Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên
A - ®Æt vÊn ®Ò
T
rong gi¶ng d¹y bé m«n to¸n, viÖc gióp häc sinh n¾m ch¾c kiÕn thøc c¬ b¶n vµ
biÕt c¸ch khai th¸c më réng kiÕn thøc, ¸p dông kiÕn thøc vµo gi¶i ®îc nhiÒu
d¹ng bµi tËp lµ mét ®iÒu hÕt søc quan träng. §Æc biÖt trong mÊy n¨m gÇn ®©y c¸c ®Ò
thi häc sinh giái, ®Ò thi vµo líp 10 THPT ngµy mét n©ng cao. Trong ®ã cã mét phÇn
kiÕn thøc ®îc vËn dông vµ øng dông nhiÒu ®ã lµ “Ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn”.
Lµm thÕ nµo ®Ó häc sinh vËn dông gi¶i tèt c¸c bµi to¸n cã liªn quan ®Õn ph¬ng tr×nh
nghiÖm nguyªn. Chuyªn ®Ò “Ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn” lµ chuyªn ®Ò khã vµ rÊt
réng, nªn ®Ó truyÒn ®¹t cho häc sinh hiÓu ®îc, vËn dông ®îc lµ vÊn ®Ò ®¸ng suy
nghÜ cña gi¸o viªn. Qua nghiªn cøu vµ gi¶ng d¹y häc sinh vÒ “Ph¬ng tr×nh nghiÖm
nguyªn” t«i thÊy ®©y lµ vÊn ®Ò hay, gióp häc sinh trau dåi t duy to¸n häc, rÌn luyÖn
cao vÒ tÝnh suy nghÜ s¸ng t¹o vµ t×m nhiÒu lêi gi¶i hay cho c¸c bµi to¸n, tõ ®ã mang
l¹i høng thó vµ niÒm ®am mª trong häc to¸n. Häc sinh n¾m ch¾c vÒ “Ph¬ng tr×nh
nghiÖm nguyªn” lµ ch×a kho¸ vµng gi¶i ®îc nhiÒu lo¹i to¸n kh¸c nh: To¸n sè häc,
t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, hÖ ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn…
ChÝnh v× vËy mµ t«i m¹nh d¹n viÕt lªn kinh nghiÖm d¹y “Ph¬ng tr×nh nghiÖm
nguyªn” ®· ®îc ®óc rót qua thùc nghiÖm vµ cã kÕt qu¶ tèt. Mong Héi ®ång khoa
häc vµ ®ång nghiÖp ®äc vµ rót kinh nghiÖm cho t«i.
Kinh nghiÖm d¹y “Ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn” gåm hai phÇn chÝnh:
PhÇn 1: Híng dÉn gi¶ng d¹y phÇn lý thuyÕt.
PhÇn 2: Híng dÉn gi¶ng d¹y phÇn bµi tËp theo tõng ph¬ng ph¸p.
T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n !
1
Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên
B – gi¶i quyÕt vÊn ®Ò
I - §iÒu tra thùc tr¹ng tríc khi nghiªn cøu:
1- TiÕn hµnh ®iÒu tra ®èi víi häc sinh líp 8.
Nh÷ng bµi to¸n rót gän vµ t×m ®iÒu kiÖn cña biÕn, th× hÇu hÕt c¸c em ®Òu lµm
®îc phÇn rót gän, cßn phÇn t×m ®iÒu kiÖn cña biÕn th× häc sinh cßn nhiÒu lóng tóng.
VÝ dô nh÷ng bµi to¸n sau khi rót gän cã d¹ng:
A=
10
;
2x 1
A=
2x 5
;
x 1
A=
x3 x2 2
x 1
Víi ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n lµ t×m x nguyªn ®Ó A nhËn gi¸ trÞ nguyªn. HÇu hÕt
häc sinh kh«ng gi¶i ®îc, sè häc sinh gi¶i ®îc chØ chiÕm tö 1- 4%.
2- TiÕn hµnh ®iÒu tra ®èi víi häc sinh líp 9.
Nh÷ng bµi to¸n vÒ gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn.
VÝ dô: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn:
1) 5x - 7y = 15
1 1 1
4) x y z 1
2) 3x2 + 5y2 = 345
3) x3 - 7x2 + 15x - 25 = 0
5) xy - 4x = 35 - 5
HÇu hÕt häc sinh ®Òu bì ngì kh«ng t×m ®îc c¸ch gi¶i, sè häc sinh gi¶i ®îc
chØ chiÕm 1 – 2%.
Nh×n chung c¸c bµi to¸n cã liªn quan ®Õn gi¸ trÞ nguyªn lµ nh÷ng bµi to¸n
khã vµ míi ®èi víi häc sinh. §Ó häc sinh n¾m ®îc c¸ch gi¶i c¸c d¹ng to¸n nµy th×
gi¸o viªn ph¶i tæng kÕt vµ ¸p dông ®îc vÊn ®Ò nµy.
II - Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu:
Ph¬ng ph¸p ®iÒu tra.
Ph¬ng ph¸p thèng kª.
Ph¬ng ph¸p ®èi chøng.
Ph¬ng ph¸p ph©n tÝch, tæng hîp.
Ph¬ng ph¸p thùc nghiÖm.
B»ng nh÷ng ph¬ng ph¸p trªn t«i ®· thÊy ®îc hiÖu qu¶ rÊt cao cña kinh nghiÖm
nµy. KiÕn thøc ®a ra ®Ó gi¶ng d¹y cho häc sinh ®¶m b¶o tÝnh logÝc cã hÖ thèng tõ
thÊp ®Õn cao ¸p dông ®îc cho nhiÒu ®èi tîng häc sinh. B»ng c¸ch ®a ra phÇn lý
thuyÕt cã liªn quan tríc vµ hÖ thèng c¸c bµi tËp ph©n theo d¹ng gióp häc sinh khai
th¸c tèt lý thuyÕt vËn dông vµo gi¶i c¸c bµi tËp tõ ®¬n gi¶n ®Õn phøc t¹p. C¸c bµi
tËp ®a ra cho häc sinh ®· ®îc chän läc vµ ®iÒu tra ®¶m b¶o ®îc tÝnh tæng qu¸t tiªu
biÓu vµ phong phó. Víi ph¬ng ph¸p ®a ra néi dung kiÕn thøc tõ dÔ ®Õn khã, kinh
nghiÖm nµy ®¸p øng ®îc yªu cÇu tiÕp thu cña häc sinh vµ yªu cÇu gi¶ng d¹y cña
gi¸o viªn theo tinh thÇn ®æi míi PPDH.
III – Néi dung cña kinh nghiÖm.
A. Gi¸o viªn híng dÉn häc sinh phÇn lý thuyÕt theo thø tù sau:
I. Nh¾c l¹i vÒ phÐp chia hÕt.
1. §Þnh nghÜa phÐp chia hÕt:
a, b z (b 0) q, r Z
a =bq + r víi 0 r <
2
b
Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên
- NÕu r = 0 a : b
- NÕu r 0 a : b
2. Mét sè tÝnh chÊt: a,b,c,d Z
- NÕu a 0 th× a : a vµ 0 : a
- NÕu a : b vµ b : c a : c
- NÕu a : b vµ b : a a = b
- NÕu a : b vµ a : c a : BCNN[a;b]
- NÕu a : b vµ a : c (b,c) = 1 a : (bc)
- NÕu a : b ac : b
3. Mét sè ®Þnh lÝ thêng dïng.
- NÕu a : c vµ b : c (a b) : c
- NÕu a : c vµ b : d ab : cd
- NÕu a : b an : bn ( n nguyªn d¬ng)
*Mét sè hÖ qu¶ ¸p dông:
+ a,b z vµ n nguyªn d¬ng ta cã (an – bn) : (a – b)
+ a,b z vµ n ch½n (n nguyªn d¬ng) ta cã (an – bn) : (a + b)
+ a,b z vµ n lÎ (n nguyªn d¬ng) ta cã (an + bn) : (a + b)
4. C¸c dÊu hiÖu chia hÕt.
+ DÊu hiÖu chia hÕt cho 2:
+ DÊu hiÖu chia hÕt cho 3:
+ DÊu hiÖu chia hÕt cho 4:
+ DÊu hiÖu chia hÕt cho 5:
+ DÊu hiÖu chia hÕt cho 8:
+ DÊu hiÖu chia hÕt cho 9:
+ DÊu hiÖu chia hÕt cho 10:
+ DÊu hiÖu chia hÕt cho 11:
Sè cã ch÷ sè tËn cïng lµ 0;2;4;6;8.
Sè cã tæng c¸c ch÷ sè chia hÕt cho 3.
Sè cã 2ch÷ sè cuèi hîp thµnh sè chia hÕt cho 4.
Sè cã ch÷ sè tËn cïng lµ 5 hoÆc 0.
Sè cã 3 ch÷ sè cuèi hîp thµnh sè chia hÕt cho 8.
Sè cã tæng c¸c ch÷ sè chia hÕt cho 9.
Sè cã ch÷ sè tËn cïng lµ 0.
Sè cã hiÖu cña tæng c¸c ch÷ sè hµng ch½n vµ
tæng c¸c ch÷ sèhµng lÎ chia hÕt cho 11.
II. Nh¾c l¹i vÒ tËp hîp sè nguyªn:
+ TËp hîp sè nguyªn d¬ng Z+ = {1; 2; 3 …}
+ TËp hîp sè nguyªn ©m Z- = {-1; -2; -3; …}
+ TËp hîp sè nguyªn Z = {…-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …}
III. Nh¾c l¹i vÒ ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn:
Gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn F(x,y,z,…) = 0 lµ t×m tËp hîp nghiÖm
(x,y,z,…) trong ®ã x,y,z,… Z .
B. Gi¸o viªn híng dÉn häc sinh gi¶i bµi tËp theo tõng d¹ng vµ tõng
ph¬ng ph¸p.
I. D¹ng ph¬ng tr×nh Èn ®¬n gi¶n
1- Ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn d¹ng ax + b = 0
a- C¸ch gi¶i:( Qua 2 bíc)
+ Gi¶i ph¬ng tr×nh t×m nghiÖm.
+ T×m nghiÖm nguyªn (x Z).
b- VÝ dô : T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh mx + 3 = 0 cã nghiÖm nguyªn
*Híng dÉn :
3
Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên
m 0
- §Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nguyªn th×
3
x
m Z
m lµ íc sè cña 3 m = {1; 2; 3}
c- Bµi tËp t¬ng tù: T×m m ®Ó c¸c ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm nguyªn:
a) (2m – 1)x – 10 = 0
b) (m2 – 2)x + 36 = 0
d- Bµi tËp ph¸t triÓn:
*Bµi tËp 1: T×m n N ®Ó PT (4n + 3)x - 8n = 193 cã nghiÖm tù nhiªn.
*Híng dÉn:
(4n + 3)x - 8n = 193
(4n + 3)x = 193 + 8n
193 8n 8n 6
187
x=
x=
4n 3
4n 3
2 + 187
4n 3
4n 3
Bµi to¸n trë thµnh ®¬n gi¶n ®Ó x N th× 187 N
4n 3
4n + 3 lµ íc sè cña 187
4n + 3 = {1; 17; 187} 4n + 3 = {17; 187} n = {2; 46}
*Bµi tËp 2: T×m n N ®Ó PT (n - 1)x – n 3 + n2 - 2 = 0 cã nghiÖm tù nhiªn.
*Híng dÉn:
(n - 1)x – n3 + n2 - 2 = 0
3
2
(n - 1)x = n3 - n2 + 2 x = n n 2 n 2 2
n 1
n 1
2
N
n 1
Bµi to¸n trë thµnh ®¬n gi¶n ®Ó x N th×
n - 1 lµ íc sè cña 2
n = {2; 3}
2. Gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn d¹ng ax2 + bx + c = 0 (a, b, c Z)
a- C¸ch gi¶i:( Qua 2 bíc)
+ Gi¶i ph¬ng tr×nh t×m nghiÖm.
+ T×m nghiÖm nguyªn (x Z).
b-VÝ dô :
*VÝ dô 1 : Gi¶i PT nghiÖm nguyªn 2x2 – x – 3 = 0
*Híng dÉn:
2x2 – x – 3 = 0 (x + 1)(2x – 3) = 0
x 1
x 3
2
VËy PT cã nghiÖm nguyªn lµ x = -1.
*VÝ dô 2: T×m n N ®Ó PT nx2 + (2n – 3)x – 6 = 0 cã 2 nghiÖm nguyªn.
*Híng dÉn:
nx2 + (2n – 3)x – 6 = 0
(x + 2)(nx – 3) = 0
x 2
x 3
n
4
Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên
- §Ó PT cã 2 nghiÖm nguyªn th× x = 3 Z v× n N n = 1 hoÆc n = 3
n
*VÝ dô 3: T×m a Z ®Ó ph¬ng tr×nh (a + 1)x2 - (30 + 10a)x + 200 = 0 cã hai
nghiÖm nguyªn lín h¬n 6.
*Híng dÉn:
(a + 1)x2 - (30 + 10a)x + 200 = 0
x 10
x 20
a 1
(x – 10)[(a + 1)x – 20] = 0
20
a 1 Z
§Ó PT cã 2 nghiÖm nguyªn lín h¬n 6 th×
20 6
a 1
a = 0 hoÆc a = 1.
3 - Ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn bËc cao.
a-C¸ch gi¶i:
- Dïng ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ®a vÒ d¹ng PT tÝch.
b- VÝ dô:
*VÝ dô 1: T×m nghiÖm nguyªn cña PT x3 – 6x2 + 11x – 6 = 0
*Híng dÉn:
- §a PT vÒ d¹ng (x – 1)(x – 2)(x – 3) = 0
- PT cã 3 nghiÖm nguyªn x = 1; x = 2; x = 3.
*VÝ dô 2: T×m nghiÖm nguyªn cña PT x3 – 7x2 + 15x – 25 = 0
*Híng dÉn:
- §a PT vÒ d¹ng (x – 5)(x2 – 2x + 5) = 0
- NhËn xÐt: x2 – 2x + 5 = (x – 1)2 + 4 > 0 víi mäi x
PT chØ cã nghiÖm nguyªn x = 5.
*VÝ dô 3: Gi¶i PT nghiÖm nguyªn x3 + (x + 1)3 + (x + 2)3 = (x + 3)3
*Híng dÉn:
- §Æt y = x – 3 x = y + 3
(y + 3)3 + (y + 4)3 + (y + 5)3 = (y + 6)3
2y3 + 18y2 + 42y = 0
2y(y2 + 9y + 21) = 0
- V× y2 + 9y + 21 = (y + 9 )2 + 3 > 0 y = 0 x = 3
2
4
2
2
*VÝ dô 4: T×m nghiÖm nguyªn cña PT: x2 2 x 1 x 2 2 x 2 7
x 2x 2
x 2x 3
*Híng dÉn:
- §Æt y = x 2 2 x 2 = (x + 1)2 + 1 1
ta ®îc PT nghiÖm nguyªn ®èi víi y lµ:
y 1
y
7
5y2 -7y – 6 = 0 y = 2 hoÆc y = y
y 1 6
- Víi y = 2 x2 + 2x + 2 = 2 x = 0 hoÆc x = - 2
II – D¹ng ph ¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn nhiÒu Èn.
1-Ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn d¹ng ax + by = c (a, b, c Z)
5
6
3
5
(lo¹i)
Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên
- §iÒu kiÖn ®Ó PT cã nghiÖm nguyªn lµ (a,b) = 1. NÕu (a,b) = d > 1 vµ c chia
hÕt d th× ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm nguyªn.
* C¸ch gi¶i:
- T¸ch phÇn nguyªn rót Èn cã hÖ sè gi¸ trÞ tuyÖt ®èi nhá.
*VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn 3x + 4y = 29
*Híng dÉn:
3x + 4y = 29 3x = 29 – 4y x = 29 4 y 9 y 2
3
x,y Z
2 y
3
y
3
Z 2 – y = 3t (t Z)
x 4t 7
y 2 3t
*VÝ dô 2: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh 5x - 7y = 15
*Híng dÉn:
- NhËn xÐt UCLN(5 ;15) = 5. Nªn ta ®Æt y = 5t (t Z)
Ta cã : 5x - 35t = 15 x = 7t + 3. VËy nghiÖm cña PT lµ
x 7t 3
(t Z)
y 5t
*VÝ dô 3: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña 8x - 3y = 15
*Híng dÉn:
- PT 8x - 3y = 15 3y = 8x – 15 y = 3x + 4 + 1 x
3
- §Æt 1 – x = 3t (t Z) x = -3t + 1 y = - 8t + 7
1 3t 0
- §Ó x,y nguyªn d¬ng th×
7 8t 0
t<
VËy nghiÖm nguyªn d¬ng cña PT lµ
1
3
x 3t 1 1
(t <
3
y
8
t
7
)
2 - Gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn dïng tÝnh chÊt chia hÕt.
* C¸ch gi¶i:
- Dïng tÝnh chÊt chia hÕt ®Ó thu hÑp miÒn x¸c ®Þnh cña nghiÖm.
*VÝ dô 1: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña PT 3x2 + 5y2 = 345
*Híng dÉn:
- V× 345 chia hÕt cho 3 vµ 345 chia hÕt cho 5
3x2 : 5 x2 : 5 x : 5
5y2 : 3 y2 : 3 y : 3
- §Æt x = 5a, y = 3b (a,b nguyªn d¬ng)
3.25a2 + 5.9b2 = 345 5a2 + 3b2 = 23
23
vµ b2 23 a 2 vµ b 2
a2
5
3
- Thö víi a = 1; 2 vµ b = 1; 2 .
Ta thÊy chØ cã nghiÖm nguyªn d¬ng lµ x = 10; y = 3
6
Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên
*VÝ dô 2: Gi¶i bµi to¸n cæ:
Tr¨m tr©u tr¨m bã cá
Tr©u ®øng ¨n n¨m
Tr©u n»m ¨n ba
Lô khô tr©u giµ
Ba con mét bã
Hái tr©u mçi lo¹i ?
*Híng dÉn:
- Gäi sè tr©u ®øng lµ x con.
- Gäi sè tr©u n»m lµ y con. (Víi x,y,z nguyªn d¬ng)
- Gäi sè tr©u giµ lµ z con.
x y z 100
x y z 100(1)
Theo bµi ra ta cã
z
5x 3y 3 100 15x 9y z 300( )2
- LÊy (2) - (1) 7x + 4y = 100 y = 25 – 2x +
Z)
y = 25 – 7t z = 75 + 3t.
Ta cã y > 0 t 3. Ta cã c¸c nghiÖm sau :
x
4
x: 4 x = 4t (t
x4 x8 x12
y18;y1 ;y4
z78z81z84
*VÝ dô 3: Gi¶i PT nghiÖm nguyªn x3 + 9y3 + 9z3 -9xyz = 0
*Híng dÉn:
- Gäi x0, y0, z0 lµ nghiÖm cña PT Ta cã x30 + 9 + 9z30 -9x0y0z0 = 0
x0 : 3 3 y30 : 9 y0 : 9 9z30: 27 z0 : 3
- §Æt x0 = 3x1 ; y0 =3y1 ; z0 = 3z1
x1 + 3y31 + 9z31 - 9x1y1z1 = 0
T¬ng tù trªn ta cã x1, y1, z1 ®Òu chia hÕt cho 3
x0, y0, z0 ®Òu chia hÕt cho 32
- LËp luËn nhiÒu lÇn x0, y0, z0 ®Òu chia hÕt cho 3n ( mäi n 1 )
x0= y0= z0 = 0
7
Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên
3 - Gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn b»ng c¸ch t¸ch phÇn nguyªn.
*VÝ dô 1: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña PT 5x – 3y = 2xy - 10
*Híng dÉn:
5x – 3y = 2xy – 10 y(2x + 3) = 5x + 10 2y = 5 x 10 5 5
2x 3
2x 3
- §Ó PT cã nghiÖm nguyªn th× 2x + 3 lµ íc cña 5
ChØ cã 2x + 3 = 5 x =1 y = 3 (Tho¶ m·n)
VËy PT cã nghiÖm nguyªn d¬ng lµ x =1; y = 3
*VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn 14xyz + 7x + 7z = -11 – 22yz
*Híng dÉn:
14xyz + 7x + 7z = -11 – 22yz
7(xyz + x + z) = -11(1 + 2yz)
z
3
2
x+
2 yz 1
7
x+
1
1
2y
z
3
2
2
1
3
x 2
y 1
z 3
4 - Gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn b»ng ph¬ng ph¸p b×nh ®¼ng Èn.
*VÝ dô 1: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña PT x + y + z = xyz
*Híng dÉn:
x, y, z cã vai trß b×nh ®¼ng.
Gi¶ sö 0 < x y z xyz = x + y + z 3z xy 3
+ NÕu x = y = z z3 = 3z z2 = 3 kh«ng x¶y ra
x, y, z kh«ng thÓ b»ng nhau.
+ Tõ xy 3 chØ cã cÆp sè (1; 2; 3) lµ nghiÖm cña PT.
1
1
1
*VÝ dô 2: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña PT x y z 1
*Híng dÉn:
x, y, z cã vai trß b×nh ®¼ng.
1 1 1 3
- Gi¶ sö 0 < x y z x y z x mµ 3 1 x 3
x
x = {1; 2; 3}
1 1
1 1
+ NÕu x = 1 y z = 1 – 1 y z = 0 kh«ng x¶y ra.
+ NÕu x = 2
1 1
y z
=
1
2
dïng b×nh ®¼ng víi y vµ z
(y;z) = {(4 ; 4) ; (3 ; 6) ; (6 ; 3)}
+ NÕu x = 3 chØ cã y = z = 3
VËy c¸c cÆp sè sau lµ nghiÖm cña PT (2; 4 ; 4) ; (2 ; 3 ; 6) ; (3 ; 3 ;3).
xy
yz
zx
*VÝ dô 3: Gi¶i PT nghiÖm nguyªn z x y 3
*Híng dÉn:
- NÕu trong 3 sè x, y, z cã cïng mét sè ©m th×
xy yz zx
3 = z x y < 0 kh«ng x¶y ra.
8
Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên
- NÕu x, y, z cã cïng d¬ng hoÆc cã 2 sè ©m th×
3=
x y
z
y z
x
z x
y
3
1.
3
VËy
x y z 1
5 - Gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn b»ng ph¬ng ph¸p lo¹i trõ.
*C¸ch gi¶i:
- BiÖn luËn ®Ó lµm ng¾n miÒn nghiÖm.
*VÝ dô 1: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña PT 12x + 5y = 13x
*Híng dÉn:
- Ta thÊy x = 2 lµ nghiÖm cña PT v× 122 + 52 = 132
- BiÕn ®æi PT 12x + 5y = 13x (12 ) x ( 5 ) x 1 .
13
+ NÕu x > 2
x¶y ra.
12
( )x
13
12
( )x
13
+ NÕu x < 2
x¶y ra.
<
12
( )2
13
>
(
12 2
)
13
vµ
13
5 x
( )
13
<
(
5 2
)
13
vµ
5
( )x
13
>
(
5 2
)
13
12
5
( ) x ( ) x 1 kh«ng
13
13
12
13
5
13
( ) x ( ) x 1 kh«ng
VËy x = 2 lµ nghiÖm duy nhÊt.
*VÝ dô 2: Gi¶i PT nghiÖm nguyªn x(x + 1)(x + 7)(x + 8) = y2
*Híng dÉn:
x(x + 1)(x + 7)(x + 8) = y2
(x2 + 8x)(x2 + 8x + 7) = y2, ®Æt z = x2 + 8x
z 0
z(z + 7) = y2 z 7
- Ta cã (z + 3)2 < z(z + 7) < (z + 4)2 víi mäi z > 9.
(z + 3)2 < y2 < (z + 4)2 kh«ng x¶y ra z 9
VËy z -7 hoÆc 0 z 9
- Thay vµo ta cã:
(x;y) ={(-9;-12);(-9;12);(-8;0);(-7;0);(-4;-12);(-4;12);(-1;0);(0 ;0);(1;-12);(1;12)}
*VÝ dô 3: Gi¶i PT nghiÖm nguyªn x6 + 3x3 + 1 = y4
*Híng dÉn:
- XÐt x > 0 ta cã (x3 + 1)2 < x6 + 3x3 + 1 < (x3 + 2)2
(x3 + 1)2 < y4 < (x3 + 2)2 kh«ng x¶y ra.
- XÐt x - 2, ta cã: (x3 + 2)2 = x6 + 4x3 + 4 < x6 + 3x3 + 1 < (x3 + 1)2
(x3 + 2)2 < y4 < (x3 + 1)2 kh«ng x¶y ra.
x 0 x 0
x = {0; 1} thay vµo ta cã nghiÖm lµ
;
y 1 y 1
*Bµi tËp t¬ng tù : Gi¶i PT nghiÖm nguyªn (x + 2)4 - x4 = y3
6 - Gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn ®a vÒ d¹ng tÝch.
*VÝ dô 1: Gi¶i PT nghiÖm nguyªn d¬ng xy – 4x = 35 - 5
*Híng dÉn:
xy – 4x = 35 – 5 xy – 4x + 5y – 20 = 15
(x + 5)(y – 4) = 15 x + 5 vµ y – 4 lµ íc cña 15.
9
Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên
x 10
Thay vµo ta chØ cã nghiÖm nguyªn d¬ng lµ
y 5
*VÝ dô 2: Gi¶i PT nghiÖm nguyªn d¬ng x2 – 6xy + 13y2 = 100
*Híng dÉn:
x2 – 6xy + 13y2 = 100 x2 – 6xy + 9y2 = 100 – 4y2
(x – 3y)2 = 4(25 – y2) 0 y 5 vµ 25 – y2 lµ sè chÝnh ph¬ng.
Thay c¸c gi¸ trÞ cña y, ta cã c¸c nghiÖm nguyªn d¬ng lµ :
(x ;y) = {(1 ; 3) ; (17 ; 3) ; (6 ; 4) ; (18 ; 4) ; (15 ; 5)}
*VÝ dô 3: T×m nghiÖm tù nhiªn cña PT xy2 + 3y2 – x = 108
*Híng dÉn:
xy2 + 3y2 – x = 108
xy2 + 3y2 – x – 5 = 105
(y2 – 1)(x + 3) = 105 y2 – 1 lµ íc cña 105
Thay vµo ta chØ ®îc y = 6
x 0
x = 0. VËy PT cã nghiÖm tù nhiªn lµ
y 6
Bµi tËp bæ sung, më réng
Bµi 1: T×m nghiÖm nguyªn:
a) 3x + 2y = 85
b) 3x - 5y = 7
c) 5x + 25 = - 3xy + 8y2
Bµi 2: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng:
a) 7x + 4y = 85
b) 8x + 9y = 79
c)
Bµi 3: T×m x, y N tho¶ m·n 7.2x = 3y + 4
1 1
1
x y 14
Bµi 4: Cho ®êng th¼ng d cã PT 2x + 3y = 11. T×m c¸c ®iÓm n»m trªn ®êng
th¼ng d cã to¹ ®é lµ c¸c sè nguyªn vµ n»m trong gãc phÇn t thø I.
Bµi 5: Chøng minh r»ng trªn ®êng th¼ng 6x – 2y = 1, kh«ng tån t¹i ®iÓm
nµo cã to¹ ®é lµ c¸c sè nguyªn.
xy zt 1
Bµi 6: T×m nghiÖm nguyªn cña hÖ PT xz yt 1
xt yz 1
Bµi 7: T×m a ®Ó HPT cã cã nghiÖm nguyªn
ax y 2a
x ay a 1
Bµi 8: BiÕt r»ng PT x2 – 3x + 1 = 0 cã nghiÖm x = a. H·y t×m mét gia trÞ cña
b Z ®Ó PT x16 –b.x8 + 1 = 0 cã nghiÖm x = a.
Bµi 9: (§Ò thi HSG líp 9- vßng 2-Thõa Thiªn HuÕ- 2003-2004)
T×m c¸c sè x, y, z nguyªn d¬ng tho¶ m·n ®¼ng thøc 2(y + z) = x(yz – 1)
Bµi 10: (§Ò thi vµo líp 10 -THPT- H¶i D¬ng - 2004-2005)
10
Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên
Cho HPT
(m 1) x y m
cã nghiÖm duy nhÊt lµ (x; y).
x (m 1) y 2
2x 3y
? T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó biÓu thøc x y nhËn gi¸ trÞ nguyªn.
Bµi 11: (§Ò thi vµo líp 10 -THPT- Th¸i B×nh- 2002-2003)
2
Cho biÓu thøc K = ( x 1 x 1 x 2 4 x 1) x 2003
x 1
x 1
x 1
x
a) Rót gän biÓu thøc K.
b) Víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cña x th× biÓu thøc K cã gi¸ trÞ nguyªn ?
Bµi 12: (§Ò thi vµo líp 10 chuyªn to¸n- Quèc häc HuÕ - 2002-2003)
2
Cho biÓu thøc A = ( x 1 x 1 x 2 4 x 1) x 2003
x 1
x 1
x 1
x
a) Rót gän biÓu thøc A.
b) T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn lín h¬n 8 (a Z; a > 8) ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn.
IV- KÕt qu¶ ®¹t ®îc
1- KÕt qu¶ chung:
Sau khi d¹y xong vÒ “Ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn” cho häc sinh. C¸c em kh«ng
nh÷ng gi¶i tèt nh÷ng bµi to¸n vÒ “Ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn”, mµ c¸c em cßn gi¶i
®îc mét sè bµi to¸n cã liªn quan kh¸c nh:
D¹ng to¸n chia hÕt.
D¹ng to¸n t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt.
D¹ng to¸n hÖ ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn.
Th«ng qua c¸c d¹ng to¸n vÒ “Ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn” gióp c¸c em häc sinh
ph¸t triÓn t duy tèt h¬n, nhiÒu em thÓ hiÖn râ sù yªu thÝch, say mª häc to¸n h¬n.
2- KÕt qu¶ cô thÓ:
a- KiÓm tra 20 em häc sinh líp 8A (Kh¸ vµ trung b×nh) víi bµi to¸n:
Bµi 1: T×m sè nguyªn d¬ng x ®Ó y d¬ng vµ lín nhÊt víi y = 3x 7
4x 5
- §èi víi 10 em ®îc häc vÒ “Ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn” th× cã 9 em ®Òu t¸ch ®îc
4y = 3 + 43 vµ lÝ luËn ®óng ymax = 13
4x 5
3
- Cßn 1 em sai.
- §èi víi 10 em cha ®îc häc vÒ “Ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn” th× chØ cã 2 em häc
kh¸ gi¶i ®óng cßn l¹i lµ gi¶i sai.
Bµi 2: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña c¸c PT sau:
1 1 1 13
1 1 1 1
a) x y z 17
b) x y z 2
- §èi víi 10 em ®îc häc vÒ “Ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn” th× c¸c em ®Òu sö dông
tèt ph¬ng ph¸p b×nh ®¼ng Èn ®Ó gi¶i. Cã 8em gi¶i ®óng, cßn 2 em thiÕu nghiÖm.
- §èi víi 10 em cha ®îc häc vÒ “Ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn” th× chØ cã 1 em häc
gi¶i ®óng cßn 9 lµ gi¶i sai.
b - KiÓm tra 20 em häc sinh líp 9A (Kh¸ vµ giái) víi bµi to¸n:
Bµi 1: Gi¶i PT nghiÖm nguyªn d¬ng 2x = 1 + 3y.7z
Bµi 2: Gi¶i PT nghiÖm nguyªn x2 + y2 + z2 = x2y2
Bµi 3: Chøng tá PT xy5 = x5y + 1999 kh«ng cã nghiÖm nguyªn
11
Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên
- §èi víi 10 em ®îc häc vÒ “Ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn” th× cã 7 em gi¶i ®óng kÕt
qu¶ bµi 1 lµ x = 6, y = 2.
+ 9 em gi¶i ®óng bµi 2 ( KÕt qu¶ x = y = z = 0)
+ 6 em lµm ®óng bµi 3.
- §èi víi 10 em cha ®îc häc vÒ “Ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn” th× chØ cã 1 em häc
gi¶i ®óng bµi 1, 2em lµm ®óng bµi 2 vµ kh«ng em nµo lµm ®îc bµi 3.
V – Bµi häc kinh nghiÖm.
Qua kinh nghiÖm vÒ d¹y “Ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn” t«i thÊy gi¸o viªn
muèn ®¹t kÕt qu¶ cao cÇn chó ý nh÷ng ®iÓm sau:
+ Ph¶i híng dÉn häc sinh n¾m ch¾c phÇn lý thuyÕt
+ Ph¶i rÌn häc sinh c¸ch suy nghÜ t×m tßi lêi gi¶i vµ thc hµnh nhiÒu víi c¸c bµi to¸n
tõ dÔ ®Õn khã.
+ Khi gi¶i mét bµi to¸n cã vËn dông “Ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn” tríc hÕt ph¶i
®o¸n d¹ng, sau ®ã míi chän lùa ph¬ng ph¸p ®Ó gi¶i.
+ Gi¸o viªn cÇn híng dÉn häc sinh tæng qu¸t ho¸ bµi to¸n vµ chän c¸ch gi¶i hay
nhÊt.
+ Gi¸o viªn cÇn nghiªn cøu c¸c d¹ng to¸n n©ng cao h¬n tõ c¸c bµi to¸n s½n cã, ®·
lµm.
VI – Ph¹m vi ¸p dông kinh nghiÖm
Kinh nghiÖm nµy cã thÓ ¸p dông tõng phÇn cho häc sinh khèi 6, 7, 8, 9. Chñ
yÕu båi dìng häc sinh líp 9 chuÈn bÞ thi vµo líp 10. §Æc biÖt kinh nghiÖm d¹y “Ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn” cã t¸c dông rÊt cao trong viÖc d¹y båi dìng häc sinh kh¸
giái ë THCS, båi dìng häc sinh giái cÊp huyÖn, cÊp tØnh.
C – KÕt luËn
12
Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên
T
rªn ®©y lµ nh÷ng kinh nghiÖm cña b¶n th©n t«i vÒ gi¶ng d¹y “Ph¬ng tr×nh
nghiÖm nguyªn”. §©y lµ chuyªn ®Ò khã vµ réng, ®«i khi nh¾c ®Õn gi¶i ph¬ng
tr×nh nghiÖm nguyªn lµ häc sinh cã t©m lý “kinh h·i”. V× vËy trong chuyªn ®Ò t«i
®· ®a mét sè d¹ng vµ ph¬ng ph¸p gi¶i c¬ b¶n, ®Ó rÌn kÜ n¨ng cho häc sinh. T¸c
dông cña kinh nghiÖm nµy rÊt bæ Ých víi häc sinh kh¸ giái. Nã trau råi t duy, rÌn
nÕp suy nghÜ t×m toi lêi gi¶i vµ vËn dông cho nhiÒu lo¹i bµi to¸n kh¸c. Xong ®©y lµ
phÇn d¹y «n tËp, nªn t«i kh«ng tiÕn hµnh ®iÒu tra ®îc nhiÒu ®Ó thÊy hÕt t¸c dông
cña nã, còng nh thÊy ®îc phÇn cßn h¹n chÕ.
T«i rÊt mong ®îc l¾ng nghe c¸c ý kiÕn ®ãng gãp cña Héi ®ång khoa häc vµ c¸c b¹n
®ång nghiÖp ®Ó kinh nghiÖm sau t«i viÕt tèt h¬n.
T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n !
*§Ò xuÊt híng nghiªn cøu kinh nghiÖm tiÕp theo lµ:
- Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn.
- VËn dông ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn trong hµm sè vµ ®å thÞ.
- T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt.
Ngµy 25 th¸ng 02 n¨m 2008
13
Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên
Tµi liÖu tham kh¶o
--- ---
1. SGK6, 7, 8, 9
2. 351 bµi to¸n sè häc.
3. To¸n n©ng cao vµ c¸c chuyªn ®Ò to¸n 8.
4. To¸n n©ng cao vµ c¸c chuyªn ®Ò to¸n 9.
5. 255 bµi to¸n sè häc chän läc.
6. 255 bµi to¸n ®¹i sè chän läc.
7. To¸n båi dìng ®¹i sè líp 9.
8. To¸n båi dìng ®¹i sè líp 8.
9. 45 bé ®Ò to¸n khã.
10. TuyÓn tËp ®Ò thi m«n to¸n THCS
11. TuyÓn chän c¸c bµi tËp to¸n 9
12. 100 bµi to¸n chän läc.
13. Mét sè vÊn ®Ò ph¸t triÓn ®¹i sè 8, 9
14. T¹p trÝ to¸n häc tuåi trÎ, tuæi th¬ 2.
15. Båi dìng vµ ph¸t triÓn To¸n 9
14
Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên
Môc lôc
--- --Tªn danh môc
Trang
A. §Æt vÊn ®Ò
1
B. Gi¶i quyÕt vÊn ®Ò
2
I. §iÒu tra thùc tr¹ng tríc khi nghiªn cøu.
2
II. C¸c ph¬ng ph¸p nghiªn cøu.
2
III. Néi dung cña kinh nghiÖm.
3
IV. KÕt qu¶ ®¹t ®îc.
13
V. Bµi häc kinh nghiÖm.
13
VI. Ph¹m vi ¸p dông kinh nghiÖm.
14
C. KÕt kuËn.
14
* Tµi liÖu tham kh¶o.
15
15
- Xem thêm -