Phßng gi¸o dôc - ®µo t¹o huyÖn quúnh phô
Trêng thcs quúnh héi
************************
®Ò tµi
híng dÉn häc sinh kÎ thªm ®êng phô
khi gi¶i mét sè bµi to¸n h×nh häc 7
Họ và tên:
Trần Thị Thủy
Ngày sinh:
20/10/1978
Trình độ đào tạo:
Đại học
Tháng năm vào ngành: 03/ 2000
Th¸ng 4 n¨m 2014.
A. phÇn më ®Çu
I. Lý do chän ®Ò tµi:
To¸n häc lµ mét trong nh÷ng m«n khoa häc c¬ b¶n, mang tÝnh trõu tîng nhng m«
h×nh øng dông cña nã rÊt réng r·i vµ gÇn gòi trong mäi lÜnh vùc cña ®êi sèng x· héi,
trong khoa häc lÝ thuyÕt vµ khoa häc øng dông.
D¹y häc sinh häc To¸n kh«ng chØ lµ cung cÊp kiÕn thøc c¬ b¶n, d¹y häc sinh gi¶i
bµi tËp SGK, STK mµ quan träng lµ h×nh thµnh cho häc sinh ph¬ng ph¸p chung ®Ó gi¶i
c¸c d¹ng To¸n tõ ®ã gióp c¸c em tÝch cùc ho¹t ®éng, ®éc lËp s¸ng t¹o ®Ó dÇn hoµn thiÖn
kü n¨ng, kü x¶o – hoµn thiÖn nh©n c¸ch.
Nãi ®Õn to¸n häc, ngêi ta kh«ng thÓ kh«ng nh¾c tíi bé m«n h×nh häc. H×nh häc
kh«ng chØ lµ nÒn mãng v÷ng ch¾c cho c¸c m«n khoa häc tù nhiªn mµ h×nh häc cßn lµ
mét c«ng cô rÌn trÝ th«ng minh, s¸ng t¹o thóc ®Èy t duy cña häc sinh. Cã lÏ còng chÝnh
v× thÕ mµ h×nh häc lµ mét phÇn kh«ng thÓ thiÕu trong hµnh trang to¸n häc cña c¸c em
häc sinh.
Ph¸t triÓn n¨ng lùc trÝ tuÖ theo tõng møc ®é cho häc sinh ngay tõ c¸c líp díi lµ
tr¸ch nhiÖm cña nhµ trêng, lµ ®ßi hái cña x· héi, lµ nçi mong mái cña c¸c bËc phô
huynh vµ còng lµ íc muèn chÝnh ®¸ng cña b¶n th©n c¸c em häc sinh. Trong c¸c m«n
häc, m«n To¸n ®Æc biÖt cã u thÕ vÒ mÆt nµy, song ph¸t triÓn trÝ tuÖ cho trÎ em th«ng qua
ho¹t ®éng häc tËp, ho¹t ®éng vui ch¬i lµ mét qu¸ tr×nh bÒn bØ, kh«ng thÓ tÝnh b»ng tuÇn,
b»ng th¸ng. H¬n n÷a, cßn ph¶i xuÊt ph¸t tõ tr×nh ®é nhËn thøc vµ hoµn c¶nh sèng cña
trÎ em ®Ó cho c¸c em luyÖn tËp dÇn tõ dÔ ®Õn khã, tõ ®¬n gi¶n ®Õn phøc t¹p nh»m ph¸t
huy ë trÎ ãc quan s¸t nhanh nh¹y, trÝ tëng tîng phong phó, kh¶ n¨ng suy luËn
l«gÝc...VËy lµm thÕ nµo ®Ó m«n h×nh häc dï khã vÉn cã mét søc hÊp dÉn cuèn hót kú l¹
vµ g©y høng thó cho ngêi häc ?
§øng tríc yªu cÇu ®ã, lµ mét gi¸o viªn lµm c«ng t¸c båi dìng häc sinh giái, t«i
lu«n cè g¾ng t×m tßi, nghiªn cøu, tiÕp cËn viÖc ®æi míi ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y nh»m
gióp cho häc sinh cã ®îc c¸i nh×n nhanh nhËy tõ mçi bµi to¸n, t¹o sù say mª høng thó
trong viÖc häc tËp cña m×nh. Tõ mçi bµi to¸n nhá, t«i cè g¾ng khai th¸c ph¸t triÓn díi
nhiÒu gãc ®é kh¸c nhau lµm cho häc sinh ph¶i tù suy nghÜ, ph¶i tù t×m tßi vµ thÊy r»ng
viÖc häc to¸n thËt thó vÞ, hÊp dÉn. Qua mçi tiÕt häc n©ng cao, gi¸o viªn ®a ra kiÕn thøc
nµo th× nã sÏ lµ chiÕc ch×a kho¸ më ra cho häc sinh nhiÒu ®iÒu míi l¹, thó vÞ vµ tõ ®ã
x©y dùng ®îc kh¶ n¨ng tù häc, tù nghiªn cøu. Tríc thùc tÕ ®ã, t«i muèn qua bµi viÕt nµy
sÏ trao ®æi kinh nghiÖm víi tÊt c¶ c¸c ®ång chÝ ®ång nghiÖp.
II. Môc ®Ých nghiªn cøu:
Gióp häc sinh n¾m ®îc c¸ch vÏ ®êng phô khi gi¶i mét sè bµi to¸n so s¸nh ®é dµi
c¸c ®o¹n th¼ng: So s¸nh hai ®o¹n th¼ng, mét ®o¹n th¼ng víi tæng hai ®o¹n th¼ng.
III. Giíi h¹n cña ®Ò tµi.
Trong chøng minh h×nh häc, phÇn nhiÒu ph¶i tù vÏ thªm ®êng míi, tøc lµ ph¶i vÏ
thªm ®êng phô míi chøng minh ®îc. ViÖc vÏ thªm ®êng phô rÊt nhiÒu lo¹i nªn kh«ng
cã ph¬ng ph¸p vÏ cè ®Þnh. VÏ ®êng phô hîp lý lµ mét ph¬ng ph¸p ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n
h×nh häc. §Ó t×m ra híng ®i ®óng cho mét bµi to¸n khã vµ l¹ lµ mét ®iÒu kh«ng ®¬n
gi¶n. Nh»m gióp c¸c em gi¶i quyÕt vÊn ®Ò khã nµy, t«i xin ®Ò cËp ®Õn c¸ch híng dÉn
häc sinh kÎ thªm ®êng phô khi gi¶i mét sè bµi to¸n h×nh häc 7. Song trong ph¹m vi
cña ®Ò tµi nµy, t«i sÏ xoay quanh d¹ng to¸n vÒ so s¸nh ®é lín hai ®o¹n th¼ng. §©y lµ
d¹ng to¸n quen thuéc mµ c¸c em thêng gÆp.
B - phÇn néi dung
Tríc hÕt, häc sinh ph¶i thÊy ®îc viÖc kÎ ®êng phô nh»m
- BiÕn ®æi h×nh vÏ, lµm cho bµi to¸n trë nªn chøng minh dÔ dµng h¬n tríc
- T¹o nªn mét h×nh míi ®Ó cã thÓ ¸p dông nh÷ng ®Þnh lý ®Æc biÖt nµo ®ã.
Trong thùc tÕ, viÖc kÎ thªm ®êng phô lµ mét viÖc lµm thùc sù khã. ViÖc kÎ thªm
®êng phô ph¶i theo ®óng nguyªn t¾c dùng h×nh v× nÕu kh«ng bµi to¸n cµng trë nªn phøc
t¹p, kh«ng t×m ra híng gi¶i. ChÝnh v× vËy, khi ®øng tríc mét bµi to¸n, c¸c em cÇn chó ý
c¸c ®iÓm sau:
- Kh«ng ph¶i bµi to¸n nµo còng cÇn vÏ ®êng phô.
- Khi vÏ kh«ng ®îc tuú tiÖn mµ ph¶i hîp lý ®óng nguyªn t¾c c¸c phÐp dùng h×nh
c¬ b¶n.
C¸c vÝ dô cô thÓ:
1. C¸c bµi to¸n so s¸nh hai ®o¹n th¼ng
VÝ dô 1: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, B= 600. Chøng minh r»ng AB =
1
2
BC.
*Híng gi¶i 1: Dùng ®o¹n th¼ng b»ng 2AB, sau ®ã chøng minh 2AB = BC. Víi híng suy
nghÜ nµy h×nh thµnh c¸ch vÏ sau:
Trªn tia ®èi cña tia AB lÊy ®iÓm D sao cho A lµ
trung ®iÓm cña BD AB = 1 BD
2
- XÐt ABC vµ ADC cã:
AB = AD (c¸ch vÏ)
BAD = DAC = 900 ( AB AC)
AC: c¹nh chung
ABC = ADC ( c.g.c)
BC = DC BCD lµ tam gi¸c c©n t¹i C
Mµ B = 600 (gt)
BDC lµ tam gi¸c ®Òu
BD = BC, mµ AB =
1
2
BD . Suy ra: AB =
1
2
BC
*Híng gi¶i 2: Dùng ®o¹n th¼ng b»ng 1 BC , sau ®ã chøng minh 1 BC = AB . Víi híng
2
2
suy nghÜ nµy h×nh thµnh c¸ch vÏ sau:
- Trªn tia BC lÊy D sao cho BD = AB.
- ABD cã AB = BD
ABD c©n t¹i B, mµ B = 600(gt)
ABD lµ tam gi¸c ®Òu
- ABC vu«ng t¹i A, B =600 C = 300
B > C BC > AB, mµ AB = BD
BC > BD D n»m gi÷a B vµ C (1)
BAD + DAC = 900,
mµ BAD = 600 ( ABD ®Òu) DAC = 300
- ADC cã DAC = C (=300) ADC c©n t¹i D DA = DC
L¹i cã AD = AB = BD ( ADB ®Òu) DB = DC (2).
Tõ (1) vµ (2) suy ra AB =
1
BC
2
VÝ dô 2: Chøng minh r»ng trong mét tam gi¸c vu«ng ®êng trung tuyÕn øng víi c¹nh
huyÒn b»ng mét nöa c¹nh Êy.
*Híng gi¶i 1: Dùng ®o¹n th¼ng b»ng 2AM, sau ®ã chøng minh 2AM = BC. Víi híng
suy nghÜ nµy h×nh thµnh c¸ch vÏ sau:
Trªn tia ®èi cña tia MA lÊy D sao cho M lµ trung
®iÓm cña AD AM = 1 AD
2
ABM vµ DCM cã:
BM = MC (AM lµ trung tuyÕn)
AMB = DMC (®èi ®Ønh)
AM = MD (c¸ch dùng)
ABM = DCM (cgc) ABM = MCD
AB // DC, mµ AB AC ( ABC vu«ng t¹i A) DC AC.
ABC vµ DCA cã:
AB = DC ( ABM = DCM)
BAC = DCA = 900
AC chung
ABC = CDA (c.g.c) BC = AD, mµ AM =
1
2
AD AM = 1 BC (®pcm).
2
*Híng gi¶i 2: Dùng ®o¹n th¼ng b»ng AM, sau ®ã chøng minh ®o¹n th¼ng ®ã b»ng
1
BC . Víi híng suy nghÜ nµy h×nh thµnh c¸ch vÏ sau:
2
Gäi M lµ giao ®iÓm cña ®êng trung trùc ®o¹n AB víi c¹nh BC
V× M trung trùc cña BC MB = MA
AMB c©n t¹i M B = BAM
L¹i cã B < BAC BAM < BAC AM n»m gi÷a AB vµ AC
BAM + MAC = 900
Mµ B + C = 900 ( ABC vu«ng t¹i A)
Tõ (1) , (2), (3) suy ra MAC = C
AMC c©n t¹i M MA = MC (**)
Tõ (*) vµ (**) suy ra MB = MC = MA
AM lµ trung tuyÕn vµ AM =
1
2
BC
VÝ dô 3: Cho tam gi¸c ABC, D lµ trung ®iÓm cña AB, E lµ trung ®iÓm cña AC.
Chøng minh r»ng DE = 1 BC.
2
*Híng gi¶i:
Trªn tia DE lÊy ®iÓm F sao cho E lµ trung ®iÓm
cña DF.
Do ADE vµ CFE cã:
AE = EC; AED = CEF; DE = EF
ADE = CFE (c.g.c)
DAE = ECF AB //CF
BDC vµ FCD cã:
BD = CF (=AD)
BDC = DCF (so le trong do AB//CF)
DC chung
BDC = FCD (c.g.c) DF = BC; mµ DE =
1
2
DF DE =
1
2
BC
VÝ dô 4: Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A, trung tuyÕn CM. Trªn tia ®èi cña tia BA lÊy
®iÓm D sao cho BD = BA. Chøng minh r»ng : CM =
1
2
CD.
* Híng gi¶i :
- Híng thø nhÊt : Ta dùng ®o¹n th¼ng b»ng 2CM råi chøng minh ®o¹n th¼ng ®ã b»ng
CD. Víi híng suy nghÜ nµy, h×nh thµnh c¸c c¸ch vÏ ®êng phô.
C¸ch 1
Trªn tia ®èi cña tia MC lÊy ®iÓm N sao cho MN = MC CM =
1
2
NC (1)
XÐt BMN vµ AMC cã
MB = MA (M lµ trung ®iÓm AB )
BMN = AMC (hai gãc ®èi
®Ønh )
MN = MC (c¸ch dùng)
VËy BMN = AMC (c .g.c)
BN = AC
L¹icã BNM= MCA
AMC)
(BMN
=
BN // AC
NBC + BCA = 1800 (hai gãc trong cïng phÝa)
Mµ DBC + CBA = 1800 ( kÒ bï); ABC = ACB(ABC c©n t¹i A )
NBC = DBC
XÐt NBC vµ DBC cã
NB = BD (=AC );
NBC = DBC (c.g.c)
NBC = DBC ;
BC lµ c¹nh chung
NC =DC (2)
Tõ (1) vµ (2) MC = 1 DC
2
C¸ch 2
Sö dông kÕt qu¶ bµi to¸n trong vÝ dô 3, ta sÏ cã mét sè c¸ch vÏ ®êng phô nh sau:
Trªn tia ®èi cña tia CB lÊy ®iÓm N sao cho CB
= CN
Ta cã : DBC + CBA = 1800(2 gãc kÒ bï)
ACN + ACB = 1800(2 gãc kÒ bï)
Mµ
CBA = ACB do ABC c©n t¹i A)
DBC = ACN
Ta cã : CB = CN (c¸ch dùng), MA = MB (gt)
1
2
CM =
AN (1)
XÐt DBC vµ ACN cã:
DB = CA (cïng b»ng AB); DBC = ACN (cmt); BC = CN (c¸ch dùng)
DBC = ACN (cgc)
Tõ (1) vµ (2) CM =
1
2
DC = AN (2)
DC
- Híng thø hai: Dùng ®o¹n th¼ng kh¸c b»ng 1 CD råi chøng minh cho ®o¹n th¼ng ®ã
2
b»ng CM. Víi híng suy nghÜ nµy, h×nh thµnh c¸c c¸ch vÏ ®êng phô nh sau
C¸ch 3:
Gäi N lµ trung ®iÓm cña AC
NA = NC =
Mµ AM =
1
2
1
2
AC.
AB (v× M lµ trung ®iÓm cña AB);
AB = AC (gt)
NA = AM
XÐt ABN vµ ACM cã:
NA = AM (cmt); A chung; AB = AC (gt)
VËy ABN = ACM (c.g.c)
BN = CM (1)
L¹i cã : BA = BD (gt), NA = NC (v× N lµ trung ®iÓm cña AC) BN =
Tõ (1) vµ (2) CM =
C¸ch 4:
1
2
CD
1
2
CD (2)
Gäi N lµ trung ®iÓm cña DC ND = NC =
1
2
DC (1)
1
Ta cã: BA = BD (gt) ;ND = NC BN//AC vµ BN = 2 AC
DBN = MAC (cÆp gãc ®ång vÞ do BN//AC)
L¹i cã : MA = 1 AB ; AB = AC(gt) MA = 1 AC
2
BN = MA (cïng b»ng
2
1
2
AC)
XÐt AMC vµ BND cã
MA = NB (cmt)
MAC = DBN
AC = BD (cïng b»ng AB)
AMC = BND (c.g.c)
Tõ (1) vµ (2) CM =
1
2
MC = DN (2)
DC
*Khai th¸c bµi to¸n : KÕt qu¶ chøng minh vÉn ®óng nÕu ABC vu«ng c©n t¹i A hoÆc
ABC lµ tam gi¸c ®Òu(häc sinh tù chøng minh).
VÝ dô 5: Cho ABC cã AB > AC; ph©n gi¸c AD. Chøng minh r»ng DB > DC.
* Híng gi¶i: T¹o ra mét ®o¹n th¼ng b»ng DB(hoÆc DC) vµ so s¸nh ®o¹n th¼ng míi víi
®o¹n th¼ng cßn l¹i.
Víi híng gi¶i nh trªn ta cã thÓ vÏ ®êng phô theo hai c¸ch sau:
C¸ch 1:
- Trªn tia AB lÊy ®iÓm E sao cho AE = AC
- XÐt ADC vµ ADE cã : AE = AC(c¸ch vÏ)
A1 = A2(gt)
AD lµ c¹nh chung
ADC = ADE(c.g.c)
ED = DC(1) vµ D1 = D2 (2)
- Do AB > AC(gt); AE = AC nªn AB > AE E n»m gi÷a A vµ B
- Ta cã BED lµ gãc ngoµi cña tam gi¸c AED BED > D2 (3)
D2 lµ gãc ngoµi cña tam gi¸c ABD
D2 > B (4)
Tõ (2); (3) vµ (4) BED > B
- BED cã BED > B BD > DE (quan hÖ gãc vµ c¹nh ®èi diÖn) (5)
Tõ (1) vµ (5) BD > DC(®pcm)
C¸ch 2:
Trªn tia AC lÊy ®iÓm E sao cho AB = AE
XÐt ADB vµ ADE cã: AB = AE(c¸ch vÏ)
BAD =
EAD(gt)
AD lµ c¹nh chung
ADB = ADE (c - g - c)
BD = DF (6) vµ ABD = AED
(7)
Do AB = AF; AB > AC nªn AF > AC
C n»m gi÷a A vµ F
BCE lµ gãc ngoµi cña tam gi¸c ABC
BCE > ABD (8)
Tõ (7) vµ (8) DCE > CED CDE cã DCE > CED DF > DC
(quan hÖ gãc c¹nh ®èi diÖn) (9)
Tõ (6) vµ (9) BD > DC(®pcm)
Bµi tËp tù gi¶i
Bµi 1: Cho tam gi¸c ABC cã BC = 2AB. Gäi D, M lÇn lît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh
BC vµ BD. Chøng minh r»ng AC = 2AM
Bµi 2: Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A, A= 1200. Qua A kÎ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi
AB, c¾t BC t¹i D. Chøng minh r»ng BD = 2.DC
Bµi 3: Cho tam gi¸c ABC, I lµ giao ®iÓm c¸c ®êng ph©n gi¸c cña gãc B vµ gãc C. M lµ
trung ®iÓm cña BC. BiÕt BIM= 900; BI = 2.IM.
a) TÝnh sè ®o BAC
b) VÏ IH vu«ng gãc víi AC, H thuéc AC. Chøng minh r»ng BA = 3.IH
Bµi 4: Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A. LÊy ®iÓm D n»m trong tam gi¸c ABC sao cho
ADB > ADC. Chøng minh r»ng DC > DB.
Bµi 5: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A cã B = 540. Trªn AC lÊy ®iÓm D sao cho
DBC = 180. Chøng minh BD < AC.
2. C¸c bµi to¸n so s¸nh mét ®o¹n th¼ng víi tæng(hiÖu) hai ®o¹n th¼ng
VÝ dô 1: Cho tam gi¸c ABC cã B = C = 400, ph©n gi¸c BD.
Chøng minh r»ng: BD + DA = BC
* Híng gi¶i: T¸ch BC thµnh tæng hai ®o¹n th¼ng sao cho tõng ®o¹n th¼ng trong tæng
®ã lÇn lît b»ng ®o¹n th¼ng BD, DA.
Víi híng gi¶i nh trªn ta cã thÓ vÏ ®êng phô nh sau
- LÊy ®iÓm I trªn ®o¹n BC sao cho BD = BI. Ta cÇn chøng minh thªm IC = DA
- §Ó chøng minh IC = DA ta t¹o ra tam gi¸c chøa c¹nh DA b»ng tam gi¸c chøa c¹nh
IC, nghÜa lµ t¹o ra tam gi¸c chøa c¹nh DA b»ng tam gi¸c ICD.Dùa vµo ®Æc ®iÓm tam
gi¸c ICD, ta cã thÓ vÏ ®êng phô nh sau: Qua A kÎ ®êng th¼ng song song víi BC c¾t AB
t¹i N. Tam gi¸c AND lµ tam gi¸c cÇn dùng.
Gi¶i
- Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm I sao cho BI = BD
- Qua D kÎ ®êng th¼ng song song víi BC c¾t AB t¹i N
Do ND//BC nªn AND = ABC;
ADN = C (®ång vÞ)
Mµ ABC = ACB = 400
(gt)
AND = ADN
AND c©n t¹i A AN = AD
Mµ AB = AC (gt) AB – AN = AC –
AD
BN = CD(1)
-V× BD lµ ph©n gi¸c cña ABC ABD = DBC = 200
MÆt kh¸c do ND//BC(c¸ch vÏ) nªn NDB = DBC (so le trong)
NBD = NDB = 200 BND c©n t¹i N BN = ND(2)
- Do BD = BI nªn BDI c©n t¹i B BDI = (1800 - 200) : 2 = 800.
IDC = 1800 – ( ADN – NDB - BDI) = 400
Tõ (1) vµ (2) ND = CD
- XÐt AND vµ IDC cã : AND = ICD(= 400)
ND = DC(cmt)
ADN = IDC(= 400)
AND = IDC(g - c - g)
AD = IC(2 c¹nh t¬ng øng)
V× BC = BI + IC; BI = BD; IC = DA nªn BD + DA = BC(®pcm)
VÝ dô 2: Cho tam gi¸c ABC, trung tuyÕn AM. Chøng minh r»ng AM <
* Híng gi¶i: Ta cã AM <
AB + AC
2
2AM < AB + AC
AB + AC
2
§Ó chøng minh 2AM < AB + AC ta t×m c¸ch t¹o ra mét tam gi¸c cã ba c¹nh
b»ng 2AM, AB, AC.
Víi híng gi¶i nh trªn ta cã thÓ vÏ ®êng phô theo c¸ch sau: Trªn tia AM lÊy ®iÓm
D sao cho AM = MD. Tam gi¸c ADC lµ tam gi¸c cÇn dùng.
Gi¶i
- Trªn tia AM lÊy ®iÓm D sao cho AM = MD
- XÐt AMB vµ DMC cã :
AM = MD(c¸ch vÏ)
AMB = CMD(®èi ®Ønh)
BM = MC(gt)
AMB = DMC(c – g - c)
AB = CD(2 c¹nh t¬ng øng)
-XÐt ACD, theo bÊt ®¼ng thøc tam gi¸c ta
cã
AD < AC + DC
Mµ AD = 2AM (M lµ trung ®iÓm cña AD);
AB = CD (chøng minh trªn)
2AM < AB + AC
AM <
AB + AC
(®pcm)
2
VÝ dô 3: Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän vµ ABC = 2. ACB. KÎ AD BC
(D BC). Chøng minh r»ng: AB + BD = CD
*Híng gi¶i: §Ó chøng minh CD = AB + BD ta sÏ t¸ch DC thµnh tæng cña 2 ®o¹n
th¼ng vµ chøng minh chóng lÇn lît b»ng AB vµ BD. Víi híng gi¶i nµy ta cã c¸ch vÏ
h×nh sau:
Gi¶i:
- Trªn tia DC lÊy ®iÓm E sao cho DB = DE(1)
- Ta cã B> C AC > AB DC > BD
E n»m gi÷a D vµ E
ABD vµ AED cã
BD = DC;
ADB = ADE = 900(gt)
AD chung
ABD
= AED (c.g.c) AB = AE vµ B = AEB
- Ta cã B = AEB vµ B = 2 ACB AEB = 2 ACB
L¹i cã AEB = ACB + EAC (tc gãcngoµi)
ACB + EAC = 2. ACB
EAC = ACE
AEC c©n t¹i E AE = EC(2)
Tõ bµi to¸n trªn ta cã bµi to¸n t¬ng tù sau: Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän vµ
ABC = 2. ACB. KÎ AD BC (D BC). Trªn tia ®èi cña tia BA lÊy ®iÓm N sao
cho BN = BD. §êng th¼ng ND c¾t AC t¹i M. Chøng minh r»ng:
a) BND = ACB
b) M lµ trung ®iÓm AC
c) AN = CD
Gi¶i:
a) BND = ACB (=
1
2
ABC)
b) MDC = MCD (= BDN)
MDC c©n t¹i M MD = MC
MAD = ADM (cïng phô víi 2 gãc
b»ng nhau)
AMD c©n t¹i M AM = MD
Suy ra M lµ trung ®iÓm AC
c) LÊy E sao cho DE = BD
Do BD = BN BN = DE.
Chøng minh t¬ng tù nh trªn ta cã EC= AB
Do ®ã AB + BN = EC + DE hay AN = CD
Tõ kÕt qu¶ cña c©u b) ta cã thÓ chøng minh c©u c) theo híng kh¸c, ®ã lµ t¹o ra ®o¹n
th¼ng b»ng DC vµ ta chøng minh ®o¹n th¼ng ®ã b»ng AN
Trªn tia ®èi cña tia MD lÊy P sao cho MP =
MD
AMP = CMD (c.g.c) AP = DC(1)
Ta cã P = MDC ( AMP = CMD)
MDC = N (= BDN)
N = P ANP c©n t¹i A
AN = AP(2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra AN = DC
VÝ dô 4: Cho tam gi¸c ABC nhän cã A = 300, trªn mÆt ph¼ng bê BC kh«ng chøa
®iÓm A vÏ tam gi¸c ®Òu BCD. Chøng minh r»ng: AD2 = AB2 + AC2
*Híng gi¶i: §Ó chøng minh AD2 = AB2 + AC2 ta sÏ t¹o ra mét tam gi¸c vu«ng chøa
mét trong c¸c c¹nh AB, AC lµm c¹nh(vÝ dô AC) sau ®ã chøng minh 2 c¹nh cßn l¹i
b»ng AB vµ AD.
- V× gãc BAC = 30 0, nªn ta sÏ vÏ gãc 60 0 kÒ víi gãc BAC vµ x¸c ®Þnh mét c¹nh b»ng
AB, do ®ã h×nh thµnh c¸ch vÏ h×nh sau:
Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB kh«ng chøa ®iÓm C vÏ
tam gi¸c ®Òu ABE.
EBC = EBA + ABC = 600 + ABC
ABD = ABC + CBD = 600 + ABC
Suy ra EBC = ABD
EBC vµ ABD cã: EB = AB ( ABE ®Òu)
EBC = ABD
BC = BD ( BCD ®Òu)
EBC = ABD EC = AD
Cã EAC = EAB + BAC = 600 + 300 = 900
EAC vu«ng t¹i A EC2 = AE2 + AC2
Mµ EC = AD( EBC = ABD); AE = AB ( ABE ®Òu ) AD2 = AB2 + AC2
Bµi tËp tù gi¶i
Bµi 1: Cho tam gi¸c ABC cã B < 900; C< 900. VÏ ra ngoµi tam gi¸c ABC c¸c tam
gi¸c ABD, ACE vu«ng c©n t¹i B vµ C. KÎ DI, EK vu«ng gãc víi BC, H; K BC Chøng
minh r»ng BC = DI + EK.
Bµi 2: Cho tam gi¸c ABC ®Òu cã c¹nh b»ng 2cm, M lµ ®iÓm n»m trong tam gi¸c. Qua
M kÎ c¸c ®êng th¼ng song song víi c¸c c¹nh cña tam gi¸c ABC, chóng c¾t AB, BC, CA
t¹i C’; A’; B’. TÝnh tæng MA’ + MB’ + MC’ ?
Bµi 3: Cho tam gi¸c ABC cã AB > AC. LÊy ®iÓm M trªn ph©n gi¸c AD. Chøng minh
r»ng AB – AC > MB – MC.
C. KÕt qu¶ sau khi thùc hiÖn
Qua viÖc ®a ra “Lo¹i to¸n so s¸nh ®o¹n th¼ng vµ c¸ch vÏ ®êng phô t¬ng øng”
thêng gÆp trong h×nh häc 7, t«i thÊy ®· ®¹t ®îc mét sè kÕt qu¶ nh sau:
- Cung cÊp cho häc sinh mét hÖ thèng c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i, t¹o ®iÒu kiÖn cho häc
sinh hiÓu s©u kiÕn thøc h×nh häc, ®Þnh híng cho häc sinh c¸ch vÏ ®êng phô khi gÆp c¸c
bµi to¸n t¬ng tù. §ång thêi lµm c¬ së cho häc sinh cã ®îc c¸ch vÏ ®êng phô víi c¸c bµi
to¸n khã h¬n n÷a. Gióp cho häc sinh rÌn ®îc nh÷ng phÈm chÊt cña trÝ tuÖ nh : §éc lËp,
s¸ng t¹o, mÒm dÎo, linh ho¹t, ®éc ®¸o trong t duy, lµm tiÒn ®Ò cho sù ph¸t triÓn t duy
cña häc sinh häc tËp m«n To¸n, t¹o ®iÒu kiÖn cho häc sinh x©y dùng cho b¶n th©n ph¬ng ph¸p lµm To¸n, ph¬ng ph¸p häc tËp mét c¸ch cã hiÖu qu¶.
- Nªu ra ®îc gi¶i ph¸p vÏ ®êng phô ®Ó gi¶i lo¹i to¸n gióp cho häc sinh chèng ®îc
t tëng ng¹i khã, "sî" gi¶i mét bµi to¸n khã, t¹o ®iÒu kiÖn cho häc sinh høng thó häc tËp,
h¨ng say nghiªn cøu t×m tßi c¸i míi, c¸i khã trong qu¸ tr×nh häc tËp.
- Gãp mét phÇn vµo thêi kú ®æi míi ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y (®æi míi c¸ch d¹y cña
gi¸o viªn vµ c¸ch häc cña häc sinh) nh»m n©ng cao chÊt lîng d¹y vµ häc theo híng
ph¸t huy tÝch cùc cña häc sinh "lÊy häc sinh lµm trung t©m".
Trªn ®©y lµ mét sè ph¬ng ph¸p vÏ ®êng phô gióp cho häc sinh biÕt c¸ch gi¶i mét
sè bµi to¸n so s¸nh ®o¹n th¼ng. Bíc ®Çu ®· thùc nghiÖm vµ cã kÕt qu¶ nhÊt ®Þnh, nhÊt lµ
viÖc båi dìng häc sinh kh¸ giái, phÇn nµo ®· gióp cho häc sinh ®Þnh h×nh ®îc mét c¸ch
gi¶i to¸n ë thÓ lo¹i nµy, ph¸t huy tÝch cùc chñ ®éng s¸ng t¹o trong gi¶i to¸n nãi chung,
gióp cho häc sinh rÌn luyÖn ®îc nhiÒu kü n¨ng gi¶i to¸n, t¹o ®µ cho häc sinh ®æi míi
c¸ch häc trong giai ®o¹n hiÖn nay. §Ò tµi “ VÏ ®êng phô ” nµy ch¾c ch¾n kh«ng tr¸nh
khái nh÷ng h¹n chÕ. T«i rÊt mong nhËn ®îc nh÷ng ý kiÕn ®ãng gãp cña Héi ®ång khoa
häc ngµnh Gi¸o dôc Quúnh Phô ®Ó t«i tiÕp tôc hoµn thiÖn ®Ò tµi trong nh÷ng n¨m häc
tíi.
Tµi liÖu tham kh¶o
1. SGK To¸n 7 tËp 1, 2 – Nhµ xuÊt b¶n Gi¸o dôc – N¨m 2011
2. SBT To¸n 7 tËp 1, 2 – Nhµ xuÊt b¶n Gi¸o dôc – N¨m 2010
3. Vò H÷u B×nh - N©ng cao vµ ph¸t triÓn To¸n 7 tËp 1, 2 –Nhµ xuÊt b¶n
Gi¸o dôc – N¨m 2003.
4. Vò D¬ng Thôy (CB); NguyÔn Ngäc §¹m – To¸n n©ng cao & c¸c chuyªn ®Ò
h×nh häc 7 –Nhµ xuÊt b¶n Gi¸o dôc - N¨m 2003
NhËn xÐt §¸NH GI¸ CñA héi ®ång khoa häc
ngµnh gi¸o dôc - ®µo t¹o QuúNH PHô
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
- Xem thêm -
.DOC 
16 
1112 
50 
