Tài liệu Skkn khai thác và phát triển một bài toán hình học lớp 8

Khai th¸c vµ ph¸t triÓn mét bµi to¸n h×nh häc líp 8 1 PhÇn I : ®Æt vÊn ®Ò 1. Lý do chän ®Ò tµi: Qua nh÷ng n¨m trùc tiÕp gi¶ng d¹y, b¶n th©n t«i thÊy mét thùc tÕ hÇu hÕt c¸c em häc sinh sau khi gi¶i xong mét bµi to¸n lµ tá ra tho¶ m·n yªu cÇu. ThËm chÝ, c¶ ®èi víi mét sè häc sinh kh¸ giái, cã n¨ng lùc häc to¸n còng vËy. §iÒu ®ã thËt ®¸ng tiÕc. ChÝnh nã lµm t«i suy nghÜ vµ t×m tßi biÖn ph¸p ®Ó híng c¸c em h·y dµnh mét lîng thêi gian võa ®ñ ®Ó suy xÐt tiÕp mçi bµi to¸n mµ m×nh võa gi¶i xong. ViÖc híng dÉn c¸c em häc sinh theo híng khai th¸c, ph¸t triÓn ë mét bµi to¸n ®Ó trá thµnh mét “hä” cña bµi to¸n ®ã t©m ®¾c bëi c¸c em ®· ®îc tha hå ph¸t huy trÝ s¸ng t¹o cña m×nh, t×m tßi mäi gãc ®é xung quanh mét bµi to¸n ban ®Çu , qua ®ã c¸c em kh¾c s©u ®îc kiÕn thøc. Vµ ®iÒu quan träng h¬n c¶ lµ c¸ch híng dÉn nµy phï hîp víi ph¬ng ph¸p d¹y häc c¶i c¸ch míi hiÖn nay, c¸c em häc sinh lµ ngêi chñ ®éng s¸ng t¹o trong viÖc tiÕp thu kiÕn thøc, lµm chñ t×nh huèng, tõ ®ã cµng yªu thÝch m«n to¸n h¬n. ChÝnh v× thÕ t«i ®· chän: " Khai th¸c vµ ph¸t triÓn mét bµi to¸n" lµ kinh nghiÖm cña b¶n th©n vµ m¹nh d¹n ®a ra cïng ®ång nghiÖp trao ®æi nh»m n©ng cao chÊt lîng d¹y vµ häc. 2. Môc ®Ých: XuÊt ph¸t tõ mét thùc tÕ ®¸ng tiÕc cña häc sinh nh vËy nªn viÖc chän: " Khai th¸c vµ ph¸t triÓn mét bµi to¸n" nh»m gi¶i quyÕt thùc tÕ ®ã. NghÜa lµ lµm thÕ nµo ®Ó ngêi thÇy ®óng lµ ngêi tæ chøc chØ ®¹o vµ d¹y häc sinh c¸ch t duy ®Ó thùc hiÖn. D¹y häc sinh biÕt c¸ch tõ kiÕn thøc vèn cã, häc sinh ph¶i biÕt tù m×nh ph¸t triÓn ra thµnh nhiÒu bµi to¸n míi. ViÖc t¹o cho häc sinh biÕt c¸ch viÖc suy xÐt tiÕp mét bµi to¸n sau khi ®· gi¶i sÏ cã t¸c dông. - T×m ra híng gi¶i kh¸c (Vµ tõ ®ã sÏ cã ph¬ng ph¸p hay h¬n). - T×m ra nh÷ng bµi to¸n lµ "hä hµng" cña bµi to¸n ®· gi¶i. - T×m ra nh÷ng bµi to¸n "hay h¬n" khã h¬n tõ bµi to¸n ®· gi¶i .v.v. Víi gi¸o viªn th× ch¾c ch¾n ngoµi viÖc t×m ra mét "hä" c¸c bµi to¸n ra cßn cã ph¬ng ph¸p "thiÕt kÕ" mét bµi to¸n míi tõ mét bµi to¸n quen thuéc. ViÖc lµm Êy ch¼ng t¹o cho gi¸o viªn mét "ng©n hµng" bµi tËp sao ? §ã chÝnh lµ môc ®Ých cña kinh nghiÖm. Ngoµi ra ®Ó cã thªm c¸c bµi to¸n míi bµi to¸n A ta cã thÓ lµm nh sau: 2 + §Æc biÖt ho¸ mét sè ®iÒu kiÖn ®Ó tõ bµi to¸n A cã bµi to¸n míi. + Thay ®æi mét sè ®iÒu kiÖn trong gi¶ thiÕt ®Ó cã bµi to¸n míi. Tãm l¹i: NÕu sau khi gi¶i mét bµi to¸n, h·y dµnh mét lîng thêi gian ®ñ ®Ó suy xÐt nã nh×n nhËn l¹i nh÷ng g× ®· lµm vµ thùc hiÖn theo 3 híng trªn t«i nghÜ sÏ "Khai th¸c vµ ph¸t triÓn " ra mét "hä" c¸c bµi to¸n míi rÊt hay vµ cã gi¸ trÞ PhÇn II : gi¶i quyÕt vÊn ®Ò 1 - C¬ së lý luËn, thùc tr¹ng vµ ph¬ng ph¸p nghiªn cøu Chóng ta biÕt r»ng mçi mét sù viÖc, hiÖn tîng ®Òu do mét sè nguyªn nh©n sinh ra. Nªn khi ®iÒu kiÖn trong nguyªn nh©n thay ®æi th× kÕt qu¶ sÏ thay ®æi theo. Vµ còng cã thÓ tõ nh÷ng nguyªn nh©n Êy còng cã thÓ t¹o ra ®îc kÕt qu¶ míi. §iÒu Êy trong to¸n häc th× rÊt dÔ x¶y ra. Tõ mét sè ®iÒu kiÖn (gi¶ thiÕt - gt) hoÆc nh÷ng c¸i ®· biÕt ta ph¶i chØ ra nh÷ng kÕt qu¶ thu ®îc (kÕt luËn - kl). Nhng viÖc chØ ra ®îc kÕt qu¶ chØ lµ mét vÊn ®Ò yªu cÇu tríc m¾t cña bµi to¸n. Mµ rÌn luyÖn cho häc sinh cã thãi quen suy xÐt thªm nh÷ng g× sau khi gi¶i ®îc bµi tËp lµ hÕt søc quan träng. Ch¼ng h¹n: * Gi¶i xong bµi tËp ®ã c¸c em cßn cã thÓ chøng minh thªm ®îc nh÷ng g× ? ** H·y thay ®æi mét sè ®iÒu kiÖn trong gi¶ thiÕt th× thu ®îc nh÷ng bµi to¸n míi nµo ? *** H·y ®Æc biÖt ho¸ mét vµi ®iÒu kiÖn trong (gt) th× ®îc (kl) g× ? **** NÕu ®¶o l¹i th× bµi to¸n ®ã cã g× thay ®æi . v©n v©n vµ v©n v©n ... Cø nh vËy sau mçi bµi tËp h·y rÌn cho häc sinh cã thãi quen lµm ®îc mét sè c«ng viÖc Êy. T«i nghÜ ®ã lµ mét ph¬ng ph¸p tù häc cùc kú quan träng. 2. néi dung vµ BiÖn ph¸p thùc hiÖn: Bµi to¸n ban ®Çu. Ta h·y b¾t ®Çu tõ mét bµi to¸n quen thuéc Cho xOy = 900. Trªn Ox lÊy ®iÓm A cè ®Þnh sao cho OA = a. §iÓm B di ®éng trªn Oy. VÏ trong gãc xOy mét h×nh vu«ng ABCD. a) TÝnh kho¶ng c¸ch tõ D ®Õn Ox. b) T×m tËp hîp (qòy tÝch) ®iÓm D khi B di ®éng trªn Oy. Híng dÉn: 3 a) KÎ DH  Ox  H. Cã AHD vu«ng t¹i H nªn D1 + A1 = 1v . Mµ A2 = 1v  A1 + A3 = 1v. Suy ra: A3 = D1. y C D C' XÐt DHA vµ AOB D' 1 Cã: H = O = 1v, A3 = D1, DA = AB (c¹nh h×nh vu«ng) VËy DHA = AOB = (T/h. B»ng nhau ®Æc biÖt thø nhÊt cña tam gi¸c vu«ng) 2 B 3 O 1 A H x VËy: DH = OA = a b) Theo chøng minh trªn DH = a (const) H×nh 1 Khi B di ®éng trªn Oy th× D di ®éng theo nhng lu«n c¸ch Ox mét kho¶ng DH = a. VËy quü tÝch cña D thuéc ®êng th¼ng song song víi Ox vµ c¸ch Ox mét kho¶ng b»ng a. Giíi h¹n: Khi B  O th× H  A vµ D  D'. D' lµ mét ®iÓm thuéc ®êng th¼ng song song víi Ox vµ c¸ch Ox mét kho¶ng b»ng a, do A cè ®Þnh suy ra D' cè ®Þnh. KÕt luËn: Khi B di ®éng trªn Oy th× quü tÝch cña D lµ 1 tia D'z // Ox, D' c¸ch A mét kho¶ng b»ng a. Khai th¸c 1: Tõ lêi gi¶i trªn ta thÊy h×nh vu«ng OAD'C' lµ nhá nhÊt trong tËp c¸c h×nh vu«ng ABCD khi B di ®éng trªn Oy. Vµ ®¬ng nhiªn trong tËp c¸c h×nh vu«ng Êy th× diÖn tÝch h×nh vu«ng OAD'C' lµ cã gi¸ trÞ nhá nhÊt. Tõ suy xÐt ®ã ta cã bµi to¸n míi. 4 Bµi to¸n 1: Trong gãc xOy vu«ng t¹i O lÊy A thuéc tia Ox sao cho OA = a. Mét ®iÓm B di ®éng trªn Oy. VÏ trong gãc xOy h×nh vu«ng ABCD. X¸c ®Þnh vÞ trÝ ®iÓm D ®Ó SABCD lµ nhá nhÊt. Chøng minh y ThËt vËy SABCD = AB2 C Trong OAB cã O = 1v  AB > OA Do A cè ®Þnh, B di ®éng nªn AB  OA = a D D' C' 1 I I'  SABCD  a 2 Do ®ã SABCD = a2 lµ nhá nhÊt khi Êy B  O 2 B 3 O 1 A H x H×nh 2 Khai th¸c 2: Tõ kÕt qu¶ trªn ta suy ra h×nh vu«ng OAD'C' lµ cè ®Þnh b»ng c¹nh a. ThÕ th× OD' cè ®Þnh nªn trung ®iÓm I' lµ cè ®Þnh. VÊn ®Ò ®Æt ra lµ: NÕu B chuyÓn ®éng trªn Oy th× D chuyÓn ®éng trªn tia D'D. Khi ®ã trung ®iÓm I cña OD chuyÓn ®éng trªn ®êng nµo vµ ta cã bµi to¸n míi. Bµi to¸n 2: Cho gãc xOy b»ng 900. LÊy A trªn Ox sao cho OA = a, mét ®iÓm B di ®éng trªn Oy. Trong gãc xOy vÏ h×nh vu«ng ABCD. Gäi I lµ trung ®iÓm cña OD. T×m tËp hîp (qòy tÝch) ®iÓm I. Híng dÉn: (H×nh 2) Theo kÕt qu¶ trªn D' lµ giíi h¹n cña D vµ D' cè ®Þnh. Gäi I' lµ trung ®iÓm OD'  I' cè ®Þnh. Trong OD'D cã I'I lµ ®êng trung b×nh  I'I // D'D. Nªn quü tÝch I lµ tia I'I // Ox c¸ch Ox mét kho¶ng = 5 a 2 Khai th¸c 3: y Suy xÐt: (h×nh 3) Qua C kÎ ®êng th¼ng // Ox c¾t Oy t¹i Q c¾t DH t¹i P C Q P Theo trªn ta ®· chøng minh D ®îc AOB = DHA (C¹nh huyÒn gãc nhän)  OA = DH = a I OB = AH Nhng CQ // Ox  CQB = 1v  B CP = OA O A PD = OB y H×nh 3 H C P OHPQ lµ h×nh vu«ng D VËy OA + AH = DH + PD = CP Q+ CQ = BQ + OB hay OH = HP = PQ = QO Mµ QOA = 1v  C' x Ta cã bµi to¸n míi. I Bµi to¸n 3: Cho gãc xOy, trªn tia Ox lÊy ABsao cho OA = a, trªn Oy ®iÓm B di ®éng. Dùng trong gãc xOy h×nh vu«ng ABCD; qua C kÎ ®êng th¼ng // Ox, qua d kÎ ®êng O t¹i P vµ lÇn lît c¾t OyAt¹i Q,Hc¾t Ox t¹ix H. th¼ng // Oy. Hai ®êng th¼ng nµy c¾t nhau a) Chøng minh OHPQ lµ h×nh vu«ng b) Gäi I lµ trung ®iÓm AC, chøng minh O, I, P th¼ng hµng. y Tõ suy xÐt trªn dÔ dµng suy ra ®iÒu chøng minh. Khai th¸c 4: Suy xÐt tiÕp ta thÊy. Ta cã thÓ díi d¹ng C chuyÓn híng bµi to¸n P Q kh¸c. D NÕu ta coi h×nh vu«ng OHPQ lµ cè ®Þnh c¹nh = a Trªn c¸c c¹nh HO, OB, PQ, PH lÇn lît lÊy A, B, C, D sao cho OA = QB = PC = DH. TiÕp tôc: NÕu cho A di ®éng I 6B O A H x trªn OH vµ vÉn cha tho¶ m·n ABCD lµ h×nh vu«ng th× chu vi cña AOB cã gi¸ trÞ thay ®æi nh thÕ nµo. Cô thÓ cã quan hÖ g× víi a c¹nh h×nh vu«ng OHPQ. H×nh 4 ThËt vËy dÔ chøng minh ®îc AOB = DHA = CPD = BQC Tõ ®ã  ABCD lµ h×nh vu«ng AOB lu«n cã: AB < OA + OB Nhng OB = AH  AB < OA + AH = OH = a Do A, B còng chuyÓn ®éng vµ tho¶ m·n ABCD lµ h×nh vu«ng. Nªn khi A  H, B  O  AB = OH = a Do ®ã: OA + OB + AB  OH + OH = 2a VËy CAOB  2a (CAOB : chu vi AOB) (Chu vi cña AOB cã gi¸ trÞ lín nhÊt b»ng 2a). Ta cã bµi to¸n míi. Bµi to¸n 4: Cho h×nh vu«ng OHPQ c¹nh lµ a. Trªn c¸c c¹nh HO, OQ, QP, PH lÇn lît lÊy A, B, C, D sao cho OA = QB = PC = HD. a) Chøng minh: ABCD lµ h×nh vu«ng. b) Khi A chuyÓn ®éng trªn OH vµ tho¶ m·n ABCD lµ h×nh vu«ng vµ (A  O, A  H). Chøng minh CAOB < 2a. Tõ suy xÐt ta dÔ chøng minh ®îc ®iÒu nµy. Khai th¸c 5: 7 TiÕp tôc kh«ng dõng l¹i ta suy xÐt tiÕp. Ta lu«n cã OB + OA = OH = a kh«ng ®æi (vÉn néi dung bµi tËp 4). Nh vËy OA + OB = a (const) Suy ra OA.OB lín nhÊt khi OA = OB (Tæng 2 sè d¬ng kh«ng ®æi tÝch cña chóng lín nhÊt khi hai sè ®ã b»ng nhau). §Ó ý th× thÊy r»ng: OA. OB = 2SAOB (SAOB diÖn tÝch AOB) Mµ h×nh vu«ng OHPQ cã SOHPQ = a2 (SOHPQ lµ diÖn tÝch OHPQ) Vµ SOHPQ = SABCD + 4SAOB Hay SABCD = a2 - 4 SAOB NÕu SAOB lín nhÊt th× SABCD nhá nhÊt lµ SAOB nhá nhÊt th× SABCD lín nhÊt. Mµ SAOB lín nhÊt khi OA.OB lín nhÊt v× lý luËn trªn OA.OB lín nhÊt khi OA = OB. Tõ ®ã  OA = OB = OH 2 = a 2 . Hay A lµ trung ®iÓm OH, B lµ trung ®iÓm OQ ? Ta cã bµi to¸n míi. Bµi to¸n 5: Cho h×nh vu«ng OHPQ c¹nh lµ a. Trªn OH, OQ, QP, PH lÇn lît lÊy A, B, C, D sao cho OA = QB = PC = HD. C P Q a) Chøng minh ABCD lµ h×nh vu«ng. b) A chuyÓn ®éng trªn OH D (vÉn tho¶ m·n ABCD lµ h×nh vu«ng). X¸c ®Þnh vÞ trÝ A ®Ó SABCD lµ nhá nhÊt. T×m gi¸ trÞ ®ã. I B Híng dÉn: a) DÔ chøng minh ®îc: O A H H×nh 5 P AOB = DHA (c.g.c)  AB = AD Q C T¬ng tù CB = CD = AB D 8 I B VËy ABCD lµ h×nh thoi (1) L¹i cã: A1 = D1 mµ D1 + A2 = 1v  A + A2 = 1v (2) Tõ (1) (2)  ABCD lµ h×nh vu«ng. b) Ta cã SOHPQ = a2 Theo kÕt qu¶ trªn AOB = BQC = CPD = DHA (c.g.c)  SABCD = a2 - 4 SAOB = a2 - 2.OA.OB Do OA + OB = OA + AH (v× OB = AH)  OA + AH = OH = a Kh«ng ®æi nªn tÝch OA.OB lín nhÊt khi OA = OB = NghÜa lµ OA.OB  a 2 VËy SABCD  a2 - 2. a2 4 Do ®ã SABCD = a2 2 . a 2 = a2 4 = a2 - a2 2 = a 2 a2 2 lµ gi¸ trÞ nhá nhÊt khi ®ã: OA = OB = OH 2 Chøng tá A lµ trung ®iÓm cña OH. Khai th¸c 6: (H×nh 6) TiÕp theo suy xÐt 4 ta cã CAOB  2a VËy nÕu CAOB = 2a th× ®iÒu g× sÏ x¶y ra ? ThËt vËy: NÕu c¹nh h×nh vu«ng OHPQ lµ a vµ A, B chuyÓn ®éng trªn OH, OQ sao cho CAOB = 2a. Th×: OA + OB + AB = 2a (1) Nhng OQ + OH = 2a Hay OB + BQ + OA + AH = 2a(2) £ Tõ (1) (2)  AB = BQ + AH Trªn tia ®èi QB lÊy E sao cho QE = AH  BQ + QE = BQ + AH C Q 1 2 hay BE = BA L¹i cã PQE = PHA (c.g.c) 3 1 B P 4 D 2 9 K O A H Suy ra: PE = PA Do vËy PBE = PBA (c.c.c) Nªn B1 = B2. Trªn AB lÊy K sao cho BK = BQ (V× BA > BQ)  KA = AH Suy ra PBQ = PBK (c.g.c) (1) Nªn PQB = PKB (= 1v) H×nh 6  PQB = PHA = 1v vµ PK = PQ (PBQ = PBK) Nªn PK = PH  PAK = PAH (c.c.c) (2) Tõ (1)  P1 =P2 (2)  P3 = P4  P2 + P3 = P1 + P4 = QPH 2 = 450 Nh thÕ th×: Kh«ng cÇn nh÷ng yÕu tè trªn mµ chØ cÇn mét h×nh vu«ng OHPQ c¹nh b»ng a. Mét xPy quay quanh P, Px c¾t OH ë A; Py c¾t OQ ë B. Sao cho CAOB = 2a th× xPy = 450 Ta cã bµi to¸n míi. Bµi to¸n 6: Cho h×nh vu«ng OHPQ c¹nh b»ng a, mét gãc xPy quay quanh P. Tia Px, Py lÇn lît c¾t OH, OQ t¹i A, B tho¶ m·n chu vi AOB lµ 2a. Chøng minh xPy = 450 (Tõ suy xÐt trªn dÔ chøng minh ®îc bµi nµy). §Æc biÖt ho¸ bµi to¸n ta cã bµi to¸n sau: Cho h×nh vu«ng ABCD, c¹nh lµ sao cho chu vi AOB lµ 1. Chøng minh r»ng APB = 450 1 2 , tia Px c¾t OH t¹i A, tia Py c¾t OQ t¹i B, 10 Khai th¸c 7: (H×nh 7) P Q Suy xÐt tiÕp ta cã thÓ ®Æt ra vÊn ®Ò ngîc l¹i cña bµi to¸n 6 th× sao ? 1 450 B 2 1 2 y K O 1 2 A H 1 F H×nh 7 x NghÜa lµ: Cho h×nh vu«ng OHPQ c¹nh b»ng a, mét gãc xPy quay quanh P sao cho xPy = 450 vµ Px c¾t OH t¹i A, Py c¾t OQ t¹i B, th× chu vi cña AOB cã g× thay ®æi hay vÉn b»ng 2a. Suy luËn: Trªn tia ®èi tia HA lÊy F sao cho HF = QB  PQB = PHE (c.g.c) (H×nh vÏ 7) VËy PB = PF P1 = P2 Mµ P1 + BPH = 1v  P2 + BPH = 1v hay BPF = 1v v× BPA = 450  APF = 450  PAB = PAF (c.g.c)  A1= A2 Tõ P kÎ PK  AB  K  PAH = PAK (c¹nh huyÒn gãc nhän) Suy ra AK = AH L¹i cã B1 = F1 (PHF = PQB) B2 = F1 (PAB = PAF) Suy ra B1 = B2. VËy PBQ = PBK (c¹nh huyÒn gãc nhän) VËy BQ = BK Mµ CAOB = OA + OB + AB = OA + OB + BK + KA = OA + OB + BQ + AH 11 = OA + AH + OB + BQ = OH + BQ = a+a = 2a Nh vËy vÊn ®Ò ngîc l¹i cña bµi to¸n 6 vÉn ®óng. Tõ suy xÐt trªn dÔ chøng minh ®îc bµi to¸n nµy. H¬n n÷a ta l¹i chØ ra ®îc kho¶ng c¸ch tõ P ®Õn AB (®é dµi cña PK lu«n b»ng c¹nh h×nh vu«ng PQ kh«ng ®æi). Tõ ®ã ta cßn cã bµi to¸n míi. Bµi to¸n 7: Cho h×nh vu«ng OHPQ c¹nh a. Mét gãc xPy = 45 0 quay quanh P sao cho tia Px, Py lÇn lît c¾t OH, OQ t¹i A, B. a) Chøng minh AOB cã chu vi kh«ng ®æi. b) C¹nh AB lu«n lµ tiÕp tuyÕn cña mét ®êng trßn cè ®Þnh. Tõ suy xÐt trªn dÔ chøng minh ®îc bµi tËp nµy. Khai th¸c 8: Tõ c¸c kÕt qu¶ trªn ta ®i ®Õn kÕt luËn r»ng. Trong h×nh vu«ng OHPQ c¹nh b»ng a. Mét gãc xPy quay quanh P. Gäi Px c¾t OH ë A, gäi Py c¾t OQ t¹i B. NÕu: AB = AH + BQ (hay chu vi AOB kh«ng ®æi) th× xPy = 450 Vµ ngîc l¹i NÕu xPy = 450 Th×: AB = AH + BQ ( hay chu vi AOB lµ kh«ng ®æi ) Vµ c¶ hai trêng hîp trªn ta ®Òu chøng minh ®îc kho¶ng c¸ch cña P ®Õn AB lµ kh«ng ®æi. Ta cã thÓ thay c¸ch ph¸t biÓu cña bµi to¸n trªn. Bµi to¸n 8: 12 Cho h×nh vu«ng OHPQ c¹nh b»ng a. Mét ®êng th¼ng xy thay ®æi lu«n c¾t OH t¹i A, c¾t OQ t¹i B. a) Chøng minh r»ng: APB = 450 khi vµ chØ khi CAOB = 2a b) T×m quü tÝch ®iÓm K lµ h×nh chiÕu cña P trªn AB khi AB thay ®æi vµ APB = 450 Híng dÉn: a) Xem híng dÉn bµi to¸n 6 vµ bµi to¸n 7. b)  ThuËn: chøng minh trªn cã PK = PH = a (const) VËy khi APB quay quanh P th× K chuyÓn ®éng nhng lu«n c¸ch P mét kho¶ng kh«ng ®æi lµ a. VËy K  (P, a) Giíi h¹n: Khi A  O th× B  Q  K  Q A  H th× B  O  K  H VËy quü tÝch K lµ mét phÇn t ®êng trßn (P, a) n»m trong h×nh vu«ng OHPQ.  §¶o l¹i: Trªn mét phÇn t ®êng trßn (P, a) n»m trong h×nh vu«ng OHPQ lÊy mét ®iÓm K' bÊt kú. KÎ x'y'  PK' t¹i K', x'y' c¾t OH t¹i A' c¾t OQ t¹i B' ta ph¶i chøng minh OB' + OA' + A'B' = 2a. ThËt vËy: Cã COA'B' = OA' + A'B' + OB' Nhng A'B' = A'K' + K'B' (K  A'B') Vµ A'K' = A'H K'B' = B'Q (tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn)  CA'OB' = OA' + A'H + OB' + B'Q = OH + OQ = 2a Khai th¸c 9: (H×nh 8) TiÕp tôc suy xÐt thÊy khi A, B chuyÓn ®éng trªn 2 c¹nh OH, OQ cña h×nh vu«ng OHPQ c¹nh lµ a vµ tho¶ m·n chu vi AOB = 2a. Th× mét ®iÒu x¶y ra r»ng: 13 Khi A  H, B  O th× SOAB = O Khi A  O, B  Q th× SAOB = O Tãm l¹i khi xPy quay quanh P ®Ønh cña h×nh vu«ng OHPQ cã c¹nh lµ a vµ tho¶ m·n CAOB = 2a th× O  SAOB < SOHPQ (1) Nh vËy ta cã thÓ dù ®o¸n r»ng thÕ th× P Q SAPB cã thÓ cã gi¸ trÞ lín nhÊt kh«ng ? hay gi¸ trÞ cùc trÞ cña SAPB cã quan hÖ B víi gi¸ trÞ cùc trÞ cña SAOB nh thÕ nµo ? K ThËt vËy Theo c¸c kÕt qu¶ trªn ta ®· chøng minh O ®îc PBQ = PBK PAK = PAH A H×nh 8 Do ®ã: SAPB = 1 2 SABQPH Mµ SABQPH + SAOB = SOHPQ = a2  2SAPB + SAOB = a2  2SAPB = a2 - SAOB (*) Tõ (*) ta cã: SAPB lín nhÊt  SAOB nhá nhÊt (2) Tõ (1) (2)  SAOB nhá nhÊt = O VËy 2SAPB lín nhÊt = a2 - O Hay SAPB lín nhÊt = a2 2 Khi ®ã A  H vµ B  Q Ta cã bµi to¸n míi. Bµi to¸n 9: Cho h×nh vu«ng OHPQ. Mét gãc xPy quay quanh P gäi Px c¾t OH t¹i A. Py c¾t OQ t¹i B. Sao cho AB = BQ + AH X¸c ®Þnh vÞ trÝ A, B ®Ó SAPB ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. 14 H Híng dÉn: (Chøng minh theo híng suy xÐt trªn) Khai th¸c 10: P Q Suy xÐt tiÕp tõ gi¸ trÞ trªn ta thÊy. Gäi ®êng chÐo QH c¾t PA t¹i M 1 N c¾t PB t¹i N. Ta cã thÓ ph¸t triÓn bµi to¸n ®· cho B M thµnh bµi to¸n cho häc sinh líp 9 K khi ®· häc vÒ tø gi¸c néi tiÕp. O Bµi to¸n 10: H A 9 H×nh Cho h×nh vu«ng OHPQ c¹nh b»ng 1, mét gãc xPy quay quanh P sao cho CAOB = 2. Gäi QH lÇn lît c¾t PA ë M, PB ë N. LÊy K thuéc AB sao cho BK = BQ Chøng minh: BM, AN, PK ®ång qui. Híng dÉn: (H×nh 9) Tõ c¸c bµi to¸n trªn ta ®· cã kÕt luËn (vµ ®· chøng minh ®îc) NÕu CAOB = 2.OH  APB = 450 Mµ BQM = 450  BQPM néi tiÕp (Q 1= P1 P, Q cïng thuéc nöa mÆt ph¼ng cïng nh×n BM díi nh÷ng gãc b»ng nhau) VËy BQP + BMP = 2v E (tÝnh chÊt tø gi¸c néi tiÕp)  BMP = 1v hay BM  PA (1) P Q Chøng minh t¬ng tù: B AHPN néi tiÕp 1 N 2  ANP = 1v hay AN  PB (2) Do BK = BQ  OB + BK = 1 M K 15 O A H×nh 10 H Mµ CAOB = 2  OA + KA = 1 Chøng tá AK = AH Trªn tia ®èi tia QB lÊy E sao cho QE = AH  AHP = EQP (c.g.c)  P1 = P2 Nªn APE = 1v  BPE = 450 VËy PBE = PBA (c.g.c)  B1 = B2 VËy PBQ = PBK  BQP = BKP mµ BQP = 1v Nªn BKP = 1v hay PK  AB (3) Tõ (1) (2) (3)  BM, AN, PJ lµ ba ®êng cao cña ABP nªn nã ®ång quy (H×nh 10) Khai th¸c 11: Tõ kÕt qu¶ cña khai th¸c 10 ta suy xÐt tiÕp thÊy. BMP vu«ng c©n M  BP  2 MP AMP vu«ng c©n t¹i A  Suy ra AP  2 NP PA.PB 2 PM .PN Ta cã bµi tËp míi. Bµi to¸n 11: Cho h×nh vu«ng OHPQ c¹nh lµ 1. Trªn OH, OQ lÇn lît lÊy A,B chuyÓn ®éng sao cho chu vi AOB = 2. Gäi QH lÇn lît c¾t PA, PB t¹i M, N. Chøng minh r»ng: PA.PB = 2PM.PN Híng dÉn: Tõ suy xÐt ta suy ra c¸ch chøng minh bµi tËp. Khai th¸c 12: §Ó khã thªm mét chót ta cã thÓ ph¸t triÓn thªm mét vÊn ®Ò trong tam gi¸c bÊt kú. A Cho ABC kÎ AH  BC = H 16 B H C Nªn SABC = 1 2 AH. BC Nhng trong AHB th× AH = AB. SinB VËy SABC = 1 2 H×nh 11 AB.BC. SinB (*) Do ®ã trong gi¶ thiÕt trªn (bµi tËp 11) Ta ¸p dông c«ng thøc (*) cã: SABP = 1 2 PA.PB. SinP SMPN = 1 2 PM.PN . SinP LËp tû sè cã S ABP PA.PB  2 S MPN PM .PN Ta cã bµi tËp míi. Bµi to¸n 12: Cho h×nh vu«ng OHPQ c¹nh lµ 1. Trªn OH, QO lÇn lît lÊy A, B cïng chuyÓn ®éng vµ tho¶ m·n chu vi AOB b»ng 2. Gäi QH lÇn lît c¾t PA, PB t¹i M, N. Chøng minh SPAB = 2SPMN. Khai th¸c 13: (H×nh 12) Cø tiÕp tôc nh vËy ta suy xÐt tiÕp. Ch¼ng h¹n ta cho A chuyÓn ®éng trªn c¹nh h×nh vu«ng OHPQ vµ ®Õn vÞ trÝ lµ trung ®iÓm OH. Th× B sÏ chuyÓn ®éng ®Õn P ®iÓm nµo ? C¸ch Q bao nhiªu. Khi APB = 450. Q 1 ThËt vËy: I 2 B KÎ tia Px PB c¾t OH ë E  P1 = P 2  PHE = PQB (g.c.g)  PB = PE H×nh 12 L¹i cã BPE = 90 vµ APB = 45 0 0  APE = 450  PAB = PAE  SPAB = SPAE KÎ AI  PB  I 17 O A H E Hay PB. AI = PH. AE  AI2. PB2 = PH2. AE2 Gäi BQ = x  HE = x (Do PHE = PQB) Trong API v«ng c©n t¹i I  AI = 2 PA 2 2 Trong PHA vu«ng t¹i H  PA = a + 2 2 (1) a 2 5a 2  4 4 (V× gi¶ sö A  trung ®iÓm OH)  AH = Tõ (1) (2)  AI2 = (2) a 2 5a 2 8 Trong PQB vu«ng t¹i Q  PB2 = a2 + x2 2 2 x VËy AI2. PB2 = 5a (a  x ) Mµ AE = AH + HE = 8 Do ®ã 5a 2 ( a 2  x x ) a  a 2   x  8 2  a 2 +x 2 2 5a2(a2 + x2) = 8a2 (a  2 x) = 2a2(a + 2x)2 4 5(a + x ) = 2(a + 4x + 4ax) 5a2 + 5x2 = 2a2 + 8x2 + 8ax 3x2 + 8ax - 3a2 = 0 Cã A = 3 ; B' = 4a, C = -3a2 2 2 2 2 ' = 16a2 + 9a2 = 25a2 do a > 0 (®é dµi c¹nh h×nh vu«ng) Nªn x1 = x2 =  4a  5a 1  a 3 3 (tho¶ m·n)  4 a  5a  3a 3 §iÒu nµy chøng tá QB = (Lo¹i) 1 3 OQ = 1 3 a B»ng suy xÐt trªn ta ®i ®Õn bµi to¸n míi: Bµi to¸n 13: Trong h×nh vu«ng OHPQ c¹nh b»ng a. Trªn OH lÊy trung ®iÓm A, mét gãc APx = 450. Tia Px c¾t OQ t¹i B. Chøng minh: OQ = 1 3 a 18 Híng dÉn: B»ng suy luËn trªn ta dÔ chøng minh ®îc ®iÒu nµy. Cø tiÕp tôc suy xÐt nh vËy ta cßn cã thÓ ph¸t triÓn thªm ®îc nh÷ng bµi to¸n míi tõ bµi to¸n quen thuéc.VËy víi bµi to¸n sau c¸c b¹n h·y suy xÐt vµ ph¸t triÓn mµ xuÊt ph¸t tõ bµi to¸n ban ®Çu. Bµi to¸n: Cho h×nh vu«ng OHPQ c¹nh b»ng a. Trªn OH lÊy A lµ trung ®iÓm trªn OQ lÊy B sao cho QB = a . 3 Chøng minh r»ng APB = 450. 3. KÕt qu¶ ®¹t ®îc 1. KÕt qu¶ chung: Sau khi häc sinh ®îc thùc hµnh gi¶i bµi tËp theo híng tÝch cùc “ Khai th¸c vµ ph¸t triÓn” mét bµi to¸n, ®a sè c¸c em häc sinh kh¸, giái kh«ng nh÷ng n¾m v÷ng c¸ch gi¶i mét bµi to¸n mµ cßn biÕt khai th¸c theo nhiÒu híng kh¸c nhau. Bªn c¹nh ®ã nh»m t¹o cho häc sinh biÕt ®îc viÖc suy xÐt tiÕp mét bµi to¸n sau khi ®· gi¶i sÏ cã t¸c dông: - T×m ra híng gi¶i kh¸c (Vµ tõ ®ã sÏ cã ph¬ng ph¸p hay h¬n). - T×m ra nh÷ng bµi to¸n lµ "hä hµng" cña bµi to¸n ®· gi¶i. - T×m ra nh÷ng bµi to¸n "hay h¬n" khã h¬n tõ bµi to¸n ®· gi¶i .v.v. 2. KÕt qu¶ cô thÓ, ®èi chøng Trªn ®©y lµ mét sè híng gi¶i quyÕt khai th¸c vµ ph¸t triÓn cña mét bµi to¸n . Qua thùc tÕ gi¶ng d¹y, khi kiÓm tra 10 em häc sinh kh¸, giái líp 8 trong ®éi tuyÓn häc sinh giái cña trêng so s¸nh kÕt qu¶ tríc vµ sau khi ¸p dông kinh nghiÖm trªn, t«i thÊy cã kÕt qu¶ râ rÖt KÕt qu¶ cô thÓ nh sau: Tríc khi Kü n¨ng ¸p dông Sau khi ¸p dông 19 30% 70% 30% 80% 30% 70% 40% 80% NhËn d¹ng vµ gi¶i quyÕt ®îc c¸c bµi to¸n chøng minh mét ®¼ng thøc mµ mçi vÕ lµ mét tÝch cña c¸c ®o¹n th¼ng, hay mçi vÕ lµ diÖn tÝch cña mét h×nh 40% 80% T×m ®îc lêi gi¶i c¸c bµi to¸n cã néi dung ®Æc biÖt, cã néi dung phøc hîp, vËn dông c¸ch gi¶i linh ho¹t 20% 60% NhËn d¹ng vµ gi¶i quyÕt ®îc c¸c bµi to¸n t×m tËp hîp ®iÓm (quü tÝch) NhËn d¹ng vµ gi¶i quyÕt ®îc c¸c bµi to¸n t×m ®iÒu kiÖn ®Ó mét tø gi¸c ®Æc biÖt cã diÖn tÝch lín nhÊt hay nhá nhÊt, tam gi¸c cã chu vi kh«ng ®æi, chøng minh mét gãc b»ng mét gãc cho tríc, ®o¹n th¼ng b»ng nhau NhËn d¹ng vµ gi¶i quyÕt ®îc c¸c bµi to¸n chøng minh ba ®iÓm th¼ng hµng, c¸c ®êng th¼ng ®ång quy, NhËn d¹ng vµ gi¶i quyÕt ®îc c¸c bµi to¸n chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh vu«ng, chøng minh mét ®iÓm lµ trung ®iÓm cña mét ®o¹n th¼ng 4. Bµi häc kinh nghiÖm: Sau khi thu ®îc kÕt qu¶ trªn t«i thÊy ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n nãi trªn kh«ng qua khã ®èi víi häc sinh kh¸, giái mµ ®iÒu quan träng nhÊt lµ rÌn cho c¸c em mét thãi quen t×m tßi khoa häc, cã th¸i ®é hµo høng, say mª ph¸t triÓn vµ khai th¸c triÖt ®Ó méi bµi to¸n. Ngoµi ra ®Ó cã thªm c¸c mèi quan hÖ cña mét bµi to¸n nµo ®ã víi bµi to¸n A ta cã thÓ lµm c¸c phÐp: + §Æc biÖt ho¸ mét sè ®iÒu kiÖn ®Ó tõ bµi to¸n A cã bµi to¸n míi. + Thay ®æi mét sè ®iÒu kiÖn trong gi¶ thiÕt ®Ó cã bµi to¸n míi. Sau khi gi¶i mét bµi to¸n, h·y dµnh mét lîng thêi gian ®ñ ®Ó suy xÐt nã nh×n nhËn l¹i nh÷ng g× ®· lµm vµ thùc hiÖn ®Ó t×m ra c¸c bµi to¸n míi rÊt hay vµ cã gi¸ trÞ 5. Ph¹m vi ¸p dông 20