Skkn hướng dẫn giải dạng “toán chia hết” trong chương trình toán lớp 6

  • Số trang: 24 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 40 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 24000 tài liệu

Mô tả:

SKKN Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết” trong chương trình Toán lớp 6” PHẦN THỨ NHẤT : NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG CỦA ĐỀ TÀI 1. TÊN ĐỀ TÀI Hướng dẫn giải dạng “toán chia hết” trong chương trình toán THCS 2. TÍNH CẤP THIẾT CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 2.1 Lí do về mặt lí luận: Nghị quyết hội nghị lần thứ IV Ban chấp hành Trung ưng Đảng Cộng Sản Việt Nam (khoá VII, 1993) đã chỉ ra: Mục tiêu GD – ĐT phải hướng vào đào tạo những con người lao động, tự chủ, sáng tạo có năng lực giải quyết những vấn đề thường gặp, qua đó mà góp phần tích cực thực hiện mục tiêu lớn của đất nước là dân giàu, nước mạnh, xã hội công bằng văn minh. Nghị quyết Hội nghị lần thứ II Ban chấp hành Trung ương Đảng Cộng Sản Việt Nam (khóa VII, 1997) khẳng định rõ hơn. Cuộc cách mạng về phương pháp giáo dục phải hướng vào người học, rèn luyện và phát triển khả năng suy nghĩ, khả năng giải quyết vấn đề một cách năng động, độc lập sáng tạo ngay trong quá trình học tập ở nhà trường phổ thông . . . Áp dụng những phương pháp giáo dục hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề. Điều 24 Luật giáo dục (1998) viết: Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học. RajaRoy singh trong cuốn “Nếu giáo dục cho thế kỷ XXI. Những trển vọng của Châu Á – Thái Bình Dương” đã khảng định . Để đáp ứng được những đòi hỏi mới được đặt ra cho sự bùng nổ kiến thức và sáng tạo kiến thức mới, cần phải phát triển năng lực tư duy, năng lực giải quyết vấn đề và tính sáng tạo . . . Các năng lực này có thể quy gọn về năng lực giải quyết vấn đề. Khả năng giáo dục của môn Toán rất to lớn, nó có khả năng phát triển tư duy lôgíc, khái quát hoá, phân tích tổng hợp, so sánh dự đoán, chứng minh và bác bỏ. Nó còn có vai trò rèn luyện phương pháp suy nghĩ, suy luận,… Ơû bậc trung học cơ sở việc dạy dạng “toán chia hết” cho học sinh là rất cần thiết nhằm mục đích phát triển cho học sinh đầy đủ các yếu tố nêu trên. 2.2 Lí do về mặt thực tiễn: Thực tiễn dạy và học bộ môn Toán ở Trường THCS Tân Thanh – Lâm Hà có nhiều vấn đề phải quan tâm, giải quyết lâu dài, kỹ năng giải toán, các phép biến đổi cơ bản, phương pháp giải toán, của học sinh khối 6 còn yếu rất nhiều, theo cuộc SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM - TRƯỜNG THCS TRỰC CƯỜNG Trang 1 - GIÁO VIÊN : BÙI VĂN THÔNG SKKN Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết” trong chương trình Toán lớp 6” điều tra về việc giải toán của học sinh hai lớp sáu vừa qua thì có tới hơn 50% học sinh đạt điểm dưới trung bình. Còn các lớp trên cũng được liệt kê rất nhiều học sinh yếu toán. Vậy vấn đề đặt ra là nếu chúng ta cứ lo phụ đạo học sinh yếu toán mà không chăm lo bỗi dưỡng học sinh học khá, giỏi môn toán thật là một thiệt thòi lớn đối với các em vấn đề này phải thực hiện song song với nhau. Nhận thức vấn đề trên, Tôi muốn truyền đạt cho các em nhiều dạng toán để cung cấp cho các em những kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo để giải toán,… Một trong dạng toán đó là “Dạng toán chia hết”. 3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Hướng dẫn giải dạng toán “chia hết” cho học sinh khá, giỏi trong chương trình toán bậc trung học cơ sở. 4. PHẠM VI NGHIÊN CỨU. Thời gian nghiên cứu từ 10 tháng 9 năm 2005 đến 25 tháng 11 năm 2006. Địa điểm tại trường THCS Tân Thanh gồm các khối lớp 6 đến lớp 9. 5. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU. Giúp các em học sinh nắm chắc các phương pháp giải dạng toán “chia hết”, hình thành cho các em các kỹ năng suy luận, biến đổi, nhận dạng và thể hiện tốt lời giải bài toán. PHẦN THỨ II: NỘI DUNG I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI Phương pháp giải toán: Là toàn bộ những thủ thuật toán được sắp xếp theo trình tự nhất định và vận dụng sáng tạo để tìm ra kết quả bài toán. Thủ thuật : Phép giải mang tính linh hoạt, hợp lí, sáng tạo để giải quyết một khâu hay cả bài toán. SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM - TRƯỜNG THCS TRỰC CƯỜNG Trang 2 - GIÁO VIÊN : BÙI VĂN THÔNG SKKN Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết” trong chương trình Toán lớp 6” Giải bài toán: Là việc làm tìm ra ẩn số, tức tìm ra đáp số của bài toán. Muốn tìm ra ấn số phải là một quá trình suy luận. Chính vì thế nên gọi việc giải toán là một quá trình hoạt động trí tuệ của học sinh. Trong quá trình hướng dẫn học sinh giải toán giáo viên cũng phải truyền thụ cho học sinh những tri thức phương pháp để học sinh biết cách học, biết cách suy luận, vận dụng cái đã biết để tìm những kiến thức mới có tính chất thuật toán. Đặc biết khi hướng dẫn giải toán giải toán cần coi trọng phương pháp có tính chất tìm tìm đoán, và ngầm thể hiện cho học các bước giải toán của “Polya”. Học sinh cần được rèn luyện các thao tác tư duy, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự, quy lạ về quen. Trong chương trình toán (THCS), có rất nhiều dạng toán thể hiện mục tiêu trên, một trong số đó có dạng “Toán chia hết” là một trong số các dạng toán quan trọng trong chương trình toán THCS. Nó có mặt nhiều trong các lần kiểm tra định kỳ, thi học kỳ, thi học sinh giỏi, thi vào trường chuyên, lớp chất lượng cao, và một số đề thi cấp Huyện, Tỉnh ,… Điều này còn được thể hiện ở chỗ lượng bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập khá nhiều và rất phong phú. Dạng toán chia hết được đề cập ngay từ học kỳ I của lớp 6 và nó trải xuyên suốt cả chương trình toán THCS và ở mỗi khối học, yêu cầu về mặt kiến thức cũng khác nhau, mức độ yêu cầu cũng khác nhau. Nhưng kiến thức đòi hỏi có sự kế thừa, cái này là cơ sở của cái kia, chúng bổ trợ cho nhau. Chính điều này yêu cầu người học phải nắm chắc được kiến thức cơ bản, được cụ thể hoá trong từng bài và tóm tắt trong từng chương của sách giáo khoa từng khối lớp, biết vận dụng linh hoạt các phương pháp để giải quyết tốt được bài tập dạng này. Có thể nói rằng dạng “toán chia hết” luôn là dạng toán khó đối với học sinh và không ít học sinh cảm thấy sợ khi học dạng toán này. Là một giáo viên dạy toán tôi muốn các em chinh phục được nó, và không chút ngần ngại khi gặp dạng toán này. Nhằm giúp cho các em phát triển tư duy suy luận, óc phán đoán, kỹ năng trình bày linh hoạt. Hệ thống các bài tập tôi đưa ra đều từ dễ đến khó, bên cạnh đó còn có các bài tập nâng cao cho học sinh giỏi. Lượng bài tập áp dụng tương tự cũng tương đối nhiều, nên các em có thể tự học, tự chiếm lĩnh tri thức thông qua hệ thống bài tập áp dụng này điều đó giúp các em hứng thú học tập hơn rất nhiều. II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ Dạng toán “Chia hết” được đề cập trong sách giáo khoa ngay từ đầu lớp 6 đến lớp 9, và mỗi lớp có yêu cầu khác nhau nên làm cho người học và người dạy rất vất vả nhất là các em học sinh khối 8 và khối 9. Thông thường khi dạy dạng toán này giáo viên lại phải nhắc lại các kiến thức cơ bản học ở lớp dưới làm mất rất nhiều SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM - TRƯỜNG THCS TRỰC CƯỜNG Trang 3 - GIÁO VIÊN : BÙI VĂN THÔNG SKKN Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết” trong chương trình Toán lớp 6” thời gian cho tiết dạy. Kỹ năng biến đổi để làm xuất hiện các yếu tố chia hết trong biểu thức số hay biểu thức đại số của các em còn chưa linh hoạt, có những bài toán rất đơn giản mà các em biến đổi chứng minh rất dài dòng và phức tạp, thực chất nếu các em nắm chắc các phương pháp giải dạng toán chia hết thì chứng minh rất đơn giản. Trong quá trình giảng dạy nhiều giáo viên không hay để ý tới dạng toán này, vì dạng toán này thường được đặt dưới bài toán cụ thể trong sách giáo khoa nên không nghĩ đó là trọng tâm của bài. Bên cạnh đó nếu có giải thì cũng chưa yêu cầu học sinh làm thêm trong sách bài tập hay ra ngoài phạm vi sách giáo khoa để rèn luyện kỹ năng, phát triển tư duy cho học sinh. Mặt khác tài liệu tham khảo viết về dạng toán này hầu như không có trong thư viện nhà trường, các chủ đề tự chọn cũng chưa được giáo viên nào đề cập tới mà yêu cầu về bồi dưỡng học sinh giỏi lại có dạng toán “ Chia hết” trong chương trình. Từ những suy nghĩ đó và thực tế giảng dạy tôi đã mạnh dạn viết đề tài này. III. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ A. Cơ sở lý thuyết Để học sinh học tốt, làm tốt được dạng “Toán chia hết ” này tôi trang bị cho các em nội dung kiến thức sau, đó là nền tảng, là cơ sở để áp dụng giải các bài tập dạng này. 1.Tính chất chia hết của một tổng, một hiệu, một tích. a m - Nếu   a  b m b m  a m - Nếu   a  bm b m  a m - Nếu   a .b m b m  - Nếu am  a n m (n là số tự nhiên). 2.Dấu hiệu chia hết cho 2; 4; 5; 6; 3; 9; 8. SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM - TRƯỜNG THCS TRỰC CƯỜNG Trang 4 - GIÁO VIÊN : BÙI VĂN THÔNG SKKN Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết” trong chương trình Toán lớp 6” * Dấu hiệu chia hết cho 2 là: Một số chia hết cho 2 khi và chỉ chi số ấy có chữ số tận cùng là chữ số chẵn (0, 2, 4, 6, 8) *Dấu hiệu chia hết cho 5 là:Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi số ấy có chữ chữ số tận cùng là 0 hoặc 5. *Dấu hiệu chia hết cho 3: Một số chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số đó chia hết cho 3. *Dấu hiệu chia hết cho 9: Một số chia hết cho 9 khi và chỉ khi tổng các chữ số đó chia hết cho 9. *Dấu hiệu chia hết cho 6: Một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó đồng thời chia hết cho 2 và cho 3. *Dấu hiệu chia hết cho 4: Một số chia hết cho 4 khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng lập thành một số chia hết cho 4. *Dấu hiệu chia hết cho 8: Một số chia hết cho 8 khi và chỉ khi số đó có ba chữ số tận cùng lập thành một số (có 3 chữ số) chia hết cho 8. *Dấu hiệu chia hết cho 10: Một số chia hết cho10 thì có chữ số tận cùng bằng 0 và đảo lại. * Dấu hiệu chia hết cho 11: Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số của nó “đứng ở vị trí lẻ ” và tổng các chữ số “đứng ở vị trí chẵn ” (kể từ trái sang phải) chia hết cho 11. 3. Đồng dư: *Hai số a và b đồng dư với nhau theo mô đun m khi và chỉ khi a – b chia hết cho m. *Có thể “cộng ” các đồng dư thức có cùng mô đun. Tức là: Nếu a c  d ( mod m ) thì a c b  b (mod m),  d (mod m) *Có thể nhân từng vế các đồng dư thức có cùng mô đun. Tức là: Nếu a (mod m) , c  d ( mod m) thì ac  bd (mod m) 4. Nguyên tắc đirichlê: SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM - TRƯỜNG THCS TRỰC CƯỜNG Trang 5 - GIÁO VIÊN : BÙI VĂN THÔNG b SKKN Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết” trong chương trình Toán lớp 6” Nội dung nguyên tắc này được phát biểu dưới dạng bài toán sau: Nếu nhốt n thỏ vào m lồng (với n > m) nghĩa là số thỏ nhiều hơn số lồng thì ít nhất cũng có một lồng nhốt không ít hơn 2 con thỏ. 5.Phương pháp chứng minh quy nạp: Muốn chứng minh một khẳng định An đúng với mọi n = 1,2,3,… ta chứng minh như sau:  Khẳng định A1 đúng.  Giả sử khẳng định Ak đúng với mọi k � 1, ta cũng suy ra khảng định A k + 1 đúng. Kết luận : Khẳng định An đúng với mọi n = 1,2,3 … 6. Chứng minh bằng phương pháp phản chứng Muốn chứng minh khẳng định P đúng bằng phương pháp phản chứng, ta làm như sau:  Bước 1: Giả sử ngược lại P sai.  Bước 2: Từ giả sử P sai, chúng ta suy ra điều vô lý.  Bước 3: điều vô lý đó chứng tỏ rằng P không sai, tức là khẳng định P đúng. B. Các dạng toán Trong phần này tôi chia theo từng dạng để dễ dàng cho người dạy và người học tham khảo, lựa chọn một số bài để cho học sinh làm từ dễ đến khó. Một bài có thể vận dụng theo nhiều cách khác nhau, phát triển cho học sinh tính linh hoạt trong quá trình giải toán. 1. Dạng1: Tìm các chữ số chưa biết của một số Bài toán 1: Tìm các chữ số a và b sao cho 19ab chia hết cho 5 và chia hết cho 8. Để tìm được a và b học phải thấy được 2 dấu hiệu cơ bản đó là số đó chia hết cho 5 và cho 8. Vì 19ab chia hết cho 5 nên chữ số tận cùng b = 0 hoặc b = 5. SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM - TRƯỜNG THCS TRỰC CƯỜNG Trang 6 - GIÁO VIÊN : BÙI VĂN THÔNG SKKN Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết” trong chương trình Toán lớp 6” Vì 19ab chia hết cho 8 nên suy ra b = 0. Mặt khác 19a 0 chia hết cho 8 suy ra 19a 0 chia hết cho 4. 19a 0 chia hết cho 4  a0 chia hết cho 4 suy ra a  0, 2, 4, 6, 8}. Ta có 19a 0 chia hết cho 8  9a 0 chia hết cho 8 nên a = 2 hoặc a = 6. Nếu a = 2 thì b = 0 Nếu a = 6 thì b = 0 KL: Vậy số phải là 1920, 1960. Bài toán 2: Chữ số a là bao nhiêu để aaaaa96 vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 8. Vì aaaaa96 8   100a + 96 8 suy ra 100a 8 vậy a là số  (a + a + a + a + a + 9 + 6 ) 3  5a + 15 a96 8 chẵn  a  2, 4, 6, 8} (1). Vì aaaaa96 3  Mà 15 3 3 5a 3 Mà (5, 3) = 1 Suy ra a 3 vậy a  3, 6 ,9} (2). Từ (1) và (2 ) suy ra a = 6 KL: Vậy số phải tìm là 6666696. Bài toán 3 : Tìm chữ số a để 1aaa1 11. HD: Tổng các chữ số hàng lẻ là 2 + a . Tổng các chữ số hàng chẵn là 2a. *Nếu 2a  a + 2  a  2 thì 2a – (a + 2) = a -2  9 – 2 = 7 Mà (a - 2) 11 nên a - 2 = 0  a = 2 *Nếu 2a  a + 2  a 2 thì (a + 2) - 2a = 2 - a là 2 hoặc 1 không chia hết cho11. Kết luận : Vậy a = 2 Bài toán 4 Tìm các chữ số a, b để số 1234ab chia hết cho 8 và cho 9. *Cách 1: Nếu 1234ab chia hết cho 8 thì dấu hiệu chia hết cho 8 ta có SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM - TRƯỜNG THCS TRỰC CƯỜNG Trang 7 4ab 8 - GIÁO VIÊN : BÙI VĂN THÔNG hay SKKN Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết” trong chương trình Toán lớp 6” 4ab = 400 + 10a + b = 8p (p  Z) (*) Mặt khác nếu 1234ab Hay (1 + a + b) 9 9 thì (1 + 2 + 3 + 4 + a + b) 9  1 + a + b = 9q (q Z) ( **) Vì a và b là các chữ số nên a + b  18 Từ (**) suy ra 9q  28 (q>1) Vậy q = 2 hoặc q = 3 Trừ (*) với (**) ta có 390 + 9a = 8p – 9q , hay p = 49 + a + q + Vì p nguyên nên a q  2 8 nguyên hay a + q – 2 a q  2 8 8 +Nếu q = 2 thì a = 0 hoặc a = 8 Từ (**) ta có b = 9q – a – 10 do đó b = 8 hoặc b = 0 + Nếu q = 3 thì a = 7 suy ra b = 10 ( vô lí vì b  9) KL: Vậy có số thoả mãn đề bài là: 123480, 123408. *Cách 2 1234ab = 123400 + ab = 72.1713 + 64 + ab Vì 1234ab chia hết cho 8 và cho 9 nên 1234ab chia hết cho 72 Vậy 64 + chia hết cho 72 . Vì 64 < 64 + ab ab  163 nên 64 + ab bằng 72 hoặc 144. + Nếu 64 + + Nếu 64 + = 72 thì ab ab ab = 144 thì = 08 ab = 80 KL: Vậy các số thoả mãn đề bài là: 123480, 123408. Bài toán 5: Tìm các số a,b sao cho: 1) a – b = 4 và 2) a – b = 6 và 7 a5b1 4a 7 + chia hết cho 3 1b5 chia hết cho 9 Giải: 1) a – b = 4 và 7 a5b1 chia hết cho 3 Ta có: 7 a5b1 chia hết cho 3 khi và chỉ khi ( 7 + a + 5 + b + 1) chia hết cho 3 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM - TRƯỜNG THCS TRỰC CƯỜNG Trang 8 - GIÁO VIÊN : BÙI VĂN THÔNG SKKN Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết” trong chương trình Toán lớp 6” hay ( a +b + 13) chia hết cho 3 suy ra ( a +b ) chia 3 dư 2 Ta có a – b = 4 nên 4  a  9 ; Suy ra 4 a+b  14 (1) 0b5 (2) Mặt khác a – b là số chẵn nên a + b là số chẵn (3) Từ (1) (2) và (3) suy ra a + b  {8;14} Với a + b = 8; a – b = 4 ta được a = 6; b = 2. Với a + b = 14; a - b = 4 ta được a = 9; b = 5. KL: Vậy các số phải tìm là a = 6; b = 2 và a = 9; b = 5 2) 4a 7 + 1b5 chia hết cho 9 khi và chỉ khi ( 4 + a + 7 + 1 + b + 5 ) chia hết cho 9 hay ( a + b + 8 ) chia hết cho 9 (a + b) chia cho 9 dư 1 Do a + b  a – b = 6 nên a + b = 10 từ đó tìm được a = 8; b = 2. Bài tập tương tự : Bài 1: Tìm các số x, y sao cho 1994 xy HD: 1994 xy 72  32 + xy Vì 32  32 + = 72. 2769 + 32 + 72 xy 72 72 xy  32 + 99 = 131 nên 32 + xy = 72  xy = 40 Vậy x = 4 , y = 0. Bài 2: Tìm chữ số x để HD: Vì x1994 x1994 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9. chia hết cho 3  (x + 1 + 9 + 9 + 4) chia hết cho 3 Hay (x + 25) chia hết cho 3 Vì 1 x  9 nên 24  23 + x  32 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM - TRƯỜNG THCS TRỰC CƯỜNG Trang 9 - GIÁO VIÊN : BÙI VĂN THÔNG SKKN Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết” trong chương trình Toán lớp 6” Trong các số tự nhiên từ 23 đến 32 có 24, 30, chia hết cho 3mà không chia hết cho 9. Bài 3 : Phải viết ít nhất mấy số 1994 liên tiếp nhau để được một số chia hết cho 3. HD: Tổng các chữ số của 1994 là 23 khi chia cho 3 thì dư 2 Nếu viết k lần số 1994 liên tiếp nhau thì tổng các chữ số của số nhận được có cùng số dư với 2k khi chia cho3.Để số nhận được chia hết cho 3 thì 2k phải chia hết cho 3, nên số nhỏ nhất là 3, tức là ít nhất phải viết 3 lần số 1994 liên tiếp nhau. Bài 4 : Tìm 3 chữ số tận cùng của tích 4 số tự nhiên liên tiếp khác không, bết rằng tích này chia hết cho 125. Tích này nhỏ nhất bằng bao nhiêu? HD: Tích 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 8 thì tích 4 số tự nhiên liên tiếp cũng chia hết cho 125 nên 3 chữ số tận cùng là 000. Trong tích của 4 số tự nhiên tiếp không thể có 2 số chia hết cho 5 nên phải có một số chia hết cho 125 Tích nhỏ nhất là: 125.126.127.128 Dạng 2: Chứng minh chia hết đối với biểu thức số. Bài toán 1:Chứng minh rằng: 2139 + 3921 chia hết cho 45. *Cách 1: Ta có 2139 + 3921 = (2139- 1 ) + (3921 + 1) Vì 2139- 1 = 20 (2138+ 2137+ …+ 1) chia hết cho 5 Và 3921 + 1 = 40 (3920 - 3919+ …+1) chia hết cho 5 Suy ra: (2139- 1 ) + (3921 + 1) chia hết cho 5 Mặt khác 2139- 3921 = (2139- 339) + (3921 - 321) + (339 + 321) Mà 2139- 339= 18 (2138+ …+338) chia hết cho 9 2139- 339 = 36 (3920+…+320) chia hết cho 9 Và 339+ 321= 321 (318 + 1) = (33)7 (318+ 1) chia hết cho 9 Mà ( 5,9) = 1 nên 2139 + 3921 45 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM - TRƯỜNG THCS TRỰC CƯỜNG Trang 10 - GIÁO VIÊN : BÙI VĂN THÔNG SKKN Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết” trong chương trình Toán lớp 6” *Cách 2: vì 45 = 5.32 nên để chứng minh 2139 + 3921 chia hết cho 45 thì ta chứng minh 2139 + 3921 chia hết cho 5.32 Ta có: 2139 = (20 + 1)39 = 2039 + 39. 2038 + …+ 39.20 + 1= 10M + 1.3921 = (30 + 9)21 = 3021+ 21.3020.9 + 9 +…+ + 21.30.920+ 921 = 10N + 9 Như vậy: 2139 + 3921 = 10K + 1 + 9 = 10K + 10 chia hết cho 5 Mặt khác 2139 + 3921 = (7.3)39 + (13.3)21 = 739.339+ 1321+ 321 = 321. 739. 318+ 1321. 321 = 321 (739. 318+ 1321) = (33)7 (739. 318+ 1321) chia hết cho 9 *Cách 3 Ta có: 21  1 (mod 20) 39  -1 (mod 20) Vậy 2139 + 3921  139+ (-1)21 0 (mod 20) Như vậy 2139 + 3921 chia hết cho 20; do đó 2139 + 3921 chia hết cho 5 (*) Tương tự ta chứng minh 2139 + 3921 chia hết cho 9 KL: Vậy 2139 + 3921 chia hết cho 45 Bài toán 2: Chứng minh rằng: 4343 - 1717 chia hết cho 5 +Ta có: 4343= 4340. 433= (434)10.4343 Vì 433 có tận cùng bởi chữ số 1 (34 có tận cùng bởi 1) nên (434) có tận cùng bởi chữ số 1 hay 4340 có tận cùng bởi chữ số 1. 4343có tận cùng bởi chữ số 7. Vậy 4340. 433 có tận cùng là chữ số 7. Hay 433 có tận cùng là chữ số 7 Ta có 1717 = 1716 .17 = (174)4. 17 Vì 174 có chữ số tận cùng là 1 nên (174)4 cũng có chữ số tận cùng là chữ số 1 hay 1716 có chữ số tận cùng là 1 Suy ra: 1716.17 có chữ số tận cùng là 7 Hai số 4343 và 1717có chữ số tận cùng giống nhau nên 43 43 - 1717 có chữ số tận cùng là chữ số 0 KL: Vậy 4343 - 1717 chia hết cho 5. SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM - TRƯỜNG THCS TRỰC CƯỜNG Trang 11 - GIÁO VIÊN : BÙI VĂN THÔNG SKKN Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết” trong chương trình Toán lớp 6” Bài toán 3: Cho A = 2 + 22 + 23+ … + 260 Chứng minh rằng: A chia hết cho 3,7 và 15. A =2 + 22 + 23+…+ 260 Ta có: A = 2(1+2)+ 23 (1+2)+…+ 259 (1+2) = 3 (2 + 22 + 23+…+ 259) A = 3 (2 + 22 + 23+…+ 259) chia hết cho 3 Ta có A = 2 + 22 + 23+…+ 260 A = 2 (1 + 2 + 22) + 24 (1 + 2 + 22) + … + 258 (1 + 2 + 22) A = 2 . 7 + 24.7 + … + 258.7 A = 7 (2 + 24 + …+ 258) chia hết cho 7 Ta có A = 2 (1 + 2 + 22 + 23) + 25(1 + 2 + 22 + 23) + … +257(1 + 2 + 22 + 23) A = 2. 15 + 25.15 + …+ 257.15 A = 15( 2 + 25 + … + 257) chia hết cho 15 KL: Vậy A chia hết cho 3,7 và 15. Bài tập tương tự: Bài1 Cho B = 3 + 33 + 35 + …+ 31991 Chứng minh rằng B chia hết cho 13 và 41. Bài 2 Cho C = 119 + 118 + 11 7 + …+ 11 + 1 Chứng minh rằng C chia hết cho 5. Bài 3 Chứng minh rằng A chia hết cho B với A = 13 + 23 + 33 + …+ 993 + 1003 B = 1 + 2 + 3 + …+ 99 + 100 Dạng 3: Chứng minh chia hết đối với biểu thức chứa chữ Bài toán 1 Chứng minh rằng: n3 – n chia hết cho 6 với n nguyên. *Cách 1: Vì (2,3) = 1 nên chỉ cần chứng minh n 3 – n chia hết cho 2 và chia hết cho 3. Ta có n3 – n = n(n2 – 1) = n(n + 1)(n - 1) Mà n, n + 1, n – 1 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên n(n + 1)(n - 1) 2. SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM - TRƯỜNG THCS TRỰC CƯỜNG Trang 12 - GIÁO VIÊN : BÙI VĂN THÔNG SKKN Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết” trong chương trình Toán lớp 6” Mặt khác: n có thể biểu diễn thành một trong các dạng sau 3k, 3k + 1, 3k +2 (k  Z) + Nếu n = 3k thì n3 – n = (3k)2- 3k = 3k (9k2 – 1) 3 + Nếu n = 3k + 1 thì n3 – n = n(n + 1)(n - 1) =3k(3k + 1)( 3k + 2) 3. + Nếu n = 3k + 2 thì n3 – n = n(n + 1)(n - 1) = (3k + 1)( 3k + 2)( 3k + 3) = 3(k + 1)( 3k + 1)( 3k + 2) KL: Vậy n3 – n 6 3. với n nguyên. *Cách 2: Nếu n là số nguyên thì chỉ có thể biểu diễn thành một trong các dạng sau 6p, 6p + 1, 6p + 2, 6p + 3, 6p + 4, 6p + 5 ( do phép chia một số cho 6) + Nếu n = 6p thì n3 – n = 6p (6p + 1)(6p - 1) 6 +Nếu n = 6p + 1 thì n3 – n = 6p(6p + 1)(6p + 2) 6. + Nếu n = 6p + 2 thì n3 – n = 6(3p + 1)(2p + 1)(6p + 1) + Nếu n = 6p + 3 thì n3 – n = 6(36p3+ 54p2 + 26p – 4) 6. 6. + Nếu n = 6p + 4 thì n3 – n = 6(36p3+ 54p2 + 26p – 4) 6. + nếu n = 6p + 5 thì n3 – n = 6(36p3+ 54p2 + 26p – 4) 6. Cách 3: Ta chứng minh n3 – n chia hết cho 2 và chia hết cho 3 Nếu n  0 (mod 2) thì n3 – n  03 – 0  0 (mod 2) Nếu n  1 (mod 2) thì n3 – n  13 – 1  0 (mod 2) Như vậy với n nguyên, n3 – n  0 (mod 2) nghĩa là n3 – n chia hết cho 2 Mặt khác: + Nếu n  0 (mod 3) thì n3 – n  03 – 0  0 (mod 3) + Nếu n  1 (mod 3) thì n3 – n  13 – 1  0 (mod 3) + Nếu n  2 (mod 3) thì n3 – n  23 – 2  0 (mod 3) Với n nguyên n3 – n  0 (mod 3) nghĩa là n3 – n chia hết cho 3. SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM - TRƯỜNG THCS TRỰC CƯỜNG Trang 13 - GIÁO VIÊN : BÙI VĂN THÔNG SKKN Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết” trong chương trình Toán lớp 6” KL: Vậy n3 – n chia hết cho 6 với n nguyên.  ...1 chia hết cho 3. Bài toán 2: Chứng minh rằng 2n + 11 nchuso *chú ý: Số n và số có tổng các chữ số bằng n có cùng số dư trong phép chia cho  ...1 - n chia hết cho 9. 9, do đó 11 nchuso  ...1 = 3n + ( 11  ...1 - n) chia hết cho 3. Ta có: 2n + 11 nchuso nchuso Bài toán 3: Chứng minh rằng A = 10n + 18n – 1 chia hết cho 27. *Cách 1: A = 10n + 18n – 1 = 10n - 9n + 27n – 1  ...  9 - 9n + 27n = 99 nchuso  ...1 - n) + 27n = 9( 11 nchuso  ...1 - n) chia hết cho 9 suy ra 9( 11  ...1 - n) Mà 27n chia hết cho 27 nên ( 11 nchuso nchuso Vậy 10n + 18n – 1 chia hết cho 27. Cách 2: (Phương pháp quy nạp toán học) + Nếu n = 1 thì A = 10 + 18 – 1 = 27 chia hết cho 27. Vậy mệnh đề đúng với n = 1. + giả sử mệnh đề đúng với n = k tức là Ak = 10k + 18k -1 chia hết cho 27 Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1. Thật vậy Ak+1 = 10k+1 + 18(k + 1) – 1 = 10k.10 + 18k + 18 – 1 Ak+1 = 10 (10k + 18k -1) – 9.18k +27 Ak+1 = 10 (10k +18k-1) – 27.6k + 27 Mà 10 ( 10k + 18k-1) 27 . 6k 27 27 => Ak+1 27 ; 27 27 Vậy 10n + 18 n-1 chia hết cho 27 Bài toán 4: Với mọi n nguyên dương chứng minh: SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM - TRƯỜNG THCS TRỰC CƯỜNG Trang 14 - GIÁO VIÊN : BÙI VĂN THÔNG SKKN Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết” trong chương trình Toán lớp 6” B = 7n +3n -1chia hết cho 9. Cách 1: (Dùng phương pháp chứng minh quy nạp) +Nếu n = 1 thì B = 7 + 3 - 1 = 9 9. Giả sử mệnh đề đúng với n = k tức là Bk = 7k +3k -1 chia hết cho 9. Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k +1. Thật vậy: Bk+1 = 7k+1 = 3 ( k+1) -1. Bk+1 = 7. 7k + 3k + 3 -1 Bk+1 = 7 ( 7k + 3k -1) – 6. 3k – 9 Bk+1 = 7( 7k + 3k -1) – 9.2k -9 Bk+1 9 Vậy 7n + 3n -1 9 mọi n nguyên dương. Cách 2: Ta có : 7n + 3n -1 = (6 + 1) n + 3n -1 = 6n + c1n 6n-1 + c2n . 6n-2 + …. + cnn-1 . 6 + cnn + 3n-1 =(6n+ cn1.6n-1 + cn2 . 6n-2 +…..+ cnn-2. 62) + cnn-1 . 6+ cnn+3n-1 =(3.2)n +cn1. . (2.3)n-1 + cn2 .(3.2)n-2+….+cnn-2+(3.2) n+2+d cnn-1 . 6 + cnn + 3n-1 =2n . 3n + cn1 .2n-1.3n-1+….+ cnn-2.3n-2.2n-2 + 6n + 1 + 3n -1 =32 (2n . 3n-2+ cn1.2n-1.3n-2 + …. +cnn-2 .22 )+9n. =9(2n . 3n-2 + cn1 . 2n-1. 3n-2+…+ cnn-2 .22) + 9n Vậy 7n + 3n-1 9 9 mọi n nguyên dương. Bài tập tương tự: Bài 1: Chứng minh raống : a)-10n + 72n -1 chia hết cho 91. b)- 22n +15n-1 chia hết cho 9 với mọi n nguyên dương. Bài 2: Chứng minh rằng với mọi n tự nhiên thì: SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM - TRƯỜNG THCS TRỰC CƯỜNG Trang 15 - GIÁO VIÊN : BÙI VĂN THÔNG SKKN Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết” trong chương trình Toán lớp 6” (n+ 19931994 ) (n+ 19941993 ) chia hết cho 2. Bài 4: Chứng mỉnhằng với mọi số tự nhiên n thì 122n+1 + 11n+2 chia hết cho 133. + Đâylà dạng toán chia hết mà số mũ chứa chữ nên khi làm cần định hướng cho học sinh cách làm sau: Cách 1: Vì n ở nên ta có thể phân tích và đưa về dạng bội của 133. Ta có: 122n+1+11n+2 = (122)n .12 + 11n . 112. =144n .12 + 11n . 121 =12( 144n – nn) + 12.11n + 121. nn = 12 . 133 . M + 133 . 11n. Mỗi số hạng đều chia hết cho 133 nên. 122n+1 + 11n+2 chia hết cho 133. Cách 2: (Dùng phương pháp quy nạp). Với n =1 thì tổng 123 + 113 = (12 + 11) (122 -12 .11 + 112) =22.133 chia hết cho 133. Vậy mệnh đề đúng với n=1. Tức là 122k+1+11k+2 chia hết 133. Giả sử mệnh đề đúng với n=k Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1. Thật vậy: 122k+3 +11k+3=144 .122k+1+11k+3. = 133. 122k+1 +11. 122k+1 + 11k+3. =133. 122k+1 +11 (122k+1 + 11k+2 ). Vì 133 . 122k+1 133; 11(122k+1 +11k+2) 133 133. 122k+1+11(132k+1 +11k+2) chia hết cho 133 Cách 3: Ta có : 122n+1+11n+2 =122n+1 +11n+2+112(2n+1) -112(2n+1) SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM - TRƯỜNG THCS TRỰC CƯỜNG Trang 16 - GIÁO VIÊN : BÙI VĂN THÔNG SKKN Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết” trong chương trình Toán lớp 6” =(122n+1+112(2n+1)) - (112(2n+1) -11n+2) =122n+4 +(112)2n+1 –(114n+2 -11n+2). =(122n+1 +(112)2n+1) -11n+2 (113n-1) Vì 122n+1 + (112)2n+1 = (12 +112) . P  133. Và 113n -1 = (113 -1) . Q =(n-1) (n2 +11 +1) .Q = 10 . 133 . Q  133 Vậy 122n+1 +11n+2 chia hết cho 133 Cách 4: Ta có 122n+1 + 12 + 122n + 12 .144n Vì 144 = 11 (mod 133) nên 144n   11n(mod 133) 12. 1442n  12. 11n(mod 133). Hay 122n+1 = 12 .11n (mod 133) Mặt khác : 121 =-12 (mod 133) nên 121 .11n = -12.11n (mod 133). Từ đẳng thức: 122n+1 =12 .11n (mod 133) 11n+2 = -12. 11n (mod 133)  122n+1 + 11n+2  0 (mod 133) Tức là : 122n+1 + 11n+2 chia hết cho 133 Cách 5 : Với n =1 thì mệnh đề đúng. Giả sử mệnh đề đúng với n =k tức 122n+1 + 11n+2 =133m (m  N) Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k+1 tức là: 122k+1) +1 + 11k +1+2 =133p ( p N). (**) Thật vậy : Từ (*) suy ra : 122k+1 =133m – 11k+2 Ta có 122k+3 – 11k+3 =144 . 122k+1 + 11 . 11k+2 =144 (133 m – 11k+2) + 11. 11k+2 =122 .133m + 11k+2 (11 -144) SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM - TRƯỜNG THCS TRỰC CƯỜNG Trang 17 - GIÁO VIÊN : BÙI VĂN THÔNG SKKN Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết” trong chương trình Toán lớp 6” =133 (144m – 11k+2) Như vậy 122k+3 + 11k+3 =133p với p=144m- 11k+2 Bài toán được chứng minh. Bài toán 5: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì. 4 . 32n+2 + 32n – 36  64 Cách 1: Vì 4. 32n+2 +32n -36 = 4 (32n+2 -8n -9) nên bài toán đưa về việc chứng minh : 32n+2 + 8n – 9  16 +Nếu n chẵn, ta đặt n = 2k (k Z) khi đó. 32n+2 + 8n – 9 = 34k+2 +16k -9 = 34k . 32 – 9 + 16k = 9(34k-1) +16k = 9 (81k -1) +16k ; Vì hiệu (81k-1)  80 nên (81k-1)  16 Vậy khi n chẵn thì 4 . 32n+2 +32n -36  64 +Nếu n lẻ , ta đặt n =2k+1 (k Z). Khi đó 32n+2 +8n -9 = 34k+4 +16k -8 -9 = (34)k+1 -1+ 16k = 81k+1 -1 +16k Vì hiệu (81k+1 -1) Vậy với n lẻ thì 4. 32n+2 + 32b – 36  80 nên (81k+1 -1) 16 64 Kết luận: Vậy với mọi số tự nhiên n; 4(32n+2+8n -9) 64 Cách 2: +Với n =0 thì tổng 32 . 4 + 6 -36 =0 64 Vậy mệnh đề đúng với n =0 +Giả sử mệnh đề đúng với n=k tức là 32k+2 . 4 -32k – 36 =64p Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k+1 tức là 4. 32k+4 + 32k + 32 – 36 64 Thật vậy: 32k+4 . 4 + 32k + 32 – 36 = 32k+2 . 36 +32k +32 -36 =( 32k+2 . 4 +32k -36) + 32 ( 32k+1 +1) (*) Vì (32k+2 .4 +32k -36) là bội của 64. theo giả thiết quy nạp, nên chỉ cần chứng minh 32 (32k+1 +1) cũng là bội của 64. SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM - TRƯỜNG THCS TRỰC CƯỜNG Trang 18 - GIÁO VIÊN : BÙI VĂN THÔNG SKKN Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết” trong chương trình Toán lớp 6” Vì 32k+2 là số lẻ nên 32k+2 +1 là số chẵn do đó 32 (32k+1 +1) Vậy 4. 32k+2 + 32k – 36 64 64 +Bài tập tưong tự: Bài 1: Chứng minh với mọi số tự nhiên n: a) 3n+2 + 42n-1 13 Bài 2: Với mọi n nguyên dương, chứng minh rằng: 62n + 3n+2 + 3n 11 Bài toán 6: Chứng minh tổng k số nguyên liên tiếp (k lẻ) thì chia hết cho k. Gọi k số nguyên liên tiếp là n, n+1, n+2, …. N+k-1. Khi đó tổng của chúng bằng : n + n+1+ n+2+…. + n+k-1 =kn +1+2+…+k-1 =kn ( k  1  1)(k  1) + 2 Vì k lẻ nên : k 1 2 Như vậy kn + = kn + k ( k  1) 2 =p (Nguyên) k ( k  1) 2 = kn + kp =k(n+p) Điều này chứng tỏ rằng khi k lẻ, tổng k số nguyên liên tiếp k +Chú ý: Đây là bài toán tổng quát, từ bài toán này ta có thể yêu cầu học sinh chứng minh các trường hợp riêng của bài toán tổng của ba, năm, bảy,…. Số nguyên liên tiếp thì cho 3,5,7,….. Bài toán 7: Chứng minh rằng tích của k số nguyên liên tiếp thì k Cách 1: Gọi k số nguyên lẻ liên tiếp là : a, a+1, a+2, ….., a+ k -1. Tích của chúng là : a (a+1) (a+2)….. ( a+k -1). Ta cần chứng minh : a (a+1) (a+2) ….(a+1 -1) +Nếu a k k thì bài toán đã giải xong. +Nếu a không chia hết cho k thì a=qk +r ( 0 a(a+1) (a+2)…(a+k-1) k Cách 2: (Chứng minh bằng phản chứng). Giả sử trong tích đang xét không có thừa số nào chia hết cho k. Như vậy thì chia k của tích cho k ta nhận được các số dư từ 1 đến k-1. Theo nguyên lý Đirichlê tồn tại ít nhất 2 số có cùng số dư. Ta gọi 2 số đó là (a+h) và (a+l) với 0  h < l  k-1 Khi đó (a+h) – (a+l) k hay k-l k. Vô lý vì 0 < h l 2 ( 9a + 5b) 17. Hay (34 a + 34b) – 2( 9a+5b) = 34a + 34b -18a -10b. =16a + 24b = 8(2a + 3b) Nên (2a + 3b) 17 vì (8,17) =1 17. Bài toán 9: Chứng minh rằng SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM - TRƯỜNG THCS TRỰC CƯỜNG Trang 20 - GIÁO VIÊN : BÙI VĂN THÔNG
- Xem thêm -