SKKN Hướng dẫn học sinh giải bài tập cực trị mạch ddienj xoay chiều R, L, C mắc nối tiếp
“Hướng dẫn học sinh giải bài tập cực trị mạch điện xoay chiều R,L,C mắc nối tiếp”
Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o hµ tÜnh
Trêng Trung häc phæ th«ng trÇn phó
------------&&&------------
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
ĐỀ TÀI:
HƯỚNG DẪN HỌC SINH GẢI BÀI TẬP CỰC TRỊ
MẠCH ĐIỆN XOAY CHIỀU R,L,C MẮC NỐI TIẾP
Người Thực hiện: Phạm Văn Thành
Th¸ng 3 n¨m 2014
1
“Hướng dẫn học sinh giải bài tập cực trị mạch điện xoay chiều R,L,C mắc nối tiếp”
I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài
Vật lí là môn khoa học cơ bản nghiên cứu các quy luật về sự vận động của tự nhiên và
nó có mối liên hệ mật thiết với các ngành khoa học khác, đặc biệt là toán học. Các lí thuyết
vật lí là bất biến khi biểu diễn dưới dạng các quan hệ toán học và sự xuất hiện của toán học
trong vật lí cũng thường phức tạp hơn trong các ngành khoa học khác.
Trong chương trình trung học phổ thông việc sử dụng toán học vào giải các bài toán vật
lí là rất điều không thể thiếu. Nhưng việc lựa chọn phương pháp nào cho phù hợp, ngắn gọn,
hiệu quả và dễ hiểu không phải là đơn giản, nhất là đối với bài toán khó như bài toán cực trị.
Học sinh thường lúng túng khi gặp các bài toán này vì đây là một dạng bài toán yêu cầu
trình độ tư duy cao, học sinh có vốn kiến thức toán học vững chắc, hơn thế nữa dạng bài này
thường xuất hiện đơn lẻ, không có tính hệ thống, không có một phương pháp giải cụ thể nào.
Nhằm giúp cho học sinh có cách nhìn tổng quát về các bài toán cực trị điển hình trong
vật lí THPT cũng như có phương pháp lựa chọn, định hướng phương pháp giải, các bước
giải cụ thể phù hợp với dạng bài đó. Trong chương trình vật lí 12 chương dòng điện xoay
chiều là rất quan trọng nó chiếm phần lớn trong các đề thi tốt nghiệp vật lí 12 cũng như đề
thi vào các trường Đại học - Cao đẳng, trong chương này có rất nhiều bài tập khó, đặc biệt là
các bài tập cực trị của mạch điện xoay chiều R, L, C mắc nối tiếp, học sinh thường rất lúng
túng khi giải các bài tập loại này, vì những lí do đó tôi đã thực hiện đề tài: “Hướng dẫn học
sinh giải bài tập cực trị mạch điện xoay chiều R, L, C mắc nối tiếp”. Khi đưa các bài tập
này vào hệ thống các bài tập rèn luyện và phát triển tư duy dành cho đối tượng học sinh khá,
giỏi và học sinh ôn thi vào đại học tôi nhận thấy học sinh đã có nhiều tiến bộ, hứng thú hơn
trong quá trình tìm tòi và khám phá các bài toán cực trị phức tạp khác của vật lí.
2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
a. Đối tượng nghiên cứu
- Học sinh lớp 12 trường THPT, học sinh ôn thi vào Đại học - Cao đẳng.
- Bài tập cực trị mạch điện xoay chiều R,L,C mắc nối tiếp.
b. Phạm vi nghiên cứu
- Đề tài là tài liệu cho học lớp 12 trường THPT, học sinh ôn thi vào Đại học - Cao
đẳng tiếp cận với kiến thức về bài tập cực trị mạch điện xoay chiều R,L,C mắc nối tiếp nói
riêng và bài tập cực trị của vật lí nói chung.
3. Mục đích nghiên cứu
- Hướng dẫn học sinh giải bài tập cực trị mạch điện xoay chiều R,L,C mắc nối tiếp và
sử dụng trong giảng dạy góp phần nâng cao chất lượng dạy - học kiến thức chương II - Vật lí
12 ở trường THPT.
- Kết quả nghiên cứu đề tài là tư liệu phục vụ cho quá trình dạy học của bản thân, là
tài liệu tham khảo cho GV trung học phổ thông và học sinh lớp 12 và học sinh ôn thi vào các
trường Đại học và Cao đẳng.
2
“Hướng dẫn học sinh giải bài tập cực trị mạch điện xoay chiều R,L,C mắc nối tiếp”
4. Giả thuyết khoa học
- Nếu xây dựng được hệ thống bài tập cực trị mạch điện xoay chiều R,L,C mắc nối
tiếp và xây dựng được phương pháp giải thì sẽ nâng cao được kiến thức kỹ năng, phát triển
tư duy sáng tạo và niềm yêu thích vật lý học cho học sinh
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Hệ thống hoá cơ sở lí luận về phương pháp dạy học Bài tập Vật lí ở trường THPT.
- Hướng dẫn học sinh giải bài tập cực trị mạch điện xoay chiều R,L,C mắc nối tiếp.
6. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí thuyết.
- Phương pháp dạy học bài tập Vật lí.
- Phương pháp thực nghiệm.
7. Đóng góp của đề tài
Trong đề tài tôi đã hệ thống các dạng bài tập cực trị mạch điện xoay chiều R,L,C mắc
nối tiếp và phương pháp giải, một số ví dụ áp dụng và hệ thống bài tập trắc nghiệm, mong
rằng qua đề tài này sẽ phát huy tốt khả năng tư duy sáng tạo của học sinh, góp phần xây
dựng thêm hệ thống bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi môn vật lí cũng như học sinh ôn thi vào
các trường Đại học và Cao đẳng.
3
“Hướng dẫn học sinh giải bài tập cực trị mạch điện xoay chiều R,L,C mắc nối tiếp”
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
A. PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI MỘT BÀI TẬP CỰC TRỊ
Bài toán cực trị là bài toán khảo sát giá trị cực đại, cực tiểu của một đại lượng vật lí nào
đó. Muốn có một phương pháp giải nhanh gọn, dễ hiểu trước hết ta sẽ đi tìm hiểu hệ thống
các bài tập điển hình về cực trị trong chương trình vật lí THPT, bằng cách sử dụng các công
thức toán học đặc biệt như bất đẳng thức Cô si, bất đẳng thức Bu-nhia-côp-xki, tam thức bậc
hai, sử dụng định lí hàm số sin, cosin trong tam giác hoặc khảo sát hàm số... Qua đó rút ra
được phương hướng chọn phương pháp giải và các bước để sử dụng phương pháp đó nhanh
nhất, hiệu quả nhất.
Trong mạch điện xoay chiều R, L, C mắc nối tiếp, khi giữ nguyên điện áp xoay chiều
hai đầu đoạn mạch rồi thay đổi R hoặc L, hoặc C, hoặc dẫn đến cường độ dòng điện hiệu
dụng I trong mạch, công suất tiêu thụ P của đoạn mạch hoặc điện áp hiệu dụng U của một
phần đoạn mạch sẽ thay đổi, có thể đạt cực trị. Để tìm được cực trị của các đại lượng này ta
cũng có thể sử dụng bất đẳng thức Cô si, tam thức bậc hai, định lí hàm số sin, côsin, khảo sát
hàm số, đặc biệt là có thề tìm cực trị bằng đồ thị... Sau đây chúng ta sẽ lần lượt khảo sát sự
phụ thuộc của I, P, U vào R, L, C hoặc .
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CỰC TRỊ CƠ BẢN TRONG MẠCH R, L, C MẮC NỐI TIẾP
I. Mạch điện xoay chiều R, L, C mắc nối tiếp có R thay đổi được.
Bài toán: Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ, đặt vào A,
B một điện áp xoay chiều: u = U0cost. Trong đó R là một
A
biến trở, các giá trị L, C, , U0 không đổi.
R
L
C
B
Thay đổi R, hãy giải quyết các yêu cầu sau:
1. Tìm giá trị của R làm cho công suất cực đại
a. Giá trị R làm công suất tiêu thụ của mạch cực đại
Ta có: P = RI 2 = R
U2
=
R 2 + (Z L - Z C )2
U2
(ZL - Z C )2
R+
R
Theo bất đẳng thức Côsi ta có:
R+
(ZL - ZC )2
2 ZL - ZC = const
R
Dấu “ =” xảy ra khi: R = Z L -ZC = R 0
Khi đó công suất mạch đạt giá trị cực đại là:
Pmax =
U2
U2
=
2 Z L -ZC
2R 0
Lưu ý: Nếu L không thuần cảm (có điện trở thuần r < ZL - ZC) thì giá trị R được thay
bằng: R + r
Khi: R + r = ZL - ZC hay R = ZL - ZC - r thì Pmax =
4
U2
U2
=
2 Z L - ZC
2(R + r)
“Hướng dẫn học sinh giải bài tập cực trị mạch điện xoay chiều R,L,C mắc nối tiếp”
b. Giá trị R làm cho công suất của R cực đại (L không thuần cảm)
Công suất của biến trở R là PR RI2 R
U2
(R r) 2 (Z L ZC ) 2
U2
r 2 (Z L ZC )2
R
2r
R
Theo bất đẳng thức Côsi ta có
r 2 (Z L ZC ) 2
r 2 (Z L ZC ) 2
R
2r 2 R
2r 2 r 2 (ZL Z C ) 2 2r const
R
R
Dấu “ =” xảy ra khi: R = r 2 + (ZL - ZC )2
Khi đó công suất của biến trở R đạt giá trị cực đại là:
PRmax =
U2
2(R + r)
c. Tìm giá trị R làm cho cường độ dòng điện cực đại, công suất cuộn dây cực đại, điện
áp hai đầu cuộn dây cực đại, điện áp hai đầu tụ điện cực đại.
Ta có:
U
I=
2
(R + r ) + (Z L - ZC )
2
; Pdây = rI 2 ; U dây = I ZL2 + r 2 ; U c = IZ C
Vì r; ZL; ZC và U là các đại lượng không đổi nên muốn đạt giá trị cực đại thì chỉ cần
cường độ dòng điện qua mạch cực đại. Từ biểu thức của dòng điện ta thấy rằng Imax khi giá
trị của biến trở R = 0.
Imax =
U
2
r + (ZL - Z C )
2
; Pdâymax = rI2max ; U dây = I max Z 2L + r 2 ; U c = I max ZC
2. Khi R = R1 hoặc R = R2 thì mạch tiêu thụ cùng công suất, khi R = R0 thì công suất
mạch cực đại. Tìm hệ thức liên hệ giữa R1, R2, R0:
Công suất tiêu thụ của mạch là : P = RI 2 =
U2
R.U 2
2
R
R + (ZL - ZC ) 2 = 0
P
R 2 + (ZL - ZC ) 2
Vì P1 = P2 = P nên ta có thể xem như công suất trong phương trình trên là một số không
đổi ứng với hai giá trị R1 và R2. Tức là phương trình bậc 2 đối với R ở trên có hai nghiệm
phân biệt R1 và R2. Theo định lý Vi-et ta có:
U2
R
+
R
=
1
2
P
R .R = (Z - Z ) 2
L
C
1 2
Do khi R = Z L -ZC = R 0 thì công suất mạch cực đại, nên ta có hệ thức: R 02 = R 1 .R 2
3. Khảo sát sự biến thiên của công suất vào giá trị của R
Ta có công suất toàn mạch biến thiên theo biến trở R cho bởi hàm số:
U2
với Rtd = R + r
P = R td I = R td 2
R td + (Z L - ZC )2
2
5
“Hướng dẫn học sinh giải bài tập cực trị mạch điện xoay chiều R,L,C mắc nối tiếp”
Dễ thấy: + Khi R = 0 P0 = r
U2
r 2 + (ZL - ZC ) 2
+ Khi R = R0 = Z L - ZC - r Pmax =
U2
2 ZL - Z C
+ Khi R thì P 0
Dạng đồ thị của P theo Rtd :
P
Pmax
P0
Nhận xét:
O
R0
R
- Từ đồ thị ta thấy rằng với r < ZL - ZC thì có hai giá trị R1 và R2 cho cùng một giá trị
của công suất.
- Công suất mạch đạt giá trị cực đại khi R = R 0 = ZL - ZC - r > 0 .
- Trong trường hợp R = ZL - ZC - r < 0 thì đỉnh cực đại nằm ở phần R < 0 do đó ta
thấy rằng công suất của mạch sẽ lớn nhất khi R = 0.
- Nếu r = 0 thì đồ thị xuất phát từ gốc tọa độ và ta luôn có giá trị R làm cho công suất
của toàn mạch cực đại là R = Z L - Z C .
Ví dụ 1: Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ:
Cuộn dây có điện trở thuần r = 20 , độ tự cảm A
103
1
L=
H , tụ điện có điện dung C
(F) .
π
9
R
L,r
C
B
Đặt vào A, B một điện áp xoay chiều u = 100 2 cos100t (V). Hãy tìm giá trị của biến trở R
để công suất của mạch là cực đại, tính giá trị cực đại ấy.
Giải:
Ta có: ZL = ωL = 100 Ω; Z C =
1
= 90 Ω .
ωC
Theo trên, ta thấy: Z L - ZC = 10 Ω < r = 20 Ω => công suất của mạch cực đại khi R = 0.
Khi đó:
6
“Hướng dẫn học sinh giải bài tập cực trị mạch điện xoay chiều R,L,C mắc nối tiếp”
Pmax = rI2 = r
U2
1002
=
20
= 400W
r 2 +(Z L -ZC ) 2
202 +102
Ví dụ 2: Đặt điện áp xoay chiều: u = 120 2 cos100t (V) vào hai đầu đoạn mạch gồm biến
trở R, cuộn cảm thuần có độ tự cảm L =
2
100
H và tụ điện có điện dung C =
μF mắc nối
π
tiếp. Điều chỉnh R = R0 để công suất tiêu thụ của đoạn mạch đạt giá trị cực đại. Tìm R0, công
suất cực đại và hệ số công suất của mạch lúc đó?
Giải:
Theo trên ta có: Do cuộn cảm thuần nên công suất tiêu thụ của đoạn mạch cực đại khi:
R = R 0 = ZL - ZC
Và lúc đó: cosφ =
U2
1202
= 200- 100 = 100 Ω; Pmax =
=
= 72 W
2R 0
200
R0
R0
1
=
=
Z
R0 2
2
Ví dụ 3: Đặt điện áp xoay chiều: u = 100 2 cos100t (V) vào hai đầu đoạn mạch gồm biến
trở R, cuộn cảm thuần có độ tự cảm L và tụ điện có điện dung C mắc nối tiếp. điều chỉnh
biến trở R thì khi R = R1 = 100 và khi R = R2 = 400 thì góc lệch pha giữa điện áp và
cường độ dòng điện tương ứng 1 và 2 với |1 + 2| =
π
.
2
a. Tìm công suất tiêu thụ của mạch ứng với hai giá trị của biến trở R ở trên.
b. Tìm hệ số công suất của mạch tương ứng với R1 và R2.
c. Tìm R để công suất của mạch đạt cực đại. Tính công suất cực đại đó.
Giải:
a. Theo bài ra: |1 + 2| =
Mặt khác P1 = R1I12 =
P2 = R 2 I 22 =
π
nên ta có: tan1.tan2 = 1 => (ZL - ZC )2 = R 1.R 2
2
R1U 2
U2
=
R 12 +(ZL -ZC )2
R1 +R 2
(1)
R 2U2
U2
(2)
=
R 22 +(ZL -ZC ) 2
R 1 +R 2
Từ (1) và (2) suy ra: P1 = P2 = P =
b. Với R1 = 100 => cosφ1 =
Với R2 = 400 => cosφ 2 =
U2
1002
=
= 20W .
R1 +R 2
500
R1
2
1
R + (Z L - ZC )
=
2
R + (Z L - ZC )
2
=
R2
2
2
=
R + R 1R 2
c. Công suất cực đại khi: R = R 0 = R1R 2 = 200 Ω và Pmax =
7
=
R + R 1R 2
R2
2
2
R1
2
1
1
5
2
5
U2
100 2
=
= 25 W .
2R 0
400
“Hướng dẫn học sinh giải bài tập cực trị mạch điện xoay chiều R,L,C mắc nối tiếp”
II. Mạch điện xoay chiều R, L, C mắc nối tiếp có L thay đổi được.
Bài toán: Đặt điện áp xoay chiều: u = U0cost vào hai đầu đoạn mạch gồm điện trở R, cuộn
cảm thuần có độ tự cảm L thay đổi được và tụ điện có điện dung C mắc nối tiếp. Thay đổi L,
hãy giải quyết các yêu cầu sau:
1. Tìm L để cường độ dòng điện trong mạch, công suất tiêu thụ của đoạn mạch đạt giá
trị cực đại.
Ta có: I =
U
=
Z
U
R 2 + (Z L - ZC ) 2
; P = RI 2 =
R.U 2
R 2 + (ZL - ZC )2
Dễ thấy: I = Imax; P = Pmax khi ZL = ZC
=> L = L0 =
1
(trong mạch có cộng hưởng điện)
ω2C
2. Khi L = L1 hoặc L = L2 thì mạch tiêu thụ cùng
công suất, khi L = L0 thì công suất mạch cực đại.
Tìm hệ thức liên hệ giữa L1, L2, L0:
y1 = y 2
Ta có:
P=R
y
U2
U2
R.U 2
=
R
=
R 2 + (ZL - ZC )2
R 2 + (ZL - ZC )2
y
Khi L = L1 hoặc L = L2 thì P1 = P2 suy ra y1 = y2.
Khi L = L0 hay ZL = ZL0 thì P = Pmax suy ra y = ymin.
Từ đồ thị ta dễ có:
Z L0 =
ZL1 + ZL2
2
ymin
= ZC 2L 0 = L1 + L2
O
ZL1
ZL0
ZL2
ZL
3. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo cảm kháng ZL
Ta có công suất của mạch là:
P = RI2 = R
P
U2
, với R, C là các hằng số,
R 2 + (ZL - ZC ) 2
Pmax
nên công suất của mạch là một hàm số theo biến số ZL.
Dễ thấy: + Khi ZL = 0 P0 = R
U2
R 2 + ZC2
U2
+ Khi ZL = ZC Pmax =
2R
P0
+ Khi ZL thì P 0
Dạng đồ thị của P theo ZL :
8
O
ZL = Z C
ZL
“Hướng dẫn học sinh giải bài tập cực trị mạch điện xoay chiều R,L,C mắc nối tiếp”
4. Tìm giá trị ZL để hiệu điện thế ULmax
Ta có:
U L IZ L Z L
U
2
R (Z L - ZC ) 2
U
R 2 Z2C 2Z C
1
ZL
ZL
U
y
Dễ thấy: UL = ULmax khi y = ymin
Khi đó: ZL
Và U L max U
R 2 Z 2C
b
(x = )
2a
ZC
R 2 Z 2C
R
Chú ý: Có thể tìm giá trị ZL để điện áp ULmax bằng giản đồ vectơ
Theo giản đồ vectơ và định lý hàm số sin trong tam
giác ta có:
UL
UL
U
=
sin sin
Vì sin
U
UR
R
2
U RC
R Z2C
Suy ra: U L
U
sin
sin
O
UR I
Do sin và U là các giá trị không đổi nên điện áp
ULmax khi:
sin 1
2
UC
Áp dụng hệ thức lượng của tam giác vuông ta có: U 2RC U C U L
Từ đó suy ra:
Z L Z C R 2 ZC2
Nhận xét:
- Khi ZL
R 2 Z 2C
R 2 Z 2C
thì U L max U
R
ZC
- Khi ULmax thì: + Điện áp tức thời ở hai đầu mạch luôn sớm pha hơn uRC một góc 900.
+ U 2L U 2 U 2R U 2C
9
URC
“Hướng dẫn học sinh giải bài tập cực trị mạch điện xoay chiều R,L,C mắc nối tiếp”
5. Khi L = L1 hoặc L = L2 thì UL1 = UL2, khi L = L0 thì ULmax. Tìm hệ thức liên hệ giữa
L1 , L2 , L0 .
y
Ta có:
U
U L IZL ZL
R 2 (Z L - ZC ) 2
U
R 2 ZC2 2ZC
1
ZL
ZL
U
y
y1 = y 2
Khi L = L1 hoặc L = L2 thì UL1 = UL2 suy ra y1 = y2.
Khi L = L0 hay ZL = ZL0 thì UL = ULmax suy ra y = ymin.
Do y là một tam thức bậc 2 đối với 1/ZL nên từ đồ thị dễ
thấy:
ymin
1
1
2
=
Z L1 ZL2
ZL0
=>
O
1
1
2
=
L1 L2
L0
6. Tìm giá trị ZL để hiệu điện thế ULRmax
-
Khi R và L mắc nối tiếp nhau thì :
U R 2 + Z2L
U LR = I R 2 + Z2L =
U
=
1 + ZC
Với y
ZC - 2ZL
R 2 + Z2L
2
2
R + (Z L - ZC )
=
U
1 ZC .y
ZC - 2Z L
R 2 + Z2L
Ta có: y '
2(Z 2L Z L ZC R 2 )
(R 2 Z2L )2
Cho y’ = 0 ta có: Z2L ZL ZC R 2 0 .
Nghiệm của phương trình này là:
Z L1 =
ZC + ZC2 + 4R 2
Z L2 =
10
2
>0
ZC - ZC2 + 4R 2
<0
2
U
2
R + (Z L - ZC )2
R 2 + Z2L
=
1/ZL1
1/ZL0
1/ZL2
1/ZL
“Hướng dẫn học sinh giải bài tập cực trị mạch điện xoay chiều R,L,C mắc nối tiếp”
Bảng biến thiên:
ZL
Z L1 =
0
y’
ZC + ZC2 + 4R 2
+
2
-
0
+
y
ymin
URLmax
URL
Từ bảng biến thiên ta thấy y đạt giá trị nhỏ nhất nên ULR đạt giá trị lớn nhất. Vậy
Khi Z L
ZC 4 R 2 Z C2
2UR
thì U RLMax
2
4R 2 Z2C Z C
Ví dụ 1: Đặt điện áp xoay chiều: u = 100 2 cos100t (V) vào hai đầu đoạn mạch gồm điện
trở R, cuộn cảm thuần có độ tự cảm L thay đổi được và tụ điện có điện dung C mắc nối tiếp.
Điều chỉnh L thì khi L = L1 =
3
1
H và khi L = L2 = H thì mạch tiêu thụ cùng công suất P =
40W. Biết R < 150 .
a. Xác định R và C.
b. Tìm L để công suất của mạch cực đại Pmax. Tìm Pmax đó.
c. Tìm L để điện áp hiệu dụng trên cuộn cảm đạt giá trị cực đại ULmax. Tìm ULmax đó.
Giải:
a. Theo trên, ta có: ZC
ZL1 ZL 2
104
200 C
F
2
2
RU 2
Công suất tiêu thụ của mạch: P 2
R 2 250 R 1002 0 .
2
R (Z L ZC )
Giải ra ta được R1 = 50 ; R2 = 200 (loại do R < 150 )
b. Theo trên, công suất cực đại khi trong mạch có cộng hưởng điện:
ZL = ZC = 200 => L =
Khi đó: Pmax
2
H
U2
200 W .
R
c. Điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn cảm cực đại khi:
11
“Hướng dẫn học sinh giải bài tập cực trị mạch điện xoay chiều R,L,C mắc nối tiếp”
R 2 ZC2 50 2 200 2
ZL
0,68 H.
ZL
212,5 => L =
100
ZC
200
Khi đó: U L max U
R 2 Z2C
502 2002
100
412 V .
R
50
Ví dụ 2: Đặt điện áp xoay chiều u = U 2 cost (U, không đổi) vào hai đầu đoạn mạch
gồm điện trở thuần R, cuộn cảm thuần có độ tự cảm L thay đổi được và tụ điện có điện dung
C mắc nối tiếp. Thay đổi L thì ULmax= 100 V khi đó UC = 36 V. Giá trị của U là
A. 136 V.
B. 100 V.
C. 64 V.
D. 80 V.
Giải:
Theo trên, khi ULmax ta có:
R 2 ZC2
ZL
U L .U C U R2 U C2 (1)
ZC
U 2L U 2 U 2R U 2C (2)
Từ (1) và (2) suy ra: U = 80 V => chọn D
Ví dụ 3: Đặt điện áp xoay chiều: u = U 2 cost vào hai đầu đoạn mạch gồm điện trở R,
cuộn cảm thuần có độ tự cảm L thay đổi được và tụ điện có điện dung C
tiếp. Điều chỉnh L thì khi L = L1 =
mạch đều lệch pha một góc
104
F mắc nối
2
1
3
H và khi L = L2 =
H thì cường độ dòng điện trong
so với điện áp hai đầu đoạn mạch. Xác định R và ?
4
Giải:
a. Do chỉ có L thay đổi, theo bài toán trong hai trường hợp cường độ dòng điện đều lệch pha
so với điện áp hai đầu đoạn mạch, nên công suất trong hai trường hợp là như
4
Z Z L2
2
nhau. Theo trên ta có: ZC L1
(1)
100(rad / s) .
2
C(L1 L 2 )
một góc
Mặt khác, ta có: tan 2
Z L2 Z C
R
R
Z L2 Z C
tan 2
100 .
III. Mạch điện xoay chiều R, L, C mắc nối tiếp có C thay đổi được.
Bài toán: Đặt điện áp xoay chiều: u = U0cost vào hai
đầu đoạn mạch mắc nối tiếp, gồm cuộn cảm thuần có độ
A
tự cảm L, điện trở R và tụ điện có điện dung C thay đổi
được. Thay đổi C, hãy giải quyết các yêu cầu sau:
L
R
C
B
Nhận xét: Vì trong công thức tổng trở Z2 R 2 (ZL ZC )2 do đó ta thấy rằng bài toán thay
đổi giá trị C cũng giống như bài toán thay đổi giá trị L. Do đó khi thực hiện việc khảo sát ta
cũng thực hiện tương tự trên đổi vai trò của L cho C, ta thu được các kết quả sau:
12
“Hướng dẫn học sinh giải bài tập cực trị mạch điện xoay chiều R,L,C mắc nối tiếp”
1. Tìm C để cường độ dòng điện trong mạch, công suất tiêu thụ của đoạn mạch đạt giá
trị cực đại.
U
Ta có: I =
=
Z
R.U 2
; P = RI = 2
R + (ZL - ZC )2
R 2 + (Z L - ZC ) 2
U
2
Dễ thấy: I = Imax; P = Pmax khi ZL = ZC
=>C = C0 =
U2
1
U
(trong
mạch
có
cộng
hưởng
điện).
I
=
;
P
=
max
max
ω2 L
R
2R
2. Khi C = C1 hoặc C = C2 thì mạch tiêu thụ cùng
công suất, khi C = C0 thì công suất mạch cực đại.
Tìm hệ thức liên hệ giữa C1, C2, C0:
Ta có:
P=R
y
y1 = y 2
U2
U2
R.U 2
=
R
=
R 2 + (ZL - ZC )2
R 2 + (ZL - ZC )2
y
Khi C = C1 hoặc C = C2 thì P1 = P2 suy ra y1 = y2.
Khi C = C0 hay ZC = ZC0 thì P = Pmax suy ra y = ymin.
ymin
Từ đồ thị ta dễ có:
ZC =
ZC1 + ZC2
1
1
2
= ZC0
=
2
C1 C 2 C0
O
ZC1 ZC0
ZC2
ZC
3. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo dung kháng ZC
Ta có công suất của mạch là:
U2
, với R, L là các hằng số,
P = RI = R 2
R + (ZL - ZC ) 2
P
nên công suất của mạch là một hàm số theo biến số
ZC.
Pmax
2
2
Dễ thấy: + Khi ZC = 0 P0 = R
U
R + Z2L
+ Khi ZC = ZL Pmax =
2
U2
2R
+ Khi ZC thì P 0
P0
Dạng đồ thị của P theo ZC :
4. Tìm giá trị ZC để hiệu điện thế UCmax
Ta có:
U C IZC ZC
U
2
R (Z L - Z C )
2
U
2
2
L
R Z 2ZL
1
ZC
ZC
O
U
y
R 2 Z 2L
Dễ thấy: UC = UCmax khi y = ymin khi đó: ZC
(x = b )
2a
ZL
13
ZC = Z L
ZC
“Hướng dẫn học sinh giải bài tập cực trị mạch điện xoay chiều R,L,C mắc nối tiếp”
Chú ý: Có thể tìm giá trị ZC để điện áp UCmax bằng giản đồ vectơ
Theo giản đồ vectơ và định lý hàm số sin trong tam giác ta có:
Vì sin
URL
UL
UC
U
=
sin sin
UR
R
U
const , suy ra: U C
sin
2
2
U RL
sin
R ZL
O
UR I
Do sin và U là các giá trị không đổi nên điện áp UCmax khi:
sin 1
2
U
Theo hệ thức của tam giác vuông ta có: U 2RL U C U L , từ đó suy
ra:
UC
Z L Z C R 2 ZL2
Nhận xét:
R 2 Z 2L
R 2 Z 2L
- Khi ZC
thì U Cmax U
R
ZL
- Khi UCmax thì: + Điện áp tức thời ở hai đầu mạch luôn trễ pha hơn uRL một góc 900.
+ U 2C U 2 U 2R U 2L
y
5. Khi C = C1 hoặc C = C2 thì UC1 = UC2, khi C = C0 thì
UCmax. Tìm hệ thức liên hệ giữa C1, C2, C0.
y1 = y 2
Ta có:
U C IZC ZC
U
2
R (Z L - Z C )
2
U
2
2
L
R Z 2ZL
1
ZC
ZC
U
y
Khi C = C1 hoặc C = C2 thì UC1 = UC2 suy ra y1 = y2.
Khi C = C0 hay ZC = ZC0 thì UC = UCmax suy ra y = ymin.
ymin
Do y là một tam thức bậc 2 đối với 1/Z C nên từ đồ thị dễ
thấy:
O
1/ZC1
1/ZC0
1/ZC2
1
1
2
=
=> C1 C 2 2C 0
ZC1 ZC2
ZC0
6. Tìm giá trị ZC để hiệu điện thế URCmax
- Khi R và C mắc nối tiếp nhau thì :
U RC = I R 2 + Z2C =
14
U R 2 + Z2C
R 2 + (ZL - ZC )2
=
U
R 2 + (Z L - ZC )2
R 2 + Z2C
=
U
1 + ZL
Z L - 2ZC
R2 + Z2C
U
1 Z L .y
1/ZC
“Hướng dẫn học sinh giải bài tập cực trị mạch điện xoay chiều R,L,C mắc nối tiếp”
Với y
ZL - 2ZC
R 2 + Z2C
Ta có: y '
2(ZC2 Z L ZC R 2 )
(R 2 Z2C )2
Cho y’ = 0 ta có: Z2C ZL ZC R 2 0 . Nghiệm của phương trình này là:
ZC1 =
ZL + ZL2 + 4R 2
2
> 0; ZC2 =
Z L - ZL2 + 4R 2
<0
2
Bảng biến thiên:
ZC1 =
0
ZC
ZL +
ZL2 + 4R 2
2
+
y’
-
0
y
+
ymin
URCmax
URC
Từ bảng biến thiên ta thấy:
Khi ZC
Z L 4R 2 Z L2
2UR
thì U RCmax
2
2
4R Z2L Z L
Ví dụ 1: Mạch điện xoay chiều RLC ghép nối tiếp, đặt vào hai đầu mạch một điện áp u =
U0cos t (V). Điều chỉnh C = C1 thì công suất của mạch đạt giá trị cực đại Pmax = 400W.
Điều chỉnh C = C2 thì hệ số công suất của mạch là
A. 200 W.
B. 300 W.
C. 100 3 W.
Giải :
U2
Theo trên, ta có: Pmax =
= 400 W
R
Khi C = C2 Thì cos2 =
15
R
3
Z2
2
3
. Công suất của mạch khi đó là
2
D.100 W.
“Hướng dẫn học sinh giải bài tập cực trị mạch điện xoay chiều R,L,C mắc nối tiếp”
Công suất tiêu thụ của mạch lúc này là:
2
U2
U2 3
P2 = R.I = R. 2 cos 22 .
.400 300 W => chọn B
Z2
R 2
2
Ví dụ 2: Mạch điện xoay chiều mắc nối tiếp có điện áp hiệu dụng hai đầu mạch không đổi
gồm điện trở R, cuộn cảm thuần có độ tự cảm L và tụ điện có điện dung C thay đổi được.
Thay đổi C để cho điện áp hiệu dụng hai đầu tụ điện đạt giá trị cực đại và bằng 74V, khi đó
điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn cảm có giá trị bằng 25V. Tìm điện áp hiệu dụng hai đầu điện
trở R?
A. 20V
B. 30V
C. 35V
D. 55V
Giải :
Theo trên: Khi điện áp hiệu dụng hai đầu tụ điện đạt cực đại thì ta có:
+ ZC
R 2 Z 2L
=> U C .U L U R2 U L2 (1)
ZL
+ U 2C U 2 U 2R U 2L (2)
Giải hệ (1) và (2) ta được: UR = 35 V => chọn C
Ví dụ 3: Đặt điện áp xoay chiều: u = 120 2 cost (V) vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp
gồm điện trở R, cuộn cảm thuần có độ tự cảm L =
được. Điều chỉnh C thì khi C C1
1,5
H và tụ điện có điện dung C thay đổi
10 4
104
F và khi C C 2
F thì mạch tiêu thụ cùng
2
công suất P nhưng dòng điện i1 và i2 lệch pha nhau
3
a. Xác định R và .
b. Tính công suất P.
c. Tìm C để công suất của mạch đạt cực đại, tìm Pmax.
Giải :
a. Theo trên ta có: ZL
Ta lại có: tan 1
ZC1 ZC2
ZL ZC1
2
; vì C1 < C2 => ZC1 ZC2
; tan 2
ZL ZC2
=> 1 2
6
R
R
Z L ZC 2
1 1
1
2
2
50 3 .
(100) 100(rad / s) => R
2L C1 C 2
tan 2
U2R
2
b. Công suất tiêu thụ: P RI 2
72 3 W .
R (ZL ZC )2
c. Công suất cực đại khi trong mạch có cộng hưởng:
C
16
U 2 1202
1
1
2.104
;
P
96 3 W
F
max
R 50 3
2 L (100)2 . 1,5
3
“Hướng dẫn học sinh giải bài tập cực trị mạch điện xoay chiều R,L,C mắc nối tiếp”
IV. Mạch điện xoay chiều R, L, C mắc nối tiếp có thay đổi được.
Bài toán: Đặt điện áp xoay chiều: u = U 2 cost (U không đổi, thay đổi được) vào hai
đầu đoạn mạch gồm điện trở R, cuộn cảm thuần có độ tự cảm L và tụ điện có điện dung C
mắc nối tiếp. Thay đổi , hãy giải quyết các yêu cầu sau:
1. Tìm để cường độ dòng điện trong mạch, công suất tiêu thụ của đoạn mạch đạt giá
trị cực đại.
Ta có: I =
U
=
Z
U
R 2 + (Z L - ZC ) 2
; P = RI 2 =
Dễ thấy: I = Imax; P = Pmax khi ZL = ZC => =
R.U 2
R 2 + (ZL - ZC )2
1
(trong mạch có cộng hưởng điện)
LC
U
U2
Khi đó: Imax =
; Pmax =
R
R
2. Khi = 1 hoặc = 2 thì mạch tiêu thụ cùng công suất, khi = 0 thì công suất
mạch cực đại. Tìm hệ thức liên hệ giữa 1, 2, 0?
U2
Do: P1 P2 R
R 2 (1L
1 2
)
1C
U2
R
R 2 (2 L
1 2
)
2 C
1
1
L
L
(1)
1
2
1C
2 C
=>
L 1 ( L 1 )(2)
2
1
1C
2 C
- Vì 1 2 nên nghiệm (1) bị loại
1
LC
- Từ (2) suy ra:
12
- Do khi = 0 =
U2
1
thì Pmax =
R
LC
- Nên ta có hệ thức: 02 12
3. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo .
- Ta có: P RI R
P
U2
2
1
R 2 L
C
- Nhận xét: Khi = 0 thì Z C
2
1
P0 = 0
C
U2
1
- Khi 0
thì P = Pmax =
R
LC
- Khi thì ZL L khi đó P 0
Dạng đồ thị: (hình bên)
17
Pmax
P
O 1 0
2
“Hướng dẫn học sinh giải bài tập cực trị mạch điện xoay chiều R,L,C mắc nối tiếp”
Nhận xét :
- Từ đồ thị ta thấy có hai giá trị 1 ≠ 2 cho cùng một giá trị công suất P, điều này phù hợp
với mục 2.
+ Khi = 1 thì ZC > ZL, u trễ pha với i góc 1.
+ Khi = 2 thì ZL > ZC, u sớm pha với i góc 2 . Và ta dễ có 1 = - 2.
4. Tìm giá trị của làm cho điện áp hai đầu L đạt cực
đại ULmax?
y
Ta có:
U
U L IZL ZL
R 2 (ZL - ZC )2
U
1
2L 1
(R 2 ) 2 2 1
2 4
LC
C L
U
y
2
Dễ thấy: UL = ULmax khi y = ymin
ymin
2L
1
R2) 2
1
C
L
khi đó 2 =
1
2. 2 2
LC
(
Suy ra:
và U Lmax
1
C
O
1
L R2
C 2
2U.L
R 4LC R 2 C 2
(ĐK: R 2
2L
)
C
5. Tìm giá trị của làm cho điện áp hai đầu C đạt cực đại UCmax?
Tương tự trên ta có:
U C IZ C Z C
U
R 2 (Z L - ZC )2
U
L2 C 2 4 (R 2
2L 2 2
)C 1
C
U
y
2L
R 2 )C 2
2
C
khi đó =
2.L2 C 2
(
Dễ thấy: UC = UCmax khi y = ymin
Suy ra:
18
2U.L
1 L R2
2L
khi đó: U Cmax
(ĐK:
R2
)
L C 2
C
R 4LC R 2C 2
1
02
1
2
“Hướng dẫn học sinh giải bài tập cực trị mạch điện xoay chiều R,L,C mắc nối tiếp”
6. Khi = R thì URmax, khi = L thì ULmax, khi = C thì UCmax. Tìm hệ thức liên hệ
giữa R, L, C?
Theo trên ta có: ULmax khi L
UCmax khi C
1
C
1
L R2
C 2
;
1 L R2
L C 2
1
LC
Dễ có: URmax khi R
Từ đó ta có hệ thức: 2R L .C
7. Khi = 1 hoặc = 2 thì UL1 = UL2, khi = 0 thì UL = ULmax. Tìm hệ thức liên hệ
giữa 1, 2, 0?
y
Ta có:
U L IZL ZL
U
R 2 (ZL - ZC )2
U
1
2L 1
(R 2 ) 2 2 1
2 4
LC
C L
y1 = y 2
U
y
2
Khi = 1 hoặc = 2 thì UL1 = UL2, suy ra y1 = y2.
Khi = 0 hay ZL = ZL0 thì UL = ULmax suy ra y = ymin.
1
Do y là một tam thức bậc 2 đối với 2 nên từ đồ thị
dễ thấy:
ymin
1
12
O
1
1
2
2 = 2
2
1 2
0
1
02
1
22
1
2
8. Khi = 1 hoặc = 2 thì UC1 = UC2, khi = 0 thì UC = UCmax. Tìm hệ thức liên hệ
y
giữa 1, 2, 0?
Ta có:
U C IZC ZC
U
2
R (ZL - ZC )
2
U
L2 C2 4 (R 2
2L 2 2
)C 1
C
y1 = y 2
U
y
Khi = 1 hoặc = 2 thì UC1 = UC2, suy ra y1 = y2.
Khi = 0 hay ZC = ZC0 thì UC = UCmax suy ra y = ymin.
Do y là một tam thức bậc 2 đối với 2 nên từ đồ thị dễ thấy:
12 22 = 202
19
ymin
O
12
02
22
2
“Hướng dẫn học sinh giải bài tập cực trị mạch điện xoay chiều R,L,C mắc nối tiếp”
Ví dụ 1: Đặt điện áp xoay chiều: u = U 2 cos2ft (U không đổi, f thay đổi được) vào hai
đầu đoạn mạch gồm điện trở R, cuộn cảm thuần có độ tự cảm L và tụ điện có điện dung mắc
nối tiếp. Điều chỉnh f = f0 thì công suất tiêu thụ của đoạn mạch đạt giá trị cực đại. Từ giá trị f0:
+ Nếu tăng tần số f thêm 15 Hz thì điện áp hiệu dụng trên cuộn cảm đạt cực đại.
+ Nếu giảm tần số f đi 10 Hz thì điện áp hiệu dụng trên tụ điện đạt giá trị cực đại.
Tìm giá trị f0?
Giải:
Theo trên ta có: 02 12 suy ra f 02 f1f 2
Theo bài ra: f1 = f0 + 15; f2 = f0 - 10
Suy ra: (f0 + 15)(f0 - 10) = f 02
Giải ra ta được: f0 = 30 Hz
Ví dụ 2: Đặt điện áp xoay chiều: u = 200 2 cost (U không đổi, thay đổi được) vào hai
1
đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm điện trở R = 100 , cuộn cảm thuần có độ tự cảm L =
H và tụ điện có điện dung C
100
F . Điều chỉnh :
a. Tìm để điện áp hiệu dụng trên điện trở đạt giá trị cực đại, tính giá trị cực đại đó.
b. Tìm để điện áp hiệu dụng trên tụ điện đạt giá trị cực đại, tính giá trị cực đại đó.
c. Tìm để điện áp hiệu dụng trên cuộn cảm đạt giá trị cực đại, tính giá trị cực đại đó.
Giải:
a. Ta có, điện áp hiệu dụng trên điện trở đạt cực đại khi trong mạch có cộng hưởng:
R
1
100 rad / s
LC
Khi đó: URmax = U = 200 V
b. Áp dụng kết quả trên, ta có:
1 L R2
C
=> C 50 2 rad / s
L C 2
Khi đó: U Cmax
2U.L
R 4LC R 2C 2
= 231 V
c. Theo trên ta có: 2R L .C
=> L
2R
50 2 Hz
C
Khi đó : U Lmax
20
2U.L
R 4LC R 2C 2
= 231 V = UCmax
- Xem thêm -
.PDF 
28 
503 
143 
