Skkn hướng dãn học sinh yếu giải một số phương trình lượng giác thường gặp.

  • Số trang: 35 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 21 |
  • Lượt tải: 0
nganguyen

Đã đăng 34173 tài liệu

Mô tả:

Mục lục 1. Lí do chọn đề tài 2 2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 3 2.1 Cơ sở lí luận 3 2.1.1 Định nghĩa tiếp tuyến của đƣờng cong phẳng 3 2.1.2 Một số bài toán cơ bản về tiếp tuyến của đồ thị hàm số. 4 2.2 Thực trạng của vấn đề 10 2.3. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề 11 2.3.1 Viết phƣơng trình tiếp tuyến tại một điểm của thuộc đồ 11 2.3.2 Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị biết hệ số góc cho 15 thị trƣớc 2.3.3 Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đi 18 qua một điểm cho trƣớc 2.4. Hiệu quả của SKKN 22 2.4.1 Khảo sát thực tế: 22 2.4.2 Kết quả sau khi thực hiện SKKN: 22 3. Kết luận: 24 Phụ lục 26 Đề số 1 Đề số 2 30 Tài liệu tham khảo 35 -1- 1. Lí do chọn đề tài Chủ đề hàm số là một nội dung cơ bản của chƣơng trình toán THPT. Một bài toán về chủ đề hàm số không chỉ đơn thuần là tìm tập xác định, xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số mà còn đề cập đến những vấn đề khác nhƣ: Viết phƣơng trình tiếp tuyến; chứng minh tính chất tiếp tuyến; tìm tập hợp điểm mà từ đó kẻ đƣợc các tiếp tuyến đến đồ thị hàm số … Bài toán viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là một trong những nội dung quan trọng và thƣờng gặp trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT và tuyển sinh vào CĐ – ĐH trong những năm gần đây, nhƣng rất nhiều học sinh còn mơ hồ và lúng túng không biết giải bài toán này. Bài toán viết phƣơng trình tiếp tuyến có nhiều dạng khác nhau, học sinh thƣờng mắc sai lầm giữa bài toán viết phƣơng trình tiếp tuyến đi qua một điểm và viết phƣơng trình tiếp tuyến tại một điểm; một dạng nữa là viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số góc của tiếp tuyến, chứng minh tính chất của tiếp tuyến…đối với học sinh lại càng khó. Học sinh không có phƣơng pháp làm bài tập viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số vì các em mới chỉ đƣợc biết sơ qua ở chƣơng trình lớp 11 lại đƣợc luyện tập rất ít. Hơn nữa các em không biết phân loại bài tập để có cách giải hữu hiệu, trong quá trình làm bài tập rất nhiều bài giải học sinh còn bỏ sót trƣờng hợp ví dụ nhƣ chƣa tìm hết tiếp điểm; đánh tráo đề bài… Nhƣ ở trên cũng đã nói, trong chƣơng trình cũng nhƣ sách giáo khoa đại số và giải tích lớp 11 học sinh mới chỉ đƣợc tiếp cận và hiểu biết bài toán viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ở mức độ nhất định; chƣa hiểu sâu về lí thuyết; chƣa đƣợc rèn luyện nhiều về kĩ năng. Chính vì vậy tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm về bài toán viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số với mong muốn giúp học sinh hiểu sâu hơn về bài toán này và đƣợc rèn kĩ năng nhiều hơn, vận dụng vào giải toán thành thạo hơn, đó là lí do tôi chọn đề tài sáng -2- kiến kinh nghiệm: “GIÚP HỌC SINH YẾU KÉM VIẾT PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VỚI MỘT ĐƢỜNG CONG” 2. Giải quyết vấn đề 2.1 Cơ sở lí luận: 2.1.1 Định nghĩa tiếp tuyến của đường cong phẳng Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho đƣờng cong (C) giả sử (C) là đồ thị của hàm số y = f(x) và M 0 (x 0 ; f (x 0 ))  (C ) kí hiệu M(x; f(x)) là điểm di chuyển trên ( C) y (C) M T f(x) f(x 0 ) M 0 O x0 x x Đƣờng thẳng M 0 M là một cát tuyến của ( C). Khi x  x 0 thì M(x; f(x)) di chuyển trên ( C) tới M 0 (x 0 ; f (x 0 )) và ngƣợc lại. Giả sử cát tuyến M 0 M có vị trí giới hạn, kí hiệu là M 0T thì M 0T đƣợc gọi là tiếp tuyến của ( C) tại M 0 . Điểm M 0 đƣợc gọi là tiếp điểm. Tại mỗi vị trí của M trên (C) ta luôn có kM  f ( xM )  f ( x0 ) xM  x0 *) Nhắc lại ý nghĩa hình học của đao hàm: “Đạo hàm của hàm số y =f(x) tại x0 là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm M 0 (x 0 ; f (x 0 ))”. -3- Hơn nữa ta có kết quả sau: “Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm nếu biết tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số là M 0 (x 0 ; f (x 0 )) có phƣơng trình là y  f ( x0 )  f '( x0 )( x  x0 ) ” Sau đây ta không xét trường hợp tiếp tuyến song song hoặc trùng với oy *) Định lý 1: Phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) tại điểm M 0 (x 0 ; f (x 0 )) là y  y0  f '( x0 )( x  x0 ) trong đó y0  f  x0  *)Định lý 2: Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị (C) và đƣờng thẳng d: y = kx + b. Đƣờng thẳng  f ( x)  kx  b d tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:   f '( x)  k Khi đó nghiệm x của hệ phƣơng trình chính là hoành độ tiếp điểm 2.1.2 Một số bài toán cơ bản về tiếp tuyến của đồ thị hàm số. 1. Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm của thuộc đồ thị a. Bài toán 1: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và điểm M 0  x0 ; y0   (C ) . Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M 0  x0 ; y0   (C ) Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3- 6x2+ 9x có đồ thị (C) Hãy viết phƣơng trình tiếp tuyến tại điểm A(2;2) thuộc đồ thị (C) Giải Ta có: y’=3x2-12x +9 Với: x = 2 ; y = 2 và y’(2)= -3 Phƣơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm A(2;2) l à: y  3( x  2)  2 hay y  3x  8 Ví dụ 2: Cho hàm số y = x2 có đồ thị (C). Hãy viết phƣơng trình tiếp 2x  3 tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị với trục 0y -4- y'   Giải: 1 (2 x  3) 2 1  2 Giao điểm của đồ thị với 0y:  0;  , hệ số góc y '  0    9  3 1 2 Vậy phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị đã cho là y   x  9 3 b. Bài toán 2: Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y =f(x) tại điểm có hoành độ x = x 0 (Hoặc : y= y 0 ) Ví dụ 1: Cho hàm số y = x4 - 2x2 có đồ thị (C). Hãy viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x= -2 Giải Ta có: y’=4x3- 4x Với: x = -2  y = 8 và y’(-2)= - 24 Phƣơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm A(-2;8) là: y = -24( x + 2 ) + 8 hay y = -24x - 40 Ví dụ 2: Cho hàm số y  x 3  3x  5 có đồ thị (C). Hãy viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ y = 5 Giải : y '  3x 2  3 x  0  Ta có y  5  x 3  3x  5  5  x 3  3x  0   x   3 x  3  +) Phƣơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm (0;5) y’(0) = -3 Do đó phƣơng trình tiếp tuyến là y  5  3( x  0) hay y = -3x +5. +) Phƣơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm ( 3;5) . y' ( 3)  3( 3 ) 2  3  6 Do đó phƣơng trình tiếp tuyến là : y  5  6( x  3) hay y  6 x  6 3  5 . -5- +) Tƣơng tự phƣơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm ( 3;5) là : y  6 x  6 3  5 . 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết hệ số góc cho trước Bài toán: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và một số k  . Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc k Ví dụ 1: Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 1 (C) có hệ số x 1 góc bằng 2 x  0 = 2 => ( x2  2 x  1)  1  x 2  2 x  0    x  1  x  2 Có 2 toạ độ tiếp điểm là (0; 1), (2;3) Hai phƣơng trình tiếp tuyến: y  3x  1 và y  3( x  2)  3  y  3x  9 x  3 Ví dụ 2: Viết phƣơng trình tiếp tuyến với C  : y  biết tiếp tuyến song 2x  1 y'  2 2 song với d : y  7 x  1. Giải: Ta có 7  2 x0  1 2  7  x  0 1    2 x0  1  x  1 1 2 Có hai phƣơng trình tiếp tuyến y  7 x  3, y  7 x  3 Ví dụ 3: Cho hàm số y=x 3  3x 2  2 có đồ thị (C). Viết phƣơng trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đƣờng thẳng  : 3x  5 y  4  0 Giải: 3 . Vì tiếp tuyến d cần tìm vuông góc 5 5 với đƣờng thẳng  nên hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm là kd   3 Cách 1 : Đƣờng thẳng  có hệ số góc k  -6- Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến là nghiệm của phƣơng trình 1  x1   5 5 3 y '    3x 2  6 x    9 x 2  18 x  5  0   3 3 x  5  2 3 Thay lần lƣợt x1 , x2 vào phƣơng trình tiếp tuyến tổng quát, ta đƣợc các tiếp 5 61 5 31 tuyến là: y   x  và y   x  3 7 3 7 5 Cách 2 : Phƣơng trình tiếp tuyến có dạng d : y   x  c (*) 3 d là tiếp tuyến của (C) khi hệ sau có nghiệm 5 61  3  2 x  3 x  2   x  c c   1   3 27   c  31 3x 2  6 x   5 2  3 27  Thay lần lƣợt c1; c2 vào phƣơng trình (*), ta đƣợc các tiếp tuyến là: 5 61 5 31 và y   x  y x 3 7 3 7 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước Bài toán: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và điểm A  a; b  cho trƣớc. Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) qua A đến đồ thị (C) Ví dụ 1: Cho hàm số y  x3  3x 2  2 . Viết phƣơng trình tiếp tuyến kẻ đến đồ thị từ điểm A( 23 ; 2) 9 Giải: 23   Đƣờng thẳng d đi qua điểm A có phƣơng trình y  k  x    2 (*) 9   Đƣờng thẳng d tiếp xúc với đồ thị (C) khi hệ sau có nghiệm -7-  3  3 23  23    2 2 2  x  3x  2  k  x    2  x  3x  2  (3x  6 x)  x    2 9  9      3x 2  6 x  k 3x 2  6 x  k    x  2 k  0  1    x  5 3  k     3    x  3 k  9  2  3x  6 x  k Thay k lần lƣợt vào (*), ta đƣợc các phƣơng trình tiếp tuyến là: 5 61 và d3 : y  9 x  25 d1 : y  2, d 2 : y   x  3 27 1 2 Ví dụ 2: Cho hµm sè y  x 4  3x 2  3 2 3 (C ) . ViÕt pttt cña (C) ®i qua A(0; ). 2 Gi¶i: 3 2 Ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng qua A(0; ) cã d¹ng: y  kx  3 2 (d ) §-êng th¼ng (d) lµ tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ (C) khi vµ chØ khi hÖ sau: 3 3 1 4 2  x  3x   kx  2 2 cã nghiÖm. 2 2 x 3  6 x  k  x  0  Suy ra 3x 4  6 x 2  0   x  2 x   2  3 +) Víi x = 0  k  0 . Pttt lµ: y  . 2 3 2 3 +) Víi x= - 2  k  2 2 . Pttt lµ: y = 2 2 x  . 2 3 KÕt luËn: VËy cã ba tiÕp tuyÕn kÎ tõ A(0; ) ®Õn ®Õn thÞ (C). 2 x Ví dụ 3: Cho hµm sè y  (C). Gäi I lµ giao ®iÓm cña hai ®-êng tiÖm cËn cña x 1 +) Víi x  2  k  2 2 . Pttt lµ: y  2 2 x  . ®å thÞ hµm sè. CMR: kh«ng cã tiÕp tuyÕn nµo ®i qua I. Gi¶i: Ta cã tiÖm cËn ®øng x = -1. -8- TiÖm cËn ngang y = 1. Do ®ã to¹ ®é giao ®iÓm cña hai ®-êng tiÖm cËn lµ: I(-1; 1). Ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng qua I(-1; 1) cã d¹ng: y = k(x+ 1) + 1 (d). §-êng th¼ng (d) lµ tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ (C ) khi vµ chØ khi hÖ sau cã nghiÖm:  x  x  1  k ( x  1)  1 x 1 x 1   ( x  1)  1   1  x  x  2  1 2 x  1 ( x  1) x 1 x 1   k 2  ( x  1) (v« nghiÖm) => (®iÒu ph¶i chøng minh). Ví dụ 4: Cho hµm sè y  x2  x 1 (C). T×m c¸c ®iÓm trªn trôc tung mµ tõ ®ã kÎ x 1 ®-îc 2 tiÕp tuyÕn ®Õn ®å thÞ (C). Gi¶i: ViÕt l¹i y d-íi d¹ng y  x  2  1 (C). x 1 Gäi B(0; b)  Oy , Ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng qua B cã d¹ng: y = kx + b (d). §-êng th¼ng (d) lµ tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ (C) khi vµ chØ khi hÖ sau cã nghiÖm: 1  1   x  2  x  1  kx  b  x  2  x  1  kx  b  (I)  1 1   x  1  1  kx  k k 2   ( x  1) x 1  3  2 1 b 3k bk   x 1 x 1 2 b 3k  1 (1)  x  1  2 Do ®ã (I)   1  1  k (2)  ( x  1) 2 HÖ cã nghiÖm khi vµ chØ khi (1) cã nghiÖm tháa m·n (2) b  3  k 0  k  b  3 2   2 2 k  2(b  1)k  (b  3)  4  0 (*) 1  ( b  3  k ) 2  k  2 Yªu cÇu bµi to¸n tho¶ m·n khi ph-¬ng tr×nh (*) cã hai nghiÖm kh¸c b + 3 -9- '  0 (b  1) 2  ((b  3) 2  4)  0 b  1      2 2 b  2 (b  3)  2(b  1)(b  3)  (b  3)  4  0 4b  8  0 VËy, c¸c ®iÓm trªn trôc tung cã tung ®é bÐ h¬n -1 vµ kh¸c -2 th× tõ ®ã kÎ ®-îc 2 tiÕp tuyÕn ®Õn ®å thÞ (C). 2.2 Thực trạng của vấn đề: Qua điều tra và thực tiễn giảng dạy cho thấy đa phần học sinh không cảm thấy khó khăn trong việc khảo sát hàm số. Tuy nhiên học sinh gặp phải khó khăn khi làm bài tập về tiếp tuyến của đồ thị hàm số, thƣờng mắc phải những khó khăn sau: - Chƣa có những phƣơng pháp giải cụ thể cho từng dạng bài - Nhầm giữa hai khái niệm tiếp tuyến đi qua một điểm và tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị của hàm số - Trong quá trình giải học sinh còn mắc phải sai lầm khi tính toán, biến đổi…trong bƣớc trung gian. Lập luận không chặt chẽ; đánh tráo đề bài… Ví dụ: Cho hàm số y  x3  3x 2  2 có đồ thị (C). Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0;3) Giải: +) Gọi d là đƣờng thẳng đi qua điểm A(0;3), phƣơng trình của d có dạng y  kx  3 +) d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi và chỉ khi hệ phƣơng trình  x3  3x 2  2  kx  3 (1) có nghiệm x  2 3 x  6 x  k (2)  Thay k ở (2) vào (1) ta đƣợc x3  3x 2  2  (3x 2  6 x) x  3  ( x  1)(2 x 2  x  1)  0 (*) Bây giờ ở phƣơng trình (* ) học sinh không chú ý: Từ phƣơng trình (*) ta có x 1  0 mà lại viết  2 2 x  x  1  0  x 1  0  x 1  2 2 x  x  1  0 Vậy phƣơng trình tiếp tuyến là: y  3x  3 - 10 - Khi đó lời giải bị sai ngay từ bƣớc trung gian nên thiếu một phƣơng trình tiếp tuyến. Nhƣ vậy lời giải đúng là x 1  k  3 x 1  0   Từ phƣơng trình (*) ta có  2 1  15 x  k  2 x  x  1  0  2  4 Vậy phƣơng trình tiếp tuyến là: y  3x  3 và y  15 x3 4 Có những học sinh lại đánh tráo đầu bài đi viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(0;3) Phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) qua A có dạng y  y0  f '( x0 )( x  x0 ) Theo đầu bài ta có x0  0, y0  3 y '( x0 )  f '( x0 ) = 0 Vậy phƣơng trình tiếp tuyến là: y  3 Hoặc có học sinh lại bỏ sót trƣờng hợp trong quá trình giải… 2.3 Giải quyết vấn đề Việc đƣa các dạng bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số và phƣơng pháp giải cụ thể cho từng dạng bài, vận dụng phƣơng pháp giải bài tập toán đề hƣớn dẫn các em làm bài tập phần học này là rất cần thiết. Bởi khi đó các em không còn phải lúng túng trong việc lựa chọn cách giải mà sẽ có đƣợc cách giải chính xác khi đã xác định đƣợc yêu cầu về “Bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số” ở dạng nào. Chính vì vậy mà hai năm gần đây trong phần dạy bài tập về tiếp tuyến của đồ thị hàm số tôi đã cố gắng giúp học sinh biết cách nhận dạng bài tập; chỉ ra phƣơng pháp giải từng dạng. Từ đó các em tự tin và có hứng thú học tập. 2.3.1. Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm của thuộc đồ thị a. Bài toán 1: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và điểm M 0  x0 ; y0   (C ) . Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M 0  x0 ; y0   (C ) - 11 - * Phương pháp giải: +) Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm (đã nêu ở trên) thì tiếp tuyến tại một điểm M 0  x0 ; y0   (C ) có hệ số góc là f '( x0 ) +) Phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y =f(x) tai điểm M 0  x0 ; y0  có dạng: y  y0  f '( x0 )( x  x0 ) hay y  f ( x0 )  f '( x0 )( x  x0 ) Nhận xét: +) Đối với bài toán này học sinh chỉ cần tính được chính xác f '( x) , f '( x0 ) và rút gọn chính xác sẽ được lời giải đúng của bài toán +) Đồ thị chỉ có 1 phương trình tiếp tuyến Ví dụ 1: Cho hàm số (C): y = x3-6x2+9x Hãy viết phƣơng trình tiếp tuyến tại điểm M (2;2)  (C ) Giải Ta có: y’=3.x2-12x +9 Với: x = 2 ; y = 2 và y’(2)= -3 Phƣơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm A(2;2) là: y  3( x  2)  2 hay y  3x  8 Ví dụ 2: Cho hàm số (C): y = x+1 - 2 . Hãy viết phƣơng trình tiếp tuyến với 2x  1 đồ thị (C) tại A(0;3) Giải Ta có: y’= 1+ 4 (2 x  1) 2 nên y’(0) = 5 Phƣơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại A(0;3) là: y = 5(x-0) + 3 hay y = 5x + 3 Ví dụ 3: Cho hàm số y = 2 + 3x – x3 có đồ thị (C). Hãy viết phƣơng trình tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị. Giải: y '  3  3x 2 , y ''  6 x - 12 - và y ''  0  x  0 Toạ độ điểm uốn là (0;2) , y '(0)  3 Vậy phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm uốn là: y  3( x  0)  2 hay y  3x  2 b. Bài toán 2: Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y =f(x) tại điểm có hoành độ x = x 0 (Hoặc : y= y 0 ) *. Phương pháp giải: -Với: x =x 0  y 0 =f(x 0 ) (Bài toán đƣa về dạng trên) - Phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y =f(x) tại điểm có hoành độ x = x 0 có dạng: y=f’(x 0 )( x-x 0 ) + y 0 Nhận xét: Áp dụng tương tự với tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ: y= y 0 =f(x 0 )  x 0 =? ( bài toán đưa về dạng tiếp tuyến tại một điểm ) Ví dụ 1: Cho hàm số y  x3  3x 2  1 Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ -1. Giải: Hoành độ tiếp điểm x  1, nên tung độ tiếp điểm y  1 y '  3x2  6 x  y '(1)  3 Vậy phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại (-1;1) là: y  3( x  1)  1 y  3x  2 hay Ví dụ 2: Cho hàm số y  3x  1 có đồ thị (C). Viết phƣơng trình tiếp tuyến của 1 x (C) tại điểm có tung độ –7. Giải: Tung độ tiếp điểm y  7 nên hoành độ tiếp điểm x  2 4 y'   y '(2)  4 .Vậy phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại (2;-7) (1  x) 2 là: y  4( x  2)  7 hay y  4 x  15 - 13 - *) Bài toán mở rộng: Ví dụ 1: Cho hµm sè: y   x 3  3x 2  2 (C).T×m c¸c ®iÓm thuéc (C) mµ qua ®ã kÎ ®-îc mét vµ chØ mét tiÕp tuyÕn ®Õn (C). Gi¶i: Gäi M 0 ( x0 ; x03  3x02  2)  (C ) . Ph-¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn (pttt) cña (C) t¹i M0 cã d¹ng: y  k ( x  x0 )  x03  3x02  2 (d) §-êng th¼ng (d) lµ tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i M0 khi vµ chØ khi hÖ sau cã nghiÖm: 3 2 3 2   x  3x  2  k ( x  x0 )  x0  3x0  2  2   3x  6 x  k  x1  x0 Suy ra ( x  x0 )(2 x  3x  xx 0  x  3x0 )  0    x 2  3  x0 2  2 2 0 §iÓm M0 tho¶ m·n yªu cÇu bµi ra khi vµ chØ khi: x1  x2  x0  3  x0  x0  1 . 2 VËy, trªn (C) tån t¹i duy nhÊt ®iÓm M0( 1; 0) mµ qua ®ã kÎ ®-îc ®óng mét vµ chØ mét tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ (C). Ví dụ 2: Cho hµm sè: y  4x  2 (C). TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C), x 1 trôc Oy vµ tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x = 3. Gi¶i: Ta cã: x  3  y  4.3  2 5  . 3 1 2 6 3  y ' (3)  2 8 ( x  1) 5 3 5 Pttt cña (C) t¹i ®iÓm (3; ) lµ: y  ( x  3)  2 8 2 y'  DiÖn tÝch h×nh ph¼ng cÇn tÝnh lµ: 3 S 0 3 3 5 6 3 3 6 ( x  3)   (4  ) dx   ( ( x  3)   )dx 8 2 x 1 8 2 x 1 0 - 14 - =( 3 3 3 ( x  3) 3 - x  6ln x  1) 16 0 2 = 12 ln 2  99 16 (®vdt). 2.3.2.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết hệ số góc cho trước Bài toán: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và một số k  . Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc k * Phương pháp giải: i) Cách 1: Phƣơng pháp tìm tiếp điểm: +) Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k tiếp xúc với (C) tại điểm có hoành độ xi  f '( xi )  k  x  xi là nghiệm của phƣơng trình f '( x )  k +) Giải phƣơng trình f '( x )  k , suy ra nghiệm x  x0 , x1,...xn , n   +) Phƣơng trình tiếp tuyến tại xi là: y  k ( x  xi )  f ( xi ) ii) Cách 2: Phƣơng pháp điều kiện kép Xét đƣờng thẳng có hệ số góc k có phƣơng trình y  kx  m (m là ẩn) tiếp xúc với đồ thị (C): y  f ( x) . Khi đó ta có phƣơng trình kx  m  f ( x) có nghiệm kép. Áp dụng điều kiện để phƣơng trình có nghiệm kép, suy ra đƣợc m. Từ đó suy ra phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm Nhận xét: Vì điều kiện (C1 ) : y  f ( x) và (C2 ) : y  g ( x) tiếp xúc nhau là hệ điều  f ( x)  g ( x) có nghiệm kép chứ không phải điều kiện phƣơng trình  f '( x)  g '( x) kiện  f ( x)  g ( x) có nghiệm kép nên cách 2 chỉ sử dụng đƣợc cho các dạng hàm số y  f ( x) mà phƣơng trình tƣơng giao kx  m  f ( x) có thể biến đổi tƣơng đƣơng về một phƣơng trình bậc 2 ( khi đó điều kiện để có nghiệm kép là  m  0 ) Chú ý: Ta có các dạng biểu diễn của hệ số góc k nhƣ sau: 1 2 - Dạng trực tiếp: k  1, 2,...,  ,...,  2,  3,... - 15 - - Tiếp tuyến tạo với chiều dƣơng 0x góc  ,   150 ;30 0 ;450 ;  2   ; ..... khi 3 3  đó hệ số góc k  tan  - Tiếp tuyến song song với đƣờng thẳng y  ax+b , khi đó hệ số góc k = a - Tiếp tuyến vuông góc với đƣờng thẳng ka  1  k   y  ax+b , khi đó 1 - Tiếp tuyến tạo với đƣờng thẳng y  ax+b một góc  khi đó a k a  tan  . 1  ka Ví dụ 1: Cho hµm sè y  x 3  3x 2 (C). ViÕt ph-¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ (C) biÕt hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn k = -3. Gi¶i: Ta cã: y'  3x 2  6 x Do hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn k = - 3 nªn: 3x 2  6x  3  x 2  2x  1  0  x  1 Víi x  1  y  2 . Pttt cÇn t×m lµ: y  3( x  1)  2  y  3x  1 VÝ dô 2: ViÕt ph-¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ hµm sè y  x 3  3x 2  1(C). BiÕt tiÕp tuyÕn ®ã song song víi ®-êng th¼ng y = 9x + 2009. Gi¶i: Ta cã y'  3x 2  6 x . Do tiÕp tuyÕn ®ã song song víi ®-êng th¼ng y = 9x + 2009 nªn tiÕp tuyÕn cã hÖ sè gãc k = 9  3x 2  6 x  9 .  x  1  x 2  2x  3  0   . x  3 +) Víi x  1  y  3. Pttt cña (C) t¹i x = - 1 lµ: y  9( x  1)  3  y  9x  6 +) Víi x  3  y  1 . Pttt cña (C) t¹i x = 3 lµ: y  9( x  3)  1  y  9x  26 VËy, cã 2 tiÕp tuyÕn cña (C) song song víi ®-êng th¼ng y = 9x + 2009 lµ: y = 9x + 6 vµ y = 9x - 26. - 16 - Ví dụ 3: Cho hµm sè y  x 3  3x  2 (C). ViÕt ph-¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) biÕt tiÕp tuyÕn ®ã vu«ng gãc víi ®-êng th¼ng y  1 x. 9 Gi¶i: Ta cã y'  3x 2  3 . Do tiÕp tuyÕn cña (C) biÕt tiÕp tuyÕn ®ã vu«ng gãc víi ®-êng th¼ng y  1 x nªn hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn k = 9. 9 Do ®ã y'  k  3x 2  3  9  x 2  4  x  2. +) Víi x = 2  y  4 . Pttt t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x = 2 lµ: y  9( x  2)  4  y  9 x  14. +) Víi x  2  y  0 . Pttt t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x = - 2 lµ: y  9( x  2)  0  y  9 x  18 . VËy, cã hai tiÕp tuyÕn cñ¶ (C) vu«ng gãc víi ®-êng th¼ng y  1 x lµ: 9 y =9x - 14 vµ y = 9x + 18. *) Bài toán mở rộng: Ví dụ 1: Cho hµm sè y  x 3  3x 2  9 x  3 (C). Chøng minh r»ng trong sè c¸c tiÕp tuyÕn cña (C) th× tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm uèn cã hÖ sè gãc nhá nhÊt. Gi¶i: Ta cã hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm bÊt k× cña ®å thÞ (C) lµ: k = y '  3x 2  6 x  9 y' '  6 x  6  y' '  0  6 x  6  0  x  1 ĐiÓm uèn U(-1; 14). HÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm uèn lµ: k1 = -12. B¶ng biÕn thiªn cña hµm sè y'  3x 2  6 x  9 x y’’  -  -1 0 +   y’ -12 - 17 - Tõ b¶ng biÕn thiªn suy ra k  12 . DÊu “ = ” x¶y ra khi vµ chØ khi x = -1 (hoµnh ®é ®iÓm uèn) (§iÒu ph¶i chøng minh) Ví dụ 2: Cho hµm sè: y  mx 2  (m  1) x  m 2  m xm (C ) . T×m ®iÓm x0 ®Ó víi mäi m  0 , tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ hµm sè (C) t¹i ®iÓm x0 song song víi mét ®-êng th¼ng cè ®Þnh. T×m hÖ sè gãc cña ®-êng th¼ng ®ã. Gi¶i: mx02  2m 2 x0  2m mx 2  2m 2 x  2m Ta cã: y'  .  y ' ( x0 )  ( x  m) 2 ( x0  m) 2 Yªu cÇu bµi to¸n lµ t×m x0 ®Ó y’(x0) = k ( h»ng sè) m  0  mx02  2m 2 x0  2m  k m ( x 0  m) 2  (2 x0  2  k )m 2  (2kx0  x02 )m  kx02  0 m  0 2 x0  2  k  0 (1)   2kx0  x02  0 (2)  2 kx0  0 (3) k  0 Ta cã : (3)    x0  0 +) Víi x0 = 0 suy ra k = -2 (tho¶ m·n).  x0  1 (v« nghiÖm)  x0  0 +) Víi k = 0   VËy, x0 = 0 vµ k = -2 th× th× tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i x0 song song víi mét ®-êng th¼ng cè ®Þnh. 2.3.3.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước Bài toán: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và điểm A  xA ; y A  cho trƣớc. Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) qua A đến đồ thị (C) * Phương pháp giải: - 18 - i) Cách 1: Thực hiện theo các bƣớc - Đƣờng thẳng d đi qua điểm A  xA ; y A  có phƣơng trình: d : y  k ( x  xA )  y A - d tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm  f ( x)  k ( x  x A )  y A  f ( x)  f '( x)( x  xA )  y A (1) k   f '( x )  k f '( x )  k   - Kết luận về tiếp tuyến d. ii) Cách 2: Thực hiện theo các bƣớc - Giả sử tiếp điểm là M ( x0 ; y0 ) khi đó phƣơng trình tiếp tuyến có dạng d: y  y '( x0 )( x  x0 )  y0 - Điểm A xA ; y A   d , ta đƣợc yA  y '( x0 )( xA  x0 )  y0 (2)  x0 - Kết luận về tiếp tuyến d Chú ý: Số nghiệm phân biệt ở phƣơng trình (1), (2) bằng số tiếp tuyến kẻ từA đến đồ thị (C) Ví dụ 1: Cho hàm số (C): y = 1 3 2 x -x . 3 Hãy viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua điểm A(3;0) Giải Ta có: y’= x2-2x -Gọi đƣờng thẳng qua A(3;0) có hệ số góc k→phƣơng trình có dạng: y=k.(x- 3)+0 -Để đƣờng thẳng là tiếp tuyến của đồ thị hàm số thì: 1 3  x  x 2  k ( x  3) 3  k  x 2  2x  -Thay (2) vào (1)ta có có nghiệm 1 3 2 x  x  ( x 2  2 x)( x  3) →x=0 và x= 3 3 - 19 - -Với x=0 thay vào(2)→k = 0. Phƣơng trình tiếp tuyến: y = 0 -Với x= 3 thay vào(2)→ k= 3. Phƣơng trình tiếp tuyến: y = 3.(x-3) = 3x – 9 -Vậy có hai phƣơng trình tiếp tuyến đi qua A(3;0) là: y=0 và y = 3x – 9 Ví dụ 2: Cho hàm số (C): y = x2 Hãy viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) 2x  3 ,biết tiếp tuyến cắt trục hoành,trục tung lần lƣợt tại A và B sao cho tam giác AOB cân tại O Giải Phân tích: tiếp tuyến (d)cần tìm thỏa mãn *(d)là tiếp tuyến của ( C) *(d)cắt ox tại A và cắt oy tại B *OA=OB Cách 1: Vì (d) cắt ox tại A nên A(a;0) (d) cắt oy tại B nên B(0;b) . điều kiện: a  0 và b  0 Để tam giác AOB cân tại O thì OA=OB  a  b a = b hoặc a = -b *Với a = b ta có phƣơng trình đƣờng thẳng (d) có dạng: y x  1 a a y = - x + a Để (d) là tiếp tuyến của (C) thì hệ phƣơng trình:  x2  2 x  3   x  a (1)  1 1  (2) (2 x  3) 2  có nghiệm - 20 -
- Xem thêm -