán được vận dụng ở mỗi bước giải bài toán đó. Cho nên, chúng ta cần hướng dẫn học sinh nắm được các bước giải bài toán như sau: * Bước 1: Đọc kĩ đề toán. * Bước 2: Tóm tắt đề toán. * Bước 3: Phân tích bài toán. * Bước 4: Viết bài giải. * Bước 5: Kiểm tra lời giải và đánh giá cách giải. Cụ thể yêu cầu đối với học sinh như sau: I. ĐỌC ĐỀ TOÁN Học sinh đọc đề và nắm được ba yếu tố cơ bản. Những “ dự kiện” là những cái đã cho, đã biết trong đề bài, “những ẩn số” là những cái chưa biết và cần tìm và những “điều kiện” là quan hệ giữa các dữ kiện với ẩn số. Cần tập cho học sinh có thói quen và từng bước có kĩ năng suy nghĩ trên các yếu tố cơ bản của bài toán, phân biệt và xác định được các dữ kiện và điều kiện cần thiết liên quan đến cái cần tìm, gạt bỏ các tình tiết không liên quan đến câu hỏi, phát hiện được các dữ kiện và điều kiện không tường minh để diễn đạt một cách rõ ràng hơn. Tránh thói quen xấu là vừa đọc xong đề đã làm ngay.Ví dụ khi đứng trước một bài toán có lời văn GV phải yêu cầu học sinh đọc đề bài với mục đích rừ ràng: - Đọc đề, xác định cái bài toán đã cho và yêu cầu của bài toán. - Xác định mỗi quan hệ giữa cái đã biết và cái chưa biết. - Suy nghĩ và tìm hướng giải quyết bài toán. II. LINH HOẠT TRONG HƯỚNG DẪN TÓM TẮT ĐỀ TOÁN. Thực tế có rất nhiều cách tóm tắt bài toán, nếu các em càng nắm được nhiều cách tóm tắt thì các em sẽ có kỹ năng giải toán giỏi. Sau đây là một số cách tóm tắt đề toán: * Cách 1:Tóm tắt đề toán bằng sơ đồ đoạn thẳng. * Cách 2: Tóm tắt đề toán bằng hình tượng trưng. * Cách 3: Tóm tắt đề toán bằng lưu đồ. * Cách 4: Tóm tắt đề toán bằng ngôn ngữ, ký hiệu ngắn gọn. 4 * Cách 5: Tóm tắt đề toán bằng bảng kẻ ô. * Cách 6: Tóm tắt đề toán với công thức bằng lời. * Cách 7: Tóm tắt đề toán bằng sơ đồ Ven. * Cách ́8: Tóm tắt đề toán bằng các công thức chữ. Tuy nhiên trong quá trình hướng dẫn học sinh tóm tắt bài toán GV cần hướng cho học sinh lựa chọn cách tóm tắt ngắn gọn, dễ hiểu và phù hợp với bài toán nhất. Sau đây là một số kinh nghiệm nhỏ hướng dẫn học sinh tóm tắt bài toán. 1. Tóm tắt đề toán bằng sơ đồ đoạn thẳng. Đây là cách tóm tắt đề toán hay dùng nhất hiện nay. Trong cách tóm tắt này, người ta dùng các đoạn thẳng để biểu thị các số đã cho, các số phải tìm, các quan hệ toán học, …trong đề toán. Muốn rèn luyện kỹ năng tóm tắt đề toán bằng sơ đồ đoạn thẳng cần làm quen với cách biểu thị một số quan hệ toán học sau : * Quan hệ “ Số b hơn số a 3 đơn vị” hay “ số a kém số b 3 đơn vị” có thể biểu thị theo một trong các hình sau : 3 Số a 3 Số b a b * Quan hệ “ Số b gấp 3 lần số a” hay “ Số a bằng 1/3 số b” có thể biểu thị bằng một trong các hình sau : a a b b * Để nói rằng số a bằng 3/4 số b a ta dùng hình bên b Ví dụ 1 : Trong giờ kiểm tra, bạn Hùng đã giải một bài toán và làm 4 dãy tính hết 42 phút. Trong thời gian giải một dãy tính bằng nửa thời gian giải một bài toán. Hỏi trung bình Hùng giải một dãy tính hết bao lâu? Có thể tóm tắt bài toán bằng hình vẽ : Thời gian giải 1 bài toán Thời gian giải 4 dãy tính ? 42 phút 5 Giải thích : Ở đây nếu biểu thị thời gian giải một bài toán bằng một đoạn thẳng thì thời gian làm một dãy tính sẽ bằng 1 nửa đoạn thẳng đó. Do đó nếu chia đoạn thẳng biểu thị thời gian giải bài toán thành 2 phần bằng nhau thì thời gian để làm 4 dãy tính sẽ gồm 4 phần như thế Dấu móc ôm lấy cả 2 đoạn thẳng trên và dưới kèm theo “ 42 phút” ngụ ý tổng số thời gian giải một bài toán và làm 4 dãy tính là 42 phút. Nhìn vào sơ đồ trên ta thấy ngay 6 đoạn thẳng nhỏ ứng với 42 phút, từ đó suy ra cách giải…. Ví dụ 2 : Hai chị em gánh thóc nộp thuế. Em nói “ Chị cứ bớt mỗi thùng của chị sang mỗi thùng của em 3kg thì có phải chị em mình cùng gánh nặng như nhau không”. Tính xem mỗi người gánh bao nhiêu kg thóc, Biết rằng số thóc nộp thuế tất cả là 98kg? Có thể tóm tắt bài toán bằng hình vẽ. 98 kg 3kg 3 kg Giải thích : Ở đây 2 đoạn thẳng dài bằng nhau đặt liên tiếp ở dòng dưới chỉ hai thùng thóc của chị, hai đoạn thẳng ngắn bằng nhau đặt liên tiếp ở dòng trên chỉ 2 thùng thóc của em. Dấu móc kèm theo 98kg ngụ ý tổng số thóc là 98kg. Các đoạn nhỏ ghi “ 3kg” mô tả việc sẽ bớt 3kg thóc ở mỗi thùng của chị sang mỗi thùng của em. Từ sơ đồ này ta thấy ngay số thóc của chị nhiều hơn số thóc của em là ( 3 + 3) x 2 = 12(kg). Vậy đây là bài toán loại “ Tìm 2 số biết tổng( là 98kg) và hiệu(là 12kg)” mà ta đã biết cách giải. Ví dụ 3 : Một con vịt trời đang bay bỗng gặp một đàn vịt trời bay theo chiều ngược lại, bèn cất tiếng chào : “ chào 100 bạn”. Con vịt trời đầu đàn bèn đáp lại : “ chào bạn! nhưng bạn nhầm rồi. Chúng tôi không phải có 100 đâu ; mà tất cả chúng tôi, cộng thêm tất cả chúng tôi một lần nữa, thêm một nửa chúng tôi, rồi thêm 1/4 chúng tôi và cả bạn nữa mới đủ 100!”. Em hãy tính xem đàn vịt trời có bao nhiêu con?. 6 Dùng một đoạn thẳng để chỉ số vịt trời trong cả đàn thì ta có : Đàn vịt trời Đàn vịt trời 1/2 đàn vịt trời 100 con 1/4 đàn vịt trời 1 con nữa 1 Từ đây ta thấy có tất cả: 4 + 4 + 2 + 1 = 11 (đoạn nhỏ) 11 đoạn này ứng với : 100 – 1 = 99 ( con vịt) Từ đó suy ra số vịt ứng với 4 doạn nhỏ 2. Tóm tắt đề toán bằng các hình tượng trưng Phương pháp tóm tắt đề toán bằng “ đoạn thẳng” nói trên có ưu điểm là : - Dễ vẽ hình - Dễ chia cắt thành các hình nhỏ - Dễ ghi các số liệu tương ứng vào sơ đồ. Tuy nhiên phương pháp này lại có một nhược điểm lớn là : Tính trực quan chưa thật cao. Bởi vì các đoạn thẳng cứ na ná giống nhau, khó phân biệt được đoạn thẳng biểu thị đối tượng này với đoạn thẳng biểu thị đối tượng khác. Do đó có thể thay các đoạn thẳng bằng các hình vẽ như , , Để dễ phân biệt đối tượng này với đối tượng khác. Cách tóm tắt như vậy gọi là tóm tắt bằng các hình tượng trưng. Sau đây là một quy ước cần nhớ: “ Nếu bên trong các hình không có ghi số thì các hình giống nhau biểu thị các số bằng nhau”. Ví dụ : Một hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng 7cm. Nếu gấp chiều dài lên 5 lần và vẫn giữ nguyên chiều rộng thì chiều dài mới sẽ lớn hơn chiều rộng 39cm. Tính chu vi hình chữ nhật đã cho. Ở đây nếu coi chiều rộng là Thì chiều dài là 7 ( vì hơn chiều rộng 7cm) Khi gấp chiều dài lên 5 lần ta được : 7 7 7 7 Vậy có thể tóm tắt bài toán như sau : 7 7 Chiều rộng Chiều dài 7 7 7 7 7 39 (cm) Từ hình vẽ trên ta thấy 39cm gồm “ 4 lần chiều rộng” và “ 5 lần 7”. Từ đó suy ra “ 4 lần chiều chiều rộng”, rồi tìm ra chiều rộng. Từ chiều rộng tính ra chiều dài và chu vi hình chữ nhật. 3. Tóm tắt đề toán bằng lưu đồ Tóm tắt đề toán bằng lưu đồ là một phương pháp tương đối mới, còn ít được dùng ở nước ta. Tuy nhiên đây là một cách tóm tắt khá tiện lợi và hiệu quả. Nó giúp ta giải được một số bài toán khá dễ dàng . Để hiểu được lưu đồ là gì, ta hãy xét một vài ví dụ đơn giản. Ví dụ 1 : Nếu gấp một số lên 6 lần rồi bớt đi 3 thì được 27. Tìm số đó. Gọi số phải tìm là x ta có hình vẽ : x6 -3 X 27 Dấu “ x 6” ở trên mũi tên bên trái ngụ ý : đem số X nhân với 6 thì được số viết ở hình tròn giữa . Dấu “ - 3” ở trên mũi tên bên phải ngụ ý : đem số ở hình tròn giữa trừ đi 3 thì được 27. Như vậy toàn bộ đề toán đã được mô tả như trên . Ta gọi hình trên là một lưu đồ biểu diễn bài toán. Với lưu đồ này ta có thể suy nghĩ để giải bài toán như sau : * Đem số ở hình tròn giữa trừ đi 3 thì được 27, vậy muốn tìm số ở hình tròn giữa ta lấy 27 cộng 3 ( được 30) Điều này được ghi lại bằng một mũi tên ở dưới kèm theo dấu “+3” như sau : Đem X nhân với 6 thì được 30 ; vậy muốn tìm X, ta lấy 30 chia cho 6 ( được 5). Điều này được ghi lại bằng 1 mũi tên ở dưới kèm theo dấu “ : 6” như sau: 5 27 30 :6 +3 Vậy x = 5 hay số phải tìm là 5 Ví dụ 2 : 8 Một người bán trứng, bán lần thứ nhất một nửa số trứng người đó có và một nửa quả trứng. Lần thứ 2 bán nửa số trứng còn lại và một nửa quả trứng. Lần thứ 3 bán nửa số trứng còn lại sau 2 lần và một nửa quả trứng thì vừa hết. Hỏi lúc đầu người đó có bao nhiêu quả trứng? Có thể tóm tắt bài toán bằng một lưu đồ như sau : :2 - 0,5 :2 - 0,5 :2 - 0,5 0 Có thể tinh ngược bài toán bằng một lưu đồ như sau và tìm ra kết quả: 7 3,5 x2 3,0 + 0,5 1,5 x2 1,0 + 0,5 0,5 x2 0 + 0,5 Giải thích : Sau khi bán một nửa số trứng thì còn lại một nửa số trứng. Nghĩa là số trứng còn lại bằng số trứng lúc đầu chia cho 2. Sau đó lại bán thêm nửa quả nữa nghĩa là đem số trứng còn lại (nêu ở trên) trừ đi 0,5 quả thì được số trứng còn lại sau lần bán thứ nhất. Cứ tiếp tục như vậy ta có lưu đồ biểu diễn tóm tắt đề toán. Có thể đi ngược lại lưu đồ trên để tìm ra đáp số Vậy lúc đầu có 7 quả trứng 4. Tóm tắt đề toán bằng ngôn ngữ, ký hiệu ngắn gọn Không phải bài toán nào cũng có thể tóm tắt một cách tiện lợi bằng các hình vẽ như trên. Vì vậy còn có một hình thức tóm tắt rất hay dùng nữa là dùng ngôn ngữ hoặc các ký hiệu vắn tắt, ngắn gọn. Thực chất đây là một cách viết tắt các ý chính chủ yếu của đề toán. Ví dụ 1: Bài toán “ số dân ở xã Mỹ Đức Tây năm 2005 là 7500 người. Biết rằng số dân đó mỗi năm tăng theo mức “ Cứ 1000 người thì tăng thêm 16 người”. Hãy tính số dân ở xã đó năm 2006” Có thể tóm tắt như sau: 1000 người 7500 người (1000 + 16) người ? người Ví dụ 2 : Bài toán “ Một tổ thợ mộc có 3 người, trong 5 ngày đóng được 75 cái ghế. Hỏi nếu tổ có 5 người, làm trong 7 ngày thì đóng được bao nhiêu ghế ? ( Năng suất làm việc như nhau)” 9 Có thể tóm tắt như sau: 3 người 5 ngày 75 ghế 5 người 7 ngày ? ghế 5. Tóm tắt đề toán bằng bảng kẻ ô Trong khi giải toán ta thường gặp phải các nhóm đối tượng có chung với nhau những đặc tính nào đấy ; hoăc các đại lượng có giá trị tương ứng với nhau một cách chặt chẽ. Lúc đó ta có thể dùng một “ bảng kẻ ô” để xếp đặt các đối tượng ấy vào cùng một hàng ( hoặc cùng một cột) ; rồi dựa vào sự tính toán, suy luận, so sánh theo từng hàng ( hoặc theo từng cột) để phối hợp lại mà đi đến kết quả. Kinh nghiệm cho thấy là khi đưa được các số liệu của bài toán lên “ bảng kẻ ô” thì chúng ta sẽ dễ dàng nhìn thấy được những quan hệ chính trong bài toán, nhờ đó mà giải bài toán được dễ dàng hơn. Ví dụ 1: Bài toán: “ Lớp em có 35 em học sinh, trong đó có 20 bạn trai. Chủ nhật vừa qua có 8 bạn gái đi xem phim và 11 bạn trai không đi xem phim. Hỏi đã có bao nhiêu bạn không đi xem phim?” Có thể tóm tắt như sau: Nam Có xem phim Nữ Tất cả 8 Không xem phim 11 ? Tất cả 20 35 Dựa vào bảng này ta có thể giải bài toán như sau: Số bạn nam có đi xem phim là : 20 – 11 = 9(bạn) Số học sinh có đi xem phim là: 9 + 8 = 17(bạn) Số học sinh không đi xem phim là : 35 – 17 = 18 (bạn) Đáp số : 18 bạn Trình tự giải được nêu trong cách ghi sau: 10 Nam Nữ Tất cả Có xem phim 9 8 17 Không xem phim 11 18 Tất cả 20 35 6. Tóm tắt đề toán với các công thức bằng lời Trong cách tóm tắt này người ta viết tắt giá trị của một số đại lượng bằng các “ từ, chữ” rồi ghi lại những điều kiện của bài toán thành các phép tính: cộng, trừ, nhân, chia với những “ từ,chữ” ấy. Sau đây là một vài ví dụ: Ví dụ 1: Bài toán : “ Một người mua 10 quả trứng gà và 5 quả trứng vịt hết tất cả 55000 đồng. Tính giá tiền mỗi quả trứng biết rằng số tiền mua 5 quả trứng gà nhiều hơn số tiền mua 2 quả trứng vịt là 14 000 đồng”. Ở đây, nếu ta ký hiệu : - Giá tiền mua 10 quả trứng gà là 10 “ trứng gà” - Giá tiền mua 5 quả trứng vịt là 5 “ trứng vịt” Thế thì có thể tóm tắt các điều kiện của bài toán là : 10 “trứng gà” + 5 “ trứng vịt” = 55000đồng (1) 5 “trứng gà” – 2 “trứng vịt” = 14000 đồng (2) Với tóm tắt này có thể suy luận để giải bài toán như sau : Như vậy số tiền mua 5 quả trứng gà bằng số tiền mua 2 quả trứng vịt cộng thêm 14000 đồng. Suy ra số tiền mua 10 quả trứng gà bằng số tiền mua 4 quả trứng vịt cộng thêm 28000 đồng. Vậy ta có : 4 quả trứng vịt + 28000 đồng + 5 quả trứng vịt = 55 000 đồng (3) Từ (3) ta thấy giá 9 quả trứng vịt là: 55 000 - 28000 =27000 ( đồng) Giá 1 quả trứng vịt là: 27000: 9 = 3000( đồng) Giá 5 quả trứng vịt là: 3000 x 5 = 15000( đồng) Suy ra 10 quả trứng gà là: 55000 – 15000 = 40000 ( đồng) Giá 1 quả trứng gà là: 11 40000 :10 = 4000( đồng) Đáp số: Giá 1 trứng gà: 4000 đồng Giá 1 trứng vịt: 3000 đồng Ví dụ 2: Bài toán: “ Một người du lịch rời khỏi thành phố đi bộ hết 6 giờ và đi ngựa hết 5 giờ thì cách xa thành phố 80 km. Lần sau vẫn đi với vận tốc như trước, nhưng người đó rời thành phố đi ngựa hết 11 giờ, rồi đi bộ quay trở lại thành phố hết 6 giờ; thì lúc đó còn cách thành phố 64 km. Hãy tính vận tốc đi ngựa của người đó”. Ở đây ta có thể viết tắt: Quãng đường đi bộ trong thời 6 giờ là 6 “ giờ đi bộ” Quãng đường đi ngựa trong 11 giờ là 11 “ giờ đi ngựa”.vv.. Theo đầu bài ta có: Lượt đi thứ nhất: 5 “ giờ đi ngựa” + 6 “giờ đi bộ” = 80 km Lượt đi thứ hai: 11 “giờ đi ngựa” - 6 “giờ đi bộ” = 64 km Với tóm tắt trên, ta có thể suy luận để giải bài toán như sau: Từ (1) và (2), ta có: 5 “giờ đi ngựa”+11 “giờ đi ngựa”+ 6 “ giờ đi bộ”- 6 “giờ đi bộ” = 80 km + 64 km Suy ra: 16 “giờ đi ngựa” =144 km 1 “giờ đi ngựa”: 144 : 16 = 9(km) Vậy vận tốc đi ngựa của người đó là: 9 km/giờ Đáp số: 9km/giờ Ghi chú: Thực chất của các cách giải nêu trong hai ví dụ trên là dùng phương pháp cộng đại số và phương pháp thế để giải các hệ phương trình bậc nhất hai ẩn (chính thức dạy ở lớp 9). Tuy nhiên với hình thức trình bày các “ ẩn số” như trên học sịnh khá giỏi ở bậc tiểu học có thể giải các bài toán đó dễ dàng. 7. Tóm tắt để toán bằng sơ đồ Ven Trong cách tóm tắt này người ta thường vẽ các nhóm đối tượng trong đề toán thành các đường khép kín, và ghi các số liệu hay câu hỏi vào trong các đường khép kín đó. Rồi dựa vào đó mà suy luận để giải bài toán. Sau đây là một vài ví dụ: Ví dụ 1: “ Kết quả điều tra ở 1 lớp học cho thấy: Có 20 HS thích bóng đá, 17 HS thích bơi; 36 HS thích bóng chuyền, 14 HS thích bóng đá và bơi, 13 HS thích bơi và bóng chuyền, 15 HS thích bóng đá và bóng chuyền, 10 HS thích cả ba môn, 12 HS không thích môn nào. Tính xem lớp học có bao nhiêu HS?” 12 ở đây có thể tóm tắt bài toán bằng hình vẽ sau - Đ là số HS thích bóng đá (20) - C là số HS thích bóng chuyền (36) 20 Đ - B là số HS thích bơi (17) - L là số HS cả lớp. 15 36 C 10 13 14 Như vậy: -Phần chung của B và C gồm 13HS 17 12 B - Phần chung của C và Đ gồm 15HS - Phần chung của Đ và B gồm14HS - Phần chung của cả B,C,Đ gồm 10HS -Phần nằm ngoài B,C,Đ gồm 12 HS Suy ra: Số HS thích bơi và bóng chuyền( không thích bóng đá) là: 13 – 10 = 3 (học sinh) Số HS thích bơi và bóng đá ( không thích bóng chuyền) là: 14 – 10 =4 (học sinh) Số HS thích bóng đá và bóng chuyền ( không thích bơi) là: 15 – 10 = 5 (học sinh) 20 Đ Vậy ta có hình vẽ sau 4 10 Suy ra: Số HS chỉ thích một môn bóng đá là: 20 – (10 +4 + 5) =1 (học sinh) 12 36 C 5 3 17 B Số HS chỉ thích một môn bóng chuyền là: 36 – (10 + 3 + 5) = 18 (học sinh) Số HS chỉ thích một môn bơi là: 17 - ( 10 + 4 +3) = 0 (học sinh) Suy ra số HS của cả lớp: 1+ 5 + 18+ 3 + 0 + 4 + 10 +12 = 53 (học sinh) Nói thêm: Nếu để nhận xét thì có thể từ hình vẽ 13 Suy ngay cách giải sau: Nếu đem 15+ 14 + 13 thì 10 HS sẽ được tính 3 lần. Vậy tổng số HS thích 2 hoặc 3 môn là: (15 + 14 +13) –(10 x 2) = 22 (học sinh) Vậy số HS có thích từ 1 môn trở lên là: (20 + 36 +17) - 22 - 10 = 41(học sinh) Số HS cả lớplà: 41 + 12 = 53 ( học sinh) Đáp số: 53 học sinh 8. Tóm tắt toán bằng các công thức chữ Cách tóm tắt đề toán các công thức bằng lời như đã nêu ở mục 6 có nhược điểm là dài và chưa thật chính xác về mặt toán học. có thể thay các “từ, chữ” ở cách tóm tắt ấy bằng các chữ cái a,b,c,…x,y để cho các công thức được ngắn gọn và dễ biến đổi. Lúc đó ta có cách tóm tắt đề toán bằng các công thức chữ. Sau đây là một số ví dụ: Bài toán: “Tìm số có 3 chữ số biết rằng nếu xoá chữ số hàng trăm thì số đó giảm đi 7 lần.” Ở đây nếu gọi abc là số có ba chữ số phải tìm thì ta có: abc : 7 = bc (a,b,c <10; a >0) Công thức trên tóm tắt những điều kiện đã cho trong bài toán. Dựa vào tóm tắt trên có thể giải bài toán như sau: abc :7= bc abc = bc x 7 ( tìm số bị chia) abc = bc x (6+1) a x 100 + bc = bc x 6 + bc ( một số nhân một tổng) a x 100 = bc x 6 (cùng bớt bc) a00 chia hết cho 6 và thương là số có hai chữ số nên a = 3. Do đó bc = 300 : 6 = 50, Số phải tìm là 350. III. LINH HOẠT KHI HƯỚNG DẪN HỌC SINH PHÂN TÍCH BÀI TOÁN. Thông thường, tiếp theo bước tóm tắt đề toán là đến bước phân tích bài toán để tìm cách giải. Có thể coi phân tích bài toán là quá trình tách một bài toán 14 phức tạp thành nhiều bài toán nhỏ đơn giản dễ giải hơn. Cho nên, ở bước này, giáo viên cần sử dụng phương pháp phân tích và tổng hợp, thiết lập cách tìm hiểu, phân tích bài toán theo sơ đồ dưới dạng các câu hỏi thông thường: - Bài toán cho biết gì? - Bài toán hỏi gì? - Muốn tìm cái đó ta cần biết gì? - Cái này biết chưa? - Còn cái này thì sao? - Muốn tìm cái chưa biết ta cần dựa vào đâu? Làm như thế nào? Hướng dẫn học sinh phân tích xuôi rồi tổng hợp ngược lên, từ đó các em nắm bài kĩ hơn, tự các em giải được bài toán Đây là qua trình suy nghĩ để thiết lập trình tự giải bài toán. Người ta thường dùng mấy cách sau: a. Suy nghĩ theo đường lối phân tích Đường lối phân tích là đường lối suy nghĩ đi từng lượt câu hỏi của bài toán trở về những cái đã cho . Đây là đường lối có vai trò quan trọng trong việc hình thành và phát triển các thao tác tư duy cho HS Ví dụ 1: Cho hình vuông ABCD. Các nửa hình tròn có đường kính là cạnh hình vuông cắt nhau ở E tạo thành hình bông hoa 4 cánh . Cho biết bán kính của nửa hình tròn dài 1 cm , hãy tính diện tích hình bông hoa đó (phần tô đen trong hình vẽ ). Hướng dẫn HS suy nghĩ theo đường lối phân tích như sau : Bài toán hỏi gì ?(Diện tích bông hoa 4 cạnh ). Muốn tính diện tích hình bông hoa 4 cạnh ta cần phải tích được cái gì ? (Diện tích 1 cánh hoa). Muốn tính diện tích một cánh hoa ta cần phải tìm được cái gì ? (Diện tích 1 nửa cánh hoa). Muốn tính diện tích nửa cánh hoa ta cần biết những gì ? (Diện tích ¼ hình tròn bán kính OA và diện tích tam giác vuông AOE). 15 Muốn tính diện tích ¼ hình trong bán kính OA cần phải biết cái gì ? (Độ dài bán kính của nó ). Độ dài này đã biết, là 1cm. Muốn tính diện tích tam giác vuông AOE cẩn phải biết gì ? (Độ dài hai cạnh góc vuông OA và OE) Độ dài hai cạnh này đã biết,vì chúng bằng độ dài bán kính hình tròn tâm O. Quá trình suy nghĩ để phân tích bài toán đến đây là xong .Nếu đi ngược quá trình suy nghĩ này từ dưới lên ta sẽ có lời giải của bài toán .Hướng dẫn HS ghi lại vắn tắt quá trình phân tích trên bắng sơ đồ dưới đây (kí hiệu S là diện tích ) : Ta gọi một sơ đồ suy nghĩ như bên là sơ đồ cây. Cách 2: Có thể cho HS nhận xét: Bốn cánh hoa được tạo thành từ 4 nửa hình tròn có đường kính là cạnh hình vuông + Diện tích 4 cánh hoa chính bằng diện tích 4 nửa hình tròn (diện tích hai hình tròn)có đường kính bằng cạnh hình vuông trừ đi diện tích hình vuông. S(4cánh hoa) = 1x 1 x 3,14 x 2 – ( 1 + 1) x ( 1 + 1) = 2,28 (cm2) Ví dụ 2: Trong hình bên,cho cạnh hình vuông ABCD dài 6cm.Hãy tính diện tích phần có phần in đậm (nằm ngoài hình tròn tâm O và nằm trong hình vuông MNPQ). Có thể suy nghĩ theo đường lối phân tích như sau : a) Bài toán hỏi gì ? (Diện tích phần in đậm). b) Muốn tìm diện tích hình in đậm ta làm thế nào ? (Lấy diện tích hình vuông MNPQ trừ đi diện tích hình tròn ). 16 c) Muốn tính diện tích hình tròn ta làm thế nào ? [Lấy độ dài bán kính R nhân R rồi nhân 3,14 : (RR) 3,14] d) Muốn tính diện tích hình vuông MNPQ ta làm thế nào ? (Lấy độ dài cạnh hình vuông nhân với chính nó ). Mà độ dài cạnh hình vuông MNPQ bằng R2 nên ta phải tính : (R2) (R2)= (RR) 4. e) Như vậy để trả lời hai câu hỏi c), d) ta phải tính RR .Muốn tính đươc RR ta làm thế nào ? (Tính diện tích hình vuông AOBM). f) Muốn tính được diện tích hình vuông AOBM ta làm thế nào ? (Lấy diện tích tam giác vuông AOB nhân 2). g) Muốn tính diện tích tam giác vuông AOB ta làm thế nào ? (Lấy diện tích hình vuông ABCD chia cho 4). h) Muốn tính được diện tích hình vuông ABCD ta làm thế nào ? (Lấy độ dài cạnh AB nhân với chính nó). Độ dài cạnh AB đã biết (6cm). i) Quá trình suy nghĩ để phân tích bài toán trên đây là xong vì chúng ta đã nối được câu hỏi của bài toán vời các điều đã cho. Nếu đi ngược lại quá trình trên từ h) tới a) ta sẽ có lời giải của bài toán. Có thể ghi vắn tăt quá trình suy nghĩ trên bắng sơ đồ : Ta gọi sơ đồ sau là sơ đồ khối . Ví dụ 3: Cho hình chữ nhật ABCD, lấy M và K trên AB và CD sao cho MB =DK. Điểm P ở trên cạnh AD. Đoạn thẳng KM cắt BP và CP lần lượt ở E và F, Hãy chứng tỏ rằng: Diện tích tứ giác EBCF bằng tổng diện tích tứ giác AMEP và tứ giác PFKD. Hướng dẫn HS phân tích bài toán như sau: 17 M B A 2 4 P 3 E 1 F D K C Bài toán yêu cầu gì? ( chứng minh S1 = S2 +S3) Muốn thế ta cần chứng minh : S1 + S4 = S2 + S3 + S4 Yêu cầu HS So sánh S BCP và SABCD ( SBCP = ½.SABCD Vì tam giác BCP có độ dài đáy và chiều cao tương ứng bằng hai kích thước của hình chữ nhật ABCD nên S BCP = ½.SABCD ) Do đó ta phải chứng minh S AM KD = ½.SABCD Nhận xét : AMKD và BCKM là hai hình thang vuông có chiều cao AD =BC, nên chỉ cần chứng minh tổng độ dài hai đáy của chúng bằng nhau: AM + DK = KC +BM Vì BM = DK nên AM + DK = AM +BM = AB KC +BM = KC+DK = CD Vì là hai cạnh đối diện của hình chữ nhật nên AB = CD Hướng dẫn HS ghi vắn tắt quá trình suy nghĩ trên bằng sơ đồ sau S1 = S 2 + S3 S1 + S4 SBCP = S2 + S3+ S4 = SAM KD ½.SABCD = SAM KD SB M KC = SAM KD 18 KC +BM = AM +DK AB = CD b. Đường lối tổng hợp Đường lối tổng hợp là đường lối suy nghĩ đi từ những cái đã cho trong đề toán phải tìm, hay câu hỏi của đề toán. Đứng trước một bài toán, muốn suy nghĩ để tìm ra cách giải nó ta thường dùng lối phân tích. Nhưng khi đã tìm ra cách giải rồi, muốn trình bày hoặc viết lời giải của bài toán thì hướng dẫn học sinh dùng đường lối tổng hợp . Ví dụ 4 : Xét bài toán đã nêu ở ví dụ 1 (mục I).Sau khi đã phân tích xong ta có thể trình bày bài toán theo lối tổng hợp sau : Giải : Diện tích ¼ hình tròn bán kính dài 1cm là : 1x1x3,14  0,785 4 Diện tích hình vuông AOE là : 1x1  0,5 (cm2) 2 Diện tích nửa cánh hoa là : 0,785 - 0,5 = 0,285 (cm2) Diện tích 4 cánh hoa là 0,285 x 2 x 4 = 2,28 (cm2) Đáp số : 2,28 cm2. Ví dụ 5 Xét bài toán đã nêu ở ví dụ 2 ; đi ngược lại sơ đồ phân tích ta có thể trình bày bài toán theo đường lối tổng hợp như sau : Giải : Diện tích hình vuông ABCD là : 6  6= 36 (cm2). Diện tích tam giác AOB là : 36 : 4 =9 (cm2). Diện tích hình vuông AOBM là : 9  2 =18 (cm2). 19 Nếu gọi R là bán kính hình tròn thì : R  R =OA  OB =18 (cm2). Suy ra diện tích hình tròn là : R  R  3,14 = 56,52 (cm2) Vì diện tích hình vuông AOMB bằng 18 cm2 nên diện tích hình vuông MNPQ là : 18  4 = 72 (cm2). Suy ra diện tích hình chấm chấm là : 72 – 56,52 = 15,48 (cm2) Đáp số: 15,48 cm2. Ví dụ 6 : Một người câu được một con cá .Khi có người hỏi : “Con cá của anh nặng bao nhiêu ki-lô-gam ?” thì anh ta trả lời :” Đuôi cá nặng 2 kg. Cái đầu nặng bằng cái đuôi và bằng 1 nửa cái thân. Còn cái thân thì nặng bằng cái đầu và cái đuôi cộng lại “ Hãy tính xem con cá đó nặng bao nhiêu ki-lô-gam ? Có thể suy nghĩ để giải bài toán trên theo lối tổng hợp như sau : Giải : Nội dung trả lời của người câu cá gồm ba câu : Đuôi cá nặng 2 kg . (1) Đầu nặng bằng đuôi và một nửa thân . (2) Thân nặng bằng đầu và đuôi cộng lại . (3) Từ (1) và (2) ta thấy “đầu nặng bằng một nửa thân cộng thêm 2 kg “ (4) Từ (3) và (4) ta có “Cả thân bằng nửa thân cộng 2 kg rồi lại cộng 2 kg nữa“ nghĩa là “Cả thân bằng nửa thân cộng 4 kg “. Suy ra nửa thân nặng 4 kg , hay cả thân nặng 8 kg. Do đó cả đầu và đuôi nặng 8 kg . Suy ra con cá nặng : 8 + 8= 16 (kg) Đáp số : 16 kg Ví dụ ̃7 “Một căn phòng hình chữ nhật có chiều rộng là 4m và chiều dài hơn chiều rộng là 2m . Biết rằng mỗi mét vuông nền nhà thì cần lát kín bằng 25 viên 20