Skkn kĩ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

  • Số trang: 7 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 13 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 24000 tài liệu

Mô tả:

Chuyªn ®Ò: RÌn kü n¨ng gi¶i bµi tËp to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh - hÖ ph¬ng tr×nh I/ §Æt vÊn ®Ò: Nh chóng ta ®· biÕt, ngay tõ nh÷ng ngµy míi c¾p s¸ch ®Õn trêng, häc sinh ®· ®îc gi¶i ph¬ng tr×nh. §ã lµ nh÷ng ph¬ng tr×nh rÊt ®¬n gi¶n díi d¹ng ®iÒn sè thÝch hîp vµo « trèng. §èi víi häc sinh líp cao th× tÝnh phøc t¹p cña ph¬ng tr×nh còng dÇn ®îc n©ng lªn. + §èi víi líp 1, líp 2 th× ph¬ng tr×nh rÊt ®¬n gi¶n, thêng lµ díi d¹ng ®iÒn vµo « trèng: +3=7 + §èi víi häc sinh líp 3 th× ph¬ng tr×nh phøc t¹p h¬n: x + 2 + 3 = 6. + §èi víi häc sinh líp 4, 5, 6 ph¬ng tr×nh cã d¹ng: x:4=8:2 x x 5 + 8 = 33 (x – 12) x 8 = 16 TÊt c¶ c¸c lo¹i To¸n trªn, mèi quan hÖ gi÷a c¸c ®¹i lîng trong ®Ò to¸n ®îc g¾n kÕt víi nhau b»ng c¸c mèi quan hÖ to¸n häc. C¸c ®¹i lîng chØ lµ nh÷ng con sè tù nhiªn bÊt kú. §Æc biÖt lµ c¸c ph¬ng tr×nh ®îc viÕt s½n häc sinh chØ viÖc gi¶i ph¬ng tr×nh lµ hoµn thµnh nhiÖm vô. §èi víi häc sinh líp 8, líp 9 trë lªn c¸c ®Ò to¸n vÒ gi¶i ph¬ng tr×nh kh«ng cßn ®¬n gi¶n nh vËy n÷a mµ nã lµ c¸c d¹ng to¸n cã lêi, c¨n cø vµo cã ®Ó lËp ra ph¬ng tr×nh kÕt qu¶, ®¸p sè ®óng kh«ng chØ phô thuéc vµo kü n¨ng gi¶i ph¬ng tr×nh mµ cßn phô thuéc vµo viÖc lËp ph¬ng tr×nh. ViÖc gi¶i c¸c bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh ®èi víi häc sinh THCS lµ mét viÖc lµm míi mÎ. §Ò bµi cho kh«ng ph¶i lµ nh÷ng ph¬ng tr×nh cã s½n mµ lµ mét ®o¹n v¨n m« t¶ mèi quan hÖ gi÷a c¸c ®¹i lîng, häc sinh ph¶i chuyÓn ®æi ®îc mèi quan hÖ gi÷a c¸c ®¹i lîng ®îc m« t¶ b»ng lêi v¨n sang mèi quan hÖ to¸n häc. H¬n n÷a, néi dung cña c¸c bµi to¸n nµy, hÇu hÕt ®Òu g¾n bã víi c¸c ho¹t ®éng thùc tÕ cña con ngêi, x· héi hoÆc tù nhiªn,… Do ®ã trong qu¸ tr×nh gi¶i häc sinh thêng quªn, kh«ng quan t©m ®Õn yÕu tè thùc tiÔn dÉn ®Õn ®¸p sè v« lÝ. VD: Èn sè lµ con ngêi, ®å vËt, … ph¶i nguyªn d¬ng nÕu t×m ra ®¸p sè ©m hoÆc kh«ng nguyªn lµ v« lÝ. ChÝnh v× vËy, ngêi thÇy kh«ng chØ truyÒn thô cho häc sinh nh÷ng kiÕn thøc nh trong SGK mµ cßn d¹y cho häc sinh c¸ch gi¶i bµi tËp. Ngêi thÇy khi híng dÉn cho häc sinh gi¶i c¸c bµi to¸n d¹ng nµy ph¶i dùa trªn c¸c quy t¾c chung lµ: yªu cÇu vÒ gi¶i mét bµi to¸n, quy t¾c gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh, ph©n lo¹i c¸c d¹ng to¸n, lµm s¸ng tá mèi quan hÖ gi÷a c¸c ®¹i lîng dÉn ®Õn lËp ®îc ph¬ng tr×nh dÔ dµng. §©y lµ bíc ®Æc biÖt quan träng vµ khã kh¨n víi häc sinh. II. Gi¶i quyÕt vÊn ®Ò. Mét trong nh÷ng ph¬ng ph¸p híng dÉn häc sinh gi¶i bµi to¸n trªn lµ dùa vµo quy t¾c chung. Néi dung cña quy t¾c gåm c¸c bíc: - Bíc 1: LËp ph¬ng tr×nh (hÖ ph¬ng tr×nh) + Chän Èn, x¸c ®Þnh ®iÒu kiÖn cho Èn. + Dïng Èn sè vµ c¸c sè liÖu ®· biÕt ®Ó biÓu thÞ c¸c sè liÖu cã liªn quan, dÉn gi¶i c¸c bé phËn thµnh ph¬ng tr×nh (hÖ ph¬ng tr×nh). - Bíc 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh (hÖ ph¬ng tr×nh). - Bíc 3: NhËn ®Þnh kÕt qu¶, thö l¹i, tr¶ lêi. MÆc dï cã quy t¾c trªn song trong qu¸ tr×nh híng dÉn gi¶i bµi to¸n nµy cÇn cho häc sinh vËn dông theo nh÷ng biÖn ph¸p sau: * BiÖn ph¸p 1: Lêi gi¶i kh«ng ph¹m sai lÇm vµ kh«ng cã sai sãt nhá: §Ó häc sinh kh«ng m¾c sai lÇm nµy ngêi gi¸o viªn ph¶i lµm cho häc sinh hiÓu ®Ò to¸n vµ trong qu¸ tr×nh gi¶i kh«ng cã sai sãt vÒ kiÕn thøc, kü n¨ng tÝnh. Gi¸o viªn ph¶i rÌn cho häc sinh cã thãi quen ®Æt ®iÒu kiÖn cho Èn vµ ®èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn cña Èn xem cã thÝch hîp kh«ng? VÝ dô 1: MÉu cña mét ph©n sè gÊp 4 lÇn tö sè cña nã. NÕu t¨ng c¶ tö vµ mÉu lªn 2 ®¬n vÞ th× ®îc Ph©n sè 1 . TÝnh ph©n sè ®· cho. 2 (SGK §¹i sè 8) Gi¶i Gäi tö sè cña ph©n sè ®· cho lµ x (x>0;x  N) Th× mÉu sè cña ph©n sè lµ 4x. Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: x2 1  . 4x  2 2 x = 1. VËy tö sè lµ 1, mÉu sè lµ 4. VËy ph©n sè ®ã lµ 1 . 4 * BiÖn ph¸p 2: Lêi gi¶i to¸n ph¶i cã c¨n cø chÝnh x¸c. X¸c ®Þnh Èn phô ph¶i khÐo lÐo, mèi quan hÖ gi÷a Èn vµ d÷ kiÖn ®· cho lµm næi bËt ®îc ý ph¶i t×m. Nhê mèi quan hÖ gi÷a c¸c ®¹i lîng trong bµi to¸n thiÕt lËp ph¬ng tr×nh (hÖ ph¬ng tr×nh), tõ ®ã t×m ®îc gi¸ trÞ cña Èn sè. Muèn vËy, ngêi gi¸o viªn ph¶i lµm cho häc sinh hiÓu ®îc ®©u lµ Èn? §©u lµ ®iÒu kiÖn? Cã tho¶ m·n ®iÒu kiÖn hay kh«ng? Tõ ®ã cã thÓ x©y dùng ®îc c¸ch gi¶i? VÝ dô 2: Hai c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt h¬n kÐm nhau 4m. TÝnh chu vi cña khu ®Êt ®ã nÕu biÕt S = 1200m2. (SGK §¹i sè 9) Bµi to¸n hái chu vi h×nh ch÷ nhËt. Häc sinh thêng lµ bµi to¸n hái g× th× gäi lµ Èn. NÕu ë bµi to¸n nµy gäi chu vi h×nh ch÷ nhËt lµ Èn th× bµi to¸n khã cã lêi gi¶i. Gi¸o viªn cÇn híng dÉn cho häc sinh ph¸t triÓn s©u trong kh¶ n¨ng suy diÔn: Muèn tÝnh chu vi h×nh ch÷ nhËt ta cÇn biÕt c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt. Gi¶i Gäi chiÒu réng khu ®Êt h×nh ch÷ nhËt lµ x (m,x > 0) Th× chiÒu dµi h×nh ch÷ nhËt lµ x + 4. V× diÖn tÝch h×nh ch÷ nhËt lµ 1200m2. Ta cã ph¬ng tr×nh sau: x(x + 4) = 1200 x2 + 4x – 1200 = 0 x1 = 30; x2 = -34 < 0 (lo¹i). VËy chiÒu réng h×nh ch÷ nhËt lµ 30m. ChiÒu dµi h×nh ch÷ nhËt lµ 34m. VËy chu vi lµ 128m. * BiÖn ph¸p 3: Lêi gi¶i ph¶i ®Çy ®ñ vµ mang tÝnh toµn diÖn. Gi¸o viªn ph¶i híng dÉn häc sinh kh«ng ®îc bá sãt kh¶ n¨ng, chi tiÕt nµo, rÌn luyÖn cho häc sinh c¸ch kiÓm tra l¹i lêi gi¶i xem ®Çy ®ñ cha. VÝ dô 3: Mét tam gi¸c cã chiÒu cao b»ng 3 c¹nh ®¸y. NÕu chiÒu cao 4 t¨ng thªm 3dm, c¹nh ®¸y gi¶m ®i 2dm, th× diÖn tÝch t¨ng thªm 12dm2. TÝnh chiÒu cao vµ c¹nh ®¸y. Gi¸o viªn lu ý cho häc sinh c«ng thøc: S= 1 2 c¹nh ®¸y x chiÒu cao. Gi¶i Gäi ®é dµi c¹nh ®¸y lµ x (dm) (x > 0) Th× chiÒu cao lµ 3 x (dm) 4 Nªn diÖn tÝch lóc ®Çu lµ : 1 2 1 2 .x. 3 x (dm) 4 3 x+3) 4 DiÖn tÝch lóc sau lµ: (x-2)( Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: 1 (x - 2)( 3 x + 3) - 1 x. 3 x = 12 2 4 2 4 x = 20 (TM§K) VËy c¹nh ®¸y cã ®é dµi lµ 20dm. ChiÒu cao cã ®é dµi lµ 3 .20 = 15dm. 4 * BiÖn ph¸p 4: Lêi gi¶i bµi to¸n ph¶i ®¬n gi¶n. VÝ dô 4: Võa gµ võa chã Bã l¹i cho trßn Ba m¬i s¸u con Mét tr¨m ch©n ch½n Hái cã mÊy gµ, mÊy chã? (Bµi to¸n cæ ViÖt Nam) Gi¶i Gäi sè gµ lµ x (con) (x nguyªn d¬ng) Sè chã lµ 36 - x (con) Sè ch©n gµ lµ 2x (ch©n) Sè ch©n chã lµ 4(36 - x) (ch©n) Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: 2x + 4(36 - x) = 100 x = 22 VËy sè gµ lµ 22 con, sè chã lµ 14 con. Víi c¸ch gi¶i trªn, bµi to¸n ng¾n gän, dÔ hiÓu, phï hîp víi tr×nh ®é cña häc sinh. * BiÖn ph¸p 5: Lêi gi¶i ph¶i tr×nh bµy khoa häc. VÝ dô 5: ChiÒu cao cña mét tam gi¸c vu«ng b»ng 9,6m vµ chia c¹nh huyÒn thµnh 2 ®o¹n h¬n kÐm nhau 5,6m. TÝnh ®é dµi c¹nh huyÒn cña tam gi¸c. (§¹i sè 9) Tríc khi gi¶i cÇn kiÓm tra kiÕn thøc cña häc sinh ®Ó cñng cè c«ng thøc: AH2 = BH.CH Gi¶i Gäi ®é c¹nh BH lµ x (x > 0) §é dµi c¹nh CH lµ: x 5,6 (m) Ta cã pt: x(x + 5,6) = 9,62. x = 7,2 (TM§K) VËy ®é dµi c¹nh huyÒn lµ: 7,2 + 5,6 + 7,2 = 20 (m). * BiÖn ph¸p 6: Lêi gi¶i ph¶i râ rµng, ®Çy ®ñ, cã thÓ nªn thö l¹i. Gi¸o viªn cÇn rÌn cho häc sinh cã thãi quen sau khi gi¶i xong cÇn thö l¹i kÕt qu¶ vµ t×m hiÓu hÕt c¸c nghiÖm cña bµi to¸n, nhÊt lµ ®èi víi ph¬ng tr×nh bËc hai, hÖ ph¬ng tr×nh. VÝ dô 6: Mét tµu thuû ch¹y trªn khóc s«ng dµi 80km, c¶ ®i vµ vÒ mÊt 8 giê 20 phót. TÝnh vËn tèc tµu thuû khi níc yªn lÆng. BiÕt vËn tèc dßng níc lµ 4km/h. Gi¶i Gäi vËn tèc tµu thuû khi níc yªn lÆng lµ x (km/h) (x>0) VËn tèc tµu thuû khi xu«i dßng lµ x + 4 (km/h) VËn tèc cña tµu thuû khi ngîc dßng lµ x - 4 (km/h) Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: 80 80 25   x4 x 4 3  5x2 – 96x – 80 = 0 x1=  8 (kh«ng tho¶ m·n) 10 x2 = 20 (nhËn) VËy vËn tèc tµu thuû khi níc yªn lÆng lµ 20 km/h * Ph©n lo¹i c¸c bµi to¸n gi¶i b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh. 1/ Lo¹i bµi to¸n vÒ chuyÓn ®éng. 2/ Lo¹i bµi to¸n cã liªn quan ®Õn sè häc. 3/ Lo¹i bµi to¸n vÒ n¨ng suÊt lao ®éng. 4/ Lo¹i bµi to¸n vÒ tØ lÖ chia phÇn. 5/ Lo¹i bµi to¸n cã liªn quan ®Õn h×nh häc. 6/ Lo¹i to¸n vÒ c«ng viÖc lµm chung, lµm riªng. 7/ Lo¹i bµi to¸n cã néi dung LÝ, Ho¸. 8/ Lo¹i to¸n cã chøa tham sè. 9/ Lo¹i to¸n thèng kª, m« t¶. Gi¸o viªn híng dÉn häc sinh gi¶i mét sè bµi to¸n. 1. D¹ng to¸n chuyÓn ®éng: - Bµi to¸n 1: Qu·ng ®êng AB dµi 270km. Hai « t« cïng khëi hµnh mét lóc ®i tõ A ®Õn B. ¤ t« thø nhÊt ch¹y nhanh h¬n « t« thø hai 12km/h nªn ®Õn tríc « t« thø hai 42 phót. TÝnh vËn tèc mçi xe. (§¹i sè 9) Trong bµi to¸n nµy cÇn híng dÉn häc sinh x¸c ®Þnh ®îc vËn tèc cña mçi xe, tõ ®ã x¸c ®Þnh thêi gian ®i hÕt qu·ng ®êng cña mçi xe. Gi¶i Gäi vËn tèc xe thø nhÊt lµ x (km/h) (x > 12) VËn tèc xe thø hai lµ x - 12 (km/h) Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: 270 270  0,7 x  12 x x1 = -62,3 < 0 (lo¹i) x2 = 74, 3 (nhËn) VËy vËn tèc xe thø nhÊt lµ 74,3 km/h vËn tèc xe thø nhÊt lµ 62,3 km/h Trong bµi to¸n nµy, häc sinh cÇn ghi nhí c«ng thøc: S = v.t 2. D¹ng bµi to¸n liªn quan ®Õn sè häc: - Bµi to¸n 2: T×m sè cã 2 ch÷ sè. BiÕt r»ng nÕu thªm ch÷ sè 0 vµo gi÷a ch÷ sè hµng chôc vµ hµng ®¬n vÞ th× ®îc sè míi lín h¬n sè ban ®Çu 10. Vµ tæng ch÷ sè hµng chôc vµ hµng ®¬n vÞ lµ 7. Gi¶i Gäi ch÷ sè hµng chôc cña sè ®· cho lµ x (x  N*, 0 < x 7) Th× ch÷ sè hµng ®¬n vÞ lµ 7 - x Sè ®· cho cã d¹ng: x(7 - x) = 10x + 7 - x = 9x + 7 Sè míi cã d¹ng: x0(7 - x) = 100x + 7 - x = 99x + 7 Ta cã ph¬ng tr×nh: (99x + 7) - (9x + 7) = 180 x = 2 (TM§K) VËy sè ®· cho lµ 25. Gi¸o viªn lu ý: Víi d¹ng nµy häc sinh ph¶i hiÓu ®îc mèi liªn hÖ gi÷a c¸c ®¹i lîng, ®Æc biÖt gi÷a hµng ®¬n vÞ, hµng chôc, hµng tr¨m,… ab = 10a + b, abc = 100a + 10b + c 3. D¹ng to¸n vÒ n¨ng suÊt lao ®éng. - Bµi to¸n 3: Trong th¸ng ®Çu hai tæ s¶n xuÊt ®îc 400 chi tiÕt. Trong th¸ng sau, tæ 1 vît møc 10%, tæ 2 vît møc 15%, nªn c¶ hai tæ s¶n xuÊt ®îc 448 chi tiÕt m¸y. TÝnh xem trong th¸ng ®Çu tiªn mçi tæ s¶n xuÊt ®îc bao nhiªu chi tiÕt m¸y. Gi¶i C¸ch 1: Gäi x lµ sè chi tiÕt m¸y tæ 1 s¶n xuÊt ®îc trong th¸ng ®Çu (00) Gäi sè ngµy ®éi 2 lµm riªng söa xong con m¬ng lµ y ngµy (y>0) Trong 1 ngµy: §éi 1 lµm ®îc 1 (cv) x §éi 2 lµm ®îc 1 y (cv) 1 24 tr×nh: 1 x Hai ®éi lµm ®îc: (cv) Ta cã ph¬ng + 1 y = Do n¨ng suÊt ®éi 1 lµm b»ng 1 x 1 (1) 24 3 ®éi 2, 2 nªn ta cã ph¬ng tr×nh: = 3 . y (2) 2 Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ ph¬ng tr×nh: 1 1 1 1  x  y 24  x 40     1  3  y 60  x 2y 5. D¹ng to¸n cã néi dung LÝ, Ho¸. - Bµi to¸n: Cho mét lîng dung dÞch chøa 10% muèi. NÕu pha thªm 200g níc th× thu ®îc dung dÞch 6%. Hái cã bao nhiªu g dung dÞch ®· cho. (SGK 8). Gi¶i: Gäi khèi lîng dung dÞch ®· cho lµ x(g), (x>0). Lîng muèi trong dung dÞch lµ: 10 x  x ( g ) . 100 10 Lîng dung dÞch muèi lµ : x+200(g). x TØ sè gi÷a muèi vµ lîng dung dÞch míi lµ: Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: 10( x  200) x 6  10( x  200) 100 X=300(TM§K). VËy khèi lîng dung dÞch ®· cho lµ: 300g. Víi d¹ng nµy häc sinh ph¶i n¾m ®îc c¸c c«ng thøc cña VËt lý, Ho¸ häc, tõ ®ã lËp ph¬ng tr×nh, hÖ ph¬ng tr×nh. 6. D¹ng to¸n cã chøa tham sè. Mét h×nh trßn cã diÖn tÝch S = 3,14 R2.(R lµ b¸n kÝnh) a. Khi R t¨ng 2 lÇn th× S t¨ng mÊy lÇn. Khi R gi¶m 3 lÇn th× S gi¶m mÊy lÇn. b.Khi S t¨ng 4 lÇn th× R t¨ng mÊy lÇn. Khi S gi¶m 16 lÇn th× R gi¶m mÊy lÇn. Gi¶i Khi R1 = a th× S1 = 3,14 a2. a. NÕu R t¨ng 2 lÇn: R2 = 2R1 = 2a. S2 = 3,14 (2a)2 = 4.3,14a2 S2 = 4S1. VËy S t¨ng lªn 4 lÇn. b. NÕu S t¨ng lªn 4 lÇn tøc lµ S4 = 4S1.  3,14R42 = 4.3,14R1.  R4 = R1.  R t¨ng 2 lÇn. III. KÕt luËn: Trªn ®©y lµ nh÷ng d¹ng to¸n thêng gÆp ë ch¬ng tr×nh THCS 8, 9. Mçi d¹ng to¸n cã nh÷ng ®Æc ®iÓm kh¸c nhau, viÖc chia d¹ng trªn chñ yÕu dùa vµo lêi v¨n nhng chóng ®Òu chung nhau c¸c bíc gi¶i c¬ b¶n, ®ã lµ c¸c lo¹i ph¬ng tr×nh, hÖ ph¬ng tr×nh c¸c em ®· ®îc häc ë THCS. Nh÷ng vÝ dô trªn kh«ng cã ý lµ híng dÉn c¸ch gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh, hÖ ph¬ng tr×nh mµ chñ yÕu gîi ý gióp c¸c em x©y dùng ®îc ph¬ng tr×nh c¬ b¶n ®Ó khi gÆp ®îc c¸c d¹ng ®ã c¸c em biÕt c¸ch lµm. Trªn ®©y lµ mét sè ý kiÕn cña t«i vÒ rÌn luyÖn kü n¨ng b»ng gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh, hÖ ph¬ng tr×nh mµ c¸c em thêng gÆp. Tuy nhiªn cßn rÊt nhiÒu thiÕu sãt vµ h¹n chÕ, mong nhËn ®îc gãp ý cña c¸c ®ång nghiÖp ®Ó t«i cã mét ph¬ng ph¸p d¹y tèt h¬n n÷a, gióp häc sinh tiÕp thu bµi tèt h¬n. T«i xin ch©n thµnh c¸m ¬n! Giao Hµ, ngµy 30 th¸ng 9 n¨m 2005 Ngêi viÕt
- Xem thêm -