Chuyªn ®Ò:
RÌn kü n¨ng gi¶i bµi tËp to¸n
b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh - hÖ ph¬ng tr×nh
I/ §Æt vÊn ®Ò:
Nh chóng ta ®· biÕt, ngay tõ nh÷ng ngµy míi c¾p s¸ch ®Õn trêng, häc
sinh ®· ®îc gi¶i ph¬ng tr×nh. §ã lµ nh÷ng ph¬ng tr×nh rÊt ®¬n gi¶n díi d¹ng
®iÒn sè thÝch hîp vµo « trèng. §èi víi häc sinh líp cao th× tÝnh phøc t¹p cña
ph¬ng tr×nh còng dÇn ®îc n©ng lªn.
+ §èi víi líp 1, líp 2 th× ph¬ng tr×nh rÊt ®¬n gi¶n, thêng lµ díi d¹ng
®iÒn vµo « trèng:
+3=7
+ §èi víi häc sinh líp 3 th× ph¬ng tr×nh phøc t¹p h¬n:
x + 2 + 3 = 6.
+ §èi víi häc sinh líp 4, 5, 6 ph¬ng tr×nh cã d¹ng:
x:4=8:2
x x 5 + 8 = 33
(x – 12) x 8 = 16
TÊt c¶ c¸c lo¹i To¸n trªn, mèi quan hÖ gi÷a c¸c ®¹i lîng trong ®Ò to¸n
®îc g¾n kÕt víi nhau b»ng c¸c mèi quan hÖ to¸n häc. C¸c ®¹i lîng chØ lµ
nh÷ng con sè tù nhiªn bÊt kú. §Æc biÖt lµ c¸c ph¬ng tr×nh ®îc viÕt s½n häc
sinh chØ viÖc gi¶i ph¬ng tr×nh lµ hoµn thµnh nhiÖm vô.
§èi víi häc sinh líp 8, líp 9 trë lªn c¸c ®Ò to¸n vÒ gi¶i ph¬ng tr×nh
kh«ng cßn ®¬n gi¶n nh vËy n÷a mµ nã lµ c¸c d¹ng to¸n cã lêi, c¨n cø vµo cã
®Ó lËp ra ph¬ng tr×nh kÕt qu¶, ®¸p sè ®óng kh«ng chØ phô thuéc vµo kü n¨ng
gi¶i ph¬ng tr×nh mµ cßn phô thuéc vµo viÖc lËp ph¬ng tr×nh.
ViÖc gi¶i c¸c bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh ®èi víi häc sinh
THCS lµ mét viÖc lµm míi mÎ. §Ò bµi cho kh«ng ph¶i lµ nh÷ng ph¬ng tr×nh
cã s½n mµ lµ mét ®o¹n v¨n m« t¶ mèi quan hÖ gi÷a c¸c ®¹i lîng, häc sinh
ph¶i chuyÓn ®æi ®îc mèi quan hÖ gi÷a c¸c ®¹i lîng ®îc m« t¶ b»ng lêi v¨n
sang mèi quan hÖ to¸n häc. H¬n n÷a, néi dung cña c¸c bµi to¸n nµy, hÇu hÕt
®Òu g¾n bã víi c¸c ho¹t ®éng thùc tÕ cña con ngêi, x· héi hoÆc tù nhiªn,…
Do ®ã trong qu¸ tr×nh gi¶i häc sinh thêng quªn, kh«ng quan t©m ®Õn yÕu tè
thùc tiÔn dÉn ®Õn ®¸p sè v« lÝ. VD: Èn sè lµ con ngêi, ®å vËt, … ph¶i nguyªn
d¬ng nÕu t×m ra ®¸p sè ©m hoÆc kh«ng nguyªn lµ v« lÝ.
ChÝnh v× vËy, ngêi thÇy kh«ng chØ truyÒn thô cho häc sinh nh÷ng kiÕn
thøc nh trong SGK mµ cßn d¹y cho häc sinh c¸ch gi¶i bµi tËp. Ngêi thÇy khi
híng dÉn cho häc sinh gi¶i c¸c bµi to¸n d¹ng nµy ph¶i dùa trªn c¸c quy t¾c
chung lµ: yªu cÇu vÒ gi¶i mét bµi to¸n, quy t¾c gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp
ph¬ng tr×nh, ph©n lo¹i c¸c d¹ng to¸n, lµm s¸ng tá mèi quan hÖ gi÷a c¸c ®¹i lîng dÉn ®Õn lËp ®îc ph¬ng tr×nh dÔ dµng. §©y lµ bíc ®Æc biÖt quan träng vµ
khã kh¨n víi häc sinh.
II. Gi¶i quyÕt vÊn ®Ò.
Mét trong nh÷ng ph¬ng ph¸p híng dÉn häc sinh gi¶i bµi to¸n trªn lµ
dùa vµo quy t¾c chung. Néi dung cña quy t¾c gåm c¸c bíc:
- Bíc 1: LËp ph¬ng tr×nh (hÖ ph¬ng tr×nh)
+ Chän Èn, x¸c ®Þnh ®iÒu kiÖn cho Èn.
+ Dïng Èn sè vµ c¸c sè liÖu ®· biÕt ®Ó biÓu thÞ c¸c sè liÖu cã
liªn quan, dÉn gi¶i c¸c bé phËn thµnh ph¬ng tr×nh (hÖ ph¬ng tr×nh).
- Bíc 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh (hÖ ph¬ng tr×nh).
- Bíc 3: NhËn ®Þnh kÕt qu¶, thö l¹i, tr¶ lêi. MÆc dï cã quy t¾c trªn
song trong qu¸ tr×nh híng dÉn gi¶i bµi to¸n nµy cÇn cho häc sinh vËn dông
theo nh÷ng biÖn ph¸p sau:
* BiÖn ph¸p 1: Lêi gi¶i kh«ng ph¹m sai lÇm vµ kh«ng cã sai sãt nhá:
§Ó häc sinh kh«ng m¾c sai lÇm nµy ngêi gi¸o viªn ph¶i lµm cho häc
sinh hiÓu ®Ò to¸n vµ trong qu¸ tr×nh gi¶i kh«ng cã sai sãt vÒ kiÕn thøc, kü
n¨ng tÝnh. Gi¸o viªn ph¶i rÌn cho häc sinh cã thãi quen ®Æt ®iÒu kiÖn cho Èn
vµ ®èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn cña Èn xem cã thÝch hîp kh«ng?
VÝ dô 1: MÉu cña mét ph©n sè gÊp 4 lÇn tö sè cña nã. NÕu t¨ng c¶ tö
vµ mÉu lªn 2 ®¬n vÞ th× ®îc Ph©n sè 1 . TÝnh ph©n sè ®· cho.
2
(SGK §¹i sè 8)
Gi¶i
Gäi tö sè cña ph©n sè ®· cho lµ x (x>0;x N)
Th× mÉu sè cña ph©n sè lµ 4x.
Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh:
x2
1
.
4x 2 2
x = 1.
VËy tö sè lµ 1, mÉu sè lµ 4.
VËy ph©n sè ®ã lµ 1 .
4
* BiÖn ph¸p 2: Lêi gi¶i to¸n ph¶i cã c¨n cø chÝnh x¸c.
X¸c ®Þnh Èn phô ph¶i khÐo lÐo, mèi quan hÖ gi÷a Èn vµ d÷ kiÖn ®· cho
lµm næi bËt ®îc ý ph¶i t×m. Nhê mèi quan hÖ gi÷a c¸c ®¹i lîng trong bµi to¸n
thiÕt lËp ph¬ng tr×nh (hÖ ph¬ng tr×nh), tõ ®ã t×m ®îc gi¸ trÞ cña Èn sè. Muèn
vËy, ngêi gi¸o viªn ph¶i lµm cho häc sinh hiÓu ®îc ®©u lµ Èn? §©u lµ ®iÒu
kiÖn? Cã tho¶ m·n ®iÒu kiÖn hay kh«ng? Tõ ®ã cã thÓ x©y dùng ®îc c¸ch
gi¶i?
VÝ dô 2: Hai c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt h¬n kÐm nhau 4m. TÝnh chu vi
cña khu ®Êt ®ã nÕu biÕt S = 1200m2.
(SGK §¹i sè 9)
Bµi to¸n hái chu vi h×nh ch÷ nhËt. Häc sinh thêng lµ bµi to¸n hái g× th×
gäi lµ Èn. NÕu ë bµi to¸n nµy gäi chu vi h×nh ch÷ nhËt lµ Èn th× bµi to¸n khã
cã lêi gi¶i. Gi¸o viªn cÇn híng dÉn cho häc sinh ph¸t triÓn s©u trong kh¶
n¨ng suy diÔn: Muèn tÝnh chu vi h×nh ch÷ nhËt ta cÇn biÕt c¹nh cña h×nh ch÷
nhËt.
Gi¶i
Gäi chiÒu réng khu ®Êt h×nh ch÷ nhËt lµ x (m,x > 0)
Th× chiÒu dµi h×nh ch÷ nhËt lµ x + 4.
V× diÖn tÝch h×nh ch÷ nhËt lµ 1200m2. Ta cã ph¬ng tr×nh sau:
x(x + 4) = 1200
x2 + 4x – 1200 = 0
x1 = 30; x2 = -34 < 0 (lo¹i).
VËy chiÒu réng h×nh ch÷ nhËt lµ 30m.
ChiÒu dµi h×nh ch÷ nhËt lµ 34m.
VËy chu vi lµ 128m.
* BiÖn ph¸p 3: Lêi gi¶i ph¶i ®Çy ®ñ vµ mang tÝnh toµn diÖn.
Gi¸o viªn ph¶i híng dÉn häc sinh kh«ng ®îc bá sãt kh¶ n¨ng, chi tiÕt
nµo, rÌn luyÖn cho häc sinh c¸ch kiÓm tra l¹i lêi gi¶i xem ®Çy ®ñ cha.
VÝ dô 3: Mét tam gi¸c cã chiÒu cao b»ng 3 c¹nh ®¸y. NÕu chiÒu cao
4
t¨ng thªm 3dm, c¹nh ®¸y gi¶m ®i 2dm, th× diÖn tÝch t¨ng thªm 12dm2. TÝnh
chiÒu cao vµ c¹nh ®¸y.
Gi¸o viªn lu ý cho häc sinh c«ng thøc:
S=
1
2
c¹nh ®¸y x chiÒu cao.
Gi¶i
Gäi ®é dµi c¹nh ®¸y lµ x (dm) (x > 0)
Th× chiÒu cao lµ 3 x (dm)
4
Nªn diÖn tÝch lóc ®Çu lµ :
1
2
1
2
.x. 3 x (dm)
4
3
x+3)
4
DiÖn tÝch lóc sau lµ: (x-2)(
Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh:
1
(x - 2)( 3 x + 3) - 1 x. 3 x = 12
2
4
2
4
x = 20 (TM§K)
VËy c¹nh ®¸y cã ®é dµi lµ 20dm.
ChiÒu cao cã ®é dµi lµ 3 .20 = 15dm.
4
* BiÖn ph¸p 4: Lêi gi¶i bµi to¸n ph¶i ®¬n gi¶n.
VÝ dô 4:
Võa gµ võa chã
Bã l¹i cho trßn
Ba m¬i s¸u con
Mét tr¨m ch©n ch½n
Hái cã mÊy gµ, mÊy chã?
(Bµi to¸n cæ ViÖt Nam)
Gi¶i
Gäi sè gµ lµ x (con) (x nguyªn d¬ng)
Sè chã lµ 36 - x (con)
Sè ch©n gµ lµ 2x (ch©n)
Sè ch©n chã lµ 4(36 - x) (ch©n)
Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh:
2x + 4(36 - x) = 100
x = 22
VËy sè gµ lµ 22 con, sè chã lµ 14 con.
Víi c¸ch gi¶i trªn, bµi to¸n ng¾n gän, dÔ hiÓu, phï hîp víi tr×nh ®é
cña häc sinh.
* BiÖn ph¸p 5: Lêi gi¶i ph¶i tr×nh bµy khoa häc.
VÝ dô 5: ChiÒu cao cña mét tam gi¸c vu«ng b»ng 9,6m vµ chia c¹nh
huyÒn thµnh 2 ®o¹n h¬n kÐm nhau 5,6m. TÝnh ®é dµi c¹nh huyÒn cña tam
gi¸c.
(§¹i sè 9)
Tríc khi gi¶i cÇn kiÓm tra kiÕn thøc cña häc sinh ®Ó cñng cè c«ng
thøc:
AH2 = BH.CH
Gi¶i
Gäi ®é c¹nh BH lµ x (x > 0)
§é dµi c¹nh CH lµ: x 5,6 (m)
Ta cã pt: x(x + 5,6) = 9,62.
x = 7,2 (TM§K)
VËy ®é dµi c¹nh huyÒn lµ: 7,2 + 5,6 + 7,2 = 20 (m).
* BiÖn ph¸p 6: Lêi gi¶i ph¶i râ rµng, ®Çy ®ñ, cã thÓ nªn thö l¹i.
Gi¸o viªn cÇn rÌn cho häc sinh cã thãi quen sau khi gi¶i xong cÇn thö
l¹i kÕt qu¶ vµ t×m hiÓu hÕt c¸c nghiÖm cña bµi to¸n, nhÊt lµ ®èi víi ph¬ng
tr×nh bËc hai, hÖ ph¬ng tr×nh.
VÝ dô 6: Mét tµu thuû ch¹y trªn khóc s«ng dµi 80km, c¶ ®i vµ vÒ mÊt 8
giê 20 phót. TÝnh vËn tèc tµu thuû khi níc yªn lÆng. BiÕt vËn tèc dßng níc lµ
4km/h.
Gi¶i
Gäi vËn tèc tµu thuû khi níc yªn lÆng lµ x (km/h) (x>0)
VËn tèc tµu thuû khi xu«i dßng lµ x + 4 (km/h)
VËn tèc cña tµu thuû khi ngîc dßng lµ x - 4 (km/h)
Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh:
80
80
25
x4 x 4
3
5x2 – 96x – 80 = 0
x1= 8 (kh«ng tho¶ m·n)
10
x2 = 20 (nhËn)
VËy vËn tèc tµu thuû khi níc yªn lÆng lµ 20 km/h
* Ph©n lo¹i c¸c bµi to¸n gi¶i b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng
tr×nh.
1/ Lo¹i bµi to¸n vÒ chuyÓn ®éng.
2/ Lo¹i bµi to¸n cã liªn quan ®Õn sè häc.
3/ Lo¹i bµi to¸n vÒ n¨ng suÊt lao ®éng.
4/ Lo¹i bµi to¸n vÒ tØ lÖ chia phÇn.
5/ Lo¹i bµi to¸n cã liªn quan ®Õn h×nh häc.
6/ Lo¹i to¸n vÒ c«ng viÖc lµm chung, lµm riªng.
7/ Lo¹i bµi to¸n cã néi dung LÝ, Ho¸.
8/ Lo¹i to¸n cã chøa tham sè.
9/ Lo¹i to¸n thèng kª, m« t¶.
Gi¸o viªn híng dÉn häc sinh gi¶i mét sè bµi to¸n.
1. D¹ng to¸n chuyÓn ®éng:
- Bµi to¸n 1: Qu·ng ®êng AB dµi 270km. Hai « t« cïng khëi hµnh
mét lóc ®i tõ A ®Õn B. ¤ t« thø nhÊt ch¹y nhanh h¬n « t« thø hai 12km/h nªn
®Õn tríc « t« thø hai 42 phót. TÝnh vËn tèc mçi xe.
(§¹i sè 9)
Trong bµi to¸n nµy cÇn híng dÉn häc sinh x¸c ®Þnh ®îc vËn tèc cña
mçi xe, tõ ®ã x¸c ®Þnh thêi gian ®i hÕt qu·ng ®êng cña mçi xe.
Gi¶i
Gäi vËn tèc xe thø nhÊt lµ x (km/h) (x > 12)
VËn tèc xe thø hai lµ x - 12 (km/h)
Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh:
270
270
0,7
x 12
x
x1 = -62,3 < 0 (lo¹i)
x2 = 74, 3 (nhËn)
VËy vËn tèc xe thø nhÊt lµ 74,3 km/h
vËn tèc xe thø nhÊt lµ 62,3 km/h
Trong bµi to¸n nµy, häc sinh cÇn ghi nhí c«ng thøc: S = v.t
2. D¹ng bµi to¸n liªn quan ®Õn sè häc:
- Bµi to¸n 2: T×m sè cã 2 ch÷ sè. BiÕt r»ng nÕu thªm ch÷ sè 0 vµo
gi÷a ch÷ sè hµng chôc vµ hµng ®¬n vÞ th× ®îc sè míi lín h¬n sè ban ®Çu 10.
Vµ tæng ch÷ sè hµng chôc vµ hµng ®¬n vÞ lµ 7.
Gi¶i
Gäi ch÷ sè hµng chôc cña sè ®· cho lµ x (x N*, 0 < x 7)
Th× ch÷ sè hµng ®¬n vÞ lµ 7 - x
Sè ®· cho cã d¹ng: x(7 - x) = 10x + 7 - x = 9x + 7
Sè míi cã d¹ng: x0(7 - x) = 100x + 7 - x = 99x + 7
Ta cã ph¬ng tr×nh: (99x + 7) - (9x + 7) = 180
x = 2 (TM§K)
VËy sè ®· cho lµ 25.
Gi¸o viªn lu ý: Víi d¹ng nµy häc sinh ph¶i hiÓu ®îc mèi liªn hÖ gi÷a
c¸c ®¹i lîng, ®Æc biÖt gi÷a hµng ®¬n vÞ, hµng chôc, hµng tr¨m,…
ab = 10a + b,
abc = 100a + 10b + c
3. D¹ng to¸n vÒ n¨ng suÊt lao ®éng.
- Bµi to¸n 3: Trong th¸ng ®Çu hai tæ s¶n xuÊt ®îc 400 chi tiÕt. Trong
th¸ng sau, tæ 1 vît møc 10%, tæ 2 vît møc 15%, nªn c¶ hai tæ s¶n xuÊt ®îc
448 chi tiÕt m¸y. TÝnh xem trong th¸ng ®Çu tiªn mçi tæ s¶n xuÊt ®îc bao
nhiªu chi tiÕt m¸y.
Gi¶i
C¸ch 1:
Gäi x lµ sè chi tiÕt m¸y tæ 1 s¶n xuÊt ®îc trong th¸ng ®Çu (00)
Gäi sè ngµy ®éi 2 lµm riªng söa xong con m¬ng lµ y ngµy (y>0)
Trong 1 ngµy: §éi 1 lµm ®îc 1 (cv)
x
§éi 2 lµm ®îc
1
y
(cv)
1
24
tr×nh: 1
x
Hai ®éi lµm ®îc:
(cv)
Ta cã ph¬ng
+
1
y
=
Do n¨ng suÊt ®éi 1 lµm b»ng
1
x
1
(1)
24
3
®éi 2,
2
nªn ta cã ph¬ng tr×nh:
= 3 . y (2)
2
Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ ph¬ng tr×nh:
1
1 1 1
x y 24 x 40
1 3 y 60
x 2y
5. D¹ng to¸n cã néi dung LÝ, Ho¸.
- Bµi to¸n: Cho mét lîng dung dÞch chøa 10% muèi. NÕu pha thªm
200g níc th× thu ®îc dung dÞch 6%. Hái cã bao nhiªu g dung dÞch ®· cho.
(SGK 8).
Gi¶i:
Gäi khèi lîng dung dÞch ®· cho lµ x(g), (x>0).
Lîng muèi trong dung dÞch lµ: 10 x x ( g ) .
100 10
Lîng dung dÞch muèi lµ : x+200(g).
x
TØ sè gi÷a muèi vµ lîng dung dÞch míi lµ:
Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh:
10( x 200)
x
6
10( x 200) 100
X=300(TM§K).
VËy khèi lîng dung dÞch ®· cho lµ: 300g.
Víi d¹ng nµy häc sinh ph¶i n¾m ®îc c¸c c«ng thøc cña VËt lý, Ho¸
häc, tõ ®ã lËp ph¬ng tr×nh, hÖ ph¬ng tr×nh.
6. D¹ng to¸n cã chøa tham sè.
Mét h×nh trßn cã diÖn tÝch S = 3,14 R2.(R lµ b¸n kÝnh)
a. Khi R t¨ng 2 lÇn th× S t¨ng mÊy lÇn.
Khi R gi¶m 3 lÇn th× S gi¶m mÊy lÇn.
b.Khi S t¨ng 4 lÇn th× R t¨ng mÊy lÇn.
Khi S gi¶m 16 lÇn th× R gi¶m mÊy lÇn.
Gi¶i
Khi R1 = a th× S1 = 3,14 a2.
a. NÕu R t¨ng 2 lÇn: R2 = 2R1 = 2a.
S2 = 3,14 (2a)2 = 4.3,14a2 S2 = 4S1.
VËy S t¨ng lªn 4 lÇn.
b. NÕu S t¨ng lªn 4 lÇn tøc lµ S4 = 4S1.
3,14R42 = 4.3,14R1.
R4 = R1. R t¨ng 2 lÇn.
III. KÕt luËn:
Trªn ®©y lµ nh÷ng d¹ng to¸n thêng gÆp ë ch¬ng tr×nh THCS 8, 9. Mçi
d¹ng to¸n cã nh÷ng ®Æc ®iÓm kh¸c nhau, viÖc chia d¹ng trªn chñ yÕu dùa
vµo lêi v¨n nhng chóng ®Òu chung nhau c¸c bíc gi¶i c¬ b¶n, ®ã lµ c¸c lo¹i
ph¬ng tr×nh, hÖ ph¬ng tr×nh c¸c em ®· ®îc häc ë THCS. Nh÷ng vÝ dô trªn
kh«ng cã ý lµ híng dÉn c¸ch gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh, hÖ ph¬ng tr×nh mµ chñ yÕu
gîi ý gióp c¸c em x©y dùng ®îc ph¬ng tr×nh c¬ b¶n ®Ó khi gÆp ®îc c¸c d¹ng
®ã c¸c em biÕt c¸ch lµm.
Trªn ®©y lµ mét sè ý kiÕn cña t«i vÒ rÌn luyÖn kü n¨ng b»ng gi¶i bµi
to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh, hÖ ph¬ng tr×nh mµ c¸c em thêng gÆp. Tuy
nhiªn cßn rÊt nhiÒu thiÕu sãt vµ h¹n chÕ, mong nhËn ®îc gãp ý cña c¸c ®ång
nghiÖp ®Ó t«i cã mét ph¬ng ph¸p d¹y tèt h¬n n÷a, gióp häc sinh tiÕp thu bµi
tèt h¬n.
T«i xin ch©n thµnh c¸m ¬n!
Giao Hµ, ngµy 30 th¸ng 9 n¨m 2005
Ngêi viÕt
- Xem thêm -
.DOC 
7 
96 
142 
