Tài liệu Skkn hướng dẫn học sinh thcs tự học về phép chia trên tập số nguyên

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: “HƢỚNG DẪN HỌC SINH THCS TỰ HỌC VỀ PHÉP CHIA TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN” A- MỞ ĐẦU I- ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Theo phương pháp truyền thống, các bài tập ở nhà thường chỉ đơn thuần khuyến khích học sinh ghi nhớ kiến thức. Làm thế nào để học sinh phát huy được năng lực sáng tạo, khả năng nghiên cứu cũng như những đam mê của của mình về một lĩnh vực khoa học nào đó? Thực tế có nhiều sách tham khảo viết cho học sinh những tài liệu đó viết chung cho nhiều đối tượng học sinh. Các tài liệu thường viết dưới dạng chuyên đề với cách viết là: đưa ra các ví dụ và lời giải sau đó là bài tập áp dụng mà không trình bày được tài sao lại tư duy như thế ? Tại sao lại định hướng được lời giải như thế ? Lối viết này đòi hỏi người học phải có một trình độ nhất định về nghiên cứu, đây là vấn đề khó đối với học sinh trung học cơ sở. Để khắc phục những hạn chế trên tôi đã viết các chuyên đề Toán theo hướng chuyên đề. C ng với việc phân dạng bài tập là các ví dụ điển hình. Với m i ví dụ điểm hình tôi đều trình bày luận điểm tại sao lại tư duy như thế? để d n tới lời giải. Trong những năm học trước tôi đã nghiên cứu và triển khai các đề tài về hướng d n học sinh tự học một số chủ đề toán học. Tiếp tục hướng nghiên cứu này tôi đăng ký nghiên cứu và viết về “Hướng dẫn học sinh tự học về phép chia trên tập số nguyên”. Đề tài đã được triển khai tại trường THCS Ph Cừ và được Hội đ ng khoa học trường đánh giá cao trong năm học vừa qua. 2 Đ tƣ n v p mv n nc u T n ề t : “Hướng dẫn học sinh tự học về phép chia trên tập số nguyên” * Đề tài nghiên cứu về Phương pháp hướng d n học sinh tự học trong quá trình học tập môn Toán. * Nghiên cứu trong phạm vi hướng d n học sinh lớp 8,9 tự học chủ đề toán học Phép chia trên tập số nguyên . Tập trung chủ yếu nghiên cứu về bài toán chia hết và chia có dư của biểu thức một biến và một số ứng dụng của phép chia trên tập số nguyên. * Nghiên cứu trên cơ sở thực hiện là nội dung, chương trình, kế hoạch giáo dục ở trường THCS, các định hướng và quan điểm về ĐMPPDH, phương pháp và kỹ thuật dạy học tích cực, các thầy cô giáo và các em học sinh trường THCS Ph Cừ. II- PHƢƠNG PHÁP TIẾN HÀNH 1- Cơ sở lý luận Một số vấn đề cơ bản về dạy học tích cực. 1.1 D y ọc tíc cực l ì? Dạy học tích cực là một thuật ngữ rút gọn, được d ng ở nhiều nước để chỉ những phương pháp giáo dục, dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của người học."Tích cực" trong phương pháp dạy học - tích cực được d ng với nghĩa là hoạt động, chủ động, trái nghĩa với không hoạt động, thụ động chứ không d ng theo nghĩa trái với tiêu cực. Dạy tích cực hướng tới việc hoạt động hóa, tích cực hóa hoạt động nhận thức của người học, nghĩa là tập trung vào phát huy tính tích cực của người học chứ không phải là tập trung vào phát huy tính tích cực của người dạy. Học tích cự chỉ xảy ra khi học sinh được trao cơ hội thực hiện các tương tác đề tài chính trong một giai đoạn giáo dục, được động viên để hình thành tri thức hơn là việc nhận tri thức từ việc giới thiệu của giáo viên. Trong một môi trường học tập tích cực, giáo viên là người tạo điều kiện thuận lợi cho việc học chứ không phải là người “đọc chính tả” cho học sinh chép! 1 2 Đặc trƣn cơ bản của d y- ọc tíc cực a. Dạy học thông qua tổ chức các hoạt động của học sinh. b. Dạy học chú trọng rèn luyện phương pháp tự học, tự đọc. c. Dạy và học coi trọng hướng d n tìm tòi. d. Tăng cường học tập cá thể phối hợp với học tập hợp tác e. Kết hợp đánh giá của thầy và tự đánh giá của trò. f. Dạy và học chú trọng đến sự quan tâm hứng thú của học sinh, nhu cầu và lợi ích của xã hội. (Dạy và học tích cực. Một số phương pháp và kĩ thuật dạy học- BGD$ĐT dự án Việt-Bỉnhà xuất bản Sư phạm năm 2010) Chúng ta đều biết cách học tích cực thì phong phú nhưng có chung một đặc trưng là Khám phá và Khai phá , có thể hiểu: 4 cách học 1.Học bất kỳ lúc nào 2. Học bất kỳ nơi nào 3. Học bất kỳ người nào 4. Học bất kỳ nguồn nào (Theo tài liệu tập huấn giáo viên dạy học, KTĐG theo chuẩn KTKN trong chương trình giáo dục phổ thông- Vụ giáo dục trung học- Tháng 7/2010) Trên cơ sở nghiên cứu dạy học tích cực qua lý luận về phương pháp và kĩ thuật dạy học tích cực, đề tài tập trung giải pháp làm thế nào đề thực hiện được Dạy học chú trọng rèn luyện phương pháp tự học, tự đọc và Dạy - Học coi trọng hướng d n tìm tòi . 2. Cơ sở t ực t ễn Bản thân tôi được giảng dạy tại trường THCS Ph Cừ- trường chất lượng cao của huyện, hầu hết học sinh nhà trường có nhận thức khá trở lên về bộ môn toán. Đây là điều kiện thuận lợi cho tôi triển khai nghiên cứu các đề tài về ĐMPPDH. Trong những năm học gần đây tôi đã triển khai đề tài cấp trường, cấp huyện về vấn đề ĐMPPDH , phương pháp và kỹ thuật dạy-học tích cực. Đối với bộ môn Toán tôi tập trung nghiên cứu và triển khai các đề tài trong các tình huống điển hình đó là Phương pháp dạy học trong tình huống tổ chức hoạt động Dạy-Học định lý, tính chất ở môn Toán được xếp loại B cấp Tỉnh năm 2010, nghiên cứu về Dạy học tích cực trong tình huống tổ chức hoạt động Dạy-Học tiết ôn tập ở môn Toán được xếp loại C cấp Tỉnh năm 2011, Tong các năm học 2011-2012 và 2012-2013 tôi đã nghiên cứu đề tài Hướng d n học sinh tự học một số bất đẳng thức quen thuộc và Hướng d n học sinh tự học bài toán cực trị hình học đều được xếp loại C cấp tỉnh. Năm học này, tôi tiếp tục hướng nghiên cứu về hướng d n học sinh tự học một số chuyên đề khó trong toán số học cho đối tượng là học sinh khá, giỏi. Các chuyên đề này giúp cho học sinh rất nhiều trong việc phát triển tư duy Toán, có điều kiện để sáng tạo đ ng thời giúp cho các em có điều kiện hoạt động độc lập và xây dựng con đường học tập cho riêng mình. Xác định được vai trò quan trọng của việc giáo dục học sinh tự học, bản thân tôi luôn cố gắng tìm tòi lời giải của bài toán “Làm thế nào khuyến khích và giúp đỡ học sinh của mình tự học?”. Một trong những đáp án của bài toán trên là viết những tài liệu với giọng văn như những lời tâm sự hướng tới sự đ ng cảm với học trò của mình đó là Tại sao Thầy lại nghĩ ra được cách giải ấy? chứ không phải Thầy giải bài tập đó em có hiểu không? . Tài liệu tôi viết dành tặng cho học sinh của mình tôi thường chọn những vấn đề toán học gần gũi với các em, đặc biệt là ph hợp với đối tượng học sinh. Trong phạm vi của kinh nghiệm dạy học này tôi chuyển tải đề tài Hướng dẫn học sinh tự học một số bài toán về chia trên tập số nguyên” một chủ đề kiến thức toán học tương đối khó đối với học sinh và cũng là tiếp tục hướng nghiên cứu đề tài của năm học trước. Tôi viết dành cho học sinh khá giỏi lớp 8 và lớp 9. 3. Các b ện p áp cơ bản t ến 3.1 P ƣơn p áp n n c u: n n nc a ềt 1/ Phương pháp nghiên cứ lý luận Nghiên cứu một số tài liệu về khoa học phương pháp dạy học, đổi mới PPDH môn toán, quản lý và chỉ đạo của người hiệu trưởng, các văn kiện của Đảng, nhiệm vụ năm học, hướng d n thực hiện kế hoạch năm học của các cấp để xây dựng lý luận cho đề tài. 2/ Nhóm phương pháp thực tiễn Giảng dạy trực tiếp, dự giờ, quan sát, hội thảo, đàm thoại, tổng kết kinh nghiệm để rút ra bài học về việc tự học môn Toán THCS. 3/ Nhóm phương pháp hỗ trợ Điều tra thống kê, lập bảng biểu so sánh dữ liệu đánh giá .... 3.2 Kế o c n nc u 1/ Đăng ký nghiên cứu chuyên đề Hướng d n học sinh tự học trong quá trình học tập môn Toán với trường THCS Ph Cừ từ đầu năm học 2010-2011. 2/ Thực hiện nhóm phương pháp thực tiễn tại trường THCS Ph Cừ trong các năm học từ năm học 2010-2011 đến 2013-2014 bao g m: + Điều tra thực tiễn qua học sinh trường THCS Ph Cừ + Tổ chức chuyên đề cấp Tổ đối với Tổ KHTN + Tổng kết, viết đề tài, thông qua Hội đ ng khoa học trường THCS Ph Cừ B- NỘI DUNG I- MỤC TIÊU ĐỀ TÀI - Nghiên cứu các giải pháp thực hiện mục tiêu Dạy học chú trọng rèn luyện phương pháp tự học, tự đọc và Dạy và học coi trọng hướng d n tìm tòi đối với bộ môn Toán. - Vận dụng vào trong các tình huống dạy- học điển hình khác theo hướng tích cực. -Giúp cho học sinh phát triển tư duy Toán, phát huy tính sáng tạo đ ng thời giúp cho các em có điều kiện hoạt động độc lập và xây dựng con đường học tập cho riêng mình. II- GIẢI PHÁP C ƣơn I- MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ TỰ HỌC 1 Quan ểm về tự ọc Chất lượng và hiệu quả giáo dục được nâng cao khi và chỉ khi tạo ra được năng lực sáng tạo của người học, khi biến được quá trình giáo dục thành quá trình tự giáo dục. Giáo dục phải coi trọng việc b i dưỡng năng lực tự học, tự nghiên cứu, tạo điều kiện cho người học phát triển tư duy sáng tạo, rèn luyện kỹ năng thực hành, tham gia nghiên cứu, thực nghiệm, ứng dụng. Như vậy, phương pháp dạy và học cần thực hiện theo ba định hướng: - B i dưỡng năng lực tự học, tự nghiên cứu; - Tạo điều kiện cho người học phát triển tư duy sáng tạo; - Rèn luyện kỹ năng thực hành, tham gia nghiên cứu, ứng dụng. - Chú trọng rèn luyện phương pháp tự học là một trong những đặc trưng cơ bản của dạy-học tích cực. Một trong những yêu cầu của dạy và học tích cực là khuyến khích người học tự lực khám phá những điều chưa biết trên cơ sở những điều đã biết và đã qua trải nghiệm. GV nên đưa người học vào những tình huống có vấn đề để các em trực tiếp quan sát, trao đổi, làm thí nghiệm. Từ đó giúp HS tìm ra những câu trả lời đúng, các đáp án chính xác nhất. Các em còn được khuyến khích khai phá ra những cách giải quyết cho riêng mình và động viên trình bày quan điểm theo từng cá nhân. Đó là nét riêng, nét mới có nhiều sáng tạo nhất. Có như vậy bên cạnh việc chiếm lĩnh tri thức, người học còn biết làm chủ cách xây dựng kiến thức, tạo cơ hội tốt cho tính tự chủ và óc sáng tạo nảy nở, phát triển. Có thể so sánh nếu quá trình giáo dục là một vòng tròn thì tâm của đường tròn đó phải là cách tổ chức các hoạt động học tập cho đối tượng người học. Trong dạy học cần rèn cho người học phương pháp tự học. Nếu người học có được phương pháp tự học, kỹ năng, thói quen và ý chí tự học thì sẽ tạo cho họ lòng say mê học tập, khơi dậy nội lực vốn có trong m i người học và kết quả học tập sẽ tăng lên. 2. Tự học và nghiên cứu khoa học 2.1. Tự học Trong quá trình học tập bao giờ cũng có tự học, nghĩa là tự mình lao động trí óc để chiếm lĩnh kiến thức. Trong tự học, bước đầu thường có nhiều lúng túng nhưng chính những lúng túng đó lại là động lực thúc đẩy sinh viên tư duy để thoát khỏi lúng túng , nhờ vậy mà thành thạo lên, và đã thành thạo thì hay đặt những dấu hỏi, phát hiện vấn đề và từ đó đi đến có đề tài nghiên cứu. 2.2. Nghiên cứu khoa học Việc nghiên cứu khoa học dĩ nhiên tác động trở lại việc học và có phát triển tự học lên đến nghiên cứu khoa học thì mới có thực tiễn để hiểu sâu mối quan hệ giữa tư duy độc lập và tư duy sáng tạo. 3 P ƣơn p áp tự ọc bồ dƣỡn năn lực tự ọc, kỹ năn tự ọc l m cầu n ọc tập v n n c u k oa ọc của n ƣờ ọc ữa Hoạt động nghiên cứu khoa học của học sinh khá giỏi loại hình hoạt động rất cơ bản do tính chất đặc th của quá trình phát triển năng lực tư duy. Theo tôi, khả năng nghiên cứu khoa học của học sinh là năng lực thực hiện có hiệu quả các hoạt động nghiên cứu khoa học trên cơ sở lựa chọn, tiến hành hệ thống các thao tác trí tuệ và thực hành nghiên cứu khoa học ph hợp với điều kiện và hoàn cảnh nhất định nhằm đạt mục đích nghiên cứu khoa học đề ra. Hoạt động nghiên cứu khoa học có thể diễn ra theo các giai đoạn sau: - Định hướng nghiên cứu; - Xây dựng kế hoạch nghiên cứu; - Thực hiện kế hoạch nghiên cứu; - Kiểm tra, đánh giá kết quả nghiên cứu; - Báo cáo kết quả nghiên cứu. 4 Một s b ện p áp cơ bản ƣớn dẫn ọc s n tự ọc: ...Trong hướng dẫn tự học giáo viên cần quan tâm đến các vấn đề sau: 1- Học sinh có được tạo điều kiện sáng tạo không? 2- Học sinh có thể hoạt động đọc lập không? 3- Học sinh có được khuyến khích đưa ra những giải pháp của mình không? 4- Học sinh có thể lựa chọn các chủ đề, bài tập/nhiệm vụ khác nhau không? 5- Học sinh có được tự chủ trong các hoạt động học tập không? 6- Học sinh có được tự đánh giá không... (Dạy và học tích cực. Một số phương pháp và kĩ thuật dạy học- BGD$ĐT dự án Việt-Bỉnhà xuất bản Sư phạm năm 2010) 4.1 Một số kỹ năng cơ bản về tự học của học sinh 4.1.1- Lập kế hoạch học tập là điều cần thiết: Trước khi làm bất cứ chuyện gì, nên lập kế hoạch. Nếu không có kế hoạch thì không làm chủ được thời gian, nhất là khi có điều gì bất trắc xảy đến. Một kế hoạch học tập tốt cũng giống như chiếc phao cứu hộ vậy. M i người, t y vào nhu cầu của mình, sẽ lập một kế hoạch học tập riêng, kế hoạch đó có thể thay đổi khi cần, nhưng điều quan trọng là phải tuân thủ kế hoạch đã đề ra. 4.1.2- Kế hoạch học tập giúp quản lý thời gian Bất cứ ai cũng có 168 giờ m i tuần, nhưng có người sử dụng quỹ thời gian đó có hiệu quả hơn người khác. Học sinh có rất nhiều thứ để làm, bạn hãy liệt kê tất cả công việc cho từng ngày sau đó, nếu ta thấy còn ít hơn 30 giờ m i tuần để tự học thì ta hãy kiểm điểm lại xem tại sao mình phí thời gian như vậy. 4.1.3- Chọn địa điểm học Ta có thể học ở bất kỳ nơi nào, mặc d rõ ràng có một số nơi thuận lợi hơn choviệc học. Quan trọng là nơi đó không làm phân tán sự tập trung của bạn. Cho nên hãy làm cho việc lựa chọn nơi học thích hợp trở thành một phần của thói quen học tập. 4.1.4- Chọn thời điểm học tập. Nói chung chỉ nên học lúc chúng ta thoải mái, minh m n, vào đúng khoảng thời gian đã lên kế hoạch để học. 4.1.5- Học cho giờ lý thuyết: Nếu học trước để chuẩn bị cho giờ lên lớp, cần đọc tất cả những tài liệu, cần đọc trước và ghi chú thích những điểm chưa hiểu. Nếu học sau giờ lên lớp, cần chú ý xem lại những thông tin ghi chép được. 4.1.6- Học cho giờ thảo luận Sử dụng khoảng thời gian ngay trước các giờ học này để luyện tập kỹ năng phát biểu với các học viên khác (nếu cần). Điều này sẽ giúp hoàn thiện kỹ năng phát biểu. 4.1.7- Sửa đổi kế hoạch học tập. Đừng lo ngại khi phải sửa đổi kế hoạch. Thật sự kế hoạch chỉ là cách bạn dự tính sẽ d ng quỹ thời gian của mình như thế nào, cho nên một khi kế hoạch không hiệu quả, ta có thể sửa đổi nó. Nên nhớ rằng, việc lập kế hoạch là giúp có thói quen học tốt hơn và khi đó việc lập kế hoạch sẽ trở nên dễ dàng hơn. Tuân theo đúng kế hoạch học tập đã định là một chuyện rất khó làm, trong khi vỡ kế hoạch là một việc rất dễ ! 4.2 Một số biện pháp hướng dẫn học sinh tự học. 4.2.1 Tự học qua sách giáo khoa: - SGK là ngu n tri thức quan trọng cho học sinh, nó là một hướng d n cụ thể để đạt lượng liều lượng kiến thức cần thiêt của môn học, là phương tiện phục vụ đắc lực cho giáo viên và học sinh. Do đó tự học qua SGK là vô c ng quan trọng để học sinh tham gia vào quá trình nhận thức trên lớp và củng cố khắc sâu ở nhà. - Để học sinh tự nghiên cứu trước SGK ở nhà thì giáo viên không nên chỉ đơn giản là nhắc các em đọc trước bài mới mà cần nêu cụ thể câu hỏi mà khi đọc xong bài mới các em có thể trả lời được. Đó là cách giao nhiệm vụ cụ thể giúp học sinh đọc sách giao khoa có mục tiêu cụ thể rõ ràng. - SGK cũng là tài liệu để học sinh đọc thêm cho rõ ràng những kiến thức mà giáo viên truyền đạt trên lớp vì vậy những ví dụ m u giáo viên không nên thay đổi để nếu học sinh đã đọc trước sẽ tham gia ngay được vào bài giảng, những học sinh yếu có thêm 1 tài liệu để đọc lại khi chưa rõ cách giáo viên hướng d n. - Đối với những nội dung mà sách giáo khoa đã có chi tiết đầy đủ thì không nên ghi lên bảng cho hs chép mà cho các em về tự đọc trong SGK, cách làm này vừa tiết kiệm thời gian vừa tạo thói quen đọc sgk cho học sinh và làm cho bài giảng không bị nhàm chán 4.2.2 Tự học qua sách bài tập, sách và tài liệu tham khảo: - Đối với học sinh trong trường, sách bài tập đều có nên giáo viên phải tận dụng tài liệu này để giúp học sinh tự học hiệu quả. - Việc cho bài tập về nhà cũng cho theo thứ tự dạng bài tập của SGK và SBT để học sinh có 1 lượng bài tập tương tự đủ lớn (các bài này đều có lời giải chi tiết) để có thể tự mình làm được các bài trong SGK. Khi cho bài theo cách này sẽ giúp học sinh có 1 cách học mới là khi gặp khó khăn sẽ tự tìm kiếm một phương án tương tự đã có để giải quyết chứ không thụ động chờ đợi giáo viên hướng d n. 4.2.3 Tự nghiên cứu: Giáo viên nên hướng d n học sinh làm các BT lớn, có kiểm tra đánh giá để hs có khả năng tự phân tích tổng hợp. Muốn hiệu quả cao, giáo viên phải biết viết các tài liệu theo hướng các chuyên đề nhằm định hướng về Tư duy và Kỹ năng cho học sinh đ ng thời tạo ra động lực thúc đẩy học sinh nghiên cứu khoa học. C ƣơn II- THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ TỰ HỌC v GIÁO DỤC HỌC SINH TỰ HỌC HIỆN NAY I- Đán á c un Trong việc đổi mới PPDH lấy học sinh làm trung tâm thì việc tự học của học sinh vô c ng quan trọng, để điều khiển quá trình tự học sao cho có hiệu quả nhất thì việc kiểm tra đánh giá của giáo viên đỏi hỏi phải thật khéo léo, đa dạng góp phần tích cực làm chuyển biến quá trình tự học của học sinh. Tuy vậy, trong thực tế dạy học hiện nay việc áp dụng phương pháp dạy học hướng d n học sinh tự học của giáo viên ở tất cả các môn học nói chung và môn toán nói riêng còn gặp rất nhiều lúng túng và khó khăn. Cách học của học sinh v n đơn giản là cố gắng hoàn thành hết số bài tập giáo viên giao về nhà (bằng mọi cách có thể), và học thuộc trong vở ghi đối với các môn học thuộc. Đối với giáo viên thì chỉ quen thuộc với cách kiểm tra bài cũ đầu giờ cốt sao cho đủ số lần điểm miệng. Việc kiểm tra định kỳ chỉ đơn giản là thực hiện theo phân phối chương trình, trước khi kiểm tra sẽ giới hạn cho học sinh một phần kiến thức. Đa số giáo viên thường quan niệm kiến thức là mục đích của quá trình dạy học nên chỉ quan tâm đến phương pháp truyền thụ kiến thức của bài đúng với nội dung SGK. Một số giáo viên chưa có kỹ năng soạn bài, v n áp dụng một cách rập khuôn, máy móc lối dạy học "truyền thống" chủ yếu giải thích, minh hoạ tái hiện, liệt kê kiến thức theo SGK là chính, ít sử dụng câu hỏi tìm tòi, tình huống có vấn đề… coi nhẹ rèn luyện thao tác tư duy, năng lực thực hành, ít sử dụng các phương tiện dạy học nhất là các phương tiện trực quan để dạy học và tổ chức cho học sinh nghiên cứu thảo luận trên cơ sở đó tìm ra kiến thức và con đường để chiếm lĩnh kiến thức của học sinh. Thực tế, giáo viên thường soạn bài bằng cách sao chép lại SGK hay từ thiết kế bài giảng, không dám khai thác sâu kiến thức, chưa sát với nội dung chương trình, hướng d n học sinh vận dụng kiến thức giải quyết những vấn đề từ nhỏ đến lớn trong thực tế đời sống và sản xuất. Khi dạy thường nặng về thông báo, không tổ chức hoạt động học tập cho các em, không dự kiến được các biện pháp hoạt động, không hướng d n được phương pháp tự học. Mặt khác, phương pháp dạy học phổ biến hiện nay v n theo "lối mòn", giáo viên truyền đạt kiến thức, học sinh thụ động lĩnh hội tri thức. Thậm chí có giáo viên còn đọc hay ghi phần lớn nội dung lên bảng cho học sinh chép nội dung SGK. Việc sử dụng các phương tiện dạy học: phiếu học tập, tranh ảnh, băng hình, bản trong... chỉ d ng khi thi giáo viên hay có đoàn thanh tra, kiểm tra đến dự, còn các tiết học thông thường hầu như "dạy chay". Do việc truyền đạt kiến thức của giáo viên theo lối thụ động nên rèn luyện kỹ năng tự học cũng như việc hướng d n tự học của giáo viên cho học sinh không được chú ý làm cho chất lượng giờ dạy không cao II. Tổn p s l ệu ều tra t ƣc t ễn 1- Điều tra về việc tự học của học sinh Kết quả qua phiếu điều tra: Mức độ Lớp Tự đọc bài mới Tự học STK sau Học theo tài SGK trước khi bài học trên lớp liệu của giáo đến lớp viên 9A (45hs) 1/45=2,2% 20/45=44,5% 24/45=53.3% 8A (44hs) 0/45=0% 23/44=52,3% 21/44=47,7% 8B (45hs) 1/45=2,2% 22/45=49% 22/45=48,8% 7A (48hs) 3/48=6,3% 31/48=64,6% 14/48=29,1% 7B (47hs) 2/47=4,3% 19/47=40,4% 26/47=55,3% ĐÁNH GIÁ CÁC KẾT QUẢ ĐIỀU TRA Hầu hết học sinh không đọc bài mới trước khi lên lớp. Qua trao đổi, tôi thấy các em có chung câu trả lời là khó, với lại hôm sau đã được Thầy dạy r i! . Có nhiều em tự học thêm STK. Qua trao đổi, tôi thấy nguyên nhân có học chủ yếu do Thầy ra thêm bài tập về nhà ở tài liệu này. 2- Kết quả điều tra những tác động của giáo viên đối với việc tự học của học sinh thông qua biện pháp viết tài liệu phát cho học sinh 2.1 Điều tra học sinh khối 8, 9 của trường THCS Ph Cừ qua câu hỏi điều tra: “Em có thích tài liệu theo chuyên đề của Thầy gửi cho các em tự học không? nguyên nhân?(em có thể chọn nhiều lý do theo chính kiến của em” M u phiếu: 1* Không thích Lý do: a) Do tài liệu chỉ có bài tập mà không có lời giải b) Do tài liệu có quá nhiều bài tập khó c) Do tài liệu có nhiều ch không có trong SGK. 2* Thích Lý do: a) Do tài liệu viết chi tiết các suy nghĩ d n tới lời giải b) Do tài liệu có sẵn hướng d n giải c) Do có nhiều vấn đề mở rộng Trong tổng số 150 phiếu thu về khi cho thấy: 1. Vấn đề nguyên nhân không thích tài liệu Có 55% phiếu có chọn không thích – trong đó có 46% chọn lý do a) 57% chọn lý do b) và 14% chọn lý do c) 2. Vấn đề nguyên nhân thích tài liệu Có 85% chọn lý do a) 13% chọn lý do b) và 65% chọn lý do c). 2.2 Điều tra học sinh khối 8, 9 của trường THCS Ph Cừ qua câu hỏi điều tra: Em học được khoảng bao nhiêu % nội dung các tài liệu mà thầy viết (trong khoảng các mứ c dưới đây) a) Khoảng 5-10% b) Khoảng 10-15% c) Khoảng 20-30% d) Khoảng 40-50% e) Khoảng 60-80% f) Khoảng 85-100% Trong tổng số 150 phiếu thu về khi cho thấy: Phương án a b c d e f Số lượng 9 14 20 34 53 22 ĐÁNH GIÁ CÁC KẾT QUẢ ĐIỀU TRA *1. Có nhiều em học sinh không thích tài liệu chỉ là các bài tập, thậm chí cả tài liệu g m bài tập của thầy có hướng d n giải. *2. Có rất nhiều học sinh thích tài liệu viết chi tiết các suy nghĩ d n tới lời giải, với loại tài liệu này số lượng học sinh học được từ 50% nội dung trở lên chiếm phần lớn điều này có nghĩa là tài liệu này ph hợp với các em, được các em đón nhận nhiều. Từ những nghiên cứu thực tế trên, tôi nhận thấy giải pháp viết các chuyên đề trình bày theo các chủ đề toán học, tài liệu kết hợp bài tập với những suy nghĩ của mình d n tới cách giải có sức giáo dục tốt ý thức tự học của học sinh. 2.3 Kết quả điều tra về một số chuyên đề Toán số học 2.3.1. Điều tra học sinh khối 8, 9 của trường THCS Ph Cừ qua câu hỏi điều tra: “Trong môn số học, một số dạng toán cơ bản dưới đây, dạng toán nào gây cho em khó khăn khi học nhất?. Kết quả cụ thể: Các cấp độ Đôi khi gặp khó khăn khi tìm được hướng giải quyết Gặp rất nhiều khó khăn khi tìm hướng giải quyết Không định hướng được 1- Bài toán về số lũy thừa (số chính phương, lập phương…) 22% 75% 3% 2- Bài toán về phần nguyên 17% 80% 3% 3- Bài toán về phép chia hết và phép chia có dư 25% 65% 10% 4- Bài toán về số nguyên tố, 28% 55% 17% Dễ tìm được hướng giải quyết Các dạng toán điển hình hợp số 5- Phương trình nghiệm nguyên 27% 42% 31% 2.3.2 (c ng với nội dung phiếu 2.2.1) Một số ý kiến của em về phép chia hết và chia có dư trong các bài tập số học mà em đã biết (về ứng dụng phép chia trên tập số nguyên trong việc giải bài toán số học, về k năng giải toán chia trên tập số nguyên ) Đánh giá kết quả điều tra: Đối với những kỹ năng cơ bản giải bài toán cơ bản số học thì hầu hết học sinh gặp khó khăn trong việc định hướng tìm lời giải. Đối với các bài toán liên quan đến phép chia trên tập số nguyên có nhiều học sinh biết hướng giải quyết. Có thể do dạng toán này gần gũi với các em. Nhiều HS qua phỏng vấn cho biết mặc d tìm được hướng đi nhưng khi trình bày lại rất khó khăn. Nhiều HS cho rằng mình làm được chẳng qua là đã từng được biết trước (do đọc sách hay do thầy chữa r i). Đối với câu hỏi 2.3.2 thì thu thập được khá nhiều ý kiến. kiến tập trung nhất là ứng dụng của chia hết, chia có dư trên tập số nguyên ở hầu hết các bài tập số mà các em đã gặp. CHƢƠNG III VÍ DỤ VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHÉP CHIA TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN I- LÝ THUYẾT CHUNG 1- P ép c a tr n tập s n uy n 1.1- Địn n ĩa Cho a,b lµ c¸c sè nguyªn, b  0. Ta nãi a chia cho b ®­îc th­¬ng lµ q vµ d­ r khi a=bq+r víi q,r lµ c¸c sè nguyªn vµ 0  r  b . Khi r=0 ta nãi a chia hÕt cho b. HÖ qu¶: Khi chia a cho b  0 th× sè d­ cã b  1 kh¶ n¨ng nhËn ®­îc mét trong c¸c sè cña tËp hîp 0;1;2;...; b  1 . 1.2- Một Nh­ vËy víi mçi sè tù nhiªn a th× tËp sè nguyªn Z ®­îc "ph©n ho¹ch" theo a "líp". Mçi líp gåm c¸c sè nguyªn chia cho a cã cïng sè d­. s tín c ất cơ bản về c a ết. Cho a,b,c là các số nguyên. Ta có một số tính chất cơ bản sau: TC 2.1 NÕu a b vµ b c th× a c TC2.2 NÕu a b th× ac b TC2.3 NÕu a b vµ c b th× a+c b TC2.4 NÕu ab c mµ (b,c)=1 th× a c TC2.5 NÕu a b ; a c vµ (b,c)=1 th× a bc TC2.6 NÕu a n p vµ p nguyªn tè th× a p (n  N) 2- Sự p ân tíc một s tự n n ra t ừa s n uy n t M i số tự nhiên đều được viết dưới dạng tích của lũy thừa các số nguyên tố. Sự phân tích này là duy nhất. Ta cã a=p1n1 .p 2 n2 .p 3n3 ....p k n k (víi p1 , p 2 ,...p k lµ c¸c sè nguyªn tè vµ n1 , n 2 ,...n k lµ c¸c sè tù nhiªn kh¸c 0). Ta cã mét sè tÝnh chÊt c¬ b¶n sau: TC3.1 b lµ mét ­íc cña a khi b cã d¹ng a=p1m1 .p 2 m2 .p 3m3 ....p k m k (víi m1 , m 2 ,...m k lµ c¸c sè tù nhiªn vµ 0  m1  n1 ; 0  m 2  n 2 ;...;0  m k  n k ) TC3.2 Sè ­íc cña a lµ  n1  1 n 2  1 ....  n k  1 TC3.3 Sè a lµ mét sè lòy thõa bËc t khi t lµ ­íc chung cña n1 , n 2 ,...n k 3- Địn lý Fec-ma Cho a lµ sè tù nhiªn vµ p lµ mét sè nguyªn tè th× a p  a p HÖ qu¶: a lµ sè tù nhiªn vµ p lµ mét sè nguyªn tè vµ (a,p)=1 th× a p1  1 p 4- Hằn ẳn t c ệu a l y t ừa c n bậc  Ta cã a n  b n   a  b  a n1  a n2 b  a n3b2  ...  a 2 b n3  ab n2  b n1  HÖ qu¶: víi a,b nguyªn vµ m,n lµ c¸c sè tù nhiªn, a  b th× 5.1 a n  b n a  b    b  5.2 a mn  b mn  a n m n m 5.3 a 2n1  b2n1  a 2n1    b  a n  bn 2n 1 a   b   a  b II- MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ PHÉP CHIA TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN 1- Một s kỹ năn cơ bản ả b toán về c a ết Ví dụ 1: Chøng minh A(n)=3n 4  14n 3  21n 2  10n 24 Nghĩ như thế nào? §Ó chøng minh A(n) 24 ta cÇn chøng minh A(n) 3 vµ A(n) 8 (v× (3,8)=1) A  n  cã d¹ng lµ mét ®a thøc bËc 3 ®èi víi n. §Ó chøng minh A(n) 3 mét c¸ch th«ng th­êng nhÊt lµ ta ph©n ho¹ch n theo 3 råi thay vµ A(n). Tuy nhiªn ®Ó thuËn lîi cho viÖc xÐt ta ®­a A(n) vÒ tÝch nÕu cã thÓ. Ta cã lêi gi¶i sau: A(n)=n  n  1 n  2  3n  5  A(n) 3 (tÝch 3 sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho 3) L¹i cã A(n)=n  n  1 n  2  4  n  n  1 n  2  n  3 3 8 v× n  n  1 2  n  n  1 n  2  4 8 vµ n  n  1 n  2  n  3 8 do trong 4 sè nguyªn liªn tiÕp cã 2 sè ch½n vµ cã mét sè lµ béi 4 . Ví dụ 2: Chøng minh A(n)=n 3  51n 2  481n  3 48 víi mäi n lÎ Nghĩ như thế nào? Ta th©y so víi vÝ dô 1 th× biÓu thøc nµy cïng d¹ng. Tuy nhiªn hÖ sè cña ®a thøc A(n) lín Ta lµm gi¶m hÖ sè b»ng c¸ch viÕt A(n)=B(48)+ F(n) vµ chøng minh F(n) 48 Ta cã lêi gi¶i v¾n t¾t sau: A(n)=n 3  51n 2  481n  3  n 3  3n 2  n  3  48n 2  480 48  F(n)  n 3  3n 2  n  3 48 Ta cã F(n)=  n  3 n  1 n  1 Víi n=2k+1 (k  Z) ta cã F(n)=  2k  2  2k  2k  2   8  k  1 k  k  1 F(n) 16 v× k  k  1 2. l¹i cã F(n) 3 v×  k  1 k  k  1 3 F(n) 16 vµ F(n) 3 mµ (16,3)=1 nªn F(n) 48  A(n) 48 Ví dụ 3: Chøng minh A(n)=4n 2  3n  5 6 víi mäi n kh«ng chia hÕt cho 2 vµ cho 3 Nghĩ như thế nào? Ta hiểu n không chia hết cho 2 và 3 có nghĩa là như thế nào? Một phép chia n cho 2 và 3 hay xét n chia cho 6 (BCNN(2,3)=6). Phân hoạch n theo 6 và thay vào A(n) ta có được lời giải đơn giản. Tất nhiên cũng như 2 ví dụ trên, nếu ta viết A(n) theo dạng tích sẽ thuận lợi hơn khi thay n. Ta có lời giải sau A(n)=4n 2  3n  5 =4n 2  3n  1  6   4n  1 n  1  6 víi n kh«ng chia hÕt cho 2 vµ cho 3 khi n ph©n ho¹ch theo 6 th× chØ cã 2 d¹ng n=6k+1; n=6k+5 (k lµ sè nguyªn) *) Víi n=6k+1 th× A(n)=  24k  3 6k  2   6  8k  1 3k  1 6 *) Víi n=6k+5 th× A(n)=  4n  1 6k  6    4n  1 k  1 6 6 T ểu kết 1: Qua 3 ví dụ trên, chúng ta đang xét phép chia của một biểu thức dạng đa thức khi chia cho một số. Kỹ năng cơ bản để giải quyết bài toán chứng minh A(n) chia hết cho k là 1) Viết k thành tích các số nguyên đôi một nguyên tố c ng nhau (cẳng hạn k=a.b.c với a,b,c nguyên tố sánh đôi) 2) Chứng minh A(n) chia hết cho các thừa số của k trong phân tích trên 3) Để chứng minh A(n) chia hết cho số nguyên a ta phân hoạch n theo a r i thay vào A(n) 4) Để thuận lợi cho việc thay n ta thường viết A(n) về dạng tích (bởi khi đó bậc của biến n sẽ được giảm đi trong m i biểu thức cần thay thế) Ví dụ 4: Chøng minh B(n)=11n2  12 2n 1 133 víi n  N Nghĩ như thế nào? Ta Ta thấy dạng của biểu thức B(n) là tổng các lũy thừa. Chia cho số 133 là quá lớn việc phân hoạch n theo 133 là không thể. Với phép chia một lũy thừa cho một số ta có hai tính chất quan trọng (định lý Fec-ma và Hằng đẳng thức) đã nêu ở trên. Để sử dụng hằng đẳng thức (HĐT) ta cần làm xuất hiện hiệu hai lũy thừa c ng số mũ. Ta có lời giải sau: B(n)=11n2  122n1  112.11n  12.122n  121.11n  12.144n  12.144n  12.11n  133.11n    B(n) 133 víi n  N v× 12.144n  12.11n  12 144n  11n 144  11  133 Ví dụ 5: Chøng minh B(n)=5n2 +26.5n +82n1 59 víi n  N   Lêi gi¶i: ta cã B(n)=25.5n +26.5n +8.64 n  51.5n  8.64n  59.5n  8 64n  5n 59 v× 64n  5n 64  5  59. Ví dụ 6: Chøng minh B(n)=  n  1  1 n 2 víi n  N n Nghĩ như thế nào? Ta thấy nếu chỉ sử dụng HĐT như hai ví dụ trên thì chỉ có thể chứng minh B(n) chia hết n. Tuy nhiên việc sử dụng HĐT cũng gợi ý cho ta khi phân tích B(n) thành nhân tử thì ngoài nhân tử n còn nhân tử chia hết cho n. Ta có lời giải sau: B(n)=  n  1  1   n  1  1  n  1  n Ta cã  n  1   n  1 n 1 n 1   n  1  1   n  1 n 2 n 2   n  1 n 1 n 3  1   n  1   n  1 n 2   n  1 n 3  ....   n  1  1   ....   n  1  1  (biÓu thøc gåm n-1 ngoÆc ®¬n) n 3  1  ....   n  1  1  n n v×  n  1  1 n  1  1  n víi mäi k tù nhiªn. k VËy B(n) n 2 víi n  N Ví dụ 7: Chøng minh B(n)=22  5 7 víi n  N. 2n Nghĩ như thế nào? Ta có thể hiểu B(n)=22  5 7 víi n  N có ngĩa là B(n) chia 7 dư 2. Bài toán trở về tìm dư của B(n) khi chia cho 7. Sử dụng HĐT an-bn là hợp lý. Để tránh phức tạp ta chọn b=1. Với định lý Fec-ma ta biết rằng 26  1 7. Tuy nhiên do 2n 26  1 chia hÕt cho 23  1 vµ 2 2  1 nªn ta kiÓm tra vµ chän ®­îc 23  1 7. ViÖc xÐt lòy thõa b©y giê sÏ ®¬n gi¶n h¬n. V× 23  1 7 nªn 2 2 k  1 7 víi mäi k  N. Do vËy ta cÇn ph©n ho¹ch 2 2n theo 3 (t×m d­ cña 2 2n khi chia cho 3). DÔ thÊy 2 2n  4 n  3k  1 (k  N). Ta cã lêi gi¶i sau:   Ta cã 2 2n  4 n  4 n  1  1 =3k+1 (víi k  N) v× 4 n  1 4  1  3.    B(n)  23k 1  5  2.8k  5  2 8k  1  7 7 v× 8k  1 8  1  7 T ểu kết 2: Qua 3 ví dụ 4,5,6 trên đây chúng ta đang xét phép chia của một biểu thức dạng tổng các lũy thừa khi chia cho một số. Kỹ năng cơ bản để giải quyết bài toán chứng minh B(n) chia hết cho k trong dạng này. 1) Viết các biểu thức về dạng hiệu các lũy thừa c ng số mũ 2) Sử dụng HĐT để viết biểu thức về dạng tích nếu có thể! 3) Sử dụng định lý Fec-ma để chọn bội nhỏ nhất của một số có dạng hiệu hai lũy thừa . Ví dụ 8: Chøng minh S(n)=16n  15n  1 225 víi n  N Nghĩ như thế nào? Biểu thức S(n) chứa cả lũy thừa và đa thức. Việc sử dụng các kỹ năng cơ bản ở trên sẽ gặp khó khăn đối với dạng này. Nhận xét thấy S(n+1) có thể truy h i về S(n) được nên ta sử dụng chứng minh kiểu qui nạp (ta cần chứng minh S(n+1) và S(n) chia cho 225 có c ng số dư, sau đó thử với n=0). Ta có lời giải sau: S(n)=16n  15n  1  S(n  1)  16 n 1  15  n  1  1    S(n  1)  S(n)  16 n1  15  n  1  1  16 n  15n  1  16 n 16  1  15  15 16 n  1 225 v× 16 n  1 15. VËy S(n+1) vµ S(n) chia cho 225 cã cïng sè d­. MÆt kh¸c S(0)=160  15.0  1  0 225 nª n S(n) chia hÕt cho 225 víi mäi gi¸ trÞ n  N Ví dụ 9: Chøng minh S n =23  1 3n víi n  N * n Lêi gi¶i: Ta chøng minh b»ng qui n¹p Gi¶ sö bµi to¸n ®óng víi n=k  N * tøc lµ S k  2 2  1 3k hay 23  1  q3k  23  q3k  1 k k 1 k    1  2 XÐt bµi to¸n víi n=k+1 ta cã S k1  23  1  23 k 3 3k k    1 22.3  23  1  k k     2     q.3k. q.3k  1  q.3k  1  1  q.3k q 2 .3k.2  3q.3k  3     q.3k.3 q 2 .3k.21  q.3k  1 3k 1 Nh­ vËy nÕu S k 3k th× S k 1 3k 1. MÆt kh¸c ta cã S1  23 9 31 ®óng nªn S n 3n víi mäi n  N * 1 T ểu kết 3: Qua các ví dụ 8,9 ta đã sử dụng phép chứng minh bằng qui nạp. Đây là phương pháp chứng minh khá quen thuộc. Nội dung của bài toán qui nạp thường là Chứng minh biểu thức S(n) thỏa mãn tính chất (T) với các giá trị của n tự nhiên (n>k) sao cho n chia cho q dư r tức là n=m.q+r. Bài toán sẽ có cơ hội làm được bằng qui nạp nếu như ta viết được S(n+r) theo S(n). 2- Một s b toán l n quan ến p ép c a tr n tập s n uy n 2.1- Tìm số dư khi chia một lũy thừa cho một số nguyên Ví dụ 10: T×m sè d­ khi chia 3100 cho 8? cho 7? cho 56 Nghĩ như thế nào? Đây là phép chia một lũy thừa cho một số tự nhiên. Một số kỹ năng cơ bản được vận dụng như tiểu kết 2. Bài giải: