PhÇn I -®Æt vÊn ®Ò
-C«ng thøc tÝnh diÖn tÝch cña tam gi¸c ®îc häc sinh lµm quen tõ bËc tiÓu häc ,
tíi bËc THCS c¸c em ®îc hiÓu râ h¬n vÒ c¸ch x©y dùng c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam
gi¸c vµ viÖc sö dông c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ®Ó gi¶i c¸c bµi tËp cã liªn quan
vèn rÊt ®a d¹ng vµ phong phó ë c¸c líp 8vµ líp 9.
-Sö dông c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c gióp häc sinh x©y dùng ®îc c«ng
thøc tÝnh diÖn tÝch cña : H×nh thang , tø gi¸c cã hai ®êng chÐo vu«ng gãc, h×nh b×nh
hµnh, h×nh thoi ...§Æc biÖt ®Ó tÝnh diÖn tÝch c¸c ®a gi¸c ta thêng quy vÒ viÖc tÝnh diÖn
tÝch tam gi¸c b»ng c¸ch chia c¸c ®a gi¸c thµnh c¸c tam gi¸c hoÆc t¹o ra mét tam gi¸c
cã chøa ®a gi¸c (Trong thùc tÕ viÖc ph©n chia ®a gi¸c nh trªn tá ra rÊt tiÖn lîi).
-Nh vËy c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c cã thÓ coi lµ mét c«ng cô cña to¸n
häc , nã gióp chóng ta sö dông ®Ó gi¶i quyÕt ®îc nhiÒu vÊn ®Ò trong gi¶i bµi tËp to¸n ,
trong viÖc x©y dùng c«ng thøc , chøng minh c¸c ®Þnh lý,...
-Víi nhËn thøc vÒ tÇm quan träng cña c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c , t«i ®·
®i s©u t×m hiÓu vÒ” Híng dÉn häc sinh sö dông c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c”
trong viÖc gi¶i mét sè d¹ng to¸n trong ch¬ng tr×nh H×nh häc líp 8,9.
-Trong ph¹m vi cña bµi viÕt nµy t«i muèn tr×nh bÇy kinh nghiÖm híng dÉn häc
sinh sö dông c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ®Ó thiÕt lËp vÒ quan hÖ ®é dµi gi÷a c¸c
®o¹n th¼ng vµ t×m cùc trÞ trong h×nh häc líp 8,9.C¸c d¹ng to¸n trªn ®· cã nhiÒu c¸ch
gi¶i, víi c¸c ph¬ng ph¸p kh¸c nhau nhng t«i nhËn thÊy nÕu dïng ph¬ng ph¸p cña kinh
nghiÖm nµy häc sinh sÏ thuËn lîi h¬n trong viÖc t×m ra nh÷ng lêi gi¶i hay , dÔ hiÓu vµ
®éc ®¸o .
-Trong thùc tÕ gi¶ng dËy t«i nhËn thÊy häc sinh thêng lóng tóng trong viÖc nhËn
d¹ng , ph©n lo¹i bµi tËp vµ vËn dông kiÕn thøc nh thÕ nµo cho hîp lý dÓ gi¶i mét bµi
to¸n cô thÓ .§Æc biÖt lµ nh÷ng bµi to¸n vÒ thiÕt lËp quan hÖ gi÷a c¸c ®é dµi ®o¹n th¼ng
vµ t×m cùc trÞ h×nh häc trong ®ã cã liªn quan tíi viÖc sö dông c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch
cña tam gi¸c .
-NhËn thøc ®îc tÇm quan träng cña vÊn ®Ò , t«i ®· cè g¾ng t×m ra nh÷ng biÖn
ph¸p gióp häc sinh chñ ®éng , s¸ng t¹o khi sö dông c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c
trong viÖc gi¶i c¸c d¹ng to¸n thêng gÆp trong ch¬ng tr×nh H×nh häc 8,9.Trong bµi viÕt
nµy t«i muèn trao ®æi cïng víi ®ång nghiÖp mét sè kinh nghiÖm nhá mong phÇn nµo
gi¶i to¶ ®îc nh÷ng b¨n kho¨n , gãp phÇn n©ng cao hiÖu qu¶ häc tËp cña häc sinh.
PhÇn II-Gi¶i quyÕt vÊn ®Ò.
- §Ó thiÕt lËp vÒ quan hÖ ®é dµi c¸c ®o¹n th¼ng hoÆc t×m cùc trÞ h×nh häc ,
häc sinh Ýt chó ý tíi ph¬ng ph¸p sö dông c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch cña mét tam gi¸c .
- T×m hiÓu nguyªn nh©n t«i thÊy : Häc sinh tuy cã n¾m v÷ng kiÕn thøc , kü
n¨ng c¬ b¶n nhng viÖc sö dông nã thÕ nµo cho thÝch hîp th× cßn h¹n chÕ .
-VËy lµm thÕ nµo ®Ó häc sinh nhËn d¹ng ®îc bµi to¸n ®Ó tõ ®ã sö dông vèn
kiÕn thøc ®· cã cho hîp lý vµ hiÖu qu¶ nhÊt .
-Trong ph¹m vi cña bµi viÕt nhá nµy t«i muèn ®i s©u t×m hiÓu ph¬ng ph¸p
sö dông c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c trong viÖc gi¶i hai d¹ng to¸n sau:
4
D¹ng 1: Sö dông c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ®Ó thiÕt lËp quan hÖ vÒ
®é dµi ®o¹n th¼ng.
D¹ng 2: Sö dông c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ®Ó t×m cùc trÞ h×nh häc.
I-c¸c kiÕn thøc träng t©m
§Ó dËy tèt ph¬ng ph¸p nµy chóng ta cÇn híng dÉn häc sinh n¾m ®îc c¬ së cña
néi dung vµ ph¬ng ph¸p ®ã lµ c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c:
SABC =
1
2
BH.AC.
B
SABC : DiÖn tÝch cña ABC.
BH: ChiÒu cao .
AC: C¹nh ®¸y.
A
C
H
-Víi tr×nh ®é cña häc sinh kh¸, giái c¸c em cÇn n¾m v÷ng viÖc x©y dùng c«ng
thøc tõ c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch cña h×nh ch÷ nhËt vµ biÕt ¸p dông c«ng thøc trong viÖc
gi¶i c¸c bµi to¸n cã liªn quan .§Ó häc sinh sö dông tèt c«ng thøc trong tõng bµi to¸n
cô thÓ yªu cÇu häc sinh cÇn n¾m ®îc c¸c kiÕn thøc sau:
1-Hai tam gi¸c b»ng nhau th× cã diÖn tÝch b»ng nhau.
ABC = A, B , C , SABC = S A,B,C, (§iÒu ngîc l¹i cha ch¾c ®· ®óng).
2-NÕu mét ®a gi¸c (Tam gi¸c ) ®îc chia thµnh nh÷ng ®a gi¸c (Tam gi¸c ) kh«ng
cã ®iÓm trong chung th× diÖn tÝch cña nã b»ng tæng diÖn tÝch cña nh÷ng ®a gi¸c (tam
gi¸c ) ®ã.
3-Hai tam gi¸c cã chung c¹nh ®¸y vµ ®êng cao t¬ng øng víi ®¸y b»ng nhau th×
diÖn tÝch cña hai tam gi¸c ®ã b»ng nhau.
ABC, DBC,
AK = DH
SABC =S DBC .
D
A
B
K
C
H
4-Hai tam gi¸c cã ®é dµi hai ®¸y b»ng nhau vµ cã chung ®êng cao th× chóng
cã diÖn tÝch b»ng nhau.
B
ABC
,
BCF
SABC = S B C F
BE AC; BE CF; AC=CF
A
E
C
F
5
5 -Hai tam gi¸c cã ®é dµi c¹nh ®¸y b»ng nhau th× tû sè diÖn tÝch b»ng tû sè hai ®êng cao t¬ng øng.
A
D
ABC, DBC
AO BC
DE BC
B
O
C
S DBC
S ABC
=
DE
AO
E
-Hai tam gi¸c cã ®é dµi ®êng cao b»ng nhau th× tû sè diÖn tÝch b»ng tû sè hai
c¹nh t¬ng øng .
A
N
B
K
C
M
Q
P
ABC, MNP
AK = NQ ,
AK BC,NQ MP
S ABC
S MNP
=
BC
MP
6-Chó ý: Mét sè bµi to¸n liªn quan tíi miÒn cña tam gi¸c th× khi sö dông c«ng
thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ta cã thÓ sÏ nhanh t×m ra c¸ch gi¶i .
II-HÖ thèng bµi tËp
§Ó ph¸t huy ®îc sù s¸ng t¹o cña häc sinh vµ rÌn luyÖn kü n¨ng gi¶i bµi tËp ,
gióp häc sinh tõng bíc nhËn d¹ng , ph©n loaÞ ®îc bµi tËp , ë phÇn nµy t«i m¹nh d¹n
ph©n chia thµnh 2 d¹ng chÝnh ®Ó ®i s©u nghiªn cøu , tÊt nhiªn trong thùc tÕ cßn mét sè
d¹ng kh¸c cã thÓ sö dông c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ®Ó t×m ra lêi gi¶i.
Chóng ta cïng nghiªn cøu d¹ng thø nhÊt:
D¹ng 1: Sö dông c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ®Ó thiÕt lËp quan hÖ vÒ
®é dµi cña c¸c ®o¹n th¼ng.
C¸c c«ng thøc diÖn tÝch cho ta quan hÖ vÒ ®é dµi cña c¸c ®o¹n th¼ng , chóng rÊt
cã Ých ®Ó gi¶i nhiÒu bµi to¸n , chóng ta cïng nghiªn cøu mét sè bµi to¸n sau:
Bµi 1-Cho tam gi¸c ®Òu ABC , chøng minh r»ng ®iÓm M thuéc miÒn trong cña
tam gi¸c ABC th× tæng c¸c kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn ba c¹nh cña tam gi¸c b»ng chiÒu cao
cña tam gi¸c .
1-Híng dÉn t×m lêi gi¶i.
6
§iÓm M thuéc miÒn trong cña tam gi¸c ABC nªn ta sö dông c«ng thøc tÝnh diÖn
tÝch tam gi¸c vµ mèi quan hÖ gi÷a SAMB, SAMC, SBMC víi SABC ®Ó chøng minh.
2-C¸ch gi¶i :
Gäi a,h lµ c¹nh vµ chiÒu cao cña tam gi¸c ABC .
MA, ,MB, ,MC, lµ c¸c kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn BC,AC,AB.
M thuéc miÒn trong cña ABC th× :
SABC = SAMB + SAMC + SBMC.
1
Hay BC . MA, + 1 AC.MB, + 1 AB.MC, = 1 BC.AH
2
a
2
2
2
2
a
2
hay
.( MA, +MB, +MC,) = h.
Suy ra: MA, +MB, +MC, =h.
3-Khai th¸c bµi to¸n :
1-NÕu M thuéc miÒn ngoµi tam gi¸c ABC vµ thuéc miÒn trong gãc A th× :
SABC = SAMB + SAMC - SBMC
.(MB, +MC,) - a . MA, = a h.
2
2
MB, +MC, -MA, =h.
2- NÕu M thuéc miÒn trong gãc ®èi ®Ønh víi gãc A th× :
MA, -MB, -MC, =h.
3- NÕu M thuéc miÒn trong gãc ®èi ®Ønh víi gãc B th× :
MB, - MA, - MC, =h.
4-NÕu M thuéc miÒn trong gãc ®èi ®Ønh gãc C th×:
MC, -MA, - MB, =h.
a
2
Bµi 2- Cho tam gi¸c ABC víi ba ®êng cao A A,, BB,, CC, .Gäi H lµ trùc t©m
ABC chøng minh r»ng:
HA , HB , HC ,
1
.
AA , + BB , + CC ,
1-Híng dÉn t×m lêi gi¶i.
§iÓm H thuéc miÒn trong cña ABC, ta sö dông c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam
gi¸c vµ tû sè cña SHBA , SHAC , SBHC víi SABC ®Ó t×m c¸ch gi¶i.
2-C¸ch gi¶i:
§iÓm H lµ trùc t©m tam gi¸c ABC nªn A A,,BB,,CC, ®ång quy t¹i H.Ta cã :
SABC = 1 A A,.BC = 1 BB, .AC = 1 CC,.AB.
A
2
SBHC = 1 HA,.BC
2
1
SHBA= HC,.AB,
2
2
2
,
SHAC =
1
2
HB,.AC
7
C,
B,
S BHC
S ABC
VËy :
1
(2
=
S BHA
S ABC
=
S AHC
S ABC
HA,.BC):(
1
(2
=
,
VËy:
HC,.AB ):(
1
(2
,
HA
AA ,
HB,.AC):(
HA ,
AA ,
-Tõ (1), (2), (3) ta cã :
1
2
HB
+ BB ,
HB ,
+ BB ,
A A,.BC )
1
2
HA ,
,
= AA
HC ,
CC ,
CC,.AB) =
1
2
BB, .AC) =
HC ,
+ CC ,
S BHC
S ABC
=
( 1)
.
+
H
(2)
HB ,
BB ,
S BHA
S ABC
B
A,
(3)
+
S AHC
S ABC
S ABC
= S ABC
= 1.
,
HC
+ CC ,
= 1.
Bµi 3-Cho h×nh b×nh hµnh ABCD .C¸c ®iÓm E,F lÇn lît n¾m trªn c¸c c¹nh
AB,BC, sao cho A F = CE , A F c¾t CE t¹i I.
Chøng minh : ID lµ tia ph©n gi¸c cña gãc AIC.
1-Híng dÉn c¸ch t×m lêi gi¶i:
-VÏ DH IA ,DK IC t×m quan hÖ gi÷a DH vµ DK, chøng tá S A F D = SCDE.
2-C¸ch gi¶i.
1
DH.AF.
2
1
CDE = DK.CE.
2
-Tõ D kÎ DH AI , DK IC ta cã : S A F D=
S
S A F D= SABCD-( S AB F + SCDE)
= BC.h - ( 1 h.BF+ 1 h.CF)
2
=BC.h -
1
2
2
h.BC
= 1 (BC.h)
=
2
1
2
SABCD.
-T¬ng tù ta cã: SCDE=
VËy SADF =
1
S ABCD
2
SCDE, A F=CE (gt) .
Suy ra DH=DK suy ra D thuéc ID lµ ph©n gi¸c cña gãc AIC.
8
C
Bµi 4-Cho ®iÓm O thuéc miÒn trong cña ABC . c¸c tia AO,BO,CO c¾t c¸c
c¹nh cña tam gi¸c ABC theo thø tù ë A,,B,,C,.
Chøng minh:
A
1,
OA ,
AA , +
OB ,
BB ,
OA
AA,
OB
BB ,
OC ,
+ CC ,
OC
+ CC ,
+
2,
1-Híng dÉn c¸ch t×m lêi gi¶i.
= 1.
= 2
C,
B,
O
B
A,
-Gäi SABC , S OBC , SOAC , SBOA lÇn lît lµ: S , S1, S2 , S3 t×m c¸ch biÓu diÔn c¸c
OA ,
AA ,
OB ,
BB ,
,
Tû sè:
2-C¸ch gi¶i
OC ,
CC ,
,
,
OA
AA ,
OB
BB ,
,
,
OC
CC , qua
S , S1 , S2 , S3
Gäi S lµ diÖn tÝch tam gi¸c ABC.
Gäi S1lµ diÖn tÝch tam gi¸c OBC.
Gäi S2 lµ diÖn tÝch tam gi¸c OAC.
Gäi S3 lµ diÖn tÝch tam gi¸c OBA.
Ta cã :
S
S S3
S
OA
2 3 2
,
OA
S OAC S OAB
S1
(1)
OA, S OA,C S OA, B S OA, C S OA, B S1
AA, S A, AC S AA, B
S AAC S AAB
S
(2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra:
OA S 2 S 3
AA,
S
OB S 2
BB , S
1-VËy :
2.
Chøng minh t¬ng tù ta cã :
,
OA ,
AA , +
OB S1 S3
OC S1 S 2
OC , S 3
,
,
,
,
BB
S
CC ,
S
S
CC
,
,
OB
OC
S1 S 2 S 3
,
,
BB + CC = S
S
S =1.
OA OB OC S 2 S3 S1 S3 S1 S 2
2
AA, BB , CC ,
S
S
S
3-Khai th¸c bµi to¸n:
Víi bµi to¸n nµy ta cã thÓ x©y dùng ®îc bµi to¸n vÒ cùc trÞ ( Ta xÐt ë phÇn sau).
Chøng minh :
M = OA, OB, OC, 6 .
OA
OB
OC
Bµi 5- Cho tam gi¸c nhän ABC cã ba ®êng cao A A,, BB,,CC, c¾t nhau t¹i H.
A1,B1,C1lµ c¸c ®iÓm ®èi xøng cña H qua BC,AC vµ AB.Chøng minh r»ng tæng:
9
AA1 BB1 CC1
AA, BB , CC ,
kh«ng ®æi.
1-Híng dÉn c¸ch t×m lêi gi¶i.
-BiÓu diÔn
AA1
qua biÓu thøc cña HA, vµ A A, råi biÓu diÔn
,
AA
S HBC
HA,
qua
S ABC
AA ,
S
CC1
BB1
víi HAC :
,
S ABC CC ,
BB
cña
lµm t¬ng tù ta x©y dùng ®îc quan hÖ
víi
S HAB
tõ ®ã t×m ®îc c¸ch chøng minh.
S ABC
2-C¸ch gi¶i:
-XÐt tû sè :
AA1 AA, A, A1
A, A1
HA,
1
1
AA,
AA,
AA,
AA,
(A,A1=HA,V× A1®èi xøng víi H qua BC).
-Ta l¹i cã :
1
BC.HA,
S
HA
HBC
= 2
,
1
S ABC
AA
BC. AA ,
2
S
AA1
1 HBC (1)
-VËy :
,
AA
S ABC
S
BB
-T¬ng tù ta cã: 1, 1 HAC (2)
BB
S ABC
,
CC1
S
1 HAB (3)
,
CC
S ABC
Céng tõng vÕ 3 ®¼ng thøc (1),(2),(3) ta l¹i cã:
S
S
S
S
AA1 BB1 CC1
=3 + HBC HAC HAB =3+ ABC 3 1 4 .
,
,
,
S ABC
S ABC
AA BB CC
Bµi 6- Cho tam gi¸c ABC cã ®é dµi c¸c c¹nh a,b,c c¸c chiÒu cao t¬ng øng lµ
ha,hb,hc .BiÕt r»ng : a+ ha=b+ hb=c+ hc.
Chøng minh: Tam gi¸c ABC ®Òu.
1-Híng dÉn c¸ch t×m lêi gi¶i.
-XÐt c¸c ®¼ng thøc: a+ ha=b+ hb,
a+
ha= c+ hc
b+ hb=c+ hc
-BiÓu diÔn ha,hb,hc qua SABC lµ S
tõ ®ã xÐt mèi quan hÖ gi÷a a,b,c ta cã ®iÒu cÇn chøng minh.
2-C¸ch gi¶i:
-Gäi S lµ diÖn tÝch cña tam gi¸c ABC.
10
+XÐt a+ ha=b+ hb ta l¹i cã: a-b = hb- ha=
Suy ra: (a-b).(1- 2S
ba
+XÐt a+
2S 2S
b
a
=2S ( b1
1
a
)=2S .
) = 0. Suy ra tam gi¸c c©n ë C hay vu«ng ë C. (1)
ha= c+ hc Ta cã:a-c = hc-ha
a-c=
2S 2 S
c
a
T¬ng tù ta cã : (a-c) .(1- 2S ) = 0 .
ac
Suy ra tam gi¸c c©n ë B hay vu«ng ë B
+XÐt b+ hb=c+ hc .T¬ng tù ta cã : (c-b).(1Suy ra tam gi¸c c©n ë A hay vu«ng ë A .
a b
ab
.
(2).
2S
bc
)=0.
(3).
X¶y ra c¶ (1),(2),(3) khi vµ chØ khi tam gi¸c ABC ®Òu.
3-NhËn xÐt:
Tam gi¸c ABC (H×nh 1)
AB = c,BC= a, AC=b, ha a, hb b , hc c
ABC ®Òu.
D¹ng 2- Sö dông c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ®Ó t×m cùc trÞ h×nh häc.
Trong phÇn nµy ngoµi c¸c kiÕn thøc träng t©m cña h×nh häc ®· nªu trªn chóng
ta cÇn cho häc sinh n¾m ®îc mét sè bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè , ®Æc biÖt chó ý trêng hîp cã
dÊu “=” x¶y ra cña c¸c bÊt d¼ng thøc ®Ó t×m Cùc trÞ cña bµi to¸n .
1,
x2 o DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi x=0.
- x2 0 DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi x=0.
2,BÊt d¼ng thøc C« si:
-Cho a,b kh«ng ©m ta cã a b ab DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi a=b.
2
cã a b c 3 abc
3
- Cho a,b,c kh«ng ©m ta
.DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi a=b=c.
-HÖ qu¶: Cho avµ b kh«ng ©m ,nÕu (a+b) kh«ng ®æi th× ab lín nhÊt khi vµ chØ khi a=b.
-NÕu ab kh«ng ®æi th× (a+b) nhá nhÊt khi vµ chØ khi a=b.
Sau ®©y chóng ta xÐt mét sè bµi to¸n d¹ng nµy.
Bµi 7-Cho tam gi¸c ABC vµ ®iÓm M thuéc miÒn trong cña tam gi¸c .
KÎ MA, vu«ng gãc víi BC , MB, vu«ng gãc víi Acvµ MC, vu«ng gãc víi AB.
§Æt BC=a,CA=b,AB=c. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña tæng:
a
b
c
,
,
MA MB MC ,
1-Híng dÉn t×m lêi gi¶i.
§Æt MA, = a,;MB,=b,;MC,=c,.
BiÓu diÔn aa, qua SMBC; bb, qua SMCA; cc, qua SMAB .
11
-T×m sù liªn hÖ cña: aa,+bb,+ cc, víi SABC.
a b c
)
a, b, c,
,
,
,
,
,
,
¸p dông bÊt ®¼ng thøc C« si cho ( a , b , );( b , c , ); ( c , a , )
b a
c b
a c
2
a b c
Suy ra : , , , a b c
a b c
2S
-XÐt tÝch cña (aa,+bb,+ cc,).(
XÐt dÊu b»ng x¶y ra ta cã ®iÒu cÇn t×m.
2-C¸ch gi¶i:
§Æt MA, = a,;
MB,=b,;MC,=c,.
Ta cã : aa,=2.SMBC
bb, =2.SMCA
cc,=2.SMAB
,
Suy ra: aa +bb,+ cc,=2S
(S lµ diÖn tÝch tam gi¸c ABC).
Ta cã :
a b c
)
a, b, c,
,
,
,
,
,
,
= a2+ b2+ c2+ab( a , b , )+bc( b , c , )+ca ( c , a , ) M
b a
c b
a c
(aa,+bb,+ cc,).(
víi M= a2+ b2+ c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2
2
Suy ra a b c a b c
a,
Do ®ã :
b,
c,
a b c
®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt
a, b, c,
2S
b»ng a b c
2S
2 khi a, =b, =c, tøc lµ M lµ
giao ®iÓm c¸c ®êng ph©n gi¸c trong cña tam gi¸c ABC.
Bµi 8-Cho ®iÓm O thuéc miÒn trong tam gi¸c ABC .C¸c tia AO,BO,CO c¾t c¸c
c¹nh cña tam gi¸c ABC theo thø tù ë A, , B,, C,
a- Chøng minh :M=
OA OB OC
6
OA, OB , OC ,
T×m vÞ trÝ cña O ®Ó tæng M cã gi¸ trÞ nhá nhÊt .
b, N=
OA OB OC
8 .T×m vÞ trÝ cña O ®Ó N cã gi¸ trÞ nhá nhÊt.
OA, OB , OC ,
1-Híng dÉn c¸ch t×m lêi gi¶i:
-Gäi SABC;SOBC;SAOC;SAOB lÇn lît lµ : S,S1, S2, S3.
-T×m c¸ch biÓu diÔn c¸c tû sè qua : S, S1, S2, S3 , ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si
thÝch hîp , xÐt trêng hîp dÊu “=” x¶y ra tõ ®ã x¸c ®Þnh ®îc vÞ trÝ cña O.
2-C¸ch gi¶i:
-Gäi SABC;SOBC;SAOC;SAOB lÇn lît lµ : S,S1, S2, S3.
-Ta cã :
S
S S3
S
OA
2 3 2
,
S OCA, S OBA,
S1
OA
(1)
12
OB S1 S 3 OC S1 S 2
;
OC ,
S3
OB ,
S2
OA OB OC S 2 S 3 S1 S 3 S 2 S1
a-VËy: M=
=
+
+
S1
S2
S3
OA, OB , OC ,
S
S
S
S
S
S
=( 1 2 )+( 2 3 )+( 3 1 ) 2+2+2=6.
S 2 S1
S3 S 2
S1 S 3
S S
S S
S S
- Ta ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C« si cho c¸c sè d¬ng : ( 1 ; 2 );( 2 ; 3 );( 3 ; 1 ).
S 2 S1
S3 S 2
S1 S 3
-T¬ng tù ta cã :
S1 S 2
2.
S 2 S1
S1 S 2
S1 S 2
=2.
S 2 S3
2.
S3 S 2
S3 S2
S3 S2
=2,
S1 S 3
2.
S 3 S1
DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi O lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC.
S1 S 3
S1 S 3
=2
S S S S S S
OA OB OC
= 2 3 . 1 3 . 2 1 Suy ra
,
,
,
S1
S2
S3
OA OB OC
4 S S .4 S S .4 S S .
S S S S S S
N2= ( 2 3 . 1 3 . 2 1 )2 2 3 1 3 2 1 2 =64
S1
S2
S3
( S1 S 2 S 3 )
b,
N=
Suy ra N 8.
-DÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi O lµ träng t©m tam gi¸c ABC.
3-Khai th¸c bµi to¸n.
-¸p dông bÊt ®¼ng thøc C« si ta cßn chøng minh ®îc :
,
BB , CC ,
4,5
OA
OB
OC
,
,
,
F= A O OB OC 1,5
OA
OB
OC
E= A A
-
,
,
,
3
A
A
BB
CC
ThËt vËy: E =(
)3 3 .
OA OB OC
3
P3=(
A , A BB , CC ,
.
.
OA OB OC
OA OB OC
OA
) 33.
,
,
,
AA,
AA BB CC
OB
BB ,
OC
CC ,
Nh©n tõng vÕ 2 B§T trªn vµ chó ý: P = 2 (Theo c©u b, bµi 4-D¹ng 1).
-Ta cã : 23.E3 93 suy ra E3 (9/2)3 suy ra E 4,5.
-ViÕt E 4,5 díi d¹ng :
OA OA ,
OA
,
,
,
,
,
+ OB OB + OC OC 4,5 suy ra 3+ A O OB OC 4,5 F 1,5.
OB
OC
OA
OB
OC
-DÊu b»ng x¶y ra trong c¸c bÊt ®¼ng thøc E 4,5 vµ F 1,5 khi vµ chØ khi O lµ
träng t©m cña tam gi¸c ABC.
Bµi 9-Trong mét tam gi¸c , gäi ha lµ ®êng cao øng víi c¹nh a,hb lµ ®êng cao øng
víi c¹nh b .Chøng minh r»ng : nÕu a>b th× a+ ha b+ hb.
DÊu b»ng x¶y ra khi nµo?
1-Híng dÉn c¸ch t×m lêi gi¶i:
-Ta biÓu diÔn ha qua a vµ S: DiÖn tÝch tam gi¸c ,biÓu diÔn hbqua b vµ S. XÐt
13
a+ ha-(b+hb) ®Ó t×m ra lêi gi¶i.
A
2-C¸ch gi¶i:
Gäi S lµ diÖn tÝch tam gi¸c ABC th×: a.ha=bhb=2S.
Chó ý: ha b nªn 2S=a. ha ab
ta cã : a+ ha-(b+hb)
=a+ 2S b 2S
C
a
b
K
H
=(a-b)+2S( 1 1 ) (a b). ab 2S o
a b
ab
-V× a-b > o vµ ab-2S o .
DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi : 2S=ab, tøc lµ a vu«ng gãc víi b hay tam gi¸c ABC
vu«ng.
Bµi 10- Cho tam gi¸c ABC , M lµ ®iÓm n»m trong tam gi¸c .
Gäi kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn c¸c c¹nh BC,AC,AB lÇn lît lµ x,y,z, AB =AC = BC.
-X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó tÝch xyz ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt .
1-Híng dÉn c¸ch t×m lêi gi¶i.
Dùa vµo mèi quan hÖ gi÷a SAMC,, SBMC,, SAMB, SABC, ®Ó dÉn tíi : x+y+z kh«ng
®æi vµ ¸p dông B§T C« si cho x,y,z.XÐt dÊu “=” x¶y ra ta cã ®iÒu cÇn t×m.
2-C¸ch gi¶i:
Ta cã : SAMC,+
SBMC,+ SAMB= SABC
= 1 BC.x 1 AC. y 1 AB.z 1 BA.( x y z )
2
2
2
2
xyz
B§T C« si cho ba sã kh«ng ©m ta cã :
xyz
x yz 3
3 xyz
xyz (
) kh«ng ®æi .
3
2 S ABC
AB
kh«ng ®æi,¸p dông
3
DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi x=y=z= 2.S ABC
3. AB
M lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC.
Bµi 11-Cho tam gi¸c dÒu ABC , M trªn c¹nh BC (M kh¸c B,C) . KÎ MD vu«ng
gãc víi AB , ME vu«ng gãc víi AC. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó SMDE lín nhÊt .
1-Híng dÉn c¸ch t×m lêi gi¶i.
T×m mèi quan hÖ gi÷a SABM vµ SAMC víi SABC.Tõ ®ã cã : MD+ME kh«ng ®æi,
chøng minh : Gãc DME kh«ng ®æi .Sö dông hÖ qu¶ cña B§T C«si ®Ó tõ ®ã t×m ®îc vÞ
trÝ cña M.
2-C¸ch gi¶i:
Ta cã: SABC = SABM + SAMC
= AB.CD AC.ME
suy ra: SABC =
2
2
AB
( MD ME )
2
14
2 S ABC
kh«ng ®æi.
AB
-MÆt kh¸c DME DAE 180 o (Tø gi¸c AEMDcã: D E 180 o ) suy ra:
DME 120 o . DME cã DME kh«ng ®æi nªn SMDE lín nhÊt khi vµ chØ khi MD=ME
MD+ME=
(MD+ME: Kh«ng ®æi)
Khi ®ã AM lµ ph©n gi¸c cña BAC hay M lµ trung ®iÓm cña BC.
VËy khi M lµ trung ®iÓm cña BC th× SMDE ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt .
Bµi 12: Trong tam gi¸c ABC cã c¸c c¹nh lµ a,b,c , cã t©m lµ ®êng trßn néi tiÕp
tam gi¸c ABC vµ b¸n kÝnh ®êng trßn lµ r.
-T×m tam gi¸c cã tæng ®é dµi ba ®êng cao ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt .
1-Híng dÉn t×m lêi gi¶i.
-Chó ý: SABC=SOBC+SOAC+SOAB.
-BiÓu diÔn (ha+hb+hc) qua r,a,b,c. ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C« si cho:
( a b );( a c );( b c ) xÐt trêng hîp dÊu “=” x¶y ra ta suy ra ®iÒu cÇn chøng minh.
b a
c a
c b
2-C¸ch gi¶i:
SABC = SOBC+SOAC+SOAB.= r. a + r. b + r. c = r. a b c
2
SABC=
2
2
2
r. a b c
2
MÆt kh¸c : SABC = aha =
2
Suy ra
bhb chc
=
2
2
: ha=(1+ b c ).r ;
a a
a b
hc=(1+ ).r;
c c
hb=(1+ a c ).r
b b
.
Ta cã :
ha+hb+hc=r. 3+( a b )+( a c )+( b c ) r(3+2+2+2).
b a
c a
c b
(¸p dông bÊt ®¼ng thøc C« si).
Hay ha+hb+hc 9r.
-DÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = c tøc lµ tam gi¸c ABC ®Òu.
VËy ha+hb+hc ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng 9r khi ®ã a = b = c vµ tam gi¸c ABC ®Òu.
III-C¸c bµi tËp tù gi¶i
Bµi 1: Cã tam gi¸c nµo mµ ®é dµi ba ®êng cao b»ng 3cm,4cm,7cm kh«ng?
Bµi 2:§é dµi hai c¹nh cña mét tam gi¸c b»ng 6cm vµ 4cm , nöa tæng c¸c chiÒu cao
øng víi hai c¹nh Êy b»ng chiÒu cao øng víi c¹nh thø 3.
TÝnh ®é dµi c¹nh thø ba.
15
Bµi3-Cho tam gi¸c ABC c©n ë A .T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M thuéc miÒn trong tam gi¸c
hoÆc n»m trªn c¹nh cña tam gi¸c sao cho kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn BC b»ng tæng c¸c
kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn 2 c¹nh kia.
Bµi 4-Cho tam gi¸c ABC ®Òu cè ®Þnh cã chiÒu cao h.T×m tËp hîp ®iÓm M cã tæng
c¸c kho¶ng c¸ch ®Õn ba c¹nh cña tam gi¸c b»ng ®é dµi m kh«ng ®æi(m>h).
Bµi 5-Cho C lµ mét ®iÓm thuéc tia ph©n gi¸c cña gãc xOy cã sè ®o b»ng 600, M lµ
®iÓm bÊt kú n»m trªn ®êng vu«ng gãc víi OC t¹i C vµ thuéc miÒn ngoµi cña gãc
xOy .Gäi MA,MB thø tù lµ kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn O x,Oy.
TÝnh ®é dµi OC theo MA,MB.
Bµi 6-Tam gi¸c ABC cã BC b»ng trung b×nh céng cña hai c¹nh cßn l¹i .Gäi I lµ giao
®iÓm c¸c ph©n gi¸c ,G lµ träng t©m cña tam gi¸c .
Chøng minh: IG song song víi BC.
Bµi 7-T×m mét h×nh ch÷ nhËt néi tiÕp trong ®êng trßn cã diÖn tÝch lín nhÊt .
IV-KÕt qu¶ thùc hiÖn kinh nghiÖm.
Víi néi dung vµ ph¬ng ph¸p ®· tr×nh bµy ë trªn , trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y ,qua
thùc nghiÖm vµ ®¸nh gi¸ so víi tríc khi d¹y ph¬ng ph¸p nµy t«i nhËn thÊy c¸c em ®·
®¹t ®îc nh÷ng tiÕn bé râ rÖt víi kÕt qu¶ nh sau:
B¶ng 1: (KÕt qu¶ khi cha ¸p dông kinh nghiÖm)
Líp
9A
Tæng
sè bµi
40
Tõ O
®Õn díi 5
Sè l%
îng
23
57,5
§iÓm
Tõ 5 ®Õn díi 8
Sè l%
îng
17
42,5
Tõ 8 ®Õn 10
Sè l%
îng
0
0
Tû lÖ tõ 5®iÓm
trë lªn
Sè l%
îng
17
42,5
B¶ng 2:( KÕt qu¶ sau khi ®· ¸p dông kinh nghiÖm)
Líp
9A
Tæng
sè bµi
40
Tõ O
®Õn díi 5
Sè l%
îng
§iÓm
Tõ 5 ®Õn díi 8
Sè l%
îng
16
Tõ 8 ®Õn 10
Sè l%
îng
Tû lÖ tõ 5®iÓm
trë lªn
Sè l%
îng
9
22,5
26
65
5
12,5
31
77,5
So s¸nh hai b¶ng trªn ta thÊy :
- Sau khi ¸p dông kinh nghiÖm tû lÖ häc sinh ®¹t tõ 5 ®iÓm trë lªn t¨ng 35% ,
trong ®ã häc sinh ®¹t ®iÓm kh¸, giái t¨ng ®¸ng kÓ.Nh vËy kinh nghiÖm nµy ¸p dông ®îc ®èi víi häc sinh kh¸ giái , víi häc sinh ®¹i trµ còng cã thÓ ¸p dông ®îc nhng ®ßi
hái gi¸o viªn ph¶i lùa chän c¸c bµi tËp ®¬n gi¶n , cã lêi gi¶i dÔ hiÓu h¬n.
-Víi häc sinh kh¸ ,giái kinh nghiÖm nµy cßn gióp c¸c em t×m ®îc ph¬ng ph¸p
gi¶i thÝch hîp ®èi víi c¸c bµi tËp hayvµ khã. C¸c em cßn lµm ®îc mét sè bµi tËp b»ng
nhiÒu ph¬ng ph¸p kh¸c nhau, cã híng t×m dÕn nh÷ng lêi gi¶i hay , ng¾n gän vµ ®éc
®¸o.
V-Bµi häc kinh nghiÖm:
Trªn ®©y t«i ®· tr×nh bÇy mét sè d¹ng to¸n sö dông c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam
gi¸c ®Ó t×m ra lêi gi¶i .
§Ó c¸c em tiÕp thu cã hiÖu qu¶ chóng ta cÇn lu ý mét sè ®iÓm sau:
1-VÒ gi¸o viªn:
-CÇn kh¾c s©u cho häc sinh nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ diÖn tÝch tam gi¸c vµ c¸c
kiÕn thøc cã liªn quan.
-CÇn yªu cÇu häc sinh n¾m ch¾c c¸c d¹ng to¸n , chó ý ph¬ng ph¸p gi¶i mét sè
bµi to¸n trong mét d¹ng cô thÓ , chó ý tíi c¸c bíc:
+T×m hiÓu ®Ò bµi.
+Híng t×m c¸ch gi¶i.
+C¸ch gi¶i.
+Khai th¸c bµi to¸n (NÕu cã).
2-§èi víi häc sinh :
-C¸c em ph¶i n¾m ch¾c c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch cña mét tam gi¸c vµ c¸c kiÕn
thøc cã liªn quan trong tõng d¹ng to¸n ,bµi to¸n.
-C¸c em ph¶i ®Þnh híng ®óng cho tõng bµi to¸n xem nã thuéc d¹ng nµo?Sö
dông kiÕn thøc nµo?C¸c em ph¶i linh ho¹t , s¸ng t¹o trong viÖc vËn dông ph¬ng ph¸p
®· häc , ph¶i thùc sù yªu thÝch to¸n häc .
VI-Ph¹m vi ¸p dông
-Ph¬ng ph¸p sö dông c«ng thøc tÝnh diªn tÝch cña mét tam gi¸c cã thÓ ¸p dông
cho häc sinh kh¸ giái ë líp 8,9 ®Æc biÖt lµ cho c¸c ®éi tuyÓn häc sinh giái , tuy nhiªn
khi ®em ¸p dông dËy cho häc sinh thuéc diÖn ®¹i trµ ®ßi hái ngêi thÇy ph¶i tèn nhiÒu
thêi gian , c«ng søc h¬n trong viÖc chän lùa bµi tËp vµ ®Æc biÖt ph¶i cã sù ph©n ho¸
tèt trong gi¶ng dËy.
VII-Nh÷ng vÊn ®Ò cßn ph¶i tiÕp tôc nghiªn cøu.
-Trong bµi viÕt nµy t«i míi ®Ò cËp ®Õn viÖc sö dông c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch
cu¶ mét tam gi¸c ®Ó gi¶i hai d¹ng to¸n ®· nªu, trªn thùc tÕ cßn cã thÓ khai th¸c c«ng
thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n t×m tËp hîp ®iÓm hoÆc sö dông c«ng
thøc ®ã trong viÖc chøng minh mét sè ®Þnh lý sÏ cho ta c¸ch chøng minh ®¬n gi¶n , dÔ
hiÓu vµ ng¾n gän h¬n,...
-T«i lu«n mong muèn ®îc ®ång nghiÖp, nh÷ng ngêi yªu thÝch to¸n häc quan
t©m tíi ®Ò tµi nµy cïng nghiªn cøu , trao ®æi ®Ó ®a ra nh÷ng kinh nghiÖm hay h¬n ,
hoµn thiÖn h¬n vÒ vÊn ®Ò nµy, ®Ó chóng ta cïng ®¹t ®îc môc ®Ých chung lµ gãp phÇn
n©ng cao chÊt lîng d¹y vµ häc bé m«n to¸n trong trêng häc bËc THCS.
17
PhÇn III- KÕt luËn,kiÕn nghÞ
-Trªn ®©y lµ nh÷ng ý kiÕn nhá cña t«i vÒ viÖc sö dông c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch
tam gi¸c ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n thuéc hai d¹ng to¸n ®· nªu .Víi nhiÒu n¨m lµ gi¸o viªn
dËy to¸n bËc THCS víi t«i dËy to¸n thùc sù lµ mét c«ng viÖc lý thó nhng thËt sù vÊt
v¶.Qua qu¸ tr×nh võa dËy võa häc võa t×m tßi ®óc rót kinh nghiÖm híng dÉn häc sinh
gi¶i bµi tËp, ... T«i thÊy m×nh ngµy mét yªu nghÒ , tõ ®ã thÊy bít ®i phÇn nµo khã kh¨n
trong ph¬ng ph¸p gi¶ng dËy.
-Víi bµi viÕt nµy t«i hy väng gióp cho häc sinh cã thãi quen suy nghÜ ®éc lËp
s¸ng t¹o ,c¸c em biÕt t×m ®îc lêi gi¶i cña mét bµi to¸n dùa trªn c¬ së nh÷ng kiÕn thøc
c¬ b¶n ®· häc , tõ ®ã cã lêi gi¶i hay vµ høng thó häc to¸n .
-Trong ®Ò tµi t«i míi chØ ®Ò cËp tíi hai d¹ng to¸n cã ¸p dông c«ng thøc tÝnh
diÖn tÝch tam gi¸c , thùc tÕ c«ng thøc nµy cßn ¸p dông cho nhiÒu d¹ng to¸n kh¸c vµ
còng cho ta nhiÒu lêi gi¶i hay,®éc ®¸o.
-§Ó vËn dông c¸c kinh nghiÖm tèt vµo thùc tÕ gi¶ng d¹y cho häc sinh ®Ò nghÞ
nhµ trêng vµ phßng Gi¸o dôc thêng xuyªn tæ chøc c¸c buæi th¶o luËn chuyªn ®Ò vÒ ®æi
míi ph¬ng ph¸p gi¶ng dËy, trao ®æi c¸c kinh nghiÖm ¸p dông s¸ng kiÕn cã hiÖu qu¶
vµo thùc tiÔn dËy - häc. C¸c trêng cÇn ®Çu t n©ng cÊp c¬ së vËt chÊt , trang thiÕt bÞ
hiÖn cã nh»m gióp cho gi¸o viªn cã thÓ vËn dông tèt nhÊt ph¬ng ph¸p ®æi míi trong
gi¶ng dËy.
-Víi kh¶ n¨ng cña ngêi viÕt cßn nhiÒu h¹n chÕ , cho nªn ch¾c ch¾n kh«ng thÓ
tr¸nh khái thiÕu xãt vÒ néi dung còng nh h×nh thøc tr×nh bÇy.V× vËy t«i xin ch©n thµnh
c¶m ¬n c¸c thÇy c« gi¸o ,c¸c b¹n yªu thÝch to¸n häc vµ ®Æc biÖt lµ c¸c ý kiÕn ®ãng
gãp cña c¸c ®ång chÝ trong héi ®ång khoa häc c¸c cÊp.
18
Sè ph¸ch:.................................
Kinh nghiÖm
Híng dÉn häc sinh sö dông c«ng thøc
TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ®Ó gi¶i mét sè d¹ng to¸n
Trong ch¬ng tr×nh h×nh häc líp 8,9.
M«n: To¸n
Khèi Líp:8,9
®¸nh gi¸ cña phßng gi¸o dôc
(NhËn xÐt ,xÕp lo¹i ,ký,®ãng
dÊu) .................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
........
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
Tªn t¸c gi¶: ........................................................................................................
§¬n vÞ c«ng t¸c:...............................................................................................
.
19
20
- Xem thêm -
.DOC 
17 
83 
95 
