Skkn kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên_toán 9

  • Số trang: 15 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 16 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 24000 tài liệu

Mô tả:

 Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên A - ®Æt vÊn ®Ò T rong gi¶ng d¹y bé m«n to¸n, viÖc gióp häc sinh n¾m ch¾c kiÕn thøc c¬ b¶n vµ biÕt c¸ch khai th¸c më réng kiÕn thøc, ¸p dông kiÕn thøc vµo gi¶i ®îc nhiÒu d¹ng bµi tËp lµ mét ®iÒu hÕt søc quan träng. §Æc biÖt trong mÊy n¨m gÇn ®©y c¸c ®Ò thi häc sinh giái, ®Ò thi vµo líp 10 THPT ngµy mét n©ng cao. Trong ®ã cã mét phÇn kiÕn thøc ®îc vËn dông vµ øng dông nhiÒu ®ã lµ “Ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn”. Lµm thÕ nµo ®Ó häc sinh vËn dông gi¶i tèt c¸c bµi to¸n cã liªn quan ®Õn ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn. Chuyªn ®Ò “Ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn” lµ chuyªn ®Ò khã vµ rÊt réng, nªn ®Ó truyÒn ®¹t cho häc sinh hiÓu ®îc, vËn dông ®îc lµ vÊn ®Ò ®¸ng suy nghÜ cña gi¸o viªn. Qua nghiªn cøu vµ gi¶ng d¹y häc sinh vÒ “Ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn” t«i thÊy ®©y lµ vÊn ®Ò hay, gióp häc sinh trau dåi t duy to¸n häc, rÌn luyÖn cao vÒ tÝnh suy nghÜ s¸ng t¹o vµ t×m nhiÒu lêi gi¶i hay cho c¸c bµi to¸n, tõ ®ã mang l¹i høng thó vµ niÒm ®am mª trong häc to¸n. Häc sinh n¾m ch¾c vÒ “Ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn” lµ ch×a kho¸ vµng gi¶i ®îc nhiÒu lo¹i to¸n kh¸c nh: To¸n sè häc, t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, hÖ ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn… ChÝnh v× vËy mµ t«i m¹nh d¹n viÕt lªn kinh nghiÖm d¹y “Ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn” ®· ®îc ®óc rót qua thùc nghiÖm vµ cã kÕt qu¶ tèt. Mong Héi ®ång khoa häc vµ ®ång nghiÖp ®äc vµ rót kinh nghiÖm cho t«i. Kinh nghiÖm d¹y “Ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn” gåm hai phÇn chÝnh: PhÇn 1: Híng dÉn gi¶ng d¹y phÇn lý thuyÕt. PhÇn 2: Híng dÉn gi¶ng d¹y phÇn bµi tËp theo tõng ph¬ng ph¸p. T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n ! 1  Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên B – gi¶i quyÕt vÊn ®Ò I - §iÒu tra thùc tr¹ng tríc khi nghiªn cøu: 1- TiÕn hµnh ®iÒu tra ®èi víi häc sinh líp 8. Nh÷ng bµi to¸n rót gän vµ t×m ®iÒu kiÖn cña biÕn, th× hÇu hÕt c¸c em ®Òu lµm ®îc phÇn rót gän, cßn phÇn t×m ®iÒu kiÖn cña biÕn th× häc sinh cßn nhiÒu lóng tóng. VÝ dô nh÷ng bµi to¸n sau khi rót gän cã d¹ng: A= 10 ; 2x  1 A= 2x  5 ; x 1 A= x3  x2  2 x 1 Víi ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n lµ t×m x nguyªn ®Ó A nhËn gi¸ trÞ nguyªn. HÇu hÕt häc sinh kh«ng gi¶i ®îc, sè häc sinh gi¶i ®îc chØ chiÕm tö 1- 4%. 2- TiÕn hµnh ®iÒu tra ®èi víi häc sinh líp 9.  Nh÷ng bµi to¸n vÒ gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn. VÝ dô: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn: 1) 5x - 7y = 15 1 1 1 4) x  y  z 1 2) 3x2 + 5y2 = 345 3) x3 - 7x2 + 15x - 25 = 0 5) xy - 4x = 35 - 5 HÇu hÕt häc sinh ®Òu bì ngì kh«ng t×m ®îc c¸ch gi¶i, sè häc sinh gi¶i ®îc chØ chiÕm 1 – 2%. Nh×n chung c¸c bµi to¸n cã liªn quan ®Õn gi¸ trÞ nguyªn lµ nh÷ng bµi to¸n khã vµ míi ®èi víi häc sinh. §Ó häc sinh n¾m ®îc c¸ch gi¶i c¸c d¹ng to¸n nµy th× gi¸o viªn ph¶i tæng kÕt vµ ¸p dông ®îc vÊn ®Ò nµy. II - Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu:  Ph¬ng ph¸p ®iÒu tra.  Ph¬ng ph¸p thèng kª.  Ph¬ng ph¸p ®èi chøng.  Ph¬ng ph¸p ph©n tÝch, tæng hîp.  Ph¬ng ph¸p thùc nghiÖm. B»ng nh÷ng ph¬ng ph¸p trªn t«i ®· thÊy ®îc hiÖu qu¶ rÊt cao cña kinh nghiÖm nµy. KiÕn thøc ®a ra ®Ó gi¶ng d¹y cho häc sinh ®¶m b¶o tÝnh logÝc cã hÖ thèng tõ thÊp ®Õn cao ¸p dông ®îc cho nhiÒu ®èi tîng häc sinh. B»ng c¸ch ®a ra phÇn lý thuyÕt cã liªn quan tríc vµ hÖ thèng c¸c bµi tËp ph©n theo d¹ng gióp häc sinh khai th¸c tèt lý thuyÕt vËn dông vµo gi¶i c¸c bµi tËp tõ ®¬n gi¶n ®Õn phøc t¹p. C¸c bµi tËp ®a ra cho häc sinh ®· ®îc chän läc vµ ®iÒu tra ®¶m b¶o ®îc tÝnh tæng qu¸t tiªu biÓu vµ phong phó. Víi ph¬ng ph¸p ®a ra néi dung kiÕn thøc tõ dÔ ®Õn khã, kinh nghiÖm nµy ®¸p øng ®îc yªu cÇu tiÕp thu cña häc sinh vµ yªu cÇu gi¶ng d¹y cña gi¸o viªn theo tinh thÇn ®æi míi PPDH. III – Néi dung cña kinh nghiÖm. A. Gi¸o viªn híng dÉn häc sinh phÇn lý thuyÕt theo thø tù sau: I. Nh¾c l¹i vÒ phÐp chia hÕt. 1. §Þnh nghÜa phÐp chia hÕt: a, b  z (b  0)  q, r  Z a =bq + r víi 0  r < 2 b  Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên - NÕu r = 0  a : b - NÕu r 0  a : b 2. Mét sè tÝnh chÊt:  a,b,c,d  Z - NÕu a  0 th× a : a vµ 0 : a - NÕu a : b vµ b : c  a : c - NÕu a : b vµ b : a  a =  b - NÕu a : b vµ a : c  a : BCNN[a;b] - NÕu a : b vµ a : c (b,c) = 1  a : (bc) - NÕu a : b  ac : b 3. Mét sè ®Þnh lÝ thêng dïng. - NÕu a : c vµ b : c  (a  b) : c - NÕu a : c vµ b : d  ab : cd - NÕu a : b  an : bn ( n nguyªn d¬ng) *Mét sè hÖ qu¶ ¸p dông: +  a,b  z vµ n nguyªn d¬ng ta cã (an – bn) : (a – b) +  a,b  z vµ n ch½n (n nguyªn d¬ng) ta cã (an – bn) : (a + b) +  a,b  z vµ n lÎ (n nguyªn d¬ng) ta cã (an + bn) : (a + b) 4. C¸c dÊu hiÖu chia hÕt. + DÊu hiÖu chia hÕt cho 2: + DÊu hiÖu chia hÕt cho 3: + DÊu hiÖu chia hÕt cho 4: + DÊu hiÖu chia hÕt cho 5: + DÊu hiÖu chia hÕt cho 8: + DÊu hiÖu chia hÕt cho 9: + DÊu hiÖu chia hÕt cho 10: + DÊu hiÖu chia hÕt cho 11: Sè cã ch÷ sè tËn cïng lµ 0;2;4;6;8. Sè cã tæng c¸c ch÷ sè chia hÕt cho 3. Sè cã 2ch÷ sè cuèi hîp thµnh sè chia hÕt cho 4. Sè cã ch÷ sè tËn cïng lµ 5 hoÆc 0. Sè cã 3 ch÷ sè cuèi hîp thµnh sè chia hÕt cho 8. Sè cã tæng c¸c ch÷ sè chia hÕt cho 9. Sè cã ch÷ sè tËn cïng lµ 0. Sè cã hiÖu cña tæng c¸c ch÷ sè hµng ch½n vµ tæng c¸c ch÷ sèhµng lÎ chia hÕt cho 11. II. Nh¾c l¹i vÒ tËp hîp sè nguyªn: + TËp hîp sè nguyªn d¬ng Z+ = {1; 2; 3 …} + TËp hîp sè nguyªn ©m Z- = {-1; -2; -3; …} + TËp hîp sè nguyªn Z = {…-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …} III. Nh¾c l¹i vÒ ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn:  Gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn F(x,y,z,…) = 0 lµ t×m tËp hîp nghiÖm (x,y,z,…) trong ®ã x,y,z,…  Z . B. Gi¸o viªn híng dÉn häc sinh gi¶i bµi tËp theo tõng d¹ng vµ tõng ph¬ng ph¸p. I. D¹ng ph¬ng tr×nh Èn ®¬n gi¶n 1- Ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn d¹ng ax + b = 0 a- C¸ch gi¶i:( Qua 2 bíc) + Gi¶i ph¬ng tr×nh t×m nghiÖm. + T×m nghiÖm nguyªn (x  Z). b- VÝ dô : T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh mx + 3 = 0 cã nghiÖm nguyªn *Híng dÉn : 3  Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên  m 0  - §Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nguyªn th×  3 x    m  Z  m lµ íc sè cña 3  m = {1; 2; 3} c- Bµi tËp t¬ng tù: T×m m ®Ó c¸c ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm nguyªn: a) (2m – 1)x – 10 = 0 b) (m2 – 2)x + 36 = 0 d- Bµi tËp ph¸t triÓn: *Bµi tËp 1: T×m n  N ®Ó PT (4n + 3)x - 8n = 193 cã nghiÖm tù nhiªn. *Híng dÉn: (4n + 3)x - 8n = 193  (4n + 3)x = 193 + 8n 193  8n 8n  6 187   x= x= 4n  3 4n  3 2 + 187 4n  3 4n  3 Bµi to¸n trë thµnh ®¬n gi¶n ®Ó x  N th× 187  N 4n  3  4n + 3 lµ íc sè cña 187  4n + 3 = {1; 17; 187}  4n + 3 = {17; 187}  n = {2; 46} *Bµi tËp 2: T×m n  N ®Ó PT (n - 1)x – n 3 + n2 - 2 = 0 cã nghiÖm tù nhiªn. *Híng dÉn: (n - 1)x – n3 + n2 - 2 = 0 3 2  (n - 1)x = n3 - n2 + 2  x = n  n  2 n 2  2 n 1 n 1 2 N n 1 Bµi to¸n trë thµnh ®¬n gi¶n ®Ó x  N th× n - 1 lµ íc sè cña 2  n = {2; 3} 2. Gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn d¹ng ax2 + bx + c = 0 (a, b, c  Z) a- C¸ch gi¶i:( Qua 2 bíc) + Gi¶i ph¬ng tr×nh t×m nghiÖm. + T×m nghiÖm nguyªn (x  Z). b-VÝ dô : *VÝ dô 1 : Gi¶i PT nghiÖm nguyªn 2x2 – x – 3 = 0 *Híng dÉn: 2x2 – x – 3 = 0  (x + 1)(2x – 3) = 0   x  1  x 3  2 VËy PT cã nghiÖm nguyªn lµ x = -1. *VÝ dô 2: T×m n  N ®Ó PT nx2 + (2n – 3)x – 6 = 0 cã 2 nghiÖm nguyªn. *Híng dÉn: nx2 + (2n – 3)x – 6 = 0  (x + 2)(nx – 3) = 0   x  2  x 3 n  4  Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên - §Ó PT cã 2 nghiÖm nguyªn th× x = 3  Z v× n  N  n = 1 hoÆc n = 3 n *VÝ dô 3: T×m a  Z ®Ó ph¬ng tr×nh (a + 1)x2 - (30 + 10a)x + 200 = 0 cã hai nghiÖm nguyªn lín h¬n 6. *Híng dÉn: (a + 1)x2 - (30 + 10a)x + 200 = 0  x 10   x  20 a 1   (x – 10)[(a + 1)x – 20] = 0   20  a  1  Z §Ó PT cã 2 nghiÖm nguyªn lín h¬n 6 th×   20  6  a  1  a = 0 hoÆc a = 1. 3 - Ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn bËc cao. a-C¸ch gi¶i: - Dïng ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ®a vÒ d¹ng PT tÝch. b- VÝ dô: *VÝ dô 1: T×m nghiÖm nguyªn cña PT x3 – 6x2 + 11x – 6 = 0 *Híng dÉn: - §a PT vÒ d¹ng (x – 1)(x – 2)(x – 3) = 0 - PT cã 3 nghiÖm nguyªn x = 1; x = 2; x = 3. *VÝ dô 2: T×m nghiÖm nguyªn cña PT x3 – 7x2 + 15x – 25 = 0 *Híng dÉn: - §a PT vÒ d¹ng (x – 5)(x2 – 2x + 5) = 0 - NhËn xÐt: x2 – 2x + 5 = (x – 1)2 + 4 > 0 víi mäi x  PT chØ cã nghiÖm nguyªn x = 5. *VÝ dô 3: Gi¶i PT nghiÖm nguyªn x3 + (x + 1)3 + (x + 2)3 = (x + 3)3 *Híng dÉn: - §Æt y = x – 3  x = y + 3  (y + 3)3 + (y + 4)3 + (y + 5)3 = (y + 6)3  2y3 + 18y2 + 42y = 0  2y(y2 + 9y + 21) = 0 - V× y2 + 9y + 21 = (y + 9 )2 + 3 > 0  y = 0  x = 3 2 4 2 2 *VÝ dô 4: T×m nghiÖm nguyªn cña PT: x2  2 x  1  x 2  2 x  2  7 x  2x  2 x  2x  3 *Híng dÉn: - §Æt y = x 2  2 x  2 = (x + 1)2 + 1  1  ta ®îc PT nghiÖm nguyªn ®èi víi y lµ: y 1 y 7    5y2 -7y – 6 = 0  y = 2 hoÆc y = y y 1 6 - Víi y = 2  x2 + 2x + 2 = 2  x = 0 hoÆc x = - 2 II – D¹ng ph ¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn nhiÒu Èn. 1-Ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn d¹ng ax + by = c (a, b, c  Z) 5 6 3 5 (lo¹i)  Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên - §iÒu kiÖn ®Ó PT cã nghiÖm nguyªn lµ (a,b) = 1. NÕu (a,b) = d > 1 vµ c chia hÕt d th× ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm nguyªn. * C¸ch gi¶i: - T¸ch phÇn nguyªn rót Èn cã hÖ sè gi¸ trÞ tuyÖt ®èi nhá. *VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn 3x + 4y = 29 *Híng dÉn: 3x + 4y = 29  3x = 29 – 4y  x = 29  4 y 9  y  2  3 x,y  Z  2 y 3 y 3  Z  2 – y = 3t (t  Z)   x 4t  7   y 2  3t *VÝ dô 2: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh 5x - 7y = 15 *Híng dÉn: - NhËn xÐt UCLN(5 ;15) = 5. Nªn ta ®Æt y = 5t (t  Z) Ta cã : 5x - 35t = 15  x = 7t + 3. VËy nghiÖm cña PT lµ  x 7t  3 (t  Z)   y 5t *VÝ dô 3: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña 8x - 3y = 15 *Híng dÉn: - PT 8x - 3y = 15  3y = 8x – 15  y = 3x + 4 + 1  x 3 - §Æt 1 – x = 3t (t  Z)  x = -3t + 1  y = - 8t + 7 1  3t  0 - §Ó x,y nguyªn d¬ng th×   7  8t  0  t< VËy nghiÖm nguyªn d¬ng cña PT lµ 1 3  x  3t  1 1 (t <  3 y   8 t  7  ) 2 - Gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn dïng tÝnh chÊt chia hÕt. * C¸ch gi¶i: - Dïng tÝnh chÊt chia hÕt ®Ó thu hÑp miÒn x¸c ®Þnh cña nghiÖm. *VÝ dô 1: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña PT 3x2 + 5y2 = 345 *Híng dÉn: - V× 345 chia hÕt cho 3 vµ 345 chia hÕt cho 5  3x2 : 5  x2 : 5  x : 5  5y2 : 3  y2 : 3  y : 3 - §Æt x = 5a, y = 3b (a,b nguyªn d¬ng)  3.25a2 + 5.9b2 = 345  5a2 + 3b2 = 23 23 vµ b2  23  a 2 vµ b 2  a2  5 3 - Thö víi a = 1; 2 vµ b = 1; 2 . Ta thÊy chØ cã nghiÖm nguyªn d¬ng lµ x = 10; y = 3 6  Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên *VÝ dô 2: Gi¶i bµi to¸n cæ: Tr¨m tr©u tr¨m bã cá Tr©u ®øng ¨n n¨m Tr©u n»m ¨n ba Lô khô tr©u giµ Ba con mét bã Hái tr©u mçi lo¹i ? *Híng dÉn: - Gäi sè tr©u ®øng lµ x con. - Gäi sè tr©u n»m lµ y con. (Víi x,y,z nguyªn d¬ng) - Gäi sè tr©u giµ lµ z con.  x  y  z 100  x  y  z 100(1)  Theo bµi ra ta cã  z  5x  3y  3 100 15x  9y  z 300( )2 - LÊy (2) - (1)  7x + 4y = 100  y = 25 – 2x +  Z)  y = 25 – 7t  z = 75 + 3t. Ta cã y > 0  t  3. Ta cã c¸c nghiÖm sau : x  4 x: 4  x = 4t (t x4 x8 x12  y18;y1 ;y4 z78z81z84  *VÝ dô 3: Gi¶i PT nghiÖm nguyªn x3 + 9y3 + 9z3 -9xyz = 0 *Híng dÉn: - Gäi x0, y0, z0 lµ nghiÖm cña PT  Ta cã x30 + 9 + 9z30 -9x0y0z0 = 0  x0 : 3  3 y30 : 9  y0 : 9  9z30: 27  z0 : 3 - §Æt x0 = 3x1 ; y0 =3y1 ; z0 = 3z1  x1 + 3y31 + 9z31 - 9x1y1z1 = 0 T¬ng tù trªn ta cã x1, y1, z1 ®Òu chia hÕt cho 3  x0, y0, z0 ®Òu chia hÕt cho 32 - LËp luËn nhiÒu lÇn  x0, y0, z0 ®Òu chia hÕt cho 3n ( mäi n 1 )  x0= y0= z0 = 0 7  Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên 3 - Gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn b»ng c¸ch t¸ch phÇn nguyªn. *VÝ dô 1: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña PT 5x – 3y = 2xy - 10 *Híng dÉn: 5x – 3y = 2xy – 10  y(2x + 3) = 5x + 10  2y = 5 x  10 5  5 2x  3 2x  3 - §Ó PT cã nghiÖm nguyªn th× 2x + 3 lµ íc cña 5  ChØ cã 2x + 3 = 5 x =1  y = 3 (Tho¶ m·n) VËy PT cã nghiÖm nguyªn d¬ng lµ x =1; y = 3 *VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn 14xyz + 7x + 7z = -11 – 22yz *Híng dÉn: 14xyz + 7x + 7z = -11 – 22yz  7(xyz + x + z) = -11(1 + 2yz) z 3  2  x+ 2 yz  1 7 x+ 1 1 2y  z 3  2  2 1 3  x  2    y 1  z 3  4 - Gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn b»ng ph¬ng ph¸p b×nh ®¼ng Èn. *VÝ dô 1: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña PT x + y + z = xyz *Híng dÉn: x, y, z cã vai trß b×nh ®¼ng. Gi¶ sö 0 < x  y  z  xyz = x + y + z  3z  xy  3 + NÕu x = y = z  z3 = 3z  z2 = 3 kh«ng x¶y ra  x, y, z kh«ng thÓ b»ng nhau. + Tõ xy  3  chØ cã cÆp sè (1; 2; 3) lµ nghiÖm cña PT. 1 1 1 *VÝ dô 2: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña PT x  y  z 1 *Híng dÉn: x, y, z cã vai trß b×nh ®¼ng. 1 1 1 3 - Gi¶ sö 0 < x  y  z  x  y  z  x mµ 3 1  x 3 x  x = {1; 2; 3} 1 1 1 1 + NÕu x = 1  y  z = 1 – 1  y  z = 0 kh«ng x¶y ra. + NÕu x = 2  1 1  y z = 1 2 dïng b×nh ®¼ng víi y vµ z  (y;z) = {(4 ; 4) ; (3 ; 6) ; (6 ; 3)} + NÕu x = 3  chØ cã y = z = 3 VËy c¸c cÆp sè sau lµ nghiÖm cña PT (2; 4 ; 4) ; (2 ; 3 ; 6) ; (3 ; 3 ;3). xy yz zx *VÝ dô 3: Gi¶i PT nghiÖm nguyªn z  x  y 3 *Híng dÉn: - NÕu trong 3 sè x, y, z cã cïng mét sè ©m th× xy yz zx 3 = z  x  y < 0 kh«ng x¶y ra. 8  Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên - NÕu x, y, z cã cïng d¬ng hoÆc cã 2 sè ©m th× 3= x y z  y z x  z x y 3 1. 3 VËy x  y  z 1 5 - Gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn b»ng ph¬ng ph¸p lo¹i trõ. *C¸ch gi¶i: - BiÖn luËn ®Ó lµm ng¾n miÒn nghiÖm. *VÝ dô 1: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña PT 12x + 5y = 13x *Híng dÉn: - Ta thÊy x = 2 lµ nghiÖm cña PT v× 122 + 52 = 132 - BiÕn ®æi PT 12x + 5y = 13x  (12 ) x  ( 5 ) x 1 . 13 + NÕu x > 2 x¶y ra. 12  ( )x 13 12 ( )x 13 + NÕu x < 2  x¶y ra. < 12 ( )2 13 > ( 12 2 ) 13 vµ 13 5 x ( ) 13 < ( 5 2 )  13 vµ 5 ( )x 13 > ( 5 2 ) 13 12 5 ( ) x  ( ) x  1 kh«ng 13 13 12 13 5 13  ( ) x  ( ) x  1 kh«ng VËy x = 2 lµ nghiÖm duy nhÊt. *VÝ dô 2: Gi¶i PT nghiÖm nguyªn x(x + 1)(x + 7)(x + 8) = y2 *Híng dÉn: x(x + 1)(x + 7)(x + 8) = y2  (x2 + 8x)(x2 + 8x + 7) = y2, ®Æt z = x2 + 8x  z 0  z(z + 7) = y2   z  7  - Ta cã (z + 3)2 < z(z + 7) < (z + 4)2 víi mäi z > 9.  (z + 3)2 < y2 < (z + 4)2 kh«ng x¶y ra  z  9 VËy z  -7 hoÆc 0  z  9 - Thay vµo ta cã: (x;y) ={(-9;-12);(-9;12);(-8;0);(-7;0);(-4;-12);(-4;12);(-1;0);(0 ;0);(1;-12);(1;12)} *VÝ dô 3: Gi¶i PT nghiÖm nguyªn x6 + 3x3 + 1 = y4 *Híng dÉn: - XÐt x > 0 ta cã (x3 + 1)2 < x6 + 3x3 + 1 < (x3 + 2)2  (x3 + 1)2 < y4 < (x3 + 2)2 kh«ng x¶y ra. - XÐt x  - 2, ta cã: (x3 + 2)2 = x6 + 4x3 + 4 < x6 + 3x3 + 1 < (x3 + 1)2  (x3 + 2)2 < y4 < (x3 + 1)2 kh«ng x¶y ra.   x 0  x 0 x = {0; 1} thay vµo ta cã nghiÖm lµ  ;  y 1  y  1 *Bµi tËp t¬ng tù : Gi¶i PT nghiÖm nguyªn (x + 2)4 - x4 = y3 6 - Gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn ®a vÒ d¹ng tÝch. *VÝ dô 1: Gi¶i PT nghiÖm nguyªn d¬ng xy – 4x = 35 - 5 *Híng dÉn: xy – 4x = 35 – 5  xy – 4x + 5y – 20 = 15  (x + 5)(y – 4) = 15  x + 5 vµ y – 4 lµ íc cña 15. 9  Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên  x 10 Thay vµo ta chØ cã nghiÖm nguyªn d¬ng lµ   y 5 *VÝ dô 2: Gi¶i PT nghiÖm nguyªn d¬ng x2 – 6xy + 13y2 = 100 *Híng dÉn: x2 – 6xy + 13y2 = 100  x2 – 6xy + 9y2 = 100 – 4y2  (x – 3y)2 = 4(25 – y2) 0  y  5 vµ 25 – y2 lµ sè chÝnh ph¬ng. Thay c¸c gi¸ trÞ cña y, ta cã c¸c nghiÖm nguyªn d¬ng lµ : (x ;y) = {(1 ; 3) ; (17 ; 3) ; (6 ; 4) ; (18 ; 4) ; (15 ; 5)} *VÝ dô 3: T×m nghiÖm tù nhiªn cña PT xy2 + 3y2 – x = 108 *Híng dÉn: xy2 + 3y2 – x = 108  xy2 + 3y2 – x – 5 = 105  (y2 – 1)(x + 3) = 105  y2 – 1 lµ íc cña 105 Thay vµo ta chØ ®îc y = 6   x 0 x = 0. VËy PT cã nghiÖm tù nhiªn lµ   y 6 Bµi tËp bæ sung, më réng Bµi 1: T×m nghiÖm nguyªn: a) 3x + 2y = 85 b) 3x - 5y = 7 c) 5x + 25 = - 3xy + 8y2 Bµi 2: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng: a) 7x + 4y = 85 b) 8x + 9y = 79 c) Bµi 3: T×m x, y  N tho¶ m·n 7.2x = 3y + 4 1 1 1   x y 14 Bµi 4: Cho ®êng th¼ng d cã PT 2x + 3y = 11. T×m c¸c ®iÓm n»m trªn ®êng th¼ng d cã to¹ ®é lµ c¸c sè nguyªn vµ n»m trong gãc phÇn t thø I. Bµi 5: Chøng minh r»ng trªn ®êng th¼ng 6x – 2y = 1, kh«ng tån t¹i ®iÓm nµo cã to¹ ®é lµ c¸c sè nguyªn.  xy  zt  1  Bµi 6: T×m nghiÖm nguyªn cña hÖ PT  xz  yt  1  xt  yz  1  Bµi 7: T×m a ®Ó HPT cã cã nghiÖm nguyªn  ax  y 2a   x  ay a  1 Bµi 8: BiÕt r»ng PT x2 – 3x + 1 = 0 cã nghiÖm x = a. H·y t×m mét gia trÞ cña b  Z ®Ó PT x16 –b.x8 + 1 = 0 cã nghiÖm x = a. Bµi 9: (§Ò thi HSG líp 9- vßng 2-Thõa Thiªn HuÕ- 2003-2004) T×m c¸c sè x, y, z nguyªn d¬ng tho¶ m·n ®¼ng thøc 2(y + z) = x(yz – 1) Bµi 10: (§Ò thi vµo líp 10 -THPT- H¶i D¬ng - 2004-2005) 10  Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên Cho HPT  (m  1) x  y m cã nghiÖm duy nhÊt lµ (x; y).   x  (m  1) y 2 2x  3y ? T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó biÓu thøc x  y nhËn gi¸ trÞ nguyªn. Bµi 11: (§Ò thi vµo líp 10 -THPT- Th¸i B×nh- 2002-2003) 2 Cho biÓu thøc K = ( x  1  x  1  x 2 4 x  1) x  2003 x 1 x 1 x 1 x a) Rót gän biÓu thøc K. b) Víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cña x th× biÓu thøc K cã gi¸ trÞ nguyªn ? Bµi 12: (§Ò thi vµo líp 10 chuyªn to¸n- Quèc häc HuÕ - 2002-2003) 2 Cho biÓu thøc A = ( x  1  x  1  x 2 4 x  1) x  2003 x 1 x 1 x 1 x a) Rót gän biÓu thøc A. b) T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn lín h¬n 8 (a  Z; a > 8) ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn. IV- KÕt qu¶ ®¹t ®îc 1- KÕt qu¶ chung: Sau khi d¹y xong vÒ “Ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn” cho häc sinh. C¸c em kh«ng nh÷ng gi¶i tèt nh÷ng bµi to¸n vÒ “Ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn”, mµ c¸c em cßn gi¶i ®îc mét sè bµi to¸n cã liªn quan kh¸c nh:  D¹ng to¸n chia hÕt.  D¹ng to¸n t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt.  D¹ng to¸n hÖ ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn. Th«ng qua c¸c d¹ng to¸n vÒ “Ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn” gióp c¸c em häc sinh ph¸t triÓn t duy tèt h¬n, nhiÒu em thÓ hiÖn râ sù yªu thÝch, say mª häc to¸n h¬n. 2- KÕt qu¶ cô thÓ: a- KiÓm tra 20 em häc sinh líp 8A (Kh¸ vµ trung b×nh) víi bµi to¸n: Bµi 1: T×m sè nguyªn d¬ng x ®Ó y d¬ng vµ lín nhÊt víi y = 3x  7 4x  5 - §èi víi 10 em ®îc häc vÒ “Ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn” th× cã 9 em ®Òu t¸ch ®îc 4y = 3 + 43 vµ lÝ luËn ®óng ymax = 13 4x  5 3 - Cßn 1 em sai. - §èi víi 10 em cha ®îc häc vÒ “Ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn” th× chØ cã 2 em häc kh¸ gi¶i ®óng cßn l¹i lµ gi¶i sai. Bµi 2: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña c¸c PT sau: 1 1 1 13 1 1 1 1 a) x  y  z 17 b) x  y  z  2 - §èi víi 10 em ®îc häc vÒ “Ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn” th× c¸c em ®Òu sö dông tèt ph¬ng ph¸p b×nh ®¼ng Èn ®Ó gi¶i. Cã 8em gi¶i ®óng, cßn 2 em thiÕu nghiÖm. - §èi víi 10 em cha ®îc häc vÒ “Ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn” th× chØ cã 1 em häc gi¶i ®óng cßn 9 lµ gi¶i sai. b - KiÓm tra 20 em häc sinh líp 9A (Kh¸ vµ giái) víi bµi to¸n: Bµi 1: Gi¶i PT nghiÖm nguyªn d¬ng 2x = 1 + 3y.7z Bµi 2: Gi¶i PT nghiÖm nguyªn x2 + y2 + z2 = x2y2 Bµi 3: Chøng tá PT xy5 = x5y + 1999 kh«ng cã nghiÖm nguyªn 11  Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên - §èi víi 10 em ®îc häc vÒ “Ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn” th× cã 7 em gi¶i ®óng kÕt qu¶ bµi 1 lµ x = 6, y = 2. + 9 em gi¶i ®óng bµi 2 ( KÕt qu¶ x = y = z = 0) + 6 em lµm ®óng bµi 3. - §èi víi 10 em cha ®îc häc vÒ “Ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn” th× chØ cã 1 em häc gi¶i ®óng bµi 1, 2em lµm ®óng bµi 2 vµ kh«ng em nµo lµm ®îc bµi 3. V – Bµi häc kinh nghiÖm. Qua kinh nghiÖm vÒ d¹y “Ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn” t«i thÊy gi¸o viªn muèn ®¹t kÕt qu¶ cao cÇn chó ý nh÷ng ®iÓm sau: + Ph¶i híng dÉn häc sinh n¾m ch¾c phÇn lý thuyÕt + Ph¶i rÌn häc sinh c¸ch suy nghÜ t×m tßi lêi gi¶i vµ thc hµnh nhiÒu víi c¸c bµi to¸n tõ dÔ ®Õn khã. + Khi gi¶i mét bµi to¸n cã vËn dông “Ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn” tríc hÕt ph¶i ®o¸n d¹ng, sau ®ã míi chän lùa ph¬ng ph¸p ®Ó gi¶i. + Gi¸o viªn cÇn híng dÉn häc sinh tæng qu¸t ho¸ bµi to¸n vµ chän c¸ch gi¶i hay nhÊt. + Gi¸o viªn cÇn nghiªn cøu c¸c d¹ng to¸n n©ng cao h¬n tõ c¸c bµi to¸n s½n cã, ®· lµm. VI – Ph¹m vi ¸p dông kinh nghiÖm Kinh nghiÖm nµy cã thÓ ¸p dông tõng phÇn cho häc sinh khèi 6, 7, 8, 9. Chñ yÕu båi dìng häc sinh líp 9 chuÈn bÞ thi vµo líp 10. §Æc biÖt kinh nghiÖm d¹y “Ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn” cã t¸c dông rÊt cao trong viÖc d¹y båi dìng häc sinh kh¸ giái ë THCS, båi dìng häc sinh giái cÊp huyÖn, cÊp tØnh. C – KÕt luËn 12  Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên T rªn ®©y lµ nh÷ng kinh nghiÖm cña b¶n th©n t«i vÒ gi¶ng d¹y “Ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn”. §©y lµ chuyªn ®Ò khã vµ réng, ®«i khi nh¾c ®Õn gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn lµ häc sinh cã t©m lý “kinh h·i”. V× vËy trong chuyªn ®Ò t«i ®· ®a mét sè d¹ng vµ ph¬ng ph¸p gi¶i c¬ b¶n, ®Ó rÌn kÜ n¨ng cho häc sinh. T¸c dông cña kinh nghiÖm nµy rÊt bæ Ých víi häc sinh kh¸ giái. Nã trau råi t duy, rÌn nÕp suy nghÜ t×m toi lêi gi¶i vµ vËn dông cho nhiÒu lo¹i bµi to¸n kh¸c. Xong ®©y lµ phÇn d¹y «n tËp, nªn t«i kh«ng tiÕn hµnh ®iÒu tra ®îc nhiÒu ®Ó thÊy hÕt t¸c dông cña nã, còng nh thÊy ®îc phÇn cßn h¹n chÕ. T«i rÊt mong ®îc l¾ng nghe c¸c ý kiÕn ®ãng gãp cña Héi ®ång khoa häc vµ c¸c b¹n ®ång nghiÖp ®Ó kinh nghiÖm sau t«i viÕt tèt h¬n. T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n ! *§Ò xuÊt híng nghiªn cøu kinh nghiÖm tiÕp theo lµ: - Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn. - VËn dông ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn trong hµm sè vµ ®å thÞ. - T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt. Ngµy 25 th¸ng 02 n¨m 2008 13  Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên Tµi liÖu tham kh¶o ---  --- 1. SGK6, 7, 8, 9 2. 351 bµi to¸n sè häc. 3. To¸n n©ng cao vµ c¸c chuyªn ®Ò to¸n 8. 4. To¸n n©ng cao vµ c¸c chuyªn ®Ò to¸n 9. 5. 255 bµi to¸n sè häc chän läc. 6. 255 bµi to¸n ®¹i sè chän läc. 7. To¸n båi dìng ®¹i sè líp 9. 8. To¸n båi dìng ®¹i sè líp 8. 9. 45 bé ®Ò to¸n khã. 10. TuyÓn tËp ®Ò thi m«n to¸n THCS 11. TuyÓn chän c¸c bµi tËp to¸n 9 12. 100 bµi to¸n chän läc. 13. Mét sè vÊn ®Ò ph¸t triÓn ®¹i sè 8, 9 14. T¹p trÝ to¸n häc tuåi trÎ, tuæi th¬ 2. 15. Båi dìng vµ ph¸t triÓn To¸n 9 14  Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên Môc lôc ---  --Tªn danh môc Trang A. §Æt vÊn ®Ò 1 B. Gi¶i quyÕt vÊn ®Ò 2 I. §iÒu tra thùc tr¹ng tríc khi nghiªn cøu. 2 II. C¸c ph¬ng ph¸p nghiªn cøu. 2 III. Néi dung cña kinh nghiÖm. 3 IV. KÕt qu¶ ®¹t ®îc. 13 V. Bµi häc kinh nghiÖm. 13 VI. Ph¹m vi ¸p dông kinh nghiÖm. 14 C. KÕt kuËn. 14 * Tµi liÖu tham kh¶o. 15 15
- Xem thêm -