Tài liệu Skkn kỹ thuật vẽ hình trong bài toán tính thể tích khối đa diện

Mục lục MỞ ĐẦU ....................................................................................................................2 1. Lý do chọn đề tài: ..........................................................................................2 2. Mục đích của đề tài:.......................................................................................3 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: ................................................................3 4. Phương pháp nghiên cứu: ..............................................................................3 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài.......................................................3 NỘI DUNG ................................................................................................................5 1. Tóm tắt lý thuyết .............................................................................................5 2. Kỹ thuật vẽ hình và ứng dụng .......................................................................7 2.1. Phương pháp vẽ hình chóp .........................................................................8 2.2. Phương pháp vẽ hình lăng trụ ..................................................................17 3. Bài tập ............................................................................................................21 3.1. Hình chóp ...................................................................................................21 3.2. Hình lăng trụ ..............................................................................................22 3.3. Một số bài toán thi đại học – cao đẳng ....................................................23 KẾT LUẬN ..............................................................................................................28 TÀI LIỆU THAM KHẢO. .....................................................................................30 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài: Sáng tạo trong học tập không phải là quá trình tự phát mà là quá trình có sự hướng dẫn của giáo viên, trong đó giáo viên khéo léo đặt học sinh vào các tình huống hiện tại nhằm khám phá lại những tri thức di sản văn hóa của loài người. Để làm được điều đó, bên cạnh việc cung cấp nguồn tri thức cho học sinh, giáo viên còn phải tổ chức các hoạt động dạy – học sao cho phù hợp với đối tượng học sinh của mình. Dạy học phát huy tính tích cực của học sinh trong học tập là mục tiêu của dạy học trong mọi thời đại. Vì vậy, bên cạnh việc ứng dụng khoa học công nghệ vào các bài giảng, người giáo viên cần phải giúp các em học sinh hình thành những kỹ năng cơ bản, những tư duy và giúp cho học sinh thấy được tính ứng dụng của môn học trong thực tế. Hình học nói chung, hình học không gian nói riêng là ngành toán học có nhiều mối liên hệ với thực tế nhưng lại yêu cầu cao về trí nhớ cũng như rèn luyện tư duy trừu tượng, mối quan hệ logic liên thuộc và nhiều đối tượng bị che khuất khi biểu diễn trong không gian 2 chiều luôn làm nản lòng nhiều thế hệ học sinh. Do vậy, giúp học sinh tư duy tốt cũng như giải quyết tốt các bài toán hình học không gian, làm cho học sinh “bớt sợ” môn hình học không gian hơn, yêu thích môn học này hơn luôn là niềm trăn trở của nhiều thế hệ giáo viên. Trong các bài toán hình học không gian nói chung, các bài toán về tính khoảng cách, tính thể tích của khối đa diện hay nói cách khác là những bài toán chứa đựng yếu tố xác định đường vuông góc luôn là bài toán khó đối với học sinh THPT, vẽ đúng và chính xác hình sẽ giúp cho khả năng làm được bài trên 80%. Trước yêu cầu thực tiễn như vậy, qua thời gian giảng dạy môn toán, tôi mạnh dạn chia sẽ cùng quý thầy cô đồng nghiệp, cùng các em học sinh yêu toán kỹ thuật vẽ hình trong môn hình học không gian của mình. Trang 2 2. Mục đích của đề tài: Với những lý do trên, nhằm chia sẻ và trao đổi kinh nghiệm trong học tập cũng như giảng dạy bộ môn toán, đề tài: “Kỹ thuật vẽ hình trong bài toán tính thể tích khối đa diện” ra đời nhằm góp phần vào việc nâng cao chất lượng bộ môn toán nói chung cũng như góp phần vào phong trào học tập, nghiên cứu môn hình học không gian của các em học sinh ngày càng có chất lượng. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: Với mục đích như trên, đề tài tập trung vào phân tích bài toán và đưa ra kỹ thuật vẽ hình đặc biệt chú trọng đến yếu tố đường cao của khối đa diện nhằm giúp học sinh xác định hướng giải bài toán bởi đường cao là yếu tố then chốt để tính thể tích khối đa diện. Trong khuôn khổ đề tài, tôi chỉ tập vào việc phân tích và vẽ hình ban đầu cho một số dạng toán cụ thể chứ không đi sâu vào việc kỹ thuật trình bày cách giải một bài toán cụ thể. Đề tài có thể áp dụng cho học sinh lớp 11, nhưng chủ yếu là các em học sinh lớp 12 ôn thi tốt nghiệp và chuẩn bị dự thi vào các trường đại học, cao đẳng. 4. Phương pháp nghiên cứu: Dựa trên tài liệu sưu tầm được và những bài toán do bản thân sáng tác, đề tài tổng hợp lại các vấn đề phục vụ cho mục đích nghiên cứu, phù hợp với thực tiễn trong vấn đề giảng dạy Toán tại trường THPT. Một phần quan trọng của đề tài là sưu tầm, phân loại và hệ thống lại những bài toán về hình học không gian ở chương trình phổ thông trung học, trong đó một số bài toán là đề thi tốt nghiệp THPT và đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng một số năm. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài. Do đó, đề tài mang tính thực tiễn, khoa học, đảm bảo tính sư phạm và phần nào đóng góp vào thực tiễn dạy và học Toán ở bậc phổ thông. Mặc dù bản thân đã có nhiều cố gắng nhưng không tránh khỏi những thiếu sót và suy nghĩ chủ quan, tác giả mong nhận được nhiều đóng góp, ý kiến từ phía quý thầy cô giáo, các em học sinh nhằm làm cho đề tài hoàn thiện hơn, đề cập được những khía Trang 3 cạnh hay hơn mà đề tài chưa thực hiện được. Tác giả cũng sẽ tiếp tục nghiên cứu và bổ sung thường xuyên để đề tài ngày càng được cập nhật, làm tài liệu hữu ích hơn đối với quý thầy cô giảng dạy môn Toán và các em học sinh. Trang 4 NỘI DUNG 1. Tóm tắt lý thuyết Ở mục này, tôi chỉ nêu vắn tắt và không chứng minh một số khái niệm cũng như tính chất cần thiết sử dụng khi vẽ hình. Định nghĩa 1: Hai đường thẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa chúng bằng 90o. Định nghĩa 2: Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (α) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α). Định lý 1: Điều kiện cần và đủ để một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng là nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong cùng mặt phẳng ấy. Tính chất 1:  Cho hai đường thằng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì vuông góc với đường thẳng kia.  Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. Tính chất 2:  Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.  Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. Tính chất 3: Trang 5  Cho đường thẳng a và mặt phẳng (β) song song với nhau. Nếu đường thẳng b vuông góc với mp(β) thì b vuông góc với đường thẳng a.  Nếu đường thẳng a không chứa trong mp(β) cùng vuông góc với đường thẳng b thì a // (β). Tính chất 4:  Tồn tại duy nhất một mặt phẳng (β) đi qua điểm A cho trước và vuông góc với đường thẳng d cho trước.  Tồn tại duy nhất đường thẳng d đi qua điểm A cho trước và vuông góc với mp(β) cho trước. Định nghĩa 3:  Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là mặt phẳng đi qua trung điểm của AB đồng thời vuông góc với đoạn thẳng AB. Do đó, mỗi điểm thuộc mặt phẳng trung trực đều cách đều hai đầu đoạn thẳng.  Trục của tam giác (trục đường tròn ngoại tiếp tam giác) là đường thẳng đi qua tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác, vuông góc với các cạnh của tam giác và các cách đều các đỉnh của tam giác. Định lý 2: (Định lý về ba đường vuông góc). Cho mp(β), đường thẳng b chứa trong (β) và đường thẳng a không vuông góc với (β). Khi đó, b vuông góc với a nếu và chỉ nếu b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (β) Tính chất 5:  Nếu mặt phẳng (α) chứa đường thẳng d và đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (β) thì mặt phẳng (α) vuông góc với mặt phẳng (β).  Nếu hai mp(α) và (β) vuông góc với nhau thì bất kỳ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng (α) vuông góc với giao tuyến của (α) và (β) đều vuông góc với (β).  Nếu (α) và (β) vuông góc với nhau và A là điểm thuộc (α) thì đường thẳng đi qua A và vuông góc với (β) sẽ nằm trong (α). Trang 6  Nếu hai mặt phẳng (α) và (beta) vuông góc với nhau và cùng vuông góc với () thì giao tuyến của (α) và (β) cũng vuông góc với (). Định nghĩa 3: Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Định nghĩa 4: Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau. Định nghĩa 5: Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và các góc ở đỉnh bằng nhau. Tính chất 6:  Một hình chóp là hình chóp đều khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác đều và đường cao của hình chóp đi qua tâm của đáy.  Một hình chóp là hình chóp đều khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác đều và các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau. Định nghĩa 6: Hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều là hình lăng trụ đều. 2. Kỹ thuật vẽ hình và ứng dụng Trong khuôn khổ khai thác yếu tố, tính chất của hình vẽ để vẽ hình nhằm phục vụ cho việc chứng minh một tính chất hay tính thể tích. Do đó, tôi không đi sâu vào việc trình bày lời giải chi tiết cho một bài toán cụ thể mà chỉ đi phân tích cách vẽ hình và xác định các bước vẽ hình cho bài toán. Đặc biệt, chuyên đề muốn đề cập đến một số hình vẽ thường gặp trong chương trình toán THPT nhằm giúp các em học sinh định hướng khi vẽ hình và giúp tư duy tốt hơn trong việc làm toán. Hình học không gian gắn liền với phát triển trí nhớ và tư duy trừu tượng, việc mô tả các đối tượng nhìn thấy hay bị che khuất, hình dung quỹ đạo chuyển động Trang 7 của đối tượng điểm, đường thẳng,… là những yếu tố có ảnh hưởng quan trọng đến việc học tập môn hình học. Trong các bước giải một bài toán hình học không gian thì công đoạn vẽ hình và quan sát hình đóng vai trò quyết định đến việc giải hay không giải được bài toán đó. Do vậy, hình thành kỹ năng vẽ hình cho học sinh là yếu tố rất quan trọng để các em học tốt môn hình học không gian. Đối với bước vẽ hình, tùy theo bài toán nhưng thường là thực hiện theo quy tắc sau: đối tượng cong vẽ trước, phẳng vẽ sau; lớn vẽ trước, nhỏ vẽ sau. Đối với bước quan sát hình, ta thực hiện theo quy tắc: a) Hướng trực diện: Mục đích xác định đường và mặt gần hay xa, nhìn thấy hay bị che khuất. b) Hướng thẳng đứng: Mục đính xác định các yếu tố nằm phía trên và phía dưới. c) Hướng ngang: Mục đích xác định các yếu tố bên trái và bên phải. d) Điền các yếu tố: Độ dài, góc. Trong bước quan sát hình, ta nên thực hiện: a) Xoay hình: Theo yêu cầu của bài toán, những yếu tố cần xét quan sát chưa rõ hay bị che khuất. Qui tắc: Xoay đáy (đối với hình chóp, lăng trụ), đặt nằm ngang (đối với lăng trụ, hình trụ). b) Tách hình: Vẽ riêng ra ngoài một phần của hình khi chỉ cần xét trong hình đó. Qui tắc: Phẳng hóa (nếu cần tính toán), đồng dạng (nếu quan sát hướng) Và để thuận tiện cho việc giảng dạy của giáo viên thì ngoài các công cụ vẽ hình truyền thống như: phấn màu, thước,… người giáo viên nên tận dụng ứng dụng khoa học công nghệ vào dạy học, ví dụ như sử dụng phần mềm Cabri 3D, The Geometer’s Sketchpad,… Những công cụ trên giúp người giáo viên dễ dàng, thuận tiện trong việc mô tả cũng như thiết kế bài giảng. Sau đây là cách vẽ hai loại đa diện thường gặp trong chương trình toán THPT. 2.1. Phương pháp vẽ hình chóp Đối với hình chóp, trong khuôn khổ của chuyên đề này, tôi xin trình bày một số dạng vẽ hình cơ bản có ảnh hưởng đến những bài toán tính thể tích của học sinh lớp 12 thông qua các bài từ dễ đến khó, có phân tích đặc điểm mỗi hình và chia làm hai loại thường gặp: hình chóp có đáy là tam giác và hình chóp có đáy là tứ giác. a) Quy tắc: thực hiện lần lượt các bước sau Trang 8 1. Vẽ đáy phẳng, vẽ đáy không gian. 2. Xác định chân đường cao, vẽ đường cao. 3. Chọn đỉnh, nối các cạnh bên. 4. Quan sát, xác định nét khuất, nét thấy. b) Lưu ý: Đối với giáo viên: Nên sử dụng phần mềm vẽ hình Cabri 3D hoặc Sketchpad để mô tả nhằm:  Xoay hình cho học sinh quan sát dưới những góc nhìn khác nhau, từ đó hình thành cách quan sát và dự đoán cách vẽ hình cho các em.  Thuận lợi trong việc chỉnh sửa những yếu tố nét khuất. Đối với học sinh: Các em nên vẽ nháp hình theo cách sau bằng bút chì: 1. Vẽ đáy phẳng trên tờ giấy, đặt tờ giấy trên mặt bàn học. 2. Lấy thước đặt vuông góc với mặt bàn để mô tả đường cao. 3. Quan sát các phía, tưởng tượng các cạnh bên. 4. Chọn hướng vẽ hình, vẽ vào giấy. Để làm công đoạn này cho tốt, học sinh cần có đầy đủ các dụng cụ vẽ hình: thước, bút chì, tẩy,… Ví dụ 1: Cho các cạnh bên của hình chóp O.ABC đôi một vuông góc và OA = a, OB = b, OC = c. Tính thể tích của khối chóp OABC. Phân tích: Không khó khăn để ta nhận ra tam giác OBC vuông tại O và OA vuông góc với (OBC) tại O. Đây là ví dụ đơn giản nhất để dựng đường cao của hình chóp. Vẽ hình: o Dựng tam giác OBC (vuông tại O) o Dựng đường thẳng Δ qua O và vuông góc (OAB), trên Δ lấy A sao cho góc nhìn dễ và nối A với B, C. o Xác định các nét khuất. Trang 9 A A O A O B O B B C C C H - 1.1 Ví dụ 2: H - 1.3 H - 1.2 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). a. Gọi AH là đường cao của tam giác SAB. Chứng minh AH  SC. b. Giả sử SC  x, BC  y, SC  z . Tính theo x, y, z thể tích khối chóp S.ABC. Phân tích: SA vuông góc với mp(ABC) nên hình chiếu của S là A. Vẽ hình: o Vẽ đáy là tam giác ABC. o Qua A, dựng đường thẳng Δ vuông góc với (ABC). (H – 2.1) o Chọn trên Δ điểm S sao cho: góc nhìn hình rộng, ít nét khuất. Và nối S với các đỉnh B,C (H – 2.2). o Chuyển AC thành nét khuất (H – 2.3). S S C A S A C B B H-2.1 H-2.2 A C B H- 2.3 Trang 10 Lưu ý: Lúc đoạn thẳng AC chuyển từ trạng thái nhìn thấy nét liền thành không nhìn thấy (nét khuất). Vì vậy, nên yêu cầu học sinh phác thảo trên giấy nháp hoặc vẽ bằng bút chì để có thể chuyển về nét khuất bằng cách tẩy đi vẽ lại. Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB=a, B  600 . Lấy H trên AC sao cho AH=2HC và lấy SH= a 3 vuông góc với (ABC). Tính tỷ lệ thể 6 tích giữa hai khối chóp S.HIC và S.ABC biết rằng I là trung điểm BC. Phân tích: Vì H thuộc cạnh AC và SH vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên SH là đường cao của hình chóp. Vẽ hình: o Vẽ đáy ABC, lấy H thuộc AC sao cho AH = 2HC. o Dựng đường thẳng Δ qua H và vuông góc với (ABC). o Chọn S thuộc Δ sao cho SH= a 3 . (H – 3.1) 6 o Nối S với các đỉnh và xác định nét khuất. (H – 3.2 và H – 3.3) o Quay hình để góc nhìn rộng nhất. S S C H S A C A H B H - 3.1 C A H B H - 3.2 B H - 3.3 Ví dụ 4: Cho tứ diện OABC có AOB  AOC  COB   , OA  OB  OC  l a) Tính α để diện tích xung quanh của tứ diện OABC lớn nhất. Trang 11 b) Tính α để thể tích tứ diện OABC lớn nhất. Phân tích: Các mặt bên của tứ diện đều là tam giác cân và bằng nhau, do đó đáy của hình chóp O.ABC là tam giác đều. Suy ra hình chóp O.ABC là hình chóp đều nên hình chiếu của O xuống mp(ABC) là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC đồng thời là trọng tâm của tam giác. Vẽ hình: o Dựng đáy ABC là tam giác. o Xác định tâm H của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là giao của ba đường trung trực. (H – 4.1) o Qua H, kẻ đường thẳng Δ vuông góc với mp(ABC). Chọn điểm O thuộc Δ sao cho hình vẽ dễ quan sát nhất, nối O với A, B, C. (H – 4.2) o Xác định các nét khuất của hình. (H – 4.3) O O O C A C A H Ví dụ 5: H H M N H - 4.1 C A M N B H - 4.2 B M N H - 4.3 B Cho các cạnh bên của hình chóp O.ABC đôi một vuông góc và OA = a, OB = b, OC = c. Tính thể tích của khối lập phương nằm trong hình chóp này mà một đỉnh trùng với O, ba cạnh cùng xuất phát từ O nằm trên OA, OB, OC còn đỉnh đối diện với O nằm trên mp(ABC). Phân tích: o Giả sử khối lập phương cần dựng là OA’HB’.C’GEF. Khi đó H phải thuộc đường cao của tam giác OAB và E là thuộc vào giao tuyến của hai mặt phẳng (HAO) và (BAC). o HA’ = HB’ = HE. Trang 12 Vẽ hình: o Dựng hình chóp O.ABC (theo ví dụ 1) (H – 5.1) o Dựng mặt phẳng (α) chứa OC và vuông góc với AB, gọi d, d’ lần lượt là giao tuyến của (α) với các mặt phẳng (OAB) và (BAC). Trên d lấy H sao cho khoảng cách từ H đến OA, OB và d’ bằng nhau. (H – 5.2) o Bây giờ ta có thể xác định các điểm còn lại là C’, G, F và xác định các nét khuất. (H – 5.3) C C C C' F G E E O B O O B' A' B H B' A' B H A H - 5.1 A A H - 5.2 H - 5.3 Ví dụ 6: Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, các cạnh bên tạo với đáy góc 60o. Tính thể tích khối chóp đó. Phân tích: o Vì S.ABC là hình chóp tam giác đều nên S thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. o ABC là tam giác đều nên tâm đường tròn ngoại tiếp cũng là trọng tâm. Vẽ hình: o Vẽ trung tuyến AM và BN của tam giác ABC, xác định trọng tâm O. Kẻ đường thẳng Δ đi qua O và vuông góc với mặt phẳng (ABC). (H – 6.1) o Lấy S thuộc Δ và nối với A, B, C. (H – 6.2) o Xác định các nét khuất. (H – 6.3) Trang 13 S S A A A N C O N N C O C O M M M B B B H - 6.1 H - 6.3 H - 6.2 Ví dụ 7: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cân, AB = AC = 5a, BC = 6a, các mặt bên tạo với đáy góc 60o. Tính thể tích khối chóp đó. Phân tích: o Giả sử H là chân đường cao hạ từ S xuống (ABC), theo định lý ba đường vuông góc thì HA’  SA’, HB’  SB’, HC’  SC’ với A’, B’ C’ lần lượt là hình chiếu của A, B, C lên BC, CA, AB. o Mặt khác, các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau nên ΔSHA’ = Δ SHB’ = ΔSHC’ nên HA’ = HB’ = HC’. Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Vẽ hình: S A C S A B' A C H C H H A' C' A' B B H - 7.1 H - 7.2 B H - 7.3 o Xác định tâm H của đường tròn nội tiếp Δ ABC (giao của 3 đường phân giác trong). (H – 7.1) Trang 14 o Kẻ đường thẳng Δ qua H và vuông góc với (ABC), xác định hình chiếu A’ của H trên BC, trên Δ chọn S sao cho SA ' H  60o . (H – 7.2) o Nối S với A, B, C và xác định nét khuất. (H – 7.3) Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với (ABC), SA = 2a. Gọi H, K lần lượt là chân đường cao hạ từ A của các tam giác ΔSAB, ΔSAD xuống các cạnh đáy tương ứng SB, SD. a. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.AHK và S.ABD. b. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (AHK). Phân tích: Rõ ràng đề cho SA là đường cao của hình chóp. Việc vẽ hình không khó khắn. Vẽ hình: S S B A D A C H - 8.1 D B C H - 8.2 A D B C H - 8.3 o Vẽ đáy ABCD, qua A vẽ đường thẳng Δ vuông góc với (ABCD). (H – 8.1) o Chọn S thuộc Δ thỏa SA = 2a, nối S với B, C, D. (H – 8.2) o Xác định nét khuất. (H – 8.3) Ví dụ 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Biết rằng AB  a, SB ' 2  . SB 3 a. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp: S.AB’C’D’ và S.ABCD. b. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’. Trang 15 Phân tích: Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên chân đường cao hạ từ S là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD. Vẽ hình: o Xác định tâm O của hình vuông ABCD, kẻ đường thẳng Δ qua O và vuông góc với (ABCD). (H – 9.1) o Chọn S thuộc Δ sao cho hình có góc nhìn rộng, ít nét khuất. Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành diện tích bằng 3, góc giữa hai đường chéo là 600. Các cạnh bên hình chóp nghiêng đều với đáy góc 450. Tính thể tích khối chóp. Phân tích: Gọi H là chân đường cao hạ từ S xuống (ABCD). Vì các cạnh SA, SB, SC, SD cùng tạo với đáy góc 450 nên HA = HB = HC = HD hay ABCD là hình chữ nhật và SH là trục đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD. Vẽ hình: o Vẽ đáy ABCD và xác định tâm O của hình chữ nhật ABCD. Qua O kẻ đường thẳng Δ vuông góc với (ABCD). (H – 10.1) o Chọn S thuộc Δ sao cho SAH  450 . (H – 10.2) o Nối S với các đỉnh và xác định nét khuất. S B B A B A O C H - 10.1 A O O D S D H - 10.2 C D H - 10.3 C Trang 16 2.2. Phương pháp vẽ hình lăng trụ Đối với hình lăng trụ, ta cũng thực hiện theo các bước sau: 1. Vẽ đáy dưới. 2. Xác định hình chiếu vuông góc của 1 đỉnh đáy trên lên đáy dưới. 3. Kẻ đường thẳng vuông góc tại hình chiếu vuông góc đó. 4. Chọn 1 đỉnh của đáy trên, nối cạnh bên thứ nhất và các cạnh còn lại. 5. Xác định nét khuất. Ví dụ 11: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, A’A = 2a, BC = 6a. Lấy điểm M thuộc cạnh AD sao cho AM = 3MD a. Tính thể tích khối chóp M.AB’C. b. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB’C). Đây là hình lăng trụ đặc biệt và dễ vẽ nhất, chiều cao của lăng trụ Phân tích: cũng chính là cạnh bên của hình hộp. Vẽ hình: o Vẽ đáy ABCD, dựng đường thẳng Δ qua A và vuông góc với đáy. (H – 11.1) o Trên đường thẳng Δ lấy A’ sao cho A’A = a. (H – 11.2) o Xác định các đỉnh còn lại và nét khuất. (H – 11.3) A' A' B' C' D' A B B A C D H - 11.1 C D H - 11.2 B A C D H - 11.3 Trang 17 Ví dụ 12: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. E, F lần lượt là trung điểm của B’C’ và C’D’. a. Dựng thiết diện tạo bởi mp(AEF) và hình lập phương. b. Tính tỉ số thể tích hai phần của khối lập phương do mp(AEF) cắt ra. Phân tích: o Bước đầu, không khó khăn để học sinh dựng được hình lập phương. o Tuy nhiên, khi dựng thiết diện, nếu học sinh chọn không tốt góc nhìn thì hình sẽ bị rối và có nhiều đường chồng lấn lên nhau dẫn đến khó quan sát. Do vậy, đối với bài tập này giáo viên cần chuẩn bị phấn màu hoặc tốt hơn là máy chiếu và vẽ hình bằng phần mềm (Cabri 3D hoặc Sketchpad) nhằm giúp học sinh quan sát hình tốt hơn. Vẽ hình: o Dựng hình lập phương. o Dựng mặt phẳng (AEF). o Dựng thiết diện. A B P B C C A' A' D' D D B C A' A A D D' D' N Q F F B' B' C' B' E E C' C' H - 12.1 H - 12.2 M H - 12.3 Ví dụ 13: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC, I là trung điểm AM. Biết rằng A’I vuông 0 góc với mặt phẳng (ABC) và cạnh bên của lăng trụ tạo với đáy góc 30 . Tính tỉ số thể tích giữa khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện A’ABC. Trang 18 Phân tích: o Đề cho chân đường cao của hình lăng trụ là I. o Đáy lăng trụ là tam giác đều ABC nên (IMA)  (ABC). Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là góc A ' AI  A ' AM  300 . Vẽ hình: o Vẽ tam giác đáy ABC, xác định chân đường cao I là trung điểm của đoạn IM. o Dựng đường thẳng Δ qua I và vuông góc (ABC), chọn điểm A’ thuộc Δ sao cho A ' AI  300 . (H – 13.1) o Sử dụng tính chất song song để xác định các đỉnh còn lại. (H – 13.2) o Xác định nét khuất. (H – 13.3) C' B' C' B' A' A' A' M B C B I M C M C I I A H - 13.1 B A H - 13.2 H - 13.3 A Ví dụ 14: (Khối B – 2009) Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’ và đáy là 600, tam giác ABC vuông tại C và góc A bằng 600. Hình chiếu vuông góc của B’ lên mặt phẳng (ABC) là trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a. Phân tích: o Hình chiếu của B’ lên mp(ABC) là trọng tâm tam giác ABC. o Góc giữa BB’ và (ABC) là B ' BG  600 . Trang 19 Vẽ hình: o Dựng đáy ABC có G là trọng tâm tam giác. o Qua G dựng đường thẳng Δ vuông góc với (ABC), trên Δ lấy B’ sao cho B ' BG  600 . (h – 14.1) o Sử dụng tính chất các cạnh song song để xác định đỉnh A’, C’. (H – 14.2) o Nối các điểm và xác định nét khuất. (H – 14.3) B' B' B' C' C' A' A' C C B B G B M H - 14.1 G A H - 14.2 M G A M A H - 14.3 Ví dụ 15: (Khối A - 2008) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=a, AC= a 3 và hình chiếu vuông góc của A’ lên (ABC) là trung điểm BC. Tính thể tích khối chóp A’ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng (AA’) và (B’C’). Phân tích: o Hình chiếu vuông góc của A’ là trung điểm M của cạnh BC. o Tam giác ABC vuông tại A nên A’M thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vẽ hình: o Dựng tam giác ABC và đường thẳng Δ đi qua trung điểm M của BC đồng thời vuông góc với mp(ABC). o Chọn A’ thuộc Δ sao cho góc nhìn rộng. o Sử dụng tính chất song song của cạnh lăng trụ để xác định B’, C’. o Xác định nét khuất. Trang 20