Tài liệu Skkn hướng dẫn học sinh xác định chân đường cao trong bài toán tính thể tích khối đa diện

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN 1. Tên sáng kiến: Hướng dẫn học sinh xác định chân đường cao trong bài toán tính thể tích khối đa diện. 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục đào tạo. 3. Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 25 tháng 09 năm 2015 đến ngày 15 tháng 05 năm 2016. 4. Tác giả: Họ và tên: Phạm Cao Thế. Năm sinh: 1983. Nơi thường trú: Xã Xuân Thượng - Huyện Xuân Trường - Tỉnh Nam Định. Trình độ chuyên môn: Cử nhân toán học. Nơi làm việc: Trường THPT Xuân Trường. Địa chỉ liên hệ: Xã Xuân Thượng - Huyện Xuân Trường - Tỉnh Nam Định. Điện thoại: 0914.436.388. Tỉ lệ đóng góp tạo ra sáng kiến: 90%. 5. Đơn vị áp dụng sáng kiến: Tên đơn vị: Trường THPT Xuân Trường. Địa chỉ: Xã Xuân Hồng - Huyện Xuân Trường - Tỉnh Nam Định. Điện thoại: 03503.886.167. 1 BÁO CÁO SÁNG KIẾN HƯỚNG DẪN HỌC SINH XÁC ĐỊNH CHÂN ĐƯỜNG CAO TRONG BÀI TOÁN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN PHẦN I. ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN Thể tích khối đa diện là một chủ đề rất quan trọng trong các chủ đề toán học ở trường phổ thông. Đặc biệt, trong những năm gần đây, bài toán tính thể tích khối đa diện là không thể thiếu trong các kỳ thi đại học, kỳ thi học sinh giỏi, nó xuất hiện thường xuyên và độ khó cũng ngày càng được nâng lên nên đôi lúc cách giải quyết đối với nhiều học sinh còn gặp nhiều khó khăn. Với mong muốn giúp các em học sinh có kỹ năng tốt, không còn bỡ ngỡ khi gặp câu hỏi tính thể thích khối đa diện, tôi suy nghĩ rằng, cần phải hệ thống lại kiến thức, phân dạng bài tập cụ thể và cần có phân tích đối với lớp các bài toán đó để học sinh hiểu, vận dụng và có tư duy logic những bài tập có dạng tương tự. PHẦN II. MÔ TẢ GIẢI PHÁP A. MÔ TẢ GIẢI PHÁP TRƯỚC KHI CÓ SÁNG KIẾN Đối với bài toán thể tích khối đa diện, SGK Hình học 12 chỉ đưa ra được rất ít ví dụ và một số bài tập cơ bản. Chính vì vậy học sinh thường gặp nhiều khó khăn trong việc tính thể tích khối đa diện và thậm chí không biết cách giải. Đặc biệt trong các đề thi Đại học - Cao đẳng, đề thi THPT Quốc gia và đề thi học sinh giỏi các em sẽ gặp bài toán về thể tích của khối đa diện ở nhiều dạng khác nhau. Vì vậy, việc giúp cho các em có kĩ năng tốt, cũng như cung cấp thêm các phương pháp tính thể tích khối đa diện là rất cần thiết nhằm đáp ứng nhu cầu thực tế hiện nay. Một điều rất quan trọng trong quá trình tính thể tích khối đa diện là đa phần các em học sinh chưa biết cách xác định chiều cao của khối đa diện nên việc tính thể tích khối đa diện là không chính xác. Do đó tôi đã hệ thống lại các cách xác định chân đường cao của một số khối đa diện đặc biệt để các em nắm được và từ đó hoàn toàn tính được thể tích của các khối đa diện cụ thể. 2 B. MÔ TẢ GIẢI PHÁP SAU KHI CÓ SANG KIÉN CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1. Các hệ thức lượng trong tam giác a. Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Cho tam giác ABC vuông tại A ,khi đó ta có (1). Định lí Pithago: BC 2  AB2  AC 2 . (2). c2  c '.a A ( AB 2  BH .BC ) . (3). b2  b '.a ( AC 2  CH .BC ) . (4). ah  bc ( AH .BC  AB. AC ) . (5). c B b h b' c' H 1 1 1  2 2. h2 b c C a b c b c (6). sin B  ; cos B  ; tan B  ; cot B  . a a c b b. Hệ thức lượng trong tam giác ABC : A Định lí côsin: a  b  c  2bc cos A . 2 Định lí sin: 2 2 b c a b c    2R . sin A sin B sin C a C B c. Công thức tính diện tích tam giác: 1 1 1 1 1 1 ● S  aha  bhb  chc  ab sin C  ac sin B  bc sin A . 2 2 2 2 2 2 ●S  abc  pr  4R p  p  a  p  b  p  c  (Với p  abc ). 2 d. Diện tích hình vuông cạnh a: S  a 2 . e. Diện tích hình chữ nhật các kích thước a và b: S  a.b . f. Diện tích hình thang: S  1  a  b  h trong đó a và b là độ dài hai đáy, h là chiều cao 2 của hình thang. 1.2. Quan hệ song song 1.2.1. Một số phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song a. Phương pháp 1(về giao tuyến của ba mặt phẳng phân biệt)        a  a / / b, b / / c, c / / a          b    a, b, c đồng quy         c  3 γ β β α α a a b c b c γ b. Phương pháp 2 (Hệ quả của định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng phân biệt)     a c  a; c  b      b   c / /a   a / /b   c/ /b        c   β β α b a β α c b a α c b a c c. Phương pháp 3 γ a  b  a / / c  a / /b b / / c  β α a b c d. Phương pháp 4 β  a / /         a  b / /a        b  a b α 4 e. Phương pháp 5           / / d ,    / / d  d '/ / d         d '  β α d d' f. Phương pháp 6    / /            a  a / / b         b  γ a α b β g. Phương pháp 7 a  ab   a     a / / b  b     b α 1.2.2. Một số phương pháp chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng a. Phương pháp 1 β  d      d / / d '  d / /    d '     d d' α 5 b. Phương pháp 2 b a  a      a  b  a / /       b  α 1.2.3. Một số phương pháp chứng minh hai mặt phẳng song song a. Phương pháp 1 a    a,    b  a b  I     / /     a / /     b / /    α b I β b. Phương pháp 2          / /       / /       / /     α γ β c. Phương pháp 3 a         a        / /     a     α β 6 1.3. Quan hệ vuông góc 1.3.1. Một số phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc a. Phương pháp 1 uuu uuu r r r Cho hai đường thẳng AB, CD khi đó nếu AB.CD  0  AB  CD b. Phương pháp 2 Tính góc giữa hai đường thẳng bằng 900. c. Phương pháp 3(Định lí ba đường vuông góc) Gọi b’ là hình chiếu vuông góc của b lên   và a    . b Khi đó a  b  a  b ' b' a α d. Phương pháp 4 a  a    ab   b    α b e. Phương pháp 5 a  b/ /   ab   a    b α 1.3.2. Một số phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng a. Phương pháp 1 a  ab  ac   a     bc  I  b, c     b α 7 c I b. Phương pháp 2 a  a / /b  b      a    b α c. Phương pháp 3 a   / /     a     a     α β d. Phương pháp 4 β                a  b     b      ba  b a α e. Phương pháp 5        a          a             a α β γ 8 1.3.3. Một số phương pháp chứng minh hai mặt phẳng vuông góc Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. 1.4. Góc 1.4.1. Góc giữa 2 đường thẳng: Nếu a / / a ', b / /b ', b  b '  O thì a a' góc giữa hai đường thẳng a và b là góc  O giữa hai đường thẳng a’ và b’. b' b 1.4.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Gọi a ' là hình chiếu của a trên   . Góc giữa a và   a là góc giữa a và   a' a’.  1.4.3. Góc giữa hai mặt phẳng: Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng         d    và    . Khi đó, nếu a    , a  d  b     , b  d b A  thì  là góc giữa a và b. 1.5. Khoảng cách 1.5.1. Khoảng cách từ điểm đến một đường thẳng d  A,    AH với H là hình chiếu A vuông góc của A lên  . H Δ 9  a d 1.5.2. Khoảng cách từ điểm đến một mặt phẳng A d  A,     AH với H là hình chiếu vuông góc của A lên   . H α 1.5.3. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song với nhau Δ A d  ,  a    d  A,    , A   H α 1.5.4 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song d   a  ,      d  A,     , A    A α H β 1.5.5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b a d  a, b   d  a,     trong đó   là mặt phẳng chứa b và song song với a. b β 10 A CHƯƠNG 2. NỘI DUNG Về thể tích khối đa diện, trong chương trình toán trung học phổ thông ta chủ yếu xét đến thể tích của khối chóp và khối lăng trụ. Các công thức tính thể tích của khối chóp và khối lăng trụ như sau A B S E C D E D A' F B' C E' G B C' A D' 1 Thể tích khối chóp: V = B.h (1) Thể tích khối lăng trụ: V = B.h (2) 3 (trong đó B, h lần lượt là diện tích đáy và chiều cao của khối chóp hoặc khối lăng trụ) Có ba phương pháp chính để tính thể tích khối đa diện 1) Tính trực tiếp theo công thức 2) Tính gián tiếp thông qua phân chia khối đa diện hoặc sử dụng tỉ số thể tích 3) Áp dụng phương pháp tọa độ trong không gian để tính thể tích. Tuy nhiên xu hướng ra đề thi trong các năm gần đây người ta chú trọng vào việc tính thể tích một cách trực tiếp hoặc gián tiếp, còn việc sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian để tính thể tích được hạn chế rất nhiều. Do vậy trong bản báo cáo này tôi chỉ đưa ra hai phương pháp tính thể tích đầu tiên. 2.1. TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN TRỰC TIẾP THEO CÔNG THỨC Phương pháp của dạng này là áp dụng công thức (1) và (2) đã nêu ở trên để tính. Về diện tích thì học sinh đã tính toán quen thuộc, chủ yếu của loại này là ta đi xác định chiều cao của các khối đa diện. Với khối chóp chiều cao của nó là khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy, muốn xác định được khoảng cách này thì ta phải đi tìm hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy. Còn với khối lăng trụ thì chiều cao là khoảng cách giữa hai mặt đáy và cũng là khoảng cách từ một đỉnh thuộc đáy này đến đáy kia, như vậy với khối lăng trụ ta có thể tìm chiều cao giống như khối chóp. Từ đó ta sẽ chia loại này theo các dạng toán như sau 2.1.1. DẠNG TOÁN CHO SẴN CHIỀU CAO Đối với dạng này ta đã biết sẵn đường thẳng đi qua đỉnh và vuông góc với mặt đáy. Chủ yếu ta xét các loại đa diện sau: - Khối chóp đều thì chiều cao là đoạn thẳng nối đỉnh với tâm của đa giác đáy. - Khối lăng trụ đứng thì chiều cao là cạnh bên của lăng trụ. - Khối chóp có một đường thẳng qua đỉnh vuông góc với mặt đáy(Chiều cao là đoạn thẳng nối đỉnh với giao điểm của đường thẳng đó với mặt đáy) hoặc có hai mặt chứa đỉnh cùng vuông góc với đáy(Chiều cao là đoạn thẳng nối đỉnh với điểm chung của ba mặt phẳng là hai mặt phẳng đó cùng với mặt đáy). - Khối đa diện biết hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy. 11 Ví dụ 1. Tính theo a thể tích khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc ·  . ASB Phân tích: Giáo viên nhấn mạnh chân đường cao chính là tâm của đa giác đáy. Giải: Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên nếu gọi O là tâm đa giác đáy thì SO  ( ABCD) . Ta có: SABCD = a2. Gọi M là trung điểm AB, do SAB là tam giác cân đỉnh S nên SM là đường cao và là trung tuyến.  AM a Ta có: AM  SA.sin  SA     2 sin 2sin 2 2 a cos  SO  SA2  AO 2   2sin 2 1 a cos  a 3 cos  VS . ABCD  .a 2 .    3 2sin 6sin 2 2 S α A B M O a D C Nhận xét: Mục tiêu là tính chiều cao nên ta có thể thay đổi giả thiết góc ·   bởi ASB góc giữa cạnh bên và mặt đáy hoặc góc giữa mặt bên và mặt đáy. Bài toán này ta có thể cho biết thể tích và cạnh đáy rồi yêu cầu tính chiều cao. Ví dụ 2. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC') hợp với đáy (ABCD) một góc 60o. Tính thể tích khối lăng trụ đó theo a. Phân tích: Giáo viên nhấn mạnh chiều cao chính là các cạnh bên của lăng trụ. Giải: D' C' Gọi O là tâm của ABCD . Ta có hai tam giác CBD, C’BD lần lượt cân tại C và C’ nên CO  BD, C ' O  BD do đó góc giữa hai mặt (BDC') và (ABCD) bằng · · C ' OC  C ' OC  600 Khi đó CC' = OC.tan60o = a 6 2 A' B' C D 600 Mà SABCD = a2 O a3 6 Vậy VABCD.A’B’C’D’ = 2 B a A Nhận xét: Mục tiêu ở bài này là tính chiều cao do đó ta có thể thay giả thiết góc giữa hai mặt bởi góc giữa đường và mặt đáy để tìm chiều cao. Bài toán này ta có thể cho biết thể tích và cạnh đáy rồi yêu cầu tính chiều cao. 12 Ví dụ 3. Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA bằng a, đáy là tam giác vuông cân có AB = BC = a. Gọi B’ là trung điểm của SB, C’ là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAC. a. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. b. Chứng minh SC vuông góc với (AB’C’). c. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’ theo a. Phân tích: Tính thể tích khối chóp S.ABC là đơn giản. Muốn tính thể tích của khối chóp S.AB’C’ thì ta phải dựa vào câu b) mới xác định được chiều cao. Giải: 1 1 a) Ta có S ABC  AB.BC  a 2 S 2 2 1 1 1 a3  VS . ABC  SA.S ABC  a. a 2  C' 3 3 2 6 b) a  BC   SAB   BC  AB ' B'   SBC   AB ' .  SB  AB '   C A Suy ra SC  AB ' a a Mà AC '  SC nên SC   AB ' C ' c) Vì SC   AB ' C ' nên chiều cao của khối B 1 chóp S.AB’C’ là SC’  VS . AB ' C '  SC '.S AB ' C ' . 3 SB a 2  Ta có AB '  2 2 1 1 1 3 a 6  2  2  2  AC '  2 AC ' a 2a 2a 3 a 6 a2 3 Tam giác AB’C’ vuông tại B’ nên B ' C '  . Khi đó SSB ' C '  6 12 Trong SAC ta có: a3 2a 2 a 3 . Từ đó ta có VS . AB ' C '  .  12 3 3 Nhận xét:. Ở bài này ta có thể tính thể tích SAB’C’ dựa vào công thức tỉ số thể tích sẽ được trình bày ở phần sau. Mà SC '  SA2  AC '2  a 2  Ví dụ 4(B 2006). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  a, AD  a 2, SA  a, SA   ABCD  . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC. a. Chứng minh rằng (SAC) vuông góc với (SMB). b. Tính thể tích khối tứ diện AINB theo a. Phân tích: Chiều cao của hình chóp S.ABCD chính là SA nên ta có thể tính được thể tích của S.ABCD. Chiều cao của khối tứ diện AINB chính là đường thẳng đi qua N và song song với SA. 13 Giải: a) Ta chứng minh MB vuông góc với (SAC). Thậy vậy: Ta có SA  ( ABCD)  SA  MB (1) uuu uuu r r uuu uuu uuu uuu r r r r Mà MB. AC  MA  AB AB  BC  0     MB  AC (2) Từ (1) và (2) ta có MB vuông góc với (SAC) nên (SAC) vuông góc với (SMB). a b) Gọi O là tâm của đáy ABCD. Ta có NO  và 2 NO//SA, tức NO   ABCD  . 1 a Ta có: VANIB  VN . AIB  S AIB .NO  .S AIB 3 6 Ta tính SAIB. Dễ thấy I là trọng tâm tam giác ABD nên  AI  N A B I M O D C A B I 1 2a  a a 3 AC   . 3 3 3 2 S 2 M 2 2 2 a2 a 6 BM  a   3 3 2 3 D C 1 1 a 3 a 6 a2 2 .  Vậy S AIB  IA.IB  .  2 . 2 2 3 3 6 a3 2 Thay (2) vào (1) ta có: VANIB  36 Nhận xét: Ta còn có thể tính thể tích của khối chóp có đỉnh là N, đáy là một tam giác hoặc tứ giác trong hình chữ nhật ABCD. Ngoài ra ta có thể chứng minh MB vuông góc với AC theo nhiều cách khác. Lại có BI  Ví dụ 5(A 2009). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A, D và AB = AD = 2a; CD = a, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Phân tích: Giáo viên nhấn mạnh cho học sinh chiều cao của khối chóp chính là SI. Giải:   SBI   ( ABCD)  Ta có   SCI   ( ABCD)  SI   ABCD  .  SBI    SCI   SI  · Kẻ IH  BC  SH  BC . Ta có SHI  600 là góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABCD). Trong SIH , ta có SI=IH.tan600=IH. 3 Gọi M, N tương ứng là trung điểm AB, BC. Vì IN là đường trung bình của hình thang 3a ABCD nên: IN  2 14 · · Ta có: IH  IN cos HIN  IN cos MCB 3a MC 3a 2a 3a 5  .  = . . 2 BC 2 4a 2  a 2 5 Vậy VS . ABCD S 1  2 a  a  2a 3a3 15  . .SH . 3  3 2 5 M A I B N H D C Nhận xét: Bài toán này phức tạp ở chỗ học sinh phải tìm được góc giữa hai mặt phẳng thì mới tính được SI. Để đơn giải hơn ta có thể thay đổi giả thiết góc giữa hai mặt bởi điều kiện tam giác SAD đều hoặc vuông. Ví dụ 6. Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A' xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC một góc 600. a. Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật. b. Tính thể tích lăng trụ ABC.A'B'C' theo a. Phân tích : Giáo viên nhấn mạnh cho học sinh biết chiều cao chính là A’O. Giải : a) Ta có OA là hình chiếu của AA' trên (ABC). Vậy góc giữa AA’ và (ABC) là góc giữa AA’ và · OA và bằng OAA '  60o Ta có AO  BC tại trung điểm H của BC nên BC  A' H mà BC  A ' O nên  BC  ( AA' H )  BC  AA' mà AA'//BB' nên BC  BB ' . Vậy BB'CC' là hình chữ nhật. b) Vì ABC đều nên 2 2a 3 a 3 AO  AH   3 3 2 3 AOA'  A'O  AO tan60o  a A' C' B' 600 A C O a a3 3 Vậy VABC.A’B’C’ = SABC.A'O = 4 H B Nhận xét: Trong bài này ta có thể thay hình chiếu của A’ xuống (ABC) bởi một điểm khác (ví dụ như điểm H) thì ta vẫn tính được thể tích của khối lăng trụ. Ví dụ 7(A 2008). Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = 3a và hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên mặt phẳng 15 (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A'.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA', B'C'. Phân tích: Giáo viên nhấn mạnh cho học sinh biết chiều cao chính là A’H. Giải: +) Gọi H là trung điểm của BC. Suy ra B' A ' H   ABC  1 1 2 BC  a  3a 2  a . 2 2 2 Do đó A ' H  AA '2  AH 2  3a 2  A ' H  a 3 . 1 a3 Vâỵ VA '. ABC  A ' H .SABC  (đvtt) 3 2 A' và AH  +) Tính cosin của góc: Có hai cách tính cosin của góc dựa vào tích vô hướng hoặc xác định góc giữa hai đường rồi mới đi tính toán. C' B H 3a a 2a C A Nhận xét: Ở bài toán này ta có thể tính thể tích của khối chóp có đỉnh là B’ hoặc C’ đáy là tam giác ABC hoặc đỉnh là A; B; C đáy là A’B’C’. Ví dụ 8(B 2009). Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có BB’ = a. Góc giữa đường thẳng BB’ và · mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tam giác ABC vuông tại C và BAC = 600. Hình chiếu vuông góc của B’ lên mp(ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’.ABC theo a. Phân tích: Chiều cao của khối lăng trụ chính là B’H. Khi đó chiều cao của khối tứ diện A’.ABC là A’K và bằng B’H. Giải: 1 Ta có VA '. ABC  B ' H .S ABC 3 B' A' Góc giữa BB’ và (ABC) bằng góc · · B ' BH  B ' BH  600 B a C' a 3 Khi đó B ' H  BB '.sin 600  2 a 3a và BH  BB '.cos 600   BM  2 4 600 A Ta có B 600 C M A H M 3 AB AB BC  AB , AC   MC  . 2 2 4 C 6a 13 Mà BC 2  MC 2  BM 2  AB  13 2 1 9a 3 1 a 3 9a 3 3 9a 3 .  Nên S ABC  BC. AC  . Khi đó VA '. ABC  . . 2 13 3 2 13 26 Nhận xét: Nếu trong bài này ta đi dựng chiều cao của khối tứ diện sẽ gặp nhiều khó khăn. 16 Ví dụ 9(A 2010). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH  a 3 . Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a. Phân tích: Trong bài này ta xác định được chiều cao là SH. Giải: 5a 2 Ta có: SCDNM  S ABCD  S AMN  S BCM  8 3 1 5 3a  VS .CDNM   SCDNM .SH  3 24 · · ADM  DCN  ADM  DCN  DM  CN , kết hợp với DM  SH , suy ra DM   SHC  . Hạ S HK  SC  K  SC  , suy ra HK là đoạn vuông góc A chung của DM và SC, do đó d  DM , SC   HK . M K N CD 2 2a H Ta có HC  và  CN 5 D C SH .HC 2 3a 2 3a HK    d  DM , SC   . 19 19 SH 2  HC 2 Nhận xét: Mục tiêu chỉ là đi tính diện tích đáy là xong nên ta có thể yêu cầu tính thể tích của một khối chóp khác có đáy là tam giác, tứ giác khác trong hình vuông ABCD. Ví dụ 10. (HSG – Vĩnh Phúc 2012 - 2013) Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A ' lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA ' và BC bằng a 3 . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' . 4 Phân tích: Trong ví dụ nà thì chiều cao ta đã biết, mục tiêu là đi xác định khoảng cách giũa hai đường thẳng AA’ và BC. Nhận thấy AA’ và BC vuông góc với nhau nên ta có thể dựng đường vuông góc chung của chúng để tính khoảng cách. Giải: a2 3 Diện tích đáy là S ABC  . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC 4  BC  AE Gọi E là trung điểm BC . Ta có   BC   AA ' E   BC  A ' G Gọi D là hình chiếu vuông góc của E lên đường thẳng AA ' . Do đó BC  DE, AA '  DE Suy ra DE là khoảng cách giữa hai đường thẳng AA ' và BC 17 B Tam giác ADE vuông tại D suy ra DE 1 · · sin DAE    DAE  300 AE 2 Xét tam giác A ' AG vuông tại G ta có a A ' G  AG.tan 300  3 a3 3 Vậy VABC . A ' B ' C '  A ' G.S ABC  . 12 B' A' C' D B E A G C Các bài tập tương tự: Bài 1. Cho khối chóp tam giác đều SABC có cạnh bên bằng a, góc ở đáy của mặt bên là 45o. 1) Tính độ dài chiều cao SH của khối chóp SABC . a 3 a3 Đs: V  6 Đs: SH = 2) Tính thể tích khối chóp SABC. Bài 2. Cho khối chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy a và mặt bên hợp với đáy một góc 60o. Tính thể tích khối chóp SABC. a3 3 Đs: V  24 ASB Bài 3. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy a và ¼  60o . 1) Tính tổng diện tích các mặt bên của hình chóp đều. 2) Tính thể tích khối chóp tương ứng. a2 3 Đs: S  3 3 a 2 Đs: V  6 Bài 4. Cho khối chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng S.ABCD là chóp tứ giác đều.Tính cạnh của hình chóp này khi thể tích của nó bằng V  9a3 2 . 2 Đs: AB = 3a Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thang cân (AB//CD) với AC = 20cm, BC = 15cm, AB = 25cm. Cho SA vuông góc với đáy và SA = 18cm. Tính VS.ABCD. Đs: VS.ABCD = 1152 Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D. Biết AB = AD = 2a, CD = a. Góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm AD, biết (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với (ABCD). Tính VSABCD theo a. 3 3a3 Đs: VSABCD  5 18 Bài 7. Cho hinh chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, 2 đường chéo AC  2 3a, BD  2a và AC  BD  O . Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với (ABCD) biết k hoảng cách từ O đến (SAB) bằng a 3 . Tính VSABCD theo a. 4 a3 3 3 Bài 8(A2012). Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa SC và (ABC) bằng 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa SA và BC theo a. Đs: VS.ABCD = Bài 9(KB2012). Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2a, AB = a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc với (ABH). Tính thể tích khối chóp S.ABH theo a. Bài 10(KD2012). Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C=a. Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ A đến (BCD’) theo a. Bài 11(KA2011). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bẳng 600. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a. Bài 12(KB2011). Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật và AB = a, AD = a 3 . Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) bằng 600. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a. Bài 13(KD2010). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, AH = AC/4. Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích của khối tứ diện SMBC theo a. a 3 Bài 14. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AB = AD = a, AA’ = và 2 góc BAD = 600 . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A’D’ và A’B’. Chứng minh rằng AC’ vuông góc với mặt phẳng (BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN theo a. Bài 15. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Một mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với AA’, cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện tích bằng a2 3 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a. 8 19 Bài 16. Cho hình hộp ABCD.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, AB = AA = 2a. Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng đáy trùng với tâm của đáy. M là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích hình hộp và cosin của góc giữa hai đường thẳng AM và AC. Bài 17. Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có cạnh đáy là a và khoảng cách từ A a đến mặt phẳng (A’BC) bằng . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' . 2 Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt (ABCD) trùng với trung điểm H của đoạn AO. Góc giữa SA và (ABCD) bằng 600 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm SC và CD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SH theo a. Đs: VS. ABCD  a3 6 3a 10 , d ( MN , SH )  20 12 Bài 19. (HSG Hà Tĩnh 2014-2015) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB = a. Gọi I là trung điểm của AC. Biết hình chiếu vuông góc của S lên mặt uu r uur u phẳng (ABC) là điểm H thoả mãn BI  3IH và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là 600. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SI. Đs: VS . ABC  a3 2a 153 (đvtt), d ( AB, SI )  53 9 Bài 20. (HSG Vĩnh Phúc 2013-2014) Cho hình chóp S. ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm của BC và H là trung điểm của AM . Biết · HB  HC  a , HBC  300 ; góc giữa mặt phẳng  SHC  và mặt phẳng  HBC  bằng 600 . Tính theo a thể tích khối chóp S.HBC và tính cosin của góc giữa đường thẳng BC và mặt phẳng  SHC  . Đs: VS .HBC  3a3 13 · , cos BCB '  . 4 16 Bài 21. (HSG Thái Bình 2015-2016) Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông tại C, với BC = a, BB' = 2a, AB' = 3a. Gọi M là trung điểm A'B', I là giao điểm của BM và AB'. Tính theo a thể tích tứ diện IABC và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (IAC). Đs: VIABC  20 4a 3 2a , d ( B, ( IAC ))  9 5