Hín g d Én hä c sinh lí p 8 g i¶ i c¸ c bµ i t o¸ n cùc t rÞ t ron g ®¹ i sè
a - ®Æt vÊn ®Ò
I-Lêi më ®Çu :
Trong trêng phæ th«ng m«n To¸n cã mét vÞ trÝ rÊt quan träng. C¸c
kiÕn thøc vµ ph¬ng ph¸p To¸n häc lµ c«ng cô thiÕt yÕu gióp häc
sinh häc tèt c¸c m«n häc kh¸c, ho¹t ®éng cã hiÖu qu¶ trong mäi
lÜnh vùc. §ång thêi m«n To¸n cßn gióp häc sinh ph¸t triÓn nh÷ng
n¨ng lùc vµ phÈm chÊt trÝ tuÖ; rÌn luyÖn cho häc sinh kh¶ n¨ng t
duy tÝch cùc, ®éc lËp, s¸ng t¹o; gi¸o dôc cho häc sinh t tëng ®¹o
®øc vµ thÈm mü cña ngêi c«ng d©n.
ë trßng THCS, trong d¹y häc To¸n: cïng víi viÖc h×nh thµnh
cho häc sinh mét hÖ thèng v÷ng ch¾c c¸c kh¸i niÖm, c¸c ®Þnh lÝ;
th× viÖc d¹y häc gi¶i c¸c bµi to¸n cã tÇm quan träng ®Æc biÖt vµ lµ
mét trong nh÷ng vÊn ®Ò trung t©m cña ph ¬ng ph¸p d¹y häc To¸n ë
trêng phæ th«ng. §èi víi häc sinh THCS, cã thÓ coi viÖc gi¶i bµi
to¸n lµ mét h×nh thøc chñ yÕu cña viÖc häc to¸n.
Cïng víi viÖc h×nh thµnh cho häc sinh mét hÖ thèng v÷ng
ch¾c c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n ®Ó häc sinh cã thÓ vËn dông vµo lµm bµi
tËp th× viÖc båi dìng häc sinh kh¸ giái lµ môc tiªu quan träng cña
ngµnh gi¸o dôc nãi chung vµ bËc häc THCS nãi riªng. Do ®ã viÖc
híng dÉn häc sinh kÜ n¨ng t×m tßi s¸ng t¹o trong qu¸ tr×nh gi¶i
to¸n lµ rÊt cÇn thiÕt vµ kh«ng thÓ thiÕu ® îc.
Lµ mét gi¸o viªn trùc tiÕp gi¶ng d¹y m«n to¸n ë tr êng THCS
t«i ®i s©u nghiªn cøu néi dung ch ¬ng tr×nh vµ qua thùc tÕ d¹y häc
t«i thÊy: trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS "C¸c bµi to¸n vÒ cùc trÞ
trong ®¹i sè" rÊt ®a d¹ng, phong phó vµ thó vÞ, cã mét ý nghÜa rÊt
quan träng ®èi víi c¸c em häc sinh ë bËc häc nµy. ë THPT ®Ó gi¶i
quyÕt c¸c bµi to¸n vÒ cùc trÞ ®¹i sè ng êi ta thêng dïng ®Õn "c«ng
cô cao cÊp" cña to¸n häc lµ: ®¹o hµm cña hµm sè. ë THCS,
v× kh«ng cã (hay nãi chÝnh x¸c h¬n lµ kh«ng ® îc phÐp dïng)
"c«ng cô cao cÊp" cña To¸n häc nãi trªn, nªn ng êi ta ph¶i b»ng
c¸c c¸ch gi¶i th«ng minh nhÊt, t×m ra c¸c biÖn ph¸p h÷u hiÖu vµ
phï hîp víi tr×nh ®é kiÕn thøc ë bËc häc THCS ®Ó gi¶i quÕt c¸c
bµi to¸n lo¹i nµy. ChÝnh v× vËy, c¸c bµi to¸n cùc trÞ ®¹i sè ë THCS
kh«ng theo quy t¾c hoÆc khu«n mÉu nµo c¶, nã ®ßi hái ng êi häc
1
Hín g d Én hä c sinh lí p 8 g i¶ i c¸ c bµ i t o¸ n cùc t rÞ t ron g ®¹ i sè
ph¶i cã mét c¸ch suy nghÜ logic s¸ng t¹o, biÕt kÕt hîp kiÕn thøc cò
víi kiÕn thøc míi mét c¸ch logic cã hÖ thèng.
Trªn thùc tÕ gi¶ng d¹y To¸n 8-9 nh÷ng n¨m qua t«i nhËn thÊy:
phÇn "C¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè" lµ mét trong nh÷ng phÇn
träng t©m cña viÖc båi d ìng häc sinh kh¸ giái ë tr êng THCS. ThÕ
nhng thùc tr¹ng häc sinh tr êng chóng t«i vµ nh÷ng tr êng t«i ®·
tõng d¹y lµ: häc sinh kh«ng cã høng thó víi lo¹i to¸n nµy, bëi lÏ
c¸c bµi to¸n vÒ cùc trÞ ®¹i sè ë tr êng THCS kh«ng theo mét ph ¬ng
ph¸p nhÊt ®Þnh nªn c¸c em rÊt lóng tóng khi lµm to¸n vÒ cùc trÞ,
c¸c em kh«ng biÕt b¾t ®Çu tõ ®©u vµ ®i theo h íng nµo. HÇu hÕt häc
sinh rÊt ng¹i khi gÆp c¸c bµi to¸n cùc trÞ vµ kh«ng biÕt vËn dông
®Ó gi¶i quyÕt c¸c bµi tËp kh¸c.
Thùc tr¹ng ®ã khiÕn t«i lu«n b¨n kho¨n suy nghÜ: "Lµm thÕ
nµo ®Ó häc sinh kh«ng thÊy ng¹i vµ cã høng thó víi lo¹i to¸n nµy".
Víi tr¸ch nhiÖm cña ngêi gi¸o viªn t«i thÊy m×nh cÇn gióp c¸c em
häc tèt h¬n phÇn nµy.
T«i ®· dµnh thêi gian ®äc tµi liÖu, nghiªn cøu thùc tÕ gi¶ng
d¹y cña b¶n th©n vµ cña mét sè ®ång nghiÖp; qua sù t×m tßi thö
nghiÖm, ®îc sù gióp ®ì cña c¸c b¹n ®ång nghiÖp. §Æc biÖt lµ
nh÷ng bµi häc sau nh÷ng n¨m ë tr êng s ph¹m. T«i m¹nh d¹n chän
nghiªn cøu ®Ò tµi: "Híng dÉn häc sinh THCS gi¶i c¸c bµi to¸n cùc
trÞ trong ®¹i sè".
Víi ®Ò tµi nµy t«i hi väng sÏ gióp häc sinh kh«ng bì ngì khi
gÆp c¸c bµi to¸n cùc trÞ ®¹i sè, gióp c¸c em häc tèt h¬n. §ång thêi
h×nh thµnh ë häc sinh t duy tÝch cùc, ®éc lËp, s¸ng t¹o, n©ng cao
n¨ng lùc ph¸t hiÖn vµ gi¶i quyÕt vÊn ®Ò, rÌn luyÖn kh¶ n¨ng vËn
dông kiÕn thøc vµo ho¹t ®éng thùc tiÔn, rÌn luyÖn nÕp nghÜ khoa
häc lu«n mong muèn lµm ® îc nh÷ng viÖc ®¹t kÕt qu¶ cao nhÊt, tèt
nhÊt.
II. Thùc tr¹ng cña vÊn ®Ò nghiªn cøu.
1, §èi víi häc sinh :. Thùc tr¹ng khi nhËn chuyªn m«n ph©n
c«ng d¹y to¸n 8 ë nh÷ng tiÕt ®Çu tiªn t«i c¶m thÊy hôt hÈng tr íc
c¸ch häc cña häc sinh.
§Ó Thèng kª n¨ng lùc tiÕp thu bµi cña häc sinh t«i dïng
nhiÒu h×nh thøc ph¸t vÊn tr¾c nghiÖm rót ra mét hiÖn t îng næi bËt
häc sinh tr¶ lêi râ rµng m¹ch l¹c nh ng mang tÝnh chÊt häc vÑt chÊp
hµnh ®óng nguyªn b¶n, qu¸ tr×nh d¹y ®Ó kiÓm tra viÖc thùc hµnh
2
Hín g d Én hä c sinh lí p 8 g i¶ i c¸ c bµ i t o¸ n cùc t rÞ t ron g ®¹ i sè
øng dông cña häc sinh t«i ® a ra mét sè vÝ dô th× häc sinh lóng
tóng kh«ng biÕt chøng minh nh thÕ nµo.
Tríc thùc tr¹ng trªn t«i ®· ®iÒu tra häc sinh qua nhiÒu biÖn
ph¸p kÕt qu¶ cho thÊy.
Líp
8
SØ sè Giái
SL
49
02
%
Kh¸
SL
%
06
TB
Sl
31
%
YÕu- kÐm
SL
%
10
Sau khi kiÓm tra t«i thÊy r»ng häc sinh hiÓu vµ lµm rÊt m¬ hå,
mét s« häc sinh lµm ® îc chØ n»m vµo mét sè häc sinh kh¸- giái. Sè
cßn l¹i chñ yÕu lµ häc sinh TB, YÕu, kÐm kh«ng biÕt gi¶i thÝch bµi
to¸n nh thÕ nµo.
2, §èi víi gi¸o viªn :
Thùc tr¹ng nµy kh«ng thÓ ®æ lçi cho tÊt c¶ häc sinh bëi v× ng êi gi¸o viªn lµ ngêi chñ ®éng, chñ ®¹o kiÕn thøc, còng chØ tu©n
theo SGK mµ d¹y bµi to¸n nµy ®ßi hái häc sinh ph¶i t duy tèt vµ
ph¶i th©u tãm ®îc kiÕn thøc ®· häc ®Ó tËn dông vµo lµm bµi tËp .
§«i khi gi¸o viªn ¸p ®Æt gß bã c¸c em ph¶i thª nµy, ph¶i thÕ
nä mµ kh«ng ®a ra thùc tÕ ®Ó c¸c em nh×n nhËn vÊn ®Ò.
VÒ phÝ häc sinh c¶m thÊy khã tiÕp thu bëi v× ®©y lµ d¹ng to¸n
mµ c¸c em rÊt Ýt ®îc gÆp chÝnh v× lÝ do ®ã mµ ng êi thÇy ph¶i t×m ra
PP phï hîp nhÊt ®Ó häc sinh cã høng häc, b íc ®Çu häc sinh lµm
quen víi d¹ng bµi to¸n “ To¸n Cùc chØ” nªn c¶m thÊy m¬ hå ph©n
v©n t¹i sai l¹i ph¶i lµm nh vËy. NÕu kh«ng biÕn ®æi th× cã t×m ® îc
kÕt qu¶ kh«ng. Tõ nh÷ng b¨n kho¨n ®ã cña häc sinh gi¸o viªn
kh¼ng ®Þnh nÕu kh«ng biÕn ®æi nh vËy th× kh«ng tr¶ lêi yªu cÇu
cña bµi to¸n.
Sau ®©y t«i xin ®a ra mét sè kinh nghiÖm h íng dÉn häc sinh
gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè 8.
3
Hín g d Én hä c sinh lí p 8 g i¶ i c¸ c bµ i t o¸ n cùc t rÞ t ron g ®¹ i sè
B- gi¶i quyÕt vÊn ®Ò
I - c¸c gi¶i ph¸p thùc hiÖn
1. Kh¸i niÖm vÒ cùc trÞ cña mét biÓu thøc
Cho biÓu thøc nhiÒu biÕn sè P(x, y, ..., z) víi x, y, ..., z thuéc
miÒn S nµo ®ã x¸c ®Þnh. NÕu víi bé gi¸ trÞ cña c¸c biÕn
(x 0 , y 0 , ...z 0 ) S mµ ta cã: P(x 0 , y 0 , ...z 0 ) P(x, y, ..., z) hoÆc
P(x 0 , y 0 , ...z 0 ) P(x, y, ..., z) th× ta nãi P(x, y, ..., z) lín nhÊt hoÆc
nhá nhÊt t¹i (x 0 , y 0 , ...z 0 ) trªn miÒn S.
P(x, y, ..., z) ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt t¹i (x 0 , y 0 , ...z 0 ) S cßn gäi
lµ P ®¹t cùc ®¹i t¹i (x 0 , y 0 , ...z 0 ) hoÆc P m a x t¹i (x 0 , y 0 , ...z 0 ). T¬ng
tù ta cã: P ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt t¹i (x 0 , y 0 , ...z 0 ) S cßn gäi lµ P
®¹t cùc tiÓu t¹i (x 0 , y 0 , ...z 0 ) hoÆc P m i n t¹i (x 0 , y 0 , ...z 0 ).
Gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña P trªn miÒn x¸c ®Þnh S gäi lµ
c¸c cùc trÞ cña P trªn miÒn S.
2. Nguyªn t¾c chung t×m cùc trÞ cña mét biÓu thøc
T×m cùc trÞ cña mét biÓu thøc trªn mét miÒn x¸c ®Þnh nµo ®ã
lµ vÊn ®Ò réng vµ phøc t¹p, nguyªn t¾c chung lµ:
*) §Ó t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña mét biÓu thøc P(x, y, ..., z) trªn
miÒn x¸c ®Þnh S, ta cÇn chøng minh hai b íc:
- Chøng tá r»ng P k ( víi k lµ h»ng sè ) víi mäi gi¸ trÞ cña
c¸c biÕn trªn miÒn x¸c ®Þnh S
- ChØ ra trêng hîp x¶y ra dÊu ®¼ng thøc.
*) §Ó t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña mét biÓu thøc P(x, y, ..., z) trªn
miÒn x¸c ®Þnh S, ta cÇn chøng minh hai b íc:
- Chøng tá r»ng P k ( víi k lµ h»ng sè ) víi mäi gi¸ trÞ cña
c¸c biÕn trªn miÒn x¸c ®Þnh S
- ChØ ra trêng hîp x¶y ra dÊu ®¼ng thøc.
Chó ý r»ng kh«ng ®îc thiÕu mét bíc nµo trong hai bíc trªn.
VÝ dô :
Cho biÓu thøc A = x 2 + (x - 2) 2
4
Hín g d Én hä c sinh lí p 8 g i¶ i c¸ c bµ i t o¸ n cùc t rÞ t ron g ®¹ i sè
Mét häc sinh t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A nh sau:
Ta cã x 2 0 ; (x - 2) 2 0 nªn A 0.
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng 0.
Lêi gi¶i trªn cã ®óng kh«ng?
Gi¶i :
Lêi gi¶i trªn kh«ng ®óng. Sai lÇm cña lêi gi¶i trªn lµ míi
chøng tá r»ng A 0 nhng cha chØ ra ®îc trêng hîp x¶y ra dÊu
®¼ng thøc. DÊu ®¼ng thøc kh«ng x¶y ra, v× kh«ng thÓ cã ®ång thêi:
x 2 = 0 vµ (x - 2) 2 = 0 .
Lêi gi¶i ®óng lµ:
A = x 2 + (x - 2) 2 = x 2 + x 2 - 4x +4 = 2x 2 - 4x + 4
= 2(x 2 -2x - +1) + 2 = 2(x - 1) 2 + 2
Ta cã:
(x - 1) 2 0 , x
2(x - 1) 2 + 2 2
x
A 2
x
Do ®ã A = 2 x = 1.
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A b»ng 2 víi x = 1.
3. KiÕn thøc cÇn nhí:
§Ó t×m cùc trÞ cña mét biÓu thøc ®¹i sè, ta cÇn n¾m v÷ng:
a) C¸c tÝnh chÊt cña bÊt ®¼ng thøc, c¸c c¸ch chøng minh
bÊt ®¼ng thøc.
b) Sö dông thµnh th¹o mét sè bÊt ®¼ng thøc quen thuéc:
* a 2 0, tæng qu¸t: a 2 k 0 (k nguyªn d¬ng)
X¶y ra dÊu ®¼ng thøc a = 0
* -a 2 0, tæng qu¸t: -a 2 k 0 (k nguyªn d¬ng)
X¶y ra dÊu ®¼ng thøc a = 0
* a 0 .
( X¶y ra dÊu ®¼ng thøc a = 0)
* - a a a . ( X¶y ra dÊu ®¼ng thøc a = 0)
* a b a b ( X¶y ra dÊu ®¼ng thøc ab 0)
* a b a b
( X¶y ra dÊu ®¼ng thøc a b 0 hoÆc a b 0 )
*
a
1
2
a
,
a
>0
vµ
a
1
2
a
5
,
a
<0
Hín g d Én hä c sinh lí p 8 g i¶ i c¸ c bµ i t o¸ n cùc t rÞ t ron g ®¹ i sè
*
2
a b2 a b
ab
2
2
* a b, ab >0
a,b
( X¶y ra dÊu ®¼ng thøc a = b)
1 1
a b
( X¶y ra dÊu ®¼ng thøc a = b)
II - c¸c biÖn ph¸p thùc hiÖn
(Mét sè d¹ng bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè)
Th«ng qua c¸c bµi to¸n trong s¸ch gi¸o khoa (s¸ch tham kh¶o)
t«i tiÕn hµnh ph©n lo¹i thµnh mét sè d¹ng c¬ b¶n nhÊt vÒ c¸c bµi
to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè ë THCS råi h íng dÉn häc sinh t×m kiÕn
thøc cã liªn quan cÇn thiÕt ®Ó gi¶i tõng d¹ng to¸n ®ã. Sau ®©y lµ
mét sè d¹ng c¬ b¶n thêng gÆp:
D¹ng 1 : bµi to¸n t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt
cña mét biÓu thøc lµ tam thøc bËc hai.
VÝ dô 1 : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc.
A(x) = x 2 - 4x+1
Trong ®ã x lµ biÕn sè lÊy c¸c gi¸ trÞ thùc bÊt kú.
H íng dÉn gi¶i :
Gîi ý : §Ó t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A(x) ta cÇn ph¶i
biÕn ®æi vÒ d¹ng A(x) k (k lµ h»ng sè) víi mäi gÝa trÞ cña biÕn vµ
chØ ra trêng hîp x¶y ra ®¼ng thøc
Lêi gi¶i : A(x) = x 2 - 4x+1
= x 2 - 2.2x+1
= (x 2 - 2.2x+4)- 3
= (x- 2) 2 - 3
Víi mäi gi¸ trÞ cña x: (x - 2) 2 0 nªn ta cã:
A(x) = (x- 2) 2 - 3 -3
VËy A(x) ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng -3 khi x=2
§¸p sè : A(x) n h á n h Ê t = - 3 víi x=2
VÝ dô 2 : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc
6
Hín g d Én hä c sinh lí p 8 g i¶ i c¸ c bµ i t o¸ n cùc t rÞ t ron g ®¹ i sè
B(x) = -5x 2 - 4x+1
Trong ®ã x lµ biÕn sè lÊy gi¸ trÞ thùc bÊt kú
H íng dÉn gi¶i :
Gîi ý : §Ó t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc B(x) ta cÇn ph¶i
biÕn ®æi ®a B(x) vÒ d¹ng B(x) k (k lµ h»ng sè) víi mäi gi¸ trÞ
cña biÕn khi ®ã gi¸ trÞ lín nhÊt cña B(x)= k vµ chØ ra khi nµo x¶y
ra ®¼ng thøc
Lêi gi¶i : B(x) = -5x 2 – 4x+1
= -5 (x 2 +
x) +1
2
2
2
2
2
2
x 2. x 1
5
5
5
= -5
=
4
5
2
2
4
5 x
1
5
25
= -5 x 2
= -5
2
5
2
2
9
x
5
5
Víi mäi gi¸ trÞ cña x:
suy ra: B(x)= -5
4
1
5
2
x
5
2
x
5
2
+
2
-5 x 2
5
0 nªn
2
0
9
9
5
5
9
5
VËy B(x)®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt khi B(x)=
§¸p sè : B(x) l í n n h Ê t =
9
5
, khi x = -
víi x = -
VÝ dô 3 : (Tæng qu¸t)
Cho tam thøc bËc hai P = ax 2 +bx + c
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P nÕu a > 0
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P nÕu a < 0
H íng dÉn gi¶i :
7
2
5
2
5
Hín g d Én hä c sinh lí p 8 g i¶ i c¸ c bµ i t o¸ n cùc t rÞ t ron g ®¹ i sè
Gîi ý : §Ó t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt (lín nhÊt) cña P ta cÇn ph¶i
biÕn ®æi sao cho P = a.A 2 (x) + k. Sau ®ã xÐt víi tõng tr êng hîp
a>0 hoÆc a<0 ®Ó t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt hoÆc lín nhÊt.
Lêi gi¶i :
P = a.A 2 (x) + k
= a (x 2 +
b
a
x) + c
b
b2
b2
a x 2 2.x.
2 c
2a 4a
4a 2
2
b
a x
k
2a
Do
2
b
x
0
2a
2
b
a x
0
2a
+NÕu a<0 th×
b
a x
0
2a
2
b
2a
k c
b2
4a 2
nªn:
+NÕu a>0 th×
VËy khi x = -
víi
do ®ã P k
do ®ã P k
th× P cã gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng k (nÕu a>0)
hoÆc gi¸ trÞ lín nhÊt b»ng k (nÕu a<0)
D¹ng 2 : bµi to¸n t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt,gi¸ tri lín
nhÊt cña ®a thøc bËc cao:
VÝ dô4 :
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = (x 2 + x + 1) 2
H íng dÉn gi¶i :
(?) Ta nhËn thÊy A = (x 2 + x + 1) 2 0, nhng gi¸ trÞ nhá nhÊt
cña A cã ph¶i b»ng 0 hay kh«ng? V× sao?
Tr¶ lêi : MÆc dï A 0 nhng gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A kh«ng
ph¶i b»ng 0 v×: x 2 + x +1 ≠ 0
Do ®ã A m i n (x 2 + x +1) m i n
8
Hín g d Én hä c sinh lí p 8 g i¶ i c¸ c bµ i t o¸ n cùc t rÞ t ron g ®¹ i sè
(?) H·y t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x 2 + x +1? vµ t×m gi¸ trÞ nhá
nhÊt cña A?
Tr¶ lêi: Ta cã x 2 + x +1
= x 2 + 2x.
=
1
x
2
2
1
2
+
3
4
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x 2 + x + 1 b»ng
Tr¶ lêi: Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng
1
4
-
3
4
+
3
4
1
4
+1
víi x = -
2
9
3
4
16
1
2
víi x = -
1
2
VÝ dô 5 :
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña
x 4 – 6x 3 + 10x 2 – 6x + 9
H íng dÉn gi¶i :
Gîi ý: -H·y viÕt biÓu thøc díi d¹ng A 2 (x) + B 2 (x) 0
-XÐt xem x¶y ra dÊu ®¼ng thøc khi nµo? Gi¸ trÞ nhá
nhÊt cña biÓu thøc b»ng bao nhiªu?
Lêi gi¶i : x 4 - 6x 3 + 10x 2 - 6x +9
= x 4 - 2.x 2 .3x + (3x) 2 + x 2 - 2x.3 +3 2
= (x 2 - 3x) 2 + (x - 3) 2 0
X¶y ra ®¼ng thøc khi vµ chØ khi:
x 2 –3x = 0
x(x-3) = 0
x–3=0
x=0
x–3=0
x=3
x=3
x=3
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc b»ng 0 víi x = 3
§¸p sè : Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc b»ng 0 víi x = 3
D¹ng 3 : bµi to¸n T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín
nhÊt cña ®a thøc cã chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
VÝ dô6 : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = x - 1 + x - 3
H íng dÉn gi¶i :
9
Hín g d Én hä c sinh lí p 8 g i¶ i c¸ c bµ i t o¸ n cùc t rÞ t ron g ®¹ i sè
Gîi ý: Bµi to¸n ®Ò cËp tíi dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi do ®ã chóng
ta ph¶i nghØ tíi c¸c kho¶ng nghiÖm vµ ®Þnh nghÜa gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
cña mét biÓu thøc.
A NÕu A 0
A =
- A NÕu A 0
C¸ch 1 : §Ó t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A, ta tÝnh gi¸ trÞ cña A
trong c¸c kho¶ng nghiÖm. So s¸nh c¸c gi¸ trÞ cña A trong c¸c
kho¶ng nghiÖm ®ã ®Ó t×m ra gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A.
Lêi gi¶i
+ Trong kho¶ng x < 1 th×
x - 2 = - (x -2) = 2 - x
x - 5 = - (x - 5) = 5 - x
A = 2 - x + 5- x = 7 - 2x
Do x < 2 nªn -2x > -4 do ®ã A = 7 - 2x >3
+ Trong kho¶ng 2 x 5 th×
x - 2 = x - 2
x - 5 = - (x - 5) = 5 - x
A=x-2+5-x=3
+ Trong kho¶ng x > 5 th×
x - 2 = x - 2
x - 5 = x - 5
A = x - 2 + x - 5 = 2x - 7
Do x > 5 nªn 2x > 10 do ®ã A = 2x – 7 > 3
So s¸nh c¸c gi¸ trÞ cña A trong c¸c kho¶ng trªn, ta thÊy
gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng 3 khi vµ chØ khi 2 x 5
§¸p sè: A m i n = 3 khi vµ chØ khi 2 x 5
C¸ch 2 : Ta cã thÓ sö dông tÝnh chÊt: gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña mét
tæng nhá h¬n hoÆc b»ng tæng c¸c gi¸ trÞ tuyÖt ®èi. Tõ ®ã t×m gi¸ trÞ
nhá nhÊt cña biÓu thøc A.
Lêi gi¶i:
A = x - 2+
10
x 5
= x - 2+
5 x
Hín g d Én hä c sinh lí p 8 g i¶ i c¸ c bµ i t o¸ n cùc t rÞ t ron g ®¹ i sè
Ta cã:
x - 2 + 5 - x x - 2 + 5 - x = 3
x - 2 0
A=3
(x - 2) (5 - x) 0
5 - x 0
2 x 5
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng 3 khi vµ chØ khi 2 x 5
d¹ng 4 : Bµi to¸n T×m gtnn, gtln cña ph©n thøc cã
tö lµ h»ng sè, mÉu lµ tam thøc bËc hai
VÝ dô 7 :
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña M =
3
4x - 4x 5
2
H íng dÉn gi¶i :
Gîi ý : Sö dông tÝnh chÊt a b, ab >0
1 1
a b
hoÆc theo
quy t¾c so s¸nh hai ph©n sè cïng tö, tö vµ mÉu ®Òu d¬ng.
Lêi gi¶i:
XÐt M =
3
3
3
=
=
2
(2 x) 4 x 1 4
(2x - 1) 2 4
4x - 4x 5
2
Ta thÊy (2x - 1) 2 0 nªn (2x - 1) 2 + 4 4
Do ®ã:
3
(2x - 1) 2 4
3
4
Tr¶ lêi: VËy M lín nhÊt b»ng
§¸p sè : M l í n n h Ê t =
VÝ dô 8 :
3
4
3
4
khi 2x – 1 = 0 => x =
víi x =
1
2
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña B =
H íng dÉn gi¶i :
11
1
2x - x 2 - 4
1
2
Hín g d Én hä c sinh lí p 8 g i¶ i c¸ c bµ i t o¸ n cùc t rÞ t ron g ®¹ i sè
Ta cã: B =
V×
=>
1
1
= (x - 1) 2 3
x - 2x 4
1
=2x - x 2 - 4
2
(x - 1) 2 0 => (x + 1) 2 + 3 3
1
(x - 1) 2 3
1
3
1
(x - 1) 2 3
=> -
VËy B nhá nhÊt b»ng -
1
3
1
3
-
khi x – 1= 0 => x =1
§¸p sè : M n h á n h Ê t = -
1
3
víi x = 1
Chó ý: Khi gÆp d¹ng bµi tËp nµy c¸c em th êng xuyªn lËp
luËn r»ng M (hoÆc B) cã tö lµ h»ng sè nªn M (hoÆc B) lín nhÊt
(nhá nhÊt) khi mÉu nhá nhÊt (lín nhÊt)
LËp luËn trªn cã thÓ dÉn ®Õn sai lÇm, ch¼ng h¹n víi ph©n thøc
1
x 3
2
MÉu thøc x 2 - 3 cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ -3 khi x = 0
Nhng víi x = 0 th×
1
= - 1 kh«ng ph¶i lµ gi¸ trÞ lín nhÊt
3
x 3
2
cña ph©n thøc
1
=1>- 1
3
x 3
Ch¼ng h¹n víi x = 2 th×
2
Nh vËy tõ -3 < 1 kh«ng thÓ suy ra VËy tõ a < b chØ suy ra ® îc
1
a
>
1
b
1
3
>
1
1
khi a vµ b cïng dÊu .
d¹ng 5 :Bµi to¸n T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, lín nhÊt cña
ph©n thøc cã mÉu lµ b×nh ph ¬ng cña nhÞ thøc
VÝ dô 9
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A =
C¸ch1 :
12
x2 x 1
( x 1) 2
Hín g d Én hä c sinh lí p 8 g i¶ i c¸ c bµ i t o¸ n cùc t rÞ t ron g ®¹ i sè
Gîi ý: H·y viÕt tö thøc d íi d¹ng lòy thõa cña x + 1, råi ®æi
biÕn b»ng c¸ch viÕt A d íi d¹ng tæng c¸c biÓu thøc lµ lòy thõa cña
1
.
x 1
Tõ ®ã t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A.
Lêi gi¶i :
Ta cã:
x 2 + x + 1 = (x 2 + 2x + 1) - (x +1) + 1
= (x + 1) 2 - (x + 1) + 1
Do ®ã
§Æt y=
A=
1
x 1
Ta cã:
1
( x 1) 2
( x 1)
2
2
( x 1) 2
( x 1)
( x 1)
khi ®ã biÓu thøc A trë thµnh:
A = 1 - y + y 2 = y 2 – 2.y.
=
1
y
2
2
+
3
4
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng
y
1
x 1
=1-
1
2
+(
3
4
+
1
( x 1) 2
A = 1 - y + y2
1
2
)2 +
3
4
3
4
khi vµ chØ khi:
1
1
1
1
0 y
2
2
x 1 2
x + 1 = 2
x = 1
§¸p sè :
Anhá nhÊt =
3
4
khi x = 1
C¸ch 2 :
Gîi ý : Ta cã thÓ viÕt A d íi d¹ng tæng cña mét sè víi mét biÓu
thøc kh«ng ©m. Tõ ®ã t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A.
Lêi gi¶i:
A
x 2 x 1 4 x 2 4 x 1 3x 2 6 x 3 x 2 2 x 1
2
2
x 1 2
4 x 1
4 x 1
A
3( x 1) 2 ( x 1) 2
4( x 1) 2
13
Hín g d Én hä c sinh lí p 8 g i¶ i c¸ c bµ i t o¸ n cùc t rÞ t ron g ®¹ i sè
3 ( x 1) 2
A
4 4( x 1) 2
3 x 1
A
4 2( x 1)
A=
3
4
2
x 1 2
2( x 1)
+
3
4
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng
3
4
§¸p sè : A n h á n h Ê t =
3
4
khi x-1=0 x=1
khi x=1
d¹ng 6 : bµi to¸n t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, lín nhÊt cña
mét biÓu thøc ®¹i sè b»ng c¸ch ® a vÒ d¹ng
(hoÆc
A( x )
0
k2
A( x )
0)
k2
VÝ dô 10 :
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc:
2
M ( x ) = 3 x 2 6 x 10
x 2x 3
(Víi x thuéc tËp hîp sè thùc)
H íng dÉn gi¶i :
2
Gîi ý : Tõ M ( x ) = 3 x 2 6 x 10 ta cã:
x 2x 3
2
2
M ( x ) = 3x 2 6 x 9 1 = 3( x 2 2 x 3) 1
x 2x 3
x 2x 3
(?) Ta cã thÓ chia c¶ tö thøc vµ mÉu thøc cña biÓu thøc cho
x 2 + 2x + 3 ®îc kh«ng? V× sao?
Tr¶ lêi : V× x 2 + 2x + 3 = x 2 + 2x + 1 + 2 = (x+1) 2 > 0 víi mäi
gi¸ trÞ cña x. nªn sau khi chia c¶ tö vµ mÉu cho x 2 + 2x + 3 ta ®îc
M(x) = 3 +
(?)
1
( x 1) 2 2
Bµi to¸n xuÊt hiÖn ®iÒu g× míi?
14
Hín g d Én hä c sinh lí p 8 g i¶ i c¸ c bµ i t o¸ n cùc t rÞ t ron g ®¹ i sè
Tr¶ lêi: Bµi to¸n trë thµnh t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc
1
( x 2) 2 2
(?)
H·y t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña
1
( x ) 2 2
tõ ®ã suy ra gi¸
trÞ lín nhÊt cña M(x)
Tr¶ lêi: V× (x+1) 2 0
Nªn
Do ®ã
(x+1) 2 + 2 2
1
( x 1) 2 2
Víi mäi x
víi mäi x
1
2
Tõ ®ã ta cã:
M(x) = 3 +
1
( x 1) 2 2
3 +
1
2
=3
1
2
DÊu “=” x¶y ra khi x+1=0 hay x=-1
VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña M(x) = 3
1
2
khi vµ chØ khi x=-1
§¸p sè : M(x) L í n n h Ê t =3
C. KÕt luËn
15
1
2
víi x = -1
Hín g d Én hä c sinh lí p 8 g i¶ i c¸ c bµ i t o¸ n cùc t rÞ t ron g ®¹ i sè
1. Thùc tiÔn kh¶o s¸t sau khi ¸p dông.
Sauk hi ¸p dôngc¸c c¸ch gi¶i bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè 8 thùc tÕ
häc sinh dÇn dÇn chó träng khi gi¶i to¸n chø kh«ng lóng tóng nh
tríc.
KÕt qu¶ t«i ®· thu ® îc sau khi ¸p dông ®Ò tµi nµy ® îc thÓ hiÖn ë
b¶ng sau:
Líp
SØ sè
8
49
Giái
SL
%
Kh¸
SL
%
Sl
05
10
34
TB
%
YÕu- kÐm
SL
%
0
2. KÕt qu¶:
Sau khi thùc hiÖn gi¶ng d¹y phÇn “ C¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i
sè 8” theo néi dung ®Ò tµi nµy kÕt qu¶ mµ t«i thu ® îc kh¸ kh¶
quan.
§Ó gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n vÒ cùc trÞ ®¹i sè ë líp 8 c¸c em ph¶i
biÕn ®æi ®ång nhÊt c¸c biÓu thøc ®aÞ sè, ph¶i biÕn ®æi vµ sö dông
kh¸ nhiÒu c¸c h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí tõ d¹y ®¬n gi¶n ®Õn phøc
t¹p. Ngoµi ra cßn liªn quan mËt thiÕt ®Õn c¸c kiÕn thøc chøng
minh ®¼ng thøc bëi thÕ nãi c¸c bµi to¸n cùc trÞ ®¹i sè 8 t¹o ra kh¶
n¨ng gióp häc sinh cã ®iÒu kiÖn ®Ó rÌn luyÖn kÜ n¨ng biÕn ®æi
®ång nhÊt c¸c biÓu thøc ®¹i sè, kÜ n¨ng tÝnh to¸n, kh¶ n¨ng t duy.
§Ò tµi nµy gióp häc sinh gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n vÒ cùc trÞ trong
®¹i sè 8 cã PP h¬n, cã hiÖu qu¶ h¬n vµ vËn dông vµo gi¶i quyÕt
c¸c bµi tËp cã liªn quan kÝch thÝch ® îc sù ®am mª häc to¸n nãi
chung vµ sù say mª gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ nãi riªng.
Yªu cÇu vÒ ph¸t huy tÝnh tù gi¸c rÌn luyÖn kh¶ n¨ng t duy tÝch
cùc ®éc lËp, s¸ng t¹o cña häc sinh th«ng qua ho¹t ®éng gi¶i to¸n
®· ®îc häc.
VÒ mÆt t tëng c¸c bµi to¸n cùc trÞ gióp häc sinh thªm gÇn gòi víi
kݪn thøc thùc tÕ cña ®êi sèng, rÌn luyÖn nÕp nghØ khoa häc . lu«n
mong muèn lµm ®îc nh÷ng c«ng viÖc ®¹t hiÖu qu¶ cao nh©t, tèt
nhÊt.
3. Bµi häc kinh nghiÖm:
Víi ®Ò tµi “ H íng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n
cùc trÞ trong ®¹i sè” T«i ®· cè g¾ng hÖ thèng mét sè d¹ng c¬ b¶n
nhÊt vÒ c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè 8. Trong mçi giê d¹y t«i
cã ®a ra c¬ së lÝ thuyÕt vµ nh÷ng vÝ dô trong mçi vÝ dô ®ã cã gîi ý
vµ híng dÉn häc sinh c¸ch gi¶i vµ nh÷ng chó ý cÇn thiÕt ®Ó khi
gÆp c¸c vÝ dô kh¸c c¸c em cã thÓ gi¶i ® îc.
C¸c d¹ng bµi tËp ®a ra tõ dÔ ®Õn khã, tõ ®¬n gi¶n ®Õn phøc
t¹p nh»m gióp cho häc sinh cã nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ gi¶i bµi
to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè 8. Bªn c¹nh ®ã t«i cßn ® a ra c¸c vÝ dô lµ
16
Hín g d Én hä c sinh lí p 8 g i¶ i c¸ c bµ i t o¸ n cùc t rÞ t ron g ®¹ i sè
c¸c bµi to¸n tæng hîp c¸c kiÕn thøc vµ kÜ n¨ng tÝnh to¸n, kh¶ n¨ng
t duy ë cÊp häc nµy, qua ®ã lµm cho c¸c em say mª høng thó häc
tËp bé m«n To¸n.
Tuy nhiªn trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y vÉn cã rÊt nhiÒu häc
sinh cßn bì ngì trong qóa tr×nh gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ, lËp luËn
cha cã c¨n cø, suy diÔn ch a hîp logic vµ ®Æc biÖt lµ mét sè d¹ng
cha phï hîp víi häc sinh trung b×nh, yÕu.
MÆc dï cã rÊt nhiÒu cè g¾ng nh ng do thêi gian kh«ng
nhiÒu, do tr×nh ®é n¨ng lùc cña b¶n th©n vµ tµi liÖu tham kh¶o cßn
h¹n chÕ l¹i cha cã kinh nghiÖm trong lÜnh vùc nghiªn cøu khoa
häc nªn trong c¸ch tr×nh bµy kh«ng tr¸nh khái nh÷ng s¬ xuÊt thiÕu
sãt . RÊt mong nhËn ® îc sù gióp ®ì, gãp ý cña c¸c thÇy , c« vµ vµ
b¹n ®ång nghiÖp ®Ó t«i cã thÓ rót kinh nghiÖm trong qu¸ tr×nh
gi¶ng d¹y cña m×nh trong thêi gian sau.
ThiÖu Minh, ngµy 08 th¸ng 3 n¨m 2009
Ngêi viÕt
NguyÔn ThÞ HuyÒn
Tµi liÖu tham kh¶o:
1. SGK To¸n 8- NXB Gi¸o dôc- Phan §øc ChÝnh, T«n Th©n.
2. SBT To¸n 8 – NXB Gi¸o dôc- T«n Th©n chñ biªn
3. To¸n n©ng cao tù luËn vµ tr¾c nghiÖm §¹i sè 8- NXB Gi¸o
dôc- NguyÔn V¨n Léc.
4.To¸n båi dìng häc sinh líp 8 §¹i sè-NXB Gi¸o dôc
TrÇn
San
5. §Ó häc tèt ®¹i sè 8- NXB Gi¸o dôc Hoµng Chóng Chñ biªn
6. C¸c bµi to¸n ®¹i sè hay vµ khã – NXB Gi¸o dôc NguyÔn §Ô
7. PP d¹y häc m«n to¸n – NXB Gi¸o dôc Ph¹m Gia §øc.
17
- Xem thêm -
.DOC 
17 
2020 
61 
