Skkn hướng phát triển tư duy qua bài toán hình học

  • Số trang: 17 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 12 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 24000 tài liệu

Mô tả:

Hướng Phát Triển Tư Duy Qua Bài Toán Hình Học Kinh NghiÖm phÇn I : ®Æt vÊn ®Ò K hi gi¶i hoµn thµnh mét bµi to¸n nãi chung vµ mét bµi to¸n h×nh nãi riªng. C¸c em häc sinh thêng tháa m·n nh÷ng g× ®· lµm ®îc. RÊt Ýt em cßn tr¨n trë suy nghÜ tiÕp nh : a, Cßn cã thÓ gi¶i b»ng c¸ch nµo n÷a kh«ng ? Cßn cã thÓ tr×nh bÇy ng¾n gän h¬n n÷a kh«ng ? b, Còng gi¶ thiÕt Êy th× cßn kÕt luËn ( Chøng minh) ®îc nh÷ng g× n÷a. c, Vµ cuèi cïng nÕu thay ®æi mét hay vµi ®iÒu kiÖn cña gi¶ thiÕt. Th× kÕt luËn míi thu ®îc cã g× ®Æc biÖt . Râ rµng nÕu tù gi¸c lµm ®îc nh÷ng c«ng viÖc Êy sau khi gi¶i mét bµi to¸n h×nh th× v« cïng cã ý nghÜa. Nã t¹o ra cho c¸c em mét thãi quen tèt sau khi gi¶i quyÕt xong mét c«ng viÖc nh»m ®¸nh gi¸ nhËn xÐt ®óng møc, nh÷ng g× ®· lµm, nh÷ng g× cha lµm ®îc. §Ó tõ ®ã rót ra bµi häc bæ Ých cho chÝnh m×nh. ThiÕt nghÜ ®ã còng lµ mét c¸ch häc, c¸ch hiÓu bµi thªm s©u s¾c h¬n, c¸ch häc cã tÝnh chñ ®éng vµ s¸ng t¹o h¬n. Tuy nhiªn trong thùc tÕ ®a sè häc sinh cha cã thãi quen lµm nh vËy, mµ nÕu cã còng chØ lµ h×nh thøc mµ th«i. Do vËy lµ ngêi gi¸o viªn d¹y to¸n cÇn ph¶i híng dÉn cho häc sinh thêng xuyªn thùc hiÖn c«ng viÖc nµy, ®Æc biÖt lµ c¸c em cã n¨ng lùc vÒ bé m«n. Tõ suy nghÜ Êy t«i ®· tr¨n trë vµ m¹nh d¹n ®a ra mét híng: ‘Ph¸t triÓn bµi to¸n h×nh”. Nh»m gióp c¸c em t¹o ra mét thãi quen tèt sau khi gi¶i mét bµi to¸n , ®ång thêi gióp c¸c em yªu thÝch bé m«n to¸n cã thªm ®iÒu kiÖn ®Ó ph¸t triÓn thªm vÒ n¨ng lùc t duy ... Cïng ®ång nghiÖp tham kh¶o trong c¸ch tù "ThiÕt kÕ" ra nh÷ng bµi tËp míi tõ nh÷ng bµi tËp ®· biÕt. 1 Hướng Phát Triển Tư Duy Qua Bài Toán Hình Học Kinh NghiÖm phÇn II : néi dung I/ C¬ së lý luËn Chóng ta ®· biÕt: Trong ch¬ng tr×nh to¸n 7 bé m«n h×nh häc, c¸c em ®· ®îc lµm quen víi mét ®Þnh lý vÒ tÝnh chÊt ba ®êng trung tuyÕn trong tam gi¸c. §Þnh lý: Trong mét tam gi¸c ba ®êng trung tuyÕn cïng ®i qua mét ®iÓm, kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm Êy ®Õn mçi ®Ønh cã ®é dµi b»ng 2/3 ®é dµi trung tuyÕn kÎ tõ ®Ønh ®ã . VÒ phÇn chøng minh ®Þnh lÝ SGK - HH7 ®· chøng minh cô thÓ. Tuy nhiªn t«i còng m¹nh d¹n ®a ra mét c¸ch chøng minh kh¸c, trªn c¬ së ®ã ta cßn suy xÐt tiÕp bµi to¸n: Chøng minh: A C1 B G B1 A1. C Gi¶ sö ta gäi AA1 , BB1, CC1 . Lµ c¸c trung tuyÕn cña tam gi¸c ABC. ( A1, B1, C1 lÇn lît lµ trung ®iÓm cña BC, CA, AB ). Ta ph¶i chøng minh AA1 , BB1, CC1 cung ®i qua mét ®iÓm. ThËt vËy : Gäi AA1 c¾t BB1 t¹i G. (Ta kÝ hiÖu S lµ diÖn tÝch SABC : ®äc lµ diÖn tÝch cña tam gi¸c ABC ). Ta lu«n cã: SABC 1= SACA1 ( Hai tam gi¸c cã chung ®êng cao h¹ tõ A vµ ®¸y BA1 = CA1 nªn diÖn tÝch cña chóng b»ng nhau). Tõ chøng minh nµy ta cã kÕt luËn: “Trong mét tam gi¸c ®êng trung tuyÕn chia tam gi¸c ®ã thµnh hai phÇn cã diÖn tÝch b»ng nhau vµ b»ng 1 2 diÖn tÝch tam gi¸c Êy”(*) Tõ kÕt luËn (*) ta suy ra: SAC A1= SBC B1 (= 1 SABC ) 2 2 Hướng Phát Triển Tư Duy Qua Bài Toán Hình Học Kinh NghiÖm Nhng: S ACA1= SGAB1 + S GA1C B1 S BC B1= SGBA1 + S G A1C B1 VËy : S GAB1 = SGBA1 ( 1 ) L¹i ¸p dông kÕt luËn (*) th× : SGAB1 = SGC B1 ( = SGBA1 = SGC A1 ( = 1 S GAC ) 2 1 S GBC ) 2 (2) Tõ (1), (2) Suy ra : S GAB1 = S GC B1 =S GC A1 ThÕ th× : S GAC = 2 . SACA1 3 Nhng l¹i cã  GAC,  ACA1 cã chung ®é dµi ®êng cao h¹ tõ C, gäi lµ h ch¼ng h¹n. VËy ta cã : 1 2 GA . h = 1 2 AA1 .h Suy ra: T¬ng tù chøng minh trªnta còng AG 2  (3) AA1 3 BG 2  cã : BB1 3 B©y giê ta gi¶ sö AA1 c¾t CC1 t¹i G' . Chøng minh t¬ng nh vËy tù ta còng cã : AG ' 2  AA1 3 (4) Tõ (3) vµ (4) . Suy ra AG' = AG v× ABC x¸c ®Þnh nªn G' trïng víi G. Chøng tá r»ng : Ba ®êng trung tuyÕn cña mét tam gi¸c cïng ®i qua mét ®iÓm, kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm ®ã ®Õn mçi ®Ønh b»ng 2 ®é dµi trung 3 tuyÕn kÎ tõ ®Ønh ®ã. ( Giao ®iÓm ®ã gäi lµ träng t©m cña tam gi¸c) ( Chó ý: C¸ch gi¶i trªn hoµn toµn phï hîp víi häc sinh líp 7. Bëi ë bËc tiÓu häc c¸c em ®· häc c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch cña mét sè h×nh trong ®ã cã Tam gi¸c). NÕu ta dõng l¹i ë ®©y th× ch¼ng nãi lµm g×. §iÒu ®ã còng cã thÓ ®îc bëi bµi tËp ®· gi¶i quyÕt xong. Tuy nhiªn ®· tr×nh bµy ë trªn, viÖc híng dÉn cho häc sinh cÇn ph¶i cã mét thêi gian phï hîp ®ñ ®Ó nh×n nhËn, ®¸nh gi¸ nh÷ng c¸i ®· lµm ®îc, cha lµm ®îc, ë c¸c gãc ®é kh¸c ch¼ng h¹n: Bµi to¸n cßn cã thÓ gi¶i quyÕt theo híng nµo hay h¬n kh«ng ? Bµi to¸n nµy nÕu gi÷ nguyªn gi¶ thiÕt Êy th× cßn kÕt luËn thªm ®îc g× n÷a? Bµi to¸n nµy nÕu ®Æc biÖt hãa gi¶ thiÕt (vµ ngîc l¹i tæng qu¸t hãa gi¶ thiÕt) mét sè ®iÒu kiÖn ( nÕu ®îc) th× thu ®îc nh÷ng kÕt luËn míi nµo? ... 3 Hướng Phát Triển Tư Duy Qua Bài Toán Hình Học Kinh NghiÖm Riªng hai vÊn ®Ò trªn t«i chØ nªu ra cã tÝnh chÊt lµm vÝ dô dµnh cho b¹n ®äc. Cßn néi dung chñ yÕu cña Kinh nghiÖm nµy t«i suy nghÜ vµ ®a ra mét híng “ Ph¸t triÓn “. §ã lµ néi dung híng thø ba II. Néi dung biÖn ph¸p Quay l¹i bµi to¸n ta ®· chøng minh ®îc: Trong Tam gi¸c ABC c¸c trung tuyÕn AA1,,BB1 , CC1 cïng ®i qua mét ®iÓm G vµ: Nh vËy th×: GA GB GC 2    AA1 BB1 CC1 3 GA GB GC 2    AA1 BB1 CC1 3 GA1 GB1 GC1 1 1 1      1 AA1 BB1 CC1 3 3 3 Do ®ã: (5) Ph¸t triÓn I: Tõ bµi to¸n suy xÐt thªm ta thÊy: Tuy Tam gi¸c ABC lµ bÊt kú nhng AA1,,BB1 , CC1 Lµ ba trung tuyÕn cña Tam gi¸c - Lµ ba ®êng ®Æc biÖt, nªn G cã tÝnh chÊt ®Æc biÖt nh vËy nghÜa lµ do ®ã mµ ta cã ®¼ng thøc ( 5). B©y giê chuyÓn sù ®Æc biÖt hãa thµnh kh¸i qu¸t r»ng: Gi¶ sö c¸c ®êng AA1,,BB1 , CC1 lµ bÊt kú cña Tam gi¸c ABC vµ cïng ®i qua mét ®iÓm K bÊt kú n»m trong trong  ABC. §¼ng thøc (5) cã g× thay ®æi theo . ThËt vËy: Cho K lµ mét ®iÓm bÊt kú cña  ABC ( K n»m trong  ABC). Gäi AK, BK, CK lÇn lît c¾t BC, CA, AB ë A1,,B1 , C1. A B1 C1 B H H1 C A1 Ta gäi S lµ diÖn tÝch  ABC, S1 lµ diÖn tÝch Tam gi¸c KBC ,S2 lµ dt  KCA ,S3 lµ dt  KAB vµ ha ,hb ,hc lµ ®é dµi ®êng cao cña  ABC øng víi c¹nh :BC, CA , AB gäi h1, h2, h3 lÇnlît lµ ®é dµi ®êng cao cña  KBC,  KCA ,  KAB h¹ tõ K ta cã: S= 1 2 BC.ha = 1 2 CA. hb = 1 2 AB.hc (6) 4 Hướng Phát Triển Tư Duy Qua Bài Toán Hình Học Kinh NghiÖm S1 = 1 2 BC.h1 , S2 = 1 CA.h2 , S3= Tõ (6) vµ (7) ta cã 2 S1 h1  S ha 1 AB.h3 (7) . 2 S h S 2 h2  ; 3  3. S hb S hc ; TiÕp tôc kÎ AH vu«ng gãc víi BC t¹i H , KH1 vu«ng gãc víi BC t¹i H1 . Suy ra trong  AHA1 cã AH // KH1 ( cïng v«ng vãi gãc BC). KH 1 KA1  AH AA1 KA1 h  1 AA1 ha VËy ta cã : Do ®ã: hay ( Do ta gäi ha lµ ®é dµi ®êng cao cña  ABC øng víi c¹nh BC h1lµ ®é dµi ®êng cao cña  KBC h¹ tõ K ). Do ®ã KB1 S 2  BB1 S T¬ng tù ta còng cã: Tõ ®ã suy ra: , KA1 S1  AA1 S . KC1 S 3  CC1 S KA1 KB1 KC1 S1 S 2 S 3 S1  S 2  S 3       AA1 BB1 CC1 S S S S . Nhng S1 +S2 + S3 = SKBC + SKcA +SKAB = SABC = S. VËy S1 + S2 + S3 S = =1 S S Chøng tá r»ng : KA1 KB1 KC1 S    1 AA1 BB1 CC1 S So s¸nh (5) vµ (5.1) ta thÊy r»ng chØ cÇn ®iÒu kiÖn ba ®êng th¼ng bÊt kú ®i qua ba ®Ønh cña tam gi¸c vµ ®ång qui t¹i mét ®iÓm (*) th× ®¼ng thøc ( 5) vÉn ®óng. Nhng râ rµng gi¶i ®îc bµi to¸n nµy møc ®é ®ßi hái sù hiÓu biÕt cña häc sinh ph¶i cao h¬n nhiÒu tõ ®ã ta cã bµi to¸n míi: Bµi to¸n I : Cho K lµ mét ®iÓm bÊt kú trong  ABC gäi AK, BK, CK lÇn lît c¾t BC, CA, AB t¹i A1, B1, C1 .Chøng minh r»ng: KA1 KB1 KC1 S    1 AA1 BB1 CC1 S TiÕp tôc kh«ng dõng l¹i ë ®©y, ta l¹i suy xÐt thªm bµi to¸n t¬ng tù nh trªn tõ bµi to¸n ban ®Çu ta ®· më réng thªm bµi to¸n ®ã lµ bµi to¸n 1. B©y giê còng tõ kÕt qu¶ cña bµi to¸n ban ®Çu ta cã: AA1 GA1 = BB1 GB1 = CC1 GC1 =3 5 Hướng Phát Triển Tư Duy Qua Bài Toán Hình Học Kinh NghiÖm ThÕ th× ta cã mét híng ph¸t triÓn kh¸c. Ph¸t triÓn II : Tõ nhËn xÐt trªn ta suy ra. AA1 BB1 CC1 3 3 3      9 GA1 GB1 GC1 1 1 1 (8). Së dÜ cã ®¼ng thøc (8) lµ do G lµ mét ®iÓm ®Æc - träng t©m cña Tam gi¸c. VËy vÊn ®Ò ®Æt ra r»ng nÕu thay sù ®Æc biÖt cña vÞ trÝ ®iÓm G thµnh khai qu¸t thµnh ®iÓm K bÊt kú trong Tam gi¸c. Th× ®¼ng thøc (8) cã cßn ®óng kh«ng, hay ta sÏ thu ®îc ®iÒu g× míi (*). ChØ xÐt ®iÓm ®ång quy ë trong Tam gi¸c ... ThËt vËy : ta còng gäi K lµ mét ®iÓm bÊt kú trong  ABC gäi AK, BK, CK lÇn lît c¾t BC, CA, AB t¹i A1, B1, C1.Theo ph¸t triÓn I ta cã: KA1 S1  AA1 S KB1 S 2  BB1 S , AA1 BB1 CC1 S S S      KA1 KB1 KC1 S1 S 2 S 3 KC1 S 3  CC1 S , .VËy suy ra: . §Ó cho bµi to¸n khã thªm mét chót , ta sÏ t¹o tiÕp ra c¸c nót kiÕn thøc ch¼ng h¹n: Do: S = S1 + S2 + S3 ( Trong ph¸t triÓn 1 ) Nªn : S S  S3 S S S1  S 2  S 3  1  2 =1+ 2  3 S1 S1 S1 S1 S 1 S S S S S S 1  1  3 , 1  1  2 . S2 S2 S2 S3 S3 S3 Do ®ã: S + S1 S S2 + S = 3+ S3 S2 S1 + S1 S2 + , t¬ng tù : S3 S1 S1 + S3 + S2 S3 S3 + S2 Nhng ta chó ý r»ng do K n»m trong  ABC nªn diÖn tÝch c¸c  KBC,  KCA,  KAB ®Òu lµ c¸c sè d¬ng. MÆt kh¸c trong ®¹i sè ta lu«n cã: (a-b)2  0  a, b  a2 + b2  2ab  a, b a b  b  a  2  a, b > 0 (*) dÊu " = " x¶y ra khi a= b. ¸p dông (*) vµo trªn ta cã: 3+ S1 S 2  S 2 S1 + S2 S3  S3 S 2 + S 3 S1  S1 S 3  3+2+2+2 =9 DÔ thÊy dÊu “=” xÈy ra khi S1 = S2 = S3 ®iÒu nµy cã ®îc khi K trïng G Do ®ã: AA1 BB1 CC1   KA1 KB1 KC1  9 (8.1) So s¸nh (8) vµ (8.1) Ta thÊy (8) chØ lµ mét trêng hîp ®Æc biÖt cña (8.1). Tõ ®ã ta cã bµi to¸n míi. Bµi to¸n II : Chøng minh r»ng: 6 Hướng Phát Triển Tư Duy Qua Bài Toán Hình Học Kinh NghiÖm NÕu K lµ mét ®iÓm bÊt kú trong  ABC vµ AK, BK,CK lÇn lît c¾t BC, CA, AB t¹i A1 ,B1, C1 th× lu«n cã: AA1 BB1 CC1   KA1 KB1 KC1  9. Suy xÐt tiÕp tôc bµi to¸n ban ®Çu do cã : GA GB GC   =2 . AA1 BB1 CC1 3 GA GB GC   Suy ra: GA1 GB1 GC1 GA GB GC VËy : + + GA1 GB1 GC1 =2 . = 2 + 2+ 2 = 6 (9) Ph¸t triÓn III : Tõ ®¼ng thøc (9) vÊn ®Ò ®Æt ra lµ nÕu kh«ng h¹n chÕ G mµ thay G ( Träng t©m) bëi mét ®iÓm K bÊt kú trong Tam gi¸c, kÕt qu¶ thu ®îc cã g× ®Æc biÖt so víi (9). ThËt vËy trong ph¸t triÓn II ta cã: B1 B 9 Lîi dông bÊt ®¼ng thøc nµy ta suy xÐt tiÕp. DÔ thÊy muèn cã KA th× ta lÊy hiÖu AA1 vµ KA1. Tõ ®ã ta bít mçi vÕ cña bÊt ®¼ng thøc trªn ®i 3 ®¬n vÞ ta ®îc: A C1 AA1 BB1 CC1   KA1 KB1 KC1 C A1 AA1 BB CC1 - 1+ 1 - 1+ - 1 9 -3 KA1 KB1 KC1 AA1  KA1 BB1  KB1 CC1  KC1  + KB + KC KA1 1 1 KA KB KC 1 1 1 6.  KA + KB + KC  6 (9.1) So s¸nh (9) vµ (9.1) ta thÊy râ rµng (9) chØ lµ trêng hîp ®Æc biÖt cña (9.1) mµ th«. Nh thÕ ta cã bµi to¸n tæng qu¸t h¬n bµi to¸n míi: Bµi to¸n III : Cho K lµ mét ®iÓm bÊt kú trong  ABC, gäi AK, BK,CK lÇn lît c¾t KA KB KC BC, CA, AB t¹i A1 ,B1, C1 .Chøng minh r»ng : + + 6. KA1 KB1 KC1 Cø tiÕp tôc suy xÐt tiÕp bµi to¸n vµ ph¸t triÓn tiÕp. Ph¸t triÓn IV : Trong ba× to¸n ban ®Çu ta cã : GA AA1 = GB BB1 = GC CC1 =2. 3 7 Hướng Phát Triển Tư Duy Qua Bài Toán Hình Học Kinh NghiÖm ThÕ th× : GA1 = GB1 = GC1 = 1 . Suy ra 2 GA GB GC GA1 GB1 GC1 1 1 + + = + 2 2 GA GB GC + 1 = 3 . (10) 2 2 Cã ®îc ®¼ng thøc (10) lµ do G lµ träng t©m cña  ABC . B©y giê nÕu ta thay G bëi mét ®iÓm K bÊt kú trong  ABC th× tæng KA1 + KB1 + KA KC1 KC KB Cã g× ®Æc biÖt so víi (10) Ta suy xÐt tiÕp nh sau: v× KA1 AA1 = S1 (Trong ph¸t triÓn 1) S KA1 S KA1 S1 Suy ra: = 1  = AA1  KA1 S  S1 AA1 S  S1 Nhng S - S1 = S1 + S2 + S3 - S1 = S2 + S3 S1 VËy KA1 = S2  S3 KA S S T¬ng tù: KB1 = 2 , KC1 = 3 S1  S 2 KB S 3  S1 KC S S1 S Do ®ã: KA1 + KB1 + KC1 = + 2 + 3 S 2  S 3 S 3  S1 S 1  S 2 KA KB KC Ta tiÕp tôc ph¸t triÓn tiÕp bµi to¸n ®Ó bµi to¸n khã thªm, khi gi¶i quyÕt ®ßi hái ngêi lµm to¸n ph¶i hiÓu biÕt kiÕn thøc réng h¬n. Ch¼ng h¹n nh ta ®· chøng minh ®îc: a b  2 víi mäi a,b > 0 d©ó (=) khi a = b b a ThÕ th× : b  c c a  2 víi mäi a,b,c > 0 c b a c Nªn: b  c  a  c  a  b 6 víi mäi a,b,c > 0 a b c bc a c a b  a  1  b  1  c  1 6  3 a b c a b c a b c  a  b  c 9 .  1 1 1 (a+b+c)  a  b  c  9 (**) víi mäi a,b,c > 0   2 , dÊu (=) sÈy ra khi a = b = c. S S1 S S1 S + 2 + 3 = +1+ 2 S 2  S 3 S 3  S1 S 1  S 2 S2  S3 S 3  S1 S S S S S S S S S = 1 2 3+ 1 2 3+ 1 2 3 -3 S1  S 3 S 3  S1 S1  S 2 L¹i cã: 1 1 1     S 1  S 2 S 2  S 3 S 3  S1   = (S 1 +S 2 +S 3 )  +1+ S3 S1  S 2 +1-3 3 1 1 1     -3  S 1  S 2 S 2  S 3 S 3  S1  = 1  S1  S 2  S 2  S 3  S 3  S 1    2 Nhng do S1, S2 , S3 lµ c¸c sè d¬ng nªn theo (**) ta l¹i cã: 8 Hướng Phát Triển Tư Duy Qua Bài Toán Hình Học Kinh NghiÖm 1 1 1      S 1  S 2 S 2  S 3 S 3  S1   S1  S 2  S 2  S 3  S 3  S1   VËy :  1 1 1      S 1  S 2 S 2  S 3 S 3  S1  1  S1  S 2  S 2  S 3  S 3  S 1  2 9 3  1 2 .9 – 3 Hay: S1 S2  S3 + Nªn: KA1 KA S2 S 3  S1 + S3 1  S1  S 2 2 + KB1 + KC1  KB 3 2 KC 3 2 .9 - 3 = (10.1). Tõ (10) vµ (10.1) ta thÊy r»ng (10) chØ lµ mét trêng hîp ®Æc biÖt cña (10.1) mµ th«i .§iÒu ®ã chÝnh lµ do G chØ lµ mét trêng hîp ®Æc biÖt cña K. Tõ ®ã ta cã bµi to¸n míi: Bµi to¸n IV Chøng minh r»ng: NÕu K lµ mét ®iÓm bÊt kú trong  ABC vµ AK, BK,CK lÇn lît c¾t BC, CA, AB t¹i A1 ,B1, C1 th×: KA1 KA + KB1 + KC1  KB KC 3 2 . Ph¸t triÓn V : Trong bµi to¸n ban ®Çu ta cã : GA AA1 AA1 GA = GB BB1 = GC CC1 = 2 .Suy ra: AA1 = BB1 = CC1 = 3 . Do ®ã : + BB1 + CC1 = GB GC 3 3 3 + 2 2 GA GB GC 2 + 3 = 9 (11). 2 2 Còng lý luËn nh trªn thay ®iÓm G ( §Æc biÖt ) bëi ®iÓm K (BÊt kú) trong  ABC th× kÕt qu¶ thu ®îc cã g× ®Æc biÖt h¬n (11) kh«ng ? ThËt vËy: Trong  ABC gäi K lµ ®iÓm bÊt kú, AK, BK, CK lÇn lît c¾t BC, CA, AB t¹i A1,B1,C1 . Ta kÎ KD vu«ng gãc víi AH t¹i D, kÎ AH vu«ng gãc víi BC t¹i H, kÎ KH1 vu«ng gãc víi BC t¹i H1. Ta cã:  AHA1 ~  ADK(g.g) Do ®ã suy ra: A C1 AA1 KA = AH AD = ha ha - h1 B1 9 Hướng Phát Triển Tư Duy Qua Bài Toán Hình Học Kinh NghiÖm C A1 B VËy: AA1 KA = 1 * ha * BC S 2 = = S  S1 1 1 * ha * BC  * h1 * BC 2 2 AA1 ha ha - h1 Nhng S - S1 = S1 + S2 + S3 - S1 = S2 + S3 Nªn S S  S1 VËy : AA1 = = KA BB1 CC S S  , 1 KB S 3  S1 KC S1  S 2 AA1 KA AA1 KA = S S2  S3 S 2 + S3 .Do ®ã : S S S   S 1  S 2 S 2  S 3 S 3  S1 +  KC + CC1 KC = .T¬ng tù ta còng cã: + BB1 + CC1 = KB BB1 KB KA S V× S = S1 + S2 + S3 Nªn: 1 1 1     .  S1  S 2  S 3   S 1  S 2 S 2  S 3 S 3  S1  =  1 1 1       S 1  S 2 S 2  S 3 S 3  S1  1  S1  S 2  S 2  S 3  S 3  S1  2 ( Theo ph¸t triÓn 4 )  9 2 VËy AA1  BB1  CC1  1 * 9 = 9 (11.1) KA KB KC 2 2 So s¸nh (11) vµ (11.1) ta thÊy râ rµng (11.1) bao hµm c¶ (11). Hay nãi c¸ch kh¸c bµi to¸n ban ®Çu chØ lµ mét trêng hîp cña bµi to¸n míi nµy mµ th«i. Ta cã bµi to¸n míi: Bµi to¸n V . Cho K lµ mét ®iÓm bÊt k× trong  ABC, gäi AK, BK,CK lÇn lît c¾t BC, CA, AB t¹i A1 ,B1, C1 .Chøng minh r»ng: AA1 BB1 CC1 9    KA KB KC 2 Cø tiÕp tôc nh vËy ta ph¸t triÓn bµi to¸n tõ nh÷ng dÊu hiÖu cña bµi to¸n ban ®Çu V× r»ng: GA GB GC   2 GA1 GB1 GC1 ta l¹i suy xÐt tiÕp. Ph¸t triÓn VI: Tõ kÕt qu¶ trªn ta suy ra r»ng: GA GB GC * * 2 * 2 * 2 8 GA1 GB1 GC1 (12) B©y giê nÕu thay träng t©m G bëi mét ®iÓm K bÊt kú trong Tam gi¸c ABC. Th× kÕt qu¶ míi thu ®îc so víi ( 12 ) cã g× ®Æc biÖt (?). Tõ suy nghÜ ®ã ta l¹i biÕn ®æi tiÕp tôc. Do: KA1 S1  KA S 2  S 3 , KB1 KB = S2 S3 +S1 , ,, KC1 KC = S3 S1+ S2 ( theo ph¸t triÓn 4) 10 Hướng Phát Triển Tư Duy Qua Bài Toán Hình Học Kinh NghiÖm VËy: KA KB KC * * KA1 KB1 KC1 = S 2  S 3 S1  S 3 S 1  S 2 * * S1 S2 S3 Nhng v×: a2+b2 2 ab  a,b Suy ra : x + y  2 x.y  x,y  0 (**) ¸p dông : (**) ta cã S1+S2 2 S1 S 2 S1+S3 2 S1 S 3 S2+S3 2 S 2 S 3 Nªn: ( S1+S2 ) . (S2+S3) . (S1+S3)  8 . (S1.S2.S3)2 V× S1, S2 , S3 lµ c¸c sè d¬ng nªn ( S1+S2 ) . (S2+S3) .(S1+S3)  8 S1. S2 . S3 KA KB KC * * KA1 KB1 KC1 VËy Hay: 8 S1. S2 . S3 S1. S2 . S3  KA KB KC * * KA1 KB1 KC1 =8  8 (12.1) §èi chiÕu so s¸nh (12) vµ ( 12.1) ta thÊy (12) chØ lµ mét trêng hîp ®Æc biÖt cña (12.1) mµ th«i. NghÜa bµi to¸n ban ®Çu lµ mét trêng hîp cña bµi to¸n míi nµy. Ta cã bµi to¸n míi : Bµi to¸n VI : Chøng minh r»ng: NÕu K lµ mét ®iÓm bÊt k× trong  ABC, gäi AK, BK,CK lÇn lît c¾t BC, CA, AB t¹i A1 ,B1, C1 th×: KA KB KC * * 8 KA1 KB1 KC1 . Kh«ng dõng l¹i ë ®©y ta l¹i tiÕp tôc suy xÐt. Tõ ph¸t triÓn 1 ta ®· chøng minh ®îc: KA1 S1  AA1 S Suy ra : AA1 KA1 T¬ng tù ta cã: VËy th× AA1 KA1 . S S3 = = S S1 BB1 KB1 BB1 KB1 . = . S S2 , CC1 KC1 CC1 KC1 = S S1 = . S S3 S S2 . . S S3 . §Ó t¹o thªm møc khã cña bµi to¸n ta ph¸t triÓn tiÕp vÊn ®Ò nµy: Ph¸t triÓn VII: V× ta cã: S = S1 + S2+S3 Nªn: S S1 . S S2 . S 1  S 2  S 3 S 1  S 2  S 3 S1  S 2  S 3 * * S1 S2 S3  = 1   S 2 S 3  S 1 S 3   S 1 S 2    1     1    . S1 S1  S 2 S 2  S 3 S 3  11 Hướng Phát Triển Tư Duy Qua Bài Toán Hình Học Kinh NghiÖm Nhng ta lu«n cã: a2+b2  2ab (  a,b) b2+c2 2bc (  b,c) c2+a2 2ca (  c,a) Suy ra: a2+b2+c2 ab+bc+ca(  a,b,c) (***) dÊu (=) x¶y ra khi a=b=c. Do S1 , S2 , S3 d¬ng. Nªn ta h¹n chÕ ®iÒu kiÖn cho a,b,c d¬ng th× (***) vÉn ®óng Tõ (***) suy ra: a2+b2+c2-ab - bc - ca  0  a,b,c  (a+b+c)( a2+b2+c2-ab - bc - ca)  0 (  a,b,c > 0)  (a+b+c)( a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca- 3ab -3bc - 3ca)  0  (a+b+c)   a  b  c  2  3c(a  b)  3ab 0  (a+b+c)3-3c(a+b)(a+b+c)-3ab(a+b+c) 0  (a+b+c)3-3(a+b).c.(a+b+c)-3ab(a+b)- 3abc  0    a  b   c  3 -3 (a+b).c.   a  b   c  - 3ab(a+b) -3abc  0  (a+b)3+c3 - 3ab(a+b) - 3abc  0  (a+b)3-3ab(a+b) + c3 -3abc  0  a3+b3+c3-3abc  0. VËy: a3+b3+c3  3abc(  a,b,c > 0)(**) ¸p dông (**) ta cã: 1+ S 2 S3  S1 S 1 = ( 3 1) 3  ( 3 S2 VËy: 1+ S3 T¬ng tù: 1+ 1+ + S S S2 3 S )  (3 3 ) 3 3 3 1.3 2 .3 3 S1 S1 S1 S1 S3 S1 3 3 =3 3 S2 S3 S1 2 . S2 S3 S1 2 S1 S 2 S1 S 2  3 3 2 S3 S3 S3 S1 S 3 S1 S 3  3 3 2 S2 S2 S2 Tõ ®ã ta suy ra r»ng: 12 Hướng Phát Triển Tư Duy Qua Bài Toán Hình Học Kinh NghiÖm  S 2 S 3  S 1 S 3   S 1 S 2  S S SS SS 1    1   1    3.3.3 3 2 3 1 3 12 2 =27 ( S1 S 2 S 3 )  S 1 S 1  S 2 S 2   S 3 S 3  §Õn ®©y, nhê c¸c phÐp biÕn ®æi ta ®· lµm cho mÊt hÕt c¸c dÊu hiÖu vÒ diÖn tÝch mµ chØ cßn ®¹i lîng sè, nghÜa lµ: AA1 KA1 . BB1 KB1 . CC1 27 KC1 §iÒu nµy nÕu ta ®Æc biÖt hãa ®iÓm K trïng víi träng t©m G cña Tam gi¸c ABC th× dÔ thÊy dÊu b»ng xÈy ra nghÜa lµ. AA1 . BB1 . CC1 =3.3.3 = 27 GA1 GB1 GC1 Râ rµng bµi to¸n ban ®Çu chØ lµ trêng hîp ®Æc biÖt cña bµi to¸n nµy. Ta cã bµi to¸n míi . Bµi to¸n VII : Cho K lµ mét ®iÓm bÊt k× n»m trong  ABC, gäi AK, BK,CK lÇn lît c¾t BC, CA, AB ë A1 ,B1, C1 .Chøng minh r»ng: AA1 KA1 . BB1 KB1 . CC1 27. KC1 PhÇn III: KÕt luËn Cø tiÕp tôc nh vËy nÕu sau mçi mét bµi to¸n chóng ta híng dÉn cho häc sinh dµnh mét kho¶ng thêi gian nhÊt ®Þnh ®Ó suy xÐt bµi to¸n theo mét trong ba híng, mµ t«i ®· ®a ra. ThiÕt nghÜ ®ã còng lµ mét ph¬ng ph¸p häc to¸n vµ lµm to¸n rÊt bæ Ých vµ lý thó lµm ®îc ®iÒu ®ã víi häc sinh sÏ t¹o ra sù hiÓu bµi s©u h¬n cã nhiÒu ph¬ng ph¸p gi¶i h¬n vµ ®¬ng nhiªn sÏ t×m ®îc ph¬ng ph¸p hay nhÊt. Víi ngêi d¹y ngoµi viÖc t×m ra nhiÒu lêi gi¶i cña bµi to¸n cßn t¹o ra c¸ch thiÕt kÕ mét lo¹t c¸c bµi to¸n cã cïng d¹ng víi bµi to¸n ban ®Çu. Trong qu¸ tr×nh båi dìng häc sinh giái khèi 8 - 9 t«i ®· ®a ra ®Ó thùc nghiÖm. Ban ®Çu c¸c em cßn bì ngì, sau ®ã tá ra thÝch thó, say mª. §Æc biÖt lµ hai híng ®Çu c¸c em tá ra hiÓu vµ say mª t×m nhiÒu ph¬ng ph¸p gi¶i tõ ®ã chän ®îc ph¬ng ph¸p hay. Cßn ph¬ng ph¸p nµy mét sè ®· biÕt tù thiÕt kÕ ra bµi to¸n míi. T«i nghÜ ®ã còng chØ lµ thµnh c«ng bíc ®Çu vµ hÕt søc nhá bÐ. Do ®Æc ®iÓm cña néi dung kiÕn thøc. Kinh nghiÖm nµy t«i chØ ®a ra ®Ó ¸p dông cho c¸c em khèi líp 8 - 9 nªn mét sè kiÕn thøc vÒ bÊt ®¼ng thøc chØ phï hîp víi c¸c em ®· häc qua líp 8 vµ ®ang häc líp 9. 13 Hướng Phát Triển Tư Duy Qua Bài Toán Hình Học Kinh NghiÖm Bµi to¸n ban ®Çu b»ng sù suy xÐt nh vËy ta cã thÓ khai th¸c ®îc nhiÒu ®iÒu bæ Ých. Sau ®©y xin giíi thiÖu hai bÊt ®¼ng thøc còng ®îc ph¸t triÓn tõ bµi to¸n ®ã. §Ò nghÞ c¸c b¹n cïng tham gia. 1/ AA1 * BB1 * CC1  27 KA KB KC 8 KA  KB  KC 2 2/ KA1  KB1  KC1 Trªn ®©y chØ lµ kinh nghiÖm cña c¸ nh©n nªn kh«ng thÓ tr¸nh khái nh÷ng h¹n chÕ .T«i rÊt mong ®îc sù ®¸nh gi¸ gãp ý cña c¸c b¹n ®ång nghiÖp vµ Héi ®ång khoa häc c¸c cÊp ®Ó kinh nghiÖm ngµy cµng ®îc hoµn thiÖn h¬n. Tµi liÖu tham kh¶o 1/ BÊt ®¼ng thøc: NguyÔn Vò Thanh 2/ C¸c chuyªn ®Ò m«n to¸n: Tr¬ng C«ng Thµnh NguyÔn H÷u Th¶o 14 Kinh NghiÖm Hướng Phát Triển Tư Duy Qua Bài Toán Hình Học Môc lôc PhÇn1: §Æt vÊn ®Ò 1 PhÇn2: Néi dung 2 I. C¬ së lý luËn 2 II Néi dung biÖn ph¸p 4 PhÇn 3: KÕt luËn 15 .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. 15 Kinh NghiÖm Hướng Phát Triển Tư Duy Qua Bài Toán Hình Học .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. .......................................................................................................................... ............. 16 Kinh NghiÖm Hướng Phát Triển Tư Duy Qua Bài Toán Hình Học 17
- Xem thêm -