Skkn hướng dẫn học sinh sử dụng công thức tính diện tích tam giác

  • Số trang: 17 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 19 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 24000 tài liệu

Mô tả:

PhÇn I -®Æt vÊn ®Ò -C«ng thøc tÝnh diÖn tÝch cña tam gi¸c ®îc häc sinh lµm quen tõ bËc tiÓu häc , tíi bËc THCS c¸c em ®îc hiÓu râ h¬n vÒ c¸ch x©y dùng c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c vµ viÖc sö dông c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ®Ó gi¶i c¸c bµi tËp cã liªn quan vèn rÊt ®a d¹ng vµ phong phó ë c¸c líp 8vµ líp 9. -Sö dông c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c gióp häc sinh x©y dùng ®îc c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch cña : H×nh thang , tø gi¸c cã hai ®êng chÐo vu«ng gãc, h×nh b×nh hµnh, h×nh thoi ...§Æc biÖt ®Ó tÝnh diÖn tÝch c¸c ®a gi¸c ta thêng quy vÒ viÖc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c b»ng c¸ch chia c¸c ®a gi¸c thµnh c¸c tam gi¸c hoÆc t¹o ra mét tam gi¸c cã chøa ®a gi¸c (Trong thùc tÕ viÖc ph©n chia ®a gi¸c nh trªn tá ra rÊt tiÖn lîi). -Nh vËy c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c cã thÓ coi lµ mét c«ng cô cña to¸n häc , nã gióp chóng ta sö dông ®Ó gi¶i quyÕt ®îc nhiÒu vÊn ®Ò trong gi¶i bµi tËp to¸n , trong viÖc x©y dùng c«ng thøc , chøng minh c¸c ®Þnh lý,... -Víi nhËn thøc vÒ tÇm quan träng cña c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c , t«i ®· ®i s©u t×m hiÓu vÒ” Híng dÉn häc sinh sö dông c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c” trong viÖc gi¶i mét sè d¹ng to¸n trong ch¬ng tr×nh H×nh häc líp 8,9. -Trong ph¹m vi cña bµi viÕt nµy t«i muèn tr×nh bÇy kinh nghiÖm híng dÉn häc sinh sö dông c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ®Ó thiÕt lËp vÒ quan hÖ ®é dµi gi÷a c¸c ®o¹n th¼ng vµ t×m cùc trÞ trong h×nh häc líp 8,9.C¸c d¹ng to¸n trªn ®· cã nhiÒu c¸ch gi¶i, víi c¸c ph¬ng ph¸p kh¸c nhau nhng t«i nhËn thÊy nÕu dïng ph¬ng ph¸p cña kinh nghiÖm nµy häc sinh sÏ thuËn lîi h¬n trong viÖc t×m ra nh÷ng lêi gi¶i hay , dÔ hiÓu vµ ®éc ®¸o . -Trong thùc tÕ gi¶ng dËy t«i nhËn thÊy häc sinh thêng lóng tóng trong viÖc nhËn d¹ng , ph©n lo¹i bµi tËp vµ vËn dông kiÕn thøc nh thÕ nµo cho hîp lý dÓ gi¶i mét bµi to¸n cô thÓ .§Æc biÖt lµ nh÷ng bµi to¸n vÒ thiÕt lËp quan hÖ gi÷a c¸c ®é dµi ®o¹n th¼ng vµ t×m cùc trÞ h×nh häc trong ®ã cã liªn quan tíi viÖc sö dông c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch cña tam gi¸c . -NhËn thøc ®îc tÇm quan träng cña vÊn ®Ò , t«i ®· cè g¾ng t×m ra nh÷ng biÖn ph¸p gióp häc sinh chñ ®éng , s¸ng t¹o khi sö dông c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c trong viÖc gi¶i c¸c d¹ng to¸n thêng gÆp trong ch¬ng tr×nh H×nh häc 8,9.Trong bµi viÕt nµy t«i muèn trao ®æi cïng víi ®ång nghiÖp mét sè kinh nghiÖm nhá mong phÇn nµo gi¶i to¶ ®îc nh÷ng b¨n kho¨n , gãp phÇn n©ng cao hiÖu qu¶ häc tËp cña häc sinh. PhÇn II-Gi¶i quyÕt vÊn ®Ò. - §Ó thiÕt lËp vÒ quan hÖ ®é dµi c¸c ®o¹n th¼ng hoÆc t×m cùc trÞ h×nh häc , häc sinh Ýt chó ý tíi ph¬ng ph¸p sö dông c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch cña mét tam gi¸c . - T×m hiÓu nguyªn nh©n t«i thÊy : Häc sinh tuy cã n¾m v÷ng kiÕn thøc , kü n¨ng c¬ b¶n nhng viÖc sö dông nã thÕ nµo cho thÝch hîp th× cßn h¹n chÕ . -VËy lµm thÕ nµo ®Ó häc sinh nhËn d¹ng ®îc bµi to¸n ®Ó tõ ®ã sö dông vèn kiÕn thøc ®· cã cho hîp lý vµ hiÖu qu¶ nhÊt . -Trong ph¹m vi cña bµi viÕt nhá nµy t«i muèn ®i s©u t×m hiÓu ph¬ng ph¸p sö dông c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c trong viÖc gi¶i hai d¹ng to¸n sau: 4 D¹ng 1: Sö dông c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ®Ó thiÕt lËp quan hÖ vÒ ®é dµi ®o¹n th¼ng. D¹ng 2: Sö dông c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ®Ó t×m cùc trÞ h×nh häc. I-c¸c kiÕn thøc träng t©m §Ó dËy tèt ph¬ng ph¸p nµy chóng ta cÇn híng dÉn häc sinh n¾m ®îc c¬ së cña néi dung vµ ph¬ng ph¸p ®ã lµ c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c: SABC = 1 2 BH.AC. B SABC : DiÖn tÝch cña  ABC. BH: ChiÒu cao . AC: C¹nh ®¸y. A C H -Víi tr×nh ®é cña häc sinh kh¸, giái c¸c em cÇn n¾m v÷ng viÖc x©y dùng c«ng thøc tõ c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch cña h×nh ch÷ nhËt vµ biÕt ¸p dông c«ng thøc trong viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n cã liªn quan .§Ó häc sinh sö dông tèt c«ng thøc trong tõng bµi to¸n cô thÓ yªu cÇu häc sinh cÇn n¾m ®îc c¸c kiÕn thøc sau: 1-Hai tam gi¸c b»ng nhau th× cã diÖn tÝch b»ng nhau.  ABC =  A, B , C ,  SABC = S A,B,C, (§iÒu ngîc l¹i cha ch¾c ®· ®óng). 2-NÕu mét ®a gi¸c (Tam gi¸c ) ®îc chia thµnh nh÷ng ®a gi¸c (Tam gi¸c ) kh«ng cã ®iÓm trong chung th× diÖn tÝch cña nã b»ng tæng diÖn tÝch cña nh÷ng ®a gi¸c (tam gi¸c ) ®ã. 3-Hai tam gi¸c cã chung c¹nh ®¸y vµ ®êng cao t¬ng øng víi ®¸y b»ng nhau th× diÖn tÝch cña hai tam gi¸c ®ã b»ng nhau.  ABC,  DBC, AK = DH  SABC =S DBC . D A B K C H 4-Hai tam gi¸c cã ®é dµi hai ®¸y b»ng nhau vµ cã chung ®êng cao th× chóng cã diÖn tÝch b»ng nhau. B ABC , BCF    SABC = S B C F BE  AC; BE  CF; AC=CF A E C F 5 5 -Hai tam gi¸c cã ®é dµi c¹nh ®¸y b»ng nhau th× tû sè diÖn tÝch b»ng tû sè hai ®êng cao t¬ng øng. A D  ABC,  DBC AO  BC  DE  BC B O C S DBC S ABC = DE AO E -Hai tam gi¸c cã ®é dµi ®êng cao b»ng nhau th× tû sè diÖn tÝch b»ng tû sè hai c¹nh t¬ng øng . A N B K C M Q P  ABC,  MNP AK = NQ ,  AK  BC,NQ  MP S ABC S MNP = BC MP 6-Chó ý: Mét sè bµi to¸n liªn quan tíi miÒn cña tam gi¸c th× khi sö dông c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ta cã thÓ sÏ nhanh t×m ra c¸ch gi¶i . II-HÖ thèng bµi tËp §Ó ph¸t huy ®îc sù s¸ng t¹o cña häc sinh vµ rÌn luyÖn kü n¨ng gi¶i bµi tËp , gióp häc sinh tõng bíc nhËn d¹ng , ph©n loaÞ ®îc bµi tËp , ë phÇn nµy t«i m¹nh d¹n ph©n chia thµnh 2 d¹ng chÝnh ®Ó ®i s©u nghiªn cøu , tÊt nhiªn trong thùc tÕ cßn mét sè d¹ng kh¸c cã thÓ sö dông c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ®Ó t×m ra lêi gi¶i. Chóng ta cïng nghiªn cøu d¹ng thø nhÊt: D¹ng 1: Sö dông c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ®Ó thiÕt lËp quan hÖ vÒ ®é dµi cña c¸c ®o¹n th¼ng. C¸c c«ng thøc diÖn tÝch cho ta quan hÖ vÒ ®é dµi cña c¸c ®o¹n th¼ng , chóng rÊt cã Ých ®Ó gi¶i nhiÒu bµi to¸n , chóng ta cïng nghiªn cøu mét sè bµi to¸n sau: Bµi 1-Cho tam gi¸c ®Òu ABC , chøng minh r»ng ®iÓm M thuéc miÒn trong cña tam gi¸c ABC th× tæng c¸c kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn ba c¹nh cña tam gi¸c b»ng chiÒu cao cña tam gi¸c . 1-Híng dÉn t×m lêi gi¶i. 6 §iÓm M thuéc miÒn trong cña tam gi¸c ABC nªn ta sö dông c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c vµ mèi quan hÖ gi÷a SAMB, SAMC, SBMC víi SABC ®Ó chøng minh. 2-C¸ch gi¶i : Gäi a,h lµ c¹nh vµ chiÒu cao cña tam gi¸c ABC . MA, ,MB, ,MC, lµ c¸c kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn BC,AC,AB. M thuéc miÒn trong cña  ABC th× : SABC = SAMB + SAMC + SBMC. 1 Hay BC . MA, + 1 AC.MB, + 1 AB.MC, = 1 BC.AH 2 a 2 2 2 2 a 2 hay .( MA, +MB, +MC,) = h. Suy ra: MA, +MB, +MC, =h. 3-Khai th¸c bµi to¸n : 1-NÕu M thuéc miÒn ngoµi tam gi¸c ABC vµ thuéc miÒn trong gãc A th× : SABC = SAMB + SAMC - SBMC .(MB, +MC,) - a . MA, = a h. 2 2 MB, +MC, -MA, =h.  2- NÕu M thuéc miÒn trong gãc ®èi ®Ønh víi gãc A th× : MA, -MB, -MC, =h. 3- NÕu M thuéc miÒn trong gãc ®èi ®Ønh víi gãc B th× : MB, - MA, - MC, =h. 4-NÕu M thuéc miÒn trong gãc ®èi ®Ønh gãc C th×: MC, -MA, - MB, =h.  a 2 Bµi 2- Cho tam gi¸c ABC víi ba ®êng cao A A,, BB,, CC, .Gäi H lµ trùc t©m  ABC chøng minh r»ng: HA , HB , HC , 1 . AA , + BB , + CC , 1-Híng dÉn t×m lêi gi¶i. §iÓm H thuéc miÒn trong cña  ABC, ta sö dông c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c vµ tû sè cña SHBA , SHAC , SBHC víi SABC ®Ó t×m c¸ch gi¶i. 2-C¸ch gi¶i: §iÓm H lµ trùc t©m tam gi¸c ABC nªn A A,,BB,,CC, ®ång quy t¹i H.Ta cã : SABC = 1 A A,.BC = 1 BB, .AC = 1 CC,.AB. A 2 SBHC = 1 HA,.BC 2 1 SHBA= HC,.AB, 2 2 2 , SHAC = 1 2 HB,.AC 7 C, B, S BHC S ABC VËy : 1 (2 = S BHA S ABC = S AHC S ABC HA,.BC):( 1 (2 = , VËy: HC,.AB ):( 1 (2 , HA AA , HB,.AC):( HA , AA , -Tõ (1), (2), (3) ta cã : 1 2 HB + BB , HB , + BB , A A,.BC ) 1 2 HA , , = AA HC , CC , CC,.AB) = 1 2 BB, .AC) = HC , + CC , S BHC S ABC = ( 1) . + H (2) HB , BB , S BHA S ABC B A, (3) + S AHC S ABC S ABC = S ABC = 1. , HC + CC , = 1. Bµi 3-Cho h×nh b×nh hµnh ABCD .C¸c ®iÓm E,F lÇn lît n¾m trªn c¸c c¹nh AB,BC, sao cho A F = CE , A F c¾t CE t¹i I. Chøng minh : ID lµ tia ph©n gi¸c cña gãc AIC. 1-Híng dÉn c¸ch t×m lêi gi¶i: -VÏ DH  IA ,DK  IC t×m quan hÖ gi÷a DH vµ DK, chøng tá S A F D = SCDE. 2-C¸ch gi¶i. 1 DH.AF. 2 1 CDE = DK.CE. 2 -Tõ D kÎ DH  AI , DK  IC ta cã : S A F D= S S A F D= SABCD-( S AB F + SCDE) = BC.h - ( 1 h.BF+ 1 h.CF) 2 =BC.h - 1 2 2 h.BC = 1 (BC.h) = 2 1 2 SABCD. -T¬ng tù ta cã: SCDE= VËy SADF = 1 S ABCD 2 SCDE, A F=CE (gt) . Suy ra DH=DK suy ra D thuéc ID lµ ph©n gi¸c cña gãc AIC. 8 C Bµi 4-Cho ®iÓm O thuéc miÒn trong cña  ABC . c¸c tia AO,BO,CO c¾t c¸c c¹nh cña tam gi¸c ABC theo thø tù ë A,,B,,C,. Chøng minh: A 1, OA , AA , + OB , BB , OA AA, OB BB , OC , + CC , OC + CC , + 2, 1-Híng dÉn c¸ch t×m lêi gi¶i. = 1. = 2 C, B, O B A, -Gäi SABC , S OBC , SOAC , SBOA lÇn lît lµ: S , S1, S2 , S3 t×m c¸ch biÓu diÔn c¸c OA , AA , OB , BB , , Tû sè: 2-C¸ch gi¶i OC , CC , , , OA AA , OB BB , , , OC CC , qua S , S1 , S2 , S3 Gäi S lµ diÖn tÝch tam gi¸c ABC. Gäi S1lµ diÖn tÝch tam gi¸c OBC. Gäi S2 lµ diÖn tÝch tam gi¸c OAC. Gäi S3 lµ diÖn tÝch tam gi¸c OBA. Ta cã : S S  S3 S OA  2  3  2 , OA S OAC S OAB S1 (1) OA, S OA,C S OA, B S OA, C  S OA, B S1     AA, S A, AC S AA, B S AAC  S AAB S (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra: OA S 2  S 3  AA, S OB S 2  BB , S 1-VËy : 2. Chøng minh t¬ng tù ta cã : , OA , AA , + OB S1  S3 OC S1  S 2 OC , S 3 , ,    , , BB S CC , S S CC , , OB OC S1 S 2 S 3   , , BB + CC = S S S =1. OA OB OC S 2  S3 S1  S3 S1  S 2      2 AA, BB , CC , S S S 3-Khai th¸c bµi to¸n: Víi bµi to¸n nµy ta cã thÓ x©y dùng ®îc bµi to¸n vÒ cùc trÞ ( Ta xÐt ë phÇn sau). Chøng minh : M = OA,  OB,  OC, 6 . OA OB OC Bµi 5- Cho tam gi¸c nhän ABC cã ba ®êng cao A A,, BB,,CC, c¾t nhau t¹i H. A1,B1,C1lµ c¸c ®iÓm ®èi xøng cña H qua BC,AC vµ AB.Chøng minh r»ng tæng: 9 AA1 BB1 CC1   AA, BB , CC , kh«ng ®æi. 1-Híng dÉn c¸ch t×m lêi gi¶i. -BiÓu diÔn AA1 qua biÓu thøc cña HA, vµ A A, råi biÓu diÔn , AA S HBC HA, qua S ABC AA , S CC1 BB1 víi HAC : , S ABC CC , BB cña lµm t¬ng tù ta x©y dùng ®îc quan hÖ víi S HAB tõ ®ã t×m ®îc c¸ch chøng minh. S ABC 2-C¸ch gi¶i: -XÐt tû sè : AA1 AA,  A, A1 A, A1 HA,   1   1  AA, AA, AA, AA, (A,A1=HA,V× A1®èi xøng víi H qua BC). -Ta l¹i cã : 1 BC.HA, S HA  HBC = 2 , 1 S ABC AA BC. AA , 2 S AA1 1  HBC (1) -VËy : , AA S ABC S BB -T¬ng tù ta cã: 1, 1  HAC (2) BB S ABC , CC1 S 1  HAB (3) , CC S ABC Céng tõng vÕ 3 ®¼ng thøc (1),(2),(3) ta l¹i cã: S S S S AA1 BB1 CC1 =3 + HBC HAC HAB =3+ ABC 3  1 4 .   , , , S ABC S ABC AA BB CC Bµi 6- Cho tam gi¸c ABC cã ®é dµi c¸c c¹nh a,b,c c¸c chiÒu cao t¬ng øng lµ ha,hb,hc .BiÕt r»ng : a+ ha=b+ hb=c+ hc. Chøng minh: Tam gi¸c ABC ®Òu. 1-Híng dÉn c¸ch t×m lêi gi¶i. -XÐt c¸c ®¼ng thøc: a+ ha=b+ hb, a+ ha= c+ hc b+ hb=c+ hc -BiÓu diÔn ha,hb,hc qua SABC lµ S tõ ®ã xÐt mèi quan hÖ gi÷a a,b,c ta cã ®iÒu cÇn chøng minh. 2-C¸ch gi¶i: -Gäi S lµ diÖn tÝch cña tam gi¸c ABC. 10 +XÐt a+ ha=b+ hb ta l¹i cã: a-b = hb- ha= Suy ra: (a-b).(1- 2S ba +XÐt a+ 2S 2S  b a =2S ( b1  1 a )=2S . ) = 0. Suy ra tam gi¸c c©n ë C hay vu«ng ë C. (1) ha= c+ hc Ta cã:a-c = hc-ha  a-c= 2S 2 S  c a T¬ng tù ta cã : (a-c) .(1- 2S ) = 0 . ac Suy ra tam gi¸c c©n ë B hay vu«ng ë B +XÐt b+ hb=c+ hc .T¬ng tù ta cã : (c-b).(1Suy ra tam gi¸c c©n ë A hay vu«ng ë A . a b ab . (2). 2S bc )=0. (3). X¶y ra c¶ (1),(2),(3) khi vµ chØ khi tam gi¸c ABC ®Òu. 3-NhËn xÐt: Tam gi¸c ABC (H×nh 1) AB = c,BC= a, AC=b, ha  a, hb  b , hc  c  ABC ®Òu. D¹ng 2- Sö dông c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ®Ó t×m cùc trÞ h×nh häc. Trong phÇn nµy ngoµi c¸c kiÕn thøc träng t©m cña h×nh häc ®· nªu trªn chóng ta cÇn cho häc sinh n¾m ®îc mét sè bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè , ®Æc biÖt chó ý trêng hîp cã dÊu “=” x¶y ra cña c¸c bÊt d¼ng thøc ®Ó t×m Cùc trÞ cña bµi to¸n . 1, x2 o DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi x=0. - x2 0 DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi x=0. 2,BÊt d¼ng thøc C« si: -Cho a,b kh«ng ©m ta cã a  b  ab DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi a=b. 2 cã a  b  c 3 abc 3 - Cho a,b,c kh«ng ©m ta .DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi a=b=c. -HÖ qu¶: Cho avµ b kh«ng ©m ,nÕu (a+b) kh«ng ®æi th× ab lín nhÊt khi vµ chØ khi a=b. -NÕu ab kh«ng ®æi th× (a+b) nhá nhÊt khi vµ chØ khi a=b. Sau ®©y chóng ta xÐt mét sè bµi to¸n d¹ng nµy. Bµi 7-Cho tam gi¸c ABC vµ ®iÓm M thuéc miÒn trong cña tam gi¸c . KÎ MA, vu«ng gãc víi BC , MB, vu«ng gãc víi Acvµ MC, vu«ng gãc víi AB. §Æt BC=a,CA=b,AB=c. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña tæng: a b c   , , MA MB MC , 1-Híng dÉn t×m lêi gi¶i. §Æt MA, = a,;MB,=b,;MC,=c,. BiÓu diÔn aa, qua SMBC; bb, qua SMCA; cc, qua SMAB . 11 -T×m sù liªn hÖ cña: aa,+bb,+ cc, víi SABC. a b c   ) a, b, c, , , , , , , ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C« si cho ( a ,  b , );( b ,  c , ); ( c ,  a , ) b a c b a c 2 a b c Suy ra : ,  ,  ,  a  b  c  a b c 2S -XÐt tÝch cña (aa,+bb,+ cc,).(  XÐt dÊu b»ng x¶y ra ta cã ®iÒu cÇn t×m. 2-C¸ch gi¶i: §Æt MA, = a,; MB,=b,;MC,=c,. Ta cã : aa,=2.SMBC bb, =2.SMCA cc,=2.SMAB , Suy ra: aa +bb,+ cc,=2S (S lµ diÖn tÝch tam gi¸c ABC). Ta cã : a b c   ) a, b, c, , , , , , , = a2+ b2+ c2+ab( a ,  b , )+bc( b ,  c , )+ca ( c ,  a , ) M b a c b a c (aa,+bb,+ cc,).( víi M= a2+ b2+ c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2 2 Suy ra a  b  c  a  b  c  a, Do ®ã : b, c, a b c   ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt a, b, c, 2S b»ng a  b  c 2S   2 khi a, =b, =c, tøc lµ M lµ giao ®iÓm c¸c ®êng ph©n gi¸c trong cña tam gi¸c ABC. Bµi 8-Cho ®iÓm O thuéc miÒn trong tam gi¸c ABC .C¸c tia AO,BO,CO c¾t c¸c c¹nh cña tam gi¸c ABC theo thø tù ë A, , B,, C, a- Chøng minh :M= OA OB OC   6 OA, OB , OC , T×m vÞ trÝ cña O ®Ó tæng M cã gi¸ trÞ nhá nhÊt . b, N= OA OB OC 8 .T×m vÞ trÝ cña O ®Ó N cã gi¸ trÞ nhá nhÊt. OA, OB , OC , 1-Híng dÉn c¸ch t×m lêi gi¶i: -Gäi SABC;SOBC;SAOC;SAOB lÇn lît lµ : S,S1, S2, S3. -T×m c¸ch biÓu diÔn c¸c tû sè qua : S, S1, S2, S3 , ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si thÝch hîp , xÐt trêng hîp dÊu “=” x¶y ra tõ ®ã x¸c ®Þnh ®îc vÞ trÝ cña O. 2-C¸ch gi¶i: -Gäi SABC;SOBC;SAOC;SAOB lÇn lît lµ : S,S1, S2, S3. -Ta cã : S S  S3 S OA  2  3  2 , S OCA, S OBA, S1 OA (1) 12 OB S1  S 3 OC S1  S 2   ; OC , S3 OB , S2 OA OB OC S 2  S 3 S1  S 3 S 2  S1 a-VËy: M= = + +   S1 S2 S3 OA, OB , OC , S S S S S S =( 1  2 )+( 2  3 )+( 3  1 ) 2+2+2=6. S 2 S1 S3 S 2 S1 S 3 S S S S S S - Ta ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C« si cho c¸c sè d¬ng : ( 1 ; 2 );( 2 ; 3 );( 3 ; 1 ). S 2 S1 S3 S 2 S1 S 3 -T¬ng tù ta cã : S1 S 2  2. S 2 S1 S1 S 2 S1 S 2 =2. S 2 S3  2. S3 S 2 S3 S2 S3 S2 =2, S1 S 3  2. S 3 S1 DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi O lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC. S1 S 3 S1 S 3 =2 S S S S S S OA OB OC = 2 3 . 1 3 . 2 1 Suy ra , , , S1 S2 S3 OA OB OC 4 S S .4 S S .4 S S . S S S S S S N2= ( 2 3 . 1 3 . 2 1 )2  2 3 1 3 2 1 2 =64 S1 S2 S3 ( S1 S 2 S 3 ) b, N= Suy ra N  8. -DÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi O lµ träng t©m tam gi¸c ABC. 3-Khai th¸c bµi to¸n. -¸p dông bÊt ®¼ng thøc C« si ta cßn chøng minh ®îc : , BB , CC ,  4,5 OA OB OC , , , F= A O  OB  OC 1,5 OA OB OC E= A A  - , , , 3 A A BB CC ThËt vËy: E =(   )3  3 . OA OB OC 3 P3=( A , A BB , CC , . . OA OB OC OA OB OC OA   ) 33. , , , AA, AA BB CC OB BB , OC CC , Nh©n tõng vÕ 2 B§T trªn vµ chó ý: P = 2 (Theo c©u b, bµi 4-D¹ng 1). -Ta cã : 23.E3 93 suy ra E3 (9/2)3 suy ra E 4,5. -ViÕt E 4,5 díi d¹ng : OA  OA , OA , , , , , + OB  OB + OC  OC 4,5 suy ra 3+ A O  OB  OC 4,5  F 1,5. OB OC OA OB OC -DÊu b»ng x¶y ra trong c¸c bÊt ®¼ng thøc E 4,5 vµ F 1,5 khi vµ chØ khi O lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC. Bµi 9-Trong mét tam gi¸c , gäi ha lµ ®êng cao øng víi c¹nh a,hb lµ ®êng cao øng víi c¹nh b .Chøng minh r»ng : nÕu a>b th× a+ ha b+ hb. DÊu b»ng x¶y ra khi nµo? 1-Híng dÉn c¸ch t×m lêi gi¶i: -Ta biÓu diÔn ha qua a vµ S: DiÖn tÝch tam gi¸c ,biÓu diÔn hbqua b vµ S. XÐt 13 a+ ha-(b+hb) ®Ó t×m ra lêi gi¶i. A 2-C¸ch gi¶i: Gäi S lµ diÖn tÝch tam gi¸c ABC th×: a.ha=bhb=2S. Chó ý: ha b nªn 2S=a. ha ab ta cã : a+ ha-(b+hb) =a+ 2S  b  2S C a b K H =(a-b)+2S( 1  1 ) (a  b). ab  2S o a b ab -V× a-b > o vµ ab-2S o . DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi : 2S=ab, tøc lµ a vu«ng gãc víi b hay tam gi¸c ABC vu«ng. Bµi 10- Cho tam gi¸c ABC , M lµ ®iÓm n»m trong tam gi¸c . Gäi kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn c¸c c¹nh BC,AC,AB lÇn lît lµ x,y,z, AB =AC = BC. -X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó tÝch xyz ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt . 1-Híng dÉn c¸ch t×m lêi gi¶i. Dùa vµo mèi quan hÖ gi÷a SAMC,, SBMC,, SAMB, SABC, ®Ó dÉn tíi : x+y+z kh«ng ®æi vµ ¸p dông B§T C« si cho x,y,z.XÐt dÊu “=” x¶y ra ta cã ®iÒu cÇn t×m. 2-C¸ch gi¶i: Ta cã : SAMC,+ SBMC,+ SAMB= SABC = 1 BC.x  1 AC. y  1 AB.z  1 BA.( x  y  z )  2 2 2 2 xyz  B§T C« si cho ba sã kh«ng ©m ta cã : xyz x yz 3 3 xyz   xyz ( ) kh«ng ®æi . 3 2 S ABC AB kh«ng ®æi,¸p dông 3 DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi x=y=z= 2.S ABC 3. AB  M lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC. Bµi 11-Cho tam gi¸c dÒu ABC , M trªn c¹nh BC (M kh¸c B,C) . KÎ MD vu«ng gãc víi AB , ME vu«ng gãc víi AC. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó SMDE lín nhÊt . 1-Híng dÉn c¸ch t×m lêi gi¶i. T×m mèi quan hÖ gi÷a SABM vµ SAMC víi SABC.Tõ ®ã cã : MD+ME kh«ng ®æi, chøng minh : Gãc DME kh«ng ®æi .Sö dông hÖ qu¶ cña B§T C«si ®Ó tõ ®ã t×m ®îc vÞ trÝ cña M. 2-C¸ch gi¶i: Ta cã: SABC = SABM + SAMC = AB.CD  AC.ME suy ra: SABC = 2 2 AB ( MD  ME ) 2 14 2 S ABC kh«ng ®æi. AB -MÆt kh¸c  DME  DAE 180 o (Tø gi¸c AEMDcã:  D  E 180 o ) suy ra: DME 120 o . DME cã DME kh«ng ®æi nªn SMDE lín nhÊt khi vµ chØ khi MD=ME  MD+ME= (MD+ME: Kh«ng ®æi) Khi ®ã AM lµ ph©n gi¸c cña BAC hay M lµ trung ®iÓm cña BC. VËy khi M lµ trung ®iÓm cña BC th× SMDE ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt . Bµi 12: Trong tam gi¸c ABC cã c¸c c¹nh lµ a,b,c , cã t©m lµ ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC vµ b¸n kÝnh ®êng trßn lµ r. -T×m tam gi¸c cã tæng ®é dµi ba ®êng cao ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt . 1-Híng dÉn t×m lêi gi¶i. -Chó ý: SABC=SOBC+SOAC+SOAB. -BiÓu diÔn (ha+hb+hc) qua r,a,b,c. ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C« si cho: ( a  b );( a  c );( b  c ) xÐt trêng hîp dÊu “=” x¶y ra ta suy ra ®iÒu cÇn chøng minh. b a c a c b 2-C¸ch gi¶i: SABC = SOBC+SOAC+SOAB.= r. a + r. b + r. c = r. a  b  c 2 SABC= 2 2 2 r. a  b  c 2 MÆt kh¸c : SABC = aha = 2 Suy ra bhb chc = 2 2 : ha=(1+ b  c ).r ; a a a b hc=(1+  ).r; c c hb=(1+ a  c ).r b b . Ta cã : ha+hb+hc=r. 3+( a  b )+( a  c )+( b  c )  r(3+2+2+2). b a c a c b (¸p dông bÊt ®¼ng thøc C« si). Hay ha+hb+hc 9r. -DÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = c tøc lµ tam gi¸c ABC ®Òu. VËy ha+hb+hc ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng 9r khi ®ã a = b = c vµ tam gi¸c ABC ®Òu. III-C¸c bµi tËp tù gi¶i Bµi 1: Cã tam gi¸c nµo mµ ®é dµi ba ®êng cao b»ng 3cm,4cm,7cm kh«ng? Bµi 2:§é dµi hai c¹nh cña mét tam gi¸c b»ng 6cm vµ 4cm , nöa tæng c¸c chiÒu cao øng víi hai c¹nh Êy b»ng chiÒu cao øng víi c¹nh thø 3. TÝnh ®é dµi c¹nh thø ba. 15 Bµi3-Cho tam gi¸c ABC c©n ë A .T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M thuéc miÒn trong tam gi¸c hoÆc n»m trªn c¹nh cña tam gi¸c sao cho kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn BC b»ng tæng c¸c kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn 2 c¹nh kia. Bµi 4-Cho tam gi¸c ABC ®Òu cè ®Þnh cã chiÒu cao h.T×m tËp hîp ®iÓm M cã tæng c¸c kho¶ng c¸ch ®Õn ba c¹nh cña tam gi¸c b»ng ®é dµi m kh«ng ®æi(m>h). Bµi 5-Cho C lµ mét ®iÓm thuéc tia ph©n gi¸c cña gãc xOy cã sè ®o b»ng 600, M lµ ®iÓm bÊt kú n»m trªn ®êng vu«ng gãc víi OC t¹i C vµ thuéc miÒn ngoµi cña gãc xOy .Gäi MA,MB thø tù lµ kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn O x,Oy. TÝnh ®é dµi OC theo MA,MB. Bµi 6-Tam gi¸c ABC cã BC b»ng trung b×nh céng cña hai c¹nh cßn l¹i .Gäi I lµ giao ®iÓm c¸c ph©n gi¸c ,G lµ träng t©m cña tam gi¸c . Chøng minh: IG song song víi BC. Bµi 7-T×m mét h×nh ch÷ nhËt néi tiÕp trong ®êng trßn cã diÖn tÝch lín nhÊt . IV-KÕt qu¶ thùc hiÖn kinh nghiÖm. Víi néi dung vµ ph¬ng ph¸p ®· tr×nh bµy ë trªn , trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y ,qua thùc nghiÖm vµ ®¸nh gi¸ so víi tríc khi d¹y ph¬ng ph¸p nµy t«i nhËn thÊy c¸c em ®· ®¹t ®îc nh÷ng tiÕn bé râ rÖt víi kÕt qu¶ nh sau: B¶ng 1: (KÕt qu¶ khi cha ¸p dông kinh nghiÖm) Líp 9A Tæng sè bµi 40 Tõ O ®Õn díi 5 Sè l% îng 23 57,5 §iÓm Tõ 5 ®Õn díi 8 Sè l% îng 17 42,5 Tõ 8 ®Õn 10 Sè l% îng 0 0 Tû lÖ tõ 5®iÓm trë lªn Sè l% îng 17 42,5 B¶ng 2:( KÕt qu¶ sau khi ®· ¸p dông kinh nghiÖm) Líp 9A Tæng sè bµi 40 Tõ O ®Õn díi 5 Sè l% îng §iÓm Tõ 5 ®Õn díi 8 Sè l% îng 16 Tõ 8 ®Õn 10 Sè l% îng Tû lÖ tõ 5®iÓm trë lªn Sè l% îng 9 22,5 26 65 5 12,5 31 77,5 So s¸nh hai b¶ng trªn ta thÊy : - Sau khi ¸p dông kinh nghiÖm tû lÖ häc sinh ®¹t tõ 5 ®iÓm trë lªn t¨ng 35% , trong ®ã häc sinh ®¹t ®iÓm kh¸, giái t¨ng ®¸ng kÓ.Nh vËy kinh nghiÖm nµy ¸p dông ®îc ®èi víi häc sinh kh¸ giái , víi häc sinh ®¹i trµ còng cã thÓ ¸p dông ®îc nhng ®ßi hái gi¸o viªn ph¶i lùa chän c¸c bµi tËp ®¬n gi¶n , cã lêi gi¶i dÔ hiÓu h¬n. -Víi häc sinh kh¸ ,giái kinh nghiÖm nµy cßn gióp c¸c em t×m ®îc ph¬ng ph¸p gi¶i thÝch hîp ®èi víi c¸c bµi tËp hayvµ khã. C¸c em cßn lµm ®îc mét sè bµi tËp b»ng nhiÒu ph¬ng ph¸p kh¸c nhau, cã híng t×m dÕn nh÷ng lêi gi¶i hay , ng¾n gän vµ ®éc ®¸o. V-Bµi häc kinh nghiÖm: Trªn ®©y t«i ®· tr×nh bÇy mét sè d¹ng to¸n sö dông c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ®Ó t×m ra lêi gi¶i . §Ó c¸c em tiÕp thu cã hiÖu qu¶ chóng ta cÇn lu ý mét sè ®iÓm sau: 1-VÒ gi¸o viªn: -CÇn kh¾c s©u cho häc sinh nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ diÖn tÝch tam gi¸c vµ c¸c kiÕn thøc cã liªn quan. -CÇn yªu cÇu häc sinh n¾m ch¾c c¸c d¹ng to¸n , chó ý ph¬ng ph¸p gi¶i mét sè bµi to¸n trong mét d¹ng cô thÓ , chó ý tíi c¸c bíc: +T×m hiÓu ®Ò bµi. +Híng t×m c¸ch gi¶i. +C¸ch gi¶i. +Khai th¸c bµi to¸n (NÕu cã). 2-§èi víi häc sinh : -C¸c em ph¶i n¾m ch¾c c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch cña mét tam gi¸c vµ c¸c kiÕn thøc cã liªn quan trong tõng d¹ng to¸n ,bµi to¸n. -C¸c em ph¶i ®Þnh híng ®óng cho tõng bµi to¸n xem nã thuéc d¹ng nµo?Sö dông kiÕn thøc nµo?C¸c em ph¶i linh ho¹t , s¸ng t¹o trong viÖc vËn dông ph¬ng ph¸p ®· häc , ph¶i thùc sù yªu thÝch to¸n häc . VI-Ph¹m vi ¸p dông -Ph¬ng ph¸p sö dông c«ng thøc tÝnh diªn tÝch cña mét tam gi¸c cã thÓ ¸p dông cho häc sinh kh¸ giái ë líp 8,9 ®Æc biÖt lµ cho c¸c ®éi tuyÓn häc sinh giái , tuy nhiªn khi ®em ¸p dông dËy cho häc sinh thuéc diÖn ®¹i trµ ®ßi hái ngêi thÇy ph¶i tèn nhiÒu thêi gian , c«ng søc h¬n trong viÖc chän lùa bµi tËp vµ ®Æc biÖt ph¶i cã sù ph©n ho¸ tèt trong gi¶ng dËy. VII-Nh÷ng vÊn ®Ò cßn ph¶i tiÕp tôc nghiªn cøu. -Trong bµi viÕt nµy t«i míi ®Ò cËp ®Õn viÖc sö dông c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch cu¶ mét tam gi¸c ®Ó gi¶i hai d¹ng to¸n ®· nªu, trªn thùc tÕ cßn cã thÓ khai th¸c c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n t×m tËp hîp ®iÓm hoÆc sö dông c«ng thøc ®ã trong viÖc chøng minh mét sè ®Þnh lý sÏ cho ta c¸ch chøng minh ®¬n gi¶n , dÔ hiÓu vµ ng¾n gän h¬n,... -T«i lu«n mong muèn ®îc ®ång nghiÖp, nh÷ng ngêi yªu thÝch to¸n häc quan t©m tíi ®Ò tµi nµy cïng nghiªn cøu , trao ®æi ®Ó ®a ra nh÷ng kinh nghiÖm hay h¬n , hoµn thiÖn h¬n vÒ vÊn ®Ò nµy, ®Ó chóng ta cïng ®¹t ®îc môc ®Ých chung lµ gãp phÇn n©ng cao chÊt lîng d¹y vµ häc bé m«n to¸n trong trêng häc bËc THCS. 17 PhÇn III- KÕt luËn,kiÕn nghÞ -Trªn ®©y lµ nh÷ng ý kiÕn nhá cña t«i vÒ viÖc sö dông c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n thuéc hai d¹ng to¸n ®· nªu .Víi nhiÒu n¨m lµ gi¸o viªn dËy to¸n bËc THCS víi t«i dËy to¸n thùc sù lµ mét c«ng viÖc lý thó nhng thËt sù vÊt v¶.Qua qu¸ tr×nh võa dËy võa häc võa t×m tßi ®óc rót kinh nghiÖm híng dÉn häc sinh gi¶i bµi tËp, ... T«i thÊy m×nh ngµy mét yªu nghÒ , tõ ®ã thÊy bít ®i phÇn nµo khã kh¨n trong ph¬ng ph¸p gi¶ng dËy. -Víi bµi viÕt nµy t«i hy väng gióp cho häc sinh cã thãi quen suy nghÜ ®éc lËp s¸ng t¹o ,c¸c em biÕt t×m ®îc lêi gi¶i cña mét bµi to¸n dùa trªn c¬ së nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n ®· häc , tõ ®ã cã lêi gi¶i hay vµ høng thó häc to¸n . -Trong ®Ò tµi t«i míi chØ ®Ò cËp tíi hai d¹ng to¸n cã ¸p dông c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c , thùc tÕ c«ng thøc nµy cßn ¸p dông cho nhiÒu d¹ng to¸n kh¸c vµ còng cho ta nhiÒu lêi gi¶i hay,®éc ®¸o. -§Ó vËn dông c¸c kinh nghiÖm tèt vµo thùc tÕ gi¶ng d¹y cho häc sinh ®Ò nghÞ nhµ trêng vµ phßng Gi¸o dôc thêng xuyªn tæ chøc c¸c buæi th¶o luËn chuyªn ®Ò vÒ ®æi míi ph¬ng ph¸p gi¶ng dËy, trao ®æi c¸c kinh nghiÖm ¸p dông s¸ng kiÕn cã hiÖu qu¶ vµo thùc tiÔn dËy - häc. C¸c trêng cÇn ®Çu t n©ng cÊp c¬ së vËt chÊt , trang thiÕt bÞ hiÖn cã nh»m gióp cho gi¸o viªn cã thÓ vËn dông tèt nhÊt ph¬ng ph¸p ®æi míi trong gi¶ng dËy. -Víi kh¶ n¨ng cña ngêi viÕt cßn nhiÒu h¹n chÕ , cho nªn ch¾c ch¾n kh«ng thÓ tr¸nh khái thiÕu xãt vÒ néi dung còng nh h×nh thøc tr×nh bÇy.V× vËy t«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n c¸c thÇy c« gi¸o ,c¸c b¹n yªu thÝch to¸n häc vµ ®Æc biÖt lµ c¸c ý kiÕn ®ãng gãp cña c¸c ®ång chÝ trong héi ®ång khoa häc c¸c cÊp. 18 Sè ph¸ch:................................. Kinh nghiÖm Híng dÉn häc sinh sö dông c«ng thøc TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ®Ó gi¶i mét sè d¹ng to¸n Trong ch¬ng tr×nh h×nh häc líp 8,9. M«n: To¸n Khèi Líp:8,9 ®¸nh gi¸ cña phßng gi¸o dôc (NhËn xÐt ,xÕp lo¹i ,ký,®ãng dÊu) ................................................................................................................................. .......................................................................................................................................... ........ .......................................................................................................................................... .......................................................................................................................................... .......................................................................................................................................... .......................................................................................................................................... .......................................................................................................................................... .......................................................................................................................................... .......................................................................................................................................... .......................................................................................................................................... Tªn t¸c gi¶: ........................................................................................................ §¬n vÞ c«ng t¸c:............................................................................................... . 19 20
- Xem thêm -